Chuyen de-tinh-don-dieu-cua-ham-so

LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến)I. Cơ sở lý thuyết1. Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên D* Hàm số đồng biến trên * Hàm số nghịch biến trên

2. Xét tam thức bậc hai ,

*

*

II. Bài tập áp dụngA – HÀM ĐA THỨC

Cho hàm số . Tìm m để hàm sốa. Đồng biến trên Rb. Nghịch biến trên RLời giải:TXĐ: D = R.

a. Hàm số đồng biến trên R khi

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 http://chuyentoannt.net


b. Hàm số nghịch biến trên R khi

Vậy: Không có giá trị nào để hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

Lời giải: TXĐ: D = R

Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi

Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Lời giải: TXĐ: D = R.

Hàm số đồng biến trên R khi

Vậy: Với thì yêu cầu bài toán được thỏa

Cho hàm số . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến


Hàm số nghịch biến trên R khi

Vậy: Với thì điều kiện bài toán được thỏa






Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số . Tìm m để hàm số luôn luôn giảm


Hàm số luôn luôn giảm khi

Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Cho hàm số . Tìm m để hàm số luôn đồng biến




Cho hàm số . Tìm m để hàm số luôn tăng trên R


Hàm số luôn tăng trên R khi


Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên

RLời giải:TXĐ: D = R








Cho hàm số . Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Lời giải:TXĐ: D =R

Trường hợp 1: m = 0 không thỏa yêu càu bài toán

Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên R khi

Vậy: Không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán



Tìm m để hàm số luôn đồng biến


Trường hợp 1: m = 1 không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số luôn đồng biến khi


Cho hàm số . Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến


Trường hợp 1: m = 0 thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi

Vậy: Với m = 0 thì yêu cầu bài toán được thỏa

Định m để hàm số luôn luôn giảm

Lời giảiTXĐ: D = R

Trường hợp 1: nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2:

Hàm số luôn giảm khi

Cho hàm số . Tìm m để dồ thị hàm số nghịch

biến trên RLời giải: TXĐ: D = R



Trường hợp 1: m = -2 thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số nghịch biến trên R khi

KL: Với m < - 2 thì yêu cầu bài toán được thỏa


Lời giải:TXĐ: D = R

Trường hợp 1: * m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán* m = - 1 thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số đồng biến trên R khi

Vậy: Với thì bài toán được thỏa

Cho hàm số . Tìm m để hàm số:

a. Đồng biến trên Rb. Nghịch biến trên RLời giải:TXĐ: D = R

Trường hợp 1: m = -3 không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: . a. Hàm số luôn đồng biến khi

b. Hàm số luôn nghịch biến khi



Cho hàm số . Xác định giá trị m để hàm số đã cho

nghịch biến trên RLời giải:TXĐ: D = R

Trường hợp 1: m = 0 không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số nghịch biến trên R khi

Cho hàm số . Xác định m để hàm số sau đồng biến trên

RLời giải:TXĐ: D = R

Ta có:

Xét 2 trường hợp:

*

+ m = 0 nên m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m = - 2 nên m = -2 không thỏa điều kiện bài toán

*


Vậy với thì điều kiện bài toán được thỏa





Trường hợp 1:

+ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán+ m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số đồng biến trên R khi


B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

Tìm m để hàm số luôn đồng biến

Lời giải:

TXĐ:

Hàm số luôn đồng biến khi

Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

của nóLời giải:

TXĐ:

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi



Cho hàm số . Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

Lời giải:

TXĐ:

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi

Cho hàm số . Xác định m để hàm số nghịch biến trên

từng khoảng xác định của nóLời giải:

TXĐ:

Trường hợp 1: chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2: Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi


Lời giải:

TXĐ:

Trường hợp 1: m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2:


LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NTHàm số đồng biến trên R khi

C – BÀI TẬP NÂNG CAOCơ sở lý thuyết:

Giả sử tồn tại

Giả sử tồn tại

Định m để hàm số đồng biến trong khoảng


Điều kiện bài toán được thỏa khi

Xét hàm số

Bảng xét dấux 2

g’(x) + 0 - - 0 +



g(x)

0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi

Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên

khoảng


Hàm số đồng biến trên khi

Ta có:

Vẽ bảng biến thiên ta có

Kết luận: Với thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên

khoảng


Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi

Ta có:


Vậy: thì điều kiện bài toán được thỏa

Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng

biến trên




Trường hợp 1: nên không thỏa yêu cầu bài toánTrường hợp 2:


Ta có:

Vẽ bảng biến thiên ta được

Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; 3)


Hàm số đồng biến trên (0; 3)

Ta có:

g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)

Vậy điều kiện (*) được thỏa khi

Tìm m để hàm số nghịch biến trên [1; 5]

Lời giải

Trường hợp 1: nên không thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: Hàm số nghịch biến trên [1; 5] khi



Ta có:


Tìm m để nghịch biến trên [1, )

Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, )

. Ta có:

u(x) đồng biến trên [1, )

Tìm m để hàm số đồng biến trên

Lời giải


Ta có: g(x) là hàm số nghịch biến trên

nên

Định m để hàm số nghịch biến trong khoảng

Lời giải

TXĐ:



Hàm số nghịch biến trên khi

Ta có:

Vậy:

Cho hàm số (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải

TXĐ:


Tam thức g(x) có biệt thức . Ta xét các trường hợp:

+ Trường hợp 1: hàm số đồng biến trên Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán+ Trường hợp 2: Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa

Kết luận: với thì yêu cầu bài toán được thỏa

Vấn đề 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trìnhGiải các phương trình

a. b.

Lời giải:a. Đặt

f(x) là hàm số đồng biếnMặt khác: nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trìnhb. Điều kiện và x = 1 không là nghiệm của phương trình


LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NTĐặt với x > 1

f(x) là hàm số đồng biếnMặt khác: nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình (1)

Lời giải

Điều kiện của phương trình (*)

Xét

g(x) là hàm số đồng biếnMặt khác: g(1) = 0Vậy: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trìnhThật vậy:Khi x > 1 thì g(x) > g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệmKhi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Giải các phương trình sau

Lời giải

Điều kiện:

Xét

hàm số đã cho đồng biến trên

Mặt khác: nên x = 1 là nghiệm duy nhất

Kết luận:

Giải phương trình

Lời giải

Phương trình (1) được viết lại

Xét

hàm số đồng biến trên R



Mặt khác:


Lời giải

Điều kiện (đúng )

Xét

Mặt khác:

Vậy:


Lời giải

Xét

f(x) là hàm đồng biến trên RMặt khác: nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình


Lời giảiĐặt

Phương trình trở thành

Với

Xét f(x) là hàm đồng biến

Mặt khác: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình


Lời giảiĐiều kiện của phương trình . Nhận xét x = 5 không là nghiệm của phương trìnhXét


LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NT f(x) là hàm số đồng biến trên

Mặt khác: nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Giải phương trình: .

Giải. Điều kiện: . Đặt .

Ta có: f (x) đồng biến trên .

Mặt khác f (1) 0 nên phương trình f (x) 0 có nghiệm duy nhất x 1.


Lời giải

Xét f(t) là hàm đồng biến

Mặt khác: Kết luận: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình


Lời giải

Đặt . Phương trình trở thành

Với

Xét f(x) là hàm đồng biến

Mặt khác: nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình


Lời giảiĐiều kiện xác định của phương trình x > 0Đặt

Phương trình (1) trở thành

Xét

f(t) là hàm số nghịch biến trên RMặt khác: f(3) = 0 nên là nghiệm duy nhất của phương trình


Lời giảiĐiều kiện xác định của phương trình là


LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NTĐặt Phương trình trở thành

Xét

f(t) là hàm nghịch biến trên R phương trình f(t) = 0 có không quá 1 nghiệm trên RMặt khác: nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình

Giải bất phương trình

Lời giảiĐiều kiện xác định của bất phương trình là

Bất phương trình được viết lại thành

Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trênXét

f(x) là hàm số đồng biến trên (-2; 4)Mặt khác: So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là


Lời giảiĐiều kiện xác định của phương trình là Nhận thấy x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Xét

f(x) là hàm số đồng biến trên

Mặt khác: So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x > 0


Lời giảiĐiều kiện xác định của bất phương trình Nhận xét x = -2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Xét


Mặt khác:

So với điều kiện ta có là nghiệm của bất phương trình


Lời giải


LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NTĐiều kiện xác định của phương trình là Xét


Ta có:

So với điều kiện ta có x > 0 là nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình (*)

Giải. Điều kiện . Đặt

Ta có:

f (x) đồng biến trên . Mà f (3) 8 nên (*) f (x) < f (3) x < 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là

Giải bất phương trình (1)

Lời giải

Điều kiện của bất phương trình là

Xét

g(x) là hàm số nghịch biến trên

Mặt khác: g(1) = 6Khi đó: Kết luận: là nghiệm của bất phương trình


Điều kiện của bất phương trình:

Xét

f(t) đồng biến trên Mặt khác: So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là

Giải bất phương trình sau (1)

Lời giải



Điều kiện xác định của bất phương trình

(1)

Đặt

Phương trình trở thành : kết hợp điều kiện

ta được (2); điều kiện

Xét hàm

hàm số đồng biến trên

Mặt khác nên vậy nghiệm của bất phương trình là

hay


Lời giải:Điều kiện của bất phương trình x > 0Đặt

Phương trình (1) trở thành

Xét

f(t) là hàm số nghịch biếnMặt khác: f(2) = 0 nên


Lời giải:Điều kiện



Vậy bất phương trình có nghiệm

Vấn đề 5: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình

Lời giải:

Thay vào (2) ta có:

Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 0) và (0; -1)


Lời giải

Xét f(t) là hàm số đồng biến trên R

Mặt khác:

Ta được hệ phương trình như sau:

Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (2; 2) và (-2; -2)


Lời giảiĐiều kiện xác định của hệ phương trình Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình

Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình

Xét hàm số

f(t) là hàm số đồng biến trên (-3; 10)

Ta được hệ phương trình như sau

Kết luận: x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình




Lời giảiĐiều kiện xác định của hệ phương trình

Xét hàm số

f(t) là hàm số đồng biến trên

Mặt khác:

Ta được hệ phương trình như sau

Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm

Vấn đề 6: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình

Tìm m để phương trình có nghiệm

Lời giải:

Đặt

Vẽ bảng biến thiên suy ra

Xét

f(t) là hàm số đồng biến

Bất phương trình được thỏa khi

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Lời giải:Điều kiện của phương trình

Với điều kiện trên thì

Đặt ,

Phương trình (**) trở thành có nghiệm


LTĐH & Bồi Dưỡng KT PT 75/14 B Nguyễn Thị Minh Khai - NTĐiều kiện trên được thỏa khi

Tìm m để phương trình có nghiệm

Lời giảiĐiều kiện xác định của phương trình

Đặt

Phương trình trở thành

Phương trình có nghiệm khi

Ta có:



Chuyen de-tinh-don-dieu-cua-ham-so

Documents

Transcript of Chuyen de-tinh-don-dieu-cua-ham-so