บทท�� บทท�� 88ตั�วแบบมาร์ คอฟตั�วแบบมาร์ คอฟ

บทนำ�าในำการ์ตั�ดสิ�นำใจของผู้��บร์�หาร์เก��ยวก�บปั"ญหาทาง

ธุ%ร์ก�จนำ�&นำ ย'อมจะม�ความไม'แนำ'นำอนำเก�ดข*&นำได�เสิมอ ด�งนำ�&นำผู้��บร์�หาร์จ*งจ�าเปั+นำจะตั�องม�การ์เตัร์�ยมพร์�อมท��จะร์�บม-อและจ�ดการ์ก�บความไม'แนำ'นำอนำท��จะเก�ดข*&นำเหล'านำ�&นำ เพ-�อท�าให�การ์ตั�ดสิ�นำใจในำปั"จจ%บ�นำเปั+นำไปัอย'างเหมาะสิม ซึ่*�งเคร์-�องม-อท��จะนำ�ามาใช้�ในำการ์จ�ดการ์ก�บความไม'แนำ'นำอนำท��จะกล'าวในำบทนำ�&ค-อ ตั�วแบบเช้�งปัร์�มาณท��จะช้'วยให�ข�อม�ลของสิ��งท��จะเก�ดข*&นำในำอนำาคตั เพ-�อใช้�ในำการ์ตั�ดสิ�นำใจในำด�านำตั'างๆ เช้'นำ ปั"ญหาด�านำการ์ผู้ล�ตั การ์เง�นำ การ์บ�ญช้� การ์ตัลาด บ%คลากร์ ฯลฯ ตั�วแบบท��จะช้'วยในำการ์ตั�ดสิ�นำใจนำ�&ค-อ ตั�วแบบมาร์ คอฟ (Markov model)

ตั�วแบบมาร์ คอฟ (Markov model) เปั+นำตั�วแบบท��นำ�าแนำวความค�ดในำเร์-�องความนำ'าจะเปั+นำมาใช้�ในำการ์พยากร์ณ โดย จะพยากร์ณ โอกาสิหร์-อความนำ'าจะเปั+นำท��จะเก�ดเหตั%การ์ณ ในำอนำาคตั โดยใช้�ข�อม�ลของเหตั%การ์ณ ในำปั"จจ%บ�นำ เช้'นำ การ์พยากร์ณ หร์-อปัร์ะมาณสิ'วนำแบ'งตัลาดของสิ�นำค�าย��ห�อ A ในำเด-อนำหนำ�า และปัร์ะมาณโอกาสิท��ล�กค�าท��เคยซึ่-&อย��ห�อ A จะเปัล��ยนำไปัซึ่-&อย��ห�อ B แทนำ หร์-อปัร์ะมาณว'าโอกาสิท��เคร์-�องจ�กร์จะใช้�งานำได�ในำสิ�ปัดาห หนำ�าจะย�งคงใช้�ได�ด�ในำสิ�ปัดาห หนำ�าหร์-อไม'

ความนำ'าจะเปั+นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงความนำ'าจะเปั+นำของการ์เปัล��ยนำแปัลง

(Transition Probability) เปั+นำตั�วแบบท��ใช้�ในำการ์พยากร์ณ หร์-อปัร์ะมาณสิถานำการ์ณ ในำอนำาคตั โดยตั�องทร์าบสิถานำการ์ณ ปั"จจ%บ�นำ และตั�องทร์าบความนำ'าจะเปั+นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงจากสิถานำะหนำ*�งไปัเปั+นำอ�กสิถานำะหนำ*�ง เช้'นำ ทร์าบความนำ'าจะเปั+นำท��ล�กค�าเคยซึ่-&อแช้มพ�สิร์ะผู้มย��ห�อ A ในำเด-อนำนำ�& ย�งคงจะซึ่-&อย��ห�อเด�มในำเด-อนำหนำ�าหร์-อจะเปัล��ยนำไปัซึ่-&อย��ห�อ C

ตั�วอย'างท�� 1 ณ หม�'บ�านำเล6กๆ แห'งหนำ*�งม�ร์�านำขายของช้�า 2 ร์�านำ ค-อ ร์�านำสิะดวกและร์�านำสิบาย จากการ์เก6บร์วบร์วมข�อม�ลล�กค�า 100 คนำ พบว'า 80% ท��ซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวกในำสิ�ปัดาห ท�� 1 ย�งคงซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำเด�ม ในำสิ�ปัดาห ท�� 2 ในำขณะท�� 20% ของล�กค�าท��เคยซึ่-&อจากร์�านำสิะดวกในำสิ�ปัดาห ท�� 1 จะเปัล��ยนำไปัซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห ท�� 2 และ 70% ของล�กค�าท��เคยซึ่-&อจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห 1 ย�งคงซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห ท�� 2 ขณะท�� 30% ของล�กค�าท��ซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายในำสิ�ปัดาห ท�� 1 จะเปัล��ยนำไปัซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวก ตั�วเลขด�งกล'าวจะแสิดงถ*งความนำ'าจะเปั+นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงโดยจะแสิดงในำร์�ปัเมทร์�กซึ่ ท��แสิดงความนำ'าจะเปั+นำของการ์เปัล��ยนำแปัลง (Transition Probability Matrix) ซึ่*�งใช้�สิ�ญล�กษณ P

สิะดวก สิบายสิะดวกP =สิบาย

เง-�อนำไขของตั�วแปัร์แบบมาร์ คอฟ1. จ�านำวนำสิถานำะจะตั�องจ�าก�ดและนำ�บได�

(Finite) เช้'นำ จ�านำวนำร์�านำค�าในำหม�'บ�านำตั�องม�จ�านำวนำจ�าก�ด

2. ขนำาดของร์ะบบจะตั�องไม'ม�การ์เปัล��ยนำแปัลง เช้'นำ ไม'ม�ล�กค�าใหม' หร์-อไม'ม�ล�กค�าเก'าออกจากร์ะบบ

3. เมทร์�กซึ่ ท��แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงสิถานำะจะคงท��

4. การ์พยากร์ณ การ์เก�ดสิถานำะในำอนำาคตัข*&นำก�บสิถานำะในำปั"จจ%บ�นำและความนำ'าจะเปั+นำของการ์เปัล��ยนำแปัลงเท'านำ�&นำ

5. แตั'ละหนำ'วยตั�องอย�'ในำสิถานำะใดสิถานำะหนำ*�งเพ�ยงสิถานำะเด�ยว ณ เวลาใดเวลาหนำ*�ง

การ์แก�ปั"ญหาด�านำเทคนำ�คมาร์ คอฟการ์แก�ปั"ญหาค-อ การ์นำ�าค�านำวณหาความนำ'าจะเปั+นำ

ท��ร์ะบบจะอย�'ในำสิถานำะตั'างๆ ในำอนำาคตั โดยจะค�านำวณได�จากสิถานำะปั"จจ%บ�นำ และเมทร์�กซึ่ แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลง ก�าหนำดให� P = เมทร์�กซึ่ แสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงสิถานำะ (n) = ความนำ'าจะเปั+นำของการ์อย�'ในำสิถานำการ์ณ ตั'างๆ ในำงวดท�� n ; n= 0, 1, 2,… (n +1) = ความนำ'าจะเปั+นำของการ์อย%'ในำสิถานำการ์ณ ตั'างๆ ในำงวดท�� n + 1 โดย (0) = ความนำ'าจะเปั+นำของการ์อย�'ในำสิถานำการ์ณ ตั'างๆ ตัอนำเร์��มตั�นำ

การ์หาความนำ'าจะเปั+นำของการ์อย�'ในำสิถานำการ์ณ ตั'างๆ ของงวดท�� n + 1 ค-อ

(n +1) = (n) . P (1) = (0) .P (2) = (1) . P

ตั�วอย'างท�� 2 จากตั�วอย'างท�� 1 ถ�าในำสิ'วนำแบ'งตัลาดตั'อสิ�ปัดาห เปั+นำด�งนำ�& ล�กค�าซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวก 90% และจากร์�านำสิบาย 10% ซึ่*�งหมายถ*ง 2 สิถานำะค-อ (1) สิถานำะท�� 1 : ซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิะดวก (2) สิถานำะท�� 2 : ซึ่-&อสิ�นำค�าจากร์�านำสิบายซึ่*�งหมายถ*ง

P (สิะดวก) = 0.9P (สิบาย) = 0.1

ตั�องการ์หาสิ'วนำแบ'งตัลาดในำสิ�ปัดาห หนำ�า โดยใช้�เมทร์�กซึ่ แสิดงความเปัล��ยนำแปัลงจากตั�วอย'างท�� 1 ค-อ

ตั�วอย'างท�� 3 ถ�าม�กร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ 3 ย��ห�อวางขายในำท�องตัลาด เพ-�อศึ*กษาการ์เปัล��ยนำแปัลงของพฤตั�กร์ร์มการ์ซึ่-&อกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำของนำ�กเร์�ยนำ จ*งท�าการ์สิ�าร์วจการ์ใช้�กร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ โดยสิอบถามนำ�กเร์�ยนำจ�านำวนำ 1,000 คนำ ได�ข�อม�ลด�งนำ�&

ม�นำ�กเร์�ยนำใช้�กร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Bag 370 คนำม�นำ�กเร์�ยนำใช้�กร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Shine 450

คนำม�นำ�กเร์�ยนำใช้�กร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Magic 180

คนำก . จงหาสิ'วนำแบ'งตัลาดของกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำในำงดตั'อไปัข . ถ�าม�นำ�กเร์�ยนำจ�านำวนำ 100,000 คนำ จงพยากร์ณ

จ�านำวนำกร์ะเปั8า นำ�กเร์�ยนำท��แตั'ละย��ห�อจะขายได�ในำงวดหนำ�า

ถ�าเมทร์�กซึ่ ซึ่*�งแสิดงการ์เปัล��ยนำแปัลงเปั+นำ

Bag Shine Magic

Bag .5 .2 .3P = Shine .2 .7 .1 Magic .1 .3 .6

จงหาสิ'วนำแบ'งตัลาดของกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำท�&ง 3 ย��ห�อในำงวดถ�ดไปั

ว�ธุ�ท�า ก'อนำจะค�านำวณสิ'วนำแบ'งตัลาดของกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำท�&ง 3 ย��ห�อในำงวดถ�ดไปั ขออธุ�บายความหมายของตั�วเลขในำแมทร์�กซึ่ P ด�งนำ�&แถวนำอนำท�� 1

P11 = .5 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Bag สิามาร์ถร์�กษาล�กค�าของตันำเองไว�ได� 50%

P12 = .2 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Bag เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Shine 20% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�&

P13 = .3 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Bag เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Magic 30% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�&

แถวนำอนำท�� 2P21 = .2 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8า

นำ�กเร์�ยนำ Shine เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Bag 20% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�&

P22 = .7 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Shine สิามาร์ถร์�กษาล�กค�าของตันำเองไว�ได� 70%

P13 = .1 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Shine เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Magic 10% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�&

แถวนำอนำท�� 3P31 = .1 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8า

นำ�กเร์�ยนำ Magic เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Bag 10% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�&

P32 = .3 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Magic เสิ�ยล�กค�าให�ย��ห�อ Shine 30% ของล�กค�าท��เขาม�ในำงวดนำ�&

P33 = .6 หมายถ*ง ในำงวดหนำ�ากร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ Magic สิามาร์ถร์�กษาล�กค�าของตันำเองไว�ได� 60%

ค�านำวณหาสิ'วนำแบ'งตัลาดของกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำ

สิ'วนำแบ'งตัลาดของกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำในำงวดหนำ�า ค-อ (1) = (0) .P

.5 .2 .3= (.37 .45.18) .2 .7 .1

.1 .3 .6

การ์หาสิ'วนำแบ'งตัลาดในำงวดถ�ดไปัของ Bag.5

แถวนำอนำท�� 1 x แถวตั�&งท�� 1 = (.37 .45 .18) .2

.1 = (.37)(.5) + (.45)(.2)

+ (.18)(.1) = .293สิ'วนำแบ'งตัลาดของ Bag ในำงวดถ�ดไปั = .293

หร์-อ 29.3%

การ์หาสิ'วนำแบ'งตัลาดในำงวดถ�ดไปัของ Shine

.2แถวนำอนำท�� 1 x แถวตั�&งท�� 2 = (.37 .45 .18) .7

.3= (.37)(.2) + (.45)(.7)

+ (.18)(.3) = .443 สิ'วนำแบ'งตัลาดของ Shine ในำงวดถ�ดไปั = .443 หร์-อ 44.3%

การ์หาสิ'วนำแบ'งตัลาดในำงวดถ�ดไปัของ Magic.3

แถวนำอนำท�� 1 x แถวตั�&งท�� 3 = (.37 .45 .18) .1

.6 = (.37)(.3) + (.45)

(.1) + (.18)(.6) = .264 สิ'วนำแบ'งตัลาดของ Shine ในำงวดถ�ดไปั = .264 หร์-อ 26.4% (1) = (.293 .443 .264)

ข. ถ�าม�นำ�กเร์�ยนำท�&งหมด 100,000 คนำจ�านำวนำกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Bag ท��จะขายได�ในำงวดหนำ�า = (.293)(100,000)

= 29,300 ใบจ�านำวนำกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Shine ท��จะขายได�ในำงวดหนำ�า = (.443)(100,000)

= 44,300 ใบจ�านำวนำกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำย��ห�อ Magic ท��จะขายได�ในำงวดหนำ�า = (.264)(100,000)

= 26,400 ใบ

สิร์%ปั ในำงวดหนำ�าคาดว'าสิ'วนำแบ'งตัลาดของ Bag เปั+นำสิ'วนำ 29.3% หร์-อขายได� 29,300 ใบ สิ'วนำแบ'งตัลาดของ Shine เปั+นำ 44.3% หร์-อคาดว'าจะขายได� 44,300 ใบ และ Magic จะม�สิ'วนำแบ'งตัลาด 26.4% หร์-อคาดว'าจะขายได� 26,400 ใบ

โดยในำงวดปั"จจ%บ�นำ Bag ม�สิ'วนำแบ'งตัลาด 37% งวดหนำ�าเหล-อเพ�ยง 29.3% หร์-อคาดว'าสิ'วนำแบ'งตัลาดของ Bag ลดลง 7.7% ทาง Bag จะตั�องเพ��มกลย%ทธุ ทางด�านำการ์ตัลาด เพ-�อร์�กษาสิ'วนำแบ'งตัลาดของตันำไว�

สิ'วนำ Shine สิ'วนำแบ'งตัลาดลดลงเล6กนำ�อย โดย Shine ได�ลดลงจากเด�ม 45% เปั+นำ 44.3% หร์-อลดลง 0.7% ในำขณะท�� Magic เพ��มข*&นำจาก 18% เปั+นำ 26.4% หร์-อเพ��มข*&นำ 8.4%

สิถานำะคงท�� (Steady State)จากตั�วอย'างท�� 1 – 3 จะพบว'า

พฤตั�กร์ร์มในำการ์ซึ่-&อสิ�นำค�าและกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำของล�กค�าเปัล��ยนำไปัเม-�อเวลาเปัล��ยนำไปัท�าให�สิ'วนำแบ'งตัลาดของ Bag ลดลง สิ'วนำ Shine ลดลงในำช้'วงแร์กในำขณะท�� Magic ม�สิ'วนำแบ'งเพ��มข*&นำ และเม-�อเวลาผู้'านำไปันำานำเข�าก6จะท�าให�สิ'วนำแบ'งตัลาดของ Bag ลดลง และของ Shine และ Magic เพ��มข*&นำ ถ�า P คงท��

สิ'วนำแบ'งตัลาดในำงวดท�� 2 ค-อ (2) = (1).Pในำท��นำ�& (1) = (.293 .443 .264)

.5 .2 .3เพร์าะฉะนำ�&นำ (2) = (.293 .443

.264) .2 .7 .1.1 .3 .6

= (.2615 .4479 .2906)จะพบว'าสิ'วนำแบ'งตัลาดในำงวดท�� 2 ของ Bag ลดลง

จากงวดท�� 1 เหล-อเพ�ยง 26.15% และในำขณะท�� ของ Shine และ Magic เพ��มข*&นำเปั+นำ 44.79% และ 29.06% และสิ'วนำแบ'งตัลาดของ Bag จะลดลงเร์-�อยๆ ในำขณะท��ของ Shine และ Magic จะเพ��มข*&นำเร์-�อยๆ เม-�อเวลาผู้'านำไปัจนำกร์ะท��งถ*งช้'วงเวลาหนำ*�งในำร์ะยะยาวสิ'วนำแบ'งตัลาดของแตั'ละย��ห�อจะคงท��

สิ'วนำแบ'งตัลาดของแตั'ละย��ห�อจะเท'าเด�มเม-�อเปัล��ยนำจากงวดท�� n เปั+นำงวดท�� n + 1, n + 2 เช้'นำ n = 20 งวด เปั+นำตั�นำ กร์ณ�นำ�&ถ-อว'าเปั+นำสิถานำะคงท��โดยท�าการ์ค�านำวณสิ'วนำแบ'งตัลาดในำร์ะยะยาว หร์-อในำสิถานำะคงท��ได�ด�งนำ�&

(n) = (n) = (n – 1).P(n – 1).P

หร์-อหร์-อ = = PP

และ และ ๅๅ + + 22 +…+ +…+kk = 1 = 1 กร์ณ�ท��ม� กร์ณ�ท��ม� k k สิถานำะสิถานำะ

ตั�วอย'างท�� 4 จากตั�วอย'างท�� 3 จงหาสิ'วนำแบ'งตัลาดของกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำท�&ง 3 ย��ห�อในำร์ะยะยาวก�าหนำดให� i = สิ'วนำแบ'งตัลาดกร์ะเปั8านำ�กเร์�ยนำของย��ห�อท�� i ;i = 1, 2, 3

= = PP

.5.5 .2.2 .3.3

((ๅๅ 22 33)) = = ((ๅๅ 22 33)) .2.2 .7.7.1.1

.1.1 .3.3 .6.6

แกนำนำอนำท�� 1 X แถวตั�&งท�� 1 ได�ๅๅ = .5= .5ๅ ๅ + .2+ .222 + .1 + .133

………………….(1)………………….(1)แกนำนำอนำท�� 1 X แถวตั�&งท�� 2 ได�

22 = .2 = .2ๅ ๅ + .7+ .722 + .3 + .333 ………………….(2)………………….(2)แกนำนำอนำท�� 1 X แถวตั�&งท�� 3 ได�

33 = .3 = .3ๅ ๅ + .1+ .122 + .6 + .633 ………………….(3)………………….(3)

และ และ = = ๅ ๅ + + 22 + + 33 = 1 = 1

………………….(4)………………….(4)

ในำท��นำ�&ม� 4 สิมการ์ และตั�องการ์หาค'าตั�วแปัร์ 3 ตั�ว (ๅ 2 3) จ*งตั�ดสิมการ์ออกได� 1 สิมการ์สิมมตั�ให�ตั�ดสิมการ์ท�� (1) ออกเหล-อ (2), (3) และ (4)

จาก (4) จะได�ว'า ๅ = 1 - 2 - 3 แทนำค'าลงในำสิมการ์ท�� (2) และ (3) ได�ด�วย ด�งนำ�&จากสิมการ์ท�� (2)

2 = .2(1 - 2 - 3) + .72 + .33

หร์-อ .52 - .13 = .2 …………………(5)

จากสิมการ์ท�� (3)3 = .3(1 - 2 - 3) + .12 + .63

หร์-อ .22 - .73 = .3 …………………(6)