บทท�� 8ตั�วแบบมาร์�คอฟ

บทนำ�าในำการ์ตั�ดสิ�นำใจของผู้��บร์�หาร์เก��ยวก�บ

ปั!ญหาทางธุ$ร์ก�จนำ�%นำ ย&อมจะม�ความไม&แนำ&นำอนำ เก�ดข)%นำได�เสิมอ ด�งนำ�%นำผู้��บร์�หาร์จ)งจ�าเปั*นำจะ

ตั�องม�การ์เตัร์�ยมพร์�อมท��จะร์�บม,อและจ�ดการ์ ก�บความไม&แนำ&นำอนำท��จะเก�ดข)%นำเหล&านำ�%นำ เพ,�อ

ท�าให�การ์ตั�ดสิ�นำใจในำปั!จจ$บ�นำเปั*นำไปัอย&าง เหมาะสิม ซึ่)�งเคร์,�องม,อท��จะนำ�ามาใช้�ในำการ์

จ�ดการ์ก�บความไม&แนำ&นำอนำท��จะกล&าวในำบทนำ�% ค,อ ตั�วแบบเช้�งปัร์�มาณท��จะช้&วยให�ข�อม�ลของ

สิ��งท��จะเก�ดข)%นำในำอนำาคตั เพ,�อใช้�ในำการ์ตั�ดสิ�นำ ใจในำด�านำตั&างๆ เช้&นำ ปั!ญหาด�านำการ์ผู้ล�ตั การ์

เง�นำ การ์บ�ญช้� การ์ตัลาด บ$คลากร์ ฯลฯ ตั�ว แบบท��จะช้&วยในำการ์ตั�ดสิ�นำใจนำ�%ค,อ ตั�วแบบ

มาร์�คอฟ (Markov model)

ตั�วแบบมาร์�คอฟ (Markov model) เปั*นำตั�วแบบท��นำ�าแนำวความค�ดในำเร์,�องความนำ&าจะ

เปั*นำมาใช้�ในำการ์พยากร์ณ�โดย จะพยากร์ณ�โอกาสิ หร์,อความนำ&าจะเปั*นำท��จะเก�ดเหตั$การ์ณ�ในำอนำาคตั

โดยใช้�ข�อม�ลของเหตั$การ์ณ�ในำปั!จจ$บ�นำ เช้&นำ การ์พยากร์ณ�หร์,อปัร์ะมาณสิ&วนำแบ&งตัลาดของสิ�นำค�า

ย��ห�อ A ในำเด,อนำหนำ�า และปัร์ะมาณโอกาสิท��ล�กค�าท��เคยซึ่,%อย��ห�อ A จะเปัล��ยนำไปัซึ่,%อย��ห�อ B แทนำ หร์,อปัร์ะมาณว&าโอกาสิท��เคร์,�องจ�กร์จะใช้�งานำได�ในำสิ�ปัดาห�หนำ�าจะย�งคงใช้�ได�ด�ในำสิ�ปัดาห�หนำ�าหร์,อไม&

ความนำ&าจะเปั*นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงความนำ&าจะเปั*นำของการ์เปัล��ยนำแปัลง

(Transition Probability) เปั*นำตั�วแบบท��ใช้�ในำการ์พยากร์ณ�หร์,อปัร์ะมาณสิถานำการ์ณ�ในำอนำาคตั โดยตั�องทร์าบสิถานำการ์ณ�ปั!จจ$บ�นำ และตั�องทร์าบความนำ&าจะเปั*นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงจากสิถานำะหนำ)�งไปัเปั*นำอ�กสิถานำะหนำ)�ง เช้&นำ ทร์าบความนำ&าจะเปั*นำท��ล�กค�าเคยซึ่,%อแช้มพ�สิร์ะผู้มย��ห�อ A ในำเด,อนำนำ�% ย�งคงจะซึ่,%อย��ห�อเด�มในำเด,อนำหนำ�าหร์,อจะเปัล��ยนำไปัซึ่,%อย��ห�อ C

ตั�วอย&างท�� 1 ณ หม�&บ�านำเล6กๆ แห&งหนำ)�งม�ร์�านำขายของช้�า 2 ร์�านำ ค,อ ร์�านำสิะดวกและร์�านำสิบาย จากการ์เก6บร์วบร์วมข�อม�ลล�กค�า 100 คนำ พบว&า 80% ท��ซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวกในำสิ�ปัดาห�ท�� 1 ย�งคงซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำเด�ม ในำสิ�ปัดาห�ท�� 2 ในำขณะท�� 20% ของล�กค�าท��เคยซึ่,%อจากร์�านำสิะดวกในำสิ�ปัดาห�ท�� 1 จะเปัล��ยนำไปัซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห�ท�� 2 และ 70% ของล�กค�าท��เคยซึ่,%อจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห� 1 ย�งคงซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห�ท�� 2 ขณะท�� 30% ของล�กค�าท��ซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห�ท�� 1 จะเปัล��ยนำไปัซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวก ตั�วเลขด�งกล&าวจะแสิดงถ)งความนำ&าจะเปั*นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงโดยจะแสิดงในำร์�ปัเมทร์�กซึ่�ท��แสิดงความนำ&าจะเปั*นำของการ์เปัล��ยนำแปัลง (Transition Probability Matrix) ซึ่)�งใช้�สิ�ญล�กษณ� P

  โดยทางด�านำแนำวนำอนำหมายถ)งสิ�ปัดาห�แร์ก สิ&วนำทางด�านำแนำวตั�%งหมายถ)งสิ�ปัดาห�ท�� 2ในำร์�ปัท��วไปั ถ�าม� 2 สิถานำะ (2 ร์�านำ ด�งตั�วอย&างท�� 1) เมทร์�กซึ่�ท��แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงของสิถานำะจะเปั*นำ

สิะดวก สิบายสิะดวกP =สิบาย

P=

โดยท�� Pij = ความนำ&าจะเปั*นำในำการ์เปัล��ยนำแปัลงจากสิถานำะท�� i ในำปั!จจ$บ�นำเปั*นำสิถานำะท�� j ในำอนำาคตั ; ij = 1,2

เช้&นำ P21 = ความนำ&าจะเปั*นำในำอนำาคตัจะอย�&ในำสิถานำะท�� 1 โดยท��ปั!จจ$บ�นำอย�&ในำสิถานำะท�� 2

และ P11 + P12 = 1 , P21 + P22 = 1

หร์,อ ผู้ลบวกความนำ&าจะเปั*นำทางด�านำแนำวนำอนำเท&านำก�บ 1

เง,�อนำไขของตั�วแปัร์แบบมาร์�คอฟ1. จ�านำวนำสิถานำะจะตั�องจ�าก�ดและนำ�บได� (Finite)

เช้&นำ จ�านำวนำร์�านำค�าในำหม�&บ�านำตั�องม�จ�านำวนำจ�าก�ด2. ขนำาดของร์ะบบจะตั�องไม&ม�การ์เปัล��ยนำแปัลง

เช้&นำ ไม&ม�ล�กค�าใหม& หร์,อไม&ม�ล�กค�าเก&าออกจากร์ะบบ 3. เมทร์�กซึ่�ท��แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงสิถานำะจะคงท��4. การ์พยากร์ณ�การ์เก�ดสิถานำะในำอนำาคตัข)%นำก�บ

สิถานำะในำปั!จจ$บ�นำและความนำ&าจะเปั*นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงเท&านำ�%นำ

5. แตั&ละหนำ&วยตั�องอย�&ในำสิถานำะใดสิถานำะหนำ)�งเพ�ยงสิถานำะเด�ยว ณ เวลาใดเวลาหนำ)�ง

การ์แก�ปั!ญหาด�านำเทคนำ�คมาร์�คอฟ

การ์แก�ปั!ญหาค,อ การ์นำ�าค�านำวณหาความนำ&าจะเปั*นำท��ร์ะบบจะอย�&ในำสิถานำะตั&างๆ ในำอนำาคตั โดยจะค�านำวณได�จากสิถานำะปั!จจ$บ�นำ และเมทร์�กซึ่�แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลง ก�าหนำดให� P = เมทร์�กซึ่�แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงสิถานำะ (n) = ความนำ&าจะเปั*นำของการ์อย�&ในำสิถานำการ์ณ�ตั&างๆ ในำงวดท�� n ; n= 0, 1, 2,… (n +1) = ความนำ&าจะเปั*นำของการ์อย$&ในำสิถานำการ์ณ�ตั&างๆ ในำงวดท�� n + 1 โดย (0) = ความนำ&าจะเปั*นำของการ์อย�&ในำสิถานำการ์ณ�ตั&างๆ ตัอนำเร์��มตั�นำ

การ์หาความนำ&าจะเปั*นำของการ์อย�&ในำสิถานำการ์ณ�ตั&างๆ ของงวดท�� n + 1 ค,อ

(n +1) = (n) . P (1) = (0) .P (2) = (1) . P

ตั�วอย&างท�� 2 จากตั�วอย&างท�� 1 ถ�าในำสิ&วนำแบ&งตัลาดตั&อสิ�ปัดาห�เปั*นำด�งนำ�% ล�กค�าซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวก 90% และจากร์�านำสิบาย 10% ซึ่)�งหมายถ)ง 2 สิถานำะค,อ (1) สิถานำะท�� 1 : ซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวก (2) สิถานำะท�� 2 : ซึ่,%อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายซึ่)�งหมายถ)ง

P (สิะดวก) = 0.9P (สิบาย) = 0.1

ตั�องการ์หาสิ&วนำแบ&งตัลาดในำสิ�ปัดาห�หนำ�า โดยใช้�เมทร์�กซึ่�แสิดงความเปัล��ยนำแปัลงจากตั�วอย&างท�� 1 ค,อ

P=

ถ�าให�ปั!จจ$บ�นำหร์,อสิ�ปัดาห� ค,อสิ�ปัดาห�เร์��มตั�นำ (n = 0) สิ&วนำแบ&งตัลาดของสิ�ปัดาห�ค,อ (0) = (0.9 0.3) และสิ&วนำแบ&งของสิ�ปัดาห�หนำ�า ค,อ (1)

  (1) = (0).P

= (0.9 0.1) หล�กการ์ค�ณของเวกเตัอร์� (0.9 0.1) และเมทร์�กซึ่� P เปั*นำด�งนำ�%แถวนำอนำท�� 1 ค�ณแถวตั�%งท�� 1 (0.9 0.1) = (0.9) (0.8) + (0.1) (0.3) = 0.75 สิ&วนำแบ&งตัลาดของร์�านำสิะดวกในำสิ�ปัดาห�หนำ�า = . 75หร์,อ 75%

แถวนำอนำท�� 1 ค�ณแถวตั�%งท�� 1 (0.9 0.1) = (0.9) (0.2) + (0.1) (0.7) = 0.25 สิ&วนำแบ&งตัลาดของร์�านำสิะดวกในำสิ�ปัดาห�หนำ�า = . 25หร์,อ 25%

ผู้ลร์วมของสิ&วนำแบ&งตัลาดของร์�านำสิะดวกและร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห�หนำ�า = .75 + .25 = 1

ตั�วอย&างท�� 3 ถ�าม�กร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ 3 ย��ห�อวางขายในำท�องตัลาด เพ,�อศึ)กษาการ์เปัล��ยนำแปัลงของพฤตั�กร์ร์มการ์ซึ่,%อกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำของนำ�กเร์�ยนำ จ)งท�าการ์สิ�าร์วจการ์ใช้�กร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ โดยสิอบถามนำ�กเร์�ยนำจ�านำวนำ 1,000 คนำ ได�ข�อม�ลด�งนำ�%

ม�นำ�กเร์�ยนำใช้�กร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Bag 370 คนำม�นำ�กเร์�ยนำใช้�กร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Shine 450

คนำม�นำ�กเร์�ยนำใช้�กร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Magic 180

คนำก. จงหาสิ&วนำแบ&งตัลาดของกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำในำงดตั&อไปัข. ถ�าม�นำ�กเร์�ยนำจ�านำวนำ 100,000 คนำ จงพยากร์ณ�

จ�านำวนำกร์ะเปั:า นำ�กเร์�ยนำท��แตั&ละย��ห�อจะขายได�ในำงวดหนำ�า

สิ&วนำแบ&งตัลาดในำงวดท�� (0) หร์,อปั!จจ$บ�นำเปั*นำด�งนำ�%ย��ห�อ Bag ม�สิ&วนำแบ&ง = = .37 หร์,อ

37%ย��ห�อ Shine ม�สิ&วนำแบ&ง = = .45

หร์,อ 45%ย��ห�อ Magic ม�สิ&วนำแบ&ง = = .18 หร์,อ

18%โดยในำท��นำ�%ก�าหนำดให�ย��ห�อ Bag เปั*นำสิถานำะท��

1 สิ&วนำย��ห�อ Shine และ Magic เปั*นำสิถานำะท�� 2 และ 3 ตัามล�าด�บ

(0) = (.37 .45 .18)

ถ�าเมทร์�กซึ่�ซึ่)�งแสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงเปั*นำ

Bag Shine Magic

Bag .5 .2 .3P = Shine .2 .7 .1 Magic .1 .3 .6

จงหาสิ&วนำแบ&งตัลาดของกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำท�%ง 3 ย��ห�อในำงวดถ�ดไปั

ว�ธุ�ท�า ก&อนำจะค�านำวณสิ&วนำแบ&งตัลาดของกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำท�%ง 3 ย��ห�อในำงวดถ�ดไปั ขออธุ�บายความหมายของตั�วเลขในำแมทร์�กซึ่� P ด�งนำ�%แถวนำอนำท�� 1

P11 = .5 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Bag สิามาร์ถร์�กษาล�กค�าของตันำเองไว�ได� 50%

P12 = .2 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Bag เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Shine 20% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�%

P13 = .3 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Bag เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Magic 30% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�%

แถวนำอนำท�� 2P21 = .2 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:า

นำ�กเร์�ยนำ Shine เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Bag 20% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�%

P22 = .7 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Shine สิามาร์ถร์�กษาล�กค�าของตันำเองไว�ได� 70%

P13 = .1 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Shine เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Magic 10% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�%

แถวนำอนำท�� 3P31 = .1 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:า

นำ�กเร์�ยนำ Magic เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Bag 10% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�%

P32 = .3 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Magic เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Shine 30% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�%

P33 = .6 หมายถ)ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ Magic สิามาร์ถร์�กษาล�กค�าของตันำเองไว�ได� 60%

ค�านำวณหาสิ&วนำแบ&งตัลาดของกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำ

สิ&วนำแบ&งตัลาดของกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำในำงวดหนำ�า ค,อ (1) = (0) .P

.5 .2 .3= (.37 .45.18) .2 .7 .1

.1 .3 .6

การ์หาสิ&วนำแบ&งตัลาดในำงวดถ�ดไปัของ Bag.5

แถวนำอนำท�� 1 x แถวตั�%งท�� 1 = (.37 .45 .18) .2

.1 = (.37)(.5) + (.45)

(.2) + (.18)(.1) = .293สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag ในำงวดถ�ดไปั

= .293 หร์,อ 29.3%

การ์หาสิ&วนำแบ&งตัลาดในำงวดถ�ดไปัของ Shine

.2แถวนำอนำท�� 1 x แถวตั�%งท�� 2 = (.37 .45 .18) .7

.3= (.37)(.2) + (.45)

(.7) + (.18)(.3) = .443 สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Shine ในำงวดถ�ดไปั = .443 หร์,อ 44.3%

การ์หาสิ&วนำแบ&งตัลาดในำงวดถ�ดไปัของ Magic.3

แถวนำอนำท�� 1 x แถวตั�%งท�� 3 = (.37 .45 .18).1

.6 = (.37)(.3) +

(.45)(.1) + (.18)(.6) = .264 สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Shine ในำงวดถ�ดไปั = .264 หร์,อ 26.4% (1) = (.293 .443 .264)

ข. ถ�าม�นำ�กเร์�ยนำท�%งหมด 100,000 คนำจ�านำวนำกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Bag ท��จะขายได�ในำงวดหนำ�า = (.293)(100,000)

= 29,300 ใบจ�านำวนำกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Shine ท��จะขายได�ในำงวดหนำ�า = (.443)(100,000)

= 44,300 ใบจ�านำวนำกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Magic ท��จะขายได�ในำงวดหนำ�า = (.264)(100,000)

= 26,400 ใบ

สิร์$ปั ในำงวดหนำ�าคาดว&าสิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag เปั*นำสิ&วนำ 29.3% หร์,อขายได� 29,300 ใบ สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Shine เปั*นำ 44.3% หร์,อคาดว&าจะขายได� 44,300 ใบ และ Magic จะม�สิ&วนำแบ&งตัลาด 26.4% หร์,อคาดว&าจะขายได� 26,400 ใบ

โดยในำงวดปั!จจ$บ�นำ Bag ม�สิ&วนำแบ&งตัลาด 37% งวดหนำ�าเหล,อเพ�ยง 29.3% หร์,อคาดว&าสิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag ลดลง 7.7% ทาง Bag จะตั�องเพ��มกลย$ทธุ�ทางด�านำการ์ตัลาด เพ,�อร์�กษาสิ&วนำแบ&งตัลาดของตันำไว�

สิ&วนำ Shine สิ&วนำแบ&งตัลาดลดลงเล6กนำ�อย โดย Shine ได�ลดลงจากเด�ม 45% เปั*นำ 44.3% หร์,อลดลง 0.7% ในำขณะท�� Magic เพ��มข)%นำจาก 18% เปั*นำ 26.4% หร์,อเพ��มข)%นำ 8.4%

สิถานำะคงท�� (Steady State)จากตั�วอย&างท�� 1 – 3 จะพบว&า

พฤตั�กร์ร์มในำการ์ซึ่,%อสิ�นำค�าและกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำของล�กค�าเปัล��ยนำไปัเม,�อเวลาเปัล��ยนำไปัท�าให�สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag ลดลง สิ&วนำ Shine ลดลงในำช้&วงแร์กในำขณะท�� Magic ม�สิ&วนำแบ&งเพ��มข)%นำ และเม,�อเวลาผู้&านำไปันำานำเข�าก6จะท�าให�สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag ลดลง และของ Shine และ Magic เพ��มข)%นำ ถ�า P คงท��

สิ&วนำแบ&งตัลาดในำงวดท�� 2 ค,อ (2) = (1).Pในำท��นำ�% (1) = (.293 .443 .264)

.5 .2 .3เพร์าะฉะนำ�%นำ (2) = (.293 .443

.264) .2 .7 .1.1 .3 .6

= (.2615.4479 .2906)จะพบว&าสิ&วนำแบ&งตัลาดในำงวดท�� 2 ของ Bag ลดลง

จากงวดท�� 1 เหล,อเพ�ยง 26.15% และในำขณะท�� ของ Shine และ Magic เพ��มข)%นำเปั*นำ 44.79% และ 29.06% และสิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag จะลดลงเร์,�อยๆ ในำขณะท��ของ Shine และ Magic จะเพ��มข)%นำเร์,�อยๆ เม,�อเวลาผู้&านำไปัจนำกร์ะท��งถ)งช้&วงเวลาหนำ)�งในำร์ะยะยาวสิ&วนำแบ&งตัลาดของแตั&ละย��ห�อจะคงท��

สิ&วนำแบ&งตัลาดของแตั&ละย��ห�อจะเท&าเด�มเม,�อเปัล��ยนำจากงวดท�� n เปั*นำงวดท�� n + 1, n + 2 เช้&นำ n = 20 งวด เปั*นำตั�นำ กร์ณ�นำ�%ถ,อว&าเปั*นำสิถานำะคงท��โดยท�าการ์ค�านำวณสิ&วนำแบ&งตัลาดในำร์ะยะยาว หร์,อในำสิถานำะคงท��ได�ด�งนำ�%

(n) = (n – 1).Pหร์,อ = P

และ ๅ + 2 +…+k = 1 กร์ณ�ท��ม� k สิถานำะ

ตั�วอย&างท�� 4 จากตั�วอย&างท�� 3 จงหาสิ&วนำแบ&งตัลาดของกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำท�%ง 3 ย��ห�อในำร์ะยะยาวก�าหนำดให� i = สิ&วนำแบ&งตัลาดกร์ะเปั:านำ�กเร์�ยนำของย��ห�อท�� i ;i = 1, 2, 3

= P.5 .2 .3

(ๅ 2 3) = (ๅ 2 3).2 .7.1

.1 .3 .6

แกนำนำอนำท�� 1 X แถวตั�%งท�� 1 ได�ๅ = .5ๅ + .22 + .13

………………….(1)แกนำนำอนำท�� 1 X แถวตั�%งท�� 2 ได�

2 = .2ๅ + .72 + .33 ………………….(2)แกนำนำอนำท�� 1 X แถวตั�%งท�� 3 ได�

3 = .3ๅ + .12 + .63 ………………….(3)

และ = ๅ + 2 + 3 = 1 ………………….(4)

ในำท��นำ�%ม� 4 สิมการ์ และตั�องการ์หาค&าตั�วแปัร์ 3 ตั�ว (ๅ 2 3) จ)งตั�ดสิมการ์ออกได� 1 สิมการ์สิมมตั�ให�ตั�ดสิมการ์ท�� (1) ออกเหล,อ (2), (3) และ (4)

จาก (4) จะได�ว&า ๅ = 1 - 2 - 3 แทนำค&าลงในำสิมการ์ท�� (2) และ (3) ได�ด�วย ด�งนำ�%จากสิมการ์ท�� (2)

2 = .2(1 - 2 - 3) + .72 + .33

หร์,อ .52 - .13 = .2 …………………(5)จากสิมการ์ท�� (3)

3 = .3(1 - 2 - 3) + .12 + .63

หร์,อ .22 - .73 = .3 …………………(6)

แก�สิมการ์ท�� (5) และ (6) โดยนำ�า 7 ค�ณท��สิมการ์ท�� (5) ได�ด�งสิมการ์ท�� (7)

3.52 - .73 = 1.4 ………………….(7)

(6) + (7) จะได� 3.52 = 1.7

2 = = .4595

แทนำค&า 2 = .459 ในำสิมการ์ท�� (7) จะได�3.5(.4595) - .73 = 1.4

3 = .2975

1 = 1 - 2 - 3 = 1 - .4595 - .2975 = .243

ด�งนำ�%นำในำสิถานำะคงท��หร์,อในำร์ะยะยาว สิ&วนำแบ&งตัลาดของ Bag, Shine และ Magic จะเปั*นำ 24.3% , 45.95% และ 29.75% ตัามล�าด�บ