第六章大数定律与中心极限定理

第六章大数定律与中心极限定理第六章大数定律与中心极限定理第六章大数定律与中心极限定理第六章大数定律与中心极限定理

大数定律大数定律

中心极限定理中心极限定理

大数定律是反映随机变量大数定律是反映随机变量算术平均值算术平均值与与频率稳定频率稳定

性性的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概的一组定律，它们奠定了以频率稳定值作为事件概

率的理论基础。率的理论基础。

中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似中心极限定理是描述大量随机变量和服从或近似

服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概

率论中的重要地位。率论中的重要地位。

概述概述概述概述

契比雪夫定理契比雪夫定理设随机变量 X1 ， X2 ，…，Xn ， …相互独立，且有相同的期望 μ 与方差 σ2 ，则对任意正数 ε 有

,1

)(11

111

n

kk

n

k

n

kk n

XEn

Xn

E

【证】由期望与方差性质可得

11

lim1

n

kk

nX

nP 11

lim1

n

kk

nX

nP

§1§1 、大数定律、大数定律§1§1 、大数定律、大数定律

,1

)(11 2

1

22

12

1 nnXD

nX

nD

n

kk

n

k

n

kk

独立

2

2

1

/1

1

n

Xn

Pn

kk

由契比雪夫不等式得：

1

取极限并由夹挤定理得：

11

lim1

n

kk

nX

nP ■■

定义定义 11 设有随机变量无穷序列和常数，

如果对任意正数 ε ，有

1}{ nY a

1lim

nn

YP

则称序列依概率收敛캎常数，记为1}{ nY a .aY

P

n

定理表明：在一定条件下， n 个随机变量的算术随机变量的算术

平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数，即当 n 充分大时它几乎为常

数。

贝努里定理贝努里定理设 nA 是事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的频数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任意正数 ε 有

,,1

,,0

次试验中发生在第次试验中不发生在第kA

kAX k

【证】引入随机变量

1lim

pn

nP A

n1lim

pn

nP A

n

).1()(, ppXDpXE kk

则相互独立，且均服从同一个（ 0-1 ）分布：1}{ kX

,1

,1

11

pXn

En

nX

n

n

kk

n

k

Ak

由契比雪夫定理契比雪夫定理得

1lim

pn

nP A

n■■

定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的频率依概率收敛于事件的概率概率。。在契比雪夫定理中，去除契比雪夫定理中，去除““方差存在方差存在””的条件，增的条件，增

加加““随机变量服从相同分布随机变量服从相同分布””可得如下定理。可得如下定理。

辛钦定理辛钦定理设随机变量 X1 ， X2 ，…， Xn ，…相互

独立，服从同一分布且均有期望 μ ，则对任意正数 ε

有1

1lim

1

n

kk

nX

nP 11

lim1

n

kk

nX

nP ■■

§2§2 、中心极限定、中心极限定理理§2§2 、中心极限定、中心极限定理理列维列维 -- 林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理设随机变量X1 ， X2 ，

… ， Xn ，…相互独立、同分布，且均具有期望与方差：

dtexYPxFtx

nn

nn

2

2

2

1}{lim)(lim

dtexYPxF

tx

nn

nn

2

2

2

1}{lim)(lim

),,2,1(0)(,)( 2 kXDXE kk

则随机变量

n

kk

n

k

n

kkk

n

XD

XEX

Y

1

1 1

n

nXn

kk

1

n

nXn

kk

1

的分布函数满足

随机变量和的标准

化

随机变量和的标准

化

)(lim 1 xxn

nXP

n

kk

n

)(lim 1 xx

n

nXP

n

kk

n

即 ■■

由列维 - 林德伯格定理可知 1 、独立同分布且存在期望与方差的随机变量和近似服从正态分布： );,(~

1

2

n

kk nnNX

2 、计算独立同分布且存在期望与方差的随机变量和的概率的近似公式：

n

na

n

nbbXaP

n

kk

1

n

na

n

nbbXaP

n

kk

1

【例【例 11 】】【例【例 11】】据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值为为 100100 小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取 1616 只，设其寿命是相只，设其寿命是相互独立的，求这互独立的，求这 1616 只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于 19201920 小时的概率。小时的概率。

【例【例 11】】据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值据以往经验，某中电子元件的寿命服从均值为为 100100 小时的指数分布，现随机地取小时的指数分布，现随机地取 1616 只，设其寿命是相只，设其寿命是相互独立的，求这互独立的，求这 1616 只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于 19201920 小时的概率。小时的概率。

2100)(,100)( kk XDXE

〖解〗设第 k 个元件的寿命则相互独立、服从同一个指数分布 , 且

),16,,2,1( kX k kX

由独立同分布的列维 - 林德贝格中心极限定理得 “16 只元件寿命总和大于 1920 小时”的概率为 :

}1920{16

1

k

kXP }400

16001920

)(16

)(16{

16

1

k

kk

k

XD

XEXP

)8.0(1 7881.01 .2119.0 ■■

n

naXaP

n

kk 1

1

n

naXaP

n

kk 1

1

此例中用的公式具体为

【例【例 22 】】 ]] 【例【例 22】】计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近它的整数它的整数 .. 设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从 (-0.5(-0.5 ，， 0.5)0.5) 上上的的均匀分布均匀分布 ,, 问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于小于 1010 的概率不小于的概率不小于 0.99?0.99?

【例【例 22】】计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近计算器在进行加法时，每个加数舍入最靠近它的整数它的整数 .. 设所有舍入误差是独立的且服从设所有舍入误差是独立的且服从 (-0.5(-0.5 ，， 0.5)0.5) 上上的的均匀分布均匀分布 ,, 问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值问最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于小于 1010 的概率不小于的概率不小于 0.99?0.99?

,12

1)(,0)( kk XDXE

〖解〗设最多有 n 个数相加 , 且第 k 个数取整的误差为则相互独立、服从同一个均匀分布 ,

且

),,,2,1( nkX k kX

由列维 - 林德贝格中心极限定理得“ n 个数相加误差总和绝对值小于 10” 的概率为 :

}10|{|1

n

kkXP }1010{

1

n

kkXP

12

010

12

010

n

n

n

n

,95.0320

n

112

102

n9.0

,645.1320

n,05836847.21

645.1

320n

4548826.443n

即

查表得：

443n故可取

■■

德莫佛德莫佛 -- 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理设随机设随机变量变量 ηηn n

（（ n=1,2,n=1,2,…)…) 服从二项分布服从二项分布 B(n,p)(0<p<1),B(n,p)(0<p<1), 则对则对任意任意 ,, 有有

)(2

1

)1(lim 2

2

xdtexpnp

npP

txn

n

)(2

1

)1(lim 2

2

xdtexpnp

npP

txn

n

【证】因为【证】因为 ηηnn 可分解为可分解为 nn 个相互独立、服从同一个个相互独立、服从同一个 (0-1)(0-1) 分布的随机变量分布的随机变量 XX11 ，， XX22 ，，……，， XXnn 之和之和 ,, 即即

n

kkn X

1

标准化得,)1()(

)( 1

pnp

npX

D

EY

n

kk

n

nnn

由列维列维 -- 林德伯格定理林德伯格定理即可得证 .■■

由德莫佛德莫佛 -- 拉普拉斯定理拉普拉斯定理可知 1 、正态分布是二项分布的极限分布 ;

2 、有关二项分布概率的近似计算公式：

)1()1( pnp

npa

pnp

npbbaP n

)1()1( pnp

npa

pnp

npbbaP n

特别的，当 n 较大且 np≥5时

)1(

0pnp

npbbP n

)1(

0pnp

npbbP n

【例【例 33 】】【例【例 33】】某单位设置一部电话总机某单位设置一部电话总机 ,, 架设架设 200200 部电话部电话分机分机 . .

设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有 5%5% 的概率使用外线的概率使用外线 .. 问总机需要多少条外线才能以不低问总机需要多少条外线才能以不低于于 90%90% 的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用 ..

【例【例 33】】某单位设置一部电话总机某单位设置一部电话总机 ,, 架设架设 200200 部电话部电话分机分机 . .

设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有设每个分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻有 5%5% 的概率使用外线的概率使用外线 .. 问总机需要多少条外线才能以不低问总机需要多少条外线才能以不低于于 90%90% 的概率保证各分机要使用外线时可供使用的概率保证各分机要使用外线时可供使用 .. 〖解〗设〖解〗设 200200 部电话分机同时使用外线的门数为部电话分机同时使用外线的门数为 XX，，则则 X~B(200,0.05),.X~B(200,0.05),. 又设需外线又设需外线 NN 条条 .. 由德莫佛由德莫佛 -- 拉普拉斯拉普拉斯中中心极限定理可得心极限定理可得 :: }0{ NXP

)]2.3(1[1.3

10

N

)1(

0

)1( pnp

np

pnp

npN

2.31.3

10

N

查表得 :

968.13,28.11.3

10

N

N

故可取故可取 N=14. N=14.

注注 :: 本题也可利用二项分布的泊松近似公式本题也可利用二项分布的泊松近似公式 ..

■■

例例 3-3- 续续

0007.01.3

10

N

]9993.01[1.3

10

N 9.0

【例【例 44】】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈愈率为率为 0.8,0.8,医院检验员任意抽查医院检验员任意抽查 100100名服用此药的病人名服用此药的病人 ,, 如如果果其中多于其中多于 7575人被治愈人被治愈 ,, 则接受此断言则接受此断言 ,, 否则拒绝该断言否则拒绝该断言 . .

(1)(1)若实际治愈率为若实际治愈率为 0.8,0.8, 问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少 ? ?

(2)(2)若实际治愈率为若实际治愈率为 0.8,0.8, 问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少 ??



(2)(2)若实际治愈率为若实际治愈率为 0.8,0.8, 问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少 ?? 〖解〗〖解〗 (1).(1). 设设 100100 个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有 XX人人 ,, 则则X~ X~

B(100,0.8).B(100,0.8). 由拉普拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得 : : }75{ XP )75{1 XP

2.08.0100

8.0100751 25.11

25.1 .8944.0

【例【例 44】】【例【例 44】】某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治某药厂断言其生产的一种药品对甲肝的治愈愈率为率为 0.8,0.8,医院检验员任意抽查医院检验员任意抽查 100100名服用此药的病人名服用此药的病人 ,, 如如果果其中多于其中多于 7575人被治愈人被治愈 ,, 则接受此断言则接受此断言 ,, 否则拒绝该断言否则拒绝该断言 . .


(2)(2)若实际治愈率为若实际治愈率为 0.8,0.8, 问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少 ??



(2)(2)若实际治愈率为若实际治愈率为 0.8,0.8, 问接受此断言的概率是多少问接受此断言的概率是多少 ?? 〖解〗〖解〗 (1).(1). 设设 100100 个服用此药被治愈的有个服用此药被治愈的有 XX人人 ,, 则则X~ X~

B(100,0.8).B(100,0.8). 由拉普拉斯中心极限定理得由拉普拉斯中心极限定理得 : : }75{ XP )75{1 XP

2.08.0100

8.0100751 25.11

25.1 .8944.0

德莫佛德莫佛 -- 拉普拉斯定理拉普拉斯定理

列维列维 -- 林德伯格定理林德伯格定理

特例特例

证明

证明

中心极限定理间关系中心极限定理间关系

独立同分布独立同分布

二项分布二项分布

利用正态分布计算大

量随机变量和的概率

利用正态分布计算大

量随机变量和的概率

第六章大数定律与中心极限定理

Documents

Transcript of 第六章大数定律与中心极限定理

第六章 大数定律与中心极限定理

Documents

Transcript of 第六章 大数定律与中心极限定理

第六章大数定律与中心极限定理

Transcript of 第六章大数定律与中心极限定理