第二篇 模糊控制的理论基础第二篇 模糊控制的理论基础

第一节 概述第一节 概述一、模糊控制的提出一、模糊控制的提出

第一章 模糊控制的理论基础第一章 模糊控制的理论基础

以往的各种传统控制方法均是建立在以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基础上的，然而，被控对象精确数学模型基础上的，然而，随着系统复杂程度的提高，将难以建立随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型。系统的精确数学模型。 在工程实践中，人们发现，一个复杂在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制效果。这说的实践经验得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此控制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。产生了模糊控制。

二、模糊控制的特点二、模糊控制的特点 模糊控制是建立在人工经验基础之上的。模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能将这些熟练操作控制一个复杂过程。若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化的控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。论。

模糊控制理论具有一些明显的特点：模糊控制理论具有一些明显的特点：（（ 11 ）模糊控制不需要被控对象的数学模）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。控对象的数学模型。（（ 22 ）模糊控制是一种反映人类智慧的智）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。动的体现。

（（ 33 ）模糊控制易于被人们接受。模糊控）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如“今天气温高，则今天天气来表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和”，易于被一般人所接受。暖和”，易于被一般人所接受。（（ 44 ）构造容易。模糊控制规则易于软件）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。实现。（（ 55 ）鲁棒性和适应性好。通过专家经验）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。效的控制。

第二节 模糊集合一、模糊集合一、模糊集合 模糊集合是模糊控制的数学基础。模糊集合是模糊控制的数学基础。11 ．特征函数和隶属函数．特征函数和隶属函数在数学上经常用到集合的概念。在数学上经常用到集合的概念。例如：集合例如：集合 AA 由由 44 个离散值个离散值 x1x1 ，， x2x2 ，， x3x3 ，，x4x4 组成。组成。 A={x1,x2,x3,x4}A={x1,x2,x3,x4}例如：集合例如：集合 AA 由由 00 到到 11 之间的连续实数值之间的连续实数值组成组成。

0.100.1,, xRxxA

以上两个集合是完全不模糊的。对任意以上两个集合是完全不模糊的。对任意元素元素 xx ，只有两种可能：属于，只有两种可能：属于 AA ，不属，不属于于 AA 。这种特性可以用特征函数 。这种特性可以用特征函数 来描述：来描述：)(xA

AxAx

xA 01

)(

为了表示模糊概念，需要引入模糊集为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数的概念：合和隶属函数的概念：

其中其中 AA 称为模糊集合，由称为模糊集合，由 0,10,1 及 构及 构成， 成， 表示元素表示元素 xx 属于模糊集合属于模糊集合 AA 的程度，的程度，取值范围为取值范围为 [0,1][0,1] ，称 为，称 为 xx 属于模糊属于模糊集合集合 AA 的隶属度。的隶属度。

AxAx

AxxA

0)1,0(

1)( 的程度属于

)(xA

)(xA

2. 2. 模糊集合的表示模糊集合的表示①①         模糊集合模糊集合 AA 由离散元素构成，表示由离散元素构成，表示为：为：

ii xxxA /// 2211

),,(,),,(),,( 2211 iixxxA 或或

② ② 模糊集合模糊集合 AA 由连续函数构成，各元素由连续函数构成，各元素的隶属度就构成了隶属度函数（的隶属度就构成了隶属度函数（ MembersMembership Functionhip Function ），此时），此时 AA 表示为：表示为：

xxA A /)(

在模糊集合的表达中，符号“在模糊集合的表达中，符号“ /”/” 、、““ +”+” 和“∫”不代表数学意义上的除和“∫”不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊集合的一号、加号和积分，它们是模糊集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。种表示方式，表示“构成”或“属于”。 模糊集合是以隶属函数来描述的，模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念是模糊集合理论的基石。隶属度的概念是模糊集合理论的基石。

例例 3.2 3.2 设论域设论域 U={U={ 张三，李四，王五张三，李四，王五 }} ，，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得评分是张三得 9595 分，李四得分，李四得 9090 分，王五分，王五得得 8585 分，三人都学习好，但又有差异。分，三人都学习好，但又有差异。 若采用普通集合的观点，选取特征函数若采用普通集合的观点，选取特征函数

AA

uCA 学习差学习好

01

)(

此时特征函数分别为此时特征函数分别为 (( 张三张三 )=1)=1 ，， (( 李李四四 )=1)=1 ，， (( 王五王五 )=1)=1 。这样就反映不出三者的。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取差异。假若采用模糊子集的概念，选取 [0[0 ，，1]1] 区间上的隶属度来表示它们属于“学习区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集好”模糊子集 AA 的程度，就能够反映出三人的程度，就能够反映出三人的差异。的差异。 采用隶属函数 ，由三人的采用隶属函数 ，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为成绩可知三人“学习好”的隶属度为 (( 张三张三 ))=0.95=0.95 ，， (( 李四李四 )=0.90)=0.90 ，， (( 王五王五 )=0.85)=0.85 。用。用“学习好”这一模糊子集“学习好”这一模糊子集 AA 可表示为：可表示为：

,0.85}{0.95,0.90A

100/)( xxA

其含义为张三、李四、王五属于“学习其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是好”的程度分别是 0.950.95 ，， 0.900.90 ，， 0.850.85 。。例例 3.33.3 以年龄为论域，取 。以年龄为论域，取 。 ZadehZadeh给出了“年轻”的模糊集给出了“年轻”的模糊集 YY ，其隶属函数，其隶属函数为为

100255251

2501

)(12

xx

x

xY

200,0X

通过通过 MatlabMatlab 仿真对上述隶属函数作图，仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线如图所示。隶属函数曲线如图所示。

0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X Years

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

图 “年轻”的隶属函数曲线图 “年轻”的隶属函数曲线

二、模糊集合的运算二、模糊集合的运算  1 1 模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算 由于模糊集是用隶属函数来表征的，由于模糊集是用隶属函数来表征的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。点对隶属度作相应的运算。（（ 11 ）空集）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为度为 00 ，即，即

0)( uA A

（（ 22 ）全集）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为度为 11 ，即，即

1)( uEA A

（（ 33 ）等集）等集 两个模糊集两个模糊集 AA 和和 BB ，若对所有元素，若对所有元素uu ，它们的隶属函数相等，则，它们的隶属函数相等，则 AA 和和 BB 也也相等。即相等。即 )()( uuBA BA

（（ 44 ）补集）补集 若 为若 为 AA 的补集，则的补集，则

)(1)( uuA AA

A

例如，设例如，设 AA 为“成绩好”的模糊集，为“成绩好”的模糊集，某学生 属于“成绩好”的隶属度为：某学生 属于“成绩好”的隶属度为： 则 属于“成绩差”的隶属度则 属于“成绩差”的隶属度为：为： 2.08.01)( 0 uA

0u

8.0)( 0 uA 0u

（（ 55 ）子集）子集若若 BB 为为 AA 的子集，则的子集，则

)()( uuAB AB

（（ 66 ）并集）并集若若 CC 为为 AA 和和 BB 的并集，则的并集，则

C=A B∪C=A B∪一般地，一般地，

)()())(),(max()( uuuuuBA BABABA

（（ 77 ）交集）交集若若 CC 为为 AA 和和 BB 的交集，则的交集，则

C=A∩BC=A∩B

一般地，一般地，)()())(),(min()( uuuuuBA BABABA

（（ 88 ）模糊运算的基本性质）模糊运算的基本性质模糊集合除具有上述基本运算性质外，模糊集合除具有上述基本运算性质外，还具有下表所示的运算性质。还具有下表所示的运算性质。

运 算 法 则运 算 法 则11 ．幂等律．幂等律A A=A∪A A=A∪ ，， A∩A=AA∩A=A

22 ．交换律．交换律A B=B A∪ ∪A B=B A∪ ∪ ，， A∩B=B∩AA∩B=B∩A

33 ．结合律．结合律(A B) C=A (B C)∪ ∪ ∪ ∪(A B) C=A (B C)∪ ∪ ∪ ∪(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

44 ．吸收律．吸收律A (A∩B)=A∪A (A∩B)=A∪A∩(A B)=A∪A∩(A B)=A∪55 ．分配律．分配律A (B∩C)=(A B)∩(A C)∪ ∪ ∪A (B∩C)=(A B)∩(A C)∪ ∪ ∪A∩(B C)=(A∩B) (A∩C)∪ ∪A∩(B C)=(A∩B) (A∩C)∪ ∪66 ．复原律．复原律

AA

77 ．对偶律．对偶律

88 ．两极律．两极律A E=E∪A E=E∪ ，， A∩E=AA∩E=A

A Ф=A∪A Ф=A∪ ，， A∩Ф=ФA∩Ф=Ф

BABA

BABA

例例 3.4 3.4 设 设

求求 A B∪A B∪ ，， A∩BA∩B

则则

4321

5.08.02.09.0uuuu

A

4321

6.04.01.03.0uuuu

B

4321

6.08.02.09.0uuuu

BA

4321

5.04.01.03.0uuuu

BA

例例 3.5 3.5 试证普通集合中的互补律在模糊试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即 ，集合中不成立，即 ，

证：设 ，证：设 ，则则

1)()( uu AA

0)()( uu AA

4.0)( uA

6.04.01)( uA

16.06.04.0)()( uu AA

04.06.04.0)()( uu AA

2 2 模糊算子模糊算子 模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算过程。采用隶属函数的取大函数的运算过程。采用隶属函数的取大（（ MAXMAX ）） -- 取小（取小（ MINMIN ）进行模糊集合）进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。但还有其它公式，这些公式统称为“模糊但还有其它公式，这些公式统称为“模糊算子”。算子”。 设有模糊集合设有模糊集合 AA 、、 BB 和和 CC ，常用的，常用的模糊算子如下：模糊算子如下：

（（ 11 ）交运算算子）交运算算子设设 C=A∩BC=A∩B ，有三种模糊算子：，有三种模糊算子： ① ①        模糊交算子模糊交算子

② ②        代数积算子代数积算子

③ ③ 有界积算子有界积算子

)(),()( xxMinx BAc

)()()( xxx BAc

1)()(,0)( xxMaxx BAc

（（ 22 ）并运算算子）并运算算子 设设 C=A B∪C=A B∪ ，有三种模糊算子：，有三种模糊算子： ① ①        模糊并算子模糊并算子

② ②        概率或算子概率或算子

③ ③ 有界和算子有界和算子

)(),()( xxMaxx BAc

)()()()()( xxxxx BABAc

)()(,1)( xxMinx BAc

（（ 33 ）平衡算子）平衡算子当隶属函数取大、取小运算时，不可避免当隶属函数取大、取小运算时，不可避免地要丢失部分信息，采用一种平衡算子，地要丢失部分信息，采用一种平衡算子，即“算子”可起到补偿作用。即“算子”可起到补偿作用。设设 C=AoBC=AoB ，则，则

γγ 取值为取值为 [0[0 ，， 1]1] 。。 当当 γ=0γ=0 时， ，相当于时， ，相当于 A∩BA∩B时的算子。时的算子。

))(1())(1(1)()()( 1 xxxxx BABAc

)()()( xxx BAc

当当 γ=1γ=1 时， ，时， ，相当于相当于 A B∪A B∪ 时的算子。时的算子。 平衡算子目前已经应用于德国平衡算子目前已经应用于德国 InformInform公司研制的著名模糊控制软件公司研制的著名模糊控制软件 Fuzzy-TecFuzzy-Techh 中。中。

)()()()()( xxxxx BABAc

第三节 隶属函数一、几种典型的隶属函数一、几种典型的隶属函数 在在 MatlabMatlab 中已经开发出了中已经开发出了 1111 种隶属种隶属函数，即双函数，即双 SS 形隶属函数（形隶属函数（ dsigmfdsigmf ）、联）、联合高斯型隶属函数（合高斯型隶属函数（ gauss2mfgauss2mf ）、高斯型）、高斯型隶属函数（隶属函数（ gaussmfgaussmf ）、广义钟形隶属函）、广义钟形隶属函数（数（ gbellmfgbellmf ）、）、 IIII 型隶属函数型隶属函数 (pimf)(pimf) 、、双双 SS 形乘积隶属函数（形乘积隶属函数（ psigmfpsigmf ）、）、 SS 状隶状隶属函数（属函数（ smfsmf ）、）、 SS 形隶属函数（形隶属函数（ sigmsigmff ）、梯形隶属函数（）、梯形隶属函数（ trapmftrapmf ）、三角形）、三角形隶属函数（隶属函数（ trimftrimf ）、）、 ZZ 形隶属函数（形隶属函数（ zmzmff ）。）。

在模糊控制中应用较多的隶属函数有在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下以下 66 种隶属函数。种隶属函数。（（ 11 ）高斯型隶属函数）高斯型隶属函数 高斯型隶属函数由两个参数 和高斯型隶属函数由两个参数 和 cc 确定：确定：

其中参数其中参数 bb 通常为正，参数通常为正，参数 cc 用于确定曲用于确定曲线的中心。线的中心。 MatlabMatlab 表示为表示为

2

2

2)(

),,( cx

ecxf

c]),σ[gaussmf(x,

(2) (2) 广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数 广义钟型隶属函数由三个参数广义钟型隶属函数由三个参数 aa ，， bb ，， cc确定：确定：

其中参数其中参数 bb 通常为正，参数通常为正，参数 cc 用于确定曲线用于确定曲线的中心。的中心。 MatlabMatlab 表示为表示为

b

acx

cbaxf 2

1

1),,,(

c])b,[a,gbellmf(x,

(3) S(3) S 形隶属函数形隶属函数 SS 形函数形函数 sigmf(x,[a c])sigmf(x,[a c]) 由参数由参数 aa 和和 cc决定：决定：

其中参数其中参数 aa 的正负符号决定了的正负符号决定了 SS 形隶属函形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。或“负大”的概念。 MatlabMatlab 表示为 表示为

)(11),,( cxae

caxf

) c] [a, sigmf(x,

（（ 44 ）梯形隶属函数）梯形隶属函数 梯形曲线可由四个参数梯形曲线可由四个参数 aa ，， bb ，， cc ，， dd确定：确定：

其中参数其中参数 aa 和和 dd 确定梯形的“脚”，而参确定梯形的“脚”，而参数数 bb 和和 cc 确定梯形的“肩膀”。 确定梯形的“肩膀”。 MatlabMatlab表示为：表示为：

dx

dxccdxd

cxb

bxaabax

ax

dcbaxf

0

1

0

),,,,(

d])c,b,[a,trapmf(x,

(5)(5) 三角形隶属函数三角形隶属函数 三角形曲线的形状由三个参数三角形曲线的形状由三个参数 aa ，， bb ，，cc 确定：确定：

其中参数其中参数 aa 和和 cc 确定三角形的“脚”，而确定三角形的“脚”，而参数参数 bb 确定三角形的“峰”。 确定三角形的“峰”。 MatlabMatlab 表表示为示为

cx

cxbbcxc

bxaabax

ax

cbaxf

0

0

),,,(

c])b,[a,trimf(x,

（（ 66 ）） ZZ 形隶属函数形隶属函数 这是基于样条函数的曲线，因其呈现这是基于样条函数的曲线，因其呈现 ZZ形状而得名。参数形状而得名。参数 aa 和和 bb 确定了曲线的形状。确定了曲线的形状。MatlabMatlab 表示为表示为 有关隶属函数的有关隶属函数的 MATLABMATLAB 设计，见著设计，见著作：作：楼顺天，胡昌华，张伟，基于楼顺天，胡昌华，张伟，基于 MATLABMATLAB 的系统分的系统分析与设计析与设计 -- 模糊系统，西安：西安电子科技大学模糊系统，西安：西安电子科技大学出版社，出版社， 20012001

b])[a,zmf(x,

例例 3.6 3.6 隶属函数的设计：针对上述描述的隶属函数的设计：针对上述描述的66 种隶属函数进行设计。种隶属函数进行设计。 MM 为隶属函数的为隶属函数的类型，其中类型，其中 M=1M=1 为高斯型隶属函数，为高斯型隶属函数， M=2M=2

为广义钟形隶属函数，为广义钟形隶属函数， M=3M=3 为为 SS 形隶属函形隶属函数，数， M=4M=4 为梯形隶属函数，为梯形隶属函数， M=5M=5 为三角为三角形隶属函数，形隶属函数， M=6M=6 为为 ZZ 形隶属函数。如图形隶属函数。如图所示。所示。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

trimf,P=[3 6 8]

图 高斯型隶属函数（图 高斯型隶属函数（ M=1M=1 ））

fisMat=newfis('tipper');

fisMat=addvar(fisMat,'input','service',[0 10]);

fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'poor','gaussmf',[1.5 0]);

fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'good','gaussmf',[1.5 5]);

fisMat=addmf(fisMat,'input',1,'excellent','gaussmf',[1.5 10]);

plotmf(fisMat,'input',1);

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

trimf,P=[2 4 6]

图 广义钟形隶属函数（图 广义钟形隶属函数（ M=M=22 ））

x=0:0.1:10;y=gbellmf(x,[2 4 6]);plot(x,y);xlabel('gbellmf,p=[2 4 6]');

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

trimf,P=[2 4]

图 图 SS 形隶属函数（形隶属函数（ MM=3=3 ））

x=0:0.1:10;y=sigmf(x,[2 4]);plot(x,y);xlabel('sigmf,p=[2 4]');

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

trimf,P=[1 5 7 8]

图 梯形隶属函数（图 梯形隶属函数（ M=M=44 ））

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

trimf,P=[3 6 8]

图 三角形隶属函数（图 三角形隶属函数（ M=M=55 ））

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

trimf,P=[3 7]

图 图 ZZ 形隶属函数（形隶属函数（ MM=6=6 ））

二、隶属函数的仿真二、隶属函数的仿真例例 3.7 3.7 设计一个三角形隶属函数，按设计一个三角形隶属函数，按 [-3[-3 ，，3]3] 范围七个等级，建立一个模糊系统，用范围七个等级，建立一个模糊系统，用来表示来表示 {{ 负大，负中，负小，零，正小，负大，负中，负小，零，正小，正中，正大正中，正大 }} 。。仿真结果如图所示。仿真结果如图所示。

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

图 三角形隶属函数曲线图 三角形隶属函数曲线

例例 3.8 3.8 设计评价一个学生成绩的隶属函数，设计评价一个学生成绩的隶属函数，在在 [0[0 ，， 100]100] 之内按之内按 AA 、、 BB 、、 CC 、、 DD 、、 EE分为五个等级，即分为五个等级，即 {{ 不及格，及格不及格，及格，中，，中，良，优良，优 }} 。。分别采用五个高斯型隶属函数分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。图所示。

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

grade

Deg

ree

of m

embe

rshi

p

E D C B A

图 高斯型隶属函数曲线图 高斯型隶属函数曲线

三、 隶属函数的确定方法三、 隶属函数的确定方法   隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。通常的方法是初留在经验和实验的基础上。通常的方法是初步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”步确定粗略的隶属函数，然后通过“学习”和实践来不断地调整和完善。遵照这一原则和实践来不断地调整和完善。遵照这一原则的隶属函数选择方法有以下几种。的隶属函数选择方法有以下几种。

（（ 11 ）模糊统计法）模糊统计法 根据所提出的模糊概念进行调查统计，根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集提出与之对应的模糊集 AA ，通过统计实验，，通过统计实验，确定不同元素隶属于确定不同元素隶属于 AA 的程度。的程度。 对模糊集对模糊集 AA 的隶属度 的隶属度 = =

NAu

试验总次数的次数0

0u

（（ 22 ）主观经验法）主观经验法 当论域为离散论域时，可根据主观认当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确定隶属函数的直接给出隶属度。这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。方法已经被广泛应用。（（ 33 ）神经网络法）神经网络法 利用神经网络的学习功能，由神经网利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的值。习自动调整隶属函数的值。

第四节 模糊关系一、模糊关系一、模糊关系

例例 3.9 3.9 设有一组同学设有一组同学 XX ，， X={X={ 张三，李张三，李四，王五四，王五 }} ，他们的功课为，他们的功课为 YY ，， Y={Y={ 英语，英语，数学，物理，化学数学，物理，化学 }} 。他们的考试成绩如。他们的考试成绩如下表：下表：

功课

姓名英语 数学 物理 化学

张三 70 90 80 65李四 90 85 76 70王五 50 95 85 80

表 考试成绩表表 考试成绩表

取隶属函数 ，其中取隶属函数 ，其中 uu 为成绩。为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个一个 xx××yy 上的一个模糊关系上的一个模糊关系 RR ，见下表。，见下表。

100)( uu

功课

姓名英语 数学 物理 化学

张三 0.70 0.90 0.80 0.65李四 0.90 0.85 0.76 0.70王五 0.50 0.95 0.85 0.80

表 考试成绩表的模糊化表 考试成绩表的模糊化

将上表写成矩阵形式，得：将上表写成矩阵形式，得：

80.085.095.050.070.076.085.090.065.080.090.070.0

R

该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在必须在 [0[0 ，， 1]1] 闭环区间上取值。矩阵闭环区间上取值。矩阵 RR也可以用关系图来表示，如图所示。也可以用关系图来表示，如图所示。

图 图 RR 的关系图的关系图

二、模糊矩阵运算二、模糊矩阵运算设有设有 nn 阶模糊矩阵阶模糊矩阵 AA 和和 BB ， ，， ，

，且 。则定义如下几种模，且 。则定义如下几种模糊矩阵运算方式：糊矩阵运算方式：

)( ijaA

)( ijbB nji ,,2,1,

（1）相等若ijijba，则A=B。

（2）包含若ijijba，则AB。

例 3-10 设

9.03.01.07.0

A

1.02.09.04.0

B

（3）并运算

若 ijijij bac ，则 )(ijcC为A和B的并，记为C=A∪B。

（4）交运算

若 ijijij bac ，则 )(ijcC为A和B的交，记为C=A∩B。

（5）补运算

若 ijij ac 1，则 )(ijcC为A的补，记为C=A。

9.03.09.07.0

1.09.02.03.09.01.04.07.0

BA

1.02.01.04.0

1.09.02.03.09.01.04.07.0

BA

1.07.09.03.0

9.013.011.017.01

A

三、模糊矩阵的合成三、模糊矩阵的合成模糊矩阵的合成类似于普通矩阵的乘模糊矩阵的合成类似于普通矩阵的乘

积。将乘积运算换成“取小”，将加运算积。将乘积运算换成“取小”，将加运算换成“取大”即可。换成“取大”即可。

设矩阵设矩阵 AA 是是 xx××yy 上的模糊关系，矩上的模糊关系，矩阵阵 BB 是是 yy×z×z 上的模糊关系，则上的模糊关系，则 C=AC=AοBB 称称为为 AA 与与 BB 矩阵的合成，合成算法为：矩阵的合成，合成算法为：

kjikk

ij bac

例 3-11 设， ，

2221

1211

aaaa

A

2221

1211

bbbb

B

2221

1211

cccc

BAC

则则 AA 和和 BB 的合成为：的合成为：

)b(a)ba(c 2112111111 )b(a)ba(c 2212121112 )b(a)ba(c 2122112121 )b(a)ba(c 2222122122

其中其中

当

3.05.07.08.0

A ，

9.06.04.02.0

B 时 ， 有

4.03.07.06.0

BA

6.06.03.04.0

AB

可 见 ， ABBA 。

第五节 模糊推理一、模糊语句一、模糊语句

将含有模糊概念的语法规则所构成的语将含有模糊概念的语法规则所构成的语句称为模糊语句。根据其语义和构成的语法句称为模糊语句。根据其语义和构成的语法规则不同，可分为以下几种类型：规则不同，可分为以下几种类型：（（ 11 ）模糊陈述句：语句本身具有模糊性，）模糊陈述句：语句本身具有模糊性，又称为模糊命题。如：“今天天气很热”。又称为模糊命题。如：“今天天气很热”。（（ 22 ）模糊判断句：是模糊逻辑中最基本的）模糊判断句：是模糊逻辑中最基本的语句。语句形式：“是语句。语句形式：“是 a”a” ，记作（，记作（ aa ），），且且 aa 所表示的概念是模糊的。如“张三是好所表示的概念是模糊的。如“张三是好学生”。学生”。

（（ 33 ）模糊推理句：语句形式：若是，则）模糊推理句：语句形式：若是，则是。则为模糊推理语句。如“今天是晴天，是。则为模糊推理语句。如“今天是晴天，则今天暖和”。则今天暖和”。二、模糊推理二、模糊推理 常用的有两种模糊条件推理语句：常用的有两种模糊条件推理语句： If A If A then B else Cthen B else C ；； If A AND B then CIf A AND B then C下面以第二种推理语句为例进行探讨，该下面以第二种推理语句为例进行探讨，该语句可构成一个简单的模糊控制器，如图语句可构成一个简单的模糊控制器，如图所示。所示。

图 二输入单输出模糊控制器图 二输入单输出模糊控制器其中其中 AA ，， BB ，， CC 分别为论域分别为论域 xx ，， yy ，， zz上的模糊集合，上的模糊集合， AA 为误差信号上的模糊为误差信号上的模糊子集，子集， BB 为误差变化率上的模糊子集，为误差变化率上的模糊子集，CC 为控制器输出上的模糊子集。为控制器输出上的模糊子集。

模糊推理语句“模糊推理语句“ If A AND B then C”If A AND B then C”确定了三元模糊关系确定了三元模糊关系 RR ，即：，即：

R=(AR=(A××B)B)T1T1××CC其中其中 (A(A××B)B)T1T1 为模糊关系矩阵为模糊关系矩阵 (A(A××B) B) (m(m××nn)) 构成的构成的 mm×n×n 列向量，列向量， nn 和和 mm 分别为分别为AA 和和 BB 论域元素的个数。论域元素的个数。 基于模糊推理规则，根据模糊关系基于模糊推理规则，根据模糊关系 RR ，，可求得给定输入可求得给定输入 AA11 和和 BB11 对应的输出对应的输出 CC11 ：：

C1=C1= （（ A1A1××B1B1 ）） T2T2RR

例 3-9 设论域 x={a1 ， a2 ， a3} ， y={b1 ，b2 ， b3} ， z={c1 ， c2 ， c3} ，已知 ， 。试确定“ If

A AND B then C” 所决定的模糊关系 R ，以及输入为 ,

时的输出 C1 。

321

1.015.0aaa

A

321

6.011.0abb

B 21

14.0cc

C

3211

1.05.00.1aaa

A 321

16.011.0bbb

B

解：解：AA××B=B=

将将 AA××BB 矩阵扩展成如下列向量：矩阵扩展成如下列向量：(A(A××B)B)T1T1==

R=(AR=(A××B)B)T1T1××C= C=

==

1.01.01.06.00.11.05.05.01.0

6.011.01.0

15.0

T1.01.01.06.00.11.05.05.01.0

14.01.01.01.06.00.11.05.05.01.0 T

T

1.01.01.06.011.05.05.01.01.01.01.04.04.01.04.04.01.0

当输入为 A1 和 B1 时，有：(A1×B1)=

将 A1×B1 矩阵扩展成如下行向量：(A×B)T2=

最后得 : C1=

即： C1=

1.01.01.05.05.01.0

15.01.015.01.0

1.05.0

1

1.01.01.05.05.01.015.01.0

5.04.01.01.01.06.011.05.05.01.01.01.01.04.04.01.04.04.01.0

1.01.01.05.05.01.015.01.0

T

21

5.04.0cc

三、模糊关系方程三、模糊关系方程11 、模糊关系方程概念、模糊关系方程概念

将模糊关系将模糊关系 RR 看成一个模糊变换器。看成一个模糊变换器。当当 AA 为输入时，为输入时， BB 为输出，如图所示。为输出，如图所示。

图 模糊变换器图 模糊变换器

可分为两种情况讨论：可分为两种情况讨论：（（ 11 ）已知输入）已知输入 AA 和模糊关系和模糊关系 RR ，求输出，求输出BB ，这是综合评判，即模糊变换问题。，这是综合评判，即模糊变换问题。（（ 22 ）已知输入）已知输入 AA 和输出和输出 BB ，求模糊关系，求模糊关系RR ，或已知模糊关系，或已知模糊关系 RR 和输出和输出 BB ，求输入，求输入AA ，这是模糊综合评判的逆问题，需要求，这是模糊综合评判的逆问题，需要求解模糊关系方程。解模糊关系方程。

22 、模糊关系方程的解、模糊关系方程的解近似试探法是目前实际应用中较为近似试探法是目前实际应用中较为

常用的方法之一。常用的方法之一。例例 3.10 3.10 解方程解方程

4.04.02.06.0

3

2

1

xxx

解： 由方程得：解： 由方程得：显然三个括弧内的值都不可能超过显然三个括弧内的值都不可能超过 0.40.4 。由。由于 是显然的，因此于 是显然的，因此 xx22 可以取可以取 [0,1][0,1]

的任意值，即的任意值，即 xx22=[0,1]=[0,1] 。。现在只考虑：现在只考虑：

这两个括弧内的值可以是：其中一个等于这两个括弧内的值可以是：其中一个等于0.40.4 ，另一个不超过，另一个不超过 0.40.4 。分两种情况讨论：。分两种情况讨论：

4.04.02.06.0 321 xxx

4.02.0 2 x

4.04.06.0 31 xx

(1) (1) 设设 0.6∧x1=0.40.6∧x1=0.4 ，， 0.4∧x3≤0.40.4∧x3≤0.4 ，，则 ，则 ，即方程的解为 即方程的解为 (2) (2) 设设 0.6∧x1≤0.40.6∧x1≤0.4 ，， 0.4∧x3=0.40.4∧x3=0.4 ，，则 ，则 ，即方程的解为即方程的解为

1,0,1,0,4.0 321 xxx

4. 0 1 x 1,03 x

4.0,01 x 1,4.03 x

1,4.0,1,0,4.0,0 321 xxx