3.3.1 几何概型

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计算随机事件发生的概率的方法：计算随机事件发生的概率的方法：

一是通过做大量相同的重复试验得到事件的频率，以此近似估计概率； 一是通过做大量相同的重复试验得到事件的频率，以此近似估计概率；

二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率 . 二是用古典概型的公式来计算事件发生的概率 .

AA 包含的基本事件的个数包含的基本事件的个数 PP （（ AA ）） = ————————————= ———————————— 基本事件的总数基本事件的总数

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在现实生活中 ,常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多个的情况 .

这时如何求事件发生的概率 ?

问题提出问题提出问题提出问题提出

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　　在转盘游戏中，当指针停止时，指针指向那种颜色区域的可能性大？

因为红色区域的面积大，所以指针落在红色的区域可能性大。

因为红色区域的面积大，所以指针落在红色的区域可能性大。

一、创设情景，引入新课

为什么指针指向红色区域的可能性大？为什么指针指向红色区域的可能性大？

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问题 : 甲乙两人玩转盘游戏 , 规定当指针指向 B 区域时 , 甲获胜 , 否则乙获胜 . 求甲获胜的概率是多少 ?

点击右侧的小转盘，更换一个转盘后，甲获胜的概率是多少？

二、主动探索，领悟归纳

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事实上 , 甲获胜的概率与字母B 所在扇形区域的面积有关 ,而与字母 B 所在区域的位置无关 .

上述问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在，但显然不能用古典概型的方法求解，怎么办呢？

主动探索

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如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积）成比例 ,则称这样的概率模型为几何概率模型 ,简称为几何概型 .

领悟归纳

定义定义定义定义

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几何概型的特点 :(1) 试验中所有可能出现的结果 (基本事件 )有无限多个 .

(2) 每个基本事件出现的可能性相等 .

在几何概型中 , 事件 A 的概率的计算公式如下 :

（面积或体积）面积或体积

的区域长度试验的全部结果所构成)(A构成事件 的区域长度

P(A)

领悟归纳

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　 问题 1 ( 电话线问题 ) ：一条长 50 米的电话线架于两电线杆之间 , 其中一个杆子上装有变压器。在暴风雨天气中 , 电话线遭到雷击的点是随机的。试求雷击点距离变压器不小于 20 米情况发生的概率。

变压器

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　　解析：记“雷击点距离变压器不小于 2

0 米”为事件 A, 在如图所示的长 30m 的区域内事件 A 发生，

50m

20m 30m

变压器

区域长度试验的全部结果构成的的区域长度构成事件A

AP )( 6.050

30

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　　问题 2( 撒豆子问题 ) ：如图 , 假设

你在每个图形上随机撒一粒黄豆 , 分别

计算它落到阴影部分的概率 .

① ②

www.pyez.com① ②

　　解析：记“落到阴影部分”为事件 A, 在如图所示的阴影部分区域内事件 A 发生 , 所以

8

3)()2(

;2

21

)()1( 2

AP

r

rrAP

整个圆的面积阴影部分的区域面积

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　　问题 3( 取水问题 ) ：有一杯 1 升

的水 , 其中含有 1 个细菌 , 用一个小杯

从这杯水中取出 0.1 升 , 求小杯水中含

有这个细菌的概率 .

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　　解析：记“小杯水中含有这个细菌”为事件 A, 事件 A 发生的概率

.1.01

1.0)( 杯中所有水的体积取出水的体积

AP

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一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有 [0 , 5) 上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。

S [0,5) = [2 , 3] A

( )L S = 5- 0 = 5 ( )L A = 3-2 = 1

( )P A( )

( )

L A

L S 1

5

三、巩固深化，应用拓展

几何概型的计算几何概型的计算几何概型的计算几何概型的计算

1122

33 44

0011

22

33 44

00

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例 1 某人午觉醒来 , 发现表停了 ,他打开收音机 ,想听电台报时 , 求他等待的时间不多于 10 分钟的概率 .

分析：假设他在 0－ 60 分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但 0－ 60 之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。

可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。

解 :设 A={ 等待的时间不多于 10分钟 }.我们所关心的事件 A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60] 时间段内 ,因此由几何概型的求概率的公式得

即“等待的时间不超过 10分钟”的概率为

60 50 1( ) ,

60 6P A

1

6

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例 2 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定 :顾客每购买 100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得 100元、 50元、 20元的购物券（转盘等分成 20份）

绿 黄

绿

绿

红ÂÌ

黄

甲顾客购物 120元，他获得购物券的概率是多少？他得到 100元、 50元、 20元的购物券的概率分别是多少？

甲顾客购物 120元，他获得购物券的概率是多少？他得到 100元、 50元、 20元的购物券的概率分别是多少？

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P （获得购物券） =

P （获得 100 元购物券） =1/2

0

P （获得 50 购物券） =

P （获得 20 购物券） =

2 1

20 10

4 1

20 5

甲顾客购物的钱数在 100 元到 200 元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了 20份，其中 1份红色、 2份黄色、4份绿色，因此对于顾客来说：

1 2 4 7

20 20

绿 黄

绿

绿

红ÂÌ

黄

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提 示提 示提 示提 示

对于复杂的实际问题 ,解题的关键是要建立模型 ,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域 ,把问题转化为几何概率问题 ,利用几何概率公式求解 .

学法领悟

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解：设“等车时间不超过三分钟”为事件 A，则

所以“等车时间不超过三分钟”的概率为10

3

练习 1 、假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？

1 、假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？

P(A) = ————— = —— A 的长度

S 的长度

3

10

A

0← S →10

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（ 1）豆子落在红色区域；（ 2）豆子落在黄色区域；（ 3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（ 5）豆子落在黄色或绿色区域。

练习

2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：

2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：

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3.取一根长为 3米的绳子 ,拉直后在任意位置剪断 ,那么剪得两段的长都不少于 1米的概率有多大 ?

3.取一根长为 3米的绳子 ,拉直后在任意位置剪断 ,那么剪得两段的长都不少于 1米的概率有多大 ?

解：如上图， 记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件 A， 把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件 A发生。 由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件 A发生的概率 P （ A） =1/3 。

3m

1m 1m

练习

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4.在等腰直角三角形 ABC中，在斜边 AB上任取一点M，求 AM小于 AC的概率。

4.在等腰直角三角形 ABC中，在斜边 AB上任取一点M，求 AM小于 AC的概率。

分析：点 M随机地落在线段 AB上，故线段 AB为区域 D。当点 M位于图中的线段AC’上时， AM ＜ AC ，故线段 AC’即为区域 d。解： 在 AB 上截取 AC’=AC ，于是

P （ AM ＜ AC ） =P （ AM ＜ AC’）

22

=ABAC

=ABAC'

=

则 AM小于 AC 的概率为2

2

练习

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5.在半径为 1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？

5.在半径为 1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？

B

C D

E

.0

解：记事件 A={弦长超过圆内接等边三角形的边长 }，取圆内接等边三角形 BCD的顶点 B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时， |BE|>|BC|，而弧 CD的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有

3

1)( AP

则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为3

1

练习

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1. 几何概型的特点 .2. 古典概型与几何概型的区别： 1）两种模型的基本事件发生的可能性都相等； 2）古典概型要求基本事件是有限个，而几何概

型则要求基本事件有无限多个。3. 几何概型的概率公式及运用 .

( )A

P A 构成事件 的区域长度（面积或体积）

全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

四、总结评价，促进成长