第四章空间力系

理论力学电子教程第四章空间力系

第四章空间力系第一节空间汇交力系

第二节力对点之矩与力对轴之矩

第三节空间力偶理论

第五节空间任意力系的问题

第三节空间任意力系向已知点的简化

第六节重心平行力系中心


空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可分为空间汇交力系，空间力偶系，空间任意力系。

其研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于各力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概念、理论和方法要作推广和引伸。

现研究空间力沿坐标轴的分解和投影。

第一节空间汇交力系

一、空间力沿坐标轴的分解与投影


分解

zyx FFFF

x

y

zF

xF yF

zF

直接投影法

cos,cos,cos FFFFFF zyx

二次投影法 sincos,coscos FFFF yx

sinFFz 即

222zyx FFFF


FFFFFF zyx /cos,/cos,/cos

若用单位矢量，则力 F 沿直角坐标轴分解的表达式为

注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

zyx FFFF Fx i + Fy j + Fz k


x

y

z

1x

1y

1z

o

F

1

2c

b

a

长方体长 a ＝ 0.5m ，宽 b ＝ 0.4m ，高 c ＝ 0.3m ，在其上

作用力 F ＝ 80N ，方向如图所示，试分别计算：（ 1 ）力

F 在 x 、 y 、 z 轴上的投影；（ 2 ) 力 F 在轴上的投影。

1z

例 4-1


222cos

cbac

FFFz

N2248022

6.0

设力 F 与轴之间的夹角为，则1z

Ncba

caFFF

z6480

54

cos222

22

1

解法一一次投影法

222cos

cbaa

FFFx

N2408025.0

222cos

cbab

FFFy

N2328024.0


解法二二次投影法设力 F 与 Oxy 平面的夹角为，则得力 F 在 oxy 平面上的投影的大小为

222

22

coscba

baFFF

xy

于是有

Nba

acba

baFFF

xyx240cos

22222

22

Nba

bcba

baFFF

xyy232sin

22222

22

Ncba

cFFF

z224sin

222


由于轴垂直于 y 轴，所以根据合力投影定理可得1z

12coscos

1

zxz

FFF

2222222222 cac

cbac

Fca

acba

aF

Ncacba

caF 64

22222

22


这里只介绍解析法。

空间的合力投影定理 ( 合成 ) 。

则合力

合力在某一轴上的投影，等于力系中所有各力在同一轴上的投影的代数和

各分力

ZkYjXiFi

kjiFF iR zyx FFF

x

y

z

1F2F

nF

FFi=Fx i+Fy j +Fz k

二、空间汇交力系的合成与平衡


平衡的必要与充分条件：该力系的合力为零。空间汇交力系的平衡方程

,0,0,0 zyx FFF注意：

(1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力系也平衡。(2) 投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不平行。

222222 )()()( zyxZyx FFFRRRR

R

F

R

R xx cos


图示一起重三角架， AD 、 BD 、 CD 杆各长 2.5m ，在 D点铰接，并以铰链固定在地面上，求每一杆所受的力，各杆重不计。已知 P=20kN, ， AO=BO=CO=1.5m 。

90,150,120 321

x

z

y

D

A B

C

例 4-2


【解】作受力图。

0cos60coscos,021

SSx

FFF

020sinsinsin,0

0cos60sincos,0

321

31

SSSZ

SSy

FFFF

FFF

由以上三式解得

kNFkNFkNFSSS

14.9,28.5,56.10321


力对于任一点之矩等于矩心至力的作用点的矢径与该力的矢积 , 称为力对于点之矩的矢积表达式。

２ . 力对轴之矩dF(F)M xyz

力对于任一轴之矩，等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面的交点之矩。(1) 当力的作用线与轴平行或相交时 , 力对于该轴之矩等于零；

第二节力对点之矩与力对轴之矩

1. 相对于点的矢量表示 )( FM0

FrFM )(0


Zozo FMFMFM )]([)(cos)( 应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式。

kjiFrFM yz)(zyxz)(yzzy)(yz)( 0

其中 : kjirkjiF zyx,FFF zyx

3. 力对于点之矩与力对于通过该点的轴之矩间的关系力矩关系定理 : 力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对于该轴之矩。

(2) 当力沿其作用线移动时 , 它支于轴之矩不变。

力对轴之矩的合力矩定理 : 合力对于任一轴之矩等于各分力对于同一轴之矩的代数和。


平行平面间的力偶的等效条件：作用面平行的两个力偶，若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。

1 、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念

同平面内力偶等效条件：两力偶矩的代数值相等。

但分别作用在不平行平面内的两个力偶对于刚体的效应是不同的

空间力偶的三要素：大小、转向和作用面的位置。

第三节空间力偶理论


2 、空间力偶系的合成与平衡 .

MMMMM n21

力偶矩矢是一矢量。

空间力偶的等效定理：凡矩矢相等的力偶均为等效力偶。

空间力偶系可合成为一合力偶 , 则该合力偶矩矢等于力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。


空间力偶系平衡的必要与充分条件是 : 该力偶系中所有的各力偶矩矢的矢量和为零。

0 M

投影形式有

,0,0,0 zyxMMM


1. 空间任意力系向已知点的简化简化理论依据是 : 力线平移定理。空间力系中，应把力对于点之矩与力偶矩用矢量表示。

力线平移定理 : 作用于刚体上的任一力 , 可平移至刚体的任意一点 , 欲不改变该力对于刚体的作用 , 则必须在该力与指定点所决定的平面内加一力偶 , 其力偶矩矢等于力对于指定点之矩矢 .

第四节空间任意力系的简化

od o

A

)( FMM

0

FF FA


RR FFFF '' 00 MFMMMo )(

空间任意力系向任一点简化的结果。一般可得到一力和一力偶，该力作用于简化中心，其力矢等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。

RF0M

x

y

z

1M

2MnM

1F2F

nFx

y

z

A1A2

An

1F

2F

nF

x

y

z


zRzyRyxRx FFFFFF ',','

222 )F()F()F(F zy'R x

'Rz

'Ry

'Rx FFcos,FFcos,FFcos

若取坐标原点为简化中心 , 则有 : 将主矢及各力 F1 、 F

2 、 ···F3 均投影在三坐标轴上则

'RF

与平面力系一样，空间力系的主矢与简化中心的位置无关，而矩的一般将随着简化中心的位置不同而改变。


同样，将 Mo 及 Mo （ F ）均投影在同一坐标轴上，并应用力矩关系定理，则得

)(M)]([M ox FFM xx 0

)(M)]([M yoy FFM y 0

)(M)]([M zoz FFM z 0

222 )(M)(M)(M(M zyx0 FFF


0x' M)(Mcos F 0y M)(Mcos F

0z M)(Mcos F空间任意力系简化结果的分析

RR FMMF ',,')( 00 004

RR FMMF '//,,')( 00 005

,,')( 006 0 MF R

( 过简化中心 )

( 合成为一力 )

( 力螺旋 )

( 成任意角 )

空间系的合力矩定理若空间任意力系可以合成为一个合力时 , 则其合力对于任一点或轴之矩等于力系中各力对于同一点或轴之矩的矢量和或代数和 , 这即为空间力系合力矩定理。

,,')( 002 0 MF R

,,')( 001 0 MF R,,')( 003 0 MF R


空间力系向一点简化后为：一个力和一个力偶。

故空间力系平衡的必要条件是力系的主矢及主矩都等于零，即

0FF R'

000 )( FMM

222 )F()F()F(F' yyxR

222 )]([M)]([M)]([MM zyx0 FFF

这是空间力系的平衡方程。

第五节空间任意力系的问题


空间任意力系平衡的必要与充分条件 : 力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴上之投影的代数和等于零，以及力系对于这三个轴之矩的代数和分别等于零。(1) 空间汇交力系 .

000 zyx F,F,F

(2) 空间平行力系取坐标轴 z 与各力平行，则

,)(M,)(M,F yxz 000 FF

,F,F,F zyx 000

,)(M,)(M,)(M zyx 000 FFF


取力系的作用面为 Oxy

000 )(M,F,F zyx F

在求解空间力系问题时要注意几点： (1) 约束性质。 (2) 当空间任意力系平衡时，它在任何面上的投影力系也平衡，可将空间转化为平面问题来处理。

(3) 除三投影式，三力矩式 , 还有四力矩 , 五力矩，六力矩式。

空间平行力系平衡的必要充分条件是 : 该力系所有各力在与力线平行的坐标轴上的投影代数和等于零 , 以及各力对于两个与边线垂直的轴之矩的代数和分别为零。(3) 平面任意力系


mgP

CFAF

BF

质量为 10kg 的圆桌 , 直径为 1.2 m ，三个脚 A 、 B 、C 三等分圆周。在桌面上的 D 点作用一铅垂力 P=200N, OD =0.3 m 。求圆桌脚 A 、 B 、 C 对地面的压力。

例 4-3

P

CA

B


【解】作受力图。取如图所示坐标轴，且 z 轴与 mg 作用线一致。

0mgPFFF,F CBAZ 0

030sin)2/30sin()30sin( RmgPRRFRRCN

,)(M AB 0F

,)(M AC 0F

030302

30 sinmgRsinR

PF)sinRR( BN

NF,NF,NF CBA 1666666

解以上各式得

圆桌对地面的压力为N'F,N'F,N'F CBA 1666666


例 4-4 如图所示，均质长方形板 ABCD 重 P ＝ 20kN ，用球

铰链 A 喝蝶铰链 B 支承在墙上，并用杆子 CE 维持在

水平位置，且，试求杆 CE 所受的压力

及蝶铰链 B 的约束反力。

060AEC

E

)(a

060C

BA

D

z

x

yQP

060C

BA

D

z

x

yQP

E

)(b

AxF

AyF

BxF

BzF

CxF


【解】取板 ABCD 为研究对象，受力如图（ b ）所示。由空

间一般力系平衡方程，有

0)(M y F

kNPFaFa

PQCSCSQ

20,030sin2

0

0F0,)(M Bxz F

0,)(M Fx

030sin2

0 aFa

PaFCSQBz

0Bz

F


悬臂刚架 ABC 上作用有分布荷载 q = 1kN/m ， P=3kN ，Q=4kN 及力偶矩 2kNm ，刚架各部分尺寸如图示。求固定端 A 处的约束反力及力偶矩。

例 4-5

P

A

BC

m Pq

Q

A

BC

m Pq

Mz

x

y

z

AxF AyF

AZF

xMyM


【解】作受力图 , 建坐标系。00 PF,F AXx

00 QF,F Ayy

020 qF,F Azz

01q2P3M0,)(M Qxx F

0mP6M0,)(M yy F

0P4M0,)(M yz F

kNFkNFkNFAzAyAx

2,4,3 mkNM x 13 mkNM y 20

求解得 :


若负值说明与设定方向相反。

mkNM z 12


任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力） ΔGi ，其作用点的坐标 xi 、 yi 、 zi 与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的中心称为物体的重心。

力系的简化在工程实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。

第六节重心平行力系中心


一、重心坐标的一般公式

z

x

y

P ΔPi

C

ΔP1

xy

z

o

yi

zi

xi

x1y1

z1

c1 ci


右图认为是一个空间平行力系，则

P=∑ΔPi

合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理

my (P)=∑m （ ΔPi ）y

即 P· = ∑ΔP i ·x ixc

于是有 xc =P

∑ΔP xi i

z

x

y

P ΔPi

C

ΔP1

xy

z

o

yi

zi

xi

x1y1

z1

c1 ci


同理有

为确定 z c ，将坐标系连同物体绕 y 轴转 90 ，得。

z c =P

∑ΔP i · z i

yc

=P

∑ΔP i· yi

二、均质物体的重心坐标公式即物体容重 γ 系常量，则

P = γV ， ΔP =γΔVi

于是有


x

z c =V

∑ΔV i i

yc =V

∑ΔV i i

xc =V

∑ΔV i i

y

z

上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。


三、均质等厚薄板的重心和平面图形的形心

对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为 xy 平面，则其重心的一个坐标 zc 等于零。设板厚为 t ，则有

V=A· t ， ΔV = ΔA · ti i

则x

xc =A

∑ΔA i i

yc =A

∑ΔA i iy

上式也即为求平面图形形心的公式。


具体方法：（ 1 ）积分法；（ 2 ）组合法；（ 3 ）悬挂法；（ 4 ）称重法。

1 、积分法对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有

x c=V

∫v x dVy c =

V

∫v y dVz c=

V

∫v z dV

, ,

四、确定重心和形心位置的具体方法


若为平面图形，则

x c =A

∫Ax dA

y c =A

∫Ay dA，

2 、组合法

当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。

下面通过例子来说明。


3 、悬挂

法以薄板为例，只要将薄板任意两点 A 和 B 依次悬挂，画

出通过 A 和 B 两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心 C

的位置，如图。想一想，为啥？

A

B

（ a ）

A

B

c

（ b ）


（四）称重法

对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。

图示机床重 2500N ，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在 B处放一垫子，在 A 处放一秤。当机床水平放置时， A 处秤上读数为1750N ，当 θ=20 时秤上的读数为 1500N 。试算出机床重心的坐标。

思考题 1

y

x

2.4m

c

B

A

θ


例 4-6 如图所示，边长为 a 和正方形均质板，求点 E 的极

限位置，以保证剩余部分 AEBDC 的重心仍在该部分

范围内。

maxy

A B

CD

x

ya

a

E

Ⅱ


【解】分两部分考虑，如图所示。则有

2

axc

设极限位置 maxyy

c

max1max1 31

,21

yyayA ：

Ⅱ：2

,2

2

2

ayaA

故21

2211

AAyAyA

yc

代数整理有 0362 2

max

2

max aayy

解得 aay 634.04

326max


1 、填空题（ 1 ）空间汇交力系平衡的几何条件是：该力系的多边形

。自行封闭

( 2 ) 力对点 O 的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于

。力对该轴之矩

2 、选择题

（ 1 ）空间力偶矩是（）

A 、代数量 B 、滑动矢量 C 、定位矢量 D 、自由矢量

D

【讨论与分析】


（ 2 ）一空间力系中各力的作用线均平行于某一固定平面，而且该力系又为平衡力系，则可列独立平衡方程的个数是（）。

A 、 6 个 B 、 5 个 C 、 4 个 D 、 3 个B

（ 3 ）如果一空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点，则当力系平衡时，可列独立平衡方程的个数是（）。

A 、 6 个 B 、 5 个 C 、 4 个 D 、 3 个

B

（ 4 ）如图所示，矩形板重 P ，用球铰链 C 以及柔绳 BD支承在水平面上，则力对 x 、 y 、 z 轴之矩为（）

TF

D


aFFMFMFMATTzTyTx

)(,0)(,0)(

、

0)(,cos)(,cos)( TzTTyTTx

FMbFFMaFFMB

、

0)(,sin)(,sin)( TzTTyTTx

FMbFFMaFFMC

、

0)(,cos)(,cos)( TzTTyTTx

FMbFFMaFFMD

、z

x

yC

BA

O

ba

TF

D


3 、如图所示，曲杆 ABCD ，， AB= ， BC=b,CD=c 。求支座反力及？

090 BCDABC a

32M、M

1M

z

x

y

1x b

c

A

1M

a

2M 3

M

D


4 、如图所示，无重杆系由铰链连接，位于立方体的边和对角线，沿AB方向作用一力 ,P=8KN，沿DE方向作用一力 ,

Q＝ 6KN.试求各杆的内力。

P

Q

kNS,kNS,SSSS 680 535421 答案

E

B

D

A12

3

4

5

6

m3

m3

m2


5 、如图所示薄板由形状为矩形、三角形和四分之一的圆形的三块等厚板组成，尺寸如图所示，求此薄板重心的位置。

mm180 mm200

mm100

mm50

mm150

x

y

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