定积分的物理应用
11
1 定定定定定定定定 一 . 定定定定定定定 定定 定定定 体 F 定定定定 F 定定定定 s 定定 ,. 定 =a 定定 =b, 定定定定定定定定定定定 . dW=F()d 定 b a dx x F W ) ( F() a b +d 定 W=Fs 定定 定定定 体 F() 定定定定定定定定 定定定定定定 , 定定定定定 [a,b]. 定定定定定定定定 [,+d] 定定定定定
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F( x ). x. a. x +d x. b. 定积分的物理应用. 一 . 变力沿直线作功. 若物体在常力 F 作用下沿 F 方向移动 s 距离 ,. 则 W=Fs. 若物体在变力 F( x ) 作用下沿力的方向. 由 x =a 移到 x =b, 可用微元法解决做功问题. 取 x 为积分变量 ,. 变化区间为 [a,b]. dW=F( x )d x. 相应于任意小区间 [ x , x +d x ] 的功的微元. 则. 0. y. 1. x. x +d x. 3. (3,2). x. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of 定积分的物理应用
1
定积分的物理应用
一 . 变力沿直线作功若物体在常力 F 作用下沿 F 方向移动 s 距离 ,.
由 =a 移到 =b, 可用微元法解决做功问题 .
dW=F()d
则 b
adxxFW )(
F()a b +d
则 W=Fs
若物体在变力 F() 作用下沿力的方向
取为积分变量 , 变化区间为 [a,b].
相应于任意小区间 [,+d] 的功的微元
2
例 1 设 9.8 牛顿的力能使弹簧伸长 1 厘米 ,
解从而由公式
1.0
0
1.00
2 9.4|490980)( xxdxdxxFWb
a( 焦耳 )
例 2 形如圆锥台的水桶内盛满了水 ( 如图 ),
解 设想将水分成许多薄层 ,
问将全部水吸出需作多少功 ?
( 水比重为 9800 牛顿 / 立方米 )
0 y
x
1
3 (3,2)
+d
求伸长 10 厘米需作多少功 ?所以 k=980.F=9.8 牛顿 ,而 =0.01 米时 ,已知 F=k,
F=980.
吸出各层水所作的功的总和即为所求 .
3
取为积分变量 , 变化区间为
xdxx
dW 2)13
(9800
则 3
0
2)13
(9800 xdxx
W
)(124950|)2
1
9
2
36(9800 3
023
4
Jxxx
例 3 一桶水重 10kg, 由一条线密度 0.1kg/m的
0 y
1
3 (3,2)
+d
因此功的微元吸出这层水的位移近似于 .
的薄层水近似于圆柱 ,
[0,2]. 相应于任意小区间 [,+d]
绳子系着 , 将它从 20m 深的井里提上来需作多少功 ?
4
解 将水桶从井里提上来所作的功为
)(1960208.9101 JW
将绳子从井里提上来所作的功 ,
)(1968.910
120
02 JdxxW
则所作的总功为
)(2156196196021 JWWW
o
20
+d即变力沿直线作的功为
5
二 . 静液压力 设有一面积为 A 的平板 , 水平放置在液体下深度 h 处 , 则平板一侧所受压力为 N=hA. ( 为液体比重 )
则平板一侧所受压力须用微元法解决 .
取为积分变量 , 变化区间为 [a,b].
o
ya
b
x+d y=f()
近似于水水平放置的长方形窄条所受的压力 .
相应于 [,+d] 的窄条所受到的压力
如果平板垂直放置在液体下 ,
以如图曲边梯形为例 :
6
则压力微元为 dN= yd= f()d
因此整个平板所受压力为
b
adxxxfN )(
例 4 一个横放的半径为 R 的圆柱形油桶内有半桶油 ( 比重 ), 求一个端面所受的压力 .
解 由对称性 12NN
从而转化为上述曲边梯形情形 , 即
R
dxxRxNN0
221 22 3
02
322
3
2])(
3
2[ RxR R
o
x
ya
b
x+d y=f()
y
1N
o
7
例 5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力 .
解 由对称性 12NN
也可转化为曲边梯形情形 , 曲边为2
2x
y 则压力为
2
01 )(22 dxxxfNN
)(52267|)6
(98002 20
32 Nx
x
三 . 引力由万有引力定律 , 两质点之间的引力为
221
r
mmGF
若要计算细棒对质点的引力 , 须用微元法解决 .
2o
2
y
(2,1)
1N
2
0)
22(2 dx
xx
8
例 6 设有质量为 M, 长度为 l的均匀细杆 ,
任意小段 [x,x+dx] 近似于质点 , 且质量为
则引力微元为
22 )()( axl
MdxmG
ax
dxl
Mm
GdF
dxl
M
o +d x
a l
另有一质量为 m 的质点位于同一直线上 ,
且到杆的近段距离为 a,求杆对质点的引力 .
取 x 为积分变量 , 变化区间为 [0,l],
9
则引力为
dxaxl
GmMF
l
20 )(
1
o +d x
a l
四 . 连续函数的平均值
n 个数的平均值为n
y
n
yyyy
n
ii
n
121
而连续函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的平均值 ,需要用定积分计算 .
)(|)
1
1( 0 laa
GmM
xl
GmM l
10
将 [a,b]n 等分 , 在每个小区间上依次任取,,,, 21 n
则n
f
n
fffyy
n
ii
nn
121
)()()()(
由定积分定义可知
n
fy
n
ii
n
1
)(lim
ab
xfn
iii
n
1
)(lim
)(
))((lim
abn
abfn
ii
n
1
b
adxxf
ab)(
1
11
例 1 求从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度 .
解 .2
|20
10
0
2 gT
T
gtgtdt
Tv T
T
注意 :积分中值定理中的 f() 就是 f()在区间 [a,b] 上的平均值 .
