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6.1 平面结构的几何组成分析

一、几何组成分析的概念 图 a 所示铰接四边形，不费多少力就可将其变成平行四边形（图 b ），这种铰接四边形不能承受任何荷载的作用，当然不能作为建筑结构使用。如果在铰接四边形中加上一根斜杆（图 c ），那么在外力作用下其几何形状就不会改变了。

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从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可分为以下两类：（ 1 ） 几何不变体系。在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是不能改变的（上图 c ）。（ 2 ） 几何可变体系。在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是可以改变的（上图 a ）。几何可变体系的实质就是由杆件组成的体系成为一个机构。如飞机的起落架（下图）。

记住：建筑结构必须是几何不变体系。

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在某一瞬间可以发生微小位移的体系称为瞬变体系，如图 所示。虽然瞬变体系经微小位移位后不再运动，但是有时瞬变体系在受力时会对杆件产生巨大的内力，使构件发生破坏，因此瞬变体系不能作为建筑结构使用。

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[ 做一做 ] 用长约 30cm 且两端有孔的竹片若干根、钉子若干，把它们组成图所示的体系，试比较在力的作用下其几何组成情况。

显然，建筑结构必须是几何不变体系。

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对结构的几何组成进行分析，以判定体系是几何不变体系还是几何可变体系，称为几何组成分析。二、铰接三角形规则及其表达方式 在体系的几何分析中，将几何不变的部分称为刚片。一根柱可视为一个刚片；一个几何不变体系可视为一个刚片；整个地球也可视为一个刚片。

1. 铰接三角形规则

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实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图 a 所示铰接三角形 ABC 中的铰 A 拆开：杆 AB 可绕点 B 转动，杆 AB 上点 A 的轨迹是弧线①；杆 AC 可绕点 C 转动，杆 AC 上点 A 的轨迹是弧线②。这两个弧线只有一个交点，所以点 A的位置是唯一的，三角形 ABC 的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则称为铰接三角形规则。如果在铰接三角形中再增加一根链杆 AD （图 b ），体系 ABCD 仍然是几何不变的，从维持体系几何不变的角度看，

杆 AD 是多余的，因而将它叫做多余约束。所以 ABCD 体系是有多余约束的几何不变体系，而铰接三角形 ABC 是没有

多余约束的几何不变体系。

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2. 铰接三角形规则的几种表达方式（ 1 ） 二元体规则。在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个结点这种结构称为二元体结构（下图所示 ）。于是铰接三角形规则可表达二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

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（ 2 ） 两刚片规则。若将铰接三角形中的杆 AB和 BC 均视为刚片，杆 AC 视为两刚片间的约束（下图 所示），于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则：两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

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经论证，两刚片规则还可以这样表达：两刚片用三根不全平行也不全相交于一点的三根链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束（如下图所示）。

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（ 3 ） 三刚片规则。若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片（如下图），则有三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

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三、几何组成分析的实例

例 1 ：试对图所示桁架进行几何组成分析。

分），在此基础上不断增加二元体，最后可遍及整个桁架。将整个桁架视为一个刚片，基础视为另一个刚片，依据两刚片规则，它们之间用铰 A 与不通过铰 A 的支座链杆 B 相连，组成了没有多余约束的几何不变体系。结论：体系是几何不变的，且无多余约束。

解： 铰接三角形是几何不变体系（图 中阴影部

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例 2 ：试对图所示三铰拱进行几何组成分析。解： 曲杆 AC 、 CB 和直杆 AB 通过不在同一直线上的三个铰 A 、B 、 C 两两相连，组成了几何不变体系且没有多余。体系的两端通过铰 A 、 B 与基础相连，显然多了一个约束。还可以这样分析：曲杆 AC 、 CB 和基础可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的铰 A 、 B 、C 相连，组成了几何不变体系，因此，链杆 AB 可视为多余约束。结论：体系是几何不变的，且有一个多余约束

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例 3 ：试对图所示结构进行几何组成分析。

解：设基础为刚片 I ，刚片 ABC 与刚片 I 用铰 A 和不通过铰 A 的链杆 B 相连，符合两刚片规则，是几何不变体系；将刚片 ABC 和刚片 I 看成为一扩大的刚片再与刚片 CDE 用铰 C 和不通过铰 C 的链杆 D 相连，又组成一扩大的几何不变体系，该扩大了的刚片与刚片 FGH 用 EF、 G、 H 三根链杆相连且三链杆不全平行也不汇交于一点，故满足二刚片规则。因此，整个体系是几何不变体系且无多余约束。结论：体系是几何不变的，且无多余约束。

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四、静定结构和超静定结构的概念

简支梁通过铰 A 和链杆 B 与基础相连（图 a），是几何不变体系，且无多余约束。没有多余约束的几何不变体系称为静定结构。静定结构的反力和内力可通过静力平衡方程求得。如果在简支梁中增加一个链杆（图 b），它仍然是几何不变体系，但有一个多余约束。有多余约束的几何不变体系称为超静定结构。超静定结构的支座反力和内力不能由静力平衡方程全部求得。例如图 b所示梁，在荷载和支座反力的作用下，构成一个平面一般力系，可列出三个独立的平衡方程，而未知的支座反力有四个，三个方程只能解算三个未知量，所以不能求出全部的反力，因而内力也无法确定。超静定结构的内力计算，除了运用静力平衡条件外，还要利用变形条件。