概率统计概率统计高等数学㈡高等数学㈡

自考辅导第三章自考辅导第三章第五讲第五讲

今日讲课提纲今日讲课提纲离散型随机变量回顾离散型随机变量回顾随机变量的分布函数随机变量的分布函数连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布

重要的离散型重要的离散型 r.v.r.v.

随机变量的随机变量的分布函数分布函数定义： F(x)=P(x) -∞<x<+∞

有 :(1)有界 :0F(x)1 -∞<x<+∞

(2)单调非减 :x1 x2F(x1) F(x2)

(3)有极限：(4)处处右右连续。

1)(lim

,0)(lim

xFx

xFx

随机变量的随机变量的分布函数分布函数两点分布 ~B(1,p)~B(1,p) 的 d.f.

1

1

q

x

y

y=F(x)

ξ 0 1p q p

0

连续型连续型 r.v.r.v. 的定义的定义如果随机变量的 d.f. 为 F(x),存在一个在 (-,+) 上非负的可积函数 p(x) 使得：

则称是一个连续型随机变量 ,p(x) =F’(x) 为的概率密度函数。

x

),(xdt)t(p)x(F

连续型随机变量连续型随机变量公交车每 5 分钟一班，随机去候车，等车的时间为 ξ 分钟： ξ 且

这种分布叫均匀分布，记作：ξ~U[0 ， 5]

)5,0[x5

x)x(P)x(F

r.v.r.v. 的的 d.f.d.f. 概率密度函概率密度函数数均匀分布 ~U[0,5]~U[0,5] 的 d.f.

1

550x

y

y=F(x)

0 x<0

F(x)= x/5 0x5

1 x>5

1/5 0x5

p(x)=

0 其它

连续型连续型 r.v.r.v. 的性质的性质离散型随机变量的分布列 P(P(=x=x

kk)=p)=pkk (k=1,2,…) (k=1,2,…)

ppkk0 0 且∑∑ ppkk=1=1

连续型随机变量的概率密度函数：p(x) 0 且

1dt)t(p

均匀分布均匀分布 ~U[a,b]~U[a,b] 其分布函数为其分布函数为

概率密度函数为概率密度函数为

bx1

bxaab

axax0

)x(F

其它0

bxaab

1)x(p

均匀分布均匀分布 ~U[a,b]~U[a,b] 概率密度函数为概率密度函数为

均匀分布均匀分布 ~U[a,b]~U[a,b] 其分布函数为其分布函数为

指数分布指数分布 ~E(~E()) 其分布函数为其分布函数为

概率密度函数为概率密度函数为

1-e1-e--xx x x00

F(x)=F(x)= 0 x<0 0 x<0

ee--xx x x00p(x)=p(x)= 0 x<00 x<0

指数分布指数分布 ~E(~E()) 概率密度函数为概率密度函数为

指数分布指数分布 ~E(~E()) 其分布函数为其分布函数为

正态分布正态分布 ~N(~N(,,)) 概率密度函数为概率密度函数为

?1dx)x(p

),(xe2

1)x(p

2

2

2

)x(

如何证明

正态分布正态分布 ~N(~N(,,)) 要证明：要证明： 1dxe

2

1 2

2

2

)x(

作变量替换，令：作变量替换，令：

x

y

Ndye2

1

dye2

1dxe

2

1

2

y

2

y

2

)x(

2

2

2

2

记作

正态分布正态分布 ~N(~N(,,))

0

2

0

2

r

2

yx2

2

y

2

x2

dr]rde2

1[

sinry

cosrx

dxdye)2

1(

dye2

1dxe

2

1N

2

22

22

正态分布正态分布 ~N(~N(,,))

.1N,1N1

)0

e(2

2

drdre2

1

2

r

0

2

0

2

r

2

2

取

正态分布正态分布 ~N(~N(,,)) 概率密度函数为概率密度函数为

正态分布正态分布 ~N(~N(,,)) 分布函数为分布函数为

重要的连续型重要的连续型 r.v.r.v.分布名 记号 概率密度函数

均匀分布 U[a,b]

指数分布 E(λ )

正态分布 N(μ ,σ2)

其 它0

]b,a[xab

1)x(p

其 它0

0xe)x(p

x

2

2

2

)x(

e2

1)x(p

查正态分布表 查正态分布表 如如 ξ~N(μ,σξ~N(μ,σ22),), 则则

这叫标准化。这叫标准化。N(0,1)N(0,1) 叫标准正态分布，叫标准正态分布，它有表可查。它有表可查。 (P.391~)(P.391~)

)1,0(N~*