Ch5 牛頓運動定律的應用§ 5-1 質點系統的質心

§ 5-2 動量守恆定律

§ 5-3 衝量與動量

§ 5-4 角動量與角動量守恆定律

§ 5-5 物理因次

§ 5-1 質點系統的質心1. 質心的意義：代表整體運動的點。

由前一章我們知道牛頓第二運動定律適用於質點，也適用於具有相同加速度的質點系統。如一輛直線行駛中的汽車每一點的加速度都相同。在這一章將證明對於每個質點都具有不同速度與加速度的質點系統，我們仍然可以找到一點來代表整體的運動，即其加速度滿足整體的牛頓第二運動定律，此點稱為系統的質心。

• 跳水人員不論如何翻滾，其質心軌跡為一拋物線。

2.質心運動的實例：

• 將一板手拋出後，其質心軌跡為一拋物線。

• 砲彈被射出後，在空中爆炸成許多碎片。這些碎片的運動甚為複雜，但整個炮彈的質心仍如炮彈未爆炸一樣，以拋物線繼續前進。

3. 質心的位置：將質點系統的質心位置定義為

1 1 2 2

1 2

n nc

n

m r m r m rr

m m m

x

y

z

1m

2m

3m

4m1r

2r

3r

4r

cr . .C M4. 質心的位移：

1 1 2 2

1 2

n nc

n

m r m r m rr

m m m

5. 質心的速度：將上面質心位移公式兩端同除以所經時間 Δt ，再令 Δt → 0 ，即得質心速度的公式

1 1 2 2

1 2

n nc

n

m v m v m vv

m m m

6. 質心的加速度：將質心速度的公式兩端對 t 作微分，即得質心加速度的公式

1 1 2 2

1 2

n nc

n

m a m a m aa

m m m

7. 質心運動定理：我們將證明質點系統質心的加速度滿足牛頓定第二運動定律

cF Ma

1 2

nM m m m

F

其中 為質點系統的總質量。

為作用在質點系統的總外力

此定理隱含質心的運動相當於是一個質量為 M 的質點。

1 1 2 2

1 2

c n n

i i

c n

i

Ma m a m a m a

F ma

Ma F F F

F i

代入每個質點的牛頓第二運動

定律： 得到

其中 為作用在第 個質點的合力，

這些力量有來自於系統外面的作用力，有系統內質點間彼此的作用力。根據牛頓第三運動定律，這些系統內彼此間的作用力必成對出現，互為作用力與反作用力。因此這些內力必互相抵消，只留下來自於外界的作用

證明：

力，

這些 cF F Ma 力量的合力以符號 表示，即得到 。

1m

2m3m

2F外

1F外

3F外

12F

13F

21F

32F

23F31F

例題：質量分別為 m 與 2m 的 A 、 B 兩質點，分別置於點（ 0 ， 2 ）與點（ 0 ， 5 ），則當 A 移動至點（ 3 ， 0 ），B 移動至點（ 6 ， 0 ），則系統質心位移為何？

ˆ ˆ5i 4 j答案：

例題：長 L 質量不計的輕桿，左右兩端各繫質量分別為 2m 和 3m 的小球，靜置於光滑水平面上，兩小球均環繞通過系統質心的垂直軸作等速率圓周運動， 3m 的速率為 v ，則 2m 的運動速率為何？

3v

2 答案：

例題：包含 A 、 B 兩質點的系統， A 的質量 1 公斤，以 6公尺∕秒的速率向東運動， B 的質量 2 公斤，以 4 公尺∕秒的速率向北運動。求此系統質心的速度。

10 /

3o質心速度為 ，東偏 5北答案： 3的方向。m s

y ( 北 )

x ( 東 )

53o

vc

例題：右圖的裝置裡，質量為 m 的物體和質量為 M 的另一物體以細繩相連，掛在滑輪上； M > m 。繩子和滑輪的質量以及摩擦力均可忽略不計。在 M 下降、 m 上升的期間，這兩個物體的質量中心下降的加速度為 _________ 。 [82. 日大 ]

m M

2c

M m a ( ) g

M m

答案：

T T

aa

例題：一炸彈自 600 公尺之高空自由下落，於中途爆裂成兩個等重的破片，在垂直線上分上、下散開。如空氣阻力可以不計，炸彈下落後 10 秒時有一破片擊中地面，則此時另一破片距地面之高度為何？ [70. 日大 ]

答案： 220 公尺

例題：一砲彈以之初速 v0 及的仰角 θ 自水平地面斜向射出，達最高點時爆裂為質量相等的兩塊，其中一塊鉛直掉下，則另一塊著地時在水平方向上移動的距離為何？

另一

塊θ

質心其中一

塊

v0

203v sin 2

2g

答案：

例題：有一重 250 公斤，長 6 公尺之頭尾對稱，密度均勻之船隻靜止於水中，當重量為 50 公斤的人由船頭走到船尾，則此時間內船身移動多少距離？（不計水對船的阻力） [68. 日大 ]

C.M.

C.M.

答案： 1 公尺

例題：一碗狀物體，質量為 M ，其內壁呈半球形（半徑為 R ）。設此物體被置於一光滑的水平面上﹙如右圖﹚，另一質量為 m 之小物體自碗之內壁頂端滑落至碗底時，碗移動之距離為何？ [69. 日大 ]

Rm

mR

M m

答案：

例題：有一質量 5.0kg 的框架，中心部分有質量為 1.0kg 與 4.0kg 的兩小球，框架兩端相距長度為 L ，且兩端附有黏膠，整個裝置放在乾冰盤上，若兩小球因爆發而被水平彈開，最後兩球均被框架黏住，則框架移動的距離若干？

C.M.

C.M.

答案： 0.15 L

1.動量：物體的質量與其速度的乘積，為向量。

p mv

• 動量的單位：公斤．公尺∕秒（ kg．m∕s ）

• 動量與牛頓第二運動定律：牛頓在其原著裡將第二運動定律寫成如下形式：

0lim

t

p dpF

t dt

0 0 0

( )lim lim lim

t t t

p mv vF m ma

t t t

物體的質量如不隨時間改變，則

• 動量的定義：

§ 5-2 動量守恆定律

2.動量守恆定律：動量守恆定律對於質點系統特別有用，由質點系統的質心運動定理

cF Ma

1 1 2 2

1 1 2 2

0

c

n nc

c n n

F

a

m v m v m vv

MP Mv m v m v m v

若質點系統所受到的總外力 為零，則系統的質心加速度

，即質心作等速度運動，因此質心速度

定值

系統的總動量 定值

動量守恆定律：若質點系統所受外力的合力為零，則系統的總動量守恆。

動量為向量，因此更一般的動量守恆定律敘述為：系統不受某一方向的淨外力，則系統的總動量在此方向的分量保持定值。

如上圖，做拋體運動的物體僅受到向下的重力作用，水平方向不受外力。因此雖然鉛直方向的動量會隨時間變化，水平方向的動量卻保持定值。

例題：質量為 m 之人靜立於質量為 M 之船，船靜浮於水上，船與水間無摩擦。若人以相對於船之水平速度 v 跳離船，則船之末速為何？

mv

M m

答案：

例題： A 、 B 兩人各穿著冰刀，面對面靜止站在冰上，今 A 把手中籃球拋傳給 B 接住。設兩人的質量各為 mA 及 mB ，籃球的質量為 m ，而籃球傳出時的水平速度為 v ，則當籃球傳過之後， A 、 B 兩人相對速度之大小為何？ [67.日大 ]

vA B

vA vB

A B

A B

m(m m m )v

m (

m m )

答案：

例題：質量為 9.00 kg 的物體，以速度 10.0 m/s 向北等速運動中，突然爆裂為三塊。第一塊質量 2.00 kg ，向北以速度 25.0 m/s 繼續前進，第二塊質量為 3.00 kg ，向西以 10.0 m/s的速度彈開，則第三塊的速度若干？

y ( 北 )

x ( 東 )

答案： 12.5 m / s 東偏北 53o

53o

例題：距地面 490 米高處，一隻質量為 450 公克的鳥以 2.00 m / s 的速度水平飛行，忽為一由後飛來，質量 50.0 公克、速度為 400 m / s 的槍彈擊中，彈留體內，則鳥著地處與擊中處的水平距離若干？

答案： 418 公尺

例題：自水平地面作斜拋運動之物體，在最高點時之動量值恰為拋出時的 3∕5 ；此時突然分裂為質量相等的兩塊，其中一塊以初速為零落下，則此裂塊落地時的動量值與原拋出時物體動量值之比值為何？ [77. 日大 ]

θ

v0 2

5答案：

例題：一節無頂貨車質量為 M ，在平直無摩擦力鐵軌上以速度 V 運動，車外的人看見一物體質量為 m 以速率 v0 垂直掉入車內，當掉入之物體靜止於車內後，貨車之速度為何？

MV

M m

答案： Vv0

例題：質量為 4M 之無頂矮車箱，在無摩擦之水平軌道上以 5V 之速度運動，今自天上落下一陣雨，以速度 u 進入車箱內，使車箱盛有總值量為 M 之雨 。（ |u| = 40V ） (甲 ) 若 u 對車箱而言是垂直落下，則雨後車速大小為 V 之________ 倍。 (乙 ) 若 u 對地而言是垂直落下，則雨後車速大小為 V 之 ________ 倍？ [63.夜大 ]

答案： (甲 ) 5 ；(乙 ) 4

例題：一小球被擲向光滑之地面後反彈跳起。在碰撞發生前後，其入設速度及反彈速度分別與鉛錘線成夾角 θ1 及 θ2 （如圖所示）。若反彈過程為非彈性碰撞，小球剛反跳時的動能降為碰撞前瞬間動能的 1∕C 倍，其中 C > 1 ，則 sinθ2∕sinθ1 之值為何？ [85. 日大 ]

θ1 θ2

C 答案：

例題：一斜面質量為 M ，一物體質量為 m ，同置於光滑水平面上。物體以 v 的初速朝靜止的斜面運動。則當物體沿斜面上升到最大高度時，斜面之速率為若干？

vmM

mv

M

m 答案：

例題：一質量為 55 公斤的人，手持 5.0 公斤的球，乘坐在一質量為 20 公斤的車子上，車子在平直光滑軌道上以 2.0公尺∕秒的速率前進。如將球沿車行方向水平拋出，球拋出瞬間相對於人的速率 8.0 公尺∕秒，則球拋出後車子對地的速率為 __________ 公尺∕秒。 [85. 日大 ]

v 8答案： 1.5

例題：質量 100kg 的台車靜止於光滑水平軌道上，其上載有2 個質量均為 50kg 的人，若每人相繼以相對于台車 v 的速度跑步並跳離車，則車速最後變為若干？若兩人改為同時以相對于台車 v 的速度跑步並跳離車，則車速最後變為若干？

7 vv

12 2 答 ；案：

例題：一動量為 P ，質量為 m 的甲質點，與一質量為 M ，靜止的乙質點作彈性碰撞。碰撞後甲質點的動量變成 Pˊ ，且與原來的入射方向成 90o 角射出。此時乙質點速度大小為何？ [72. 日大 ]

2 2P

M

P 答案：

例題：一砲彈自水平地面以 37o 仰角、 100m/s 之初速射出，於最高點爆裂為質量相等的兩塊碎片，其中一片於砲彈射出後經 8 秒著地，則未落地的那一片將於砲彈射出後約經幾秒著地？

答案： 24 秒

F

F

tt

1.衝量：假如我們以棒子將一棒球擊出，則球所受的力量將如右圖所示，作用的力量很大，作用的時間極短。此為兩物體撞擊時的典型作用力稱為衝力。作用力的平均值與作用時間的乘積稱為物體所受到的衝量。

J Fdt F t

1) 衝量的定義：• 作用於物體的力量如為定值，則物體受到的衝量定義

為作用力與作用時間的乘積。符號上寫成

J F t

• 作用於物體的力量如不為定值，則衝量需以積分來計算。

§ 5-3 衝量與動量

2.動量與衝量的關係：物體受到衝量後速度將產生變化，因此動量也產生了變化。物體的動量變化量等於其所受到的衝量，即

J p

( )

J F t

ma t

m v p

證明：

2) 衝量的單位：牛頓．秒 = 公斤．公尺∕秒。

-

F

J F t F t

作用力 的方向如不隨時間改變，則衝量的大小

圖內所圍面積。

J pF

t t

此關係式可以讓我們用來計算兩物體在碰撞過程中作用力的平均值，即

例題： 100克的小球，在離地 5 公尺高以 30 公尺∕秒速度水平飛來，被球棒擊中反向水平飛落打擊點前方 10 公尺，則球所受衝量大小為何？（ g =10米∕秒 2 ）

10m

30m/s

v

答案： 4 （ kg.m /s ）

例題：質量 200 公克的棒球，以 30 公尺∕秒的速率，水平飛進本壘。被球棒擊中後，以 50 公尺∕秒的速率及 53o 的仰角飛向外野，假設球與球棒接觸時間為 0.02 秒。求球棒接觸的時間內 (1) 球受到衝量的大小 (2) 球受力的平均量值。

53o

3030

40 v(1) 4 13(k m s) g /答案：

(2) 200 13(N)

例題：質量為 m 的物體，以每秒 f 轉的轉速，做半徑 R 的等速率圓周運動，當它轉過 ¼ 圓周時，向心力對物體所施的衝量大小若干？

v

v

Δv

2 2 f mR答案：

例題：質量為 0.1kg 的物體繫於彈簧做 S.H.M. ，週期為0.2π 秒，其振幅為 0.1米，則物體自平衡點經 0.1π 秒後，所受的衝量大小若干？

答案： 0.2（ kg． m / s ）

例題：某人坐在蘋果樹下，忽然有顆成熟的蘋果落下，打在他頭上，並在接觸 0.10 秒後靜止於頭上，設蘋果質量為 0.20 公斤，落下的距離為 2.5 公尺，則在碰撞過程中，蘋果所受淨力的平均值為何？頭受到撞擊力的平均值為何？

N

mg

答案： 14 牛頓； 15.96 牛頓

例題：一質量 1 公斤的球，自離地高 1.8 公尺處自由落下，碰地後鉛直反彈至離地面 0.8 公尺高處，球與地面接觸時間為 0.2 秒，則球碰地時間地面施於球的平均力大小為若干？（ g = 10 公尺∕秒 2 ）

答案： 60 牛頓

例題：一機槍每秒發射 n 顆子彈，已知子彈的質量為 m ，速度為 v ，且射入牆內即陷入其內，則牆所受的平均力為何？ [71.夜大 ] 答案： nmv

例題：粗細均勻的水管內有水流動，若流出水量為每秒 20.0 公斤，而水流速保持為 2.00 公尺∕秒，則在轉彎處水施於水管的合力若干？

0 2 4 牛答 頓；： 方向：案

例題：一噴管截面積為 A ，以速率 v 噴出質量為 m 的氣體分子，如圖所示，氣體分子和器壁作用後，方向改變，但速率不變，若噴出氣體的密度為 n （分子∕立方米），則氣體分子作用於器壁之壓力為多少？

2 22nmv cos 答案：

v

v

Δvθ

θ θA

/ cosA

例題：質量分別為 100 公克、 200 公克的 A 、 B 兩木塊，緊靠在一起並靜置在光滑水平面上。有一質量為 1 g 的子彈以 500 m/s 的初速，自 A 木塊的左端射入，並以 140 m/s 的速度，從 B木塊的右端射出。如果子彈在兩木塊中所受的阻力及作用時間均相同，則連續射穿兩木塊後， B 木塊的速度量值為何？答案： 1.5 m/s A B

例題：設沙粒均靜止於甲、乙兩沙漏之底部，將此二沙漏分別置於天平兩邊之秤盤上，天平保持水平。今將沙漏乙反轉仍置於同一秤盤上，則在乙沙漏內沙粒下落之期間中，下列敘述何者正確？ (A)沙漏甲較重 (B)沙漏乙較重 (C) 兩沙漏一樣重 (D) 有時沙漏甲重，有時沙漏乙重。 [70. 日大 ] 答案： C

例題：設於地球上有一垂直向上發射的火箭，其質量為 2600公斤，每秒鐘能將 100 公斤之燃料燃為氣體以 240 公尺∕秒對火箭之相對速度噴出，則火箭於開始發射後多久時間能離開地面升起？ (A) 1 秒內 (B) 1 秒至 2 秒間 (C) 2 秒至 3 秒間 (D) 3 秒至 4 秒間 (E) 4 秒至 5 秒間。 [71. 日大 ]

答案： B

例題：每公尺長質量 0.6 公斤的長鐵鏈總質量為 120 公斤，靜止盤曲在光滑水平面上。欲將其一端以 4 公尺∕秒的速度沿水平方向上拉動，在長鐵鏈未完全拉完之前需施力大小為多少牛頓？

答案： 9.6 牛頓

例題：質量 m ，長 L 的均勻鐵鍊，下端置於秤盤上，垂直向上拉直後由靜止釋放，如右圖。則磅秤最大讀數為何？

解：當鐵鍊恰完全落於磅秤上時，磅秤的讀數為最大值。此時磅秤的讀數為鐵鍊的重量加上鐵鍊撞擊秤盤的作用力，此撞擊力的大小

m m( v t) v ( 2gL t) 2gLp L LF

t t t2mg

因此磅秤的讀數為 3mg 。

§ 5-4 角動量與角動量守恆定律

θr v

mO

O

O

1. m

r v

m

如右圖所示，質量為 的質點在相對於 點為 處，正以速度 作運動。

定義質點 相對

(1) 定義

點 角

：

於 的 動量

單一質點的角動量：

sin

r p r mv

rmv

r

p

大小：方向：以右手定則表示，如右圖所示。右手彎曲的四個手指頭的方向表 至

的方向，則拇指表 的方向。

r

p

(2) 單位：公斤‧公尺 2∕ 秒（ kg m‧ 2∕s ）

2

( )

(3)

r

p

rp rmv rm r mr

若質點繞固定點作圓周運動 ，則 與

垂直，因此質點的角動量 的大小

特例：

rp

2.轉動運動定律： 考慮一質量為 m 的質點在作移動時滿足牛頓運動定律

( )dv d mv dpF ma m

dt dt dt

如把質點看成是在繞 O 點作轉動（如右圖），則滿足轉動運動定律

d

dt

θr v

mO

證明：

( )d d r p dr dpp r

dt dt dt dtv p r F

θr

v

mO

3.角動量守恆定律： 若物體不受外力矩或所受合外力矩為零時，其角動量不隨

時間改變。

0 0 d

dt

說明：由轉動運動定律，

不隨時間改變

角動量守恆的實例：

• 行星繞太陽作橢圓形軌道運行，行星受到太陽的吸引力為連線上的力量，相對於太陽此例力產生的力矩為零，因此行星的角動量守恆。即

2mr 定值

• 花式溜冰選手，結尾時讓身體快速轉動為角動量守恆的應用。手腳伸展時轉動慣量較大，身體轉的慢，當手腳靠攏時，轉動慣量變小，身體轉速變大。

s r

• 直升機升空後，因機身受到的外力矩為零。當主螺旋槳要加速轉動時，為維持角動量守恆，則機身將會產生反方向轉動，造成機身不穩。因此常在機尾設計一副旋轉尾翼，以平衡主螺旋槳轉動時所產生的機身轉動。

• 跳水選手離開跳板後，受到的外力矩為零。利用手腳縮向身體質心，使得轉動慣量變小，轉速增快。此亦為角動量守恆的應用。

例題：線動量為 p 之物體，在座標（－ a ，＋ b ）處，向＋x 方向運動時，物體相對於坐標原點之角動量為 ________ 。

答案： pb

例題：地球質量為 M ，一質量為 m 的人造衛星繞地球作半徑為 r 的圓周運動， G 為萬有引力常數為，則人造衛星的角動量為若干？

2 GMm R答案：

例題：質量 2kg 的小球以 25m/s 初速， 53o 仰角斜向拋出，小球達最高點時對拋射點的角動量為何？（ g = 10 m/s2 ）

θH

v0x

r

θ

v0

2 600kg m / s答案：

例題：如右圖所示，質點 m 受繩子拉力 F ，在光滑的水平桌面上作等速率圓周運動，如用力拉繩使圓周半徑縮小為原來的 1∕2 ，則(A) 質點之動量大小變為原來的 2 倍(B) 質點之角動量大小變為原來的 4 倍(C) 質點之角速度大小變為原來的 4 倍(D) 拉力大小變為原來的 8 倍

F

m

答案： ACD

例題：一質點以 O 為圓心在一水平面上作等速率圓周運動，其速率為 v ， 如圖 所示。甲、乙、丙、丁、戊皆在圓周上， 如果以丁點為參考點測量質點的角動量，則該質點角動量時間變化率的量值在圖 中哪一處最大？ [ 99年指考 ] (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 (E) 戊。

答案： C

§ 5-5 物理因次1. 物理量必須包含「數字」與「單位」兩部分。單位可分為基本單位與導出單位兩大類。導出單位可由基本單位來表示。力學中的基本單位有長度（ m ）、時間（ s ）與質量（ kg ）三個。

2. 物理因次（ dimension ）：長度雖然有許多不同的單位，但都代表相同的物理量，我們說它們具有相同的物理因次「長度」，以符號「 L」表示。同樣的時間和質量的因次分別以符號「 T」和「M」表示。其他物理量的因次則根據它們與基本量之間的關係，可用基本量的因次來表示。

3. 具有相同因次的物理量才能做相加減的運算，因此在一個物理方程式中，每一項都必須有相同的物理因次。

物理量 因次 物理量 因次位 移 L 加速度 LT-2

質 量 M 角速度 T-1

密 度 ML-3 力 LMT-2

時 間 T 力 矩 L2MT-2

速 度 LT-1 動 量 LMT-1

速 率 LT-1 衝 量 LMT-1

例題：彈簧力常數的物理因次為何？ 答案： MT-2

例題：一質點在直線上做運動，其位置座 x 標隨時間 t 變化的關係式為 x = at2 + bt+ c ，則 a 、 b 和 c 的物理因次分別為何？ 答案： a ： LT-2 ； b ： LT-1 ； c ：L

例題：一質點在直線上做運動，其速率 v 隨時間 t 變化的關係式為 v = ab cos(ct) ，如 a 的物理因次為 L ，則 b 和 c 的物理因次分別為何？ 答案： b ： T-1 ； c ：T-1

THE END