1

Θεώρηµα

Έστω : k kψ →ℝ ℝ και : s sω →ℝ ℝ , ,ψ ω συναρτήσεις «1-1», ώστε να υπάρ-

χουν οι 1 1,ψ ω− − .

Αν η σ.σ. T είναι επαρκής για τη θ . Τότε:

i) H ( )1T Tψ= είναι επαρκής για το θ .

ii) Η T είναι επαρκής για ( )1θ ω θ= .

Απόδειξη:

T είναι επαρκής για θ

( ) ( )( ) ( ); ,jxf X g T x h xθ θ= ⋅ = ( ) ( )( ) ( )1

1,g T x h xω θ− ⋅ = ( )( ) ( )2 1,g T x h xθ ⋅ ⇒

( )T x επαρκής για 1θ .

, : k kf g × →ℝ ℝ ℝ

( ) ( )( ) ( ); ,f x g T x h xθ θ= ⋅ = ( )( )( ) ( )1

1 ,g T x h xψ θ− ⋅ = ( )( ) ( )1 1,g T x h xθ ⋅ . Ε-

ποµένως η ( ) ( )( )1T X T Xψ= είναι επαρκής σ.σ. για το θ .

1

v

i

i

T X=

= ⇒∑ 11

v

i

i

X

X Tv

== =∑

Έστω 1 2, ,...,v

X X X τ.δ. από ( )~ 0,X U θ . Αναζητούµε επαρκή σ.σ. για το θ.

( )1

,0

0,

xf x

ύ

θθαλλο

< <= =

( )10I x θ

θ⋅ < < , όπου: ( ) ( )1, 0,

00,

xI x

ύ

θθ

αλλο

∈< < =

.

( ) ( )1

1, 0

v

i

f x I xθ θθ=

= ⋅ < < = ∏ ( )

1

10

v

ivi

I x θθ =

< <∏

Πρέπει ( )1

0 1v

i

i

I x θ=

< < =∏ , αλλιώς ( ), 0f x θ = .

Ζητούµε ( )0 1, 1,2,...,i

I x i vθ< < = ∀ = ( )0,i

x θ∈

Βάζουµε τα iX στη σειρά: ( ) ( ) ( )1 2...

vX X X≤ ≤ ≤ , έτσι ώστε:

( )1min iX X= και ( ) max iv

X X=

Συνεπώς: ( )( ) ( )( )10 0 1

vI X I X θ< < ∞ ⋅ < < = ⇒

( ) ( )( ) ( )( )1, 0 0v

vf x I X I Xθ θ θ−= < < ∞ ⋅ < <

( ) ( )( )10h X I X= < < ∞

( )( ) ( )( ), 0v

vg T x I Xθ θ θ−= ⋅ < <

Άρα η ( ) ( )vT X X= είναι επαρκής σ.σ. για το θ.

2

Παράδειγµα

Έστω 1 2, ,..., vX X X τ.δ. από ( )1 2~ ,X U θ θ , ( )1 2,θ θ θ= .

( )1 2; ,f x θ θ = ( )1 2

2 1

1I xθ θ

θ θ⋅ < <

−.

( ) ( )1 2 1 2

1 2 1

1; ,

v

i

f X I xθ θ θ θθ θ=

= ⋅ < < = − ∏

( )( )1 2

12 1

1 v

v

i

I xθ θθ θ =

< <−

∏

Πρέπει ( )1 2

1

1v

i

I xθ θ=

< < =∏ , αλλιώς ( ), 0f x θ = .

Ζητούµε ( )1 2 1, 1,2,...,I x i vθ θ< < = ∀ = ( )1 2,i

x θ θ∈

( )1min

iX X= , ( ) max

ivX X=

Συνεπώς: ( )( ) ( )( )1 210 1

vI X I Xθ θ< < ∞ ⋅ < < =

και ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 1 1 21; , 0

v

vf X I X I Xθ θ θ θ θ θ−

= − < < ∞ ⋅ < <

Άρα ( ) 1h X = , ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 21, 0

v

vg T x I X I Xθ θ θ θ θ−

= − < < ∞ ⋅ < <

( ) ( ) ( )( )1,

vT X X X=

3

ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ (Completeness)

Έστω 1 2, ,...,v

X X X τ.δ. από κατανοµή µε ( )~ ,f x θ . Έστω ότι η Τ είναι επαρ-

κής σ.σ. για θ µε συνάρτηση π.π. ( ),T

h t θ και έστω ότι ( ){ }; ,h t θ θ ∈Θ η οικο-

γένεια κατανοµών της µορφής αυτής.

Ας υποθέσουµε ότι ( )g T µια συνάρτηση της επαρκούς ( )T X . Εάν η συνθήκη

( ) 0,E g T θ= ∀ ∈Θ , συνεπάγεται ότι ( ) 0,g t t= ∀ , εκτός πιθανώς από ορισµέ-

να σηµεία, που αποτελούν ένα σύνολο 0N , µηδενικού µέτρου ( )( )00P T N∈ = ,

τότε η Τ καλείται πλήρης και επαρκής σ.σ. για το θ. Επίσης πλήρης θα κα-

λείται και η οικογένεια κατανοµών.

( ) ( ) ( ), 0 0t

g t h t g tθ⋅ = ⇒ =∑ , για διακριτή τ.µ. και

( ) ( ) ( ), 0 0t

g t h t d g tθ θ⋅ = ⇒ =∫ , για συνεχή τ.µ.

Αν η τ.µ. Υ µε σ.κ. ( ),Y

f y θ η οικογένεια κατανοµών ( ){ }, ;Y

F f y θ θ= ∈Θ κα-

λείται πλήρης, εάν για κάθε συνάρτηση : kg →ℝ ℝ , η σχέση

( ) 0, sE g Y θ= ∀ ∈Θ συνεπάγεται ( ) 00, k

g Y y N= ∀ ∈ −ℝ

Παραδείγµατα

Έστω 1 2, ,...,v

X X X τ.δ. ( )~ Poisson θ .

Να βρεθεί επαρκής και πλήρης σ.σ.

Λύση:

∆είχθηκε ότι η 1

v

i

i

T X=

=∑ είναι επαρκής σ.σ. για το θ.

( )~T Poisson vθ και έστω µία ( )g T

( ) 0E g T = ⇒ ( ) ( )0

,t

g t h t θ∞

=

⋅ =∑ ( ) ( )0 !

t

v

t

vg t e

t

θ θ∞−

=

⋅ =∑

( ) ( )0

0!

t

v

t

ve g t

t

θ θ∞−

=

⋅ = ⇒∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3

0 1 2 3 ... 00! 1! 2! 3!

v v v vg g g g

θ θ θ θ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = και, αφού

( ) ( )0 1

0, 00! 1!

v vθ θ≠ ≠ και γενικά

( )0,

!

tv

tt

θ≠ ∀ έπεται ότι ( ) 0,g t t= ∀ .

Άρα η 1

v

i

i

T X=

=∑ είναι και πλήρης!