1.7.1 定积分在几何中的简单应用
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1.7.1 定积分在几何中的简单应用定
积分的简单应
用
1 、定积分的几何意义:
O x
y
a b
yf (x)
b
af (x)dx f (x)dxf (x)dx。
xa 、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当f(x)0时,积分dxxf
b
a)(在几何上表示由y=f (x)、
x
y
O a b
yf (x)
b
af (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S
当 f(x)0 时,由 yf (x) 、 xa 、 xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,
一、复习回顾
定理 (微积分基本定理)2 、牛顿—莱布尼茨公式
( ) |( ) ( ) ( )bb
a af x dx F bx FF a或
(F(x) f (x) ,f (x) F(x) )叫做 的原函数 就是 的导函数
如果 f(x) 是区间 [a,b] 上的连续函数 ,
并且 F’(x)=f(x), 则b
af x dx F b F a ( ) ( ) ( )
一、复习回顾
二、热身练习1 dxx
2
2
24
解: 如图由几何意义22
2
2 221
4 dxx
2
计算 :
计算:
xdxsin
解:如图由几何意义
0sin
xdx
定积分的简单应
用
xy sin
0
y
x
定积分的简单应
用3.
2 2y x计算由 与 x 轴及 x= - 1 , x = 1 所围成的面积
1 2( ) ( )b b
a as f x dx f x dx
x
y
NM
O a b
A
BC
D
4 .用定积分表示阴影部分面积
)(1 xfy
)(2 xfy
二、热身练习
A2
a b
曲边梯形(三条直边,一条曲边)
a b X
A
0
y
曲边形
面积 A=A1-A2
a b
1
三、问题探究 曲边形面积的求解思路
定积分的简单应
用
四、例题实践求曲边形面积例1.计算由曲线 2xy
2
2
xy
xy
与 所围图形的面积
解:作出草图,所求面积为阴影部分的面积
解方程组
xy 2
得交点横坐标为 0x 1x及
S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD
= dxx1
0dxx
1
0
2
1
0
3
3
1x ==
3
2
3
1
3
11
0
2
3
3
2x=
定积分的简单应
用
A
BC
D
2xy xy 2
x
y
O 1
1
-1
-1
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
( 1)画草图,求出曲线的交点坐标
( 3)确定被积函数及积分区间
( 4)计算定积分,求出面积
定积分的简单应
用
( 2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积
4 x
y
O 8
4
2
2
B
xy 24xy
S1S2
44
2
122
8
4
4
021 dxxdxxsssA:
4
y
O 8
4
2
2
A
S1S2
例 2 .计算由曲线 xy 2 直线 4xy 以及 x轴所围图形的面积S定
积分的简单应
用
四、例题实践求曲边形面积
442
12
8
021 dxxsssB:
x
y
O
1
2
xy cos xy sin
五、巩固练习书本 P58 练习提高 :书本 P66 复习参考题 A组 16 题
定积分的简单应
用
4
xyxy cos,sin 求曲线 与直线 2,0
xx
所围成平面图形的面积
S1
dxxdxxS 4
0
4
01 sincos
dxxdxxS 2
4
2
4
2 cossin
21 SSS 解题要点 : S2
有其他方法吗?
S1=S2
七、作业1 、书本 P60 习题 A 组 1 B 组 32 、全优设计 P48 - 493 、思考 B 组 1 , 2
六、小结
1 .本节课我们做了什么探究活动呢?2 .如何用定积分解决曲边形面积问题呢?3 .解题时应注意些什么呢?4 .体会到什么样的数学研究思路及方法呢?
思考
h
b
如图 , 一桥拱的形状为抛物线 , 已知该抛物线拱的高为常数 h, 宽为常数 b.
bhS3
2求证 : 抛物线拱的面积
定积分的简单应
用
建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
课本 P60 习题 B 组 2
x
h
b
y
0
),2
( hb
证明:如图建立平面直角坐标系,可设抛物线方程为)0(2 aaxy
2)2
(b
ah 则有 2
4
b
ha 得
22
4x
b
hy 所以抛物线方程为
于是,抛物线拱的面积为
dxx
b
hh
bs
b
)4
(2
22 22
2
0
2
0
32
)3
4(
22
b
xb
hh
bbh
3
2
代抛物线上一点入方程
S
2S
定积分的简单应
用