第六章 刚体力学

§6.1 刚体运动概述§6.2 作用在刚体上的力系§6.3 刚体的平衡§6.4 刚体的定轴转动§6.5 刚体的平面平行运动

§6.1 刚体运动概述一、刚体模型介绍

刚体模型的适用范围：刚性物体的低速运动。

作用在 A 端的力传递到 Z 端，是靠弹力（波）传递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性波的传播过程，把物体看成刚体。

作用力的传递过程：

刚体模型等价于弹性波传播速度无穷大。

定义：刚体是整体及其部分的形状和大小保持不变的物体。

( 刚体可以看成任意两质点距离保持不变的质点系。 )

二、自由度

确定一个力学体系在空间的几何位置、位形所需独立变量的个数称为该体系的自由度。

定义：

① 一个质点在空间有 3 个自由度。② N 个质点组成的质点系有 3N个自由度。

③ 一个约束条件就少一个自由度。m1 m

2

O

z

x y

r x y z

r x y z1 1 1 1

2 2 2 2

( , , )

( , , )

2 2 22 1 2 1 2 1l x x y y z z( ) ( ) ( )

例 轻杆连接的 2 质点体系自由度 5

O

z

xy

r x y z

r x y z

r x y z

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( , , )

( , , )

( , , )

2 2 212 2 1 2 1 2 1

2 2 223 3 2 3 2 3 2

2 2 231 1 3 1 3 1 3

l x x y y z z

l x x y y z z

l x x y y z z

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m1

m2

m3

例 轻杆两两连接的 3 质点体系自由度 6

O

z

xy

4 4

r x y z r x y z

r x y z r x y z1 1 1 1 2 2 2 2

3 3 3 3 4 4

( , , ), ( , , ),

( , , ), ( , , )

2 2 212 2 1 2 1 2 1

2 2 223 3 2 3 2 3 2

2 2 231 1 3 1 3 1 3

2 2 241 4 1 4 1 4 1

2 2 242 4 2 4 2 4 2

2 2 243 4 3 4 3 4 3

l x x y y z z

l x x y y z z

l x x y y z z

l x x y y z z

l x x y y z z

l x x y y z z

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m1

m2

m3

m4

例 轻杆两两连接的 4 质点体系自由度 6

① 平动：自由度 3

② 定轴转动：自由度 1

③ 平面平行运动＝质点平面运动＋刚体定轴转动：自由度 3

④ 定点转动：自由度 3

⑤ 一般运动＝平动＋定点转动：自由度 6

2 、刚体的运动形式及自由度

三、刚体的运动形式及自由度

1 、自由刚体的自由度是 6 ，非自由刚体的自由度数<6 。

（刚体是任意两质点距离保持不变的质点系。）

四、刚体质心

刚体是质量连续分布的质点系。

c

cc

m dm dV ,

rdm rdVr

mdm

c c c

c c c

c c c

x xdm m xdV m

y ydm m ydV m

z zdm m zdV m

c c c cr x i y j z k

直角坐标系中

简易判断密度均匀的刚体的质心位置：

1 ）如果具有对称中心，质心就在对称中心。2 ）如果没有对称中心，但刚体分区对称，个部分的质心就在其对称中心，这些质心形成分立的质点组，刚体的质心就是这个质点组的质心。

薄板、细线质心的简易求法：Pappus定理 I：假如在一个平面上取任一闭合区域，并使它在空间运动形成一个立体，在运动时，令各点的运动方向始终垂直于该区域的平面，这样形成的立体的体积就等于它的横截面积乘以质心在运动过程中所经过的距离。

Pappus定理 II：假如在一个平面上取一段曲线，并使它在空间运动形成一个曲面，在运动时，令各点的运动方向始终垂直于该曲线平面，这样形成的曲面就等于曲线长度乘以质心在运动过程中所经过的距离。

五、刚体的运动特征

质心运动方程： cd rm F

dt

2

2

外

1 ）刚体的质心固结在刚体上，随刚体一起运动，

刚体的平动运动可以用质心的运动表征。

3 ）刚体的内力做功为零。

k kE t E t A0( ) ( ) 外4 ）刚体的动能定理：

角动量定理： dL dt M

外

2) 刚体的转动满足质点系角动量定理

内力做功决定于相对位移，刚体各质点的相对位移为零。

§6.2 作用在刚体上的力系

一、力系

1 、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。

2 、分类：

a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交于一点的力系。

b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。

①共面力系：所有的力位于同一平面内。

②异面力系：力的作用线不在一个平面内。

2 、力系的等效条件：

二、力系等效

如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这两个力系互为等效力系。

1 、等效力系的定义

3 、零力系：

① 所有的零力系都等效 ② 任何力系加上零力系后与原力系等效 ③ 最简单的零力系是一对平衡力组成的力系

i ji j

F F1 2

i i j ji j

r F r F1 1 1 1

力系力的矢量和为零，对固定参考点的力矩和为零的力系。

说明：

4 、力偶：

F F

M r F1 2

12 2

0

① 力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相对位置有关。

② 力偶矩相等的力偶等效。

等值反向不共线的一对力。

力偶矩

三、力的平移定理： 1 、作用在刚体上的力的特性：

作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作用线移动（滑移），但不能任意平移。

① 力的效果决定于力的三要素：大小、方向、作用点

② 作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时，

对刚体的作用效果不变。

力不是自由矢量自由矢量：矢量和起始参考点无关，如位移、速度、加速度；反之称为非自由矢量，如位矢、力。

作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。

2 、力的平移定理：

O

PF1

F2F3

F1 = F2 = F3

F1 与力系（ F1 、 F2 、 F3 ）等效，F1 、 F3 构成力偶。

F2 、 F3 构成零力系

四、力系的简化（等效力系）

①共点力系（汇交力系） :

②平行力系：

共点力系等效于一个作用于交点的单力，单力就是力系中所有力的矢量和。

等效于一个单力或一个力偶。

f-f

F1′ F2′F2

F1

A B

D

C

F ＝F1+F2

f-f

F1′

F2′

F2

F1

A B

D

F ＝ F2 - F1

C

F

1 、共面力系：可分为共点力系和平行力系力的滑移特性

2 、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶

A

F1

BF2

O yx

z

-F3

F3

F

§6.3 刚体的平衡

平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。

刚体运动平动：

转动： 定轴转动、一般转动

直线平动、曲线平动

转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。

刚 体 的 一 般 运 动(n=6) 可视为随刚体上某一基点 A 的平动和绕该点的定点转动的合成 .

O

O

O

刚体运动分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成 , 选择不同的基点，平动速度就不同 , 而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同 , 这即是刚体角速度的绝对性。

证明：如图 ,选 c 为基点，

则 p 点的速度

p cv v R

刚体角速度 ( 矢量 ) 的绝对性

若选 为基点，则 p 点绕 点有一角速度 ，则

c c

p cv v R

cR

p

R

ccR

c c c

c

v v R

R R R

c c

c

v R v R

v R R R

由此得到 R R 0

故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。

cR

p

R

ccR

p cv v R

p cv v R

二、刚体的平衡方程

i ii i

F M0, 0

且2 、平衡条件：

cd rm F

dt

2

2

外

dL dt M

外

1 、刚体的运动方程

质心运动方程：

角动量定理：

( 对任一定点成立 )

一、刚体的平衡状态

处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）的状态。

例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡时杆与水平方向的夹角 θ 及每根线中的张力 TA 和 TB 。

m

a

O

θ

a

aA

B

解：

A B

AB B AB

T T m g T 0

r T r 2 m g 0

杆 物

杆

考虑杆的刚体平衡， B 为参考点

y

xO

A B

A B

A

T T 03 6

T T 03 6

amg T a

2 3

cos( ) sin( )

sin( ) cos( )

cos sin

A A

1 2mg 6mgtg T T

2 3 13 13, ,

定理：刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。

O3F 1F

2F

3F 1F

2F

3F 1F

2F

R

O

[ 证 ]

21 FFR

21 , FF

2 、根据力的平行四边形法则，将

合成合力

321 , , FFF

∴三力 必汇交且共面。

1 2F F,

1 、根据力的滑移特性，将 沿作用线移至汇交点 O

3F R

3 、根据二力平衡条件 ，

这两力必共线，故 也过 O 点 。

3F

例：半径为 R 的半球形碗内搁一均匀的筷子 AB 。筷子长 2 l, 设 , 且为光滑接触。求筷子平衡时的倾角 a。

2R l R

2

1

88arccos

2

R

l

R

l

A

Bl

§6.4 刚体的定轴转动

刚体作定轴转动时，其上的任意一点都绕转轴做圆周运动 , 用一个变量 θ=θ(t) 即可描述其运动。

x=rcosθ ，

y=rsinθ

Y

X

rθ

设轨迹圆半径 r：

r s

Po v

t

:平均

dt

d

tt

0lim:瞬时

t

:平均 2

2

0lim:

dt

d

dt

d

tt

瞬时

1srad: 单位

2srad: 单位

2. 角速度

3. 角加速度

定义：角位置 θ,( 与零点选取有关）

1.角位移

一、刚体定轴转动的角量描述

200 2

1tt )( 0

20

2 2

t 04.刚体定轴匀变速转动方程

t t t( ) ( ) 角位移不是矢量

二、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度

3 、切向加速度和法向加速度

x d dx v a

rS

2 、速度和角速度的关系

r

dt

dr

t

Slimvt

0

1 、角量与线量的对应关系

nt eR

ve

dt

dva

2

nt eredt

dr ˆˆ 2

nt erer ˆˆ 2

r的起始点在转轴上！

三、刚体的转动惯量

iii rvmL

P m vIL

1 、刚体对定轴的角动量

P mvr s

Po v

2iirm I

2 、刚体的转动动能

2

2

1iik vmE

2k

1E mv

2

222

2

1

2

1 I)rm( ii I m v

质点动量：

质点的动能：

3 、刚体的转动惯量

2i iI m r

定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。

质量分立的体系：

质量连续分布的刚体：

2I r dm线分布：dm dl

面分布：dm ds

体分布：dm dV

4)回转半径k：

I r dm mk2 2

1) 转动惯量和质量类似，是刚体转动惯性大小的量度，单位： kg·m2 。

2) 刚体的转动惯量不仅和刚体的总质量有关，还和质量相对轴的质量分布有关。

3) 质量均匀分布形状规则的刚体，可以用定义公式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测量。

说明：

几种典型形状刚体的转动惯量计算1) 均匀细棒a) 转轴过中心与杆垂直

dx xodm

z

b) 转轴过棒一端与棒垂直

dx xo

dmz

2I r dm

2I r dm

l2 22

l

2

m 1x dx ml

l 12

l 2 2

0

m 1x dx ml

l 3

2) 均匀细园环

转轴过圆心与环面垂直

R o

zdm m

问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？

dm dl m

2 R

2 R2 2 2

0I R dm R dl mR

2

R 3

0

2

I r dm

2 r l dr

1mR

2

3) 均匀圆盘绕中心轴的转动惯量

质量为 m, 半径为 R, 厚为 l, 转轴过圆心与环面垂直

Rro

l m

z

2dI r dm 2

m

R l

dm 2 rldr

圆柱的转动惯量？

4) 均匀薄球壳绕直径的转动惯量

圆环质元

质元面积

均匀薄球壳转动惯量

dzr

z

Rr

Rsin 2

m

4 R

2 r dzdS

sin

dm 2 r dZ

2 RdZ

/ sin

R R2 2 2 2

R R

2I 2 Rr dz 2 R R z dz mR

3( )

典型形状刚体的转动惯量

圆筒 )(

2

1 22

21 RRmI

圆环 I=mR2

ω

Rm

O´

O

圆柱

2

2

1mRI

LR

ω

R2R1

2

12

1mlI 细圆棒

l

ω

R

圆球 2

5

2mRI

球壳

ω

R

2

3

2mRI

ω

例 求组合刚体的转动惯量。如图所示，一质量为M、半径为 R的圆盘，边缘粘一质量为m 的质点，试求对中心轴 oz 的转动惯量。

解：圆环 dm 的转动惯量为 r2dm

rdrrIR

20

2盘

4

2

1R 2

2

1MR

22

2

1mRMRI 总

转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布

z

Mm

4 、平行轴定理

D CI I md 2

设 C是刚体的质心，刚体绕过质心 C 的转轴的转

动惯量 IC 、将此轴平移距离 d 后，刚体绕此新轴

的转动惯量 ID为：

D i i ii

i i D i Di

2 2i i i D i i

i i i

I m r r

m r r r r

m r m r 2 m r

( ) ( )

C Dd

P irir

CI md 2

1) 均匀细棒a) 转轴过中心与杆垂直

dx xodm

z

dx xo

dmz

应用平行轴定理

l2 2 22

l

2

m 1I r dm x dx ml

l 12

b) 转轴过棒一端与棒垂直l2 2 2

0

m 1I r dm x dx ml

l 3

22 2

c d

1 l 1I I I ml m ml

12 2 3

5 、正交轴定理

z x yI I I

适用于薄板刚体或者平面分布的质点组， z 轴垂直与刚体平面。

如果一块薄板绕位于板上两个相互垂直的轴（设

为 x、 y 轴）的转动惯量为 Ix 和 Iy ，则薄板

绕 z轴的转动惯量为：

xy

z

O

P

dmrI y2

22

2 23 mRR

用 λ表示细元环的质量密度

λ=m/2πR ; dm=λds

例 求质量为 m 、半径为 R 的细元环绕直径转动的转动惯量。

已知圆环绕中心轴： Iz=mR2

Ix＝ Iy ＝ Iz /2

解 1 ：

垂直轴定理 Iz=Ix+Iy

（质量分布在 xy平面内）

0

2)sin(2 RdR

0

23 sin2 dR

解 2 ：xy

z

O

dm

R r

O

O′ d

r

F

F

F

rF

F

力 F 分解为 F∥和 F⊥。

过力的作用点作轴的垂面 , 交轴于 O′ 点。

过O′ 点作 F⊥的垂线 d 。

lM dF

定义： M r F

（ r 垂直于 l ）

力 F 对轴 l 的力矩 :

1. 力对定轴转动刚体转轴的力矩四、定轴转动定律

为力 F 对转轴的力矩。

iii rvmL 2iirm

iro

I

2. 刚体对定轴的角动量

iF

iθ

3. 刚体定轴转动定律

dL d IM

dt dt

( )

视刚体为质点系，质点系的角动量定理：

iv

i i

dM M L

dt

外 内

=0

izi z

d LM dt 外对转轴的分量

iM M 外z

izL LI: 刚体对转轴的转动惯量

说明：

d mvdp dvF m m a

dt dt dt

(2) 力矩、角动量、转动惯量必须对同一转轴而言 , 转动定律具有瞬时性。

d IdLM

dt dt

定轴转动定律： I 不

变时成立

dI I

dt

(3)L 是角动量转轴上的分量、 M 是外力对转轴的力矩之和。

(1) 定轴转动定律和牛顿第二定律形式类似、地位相当。

牛顿第二定律：

五、刚体定轴转动的角动量定理

由质点系角动量定理，相对 z 轴对任一瞬时有：

z i ii

dL dM I

dt dt

刚体定轴转动的角动量定理0

t

0 0tMdt I I

即使物体不是刚体，即对定轴的转动惯量 I 随时间改变，只要任一瞬时它可看作是绕该定轴以角速度ω转动，即有：

z i i ii i

dL d dM I I

dt dt dt

对上式积分有

六、刚体角动量守恒定律M 0 L I const., 外当 时

1 1 2 2I I I 2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性；

3. 角动量守恒定律是一条普适定律。

说明：1. 角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变 .

角动量守恒的两种情况 :

(1) 刚体定轴转动时 , 如果转动惯量不变 , 则角速度也不变 ;

(2) 如转动惯量改变 , 则角速度也改变 .

例 设电风扇的电机力矩恒定为 M ，风叶所受空气阻力矩为 Mf =－ Kω ，风叶转动惯量为 I 。求（ 1 ）通电后t 时刻的角速度 ω ； (2)稳定转动时的角速度；（ 3 ）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？

dM K I

dt

t

I

dt

KM

d00

)1(t

I

K

eK

M

m

Mt

K

d dK I I

dt d

IdKdm

0

02K

IM

K

Im

解：1)

为电扇的稳定角速度2)3)

如图，圆盘绕过 o 点定轴转动，圆盘的 M、 R 、及 ω0已知。子弹 m,以 v0射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。

0v

R

0o解：对M和m,用动量守恒律

uMmMVmv )(00

其中： V0=Rω0

正解：

)2

1(

2

1 220

20 mRMRMRmRv

2 2 20 0

1 1mRv MR MR mR

2 2( )

对M和m 用角动量守恒律，对转轴有

例：

错

1m

2mv

u

O

A 2 2m vl = Iω - m ul

21

1细棒绕O转动的转动惯量为 I= ml3

2 13 v u m m l( ) 代入上式求得

例 有一长为 l，质量为 m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点 O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为 m2 、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端 A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为 v和 u，则碰撞后棒绕轴转动的角速度 为多大？

解：对于整个系统不考虑轴间的摩擦阻力矩，则系统不受外力矩的作用，碰撞前后角动量守恒。

例 一轻绳跨过一定滑轮 , 滑轮视为圆盘 , 绳的两端分别悬有质量为 m1 和m2 的物体 , m1<m2 . 设滑轮的质量为 m, 半径为 r, 所受的摩擦阻力矩为 Mr. 绳与滑轮之间无相对滑动 . 求 : 物体的加速度和绳的张力 .

m1

m2

a

T2

T1

T1

T2

G2

G1

a

am1 m

2

解 : 隔离法列出运动方程1 1 1

2 2 2

2 1 r

T m g m a

m g T m a

T r T r M I

滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等

a r

从以上各式解得

2 1 r

2 1 2

2 1 r

2 1

m m g M ra

Im m

rm m g M r

1m m m

2

/

/

1 1T m g a

2 1T m g a －

a r

m1

m2

a

T2

T1

T1

T2

G2

G1

a

am1 m

2

例 光滑斜面与水平面成θ 角，在斜面上放一质量为 m的物块，在斜面的延长线上方有一半径为 R ，转动惯量为 I 的轮轴，轮轴上绕有细绳，一端与 m相连。物块由静止下滑距离为 L 时细绳拉紧，开始计时，求任一时刻轮轴的角速度。

v = 2gLsinθ

0 0mvR I mR R( ) 由角动量守恒求初始角速度

20 mR 2gL I mRsin

mg T ma mR

TR I

sin

2

mgRsinθβ =

mR + I

0

2

ω = ω + βt

mR( 2gLsinθ + gtsinθ)=

I + mR

解：细绳拉紧时滑块的速度

TT

mg

七、刚体定轴转动的功能原理

oP

Fdθ

dsr

Fr M dA Mdsin

1. 力矩的功

dA F ds F rdsin ( )

刚体在力 F 作用下绕定轴转动角位移 dθ ，力 F 做功：

dA dP M M

dt dt

P F v

0

A Md

当功率一定时，转动力矩与角速度成反比。

力 F使刚体由 θ0转到 θ时，力矩做功为：

力矩做功功率：

2 、定轴转动的动能定理

并积分两边同乘以将 ddt

dIIM

0

ddt

dIMd

0

dI

20

2

2

1

2

1 IIA 0kk EE

3 、刚体的重力势能 cp mghE

4 、刚体定轴转动的功能原理

00EEMdM 为除重力外其余外力的合力矩

5 、机械能守恒定律只有保守力做功，系统机械能守恒。

例 质量 m半径为 R的均匀圆盘 ,可在水平桌面上绕中

心轴转动 ,盘面与桌面间摩擦系数为 μ,求盘转过一圈时

摩擦力矩的功 .

r

rdfdM gdmdf

rdrdm 22R

m

drrgMR 2

02 Rmg

3

2

RmgA 3

4

解：

例一均匀细棒绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动，棒长为 l，质量为 m。开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求 (1) 棒在任意位置时的角加速度； (2) θ角为 300 ， 900 时的角速度。

lM = mg cosθ

2

21 3gM = Iβ = ml β β = cosθ

3 2l

2

2 2

1 1 dω(2) mg cosθ = ml

2 3 dt1 dω dθ 1 dω

= ml = ml ω3 dθ dt 3 dθ

0 0

g ld d

2 3cos

分离变量积分

ω= (3gsinθ ) l

0 03g 3gθ = 30 ,ω= θ = 90 ,ω=

2l l

dθθ

o

mg

N

解：

由定轴转动定律

（ 1 ）棒在重力矩作用下转动

用动能定理求解N N O

lmg

2

, ,

. cos .

作用于杆的力有重力及轴对杆的支承力 过 点

其力矩为零重力矩为

sinl

mgdcosl

mgA220

21 1mgl I 0

2 2sin 由转动动能定理得

l)sing(I/)sinmgl( 3

l

g

l

g 3,90

2

3,30 00

还可以用机械能守恒

k

m

1T

2T

例 如图所示，滑轮转动惯量为 0.01kg·m2 ，半径为 7cm ，物体质量为 5kg ，由一绳与倔强系数k=200N/m 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。

（ 1 ）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离； （ 2 ）物体速度达到最大值的位置及最大速率。

求：

1 h: ( ) ,

. :

解 设物体下落最大距离为 开始时物体所在位置为重力势能零点则根据机械能守恒

210 kh mgh

2

2mgh 0 49m

k.

1 2 1 2

2 v

x T mg T kx T T

( ) , ,

, , , .

加速度为零时速度最大 设这时物体的速率为下落的距离为 则 且

k

m

1T

2T

mgmg kx x 0 245m

k.

2 2 21 1 v 10 kx I mv mgx

2 2 R 2

:

( )

根据机械能守恒

2

2

2mgx - kxv = = 1.3m / s

I R + m

刚体和质点力学规律的对照

dt/pdF

dt/LdM

0vmvmdtF 0

IIdtM

动量守恒0F 角动量守恒0M

220mvmv

F dr2 2

22

0IIMd

2 2

2/2mv

vm

m

F

2/2I

I

I

M

转动定律：

z z

dM I

dt

Mz 是外力对转轴（ z轴）力矩，

Iz 是刚体对转轴的转动惯量。

当Mz＝ 0 时，角动量守恒，即：z zL I 数常

定轴转动刚体的动能： kE I 21

2 （转动动能）

力矩作功： zA M d外＝

A I I2 20

1 1

2 2 外＝动能定理：

当外力为保守力或非保守外力不做功时，刚体的机械能守恒。

§6.5 刚体的平面平行运动刚体作平面平行运动时 , 刚体中各点都平行于某一平面而运动 , 即各点始终和某一平面保持一定的距离。一、运动学特征1. 基面、基点与基轴 .

选定基面上的一点作为参考的基点 .基点 :

基面 : 选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，其他轨道平面均平行于基面 .

通过基点且垂直基面的直线被称为基轴 ,一般选基轴通过质心。

基轴 :

刚体的平面运动＝基轴的平动 + 绕基轴的转动（ n=3 ）

取 A 为基点，考察B 点的运动

B A BA A Br r r r r '

B A Bv v r

B A Ba a r r2

A

B C

A´

B´

C´

2. 运动学关系式

3. 转动中心（瞬心） : 基面上存在一个特殊点 ，其瞬时速度为零 , 该点被称作瞬心 .过该点且垂直于运动平面的转轴称为瞬时转轴。

0R

在平面平行运动问题中，利用瞬时转轴概念，可将问题简化为单纯的转动问题。

c 0v R 0 0R

cv

(1) 如图，若已知质心 C 的速度 和角速度 , 则可知瞬心 在与 垂直的方向上距离C 点为 的地方。

cv ocv

AvBv

o

B

A (2) 在任一瞬时，截面上任一点的速度方向均与该点相对于瞬心的位置垂直。故只要过截面上任意两点引两条与速度方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位置。

cv

o

Ccv

瞬心位矢的方程 :确定瞬心的方法 :

瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上（如图二）。

二、运动方程

利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过质心并垂直于空间固定平面的轴的转动，有

c cI M

平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完全描述运动 .

c x

c y

mx F

my F

利用质心运动定理，求质心的运动

cma F外

定轴转动的转动定律同样适用刚体通过质心并垂直于平面的轴的转动。

证：要使定轴转动定律适用于通过加速度为 的质心的转轴 ，应在作用于刚体的力矩中加上惯性力矩 即可，

ca

IMc I cM M I

惯性力对质心的力矩

I ic i c c i ici i

M r m a a m r

所以 c cM I

=0

即刚体相对过质心的动轴的转动定律和定轴转动定律相同，只要考虑外力矩，不需要考虑惯性力的力矩。

三、功能原理由质点系动能柯尼希定理 2 2

k c c

1 1E mv I

2 2

由质心运动定理2

c2

d rm F

dt

2

0 1

r2 2c t c t r

1 1mv mv F dr

2 2

2

0 1

2 2c c ct t

1 1I I M d

2 2

合外力

由质心角动量定理 c cI M 总外力矩

2 2

01 1

r

ck t k t rE E W F dr M d

刚体平面平行运动的功能原理为

讨论：

⑵ 如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然导致机械能守恒，即

2 2c c p

1 1mv J E const

2 2

⑴ 若不取质心为基点，就不能如此分解 .

四、滚动及摩擦力

接触面之间无相对滑动的滚动。 滚动

有滑动滚动：无滑动滚动：（纯滚动）

接触面之间有相对滑动的滚动。

1.纯滚动（无滑摩擦）的运动学判据

θ

x Rdx d

Rdt dt

cv R

c

c

v R

a R

纯滚动运动学判据

ca R

2.纯滚动接触点的速度为零，

如纯滚动有摩擦力则为静摩擦力

FE

D

C

A

Dv

Ev

0Av

Fv

cAr

cv

cv

以质心 C 为基点，任一点E 的速度为 :

最高点 D 的速度为

接触点 A 的速度为

2CD D CCv rv v

0CA C A C Cv r v vv

E C CEv v r

FE

D

C

A

Dv

Ev

0Av

Fv

cv

以接触点 A 为基点：

D ADv r

任一点 P 的速度为

A AP

A

P

P

vv r

r

C ACv r 例如：

对于纯滚动，若取接触点 A 为基点，在某瞬时刚体的平面平行运动，可视为 A 点的单纯转动。

0Av

3.纯滚动中的瞬心和瞬轴

4.纯滚动过程中静摩擦力做功为零

如图，静摩擦力做功为

cW f dr M d f x fR

根据运动学判据，有 x R

W f x R 0

x

cvR

f

5. 滚动中的摩擦力若忽略滚动物体和承滚面的形变，在有滑动滚动中，摩擦力为滑动摩擦力；在纯滚中，摩擦力为静摩擦力。静摩擦力的方向不易判断，必须视具体情况而定。

确定静摩擦力方向的方法：假定两刚性表面不存在摩擦，判定其中一个刚体相对滑动将滑向何方，作用在此刚体的静摩擦力方向必与其反向 .

①车轮在刚性水平地面上纯滚动 .

静摩擦力为零

②汽车主、被动轮所受静摩擦力的方向主动轮有向前的静摩擦力，作为推动汽车前进的动力(a) ；被动轮受向后的摩擦力 (b) 。

③车轮在斜面上的纯滚动车轮向上，静摩擦力必向上；

车轮向下，静摩擦力仍向上 .

v

（ a ） （ b ）

ff

v

f fv

v

实例：

例 一质量为 m, 半径为 R的均质圆柱 , 在水平外力 F作用下 , 在粗糙的水平面上作纯滚动 , 力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为 l. 求 : 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力 .

圆柱对质心的转动定律：CFl fR I

纯滚动条件 Ca R

圆柱对质心的转动惯量为 2C

1I mR

2

CF f ma 解 : 设静摩擦力 f 的方向如图所示 ,

则由质心运动方程

F

m

R

f

ca

C

2F R la

3mR

( )

R 2lf F

3R

联立以上四式 , 得

由此可见

l R 2 f 0,

l R 2 f 0,

l R 2 f 0,

无摩擦力

静摩擦力向后

静摩擦力向前

F

m

R

f

ca

2 2C

1 1mgh mv J mg 2R r

2 2( )

解 : 取圆柱体 , 弯形和圆形滑道以及地球为一个系统 , 在圆柱体下滑过程中机械能守恒

所以 2C

4v g h 2R r

3( )

例 有一半径为 r 的匀质圆柱体 , 从其质心距地面高为h 的滑道上由静止滚下 , 进入半径为 R 的圆环形滑道 , 设圆柱体在两段滑道上均做纯滚动。求此圆柱体能在圆环形滑道内完成圆周运动 , h 至少有多大的值 ?

vC P

2rC

h

RrR

2C

1J mr v r

2 而

4h 2R r R r

3( )

可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件

圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为

2 2C C

N

v vF mg m m g

R r R r( )

圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是2C

N

vF 0 g 0

R r

2C

N

vF mg m

R r

11 7h R r

4 4

例 何时开始纯滚动？有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为 m ，半径为 R 的匀质圆柱体从高 h 处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数 , 求： 1 ）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。 2 ）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。

mg

N

f

C

C xh

C

mg

N

f

C

Cx

hC

解： 1 ）沿光滑斜面 ，圆柱体仅作 滑动 ； 沿水平 面达到纯滚动前作 滑滚运动。动力学方程为： 2

0

c

2

1mg h - R = mv

2-μmg = ma

1μmgR = mR × β

2

由以上三式解得：

0 cv = 2g h - R a = -μg β = 2μg R

达到纯滚动前有： c 0 c

0

v = v + a t = 2g h - R - μgt

ω = ω + βt = 2μgt R

达到纯滚动时有： cv = Rω

解得作纯滚动经历的时间：

02g h - Rv

t = =3μg 3μg

2 ）达到纯滚动时经历的距离：

2 22 0 0

0 2

20

1 v 1 vx = v t + at = + -μg

2 3μg 2 3μg

5 h - R5v= =

18μg 9μ

例 沿加速平板表面的纯滚动：在水平板上放一半径为 R,质量为 m 的匀质球。设平板具有加速度 a ，球沿平板作纯滚动，求球质心的加速度和所受静摩擦力的大小。

解：以球为研究对象、平板为参考系（非惯性系），则动力学方程为

225

c

c

f ma ma

f R mR

a R

x

y

o N

f

ma

mg

Cca

a

由以上三式解得： c

5 2a = - a , f = ma

7 7

球心的加速度为c c

5 2a = a + a = a - a = a

7 7

§6.6 陀螺的运动 绕对称轴高速旋转的刚体称为陀螺，或称回转仪。陀螺在运动过程中通常有一点保持固定，故属刚体的定点运动 . 利用角动量和角速度的矢量性质，可以解释陀螺的运动 .

一、陀螺的进动

进动

O

z

O

z

rCsin

M

mgrC

O

z

LsinM

mgL

d

如图，对固定点 0 ，陀螺只受重力矩的作用，即

i ic

i

m rmg r mg

m

根据刚体角动量定理

dL Mdt

即角动量的变化量 dL应像M 一样垂直于 L。L 顶端绕一水平圆周运动 . 陀螺自转轴绕竖直轴的转动即为进动。

i i i ii i

M r m g m r g

O

z

LsinM

mgL

d

CP

mgrd M

dt L Jsin

陀螺的进动角速度随着自转角速度ω、 I的增大而减少，与角度 θ 无关 .

如图 dL Mdtd

L Lsin sin

其中 L是陀螺的自转角动量，为陀螺绕其对称轴旋转的转动惯量 I与自转角速度ω的乘积 . 因此，陀螺的进动角速度为

dL L dsin

c cr mg dt r mgdt

L L

sin

sin

O

z

LsinM

mgL

d

二、陀螺特点 :z

进动

OO

z

进动

章动

进动

2. 章动－当陀螺的自转角速度不够大时，则除了自转和进动外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下摆动，即角会有大小波动，称为章动 .

L J const 高速自转的陀螺具有极大的反抗外力矩的作用，力图保持其转轴在空间的方向不变 .

1. 不受外力矩或外力矩很小时，刚体的角动量保持恒定

保持转动方向

1 、掌握刚体概念和刚体的基本运动 .

2 、理解转动惯量的意义及计算方法 ,会利用平行轴定和垂直轴定理求转动惯量 .

3 、熟练应用刚体定轴转动定律 .

4 、应用刚体的角动量定理、角动量守恒定律及机械能守恒定律解决转动问题 .

5 、掌握刚体平面平行运动的基本规律和计算方法 .

6 、陀螺部分不要求掌握，只需了解陀螺运动现象和基本特征 .