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MODELO DE TRS GRAUS DE LIBERDADE POR PISO

Quando a estrutura de um edifcio constituda por uma associao de prticos, paredese lajes possvel basear o estudo do seu comportamento num modelo simplificadobaseado nas seguintes hipteses:

a laje de cada piso constitui um diafragma indeformvel; o contraventamento realizado por estruturas planas situadas em planos verticais; estas estruturas podem ser prticos, paredes ou associaes prtico/parede; admite-se que os elementos verticais de contraventamento apenas possuem rigidez

quando solicitados paralelamente ao seu plano mdio; a deformao do edifcio pode ser caracterizada por trs deslocamentos

generalizados em cada piso (dois deslocamentos horizontais e uma rotao).

As estruturas planas situadas em planos verticais e que apenas possuem uma rigidezsignificativa quando solicitadas paralelamente ao seu plano mdio (prticos, paredes ouassociaes prtico/parede) sero de aqui em diante designadas estruturas ticoidais [1].

Os ncleos resistentes que habitualmente correspondem a caixas de escadas ou deelevadores podem ser substitudos por estruturas ticoidais equivalentes, desde que a suarigidez torcional seja tambm adicionada [1].

Na Figura 1 encontra-se representado um edifcio de trs pisos que apresenta ascaractersticas atrs mencionadas.

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3 piso

1 piso

2 piso

x

z

y

32

1

x

y

65

4

x

y

98

7

x

y

Fig. 1 - Estrutura de um edifcio e graus de liberdade de cada piso.

A matriz de rigidez de cada estrutura ticoidal deve ser calculada tendo em consideraoos graus de liberdade representados na Figura 2.

3

2

F2

F3

F1

1

ParedePrtico

3

2

1

F2

F3

F1

Fig. 2 - Graus de liberdade de cada estrutura ticoidal.

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O clculo da matriz de rigidez de uma estrutura ticoidal referida aos graus de liberdaderepresentados na Figura 2 pode ser efectuado de diversos modos. So em seguidadescritos trs desses mtodos.

1 - Condensao esttica

A quase totalidade dos graus de liberdade do prtico ou da parede so eliminados,restando apenas os que se encontram representados na Figura 2. Obtm-se assim umamatriz de rigidez 3x3.

2 - Mtodo directo

Aplicando ao prtico um conjunto de deslocamentos prescritos em que um deles unitrio e os restantes nulos, possvel obter directamente a matriz de rigidez 3x3pretendida (ver Figuras 2 e 3).

1 = 0

3 = 0

2 = 1

F1

F3

F2

Fig. 3 - Prtico deformado pela aco de deslocamentos prescritos.

Na Figura 3 est representada a deformada correspondente imposio de umdeslocamento unitrio segundo o grau de liberdade n 2, sendo nulos os deslocamentossegundo os graus de liberdade 1 e 3. As foras que fixam os ns nas posies prescritascorrespondem segunda coluna da matriz de rigidez 3x3. Esta afirmao justificadacom a seguinte equao

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k k kk k kk k k

FFF

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

010

=

(1)

sendo obviamente

k Fk Fk F

12 1

22 2

32 3

===

(2)

Os restantes elementos da matriz de rigidez 3x3 obter-se-iam de um modo semelhante.No caso geral a relao de rigidez correspondente a cada estrutura ticoidal

K Ft~ ~ ~ = (3)

3 - Matriz de flexibilidade

Aplicando ao prtico uma nica fora unitria segundo o grau de liberdade n 2 obtm-sea deformada representada na Figura 4.

1

3

2

F1 = 0

F3 = 0

F2 = 1

Fig. 4 - Prtico deformado pela aco de uma fora unitria.

Nestas circunstncias a relao de flexibilidade

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q q qq q qq q q

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

010

=

(4)

sendo

qqq

12 1

22 2

32 3

===

(5)

Assim se verifica que cada coluna da matriz de flexibilidade contm os deslocamentosobtidos por intermdio de aces unitrias em correspondncia com os graus deliberdade considerados. No caso geral a relao de flexibilidade

Q Ft~ ~ ~

= (6)

sendo Qt~ a matriz de flexibilidade da estrutura ticoidal.

A matriz de rigidez Kt~ obtm-se por inverso da matriz de flexibilidade.

K Qt t~ ~= 1 (7)

As matrizes de rigidez e de flexibilidade so simtricas.

CONTRIBUIO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UMA ESTRUTURA TICOIDALPARA A MATRIZ DE RIGIDEZ DO EDIFCIO

A matriz de rigidez de cada estrutura ticoidal ( Kt~ ) apenas refere os graus de liberdade

representados na Figura 2. Para que seja possvel reunir as contribuies das diversasestruturas ticoidais na matriz de rigidez global do edifcio, necessrio relacionar osgraus de liberdade representados na Figura 1 com os representados na Figura 2. Antes dese estabelecer esta relao necessrio definir a distncia da origem do referencial aoplano mdio de cada estrutura ticoidal. Na Figura 5 encontra-se representada em plantauma parede que contm o ponto P e se encontra inclinada em relao ao eixo x.

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P

xP

yP

Or

y

x

Fig. 5 - Distncia da origem ao plano mdio da estrutura ticoidal (r ).

A expresso que fornece a distncia da origem do referencial ao plano mdio daparede (r ) pode ser deduzida do seguinte modo

r yxP Psin tan + = (8)

Multiplicando ambos os membros por sin chega-se a

ry xP Psin

sincossin

sin sin + = (9)

r x yP P= sin cos (10)

Na Figura 6 encontram-se representados os trs deslocamentos generalizados do 1 piso(1, 2 e 3), bem como o deslocamento horizontal da estrutura ticoidal tambm ao nveldo 1 piso e paralelamente ao seu plano mdio (1).

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P

Or

y

x

1

32

1

2 1

1

1

Fig. 6 - Deslocamentos do 1 piso e correspondente deslocamento da estrutura ticoidal.

Para um dado conjunto de deslocamentos de piso (1, 2 e 3), o seguinte odeslocamento da estrutura ticoidal (1)

1 1 2 3= + + cos sin r (11)

Matricialmente tem-se

[ ]11

2

3

=

cos sin

r (12)

Nos restantes pisos esta relao seria semelhante (ver Figura 7).

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3

2

F2

F3

b)a)

F1

1

3

2f2f3

f11

6

5f5f6

f44

9

8f8f9

f77

Fig. 7 - Foras e deslocamentos do edifcio e de uma estrutura ticoidal.

Agrupando as equaes correspondentes a (12) numa nica equao matricial querelaciona os deslocamentos indicados na Figura 7 obtm-se

1

2

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

=

cos sincos sin

cos sin

rr

r(13)

~ ~ ~

=

T ( ) ( ) ( )3 1 3 9 9 1

(14)

Na Figura 8 encontram-se representadas as foras generalizadas que actuam no 1 piso(f1, f2 e f3) e na estrutura ticoidal. Em relao a esta ltima apenas se considera a forahorizontal paralela ao plano mdio (F1).

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P

Or

y

x

F1

f3f2

f1

f2

f1

F1

Fig. 8 - Foras generalizadas que actuam no 1 piso e na estrutura ticoidal.

As equaes de equilbrio que relacionam as foras representadas na Figura 8 so asseguintes

f Ff Ff F r

1 1

2 1

3 1

===

cossin

(15)

Matricialmente tem-se

[ ]fff r

F1

2

3

1

=

cossin

(16)

Agrupando as equaes correspondentes aos trs pisos obtm-se

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fffffffff

r

r

r

FFF

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

0 00 00 0

0 00 00 00 00 00 0

=

cossin

cossin

cossin

(17)

Nesta relao figura a transposta da matriz T que foi definida em (13) e (14).

f T FT~ ~ ~

= ( ) ( ) ( )9 1 9 3 3 1

(18)

De acordo com as foras e deslocamentos generalizados que se encontram representadosna Figura 7 a) possvel estabelecer a seguinte relao de rigidez envolvendo os grausde liberdade de todos os pisos

K f~ ~ ~

= ( ) ( ) ( )9 9 9 1 9 1

(19)

A estrutura ticoidal representada na Figura 7 b) apresenta a seguinte relao de rigidez

K Ft~ ~ ~ = ( ) ( ) ( )3 3 3 1 3 1

(20)

Atendendo a (14), (18), (19) e (20) tem-se sucessivamente

f T FT~ ~ ~

= (21)

F Kt~ ~ ~= (22)

~ ~ ~

= T (23)

f T K TT t~ ~ ~ ~ ~

= (24)

Comparando (19) com (24) conclui-se que

K T K TT t~ ~ ~ ~= ( ) ( ) ( ) ( )9 9 9 3 3 3 3 9

(25)

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Em (25) apenas uma estrutura ticoidal contribui para a matriz de rigidez do edifcio. Parase obter a matriz K completa devem ser acumuladas em K as contribuies das diversasestruturas ticoidais.

Depois de resolvido o sistema de equaes (19) possvel calcular as foras que actuamem cada estrutura ticoidal recorrendo seguinte expresso que se obtm substituindo(23) em (22)

F K Tt~ ~ ~ ~= (26)

Considerando as foras F como solicitao, pode em seguida ser efectuada uma anlisemais rigorosa de cada uma das estruturas ticoidais. Nesta anlise devem ser consideradostodos os graus de liberdade do prtico ou da parede.

CONCLUSO

O mtodo de anlise de edifcios aqui descrito um mtodo aproximado que permiteobter resultados com um rigor aceitvel sempre que a estrutura possua caractersticasque correspondam s hipteses admitidas. Referem-se em seguida algumas situaes quepodero dificultar a aplicao do modelo de trs graus de liberdade por piso: pavimentosdesnivelados, juntas de dilatao, estruturas ticoidais interrompidas nalguns pisos,edifcios com duas ou mais torres independentes, etc.

O modelo de trs graus de liberdade por piso til em pr-dimensionamento, na anlisedinmica e sempre que no se disponham de meios de clculo adequados a uma anlisetridimensional sem simplificaes da totalidade do edifcio.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

[1] - Joaquim Mateus Gonalves Gomes - Clculo Integrado de Estruturas de Edifcios:Anlise Esttica e Dinmica em Modelo Tridimensional - Provas de AptidoPedaggica e Capacidade Cientfica - Faculdade de Engenharia da Universidade doPorto, 1989.