第六章

空 间 力 系

本章重点、难点 ⒈ 重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 ⒉ 难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。

迎 面风 力

侧 面风 力

b

工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。

(a) 图为空间汇交力系；(b) 图为空间任意力系；(b) 图中去掉风力后为空间平行力系。

§6-1 空间汇交力系§6-1 空间汇交力系

或由仰角 与方位角 来确定。

1. 力在空间的表示

的接触之点。

一、力在空间轴上的投影与分解：

力的三要素：大小、方向、作用点大小：

作用点：

方向：由、、三个方向角确定

Fxy

O

FF

物体和力矢的起点或终点

⒉ 一次投影法（直接投影法）

cos

, cos

, cos

FZ

FY

FX

coscoscoscossin FFFX xy

sincossinsinsin FFFY xy

sincos FFZ

由图可知：

即：

⒊ 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易确定时，可先将 F 投影到 xy 面上，然后再投影到 x 、 y 轴上。

三轴的方向余弦对应于力

分别称为其中：

zyxF ,,

cos,cos,cos

若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：

zyx FFF ,,

zyx FFFF

kZFjYFiXF zyx ,,而：

kZjYiXF 所以：Fx

Fy

Fz

⒌ 已知力的投影求该力

⒋ 力沿坐标轴分解

222 ZYXF

F

Z

F

Y

F

X cos,cos,cos

大小：

方向：

⒈ 几何法

与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。

in FFFFFR 321

二、空间汇交力系的合成

即：合力等于各分力的矢量和

⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及力在坐标平面上的投影是矢量。

( 由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采用此方法合成）

空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

由于 代入上式kZjYiXF iiii

ix XR iy YR iz ZR

⑴ 合力投影定理⒉ 解析法

kZjYiXR iii 合力

定理 :

⑵ 合力的解析求法 222222 )()()( ZYXRRRR zyx

大小：

R

R

R

R

R

R zyx cos,cos,cos方向：

0X 0Y 0Z

解析法平衡充要条件为：

几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。

0 iFR

空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：

三、空间汇交力系的平衡

亦称为 空间汇交力系的平衡方程

三个独立的方程，只能求解三个未知量

⒈ 平衡的充要条件

⑴ 几何法平衡充要条件

⑵ 解析法平衡充要条件

§6-2 空间力偶系§6-2 空间力偶系

一、空间力偶三要素

⒈ 力偶矩的大小 ；

⒉ 力偶作用面的方位 ；

⒊ 力偶的转向 。

决定空间力偶对刚体的作用效应 , 除力偶矩的大小、力偶的

转向外 , 还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则

空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作

用效应取决于下列三要素：

y

空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩矢。

二、力偶矩用矢量表示⒈ 力偶矩矢

⒉ 力偶矩矢表示方法⑴ 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小；

⑵ 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同

⑶ 矢量的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力偶矢的末端看去，力偶的转向为逆时针转向。

⒉ 证明 ：⑴ 作 II//Ⅰ， cd // ab

⑵ 作一对平衡力 R, R‘ ( 在 E 点 , 且 使 -R=R')

作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。

F1 与 R 合成得 F2 ，作用在 d 点

F1‘ 与 R’ 合成得 F2‘ ，作用在 c点

且 R-F1=F2 ， R'- F1'= F2'

⑶ 由反向平行力合成得：

三、空间力偶的等效定理⒈ 定理

⑷ 在 I 内的力偶（ F1 ， F1′ ）等效

变成 II 内的（ F2 ， F2′ ）

⒊ 推论 在同一刚体内，力偶可以从一个平面移至另一平行平面而不改变它对刚体的作用。

⒋ 空间力偶矩矢是一个自由矢量 由于力偶可以在同一平面内和平行平面内任意移转，因此表示力偶矩的矩矢的矢端亦可在空间任意移动，可见空间力偶矩矢是一个自由矢量。

四、空间力偶系的合成与平衡

由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶

矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合

成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。

⒈ 合成

n

iin mmmmmm

1321 即：

m

m

m

m

m

m

mmmm

zyx

zyx

cos,cos,cos

;222大小：

方向：

投影式为：

0 x m0 y m0 z m

0 imm

显然空间力偶系的平衡条件是：

亦称为 空间力偶系的平衡方程

三个独立的方程，只能求解三个未知量

⒉ 平衡

§6-3 力对点的矩与力对轴的矩§6-3 力对点的矩与力对轴的矩一、空间力对点之矩三要素

⒈ 力矩的大小 ；

⒊ 力的作用线与矩心所组成的平面的方位 。

⒉ 力矩的转向 ；

决定力对刚体的作用效应 , 除力矩的大小、力矩的转向外 ,还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物体的作用效应也不同。所以空间力对刚体的作用效应取决于下列三要素：

[ 例 ] 力 P1 ， P2 ，P3 对汽车反镜

绕球铰链 O 点的转动效应不同

二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中，由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。

面积AOB

dF

FmFm OO

2

)()(

⒈ 力矩矢的表示方法⑴ 力矩矢大小 ：

⑵ 力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面的法线方位相同

注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量注意：力矩矢为定位矢量

⑶ 力矩矢的指向：与转向的关系服从右手螺旋定则。或从力矩矢的末端看去，物体由该力所引起的转向为逆时针转向。

⒉ 力对点的矩的矢积表达式

如果 r 表示 A 点的矢径，则：,)( FrFmO

⑴ 导出

)(

)sin(

Fm

dF

F,rFrFr

O

∵

力对点的矩等于矩心到该力作用点

的矢径与该力的矢量积。

kZjYiXF 由于 kzjyixr

ZYX

zyx

kji

FrFmO )(

方向相同，的方向和 )(FmFr O又∵.)( FrFmO ∴

⑵ 结论

⒊ 力对点的矩的解析表达式

kFmjFmiFm

kyXxYjxZzXizYyZ

zOyOxO )]([)]([)]([

)()()(

二、力对轴的矩

⒈ 实例

的面积''2)()( BOAdFFmFm xyxyOz

它是代数量，正负规定 + –

⒉ 定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度 ,称为力对该轴之矩 .

⒋ 力对轴的矩的解析式

)()(

)()(

yOxO

xyOz

FmFm

FmFm

由合力矩定理：

即yXxYFmz )(

同理可得其余两式，即有：

yXxYFm

xZzXFm

zYyZFm

z

y

x

)(

)(

)(力对轴的矩的解析式

三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系

面积由于 AOBFmO 2)(

''2)()( BOAFmFm xyOz

通过 O 点作任一轴 Z ，则：

力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。

⒈ 定理 ⒉ 证明

''cos BOAOAB

由几何关系：

''2cos2 BOAOAB ∴

即： )(cos)( FmFm zO

)()]([ FmFm zzO

kFmjFmiFm

FrFm

zOyOxO

O

)]([)]([)]([

)(

kFmjFmiFm zyx )()()(

又由于

所以力对点 O 的矩为：

222)()()()()( FmFmFmFmFm zyxOO 大小：

)(

)(cos,

)(

)(cos,

)(

)(cos

Fm

Fm

Fm

Fm

Fm

Fm

O

z

O

y

O

x 方向：

四、力对点的矩的解析求法

把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简

化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。

§6-4 空间一般力系向一点简化§6-4 空间一般力系向一点简化

nFFF ,, 21

设作用在刚体上有空间一般力系

试将力系向 O 点简化

根据力线平移定理，将各力平行搬移到 O 点，得到一空间汇交力系：

.)(),(),( 2211 nOnOO FmmFmmFmm

一、简化方法 ⒈ 任选 O 点为简化中心

⒉ 将各力平行搬移到 O 点

'',',' 321 nFFFF

nmmm ,, 21和一附加力偶系：

;',',' 2211 nn FFFFFF

空间力偶是自由矢量，总可汇交于 O 点。

R

FFFF

FFFFR

in

ino

21

21

汇交力系合力⒊ 合成空间汇交力系

⒋ 合成附加力偶系

附加力偶的合力偶矩

)(

)()()( 21

21

io

nooo

ino

Fm

FmFmFm

mmmmM

二、主矢与主矩1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 。 iF

iFR即

主矢 的R解析求法

注意： 因主矢等于原力系各力的矢量和 , 所以它与简化中心的位置无关。

主矢大小 :

222

222

)()()(

'''''

ZYX

RRRRR zyx

主矢方向 :'

cos,'

cos,'

cosRZ

RY

RX

⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和

。

)( io Fm

)( ioo FmM即

大小：

因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和，所以它的大小和方向与简化中心有关。

注意：

根据力对点之矩与力对轴之矩的关系 :

)(])([ ;)(])([

;)(])([

FmFmMFmFmM

FmFmM

zzOOzyyOOy

ixxiOOx

222OzOyOxO MMMM

主矩 OM

解析求法 O

Oz

O

Oy

O

Ox

MM

M

M

MM

cos,'cos,'cos方向：

三、结论空间一般力系向任一点 O 简化 ，一般可以得到一力和

一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。

化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零 )

空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。

§6-5 空间一般力系简化结果的讨论§6-5 空间一般力系简化结果的讨论

若 , 则该力系平衡（下节专门讨论）。0,0' OMR

若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系

对于简化中心的主矩 MO 。此时主矩与简化中心的位置无关。

0,0' OMR

⒈ 若 则力系可合成为一个合力，力系合力0,0' OMR R

等于主矢 ，合力 通过简化中心 O 点。（此时主矩与简'R R

一、力系平衡

二、力系简化为一个合力偶

三、力系简化为一个合力

⒉ 若 , 时，OMR '0,0' OMR

由于做 iOO

O FRR

M

R

MddRM 合力,

',

)( dRMO

可进一步简化，将 MO 变成 ( R'',R) 使 R' 与 R'‘ 抵消只剩

下 R

[ 例 ] ① 拧螺丝②炮弹出膛

' '

四、力系简化为力螺旋力螺旋 ——由力及垂直与该力平面内的力偶所组成的特殊力系

⒈ 若 ， 时，OMR //'0,0' OMR

M 和主矢 R‘ 合成为合力 R 而：'

sin'

'R

MR

MOO O

所以 M// 和 R 在 O‘ 点处形成一个

力螺旋。

M// 不变，是在平面内的一力偶

⒉ 若 ， R′ 不平行也不垂直 M0 ，成最一般的任意角 时，

0,0' OMR

可将 M// 搬到 O'处

因为 M// 是自由矢量，

首先把 MO 分解为 M// 和 M ,

力系简化中，不随简化中心改变的量有： R′ ， M//

简化中心为 O 时：有 M 和 M// ，当简化中心为另一点 O1

时，为 M′ 和 M// ， 即 M// 总是不变的（它是原力系中的力偶

与简化中心无关）

⒊ 注意 , R′ ， M// 是力系简化中的不变量

)(' RMROOMM OO

)( iOO FmM主矩又

)()( iOO FmRM

)()( izz FmRM常用投影式

空间力系向 O 点简化后得主矢 R′ 和主矩 MO , 若 MOR′ ，

可进一步合成为一个作用在新简化中心 O' 点的合力 R 。

五、空间力系的合力矩定理

⒉ 定理

⒈ 导出

一、空间一般力系平衡的充要条件

0)( iOO FmM00' FR

0)()()('' 222 ZYXRR

0))(())(())(( 222 FmFmFmMM zyxOO

§6-6 空间一般力系的平衡方程及应用 §6-6 空间一般力系的平衡方程及应用

空间一般力系平衡

0

0

OM

R必要

充分

力系的主矢 和主矩 都等于零，即：

R

OM

⒈ 平衡的充要条件

还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。

0)(,0

0)(,0

0)(,0

FmZ

FmY

FmX

z

y

x

⒉ 解析法平衡充要条件

六个独立的方程，只能求解六个未知量

亦称为空间一般力系的平衡方程

三、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程⒈ 空间汇交力系的平衡方程

因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。

0

0

0

Z

Y

X

三个独立的方程，只能求解三个未知量

0)(

0)(

0

Fm

Fm

Z

y

x

0

0

0)(

Y

X

Fmz

⒉ 空间平行力系的平衡方程

设各力线都 // z 轴

因此 均成为了恒等式，而自然满足。

即有： 三个独立的方程，只能求解三个未知量

二、空间约束 观察物体在空间的六种可能的运动中（沿三轴移动和绕三轴转动） ，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。 [ 例 ]

1 、球形铰链 2 、向心轴承，蝶铰链 3 、止推轴承

4 、带有销子的夹板 5 、空间固定端

球形铰链

RRzzRRzz

RRyyRRyy

RRxxRRxx

滚珠（柱）轴承

RzRz

RxRx

活页铰

滑动轴承

止推轴承

带有销子的夹板

空间固定端

例 画出车床轮轴的受力图

例 画出起重机 C 点和 B 点的受力图

[ 例 ] 已知 : RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400

N

求：平衡时 (匀速转动 ) 力 Q=？和轴承 A , B 的约束反力？ 解：①选轮轴为研究对象； ②受力分析如图； ③选 Axyz

坐标；④列方程求解。最好使每一个方程有一个未知量，以方便求解。

)N(746,020cos10050;0

)N(352,0;0

QQPm

PYPYY

zy

yAyA

由：

)N(385 ,020sin ;0

)N(2040 ,020sin 50300200 ;0

)N(729 ,020cos ;0

)N(437 ,020cos 5020050300 ;0

0

0

0

0

AzBA

BzBx

AxBA

BByxz

ZQPZZZ

ZQPZm

XQPXXX

XQXPPm

方法 ( 二 ) : 将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面

力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。

§6-7 平行力系的中心 物体的重心 §6-7 平行力系的中心 物体的重心一、空间平行力系的中心

⒉ 平行力系的中心坐标公式

由合力矩定理：⑴ 矢量形式

)()( iOO FmRm

⒈ 定义：空间平行力系，当它有合力时，合力的作用

点 C 就是此平行力系的中心。

nnC FrFrFrRr 2211

;,, 00110 PFFPFFPRR nn 令

nnC rFrFrFrR 2211 P0 为沿 方向的单位矢量R

i

iinnC F

rFR

rFrFrFr

2211

R

zFz

R

yFy

R

xFx ii

Cii

Cii

C , ,

此式称矢量形式平行力系的中心坐标公式

⑵ 直角坐标形式（投影式）

物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。

二、 物体的重心

⒈ 定义：组成物体各质点的重力的合力作用线所通过的一

个确定的点，这个点称为物体的重心。

⒊ 重心坐标公式 ⒉ 确定物体重心的意义⑴ 保证平衡的稳定性；⑵ 保证运动的稳定性； ⑶ 消除振动。

如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。

iiC xPxP

P

xPx ii

C

即有：

由合力矩定理：⑴ 直角坐标形式

iiC yPyP 又∵

根据平行力系中心位置与各

平行力系的方向无关的性质，将

力线转成与 y 轴平行，再应用合

力矩定理对 x 轴取矩得：

P

yPy ii

C

有：

,iiC zPzP 得：P

zPz ii

C

综合上述得直角坐标形式重心坐标公式为：

P

zPz

P

yPy

P

xPx ii

Cii

Cii

C

,,

若以△ Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式

M

zmz

M

ymy

M

xmx ii

Cii

Cii

C

,,

⑵ 积分形式

设 I 表示第 i 个小部分每单位体积的重量，⊿ Vi 第 I 个

小体积，则 iii VP 代入上式并取极限，可得：

P

dVzz

P

dVyy

P

dVxx V

CV

CV

C

,,

式中 ，上式称为 积分形式重心坐标公式。V

dVP

对于均质物体， = 恒量，上式成为：

V

dVzz

V

dVyy

V

dVxx V

CV

CV

C

,,

同理对于薄曲（平）面和细曲（直）杆均可写出相应的公式。

⑶ 均质物体重心坐标公式〔形心（几何中心）坐标〕

设 表示单位体积的重量，⊿ Vi 第 i 个小体积，则 ii VP

代入直角坐标形式重心坐标公式，可得：

V

zVz

V

yVy

V

xVx ii

Cii

Cii

C

,,

① 均质立体

同理对于均质薄曲（平）面和均质细曲（直）杆均可写出相应的公式。

② 均质薄曲（平）面

A

zAz

A

yAy

A

xAx ii

Cii

Cii

C

,,

③ 均质细曲（直）杆

l

zlz

l

yly

l

xlx ii

Cii

Cii

C

,,

三、重心的求法

⒈ 对称法 具有对称点﹑对称轴﹑对称面的均质物体，其重心就在其对称点﹑对称轴﹑对称面上。

⒉ 组合法⑴ 分割法

[ 例 ] 已知： Z 形截面，尺寸如图。

求：该截面的重心位置。

解：将该截面分割为三部分，取 Oxy 直角坐标系，如图。

2111 cm0.3,cm5.4,cm5.1 Syx

2222 cm0.4,cm0.3,cm5.0 Syx

2333 cm0.3,cm5.0,cm5.1 Syx

cm2.0343

5.135.04)5.1(3321

332211

SSS

xSxSxSA

xAx ii

C

cm7.2343

5.0334)5.4(3321

332211

SSS

ySySySA

yAy ii

C

2111 cm0.3,cm5.4,cm5.1 Syx

2222 cm0.4,cm0.3,cm5.0 Syx

2333 cm0.3,cm5.0,cm5.1 Syx

⑵ 负面积法

解： Z 形截面可视为由面

积为 S1 的大矩形和面积分别为

S2 及 S3 的小矩形三部分组成， S2

及 S3 是应去掉的部分，面积为

负值。2

111 cm30cm,5.2,0 Syx

2222 cm12cm,0.2cm,5.1 Syx

2333 cm8cm,0.3cm,0.2 Syx

cm2.0

)8()12(30

2)8()5.1()12(030321

332211

SSS

xSxSxSA

xAx ii

C

cm7.2

)8()12(30

3)8(2)12(5.230321

332211

SSS

ySySySA

yAy ii

C

2111 cm30cm,5.2,0 Syx

2222 cm12cm,0.2cm,5.1 Syx

2333 cm8cm,0.3cm,0.2 Syx

解：由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox 轴上，即 yC=0 。

dRdL

cos R x

R

dR

L

dLxx L

C

2

cos

2

sinRxC

[ 例 ] 求半径为 R ，顶角为 2 的均质圆弧的重心。

⒊ 积分法

取微段：

0)( FmB由 01 CxPlP称 PlP

xC1 称

简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。

⑵ 称重法⒋ 实验法⑴ 悬挂法