第五章 大数定律及中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理

5.1 大数定律

5.2 中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理内容提要

大数定律：伯努利大数定律

切比雪夫大数定律 ( 特殊情况 )

辛钦大数定律中心极限定理： 独立同分布的中心极限定理

德莫拂－拉普拉斯中心极限定理基本要求

理解三大数定律成立的条件与结论。 ( 重点 , 难点 )理解中心极限定理的应用条件和结论。 ( 重点 , 难点 )能够使用相关定理近似计算有关事件概率。 ( 重点 , 难点 )

5.1 5.1 大数定律大数定律一 . 客观背景1.大量抛掷硬币正面出现的频率

2. 生产过程中废品的废品率

3. 字母使用的频率

　　大量的随机现象中平均结果具有稳定性 , 这种稳定性即

为大数定律的客观背景。 nf A 我们常说事件 A 在多次重复试验中发生的频率 ，当试

验次数 n 增大时，逐渐稳定于某个常数，此处 ? lim nnf A p

不对！若　　　　　　成立。 lim nnf A p

0 即对于 , 总存在 , 当 时 , 有　

　　　　　成立。

0N n N

nf A p

p 但若取 , 由于 0 1 0n

np f A p

0nf A N n即无论 多大 , 在 以后 , 总可能存在 , 使N

所以 不可能在通常意义下收敛于 p 。 nf A

二 . 伯努利大数定律

1. 依概率收敛

lim 1 1nnp Y a

1 2, , nY Y Y 定义 1 设 是一个随机变量序列 , a 是一个常数 ,

若对于 , 有0

1 2, , nY Y Y 则称序列 依概率收敛于 a , 记为 pnY a

0

说明 : , 即对于 , 当 n 充分大时 , “Yn 与 a 的偏

差大于 ”这一事件发生的概率很小 , 几乎不可能发生

( 收敛于 0)

pnY a

2. 依概率收敛的序列的性质

设 , 在点 (a , b) 连续 ,

则

,p pn nX a Y b ,g x y

, ,pn ng X Y g a b

3. 伯努利大数定律

lim 1 2A

n

np p

n

lim 0 3A

n

np p

n

定理 1 设 n A 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数 , p 是事件 A 在

每次试验中发生的概率 , 则对于任意正数 有

或

0

,An b n p证明： 由于 , 故 1A AE n np D n np p

于是 1A A

p pn nE p D

n n n

2 2

10

A

A

nD

p pn np p n

n n

对 , 由切比雪夫不等式得0

lim 1 lim 1A A

n n

n np p p p

n n

即 :

说明： (1) 伯努利大数定律表明事件发生的频率 依概率收敛

于事件的概率 p, 即当 n 很大时 , 事件发生的频率与其概率

较 大偏差的可能性小。

Ann

(2) 在实际应用中 , 当试验次数 n 很大时 , 可用频率代替概率。

1

0i

i AX

i A

第 次试验中事件 发生记

第 次试验中事件 不发生

1 1

1n nA

A i ii i

nn X X

n n

则 1 1

1 1n n

ii i

p p A E Xn n

于是 1 1

1 11 4

n n

i ii i

p X E Xn n

1 2, , nX X X 　　一般地 , 若随机变量序列 的数学期望都

存在 , 且满足 (4) 式 , 则称随机变量序列 满足大数定律。 nX

三 . 切比雪夫大数定律的特殊情况

2 , 1, 2,k kE X D X k

定理 2 设随机变量序列 相互独立且具有相

同的数学期望和方差 :

1 2, , nX X X

1

1lim lim 1 5

n

in n

i

p X p Xn

0 作前 n 个随机变量的算术平均 , 则对于任意

有1

1 n

ki

X Xn

1 2, , nX X X n 说明 : (5) 式表明当 时 , 随机变量

的算术平均 pX

四 . 辛钦大数定律

1 2, , nX X X

0 定理 3 设随机变量 相互独立 , 服从同一分布 ,

具有数学期望 , 则对于任意 有

1

1lim 1 6

n

kn

k

p Xn

说明 : 伯努利大数定理是辛钦大数定理的特殊情况。

1 2, , nX X X pX

例 1. 设 为独立同布随机变量序列 , 均服从参

数为 的泊松分布 , 求证算术平均 。

iX 证明：因为 , 所以 , 1, 2,i iE X D X i

1

1lim lim 1

n

in ni

p X p Xn

由切比雪夫大数定理得 :

pX 所以

1 2, , nX X X 例 2 设 是独立同分布的随机变量 , 其分布函

数为 , 问是否适用辛钦

大数定理？

1arctan 0

xF x a b

b

解 : 辛钦大数定律成立的条件是 独立同分布 ,

随机变量的数学期望存在。1 2, , nX X X

而 2 22 2 0

2b x b b xxdF xdx dx dx

dx b xb x

故辛钦大数定律不适用。

1 1 1

1

1

n n n

i i ii i i

nn

ii

X E X X nY

nD X

5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理定理 1. ( 独立同分布的中心极限定理 )

　　设随机变量 相同独立 , 服从同一分布 , 且

具有数学期望和方差 :

则随机变量之和的标准化变量

1 2, , nX X X

2, 0, 1,2,i iE X D X i

2

1 21

lim lim 22

n

ti xi

nn n

X nF x p x e dt x

n

的分布函数

说明：独立同分布的随机变量 之和 的标

准化变量 , 当 n 充分大时 , 近似服从标准正态分布 , 即：

1 2, nX X X1

n

ii

X

1 0,1

n

ii

X nN

n

定理 2 （德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）

n , 0 1n p p 　　设随机变量　 服从参数为 的二项分布，则对于任意 x 有

2

21

lim 321

tx

n

n

npp x e dt x

np p

说明 : 正态分布是二项分布的极限分布；

当 n 充分大时可用 (3) 式计算二项分布的概率。

例 1 已知一本 380 页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分

布 , 求这本书的印刷错误总数不多于 60 个的概率。 0.15

1,2, ,380i 解 : 以 Xi 表示第 i 页印刷错误的个数 ,

则总印刷错误380

1i

i

X X

0.15iX 由题 则 0.15 0.15i iE X D X

且 相互独立。1 2 380, , ,X X X

380 0.15 60 380 0.1560

380 0.15 380 0.15

Xp X p

60 570.397 0.6543

57

则

例 2 在次品率为 1/6 的大批产品中 , 任意抽取 300 件产品 , 利

用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在 (40, 60)

的概率。

1

30040 50 60 50640 60250 1 5 250

3006 66 6

Xp X p

102 1 0.8788

2506

解： 设 X 表示抽到的次品的总件数 , 则

300,1 6X b

由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理得

第五章 小结第五章 小结1. 大数定律为实际推断原理 ( 小概率原理 ) 作了理论支撑。2.中心极限定理表明 , 在一般条件下 , 当独立随机变量

的

个数增加时 , 其和的分布趋于正态分布。思考 : 大数定律和中心极限定理之间的关系？

答 : 大数定律是研究随机变量序列 {X n} 依概率收敛的极限问题；

中心极限定理是研究随机变量序列 {X n} 依分布收敛的极限

定理。

它们都是讨论大量的随机变量之和的极限行为。

第五章 测试题第五章 测试题 AA一． 填空选择题。

1.设随机变量 X 和 Y 的数学期望均为 2, 方差分别是 1 和4, 相

关系数为 0.5, 根据契比雪夫不等式 。 6p X Y

3. 设随机变量序列 服从泊松分布 , 且相互

独立 , 参数为 , 则 。

1 2, , nX X X

1lim

n

ii

n

X np x

n

100 60p X 2.将一枚硬币连续投掷 100 次 , 出现正面的次数大于 60

的概

率 。

1 2, , nX X X

4. 设随机变量 相互独立 , 且服从参数为

的泊松分布 , 则下面随机变量序列中不满足契比雪夫

大数定理条件的是 。

(A) (B)

(C) (D)

1 2, , nX X X

1 2, 2 , nX X nX 1 21, 1, , 1,nX X X

1 2

1 1, , , ,2 nX X X

n

二 . 计算。

0.3 0.2, 0.6 0.8p X p X 1.设随机变量 X 的分布律为

试求 0.2p X E X

2. 将编号为 1～ n 的 n 个球放入编号为 1～ n 的 n 个盒子内 , 且每

个盒子只能放 1 个球 , 记 X 为球号与盒号相一致的个数 , 证明 :

lim 0n

X E Xp

n

答案 :

一．填空，选择。

1. 11/72

2. 0.023

3.

4. C

x

二．计算。

1. 0.8788

2. 证明略

第五章 测试题第五章 测试题 BB一 . 填空选择题。

E X 2D X 1.设随机变量 X 的数学期望 , 方差 , 则

由契比雪夫不等式有 。 20p X

2. 设随机变量 相互独立同分布 , 且

则 。1 2 100, , ,X X X

1

!i

ep X k

k

100

1

120ii

p X

1,2, 100i

X

2, 2X N 3. 设随机变量 , 从 X 中抽取容量为 n 的样本 , 其均

值为 ,至少取 才能使样本均值 与总体均值 之差

的绝对值小于 0.1 的概率不小于 95%. 。

X

, 1, 2, 100if X i 100

1i

i

p X x

4.已知 Xi 的概率密度为 ,并且它

们相互独立 , 则对任意 X 概率 。

100

1

100

1 2 1001

ii

ii

X x

f x dx dx dx

(A) 无法计算 (B)

(C) 可以用中心极限定理计算出近似值

(D) 不能用中心极限定理计算出近似值

3 3p X E X

2D X

5.设随机变量 X 的方差存在 , 且满足不等式

, 则一定有 。

(A) (B)

(C) (D) 2D X

3 7 9p X E X

3 7 9p X E X

二 . 计算题。

1.某高校图书馆阅览室共 880 个座位 , 该校共 12000名学生 ,

已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为 8% 。求 : (1) 阅览室晚上座位不够用的概率

(2) 若要以 80% 的概率保证晚上去阅览室自习的学生 都

有座位 , 阅览室还需增添多少个座位 ?

2. 有一批钢材 , 其中 80% 的长度不小于 3m, 现从钢材中随机

抽出 100根 , 试用中心极限定理求小于 3m 的钢材不超过30根

的概率。

答案 :

.壹 填空选择。

1. 3/4

2. 0.977

3. 1537

4. B

5. D

二 . 计算题。

1. (1) 0.9964 (2) 105

2. 0.9938