电路基础 - RFIC Group @ Fudan University · 电路基础 (Fundamentals of Electric Circuits,...

电路基础(Fundamentals of Electric Circuits, INF0120002.05)

2018年03月29日

唐长文教授

[email protected]

http://rfic.fudan.edu.cn/Courses.htm

复旦大学/微电子学院/射频集成电路设计研究小组

版权©2018，版权保留，侵犯必究

复旦大学射频集成电路设计研究小组唐长文


-012-

第四章电路定理

置换定理

叠加定理

等效电源定理

最大功率传输定理

特勒根定理

互易定理

对偶原理



-013-

置换定理

若某一端口的电压和电流为V0和I0，可以用VS

= V0的电压源或者IS = I0的电流源来置换此一端口，而不影响电路中其它部分的电压和电流。

I0

V0N1 N2

I0

VS=V0N1

I0

V0N1V0 IS=I0



-014-

置换为电压源

I0

V0N1 N2

I0

VS=V0N1 V0

V

I0

V

I0

V0

I0

V=f2(I)

V=f1(I) V=f1(I)

VS=V0

I0

V0



-015-

置换为电流源

I0

V0N1 N2

I0

V0N1 IS=I0

V

I0

V0

I0

V=f2(I)

V=f1(I)

V

I0

V0V=f1(I)

IS=I0

I0



-016-

论证

I0

V0N1 N2

I0

V0N1 N2

I0

V0N1 N2V0 V0

I0

V0

I0

V0N1 N2V0 V0

I0

V0

I0

N1 V0 N2

I0

V0

VS=

V0

I0

V0N1 N2

I0

V0I0 I0

I0

V0N1 N2

I0

V0I0 I0

I0

N1 V0 N2

I0

V0

I S=

I 0



-017-

例题1

如图所示，已知R1 = 3 Ω，R2 = 1 Ω，R4 = 3 Ω，IS= 2 A，V3 = 2 V，求电阻R3和电流I2。

1. 置换

2. 回路电流方程

1 2 m1 m2 1 S 3

m1 4 m2 3

( ) 0

0

R R I I R I V

I R I V

I2 = Im1 = 1 A, Im2 = 2/3 A, R3 = (2 V)/(1 A − 2/3 A) = 6 Ω

ISR1 V3R1

R2

IS

I2

R3 R4ISR1 R4

R2I2

R1 V3IS

Im1ISR1

Im2R1R2

I2

V3 R4ISR1 V3R1

R2

IS

I2

R3 R4



-018-

叠加定理

叠加定理：在线性电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应等于各个独立电源单独作用时产生相应相应的代数和。

几点注意：

每个独立电源单独作用时，其它独立电源置零。电压源短路，电流源开路。

受控电源保留在各分电路中。

功率不满足叠加特性。



-019-

例题2

VS IS

R1

R2

I1

V2

如图所示，求电流I1和电压V2。

回路电流方程

节点电压方程

1 2 m1 S 2 S

21 m1 S S

1 2 1 2

( )

1

R R I V R I

RI I V I

R R R R

Sn1 S

1 2 1

2 1 22 n1 S S

1 2 1 2

1 1( )

VV I

R R R

R R RV V V I

R R R R

VS R2IS

R1 R2

I1

Im1

R2ISVS/R1 ISR1 R2 V2

1

0

2

R2ISVS/R1

0

VS IS

R1

R2

I1

V2

1



-0110-

每个独立电源单独作用

VS IS

R1

R2

I1

V2

VS

R1

R2

I'1

V'2

VS

IS

R1

R2

I''1

V''2

=

+

'

1 S

1 2

' 22 S

1 2

1I V

R R

RV V

R R

'' 21 S

1 2

'' 1 21 S

1 2

RI I

R R

R RV I

R R



-0111-

例题3

如图所示，已知R1 = 2 Ω，R2 = 1 Ω，r = 3 Ω， VS

= 3 V，IS = 3 A，求电压V2。

叠加定理

1. 电压源VS单独作用

2. 电流源IS单独作用

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2VS

R1

R2

rI'1I'1

V'2VS

R1

R2

rI'1I'1

V'2Im1

1 2 m1 S m1

'

1 m1 S

1 2

' 22 S

1 2

( )

1

R R I V rI

I I VR R r

RV V

R R r

IS

R1

R2

rI''1

V''2

I''1

0

1

2

VS

V'2 = 0.5 V，V''2 = 2.5 V，V2= 3 V

0

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2

''

1 n1n1 S S

1 2 2 2 1

'' ''1 2 n1 1 2n1 S 2 n1 1 n1 S

1 2 1 1 2

1 1( )

( ),

rI VrV I I

R R R R R

R R V R r RV I V V rI V r I

R R r R R R r



-0112-

思考

• 复杂的电路有必要使用叠加定理吗？

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2

0

1

2

S1

n1

1 2 1 2

S1 1( )

V rIV

R RI

R R

n1n1

1 2 1

S

1 2

S S( )1 1( )

rV VV

R R R RI

V

R

S2 1 2

n1

1 2 1

S

2

R r R RV

RV

R r R rI

R

n12 n1 1 n1

S

1

( )VV V rI V r

R

V

2 1 22

1 2

S

1

S

2

( )R R r RV

R R r R RV

rI



-0113-

例题4

'' ''''S2 S2 n1

n1 1

1 2 2 2 1

V V1 1( )

VV βI β

R R R R R

''1n1 S2

1 2

V(1 )

RV

R β R

V''1 = −Vn1 = − 1/4 V ，V1= 2 V − 1/4 V = 1.75 V

V1

R1

βI1

R2

VS1

VS2

I1

IS

1

V''1

R1

βI''1

R2 V''S2

I''1

1

0

2

VS1

V1

R1

βI1

R2

VS1

VS2

I1

IS

1

V1 = V'1 + V''1

V'1 = 2 V，是VS2 = 3 V时，

其它独立电源正常作用，电阻R1的电压值。

V''1是VS2 = 1 V，其它独立电源置零，电阻R1的电压值。

如图所示，已知R1 = R2 = 1 Ω， β = 2，VS2 = 3 V

时，V1 = 2 V。求VS2 = 4 V时的电压V1 。



-0114-

齐性定理

齐性定理：在只有一个独立电源作用的线性电路中，若将该电源变为原来的K倍，则对应的响应也变为原来响应的K倍。



-0115-

例题5

如图所示，已知R1 = R2 = R4 = R6 = 2 Ω，R3 = R5

= 4 Ω。如果I1 = 1 A，求电压VS；如果VS = 1 V，求

各支路电流。

VS R1

R2

R3R5

R4R6 I1I3I5I2I4I62 1

2 2 1 13

3

4 3 2

4 4 3 35

5

6 5 4

S 6 6 5 5

1 A

1 A

2 A

2 A

4 A

16 V

I I

R I R II

R

I I I

R I R II

R

I I I

V R I R I

' ' ' ' ' '

3 2 1 5 4 6

1 1 1 1 1 11 A A, 2 A A, 4 A A

16 16 16 8 16 4I I I I I I



-0116-

齐性定理和叠加定理的数学表达式

在线性电路中，任一响应都是该电路中独立电源的线性组合。

其中Y表示任一响应，Xj表示第j个独立源，Kj为常系数，取决于电路结构和电阻以及受控电源的参数。

1 1 2 2 3 3 m m j j1

...m

j

Y K X K X K X K X K X



-0117-

例题6

如图所示，N为线性含独立源电阻网络，已知当VS

= 3 V时，I = 2 A；当VS = −2 V时，I = −1 A。若要使I = 0 A，VS应为多少？

1 S j j2

m

j

I K V K X

1 j j2

1 j j2

2 3

1 ( 2)

m

j

m

j

K K X

K K X

1

j j2

3

5

1

5

m

j

K

K X

S S S

3 1 3 1 1, 0 ,

5 5 5 5 3I V V V

N IVS



-0118-

等效电源定理

• 戴维南定理含独立电源、线性电阻和受控源的一端口网络的对外作

用可以用电压源和电阻的串联电路来等效。其中电压源的电压等于一端口网络的开路电压，电阻等于一端口网络内所有独立源置零后的等效电阻。

• 诺顿定理含独立电源、线性电阻和受控源的一端口网络的对外作

用可以用电流源和电阻的并联电路来等效。其中电流源的电流等于一端口网络的短路电流，电阻等于一端口网络内所有独立源置零后的等效电阻。



-0119-

戴维南电路与诺顿电路的关系

N1

A

B

OCSC

EQ

EQ

EQ

1

VI

R

GR

戴维南电路诺顿电路

A

B

VOC

REQ

A

B

ISC GEQ



-0120-

戴维南定理的论证

N1

A

B

V'

置换定理

=

+

叠加定理' ''

j j1

OC

''

EQ

OC EQ

m

j

V V V K X KI

V KI

VR K

I

V V R I

N0为N1独立源置零后网络。

N1

A

B

V

I

N2 N1

A

B

V I

N0

A

B

V'' I



-0121-

诺顿定理的论证

置换定理

=

+

叠加定理' ''

j j1

SC

''

EQ

SC EQ

m

j

I I I K X KV

I KV

IG K

V

I I G V

N0为N1独立源置零后网络。

N1

A

B

V

I

N2 N1

A

B

V

I

N1

A

B

I'

N0

A

B

V

I''



-0122-

思考

• 任何含源一端口网络都能等效成戴维南电路吗？

等效电导GEQ = 0,只能等效为诺顿电路。

• 任何含源一端口网络都能等效成诺顿电路吗？

等效电阻REQ = 0,只能等效为戴维南电路。



-0123-

例题7

EQ (4 Ω || 4 Ω) (3 Ω || 6 Ω) 4 ΩR

2OCL

EQ L

, V

I P I RR R

RL

VS

R1 R2

R3 R4

VOCVS

R1 R2

R3 R4

REQ

R1 R2

R3 R4

VS VOC

REQ

RLVS

RL

VS

R1 R2

R3 R4

OC

4 Ω 6 Ω6 V 6 V 1 V

4 Ω 4 Ω 3 Ω 6 ΩV

如图所示电桥电路，已知R1 = 4 Ω，R2 = 3 Ω，R3 =

4 Ω ，R4 = 6 Ω，VS = 6 V。 RL分别为0 Ω，2 Ω和4

Ω时，求电阻RL的电流和功耗。

1. 计算VOC

2. 计算REQ

3. 计算电流和功耗

− 1/4 A，0 W；− 1/6 A，1/18 W；− 1/8 A，1/16 W；



-0124-

例题8

如图所示，已知R1 = R2 = 2 Ω，g = 1/2 S，VS = 3

V，求戴维南等效电路和诺顿等效电路。

1. 计算VOC

2. 计算ISC

3. 计算REQ

VS

R1

R2

V1

gV1

B

A

VS

R1

R2

V1

gV1

B

A

VOC

SOC S OC

1 2 1

OC

1 1( ) ( )

2 V

VV g V V

R R R

V

OCEQ

SC

2 Ω

3

VR

I

SSC S

1

3 AV

I gVR

VOCVS

R1

R2

V1

gV1

B

A

ISC2 V2/3 Ω

B

A

3 A 2/3 Ω

B

A

2 VVS

R1

R2

V1

gV1

B

A

2/3 Ω



-0125-

例题9

如图所示，已知R1 = 2 Ω，r = 3 Ω。当R2 = 10 Ω时，V2 = 2 V，求R2为何值时，I2 = 0.5 A?

1. 计算REQ

2. 戴维南等效，计算VOC

3. 计算电阻R2

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2

I2

X 1 X XEQ 1

X X

5 ΩV R I rI

R R rI I

V2

R1

I1rI1

Vx

Ix

VSVS R2

rI1

V2

I2

VOC

REQ

2OC EQ 2

2

( ) 3 VV

V R RR

OC2 EQ

2

1 ΩV

R RI

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2

I2



-0126-

如图所示，已知R2 = 1 Ω， β = 2，当R1 = 1 Ω时，I1 = 1 A， V2 = −2 V，当R1 = 2 Ω时，求电流I1 和电压V2的值。

1. 等效电源定理

2. 置换定理

3. 齐性定理

4. 叠加定理

例题10

R1

βI1

R2

VS1

VS2

I1

IS

1V2



-0127-

1.等效电源定理

当R1 = 2 Ω时，I1 = VOC/(REQ+R1) = 0.8 A。

VOC

REQ

R1

βI1

R2

I1

1

VX

X 2 X XEQ 2

X X

( )(1 ) 3 Ω

V R I βIR R β

I I

OC EQ 1 1( ) 4 VV R R I



-0128-

2.置换定理

3.齐性定理

4.叠加定理

当R1 = 2 Ω时，

VS1βI1

R2

VS1

VS2

I1

IS

1V2

I1

2 2 1 1

21 2

1

( )

(1 ) 3 Ω

V R I βI

VK R β

I

βI1

R2

I1

1V2

I1

VS1

2 1 1 j j2

m

j

V K I K X

j j 2 1 12

( 2) 3 1 1 Vm

j

K X V K I

2 1 1 j j2

3 0.8 1 1.4 Vm

j

V K I K X



-0129-

最大功率传输定理

负载RL上获得的功率，

其中，PS为电源发出的功率，η为传输效率。

获得的最大功率的条件和最大功率值，

VS

RS

RL

2

L

S

2 SL L L L

S L

2

S

S L L

S

VP I R R

R R

RVP

Rη

RR R

22

S SLL S L,max S

L S S

d0, ,

d 2 4

V VPR R P R

R R R



-0130-

例题11

如图所示，已知R1 = 2 Ω，r = 3 Ω，当R2 = 10 Ω时，V2 = 2 V。求R2为何值时，电阻R2可以获得最大功率?

1. 计算REQ

2. 戴维南等效，计算VOC

3. 计算PL,max

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2

I2X 1 X X

EQ 1

X X

5 ΩV R I rI

R R rI I

V2

R1

I1rI1

Vx

Ix

VSVS R2

rI1

V2

I2

VOC

REQ

2OC EQ 2

2

( ) 3 VV

V R RR

2

OC2 EQ L,max

EQ

5 Ω, 0.45 W4

VR R P

R

VS IS

R1

R2

I1rI1

V2

I2



-0131-

例题12

如图所示电路，N为线性含独立源网络，当AB端开路时，I = 1 A；当AB端短路时，I = 3 A；当AB端接2 Ω电阻时，2 Ω电阻刚好获得最大功率，求此时的电流I为多少？

1. 电源等效定理

2. 置换定理

3. 叠加定理 N

A

B

I



-0132-

1. 电源等效定理

2. 置换定理

3. 叠加定理

L AB OC

L AB

OC OCL AB L

EQ L

, 1,

0, 3, 0

2 Ω, 2

R I V V

R I V

V VR V R

R R

1 AB j j2

m

j

I K V K X

1 OC j j2

1 j j2

1 A

3 A 0

m

j

m

j

K V K X

K K X

1

OC

j j2

2

3 Am

j

KV

K X

OC

OC

23 2 A

2

VI

V

VOC

REQ

RL

A

B

N

A

B

I VAB



-0133-

特勒根定理

假设两个电路N和，均具有n个节点和b条支路，而且节点和支路的连接关系相同。这样的N和称作结构相同的电路。

对应的节点和支路编号相同，对应支路的电压和电流参考方向相同，电路N中的各支路电压Vk与电路中的对应支路电流的乘积之和等于零。

NN

N kI

k k k k or 1 1

0 0b b

k k

V I V I



-0134-

论证

k k A B AB

A AB B BA

A AB B BA

A AB B BA

A A

1 1

1

1 1

( )

( )

0 0

0

b b

k k

b

k

b b

k k

V I V V I

V I V I

V I V I

V I V I

V V

B

A

B

A

N N

kVkV kI kI



-0135-

功率守恒和似功率守恒

如果电路就是电路N，电压和电流为关联参考方向，那么

即，一个电路中各支路吸收功率的代数和等于零。这就是电路的功率守恒定理。

和具有功率的量纲，称为似功率。因此特勒根定理又称为似功率守恒定理。

N

k k k 1 1

0 0b b

k k

V I P

k kV I k kV I



-0136-

互易定理

仅含线性电阻和独立电源的电路，其回路方程的系数和节点电压方程得系数都是关于主对角线对称的。具有这种特性的电路属于互易性电路。互易性电路满足互易定理。



-0137-

第一种形式

对于仅含线性电阻的电路，当电压源VS在端口1作用时，在端口2产生的短路电流I2等于把电压源VS换到端口2作用而在端口1所产生的短路电流。

2 1I I

1I

P1 P2 I2VS VS1I P1 P2



-0138-

第二种形式

对于仅含线性电阻的电路，当电流源IS在端口1

作用时，在端口2产生的开路电压V2等于把电流源IS换到端口2作用而在端口1所产生的开路电压。1V

2 1V V

VSIS IS1VV2P1 P2 P1 P2



-0139-

第三种形式

对于仅含线性电阻的电路，当电压源VS在端口1作用时，在端口2产生的开路电压V2等于把等数值电流源IS(=VS)换到端口2作用而在端口1所产生的短路电流。

1I

2 S

S1

V V

II

VS ISV2 1I P1 P2P1 P2



-0140-

论证

由特勒根定理，可得

V1

1I

P1 P2P1 P2

I1 I2

V2 1V2I

2V

b b

k k

V I V I V I V I V I V I

1 2 2 1 1 2 23 3

0 01 k k k k

b b

k k

V I V I R I I V I V I R I I

1 2 2 1 1 2 23 3

0 01 k k k k k k

11 2 2 1 1 2 2V I V I V I V I



-0141-

第一种形式：

第二种形式：

第三种形式：

S 1 S 1 2 0 2, , 0,V V V V V V V

11 2 2 1 1 2 2V I V I V I V I

2 1I I

S 1 S 1 2 2, 0, 0,I I I I I I

2 1V V

S 1 S 1 2 2, 0, 0,V V I V I I

2 S

S1

V V

II



-0142-

对偶原理

电路在结构、连接方式、定律、元件、参数、名称、变量及其关系等方面都存在着对偶性。这些互相对偶的“内容”称为对偶因素。

如果电路中某一定理(或者方程、关系式等)的表述是成立的，则将其中的概念(变量、参数、元件和结构等)用其对偶因素替换所得的对偶表述也一定成立。这就是对偶原理。



-0143-

对偶因素列表

电压电流串联并联

电荷磁链星形联结三角形联结

电阻电导开路短路

电容电感基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律

电压源电流源戴维南定理诺顿定理

电压控制电流源电流控制电压源回路电流方程节点电压方程

电压控制电压源电流控制电流源支路电流方程支路电压方程

节点网孔互易定理表述一互易定理表述二

自阻自导极点零点

互阻互导时间频率

对偶因素对偶因素



-0144-

例题13

如图所示电路，列写图(a)的回路电流方程和图(b)的节点电压方程，简述这两电路的对偶因素。

R1

R2 R3Im1VS Im2

IS G1 G3

G2

0

1 2

3

(a) (b)



-0145-

回路电流方程节点电压方程

对偶因素：

电阻与电导，自阻与自导，互阻与互导，回路与节点，回路电流与节点电压，电压源与电流源，

2 m1 2 m2 S

2 m1 2 3 m2

1( )

( ) 0

R R I R I V

R I R R I

2 n1 2 n2 S

2 n1 2 3 n2

1( )

(G ) 0

G G V G V I

G V G V

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