13113313----AAAA】西陵連区】西陵連区 社会条件社会条件 ...13-1 【【【【13113313----AAAA】西陵連区】西陵連区 社会条件社会条件 【連区の概要】
姓名:范金泉 单位:宿迁市马陵中学
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姓名:范金泉
单位:宿迁市马陵中学
高中数学 必修高中数学 必修11高中数学 必修高中数学 必修11
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情境问题:
在第 3.2.1 节中,我们利用对数求出了方程 0.84x = 0.5 的近似解;
利用函数的图象能求出方程 0.84x = 0.5 的近似解吗?
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情境问题: 如图 1 ,一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴交于( - 2 , 0) 点,试根据图象填空 : (1)k 0 , b 0 ; (2) 方程 kx + b = 0 的解是 ; (3) 不等式 kx + b < 0 的解集 .
x
y
O- 2
方程 f (x) = 0 的解、不等式 f (x) < 0 、 f (x) > 0 的解集与函数 y = f (x) 的图象密切相关: 方程 f (x) = 0 的解是函数 y = f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标,如何定义这一数值呢?
已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 x 轴交于点 ( - 3 , 0)和 (1 , 0) ,且开口方向向下,试画出图象并结合图象填空:(1) 方程 ax2 + bx + c = 0 的解是 ;(2) 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 ; 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集为 .
图 1
- 2x
y
O- 4 2
3
1
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数学建构:
函数零点的定义:
一元一次方程 kx + b = 0(k≠0) 的根称为一次函数 y = kx + b 的零点.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 的根称为二次函数 y = ax2 + bx+ c(a≠0)
的零点.
一般地,对于函数 y = f (x)(xD) ,我们把使 f (x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f (x)(xD) 的零点.
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数学应用:
例 1 函数 y = f (x)(x[ - 5 , 3]) 的图象如图所示 ,根据图象,写出函数 f (x) 的零点及不等式 f (x) > 0 与 f (x) < 0 的解集.
y
xO
- 5 - 3
- 1
1
3
函数 f (x) 的零点x1=- 2
x2 = 0
x3 = 2
不等式 f (x) > 0 的解集为
{x| - 2 < x < 0 或 2 < x≤3}
不等式 f (x) < 0 的解集为
{x| - 5≤x <- 2 或 0 < x < 2}
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数学探究:
二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的零点、图象与一元二次方程 ax2
+ bx + c = 0 的实数根的关系.
△ = b2 - 4ac △> 0 △ = 0 △ < 0
ax2 + bx + c = 0 的根
y = ax2 + bx + c 的图象
y = ax2 + bx + c 的零点
见课本 92 页表 3-4-1
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数学应用:
例 2 求证:二次函数 y = 2x2 + 3x - 7 有两个不同的零点.
变式练习 1 .下列区域: (1)( - 3 ,- 2) , (2)( - 2 ,- 1) , (3)( -1 , 0) ,
(4)(0 , 1) , (5)(1 , 2) , (6)(2 , 3) ,函数 y = 2x2 + 3x - 7 的两个零点分别
在其中的区间 上.
(1) (5)
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数学建构:
函数零点存在条件 :
若函数 y = f (x) 在区间 [a , b] 上的图象是一条不间断的曲线,且f (a)·f (b) < 0 ,则函数 y = f (x) 在区间 (a , b) 上有零点.
思考:若 x0 是二次函数 y = f (x) 的零点,且 a < x0 < b ,那么 f (a)·f (b) < 0一定成立吗?
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数学应用:
例 3 .判断函数 f(x) = x2 - 2x - 1 在区间 (2 , 3) 上是否存在零点?
变式练习 2 .(1) 函数 f(x) = 2x2 - 5x + 2 的零点是 _______ .(2) 若函数 f(x) = x2 - 2ax + a 没有零点,则实数 a 的取值范围是_________ ;(3) 二次函数 y = 2x2 + px + 15 的一个零点是- 3 ,则另一个零点是 ;
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数学应用:
例 4 .求证:函数 f(x) = x3 + x2 + 1 在区间 ( - 2 ,- 1) 上存在零点.
变式练习 3 . 已知函数 f(x) = x3 - 3x + 3 在 R 上有且只有一个零点,且该零点在区间 [t , t + 1] 上,则实数 t = .
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数学应用:
补充例题.若关于 x 的方程 x2 + (m - 2)x + 2m - 1 = 0 有一根在 (0 , 1)内,试确定实数 m 的范围.
变式 1 .已知方程 2ax2 - x - 1 = 0 在 (0 , 1) 内恰有一解,求实数 a 的取值范围.
变式 2 .已知方程 ax2 + 2x - 1 = 0 在 (0 , 1) 内恰有一解,求实数 a 的取值范围.
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数学应用:
补充练习 1 .已知函数 f (x) = (x - a)(x - b) - 2(a < b) 的两个零点分别是, ( < ) ,则实数 a 、 b 、、的大小关系用“<”按从小到大的顺序排列是 .
2 .若函数 f (x) = x2 - ax + a2 - 7 的零点一个大于 2 ,一个小于 2 ,则实数a 的取值范围是 . 3 .若函数 f (x) = x2 - ax + a2 - 7 的零点都大于 2 ,则实数 a 的取值范围是 . 4 .若函数 f (x) = x2 - ax + a2 - 7 的零点都小于 2 ,则实数 a 的取值范围是 .
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小结:
二次函数与一元二次方程
函数的零点
二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系
函数零点存在的条件
二次函数的零点
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作业:
课本 P97 -习题 2 , 5 .