振動分析及實驗技術應用簡介

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國立屏東科技大學機械工程系振動與噪音研究室作者：王木百村

振動分析及實驗技術應用簡介

國立屏東科技大學機械工程系暨研究所

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E-mail: [email protected]

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王木百村

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摘要

電腦輔助工程分析

實驗模態分析振動學

車輛動力學

自行車及其零組件設計測試評估

整車

車架

前叉

把手及把手座

曲柄

避震器

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大綱● 一、工程設計與分析概述● 二、振動問題解析

▓ 2-1 振動問題解析流程▓ 2-2 振動分析類型

▲ 2-2-1 模態分析▲ 2-2-2 簡諧響應分析▲ 2-2-3 暫態響應分析▲ 2-2-4 頻譜分析

▓ 2-3 振動系統▓ 2-4 振動數學模型化步驟

● 三、應用 CAE 軟體之工程分析▓ 3-1 有限元素分析重要名詞▓ 3-2 有限元素分析應用步驟▓ 3-3 應用 CAE 軟體之步驟

● 四、振動實驗量測分析▓ 4-1 信號分析及系統分析▓ 4-2 振動理論模態分析與實

驗模態分析▓ 4-3 實驗模態分析之應用

▲ 4-3-1 模型驗證▲ 4-3-2 響應預測▲ 4-3-3 模型變更▲ 4-3-4 外力測定▲ 4-3-5 次結構分析或組

合分析▲ 4-3-6 健康監測或破壞

檢測● 五、車輛行駛品質特性分析● 六、實例應用分析

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一、工程設計與分析概述● 工程設計與分析，涵蓋了造型設計（或工業設計）、運動力學分

析（機構學或動力學）、靜力分析及動力分析等，以圖 1-1 力學問題之分野來界定說明其間之關係。▓ 造型設計 (Styling design) 或工業設計，產品或元件之設計不

考慮有外力之作用，也沒有運動情形，通常僅就功能上及外觀上做產品之尺寸、造型、感觀設計，典型之例子，如傢俱造型、流線型、顏色選用等。

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一、工程設計與分析概述 ( 續 )● 當忽略外力作用之效應，純粹探討機械元件之運動狀態，一般稱

為機動學或機構學 (Kinematics) ，主要在瞭解機械元件、系統之運動情形，通常假設物體為剛體 (rigid body) ，以瞭解物體之位移 (displacement) 、速度 (velocity) 及加速度計 (acceleration) 隨時間變化之物體運動狀態，對組合之系統常須考慮是否有干涉(interference) 或是考慮餘隙 (clearance) 。典型之機構運動分析問題，如四連桿組 (four-bar linkage) ，引擎活塞運動等。

● 靜力學 (statics) 係假設物體結構受到穩定的外力負荷 (steady-state force) ，而物體沒有運動之行為，探討物體因外力負荷而變形 (deformation) 之狀態，以及瞭解物體結構受負荷之應變(strain) 及應力 (stress) 狀態，以設計使得物體結構在承受靜態負荷 (static loads) 時，不會產生破壞 (failure) 導致結構體之失效或失能 (malfunction) ，一般考慮結構體為彈性體 (flexible) ，可探討彈性 (elastic) 或塑性 (plastic) 變形效應。

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一、工程設計與分析概述 ( 續 )

● 動力學 (dynamics) 簡言之是探討物體受外力作用後，物體之運動狀態情形，可分別考慮物體為剛體或彈性體，分析了解結構體之位移或變形速度，加速度之運動狀態，也可進一步了解結構所呈現之變動應力狀態。廣義之動力學問題也涵蓋了結構振動學，結構噪音等相關問題。

● 就工程設計流程，依以上之力學問題分類，進行步驟及層次可概分如下：▓ 1. 造形設計▓ 2. 運動分析設計▓ 3. 靜力分析設計▓ 4. 動態分析設計

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一、工程設計與分析概述 ( 續 )● 以一引擎活塞連桿系統之設計為例，綜合各階段之設計步驟如下：

▓ 1. 造形設計：可針對空間，所要求功能進行，形狀、尺寸之概略設計。

▓ 2. 運動分析設計：就完成之活塞連桿造形，依引擎運轉條件，進行位移、速度及加速度分析，以了其運動狀態。

▓ 3. 靜力分析設計：考慮在額定引擎負荷條件下，活塞或連桿所承受靜力負荷，進行靜力破壞分折探討，以作必要之形狀尺寸變更設計。

▓ 4. 動力分析設計：對活塞連桿系統之結構振動行為做分析探討，以避免可能之共振，或疲勞破壞等問題。

● 當然，工程設計分析，需考慮之因素相當多也相當複雜各影響因素，對各階段之設計，往往都有交互影響，尤需工程人對各設計層次之了解。本書目標則著重在動態分析設計層次。

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二、振動問題解析● 一結構體除了受到靜態負荷 (static loads) ，也就是不隨時間

變化之外力作用外，常常也會受到變動性的負荷之狀況，因此結構之動態分析也就異常需要。

● 結構之動態分析通常是振動問題之解析，幾乎任何的結構系統都有振動之產生▓ 諸如汽車、飛機、橋樑、建築物、工具機、管路系統等▓ 只要是會動的機器或元件都需要考慮結構振動之響應▓ 元件小至如電腦內部之 IC 元件，大至建築物，上至天

空之飛機、太空中之衛星▓ 地面之汽車、火車，海上之輪船、潛艇，工廠之機器，甚至一般家電用品

▓ 一般家電用品，在產品設計過程均需考慮結構振動特性或振動響應之影響

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二、振動問題解析（續）● 本節即在對振動問題解析系統作一概括之說明，

▓ 2-1 振動問題解析流程▓ 2-2 振動分析類型

▲ 2-2-1 模態分析▲ 2-2-2 簡諧響應分析▲ 2-2-3 暫態響應分析▲ 2-2-4 頻譜分析

▓ 2-3 振動系統▲ 離散系統▲ 連續系統

▓ 2-4 振動數學模型化步驟

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2-1 振動問題解析流程1. 工程問題描述。2. 定義問題及擬定分析目標。3.建構數學模型。4. 分析。5. 結果評估與討論。6.報告。

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2-1 振動問題解析流程（續）●1. 工程問題描述：

▓ 假設有一質塊 (m) 以一彈簧 (k) 連接於地如圖 9-1(a) ，在質塊受外力 f(t) 作用，欲瞭解質塊隨時間變化之位移反應情形。

k

m

txtf

)()(

k

m

txtf

)()(

c k

m

txtf

)()(

h

(a)無阻尼 (b)黏滯阻尼 (c)結構阻尼單自由度數學模式

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2-1 振動問題解析流程（續）●2. 定義問題及擬定分析目標：

▓ 明確之問題定義必須瞭解結構之形狀、尺寸、材料及其阻尼形式，結構之邊界條件、初始條件、受負荷之外力形式等。

▓ 典型之振動問題分析目標有四種▲ 1. 模態分析：旨在求得系統之模態參數：包括自然

頻率 ( ) 、模態阻尼 ( ) 、模態振型 ( ) ，也就是透過分析了解系統之特性，如圖 9-2(a)

▲ 2. 簡諧響應分析：也在了解系統之特性，但是乃在求得系統之輸出與輸入間之頻率響應函數，通常應用在簡諧外力作用之系統響應分析，如圖 9-2(b) 。其中頻率響應數為

n n }{ n

)(

)()(

F

XH

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2-1 振動問題解析流程（續）● 2. 定義問題及擬定分析目標：

▲ 3. 暫態響應分析：在已知系統特性以及輸入條件下，求解系統之輸出在時間域之響應，如圖 9-2(c)。

▲ 4. 頻譜響應分析：在進行如圖 9-2(d) 之能量頻譜密度函數分析，通常適用在隨機外力激振狀況。也就是在已知系統特性以及輸入條件下，但在求系統之輸出在頻率域之響應。

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2-1 振動問題解析流程（續）

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2-1 振動問題解析流程（續）● 3.建構數學模型：需考慮幾項因素：

▓ 所擬採用之系統數學模型之特性：▲ 離散系統 (discrete system) ：包括單自由度系統及多自由度系統。

▲ 連續系統 (continuous system) ：如弦、線、柱、軸、樑、板、殼等。

▓ 所採用之阻尼模型：▲ 無阻尼（如圖 9-1(a)）。▲ 黏滯阻尼（如圖 9-1(b)）。▲ 結構阻尼（如圖 9-1(c)）。

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2-1 振動問題解析流程（續）● 4. 分析：在此分析指理論分析，最常見之分析方法有理論

分析及有限元素分析，分別說明如下：▓ 理論分析：首先必須依定義之數學模型推導運動方程式，再進行求解之步驟。▲ 推導運動方程式：如牛頓第二定律、拉格蘭日式

(Lagrange’s Equation) 等。▲ 求解：通常包括：常微分方程式解析、特徵值問題、拉氏轉換、數值積分等解析或半解析方法。

▓ 有限元素分析：主要步驟如下。▲ 依所定義之數學模型，建立有限元素模型 (finite

element model)。▲ 應用軟體、求解有限元素模型之解析結果。

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2-1 振動問題解析流程（續）● 5. 結果評估與討論：在此步驟應評估下列事項。

▓ (1) 問題定義是否明確？▓ (2) 分析目標是否合宜，且是否能解決所描述工程問題？▓ (3) 數學模型化過程是否合理？▓ (4) 分析過程是否正確？▓ (5) 所分析結果是否正確、合理？

● 6.報告：書面及口頭報告

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2-2 振動分析類型● 分析目標主要有四種分析類型

▓ 1. 模態分析。▓ 2. 簡諧響應分析。▓ 3. 暫態響應分析。▓ 4. 頻譜分析。

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2-2-1 模態分析● 模態分析 (modal analysis) 之目的，主要在求解系統之自然

頻率 (natural frequency) 及模態振型 (mode shape) ，概稱之為模態參數 (modal parameters)。

● 任意結構系統當有固定之材料及形狀尺寸，以及既有之邊界條件，則模態參數為唯一的、不變的，可視為系統之特性。▓ 如同一材料其密度、楊氏係數等材料性質，不論製作成何種形狀結構，材料性質均為相同

● 因此獲得結構系統之模態參數，對產品設計過程是相當重要的步驟。

● 同時在後續如簡諧響應、暫態響應及頻譜響應分析均需要系統模態參數資訊，才可做進一步之分析。

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2-2-1 模態分析● 瞭解系統模態參數，對產品設計時之考慮

▓ 最常見的例子就是避免作用於系統之外力激振頻率與系統之自然頻率相同或是接近，而造成共振 (resonance) 效應，使得結構系統響應過大而產生破壞。

● 結構系統之振動效應時常是造成疲勞破壞 (fatigue failure) 的原因▓ 瞭解系統之自然頻率及模態振型為進一步做疲勞分析不

可或缺之資訊。● 模態振型可顯現一結構系統受外力激振而產生之變形狀態，甚至得該振動模態 (mode of vibration) 之受應力狀況，▓ 可提供對產品設計時，結構補強或減少重量等變更設計

時之重要資訊。

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2-2-1 模態分析● 一結構系統之振動模態或稱自然模態 (natural mode) ，意指

其自然頻率及模態振型。● 自然頻率與模態振型為成對出現，一般系統有 n個自由度

就有 n個振動模態，也就是有 n 對之自然頻率及模態振型。● 通常較低頻率之振動模態為設計過程特別需注意，換言之

系統之前數個模態參數通常為分析之重點。● 就理論上而言，一般結構均為連續系統，具有無限多個自由度，也就是具有無限多個振動模態。

● 在有限元素分析中，結構系統已被分割成諸多元素之組成，即連續系統已自動變成了離散系統之多自由度系統。因此，在模態分析只可得到有限個振動模態。

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2-2-2 簡諧響應分析● 所謂簡諧響應 (harmonic response) 分析是探討結構系統受一

簡諧外力激振時之系統響應分析。就一線性振動系統受一簡諧外力作用有如下之特性：▓ 1.該系統之振動響應，包括了暫態響應 (transient

response) 及穩態響應 (steady state response)。▲ 暫態響應會隨時間之增加而逐漸消失，而穩態響應則不隨時間變化而呈現週期性之簡諧響應。

▓ 2. 一系統受簡諧激振 (harmonic excitation) 其穩態響應也必為簡諧響應。

▓ 3. 簡諧函數包括了，及，，單位為 rad/sec， f 單位為 Hz ，稱為簡諧頻率 (harmonic frequency)。

tie tsin tcos f 2

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2-2-2 簡諧響應分析● 以一單自由度振動系統受簡諧激振如圖 9-9 所示為例，通常

工程分析所欲瞭解的是，在已知系統參數 m、 c、 k 及外力激振之頻率及振幅 F

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2-2-2 簡諧響應分析● 求得位移響應振幅 X 及相位角，簡諧響應分析即在提供輸入與輸出間之關係，即系統之資訊，可以以下式表示：

● 通常描述系統以頻率響應函數 (Frequency Response Function)表示，一典型的單自由度系統之頻率響應如圖 9-10

▓ 簡諧響應分析旨在求得如圖 9-10 之頻率響應函數曲線圖，以供產品設計階段之評估。

● 通常設計之考慮在如何避免共振、疲勞破壞，或是其他如位移或速度、加速度響應是否超出規範之額定範圍。

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2-2-2 簡諧響應分析

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2-2-2 簡諧響應分析● 簡諧響應分析亦可針對在某一頻率之簡諧激振，求得結構

系統之變形，亦即簡諧響應變形，此稱為系統在簡諧激振下之操作變形振型 (operational deflection shape, ODS)。

● 由於諸多機器或元件通常於固定作業狀況下運轉，亦即於某固定轉速 rpm 下運轉，▓ 此轉速對應之頻率 f=rpm/60 (Hz) ，也就是振動源或輸入源為簡諧激振，則系統之輸出亦呈簡諧響應，

● 由操作變形振型可了解機器結構於作業狀態下之振動情形，有助於結構之設計考慮，

● 因此求得系統之操作變形振型也是常見主要的振動分析目標之一。

● 簡諧響應分析旨在求得如圖 9-10 之頻率響應函數曲線圖，以供產品設計階段之評估。

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2-2-3 暫態響應分析● 模態分析在求得模態參數，而簡諧嚮應分析在求得系統之

頻率嚮應函數。● 暫態嚮應分析 (transient response)旨在求得結構系統在受外

力負荷或其他條件激振下之時間域嚮應，也就是要了解結構系統受輸入參數後，系統隨時間變化之情形。

● 此類型問題通常是在已知負荷為時間之函數，擬求得如系統之位移在時間域的嚮應，有助了解結構系統受變動負荷後，系統實際之運動狀態。

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2-2-4 頻譜嚮應分析● 相對於暫態嚮應分析是時間域嚮應之解析，則頻譜嚮應

(spectrum response) 分析是頻譜域嚮應之解析。● 往往如地震、風力、海洋波動、噴射引擎推動力等外力激

振源為隨機 (random) 信號型式，很難在時間域描述其外力型式，或寫出外力之數學函數，

● 因此解析此種隨機外力激振之結構振動問題，常藉助時間域與頻率域之轉換，係基於傅立葉轉換 (Fourier transform)之理論基礎

● 在假設系統之頻率嚮應數為已知，以及外力之時間域分佈可轉換為頻率域之外力函數，則可求得結構系統之位移（或速度、加速度）之頻率域嚮應。

)(H

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2-2-4 頻譜嚮應分析● 以一單自由度振動系統為例，如圖 9-2(d) 解析步驟說明如

下： ▓ 1. 對取傅立葉轉換得。▓ 2.由求得位移嚮應頻率域函

數。▓ 3. 對取反傅立葉轉換 (inverse Fourier transform)

得。● 若為隨機信號型式，可以將表示成頻譜密度函

數，由下式可求得位移之頻譜密度函數：

)(tf )(F

)()()( HFX

)(X )(tx

)(tf )(tf )(ffG

)(xxG

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2-2-4 頻譜嚮應分析● 典型之頻譜嚮應分析的應用問題舉例如下：

▓ 1.汽車行駛於不規則路面之車體振動嚮應分析。▓ 2.建築物受地震波激振時之結構體嚮應分析。▓ 3.噴射機、火箭或飛彈在飛行中由燃料燃燒之噴射推力

所造成之結構體嚮應分析。▓ 4.任意受測試產品或元件，如 PC板、筆記型電腦，甚至冷氣機等家電用品，置於振動測試台，以隨機信號激振之模擬分析。

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2-3 振動系統● 在結構振動問題之解析流程，系統之數學模型化

(mathematical modeling) 是關鍵之步驟，● 首先必須了解振動系統之類型及其分析理念與解析技巧，● 本節將分別對

▓ 離散系統 (discrete system)

▲ 單自由度系統▲ 多自由度系統，

▓ 一般化連續系統 (continuous system)

● 就各種分析類型作說明。

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2-3 振動系統

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2-3 振動系統

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2-4 振動問題之數學模型化步驟● 以建構離散系統之數學模型為例，其數學模型化 (mathematical

modeling) 步驟如下：▓ (1) 定義系統之質塊元件：典型之質塊元件如圖 1-4 所示，包括：質中質塊 (concentrated mass) ，剛性細長型質塊(rigid slender bar) ，剛性薄平板及剛性圓盤 (rigid disc) 所需要之基本物理性質包括質量大小，質量慣性矩 (mass moment of inertia)亦如圖 1-4 。

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2-4 振動問題之數學模型化步驟 ( 續 )

▓ (2) 定義系統之連接元件：典型之連接元件，包括線性彈簧元件，及阻尼元件主要應用在質塊間之連結。▲ 典型之線性彈簧元件如圖 1-5(a) ，其特性曲線如圖 1-5(b) ，

k 為彈簧常數，彈簧力與彈簧變形位移量 x 成正比，即。 sF

kxFs

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▲ 典型之線性黏滯阻尼元件，如圖 1-6(a) ，其特性曲線如圖 1-6(b)， c 為黏滯阻尼係數，阻尼力與阻尼元件之變形速度成正比，即。

▲ 典型之線性結構阻尼元件，如圖 1-7(a) ，其特性曲線如圖 1-7(b)， h 為結構阻尼係數，阻尼力與阻尼元件之變形速度成正比，即。

dFx xcFd

dFix ihxFd

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▓ (3) 定義系統之自由度：一質點之自由度通常有三個方向位移 x,y,z 及三個方向旋轉自由度，如圖 1-8所示。在此步驟需依實際問題對質塊元件，明確定義有興趣之自由度及總數目。

zyx ,,

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▓ 典型之自由度定義範例如下說明：▲ 集中質塊：如圖 1-9(a)、 (b)均為集中質塊系統，圖 1-

9(a) 僅需定義一個自由度，而圖 1-9(b)則需兩個自由度，因 x及 y方向均有彈簧連接集中質塊。

▲ 剛性長形質塊：如圖 1-9(c)需定義兩個自由度，以能明確敘述該長形質塊之運動狀態，而圖 1-9(d) 因在水平方向有彈簧，故需多定義水平方向之自由度。

▲ 剛性薄平板：如圖 1-9(e)需定義三個自由度，以能明確敘述該平板之運動狀態，而圖 1-9(f) 因在水平方向有彈簧，故需多定義水平方向之自由度。

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▓ (4) 定義系統之邊界條件：以圖 1-2(b) 之單自由度系統為例，底部為固定端，質塊可自由垂直振動。

▓ (5) 定義系統之初始條件：以圖 1-2(b) 之單自由度系統為例，需分別定義初始位移及初始速度，、。

▓ (6) 定義系統之輸入條件：典型之輸入條件為外力負荷及位移兩種，以圖 1-2(b) 之單自由度系統為例，其輸入條件為。

0)0( xx 0)0( vx

)(tf

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三、應用 CAE 軟體之工程分析● 電腦輔助工程分析 (Computer Aided Engineering, CAE) 軟體，

要正確的、有效的應用有限元素分析軟體從事工程分析之主要步驟說明如下：▓ 1. 問題描述▓ 2. 定義實際問題與分析目標▓ 3.架構數學模式▓ 4.架構理念有限元素模型▓ 5. 應用軟體進行分析▓ 6. 結果解釋與評估▓ 7.製作報告

● 讀者須注意的是，以上步驟不論採用何種商業套裝軟體，步驟 1~4 ，是必須的、是相同的，當完成了理念有限元素模型，則可進入步驟 5（ CAE 軟體應用），

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3-1 有限元素分析重要名詞● 元素

▓ 依據不同形式的結構，如桁架、樑、板、柱、殼等，以及結構體之特性，可架構不同形式的元素，以適用於各種類型的結構。

▓ 不論何種形式之元素，每一個元素係由若干節點所組成▓ 元素之定義須說明元素形狀、節點位置及數目，和每一節點之自由度。

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3-1 有限元素分析重要名詞● 節點

▓ 依據不同形式的元素，節點可有下列形式：▲ （ 1 ）角節點 (corner node)

▲ （ 2 ）邊節點 (side node)

▲ （ 3 ）面節點 (face node)

▲ （ 4 ）體內節點 (body node)

▓ 每一個節點都必須定義其自由度。● 自由度：在力學分析，以直角座標系為例，一個節點可有 3個方向位移及 3個方向角位移，如圖 1-2 所示。

u

v

w

z

x

y

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3-1 有限元素分析重要名詞：元素種類● 1. 線形元素：

▓ 如桁架 (truss) 元素、樑 (beam) 元素，介面 (interface) 或接觸 (contact) 元素，依應用場合又可概分為，一維(one-dimensional) 、二維或平面、及三維或立體之線形元素

一維桁架元素樑元素接觸元素

x

x二維y

三維

xy

z

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元素種類（續）● 2.平面型元素：

▓ 依形狀可分為三角形 (triangle) 及四邊形 (quadrilateral)元素，常見之平面型元素如圖 1-4 。

▓ 在此值得注意的是，儘管形狀相同之平面型元素，可以有不同數目及不同位置之節點定義。節點可座落於角頂點、邊點及平面之中間點如圖 1-4 。

▓ 有關節點之自由度又依應用場合，如平面結構、板結構、殼結構角節點邊節點

面節點

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元素種類（續）● 3. 立體元素：

▓ 所有的結構可以說都是立體的，原則上任何結構都可以以立體元素作分析。

▓ 常見之立體元素，依形狀區分有角錐體 (tetrahedron) 及立方體 (hexahedron)

角節點邊節點體內節點

角節點體內節點邊節點

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3-2 有限元素分析實例應用步驟● 1. 實際問題

▓ 應由實際問題，確立問題定義及分析目標，如圖 1-6 所示一個中心孔方形板，長度 L 、寬度 L 、厚度 h ，在兩端各受夾持，承受拉伸及壓縮之往復拉力 p(t) 定義如下：

其中， F 為力之大小， f 為頻率。 ftFtp 2sin

p(t)p(t)L

h

L

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 2. 數學模式化

▓ 欲架構數學模式，須完整的描述結構之幾何形狀，負荷狀態及邊界條件。假設兩端夾持力是均勻分佈，又為薄板，可假設該板呈平面壓力 (plane stress) 狀態，其數學模式可得如圖 1-7 ，圖中均佈力 P 可得：

y

xP P

hL

FP

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 3.架構有限元素模型

▓ 由所形成如圖 1-7 之數學模型可知，該板為薄板，呈平面應力 (plane stress) 狀態，故可採用平面元素，又具中心孔之方形板幾何形狀及受負荷狀況，呈上下左右對稱，所以可只取 1/4個板架構有限元素模型 (finite element model) 如圖 1-8

▓ 在左邊及下邊分別為對稱面、水平方向及垂直方向位移必須分別為零，因此得圖 1-8 之理念有限元素模型。

▓ 欲完整之架構有限元素模型，應該選擇適當元素形式，並決定結構分割元素大小，有關元素之選擇，及如何決定元素之大小，將在爾後說明，在此選擇「線性平面四邊形元素」，採自由分割 (free mesh) 模式可得到有限元素分析模型如圖 1-9 。

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 3.架構有限元素模型

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 4. 求解

▓ 有限元素分析之求解過程都不簡單，然而由於有限元素分析套裝軟體之普遍性，不論繪圖能力、求解速度，均適用於各種問題，

▓ 因此假設套裝軟體可依所架構之有限元素模型求得其正確解，應注意的是此「正確解」，乃是該有限元素模型之「正確解」，不代表是數學模型的「正確解」，也不代表是實際問題之「正確解」。

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 5. 解釋說明分析結果

(a) 位移變形圖 (b) x方向正向應力分佈圖

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 5. 解釋說明分析結果

(c) von Mises 應力分佈圖 (d) 最大主應力分佈圖

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3-2 有限元素分析實例應用步驟（續）● 6.評估 : 在此評估階段應考慮：

▓ (1) 數學模式化之過程是否合理？▓ (2) 理念有限元素模型是否正確？▓ (3) 所架構之實際有限元素模型是否吻合理念有限元素

模型？▓ (4)該有限元素模型之解是否夠精確 ? 是否要進行收斂

性分析？▓ (5) 所得之解是否吻合實際問題之物理現象？是否合乎

分析目標之要求？▓ (6) 所得之解與其他分析之比較驗証，正確性如何？

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3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 電腦輔助工程分析 (Computer Aided Engineering, CAE) 軟體，要正確的、有效的應用有限元素分析軟體從事工程分析之主要步驟說明如下：▓ 1. 問題描述▓ 2. 定義實際問題與分析目標▓ 3.架構數學模式▓ 4.架構理念有限元素模型▓ 5. 應用軟體進行分析▓ 6. 結果解釋與評估▓ 7.製作報告

● 以上步驟在前節已有說明，讀者須注意的是，不論採用何種商業套裝軟體，步驟 1~4 ，是必須的、是相同的，當完成了理念有限元素模型，則可進入步驟 5（ CAE 軟體應用），本節將著重在說明步驟 5

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3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 1.前處理 (preprocessing)

▓ 此步驟在對已完成架構之理念有限元素模型，實際進行建立工作，主要工作項目：▲ (a) 定義所擬使用之元素形式▲ (b) 定義元素所需之材料性質▲ (c) 定義元素所需之幾何性質▲ (d)建構實際結構之有限元素模型分割

▓ 其中，欲建立有限元素模型分割之方法，主要有兩種方法 [1.18] ：▲ (a)直接架構法 (direct generation)

▲ (b) 實體模型架構法 (solid modeling)

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3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 直接架構法，首先須定義節點之座標位置，再定義一個元

素由那些節點所組成，定義節點及元素除了直接定義外，一般軟體提供複製的功能，可快速的定義出有限元素模型之分割。此法一般適用於簡單形狀之有限元素模型，分析人員必須先有詳細的元素與節點座標位置之規劃，直接架構法之架構流程如圖 1-17 。

1 2

(1)直接定義節點

1

3 4

2

(2)複製節點

1

1

3 4

2

(3)直接定義元素

1

2

3

(4)複製元素 (5)再複製元素

1

1 ：代表節點 ¢°

：代表元素 ¢°

59


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 實體模型架構方法，

▓ I.首先建構幾何模型 (geometry model) ，應注意的是此幾何模型僅為輔助便於架構有限元素模型之分割，兩種繪圖建構幾何模型的方式▲ 由下而上 (bottom-up)

▲ 由上而下 (top-down)

▓ II.接著要定義結構之有限元素模型的元素分割尺寸控制(mesh control)

▓ III.最後再進行分割 (meshing) 的動作，以得到所需要之有限元素模型及其元素分割

60


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● A. 由下而上的方式

▓ 乃定義點 (point) 之座標，再定義由點連成線 (line) 或弧(arc) ，再定義由數個線組成面 (area) ，最後由數個面可定義體積 (volume) 。分析人員可依步驟 4 所定義之有限元素模型，繪製其外形，由下而上之架構實例示意圖如圖 1-18 。

● B. 由上而下的方式▓ 係先定義產生固定之幾何形狀，如矩形、圓形、立方體、球體、圓柱等，一般稱為初始元件 (primitive) ，或以所謂表面模型法 (surface modeling) ，如引伸 (dragging) 、旋轉 (rotating) 等方式產生幾何表面或物體，其次再對所建構之幾何元體進行布林運算 (Boolean operation) ，作邏輯加減運算以組合成所需之幾何模型，由上而下之架構實例如圖 1-19 。

61


● A. 由下而上的方式(1) 定義點座標 (2) 連接點成線 (3)由線

組合成面

(4)控制元素分割尺寸 (5) 進行元素分割

3-3 應用有限元素分析軟體之步驟

p1

p2

p3

p4

p5

L1

L2

L3

L4

L5

A 1

62


● B. 由上而下的方式

(4) 控制元素分割尺寸 (5) 進行元素分割

3-3 應用有限元素分析軟體之步驟

(1)產生初始元件：矩形及圓形

(2)布林運算：矩形及圓形

(3)得到所需幾何模型

63


建構幾何模型● 一般商用套裝軟體可由前述之由上而下或由下而上的方式架構幾何模型，

● 也可利用其他 CAD 軟體，繪製幾何模型，再透過圖形介面檔案，如原始圖形交換檔 (initial graphics exchange specification,IGES) ，傳入 CAE 軟體，

● IGES檔為一種文字檔 (text file) 定義了各種幾何實體形狀之標準格式，以供各種 CAD/CAM/CAE 軟體間，幾何圖形之互換與溝通，以減少重複幾何圖形之建構。

64


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 2. 求解 (solution)

▓ 當完成有限元素模型分割之架構，針對結構靜力分析為例，尚須設定位移限制及外力負荷，一般軟體提供之設定方式也有兩種，▲ 一是直接在節點或元素上設定位移限制及外力負荷；▲ 一是將位移限制及外力負荷設定在所建構之幾何模

型上不論採用何種方式，都必須正確的設定，以符合理念

有限元素模型之要求。

65


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 2. 求解 (solution)

▓ 當完成位移限制及外力負荷設定即可進行求解工作，雖然實際求解過程繁雜，對應用軟體分析之工程人員卻相當單純，不過若能了解求解過程，則對軟體實際進行那些工作，對於除錯 (debug) 有很大的幫助。

▓ 求解過程中，實際上包含了▲ 計算每個元素勁度矩陣，▲ 再求得整體結構之結構勁度矩陣，▲ 再代入所設定之位移限制及外力負荷條件，▲ 最後再求解如式 (1-82) 之聯立方程組，以得到所有節點位移及節點外力之初始結果，

▲ 以及進一步求得如應力及應變等二次結果。

66


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 3. 後處理 (post-processing)

▓ 在此階段主要在將分析結果做進一步之處理，▓ 由於分析結果一般有龐大的數據資料，有賴具有強大的繪圖功能之後處理器 (post-processor) ，對分析結果作圖形顯示及列印，以供後續分析結果之解釋評估與製作報告，

▓ 以及分析結果之再運算，取代後續之人工計算，並提供數據資料之顯示與列印。

67


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 總體而言，應用 CAE 軟體進行有限元素分析，可大大減輕

分析人員自行開發撰寫分析程式之負擔，● 但是如何正確的、有效的使用軟體，則是分析人員之責任。● 若以 CAD 軟體做比擬，許多工程人員多以自行看使用手冊

學習操作，而無師自通，關鍵在一般工程人員已有圖學或機械製圖之基礎，故可以輕易上手使用 CAD 軟體，藉助CAD 軟體之繪圖功能，畫出正確的工程圖。

● 試問如果不懂機械製圖之投影概念，就算 CAD 軟體相當熟悉，如何能繪製正確的工程圖。

● 對不了解有限元素分析流程的工程人員想要應用 CAE 軟體，就不是有操作手冊就會應用

68


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 要增進學習 CAE 軟體操作之效率及正確之使用，提出以下建議：▓ (1) 了解工程分析之步驟。▓ (2) 了解有限元素分析之應用步驟。▓ (3) 了解有限元素法之理論分析。▓ (4) 了解應用有限元素分析軟體之步驟。

● 在學習任何一種 CAE套裝軟體時，提供以下的思考模式供讀者參考與體會：▓ (1)想做什麼事，必須先學會什麼指令功能。▓ (2)想學什麼指令功能，必須先看懂什麼資料。▓ (3)想看什麼資料，必須先知道要得到什麼東西。▓ (4)想得到什麼東西，必須先做什麼事。

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3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 欲正確的、有效率的使用 CAE 軟體於工程分析，工程人員

必須：▓ (1) 了解軟體之分析能力。▓ (2) 了解軟體所提供之元素形式及相關之設定參數。▓ (3) 了解軟體架構有限元素模型的方法。▓ (4) 了解軟體建構幾何模型的方法。▓ (5) 了解軟體設定位移限制及外力負荷條件之方法。▓ (6) 了解軟體求解之方式。▓ (7) 了解軟體所提供繪圖、顯示與列印功能。▓ (8) 了解軟體後處理器之計算能力。▓ (9) 了解軟體與硬體如印表機、繪圖機、電腦等之搭配

能力。

70


3-3 應用有限元素分析軟體之步驟● 本報告目的，

▓ 不在教導讀者撰寫發展有限元素分析程式，▓ 也不在教導讀者使用某一種 CAE套裝軟體，▓ 更不是軟體之使用手冊或指令介紹說明，▓ 乃假設讀者已有任一種 CAE套裝軟體，▓ 在教導讀者如何正確的有效率的應用 CAE套裝軟體；▓ 就 CAE 軟體應用之角度，使讀者具備基本之有限元素

分析概念與基礎知識，▓ 如同前述之「圖學」之於 CAD 軟體，而「本報告」之於 CAE 軟體。

71


四、振動實驗量測分析● 4-1 信號分析 (signal analysis) 及系統分析 (system analysis)

● 4-2 振動理論模態分析 (Theoretical Modal Analysis) 與實驗模態分析 (Experimental Modal Analysis)

● 4-3 實驗模態分析之應用▓ 4-3-1 模型驗證 (model verification)▓ 4-3-2 響應預測 (response prediction)▓ 4-3-3 模型變更 (model modification)▓ 4-3-4 外力測定 (force determination)▓ 4-3-5 次結構分析 (substructuring analysis) 或組合分析

(coupling analysis)▓ 4-3-6 健康監測 (health monitoring) 或破壞檢測 (damage

detection)

72


4-1 信號分析 (signal analysis) 及系統分析(system analysis)

振動問題之實驗量測分析可概分成兩大方向：● 1. 信號分析 (signal analysis)：

▓ 以圖 1-11 典型的系統方塊圖 (system block diagram) 作說明，信號分析係針對所量測之輸出響應 (response) 以了解此輸出信號之特性，以作為其他之工程應用。

▓ 典型之信號分析如振動位準 (vibration level) 、噪音位準(sound level) ，操作變形模態 (operational deflection shape, ODS) ，振動強度 (vibration intensity) ，聲音強度 (sound intensity) ，溫度等。

▓ 信號分析不在了解輸入狀態或系統之內涵，而在由適當的輸出響應來了解在未知之輸入時的系統狀態。

73


4-1 信號分析 (signal analysis) 及系統分析(system analysis)( 續 )

● 2. 系統分析 (system analysis)

▓ 系統分析之目的則在了解系統的內涵，而系統之內涵可以由三個層次說明如下：▲ (1) 物理域形式：如圖 1-12(a) 為對應於圖 1-2(b)單自由度振動系統之物理域形式系統方塊圖。◆ 其中 m、 c及 k 為系統之內涵，分別代表質塊、阻尼及彈簧元件，也是可度量代表系統內涵之物理量，亦即質量、阻尼係數及彈簧常數。

74



75



◆ 而典型之輸入物理量為外力 f(t) ，而輸出物理量為系統質塊之位移響應 x(t)。

◆ 若為線性系統，則此系統內涵包括質量、阻尼係數及彈簧常數，並不會因輸入量之大小不同而有所改變。

▲ (2) 模態域形式：如圖 1-12(b) 為對應於圖 1-2(b)單自由度振動系統之模態域形式系統方塊圖。◆ 其中為自然頻率及為阻尼比，分別為此單自由度振動系統之模態參數，代表此系統模態域之內涵。

◆ 若系統為多自由度系統或連續系統則模態振型亦為系統內涵，同樣此模態參數之系統內涵為系統之固有特性不會因輸入之不同而變化。

n

n

76



◆ 任意一個結構系統皆有其固有之振動自然模態(natural modes of vibration) ，每一個振動自然模態皆有其對應之模態參數 (modal parameter) 。

◆ 模態參數包括自然頻率 (natural frequency) ，阻尼比 (damping ratio) 及模態振型 (mode shape) 。

◆ 模態參數為一結構系統之固有性質，只要材料、形狀、尺寸、邊界條件不變下，不會因受力或其他外部干擾而有所改變。

◆ 「結構系統」之「模態參數」就如同一種「材料」之「密度」、「楊氏係數」等材料性質，材料性質不會因製作成不同形狀、尺寸而改變其密度及楊氏係數。

77



▲ (3) 頻率域形式：如圖 1-12(c) 所示為對應於圖 1-2(b)單自由度振動系統之頻率域形式系統方塊圖，◆ 其中為頻率響應函數，當輸入為外力形式

時，輸出為系統位移時，此頻率響應函數代表輸入與輸出之關係，

◆ 在控制領域通稱為轉移函數 (transfer function) ，在振動分析上，則通稱為頻率響應函數 (frequency response function, FRF) 也代表系統內涵。

◆ 頻率響應函數實際上是系統物理參數或模態參數之函數，也就是在求得輸入與輸出間之關係，可表示如下：

輸入輸出

系統內涵

)(H

78


4-2 振動理論模態分析與實驗模態分析振動之理論分析步驟可綜合如圖 1-13 ，說明如下：● 1. 數學模型化：由實際結構如圖 1-13 ，經數學模型化若假設

為黏滯阻尼彈簧，則可得到系統之以物理參數表示之數學模型亦如圖 1-13 。

● 2.推導運動方程式：可表示成物理參數形式之運動方程式如下：

● 3. 理論模態分析：對上式全式除以 m 及變數代換，可將物理參數運動方程式改寫成模態參數形式之運動方程式如下，

其中，

)(tfkxxcxm

)(2 2 tNqqq nn

m

kn

cc

c mkmc nc 22 )()( txtq

m

tftN

)()(

79


4-2 振動理論模態分析與實驗模態分析( 續 )

、如前述為此系統之模態參數，為臨界阻尼係數(critical damping coefficient) ，對應於物理座標 (physical coordinate) ，稱之為模態座標 (modal coordinate) ，而對應於物理外力

(physical force) ，稱之為模態外力 (modal force)。● 4. 模態域數學模型：由模態參數形式之運動方程式可畫出對應於

模態參數數學方程式之模態域數學模型，亦如圖 1-13 。● 5. 簡諧響應分析：令外力為簡諧激振力 (harmonic excitation

force) ，即，則，代入運動方程式可求得系統之頻率響應函數如下，

● 由上式可知頻率響應函數可表示為物理參數或模態參數之函數形式，而且與簡諧激振頻率相關。

n cc

)(tx)(tq

tiFetf )( tiXetx )(

)2()(

1

)()(

1)(

222

nn im

cimkF

XH

80



81



● 6. 暫態響應分析：若已知輸入條件，初始條件，，以及系統內涵，亦即物理參數及模態參數等資訊，則可求得系統時間域輸出響應如下。

其中，

● 為阻尼自然頻率 (damped natural frequency) ，為該系統之單位脈衝響應函數 (unit impulse response function)， A、 B 為任意常數由初始條件決定。

)(tf 0)0( xx

0)0( vx

t

ddt dthtftBtAetx n

0)()()sincos()(

21 nd

tem

th dt

d

n

sin1

)(

d )(th

82



● 7. 頻譜響應分析：若已知輸入條件之頻率域內涵，可表示成頻譜密度函數 (power spectral density function, PSD function)，以及已知系統內涵之頻率響應函數，則可經由頻譜響應分析求得系統輸出之頻率域響應如下，

其中，為物理座標之頻譜密度函數。● 以上振動系統之理論分析將於第三章有深入之探討，在此讀者應著重於瞭解振動理論分析之流程。

● 實驗模態分析 (Experimental Modal Analysis) 或實驗模態測試(Experimental Modal Testing) ，最主要目的在發展具體之方法步驟及實驗量測方式，以求得實際結構之數學模型，可表示成模態參數之數學模型或表示成物理參數之數學模型。

)(ffG

)(H

)()()(2 ffxx GHG

)(xxG )(tx

83



● 若以圖 1-13 之振動理論分析來看，理論分析係由上往下，而實驗模態分析之步驟基本上係由下往上，更具體之實驗模態分析步驟如圖 1-14 ，分成四個階段說明如下：

84



● 1. 量測階段：▓ 必須具備適當之量測儀器，以量測得輸入及輸出響應，並

應有適當之量測技術以確保量測品質及其正確性。▓ 典型之輸入為外力，以力轉換器 (force transducer) 量測，

而結構輸出響應典型之感測器 (sensor) 為加速度計(accelerometer) 。

▓ 有關儀器介紹及其校正、使用方法等將在第四章探討。● 2. 信號處理階段：

▓ 對已量得之輸入及輸出信號之時間域響應，通常需進行濾波 (filtering) 、取樣 (sampling) 、數位至類比轉換 (A/D converting) 、加權 (weighting) 、快速傅立葉轉換 (fast Fourier Transform, FFT) 等信號處理過程，以獲得圖示之各種函數，

85



▓ 其中最重要的是頻率響應函數，有關信號處理及分析技術將在第三章探討。

● 3. 模態參數擷取階段：▓ 由前階段已量測可得到系統內涵之頻率響應函數，透過各種曲線嵌合 (curve fitting) 技術或稱模態參數擷取方法(modal parameter extraction method) ，可以求得表示系統內涵之模態參數，亦即可得到模態參數形式表示之數學模型。有關模態參數擷取方法將在第五章探討。

● 4.資料分析階段：▓ 經適當之分析過程，可由模態參數形式之數學模型，求得

物理參數形式之數學模型，再作為其他後續應用之分析。

)(H

86



● 在此應注意與體認的是，進行實驗模態分析通常都有其必要之應用目的與需求，此點在 1-5節再作概念性說明，而第六章將有詳細討論。

● 實驗模態分析可說為是一項應用工具，如同有限元素分析是一項應用工具，兩者分析通常相輔相成。

87


4-3 實驗模態分析之應用● 實驗模態分析是一項實驗之分析方法，主要在求得系統內涵，

就 1-3節所述三個層次之系統內涵，及配合 1-4節實驗模態分析步驟，實驗模態分析有三項主要工作：▓ 1. 得到頻率響應函數之系統內涵：藉由實驗量測及信號處

理及分析技術可得之。▓ 2. 得到模態參數之系統內涵：藉由模態參數擷取方法對頻率響應函數進行分析處理可得之。

▓ 3. 得到物理參數之系統內涵：藉由適當之數據分析技術可由系統之模態參數得到系統之物理參數。

88


4-3-1 模型驗證 (model verification)

● 在 1-4節如圖 1-13 之流程圖，已知振動理論分析係由上而下，而實驗模態分析則由下而上，

● 在圖 1-13 之模態參數形式表示之數學模型為上下交會處，如圖 1-13陰影部分，通常以代表系統內涵之模態參數作為理論數學模型與實驗模態分析對實際結構測試結果作比較驗證，以求得可正確模擬實際結構之數學模型。

● 因此，模型驗證之主要目的，在確認理論數學模型之合理性、正確性，使足以得到代表實際結構之等效分析模型 (analytical model)。

● 由於工程上之實際結構往往相當複雜，通常不容易以理論解析方式得到數學模型，典型之數值解析方法如有限元素分析，即為常採用之解析方法。

89


4-3-1 模型驗證 (model verification)( 續 )

● 若以採用有限元素法建構理論分析模式，擬與實驗模態分析相互驗證，其分析流程如圖 1-15 所示，

● 由於實驗模態分析乃以實際結構作分析，因此驗證時以實驗模態分析的結果作為比較之基準，在有限元素分析中需進行收斂性分析以確認有限元素分析模型本身之正確性。

● 再就系統內涵與實驗模態分析結果進行比較驗證，若不符合則以修正材料性質或適當之邊界條件為主，因為結構之幾何形狀通常可由分析模型明確定義。

● 當完成模型驗證，亦即確認了理論分析數學模型之正確性，則可進行後續之其他應用，如響應預測、模型修整、外力估測等其他應用，

● 可以以理論數學模型進行模擬分析，可大大減少實驗耗費之人力、物力及時間，並可縮短工程設計開發之時程。

90


4-3-1 模型驗證 (model verification)( 續 )模型驗證開始

有限元素分析實驗模態分析

有限元素模型量取頻率響應函數

模態參數模態參數

模態分析參數估測結構修正

收斂性分析

驗證是

否

不符合符合

完成

模型修正

圖1-15、實驗模態分析結合有限元素分析之模型驗證流程圖

91


4-3-2 響應預測 (response prediction)( 續 )

● 如前節說明，當應用實驗模態分析結合如有限元素分析完成模型驗證，可得到代表實際結構系統之理論數學模型，足以代表並反應實際結構系統特性，可以假設在已知之輸入條件下，將可對系統之輸出做預測，其構想示意如圖 1-16 。

● 響應預測流程圖如圖 1-17 所示，對已存在之結構系統而言，可在控制之實驗輸入條件下，透過理論數學模型預測輸出響應，並可與實際結構之實驗量測結果作比對驗證。

92



93



● 若不相符則有必要重新對理論數學模型做模型驗證，如果驗證相符則完成響應預測，還可對各種不同輸入條件作響應預測分析，主要效益可減少實際結構之實驗量測分析。

● 對尚未存在之結構而言，可以以縮小模型方式建構代表實際結構，並實際建構縮小模型之理論數學模型。

● 分別進行模型驗證及響應預測，若得印證則代表分析方法之正確性及合理性，可一相同理論分析模式，對未存在之實體結構進行系列之響應預測模擬分析。

94


4-3-3 模型變更 (model modification)

95


4-3-3 模型變更 (model modification)( 續 )

● 模型變更流程示意如圖 1-18 ，假若在響應預測時，發現輸出響應不符設計需求，可能是響應過大會造成結構損害之虞，也可能是響應相當小代表結構可能過設計 (over design)。

● 此時可透過適當之結構修改對系統作變更設計，使得系統輸出響應在設計需求範圍內。

● 因模型變更為理論解析過程，通常必須再經一次模型驗證步驟，以確保變更設計後結構之有效性。

● 典型之設計變更驗證流程如圖 1-19 ，說明如下：▓ 1. 模型驗證：主要目的在得到對應於實體結構系統原始設計

之理論數學模型。▓ 2. 響應預測：主要目的在利用前項步驟所得到之理論數學模

型，進行原始設計之實體結構系統在各種負荷狀況或輸入條件之響應預測。

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4-3-3 模型變更 (model modification)( 續 )▓ 3. 模型變更：若前項之響應預測分析，發現原始設計之實

體結構系統不符合設計需求，主要目的在對原始結構進行變更設計，直到符合設計需求。

● 模型變更主要效益在避免重複之實際結構修正變更設計，減少所需之實驗分析及模型驗證等步驟。

● 透過模型變更之理論模擬分析，可大大減少時間、實驗、人力等變更設計成本，並加速變更設計時效。

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4-3-4 外力測定 (force determination)● 外力測定或外力預測 (force prediction) 其理念如同響應預測以圖

1-20 作說明，有了正確之理論數學模型足以代表實際結構系統特性。

● 當假設系統之輸出響應可以度量，而且為已知時，理論上輸出及系統內涵均為已知，即可求得系統之輸入。

● 外力預測為逆向工程問題之一，典型之外力預測構想如圖 1-21 ，由模型驗證已得到系統之理論數學模型。

● 假設有適當之感測器可度量結構系統受輸入負荷之輸出響應，透過外力預測模式，將可求得輸入負荷之內涵。

98


4-3-4 外力測定 (force determination)( 續 )

● 外力測定之主要效益，在已知系統及輸出響應下能預測外力大小、作用位置等輸入參數之內涵，對評估負荷狀態以及瞭解結構之安全性或健康監測均有其重要性。

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4-3-5 次結構分析 (substructuring analysis)或組合分析 (coupling analysis)

● 對某些複雜結構可能由多個元件所組成，通常不易一併作分析或測試，其可能原因是理論分析模型太複雜或太大而致無法分析。

● 或有限元素模型之建立不易，求解時間過長，又元件之接合處通常具有非線性效應不利於實驗量測分析。

● 所以採用次結構分析係將如圖 1-22 所示之整體結構 (A+B+C) 分成三個次結構 (A)、 (B)、 (C) ，分別對各個次結構進行實驗模態分析以得到模態參數之系統內涵。

● 也可混合採用有限元素分析進行理論模態分析如圖 1-22 之次結構 (B) ，當得到各個次結構之系統內涵。

● 如圖 1-22 所示之模態參數 (A)、 (B)、 (C) ，再透過組合分析技術可以得到實際整體結構之系統內涵，即模態參數 (A+B+C)。

100


4-3-5 次結構分析 (substructuring analysis)或組合分析 (coupling analysis)( 續 )

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4-3-6 健康監測 (health monitoring) 或破壞檢測 (damage detection)

● 健康監測之目的在透過適當之感測器對結構系統作輸出響應之量測，以瞭解結構系統是否正常，就破壞檢測而言， Rytter[6] 定義了結構損壞辨識 (damage identification) 四個層次：▓ 層次Ⅰ：判定結構是否損壞。▓ 層次Ⅱ：預測結構損壞位置 + 層次Ⅰ。▓ 層次Ⅲ：預測結構損壞程度 + 層次Ⅱ。▓ 層次Ⅳ：預測結構損壞後之壽命 + 層次Ⅲ。

● 結構系統之健康監測或破壞檢測方法可概分兩類：▓ 1.基於信號分析：如 1-3節所述，信號分析僅在瞭解系統之輸出響應，以圖 1-23 之正常與異常系統之輸入與輸出方塊圖作說明。

102


4-3-6 健康監測 (health monitoring) 或破壞檢測 (damage detection)( 續 )

▓ 由呈現異常之系統的輸出響應信號與正常系統之輸出響應進行比較分析可得知結構系統之健康狀態，更進一步可由信號分析與處理技術可以達到破壞檢測之目的。

▓ 2.基於系統分析：如 1-3節所述，系統分析在瞭解系統之內涵有三個層次，包括物理參數、模態參數及頻率響應函數如圖 1-22 所示。

▓ 可藉由正常與異常系統之內涵改變情形，以判斷結構系統之健康狀態，再藉由系統內涵之變化特性可達到破壞檢測之目的。

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4-3-6 健康監測 (health monitoring) 或破壞檢測 (damage detection)( 續 )

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五、車輛行駛品質特性分析● 5.1 行駛舒適度規範● 5.2 車輛行駛數學模型● 5.3路面數學模型● 5.4輸出參數之頻譜密度函數● 5.5 1/3八音頻帶加速度平方平均根值● 5.6 行駛品質參數

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五、車輛行駛品質特性分析 5.1 行駛舒適度規範

● Janeway舒適度規範 [1] ：行駛舒適度 (ride comfort) 通常以人體所能感受之振動量大小來評估，以整理如表 3 。在1-6Hz範圍約克 (Jerk) 不得超過 12.6 ， 6-20Hz ，加速度不得超過 0.33 ， 20-60Hz ，速度不得過 2.7 ，此規範系以垂直之單一簡諧頻率激振之測試為依據。

表 3 J a n e w a y 舒適度規範 [ 1 ]

頻率範圍舒適度規範規範1 - 6 H z 約克（ j e r k ） < 1 2 . 6 3s/m

6 - 2 0 H z 加速度 < 0 . 3 3 2s/m2 0 - 6 0 H z 速度 < 2 . 7 s/mm

106


五、車輛行駛品質特性分析 5.1 行駛舒適度規範（續）

● ISO2631[5] ：則提供了對人體忍受振動程度之一般性應用規範如圖 10 ，定義了人體振動在 1-80Hz 間之垂直及水平振動忍受程度，分成三種狀況 :

▓ 1. 曝露量限制 (exposure limit) ：作為安全性或健康之考慮振動量是不得超過如圖 10 所示之兩倍振動量或以各曲線加上 6 為曝露量限制規範。

▓ 2. 疲勞或降低熟練性邊界 (fatigue or decreased proficiency boundaries) ：此範圍在保有工作之有效性，也因此應用於評估駕駛車輛之行駛品質，此限制範圍即如圖 10 所示之曲線。

▓ 3. 降低舒適度邊界 (reduced comfort boundaries) ：此範圍在保有舒適性，使得在車輛中讀、寫、進食等之舒適性，此限制範圍取如圖 10 ，再降 10dB 或降 3.5倍得其限制曲線。

107


1.00 10.00 100.00Frequency (Hz)

0.10

1.00

10.00

100.00

Ver

tical

Exp

osur

e Li

mit

(m/s

2)

1 m in16 m in25 m in

1 hour

2.5 hour

4 hour

8 hour

The M axim um A cce le ra tion fo r W ho le B ody V ertica l V ib ra tion

1.00 10.00 100.00

Frequency (H z)

0.10

1.00

10.00

100.00

1000.00

Ver

tical

Exp

osur

e Li

mit

(m/s

2) 1 m in16 m in25 m in1 hour2 .5 hour4 hour8 hour

The M axim um Acce lera tion for W hole B ody H orizenta l V ibra tion

( a ) 垂直振動 ( b ) 水平振動圖 1 0 人體忍受振動程度之一般性應用規範

五、車輛行駛品質特性分析 5.1 行駛舒適度規範（續）

● ISO2631[5] ：在此應注意圖 10 ，係以加速度在不同頻率之平方平均根值 (rms value) 作為比較依據，通常取 1/3八音頻率帶之中心頻率計算或量測值套入圖 10 ，依前述三種狀怳而定，若計算或量測之目標值在預定曲線範圍內，即符合行駛品質需求，反之亦然。

108


五、車輛行駛品質特性分析 5.2 車輛行駛數學模型

● 欲進行車輛行駛品質分析，必須有適當之數學模型，以轎車之行駛品質分析為例，可架構如圖 11 所示以下三種典型之數學模型：▓ 1/4 車体模型 (Quarter-car model)：▓ 半車体模型 (Half-car model)：▓ 全車体模型 (Full car model)：

● 所採用之數學模型之複雜性，通常依所擬完成之分折目標有關，應注意每一種模型有其基本之假設條件及其適用狀況。

109


V

cx

wx

tywm

cm

tk tc

scsk

V

cxc

2wx1wx

1y 2y

1sk 2sk

1tk 2tk1tc 2tc

1sc2sc

1wx

4y3y

1y

cx V

c

c

3wx

w

2wx

2y

( a ) 1 /4 車體模型 ( b ) 半車體模型 ( c ) 全車體模型

圖 11 車輛行駛數學模型

五、車輛行駛品質特性分析 5.2 車輛行駛數學模型

110


● 不規則路面之隨機模型， ISO [6] 以波數 (wave number) 定義路面位移之能量頻譜密度函數如下 :

1.

2.

其中為基準波數 (cycle/m)

為路面之粗糙度 (cycle/m)

為波數 (cycle/m) ，波數與頻率關係如下：路面之能量頻譜密度函數可改寫為：

0

1

00

N

gg SS

0

2

00

N

gg SS

0gS

21N；5.12N

2/10

Vf

VS

fS gg

五、車輛行駛品質特性分析 5.3路面數學模型

111


2

1,2108

26

V

f

V

ffSg

2

1,2108

5.16

V

f

V

ffSg

表 4 不同等級路面粗糙度值 [ 6 ]D e g r e e o f r o u g h n e s s

S g 0 , /cycles/mm10 26

R o a d C l a s s R a n g e G e o m e t r i c M e a nA ( V e r y G o o d ) < 8 4

B ( G o o d ) 8 - 3 2 1 6C ( A v e r a g e ) 3 2 - 1 2 8 6 4

D ( P o o r ) 1 2 8 - 5 1 2 2 5 6E ( V e r y P o o r ) 5 1 2 - 2 0 4 8 1 0 2 4

F 2 0 4 8 - 8 1 9 2 4 0 9 6G 8 1 9 2 - 3 2 7 6 8 1 6 3 8 4H > 3 2 7 6 8

● 若車輛以定速 V 行駛於非常良好 (very good)路面，則路面位移能量頻譜密度函數得：

五、車輛行駛品質特性分析 5.3路面數學模型（續）

112


rir

ri

Y

XfH

21

212

nffr /

rir

rif

Y

AfH

21

212

2

2

fSfHfS gA

2

Vx

ycm

scsk

圖 12 單自由度 1/4 車體模型

● 以單向由度系統之行駛模型為例，如圖 12 ，路面位移振幅輸入 X 及車體垂直位移振幅 Y 之頻譜響應函數或稱位移傳輸比可得：

● 其中，，則加速度振幅輸出 A 與路面位移振幅輸入 Y 之頻率響應函數可得：

　　 ● 則加速度之能量頻譜密度函數可得 [7] ：

五、車輛行駛品質特性分析 5.4輸出參數之頻譜密度函數

113


21

31

u

l

f

f ArmsdffSA

rmsA

31

cf

cu ff 61

2

cl ff 61

2

● 輸出參數（加速度）之能量頻譜密度函數，可由下式求得 1/3八音頻帶在其中心頻率之加速度平均平均根值：

● 其中，▓ 為在中心頻率之加速度平方平均根值▓ 為 1/3八音頻帶之中心頻率（如表 5 ）▓ 為上界頻率▓ 為下界頻率。

五、車輛行駛品質特性分析 5.5 1/3八音頻帶加速度平方平均根值

114


表5 1/3八音頻帶中心頻率（1-100Hz）及其上、下界頻率lf (Hz) cf (Hz) uf (Hz)

0.89 1 1.121.12 1.25 1.411.41 1.6 1.781.78 2. 2.242.24 2.5 2.822.82 3.15 3.553.55 4 4.474.47 5 5.625.62 6.3 7.087.08 8 8.918.91 10 11.2211.2 12 14.1314.1 16 17.817.8 20 22.422.4 25 28.228.2 31.5 35.535.5 40 44.744.7 50 56.256.2 63 70.870.8 80 89.189.1 100 112

五、車輛行駛品質特性分析 5.5 1/3八音頻帶加速度平方平均根值

（續）

115


cx

wc xxd

wxyh

hchkft 22

● 通常於評估行駛品質之參數，如前述人體之振動量，通常以座位處之加速度進行評估，以圖 11(a) 之 1/4 車體模型為例，常用之行駛品質：▓ 1.座位之加速度 (seat acceleration) ：用以評估人員

或貨物之行駛舒適度▓ 2.懸吊行程 (suspension travel) ：可

作為懸吊系統設計之參考▓ 3.貼地性 (road holding) ：則代表輪胎與地面之貼地性，有助於評估操控 (handling) 性能

▓ 4.輪胎力 (tire force) ：除了做輪胎設計參考依據，亦可提供做為評估路面受力或破壞評估之輸入參數

五、車輛行駛品質特性分析 5.6 行駛品質參數

116


六、車輛行駛品質評估步驟與實例探討綜合說明車輛行駛品質評估步驟，並舉一全聯車行駛品質分析

實例做探討 [8] ，其典型步驟如下：● 1. 建立車輛行駛數學模型：架構 9個自由度之全聯結車半

車體模型如圖 13 ，假設車子以定速行進，車體包括拖車、拖桿、尾車均為剛體，且僅有垂直位移及前傾角度自由度，

M

reference

level

road

surface

Kd

Ks2 Ks3 Ks4Cs1 Cs3 Cs4

Ct1Kt2 Kt3 Kt4

Ct2 Ct3 Ct4

1 M 2 M 3 M 4

M

Ks1

Kt1

1 2

Cs3

l l l l3 4

l l l l l5 67 89

Cd

8

h

h

1

2 h 3

l l10 11

1y 2y 3y 4y

5y1

2

3

6y

1x 2x 3x 4x

圖13 個自由度之全聯結車半車體模型[8]

117


六、車輛行駛品質評估實例探討（續）● 2.推導系統運動方程式，可得

其中，

● 3. 定義不規則路面隨機波型之頻率響應函數如 4.3節所示。● 4. 進行系統之模態分析：可求得系統之模態參包括：自然

頻率以及模態振型 ( 在此省略 ) 。● 5. 求解系統之輸出與輸入間之頻率響應函數，如圖 14 ，

, i=1,2,…,9， j=1,2,3,4 ，其中， j 為輸入參數自由度， i 為輸出參數自由度。

xKxCyKyCyM

321654321 yyyyyyy T

4321 xxxxx T

ijH

118


六、車輛行駛品質評估實例探討（續）

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-8

1.00E-7

1.00E -6

1.00E-5

1.00E-4

1.00E -3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

1.00E +1

Am

plitu

de

H 11

H 12

H 13

H 14

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-8

1.00E-7

1.00E -6

1.00E-5

1.00E-4

1.00E -3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

1.00E +1

Am

plitu

de

H 21

H 22

H 23

H 24

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-7

1.00E-6

1.00E-5

1.00E-4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

1.00E +1

Am

plitu

de

H 31

H 32

H 33

H 34

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-8

1.00E-7

1.00E -6

1.00E-5

1.00E-4

1.00E -3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

1.00E +1

Am

plitu

de

H 41

H 42

H 43

H 44

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-7

1.00E -6

1.00E-5

1.00E -4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

Am

plitu

deH 51

H 52

H 53

H 54

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-9

1.00E-8

1.00E-7

1.00E-6

1.00E-5

1.00E-4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

1.00E +1

Am

plitu

de

H 61

H 62

H 63

H 64

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-7

1.00E -6

1.00E-5

1.00E -4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

Am

plitu

de

H 71

H 72

H 73

H 74

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-5

1.00E-4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

1.00E +1

Am

plitu

de

H 81

H 82

H 83

H 84

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-6

1.00E-5

1.00E-4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E +0

Am

plitu

de

H 91

H 92

H 93

H 94

圖 14 系統之輸出與輸入間之頻率響應函數 [8]

119


六、車輛行駛品質評估實例探討（續）● 7. 計算系統輸出之頻譜密度函數：

● 8. 計算 1/3八音頻帶加速度平方平均根值：如駕駛座之加速度平方平均根值

● 9.與 ISO2631舒適為規範做比較分析：如圖 15 為不同路面狀況之駕駛座加速度最小平方根值與 ISO2631規範曲線之比較，在 ISO D級路面超過 8小時人體舒適度範圍。

94444999

*

fHfSfHfS xx

Tyy

rmsy

31,6

0.10 1.00 10.00 100.00Frequency (H z)

1.00E-5

1.00E-4

1.00E-3

1.00E-2

1.00E-1

1.00E+0

1.00E+1

RM

S A

ccel

erat

ion

in 1

/3 O

ctav

e B

and

ISO A

ISO B

ISO C

ISO D

ISO 8h

ISO 1h

圖 15 不同路面狀況之駕駛座加速度最小平方根值 [8]

120


七、結論

電腦輔助工程分析

實驗模態分析振動學

車輛動力學

自行車及其零組件設計測試評估

整車

車架

前叉

把手及把手座

曲柄

避震器

121


參考文獻● 王柏村， 1996 ，振動學，全華科技圖書股份有限公司，台北。

● 王柏村， 2001 ，電腦輔助工程分析之實務與應用，全華科技圖書股份有限公司，台北。

● 王柏村， 2000 ，實驗模態分析課程講義，國立屏東科技大學機械工程系，屏東。

● 王柏村， 2000 ，「陸地車輛動態行駛品質分析」，永達學報，第一卷，第一期，第 1-22頁。

振動分析及實驗技術應用簡介

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