第六篇量子物理基础

第六篇量子物理基础

旧量子论

普朗克能量子假设

爱因斯坦光子理论

玻尔氢原子理论

量子力学基本原理

物质波假设不确定关系

波函数（概率幅）

薛定谔方程

薛定谔方程的简单应用

《大学物理 CII 》第十五章量子物理基础德布罗意物质波

第四节：实物粒子的波粒二象性不确定关系

在 1924 年的博士论文《量子理论研究》中，提出物质波概念，并获得 1929 年诺贝尔物理奖。

整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽视了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢 ? 是不是我们关于粒子图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢 ? —— 德布罗意德布罗意（ L.V.de Broglie)

L.V.de Broglie


物质波

实物粒子

)0( 0 m

光)0( 0 m 物理光学 —— 波动说

几何光学 —— 粒子说

传统力学 —— 粒子性

波动力学 —— 波动性

对称性：实物粒子与光类比

量子力学

“ 波粒二象性”

光子说

1. 对物质波的描述

h

mp

hmcE

2

德布罗意公式

简洁地把对粒子描述手段

和对波的描述手段

pE,

,联系到一起

1) 与光子比较

光子：hmcE 2

h

mcp


2cmE ee 2cme

2pc 光E

c

设光子与电子的德布罗意波长均为，试比较其动量和能量大小是否相同。练习练习

h

cmp 光光

h

mp ee ppp e 光

光EEe

pchE 光又


思考思考：光E

c

uhc

c

uhuhEe

cu ？是否与 c 是自然界的极限速率矛盾

运动状态传播的速度——相速度

与 c 是自然界的极限速率不矛盾

cc

h

mc

m

hu

22

注意注意：电子物质波波速 u 电子运动速率


2) 物质波数量级概念

子弹： kg01.0m 1sm300

(m)1021.2 34

m

h

地球： kg1098.5 24m 1skm8.29 公转

m

h

p

h

(m)1072.31098.21098.5

1063.6 63424

34

宏观物质均太小，难以觉察其波动特性。


电子： 2220

2 pcEE

20

20

20

2 )(11

EEEc

EEc

p k

202

1kk EEE

c

eUEk

eUeUcm

hc

p

h

)2( 20


0EEk

A1024.1 4

UeU

hc

射线、硬 γX~V106U

A01240.例：

eUeUcm

hc

p

h

)2( 20


思考题：请用德布罗意关系解释玻尔氢原子理论中的轨道角动量量子化条件。


德布罗意假设的正确性，在 1927年戴维孙和革末所进行的电子衍射实验所证实。以后，其它许多实验都证实，不仅电子，而且质子、中子以及各种原子和分子都具有波动性。

因而，波动性与粒子性一样也是实物粒子的一种普遍属性，

即实物粒子也具有波、粒二相性。

《大学物理 CII 》第十五章量子物理基础概率波

类比类比：与实物粒子相联系的物质波——概率波

物质波的强度分布反映实物粒子出现在空间各处的概率

... .. .. .

. 强度大：电子到达概率大强度小：电子到达概率小零强度：电子到达概率为零

玻恩“概率波”说（ 1954年诺贝尔奖）

2. 德布罗意物质波的统计解释（概率波）

普遍的说，某处出现粒子的概率与该处德布罗意波振幅的平方成正比。这就是德布罗波的统计解释。

注意：微观粒子不同于经典粒子，也不同于经典波

P1+P2P1

P2 I2

I1 I12 I12



微观粒子的运动具有不确定性，只能用物质波的强度作概率性描述，不遵从经典力学方程。借用经典物理量来描述微观客体时，必须对经典物理量的相互关系和结合方式加以限制。其定量表达 ——海森堡不确定关系。

人们还在继续探索物质波的本质，但无论其物理实质

是什么，物质波的强度代表着微观粒子在空间的概率

分布已经是没有疑问的了。

3.3. 不确定关系不确定关系（又名测不准原理）

一个系统往往包含不同的属性，要知道一个系统的所有属性，就需要进行不同方面的测量。如果一个系统的两个属性是相关的，那么测量其中一个，就会影响另外一个，海森堡对这种相互的影响给出了一个定量的关系，这就是不确定关系，又称为“测不准原理”。

位置与动量的不确定关系

能量与时间的不确定关系

……

《大学物理 CII 》第十五章量子物理基础不确定关系不确定关系

1) 位置与动量的不确定关系

p

x

ya


以电子束的单缝衍射为例来说明

1) 无法判定电子是从狭缝的哪一点通过的； 2) 也不知道从狭缝出来的电子是如何到达屏上的，只观察到电子落在屏上各处有不同的可能性 (概率 )。

电子如何进入中央明纹区的？ sina

位置不确定量：

ax

hpx x

x

ya p

p

yp

xp

动量　不确定量：xp

a

h

a

hppx

sin

sin0 ppx


考虑次级明纹 hpx x

更一般的推导2/

4

h

px x

)sJ1005.12

( 34

h

xpx

ypy

z

pz

pq

位置与动量间的不确定关系式：推广得

坐标的不确定量

该方向上动量分量的不确定量

x

ya

p


2) 时间和能量的不确定关系

tE

时间和能量的不确定关系

mPE 2/2 Pm/PPE v

v tx

v/EP tE

如果微观粒子处于某一状态的时间为，则其能量必有一不确定量，且满足不确定关系式

tE

3) 不确定关系的物理意义不确定关系的意义及应用

不确定关系是微观粒子本质属性 ( 波粒二象性 ) 的反映，是波粒二象性及其统计关系的必然结果；是自然界的客观规律，是量子力学的基本原理之一。

1927 年，海森堡提出了著名的不确定关系，又名测不准关系，或测不准原理。

注意不确定（测不准）关系不是实验误差，

不是由于理论不完善或仪器不准确引起的。

它来自微观粒子的本性。

• 经典物理的描述对于微观粒子需要限定

0

;,

x

px x

位置完全确定 xp 动量分量完全不确定

粒子如何运动？ “轨道”概念失去意义

0

;,

x

x

p

xp

动量完全确定

x 位置完全不确定

粒子在何处？

不确定关系的意义

xpx

xO

（ x ，px ）

px

xO

px

px

x

“轨道”概念失去意义

• 不确定关系给出了宏观物理与微观物理的分界线，是量子力学与经典力学的主要差别的标志之一。

也可以说，不确定关系给出了用经典力学方法描写微观粒子状态时，能够用到什么程度。

不确定关系的意义

该问题可用经典力学处理，

则即可认为是可忽略的小量，若在所研究的问题中

,0

,

tEpx x ,

由tE

px x

和和

可同时取零；

tE

px x

和和

可同时确定则否则要用量子力学处理。

1）不确定关系只在微观世界中才成立吗？不确定现象仅在微观世界中可观测到

2）关于不确定关系有以下几种理解，其中正确的是 __ ① 粒子的动量不可能确定。 ② 粒子的坐标不可能确定。 ③ 粒子的动量和坐标不可能同时确定。 ④ 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子。

不确定关系的理解

思考

xpx

√√

由h

px 2||

h

px

又 hpx x

22

hh

p

hx

x

m3010103 67 .

解：设光子沿 x 方向运动

610,A3000

求：光子位置的不确定量

已知：光子

不确定关系练练

习习

已知：电子处于某能级 ,eV39.3,s10 08 EEt

求：该能级能量的最小不确定量；

E

、

练练习习

解： tE

J10055.110

10055.1 26

8

34

t

E

eV10596 6 .

hc

hEE 0

m106731061393

10310636 7

19

834

0

...

.

EE

hc

m1013.7)(

15

2

0

EEE

hc

由该能级跃迁到基态，辐射光子的

不确定关系

第第 55 节节 : : 波函数薛定谔方程波函数薛定谔方程

《大学物理 CII 》第十五章量子物理基础波函数薛定谔方程

量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设 ,

其正确性由实践检验。

波函数：描述微观客体的运动状态，是概率波的

数学表达形式。

),,,(),( tzyxtr

一般表示为复指数函数形式

一 .波函数

波函数的形式

经典波的波函数为实函数采用复数形式，否则就无法得到与实验符合很好的薛定谔方程。

1. 波函数的一般形式

例例：一维自由粒子的波函数

经典描述：沿 x 轴匀速直线运动

量子描述：确定，守恒； pE

,

类比：单色平面波

, 一定沿直线传播

自由粒子：不受任何其它势场或粒子的作用

波函数的形式

以坐标原点为参考点，方向传播。沿，波以速率设 xu 0

)(2cos)(cos 00 x

tu

xt

)(2cos0 ph

xt

h

E )(

1cos0 xpEt x

)(

0),(xpEt

ix

etx

（取实部）

经典描述：

即：

波函数的形式

推广：三维自由粒子波函数)(

0),(rpEt

i

etr

意义：波函数确定了微观粒子运

动的全部全部力学性质。

)(

0),(rpEt

i

etr

量子描述： )(

0),(xpEt

ix

etx

波函数的振幅波函数的振幅

波函数的形式

波函数的强度——模的平方

*2|| ΨΨΨ

即波函数与其共轭复数的积

例：一维自由粒子：

*2|),(| ΨΨtxΨ )(

0

)(

0

xptEh

ixptE

ixx

eΨeΨ

20Ψ

波函数的强度

光栅衍射电子衍射

类比

2. 波函数的统计解释经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意义

对于微观客体，其状态由波函数完全确定。

波函数的统计解释

问题：波函数有什么样的物理意义？问题：波函数有什么样的物理意义？

20EI 2||ΨI

NNhI NI

I 大处到达光子数多I 小处到达光子数少I=0 无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定

用 I 对屏上光子数分布作概率性描述

各电子起点、终点、路径均不确定

2||Ψ用对屏上电子数分布作概率性描述

电子到达该处概率大

电子到达该处概率为零电子到达该处概率小

光栅衍射电子衍射

VΨNN d||d 2

VN

NΨΨtzyxΨ

d

d*|),,,(| 2

t 时刻，出现在空间 (x,y,z)点附近单位体积内的粒

子数与总粒子数之比

t 时刻，粒子出现在空间 (x,y,z)点附近单位体积内

的概率 t 时刻，粒子在空间的概率密度分布

一般 , t 时刻 , 到达空间 r (x,y,z) 处某体积 dV内的粒子数

2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义：


(1) 物质波的波函数不表示任何实在物理量的波动 .注意注意

(2) ，本身，而是有意义的不是 2||ΨΨ

:|| 2Ψ 概率密度，描述粒子在空间的统计分布:Ψ 概率幅


(3)重要的不是的绝对大小 ,而是在空间各点的相对大小 , 和描述同一概率波

2||Ψ

Ψ

2||Ψ

cΨ

遵从叠加原理Ψ21 ΨΨΨ (4)

2

*

1

*

21

*

22

*

11

2

21

2 |||| ΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨ 干涉项

将波函数在空间各点的振幅同时增大 D倍，则粒子在空间的分布概率将

A）增大 D2 倍， B）增大 2D倍，

C）增大 D倍， D）不变。

答案： D

练练习习


3.波函数的归一化条件和标准条件

粒子在整个空间出现的概率为 1

1d

dd

dd||

2 N

N

N

NV

VN

NV

VV

(1)归一化条件

。是单值、有限、连续的Ψ

(2) 标准条件

波函数的条件

练习练习设粒子沿 x 方向运动，其波函数为

ix

Ax

1

1.将此波函数归一化；

2.求出粒子按坐标的概率密度；

3. 在何处找到粒子的概率密度最大？

得：1

A ix

x

1

1

解解： 1. 由归一化条件

1arctgd1

d1

222

22

AxAx

x

Ax

ix

A

2. 概率密度为：

2

2

2

1

1

1

1

xixx

3. 令： 0d

d 2 xx

得： 0x

即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。

二二 . . 薛定谔方程薛定谔方程,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数Ψ

是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。

根据微观粒子的波动性 ( 同光波比较 )

得到自由粒子的波函数

考虑在势场中（保守场）——推广

薛定谔方程的建立薛定谔方程的建立

《大学物理 CII 》第十五章量子物理基础薛定谔方程薛定谔方程

1. 一维自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程)(

0),(xptE

i

eΨtxΨ

波函数

（ 1 ）将对 x求二阶偏导，得),( txΨ

；pΨi

epΨi

x

Ψ xptEi

)(

0Ψ

p

x

Ψ2

2

2

2

对于质量为 m 的自由粒子，势能为零，则m

pEE k 2

2

Ψp

x

Ψ2

2

2

2

EΨΨm

p

x

Ψ

m

22

2

2

22


由 (1) 和 (2) 得出一维自由粒子所遵从的薛定谔方程：自由粒子所遵从的薛定谔方程：

EΨt

Ψi

EΨx

Ψ

m

2

22

2

t

Ψi

x

Ψ

m

2

22

2

EΨi

t

Ψ

；EΨt

Ψi

（ 2 ）将对 t 求一阶偏导得),( txΨ

一维自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程


★ 振幅函数 (x) 的方程 —— 振幅方程

自由粒子的振幅方程

振幅函数

tEi

tEi

xpi

xptEi

exeeΨeΨtxΨ

)(),( 0

)(

0

)(d

)(d2

2

2

2

xp

x

x

m

pE

2

2

由和

0)(2

d

)(d22

2

xmE

x

x

得


)(22

2

2

pk UEmpUm

pEEE 　；

粒子在力场中运动，且势能不随时间变化

0)()(2

d

)(d22

2

xUEm

x

x

一维定态薛定谔方程

得

)(d

)(d2

2

2

2

xp

x

x

代入

2.2. 定态薛定谔方程定态薛定谔方程

自由粒子： 0U势函数


推广到三维情况：三维情况：

02

22

2

2

2

2

2

)( UEm

zyx

拉普拉斯算符2

2

2

2

2

22

zyx

0),,()(2

),,(2

2 zyxUEm

zyx

三维定态薛定谔方程

),,( zyx 振幅函数振幅函数


3. 一般形式薛定谔方程

),,,( tzyx

哈密顿算符 Um

22

2H

ti

H

本课程只要求定态问题：一维：

三维：

0)(2

d

d22

2

UE

m

x

0)(2

22 UE

m


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