第六章 杆件基本变形下的强度与刚度设计第六章 杆件基本变形下的强度与刚度设计

第一节 设计原则与设计过程 第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算第三节 连接件的强度设计第四节 梁的强度设计 第五节 轴的强度设计 第六节 轴和梁的刚度设计 第七节 讨论与说明

第一节 设计原则与设计过程第一节 设计原则与设计过程一、强度设计（一）、强度设计原则与设计过程

1 、确定可能最先发生强度失效的截面——危险截面；

2 、确定危险截面上哪些点可能最先发生强度失效——危险点；

3 、确定危险点的应力状态，即确定表征危险点的微元各对面上正应力与剪应力（大小和方向）；

4 、根据材料性能，判断可能失效形式，从而选择相应的设计准则。

（二）、工程实际计算

1 、强度校核 ;

2 、截面设计 ;

3 、确定许可载荷 ;

4 、选择材料。

二、刚度设计 根据工程实际要求，对构件进行设计，以保证在确定的外载荷作用下，构件的弹性位移（最大位移或指定位置处的位移）不超过规定的数值。于是：

1 、对于拉压杆，刚度设计准则为

ε 为轴向线应变； [ε] 为许用轴向线应变。

2 、对于梁，刚度设计准则为

y 和 θ 分别为梁的挠度和转角； [y] 和 [θ] 分别为梁的许用挠度和许用转角。

3 、对于受扭圆轴，刚度设计准则为

φ 和 θ 分别为圆轴指定两截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角； [φ] 和 [φ/l] 分别为相应的许用值。

≤

y y≤ ≤

≤l

≤

第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算第二节 拉压杆强度设计与拉压杆伸缩量计算一、拉压杆的强度设计

1 、拉压杆横截面上的应力

内力系在横截面上均匀分布，横截面上正应力为：

当杆件压缩时，上式同样适用。

σ 的正负规定与轴力相同。拉应力为正，压应力为负。

2 、拉压杆强度设计准则

N

A

max

N

A

二、拉压杆伸缩量计算

拉压杆绝对变形为： 拉压相对变形（线应变）为：

R.Hooker（虎克）定律：

常数 E 称为材料的弹性模量，单位为 GPa 。 EA 称为拉压杆的抗拉压刚度。

公式变换

得 R.Hooker （虎克）定律的另一种表示形式：

1

1

l l l

d d d

1

l

ld

d

Nll

EA

1l N

l E A

E

E 或

例 6-1 结构尺寸及受力如下图所示。设 AB 、 CD 均为刚体， BC 、 EF 为圆形截面杆钢杆。钢杆直径为 d =25mm ，两杆材料均为 Q235 钢，其许用应力 [σ]=160MPa 。若已知载荷 P=39kN ，试校核此结构的强度。

解： 1 、分析危险状态

1 2

2

( ) 0

3.8 3.2 sin 30 0

74.1( )

DM F

N N

N kN

1

1

( ) 0

3.75 3 0

31.2( )

AM F

N P

N kN

可得 EF 杆受力最大，为危险杆。

2 、计算应力、校核强度

32

22

74.1 10 4151( ) [ ]

25

4

NMPa

d

强度足够

例 6-2 上例中若杆 BC 、 EF 的直径未知，其它条件不变。试设计两杆的直径。

解： 两杆材料相同，受力不同，故直径不同。有设计准则

2

4[ ]

[ ]

4

N N Nd

A d

得 BC 、 EF 杆的直径分别为

31

1

32

2

4 4 31.2 1015.8( )

[ ] 3.14 160

4 4 74.1 1024.3( )

[ ] 3.14 160

Nd mm

Nd mm

例 6-3 在例 6-1 中杆 BC 、 EF 的直径均为 d=30mm ， [σ]=160MPa ，其它条件不变。试确定此时结构所能承受的许可载荷？

解：根据例 1 中分析 EF 杆为危险杆，由平衡方程可得

12

3.8 3 3.81.9

3.2 0.5 3.75 3.2 0.5

N PN P

2

2[ ] [ ]

4

4

N N dN

A d

21.9P N

2 23160 3.14 30

[ ] 59.52 10 ( ) 59.21.9 4 1.9 4

dP N kN

应用设计准则

有

第三节 连接件的强度设计 第三节 连接件的强度设计 一、剪切实用计算

当作为连接件的铆钉、、销钉、键等零件承受一对等值、反向、作用线距离很近的平行力作用时，其主要失效形式之一为沿剪切面发生剪切破坏。发生相对错动的截面称为剪切面。由于剪切面上剪应力分布比较复杂，可假定认为剪应力在剪切面上均匀分布——剪切实用计算。

其设计准则为 [ ]

Q

A

其中 Q 为剪切面上的剪力，由平衡条件求解； A 为剪切面面积； [τ] 为材料的许用剪应力，单位 MPa 。

二、挤压使用计算 在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面的局部区域产生较大的接触应力，称为挤压应力，用符号 σjy 表示，单位 MPa 。挤压应力是垂直与接触面的正应力。其可导致接触的局部区域产生过量的塑性变形，而导致二者失效。

积压力为作用在接触面上的总的压力，用符号 Pjy 表示。

挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影，用符号 Ajy 表示。

[ ]jyjy jy

jy

P

A

其强度设计准则

三、焊缝使用计算 对于主要承受剪切的焊缝，假定沿焊缝的最小断面（即剪切面）发生破坏。假定剪应力在剪切面上均匀分布，于是有

Q 为作用于单条焊缝最小断面上的剪力； δ 为钢板的厚度； l 为焊缝的长度。

[ ]cos 45

Q Q

A l

四、胶粘实用计算 胶粘连接，由于连接后的构件受力、接缝方向以及胶层均匀分布程度和胶层质量等各种因素的影响，胶粘连接的失效形式不可能是一种形式。

在某些情况可能发生剪切破坏，如右 (a) 图；在有些情况可能拉断，如右 (b) 图；还有些情况，既有可能拉断也有可能剪断，如右 (c) 图。因而也都采用假定计算。

强度设计时需同时满足

[ ]

[ ]

连接件的强度设计——综合实例 托架受力如下图1 、已知控制杆 AB 由钢制成，其强度极限 σb=600MPa ，安全系数 nb=3.3 。求杆的直径。2 、 C 处的销钉由钢制成，其剪切强度极限 τb=350MPa ，安全系数 nb=3.3 。求销钉的直径。3 、已知托架支承 C 处材料的挤压许用应力 [σjy]=300MPa ，确定支承板厚度 δ 。

解：

40

40

65cx

cy

F kN

N kN

N kN

76.3cN kN

根据平衡方程可求得

1 、确定控制杆直径

根据拉压杆的强度准则

[ ] b

b

N

A n

2

4

b

bAB

F

nd

34 4 40 10 3.316.74( )

3.14 600b

ABb

F nd mm

2 、计算销钉直径

销钉受力如图（ c ），承受剪力，有两个剪切面。于是有

[ ] b

b

Q

A n

2

2

4

c

b

nc

N

nd

32 2 76.3 10 3.321.4( )

3.14 350c b

cb

N nd mm

3 、确定支承 C 的厚度

支承承受挤压，每个挤压面上的积压力及积压面面积分别为：

2c

jy

NP jyA d [ ]jy

jy jyjy

P

A

376.3 105.94( )

2 [ ] 2 21.4 300c

jy

Nmm

d

；

第四节 梁的强度设计 基本概念

1 、平面弯曲：

2 、斜弯曲： 3 、纯弯曲： 4 、横力弯曲：

梁发生弯曲变形后，其轴线位移与外载荷共面。

横向力不作用于主惯性面时，梁发生的弯曲变形。 某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此段梁的变形称为纯弯曲。

梁的横截面上既有弯矩也有剪力的弯曲变形。

一、平面弯曲时梁横截面上的应力 （一）纯弯曲时梁横截面上的应力

梁纯弯曲变形时，纵向纤维既有伸长部分也有缩短部分，其中既没有伸长也没缩短（即伸长部分和缩短部分的分界面）称为中性层。

中性层与横截面的交线，称为中性轴。

梁的变形可以看做横截面绕中性轴发生了转动。

所以梁纯弯曲变形时，横截面上只有正应力而没有剪应力。其中正应力既有拉应力也有压应力。

横截面上弯曲正应力沿高度呈线性分部，中性轴处正应力为零，距离中性轴越远正应力越大。沿宽度上正应力大小相等。

横截面上弯曲正应力计算公式

yz

My

I

M 为横截面上的弯矩；Iz 为横截面对中性轴的轴惯性矩 单位 mm3 或 m3    ； y 为所研究点到中性轴的距离。

（二）弯曲剪应力

距形截面梁弯曲剪应力

设横截面上各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边，并沿横截面宽度均匀分布。距中性轴为 y 处的弯曲切应力公式

*z

z

QS

I b

式中 Q 为横截面上的剪力； Iz 为整个横截面对中性轴 z 的惯性矩； Sz 为距中性轴 y 处横线一侧的部分截面（图 y阴影部分面积）对中性轴 z 的静矩； b 为 y 处横线截面的宽度。

切应力沿截面高度呈抛物线分布。最大切应力在中性轴处，其值为

max

3

2

Q

A

常见截面形状梁的最大剪应力近似计算公式表

截面形状

max

2

4

3

4

Q

A

A d

max

2 2

2

4

Q

A

A D d

max

0

Q

AA h d

max

0

Q

AA h d

max

二、弯曲强度计算 1 、纯弯曲——正应力强度准则

对于塑性材料，由于其抗拉压能力相同，故只校核危险截面上应力绝对值最大即可。

maxmax

max

[ ]My M M

II Wy

其中

max

IW

y 为抗弯截面模量，单位 mm3 或 m 3

对于距形截面 3

12

bhI

2

6

bhW

I 为截面对中性轴惯性矩，单位 mm4 或 m4

对于圆形截面 4

64

dI

3

32

dW

对于圆环形截面 4

4164

DI

341

32

DW

d

D 其中

对于脆性材料，由于许用拉应力和许用压应力不等，所以需要分别校核拉伸边和压缩边的强度。

拉伸边

压缩边

1

11

[ ]l l

My M MII W

y

2

22

[ ]y y

My M MII W

y

2 、横力弯曲——弯曲剪应力强度准则

当梁的跨度短，截面高（ l/h)<5 或壁薄时，除了正应力强度校核外，还需进行剪切强度校核。剪切强度准则为

max max [ ]Q S

Ib

即 max [ ]

三、复杂受力时梁的强度计算

1 、斜弯曲

可将梁在力 P 的作用下分解成在 Py 、 Pz 作用下的两个平面弯曲的叠加。

[ ]y z

y z

M z M y

I I

2 、拉伸（压缩）与弯曲组合变形

作用在构件对称平面内的外力与构件轴线平行而不重合，或相交而不垂直。

其强度准则为

[ ]MN

A I

综 合 实 例 例、发动机活塞的空心销受力如图。已知： Pmax=7000N 。销子各段可近视为收均布载荷。销子由钢材制成，内直径 13mm ，外直径 20mm ，许用应力[σ]=240MPa 。求：校核最大正应力与最大剪应力的强度。解： 1 、作销子的受力简图与剪力、弯矩图，判断危险截面；

31 3

32 3

7000140 10 ( ) 140( )

2 25 107000

233.3 10 ( ) 233.3( )2 15 10

N kNq m m

N kNq m m

从弯矩图可判断出最大弯矩发生在销子中间，其值为

2

max7.00 10M kN m

2 、计算销子的抗弯截面模量；

43 34 3 33.14 20 13

(1 ) 1 0.645 1032 32 20

DW mm

3 、校核最大正应力强度；

最大正应力发生在最大弯矩作用截面的上、下两点，其值为

2 6max

max 3

7.00 10 10108.5( ) [ ]

0.645 10

MMPa

W

可知，销子最大弯曲正应力强度足够，安全。

4 、校核最大剪应力强度。

通过剪力图可看出梁 B 、 C 截面处剪力最大，其值为max

3.50Q kN

最大弯曲剪应力为

3

max2 2 2 2

2 2 2 3.50 1038.7

3.1420 13

4 4

Q QMPa

A D d

根据最大剪应力失效准则，可知 max

[ ]

2

所以销子上最大弯曲剪应力强度足够，安全。

第五节 轴的强度设计 一、圆截面轴扭转时横截面上的剪应力

圆轴扭转变形时，各横截面就像刚性圆盘一样，绕轴线旋转了一个角度。各横截面无沿轴线相对移动。 可得出圆截面轴扭转变形时，横截面上只有剪应力，无正应力。而且，剪应力一定垂直于半径，并且沿半径方向呈线性变化，形心处为零，边缘最大。

圆截面轴扭转时横截面某一点剪应力计算公式

其中 T 为横截面上的扭矩； ρ 为截面上点到形心的距离； Ip

为截面对形心的极惯性矩，单位

p

T

I

二、圆截面轴强度准则

综合考查危险截面为横截面作用剪应力最大的截面，要保证圆轴正常工作，要保证危险截面上最大剪应力不能超过材料的许用应力。即

max [ ]pp T

TR T TII W

R

其中

pT

IW

R

pI

为圆轴的抗扭截面模量，单位 mm3 或 m3 。

为截面对形心的极惯性矩，单位 mm4 或 m4 ；

对于实心圆 4

4

33

0.132

0.216

p

T

dI d

dW d

对于空心圆 44

34

(1 )32

(1 )16

p

T

dI

d

DdW

三、受弯曲与扭转时圆截面轴的强度准则（一）外力分析 在力 P 的作用下使圆轴发生弯曲与扭转组合变形。

（二）内力分析 A 截面为危险截面，其中弯矩和扭矩分别为

M Pl2

PdT

（三）应力分析 M

W

T

T

W

（四）强度准则 A 截面上 a 、 b 点为危险点，其应力状态为简单的二向应力状态。

x x y

根据第三强度理论有

2 21 3 4 [ ]

22

4 [ ]T

M T

W W

对于塑性圆截面轴，其弯曲与扭转组合变形的强度准则为

2 2

[ ]M T

W

实 例 汽车传动轴 AB ，由 45 号无缝钢管制成，外径 D=90mm ，内径d=85mm ，许用应力 [τ]=60MPa ，传递的最大力偶矩m=1.5kNm 。

要求：（ 1 ）校核其强度；（ 2 ）若改用材料相同，扭转强度相等的实心轴，确定其直径；（ 3 ）求空心轴与实心轴的重量比值

解： （ 1 ）校核扭转强度

1.5T m kN m 4

3 4 3 3850.2 (1 ) 0.2 90 1 2982 10

90TW D mm

6

max

1.5 1050.3

2982 10T

TMPa

W

（ 2 ）计算实心轴直径 d1

扭转强度相同的实心轴与空心轴，当材料相同时，它们的抗扭截面模量应相等。即

3 3 41 (1 )

16 16TW d D

由此，得实心轴的直径为

43 4 3

1

851 90 1 53

90d D mm

（ 3 ）两轴重量之比

当两轴的材料、长度相同时，它们的重量之比，将等于横截面面积之比。

2 22 2

12

221

( ) 90 854 0.31153

4

D dG

G d

第六节 轴和梁的刚度设计一、圆截面轴的扭转变形刚度设计

（一）描述扭转变形刚度的基本参数

设两截面的距离为 dx 时，其扭转角为

p

Tdxd

GI

单位长度扭转角为p

d T

dx GI

两截面长度为 l 时，其扭转角为

0 0

l

p p

Tdx Tld

GI GI

单位： rad

（二）圆截面轴扭转变形的刚度准则

最大的单位长度扭转角不得超过材料的许用单位长度扭转角 [θ] ，即

max [ ]p

Tl

GI

GIp—— 称为轴的抗扭刚度。

二、梁弯曲变形的刚度设计 （一）描述扭转变形刚度的基本参数

挠曲线：梁发生弯曲变形，梁的轴线由直线变为连续而光滑的平面曲线称为挠曲线。

挠度：梁横截面形心沿 y 轴移动的距离。

挠曲线方程：挠度随截面位置变化的函数。

转角：横截面相对原来位置转过的角度。

( )y f x

( )tg y f x

（二）挠曲线近似微分方程 挠曲线方程的二阶导数与弯矩、抗弯刚度的关系，即

EIy M

（三）梁弯曲变形的刚度准则

max [ ]y y max [ ]

第七节 讨论与说明一、工程实例中的问题综合

关于构件的力学模型，对构件进行静力分析与设计，重要的是如何正确建立构件的力学模型。

1 、分析所研究的构件在实际中所处的位置及其所起的作用；分析与之相邻的构件之间的相互作用，确定力的传递过程。

2 、将作用在构件及其附件上的力向构件横截面形心或弯曲中心简化，并以构件的轴线表示构件，得到构件的受力简图或计算简图。 3 、必要时，需要作某种假定简化，例如曲率不大的杆，可近似采用直杆的分析结果；斜度不大的变截面杆，可近似应用等截面杆的理论公式。

二、提高构件强度的途径 提高构件的强度是指在不增加材料的前提下，使构件承受更大的载荷而不发生强度失效。

对于强度问题，只要降低危险截面处的弯矩或剪力，或采用各种方法使危险截面得以加固，就可以达到提高强度的目的。

例如，对于梁或承受纯扭转的圆轴，强度设计主要依据为

maxmax [ ]

M

W max

max

[ ][ ]

2T

T

W

所以可以有两种途径提高构件的强度： 1 、通过改变支承与加力点的位置，或通过辅助构件，使弯矩或扭矩的峰值尽量减小。如下图

将两端支座向中间移动，可使中间截面上的弯矩逐渐减少，但支承处截面上的弯矩却逐渐增大，但二者数值相近时，这时的支承位置比较合理。

采用次梁加载，作用在主梁上的最大弯矩可比不用次梁加载降低得很多。

2 、根据截面上的应力分布特点，选择经济、合理的截面形状。

例如根据梁横截面上正应力分布，在中性轴附近的材料没有充分利用，故在不改变很截面面积的情况下，将中性轴附近的材料移至距中性轴较远处，例可将截面设计成工字型、圆管形或其它空心截面，就能达到不增加材料而使强度提高的目的。

三、提高构件刚度的途径 提高构件刚度主要是指减小梁的弹性位移。除了采用合理的截面形状以增加惯性矩外，主要是减小梁的长度，当梁的长度无法减小时，则需增加中间支座。