概率论与数理统计（ 56 学时）

概率论与数理统计（ 56 学时）

开课系：数理系

教师： lxt

Email:[email protected]

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。

在生活当中，经常会接触到一些现象：

确定性现象：

在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。随机现象：

在一定条件下必然发生的现象。

在个别实验中其结果呈现出不确定性；

概率论与数理统计在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。

概率论与数理统计已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。

通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。

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课程主要内容：概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理样本及抽样分布参数估计假设检验（选学）

§1 随机试验

§2 样本空间，随机事件

§3 频率与概率

§4 等可能概型（古典概率）

§5 条件概率

§6 独立性

第一章概率论的基本概念


这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。


§1 、随机试验（ Experiment ）

§1 随机试验

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E1 ：抛一枚硬币两次，观察正面 H （ Heads ）、反面 T （ Tails ）出现的情况。

E2 ：抛一颗骰子，观察出现的点数。

E3 ：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。

E4 ：观察某一电子元件（如灯泡〕的寿命。

其典型的例子有

E5 ：观察某城市居民（以户为单位〕烟酒年支出。

这些试验具有以下特点：


3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；

1. 可以在相同的条件下重复进行；

我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为 E


一样本空间

二随机事件

三事件间的关系与运算

§2 样本空间，随机事件



§2 样本空间随机事件

一样本空间 (Space) 定义将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合

称为 E 的样本空间，记为 S 。样本空间的

元素，即 E 的每个结果，称为样本点。

（也叫基本事件〕E1 ： S1 ＝ { H H, HT ， TH ， TT }

E2 ： S2 ＝ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

E3 ： S3 ＝ {0,1,2,3……}

E4 ： S4 ＝ { t | t 0 }

E5 ： S5 ＝ { ( x , y ) | M0 x , y M1 }


要求：会写出随机试验的样本空间。退出前一页后一页目录



E4 ：如果试验是测试某灯泡的寿命：

则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，　　　

S 4 ： = {t ： t ≥0｝

故样本空间



E5 ：调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（ x ， y ）表示， x ， y 分别是烟、酒年支出的元数 .　　　

也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档 . 这时，样本点有（高 ,高） , （高 , 中），…， (低 ,低）等 9种，样本空间就由这 9 个样本点构成 .

这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 .

随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，记作 A, B, C 等等；

基本事件 : 有一个样本点组成的单点集；

必然事件 : 样本空间 S 本身；

不可能事件 : 空集。

二随机事件

我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。





两个特殊的事件：必件然事

例如，在掷骰子试验中，“ 掷出点数小于 7” 是必然事件 ;

即在试验中必定发生的事件，即样本空间常用 S或 Ω表示 ;

不件可事能

即在一次试验中不可能发生的事件，常用 φ表示 .

而“ 掷出点数 8” 则是不可能事件 .


事件

基本事件

复合事件

（相对于观察目的不可再分解的事件）

（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点 }

如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .

事件 Ai ={掷出 i 点 } i =1,2,3,4,5,6

例如： S2 中


事件 A={2,4,6} 表示 “ 出现偶数点” ;

事件 B={1,2,3,4} 表示 “ 出现的点数不超过 4”.

显然它们都是样本空间的子集



1) 包含关系

三、事件间的关系与运算

S

AB

BA


如果 A 发生必导致 B 发生，则

BA ., ABBABA 且2 ）相等关系



S

A B

3) 和（并）事件 BA


事件发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .

BA

.中至少发生一个表示

AA退出前一页后一页目录



4) 积（交）事件 ABBA

S

A B

事件发生当且仅当

A , B 同时发生 .

BA

.同时发生表示所有

AA




考察下列事件间的包含关系：

AB BA A B

AB A

AB B

BA BA



5) 差事件 BA

S

A B

BA


A

S

BA

AB

BA 发生当且仅当 A 发生 B 不发生 .

BAABA



6) 互不相容（互斥）BA

7) 对立事件（逆事件）

SBABA

S

A

AB


SB

A

请注意互不相容与对立事件的区别！退出前一页后一页目录


互斥与互逆的区别：

两事件 A 、 B互斥： AB

两事件 A 、 B互逆或互为对立事件

即 A 与 B 不可能同时发生 .

除要求 A 、 B互斥 ( )外，还要求

AB

A+B=S


n 个事件互斥与两两互斥：

若 n 个事件 A1 ， A2 ，… ， An 中任意两个事件都互斥 , 则称这 n 个事件互斥 .

所以，若 n 个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥 .


对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么 .

也就是说，要正确无误地“互译”出来 .


例 1 ：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况 . 记 A={ 两件产品都是合格品 } ，

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 } ， i=1,2

212121 BBBBBB

21BBA 21 BB

A ={ 两件产品中至少有一个是不合格品 }

A=B1B2

问如何用 Bi 表示 A 和？A

A3 A4 A3 A4 如图 (1) 、 (2) 两个系统中令 Ai 表示第 i 个元件工作正常” , Bi 表示“第 i 个系统工作正常” .试用 A1, A2 , A3 , A4 表示 B1, B2. 解 : (1) B1 = A1A2∪A3 A4

(2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)

EX2 (1) A1 A2 (2) A1 A2


例 2，在 S4 中

事件 A={t|t1000}

表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000}

表示 “产品是合格品”

事件 C={t|t1500}

表示“产品是一级品”则 BA与

CA与CB 表示 “产品是合格品但不是一级品” ;

BCCB表示 “产品是是一级品” ;表示 “产品是合格品” .

是互为对立事件；是互不相容事件；



8) 随机事件的运算规律

幂等律 : AAAAAA ,

交换律 : ABBAABBA ,


结合律 : CBACBA

分配律 : CABACBA

De Morgan（德摩根）定律 :,

AA

CBACBA

AA

CABACBA



补充常用的关系及习题1. 甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设 A＝ {甲中 } ， B ＝ {乙中 } ，问各表示什么事件 ? 是否是相等事件？

2.一射手向目标射击3发子弹， Ai表示第次射击打中目标（ i＝ 1 ， 2， 3〕。试用 A1 ，A2，A3及其运算表示下列事件（ 1 〕 { 三发子弹都打中目标 } ＝ B （ 2 〕 {第一发子弹打中目标而第二，第三发子弹都未打中 } ＝ C（ 3 〕 { 三发子弹恰有一发打中目标 } ＝ D（ 4 〕 { 三发子弹至少一发打中目标 } ＝ E （ 5 〕 { 三发子弹至多一发打中目标 } ＝ F

BABA 与

解 : B ＝ A1A2A3

C= A1－A2－A3 ＝ A1－ (A2＋A3) ＝ A1Ā2Ā3

D ＝ A1∪A2∪A3 = S-Ā1Ā2Ā3 =

=A1∪Ā1A2∪Ā1Ā2A3

E = A1Ā2Ā3∪Ā1A2Ā3∪Ā1Ā2A3 ＝ G= A1A2A3∪Ā1A2A3∪A1Ā2A3∪A1A2Ā3

= A1A2∪A2A3∪A1A3

321321 AAAAAAS

F=Ā1 Ā2∪Ā1 Ā3∪Ā2 Ā3

=A1 Ā2 Ā3∪Ā1A2 Ā3∪Ā1 Ā2 A3∪Ā1 Ā2 Ā3


练习 P29 ：设 A, B, C 为三个随机事件，用 A, B, C 的运算关系表示下列各事件 .

（ 1 ） A 发生 .

A ABC CBACAB .CBA

(2) A 发生， B 与 C 都不发生 .

.CBA

(3) A ,B , C 都发生 .

.ABC

(4) A ， B , C 至少有一个发生 . .CBA




(5) A ， B , C 都不发生 .

.CBA(6) A ， B , C 不多于一个发生 .

CBA

(7) A ， B , C 不多于两个发生 .

CBA

.CBA (8) A ， B , C 至少有两个发生 .

BCACBACAB .BCACAB

.CBACBACBA

CBACBACBA BCACBACAB

ABC退出前一页后一页目录


§3 频率与概率

一频率的定义和性质

定义 : 在相同的条件下，进行了 n 次试验，在这

n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为

事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件

A 发生的频率，并记成 fn(A) 。



)()()()(

21

21

Af nAf nAf n

AAAf

k

kn

;1)(2 Sf n

则是两两互不相容事件，若 kAAA ,,,3 21


它具有下述性质 :

;1)(01 Af n

§3 频率与概率


退出前一页后一页


目录

在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小 . 这个性质叫做频率的稳定性 .

请看下面的试验

（二）频率的稳定性

§3 频率与概率

实验者德•摩根蒲丰K •皮尔逊K •皮尔逊

n nH fn(H)

2048

4040

12000

24000

1061

2048

6019

12012

0.5181

0.5096

0.5016

0.5005



§3 频率与概率



目录

§3 频率与概率



目录

频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小 . 尽管每进行一连串（ n 次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n 相当大，频率与概率是会非常接近的 .

因此，概率是可以通过频率来“测量”的 , 频率是概率的一个近似 .

频率概率§3 频率与概率

频率稳定值概率

事件发生

的频繁程度

事件发生

的可能性的大小

频率的性质概率的公理化定义



§3 频率与概率



目录

即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率 .

下面介绍用公理给出的概率定义 .

1933 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义 .

柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 .

§3 频率与概率

（三）概率的定义定义设 E 是随机试验， S 是它的样本空间，对于

E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A),

称为事件 A 的概率，要求集合函数 P( . )

满足下列条件： ;1)(20 SP

;)(010 AP

)()()( 2121 APAPAAP

则是两两互不相容事件若 ,,,3 20

1AA





目录

由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质 . 下面我们就来给出概率的一些简单性质 .

在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图 .

§3 频率与概率

4 ）概率的性质与推广

;0)(1 P性质则是两两互不相容事件若性质 ,,,,2 21 AAA n

)()()(

)(

21

21

APAPAPAAAP

n

n

)()()()()(3

APBPAPBPABPBA

性质

S

AB


)( ABAB


§3 频率与概率


第一章概率论的基本概念 §2等可能概型

目录

S

))(()( ABAPBP

0)( ABP

移项得 (6),

便得 (7) .

再由

)( ABA

)()( ABPAP 由可加性

性质 3 设Ａ、 B 是两个事件，若 ,

则有 (6) 　　　　　　　　　　　　

)()()( APBPABP

)()( APBP

BA

(7)

BA

;)(1)(5 APAP 性质

;1)(4 AP性质

S

A

AB



因为 AAS 互斥与AA

1=P(S)=P(A)+P( )A

§3 频率与概率

性质 5 在概率的计算上很有用，如果正面计算事件 A 的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算 P(A).



目录

§3 频率与概率


)(1)( APAP 于是 =0.518

1296

625 因此 = =0.482)(AP

6666 由于将一颗骰子抛掷 4 次 , 共有

=1296 种等可能结果 ,

5555 A而导致事件 ={4 次抛掷中都未出“ 6”

点 }

的结果数有 =625 种



目录

S

)()(

))(()(

ABBPAP

ABBAPBAP

BAB 又因

再由性质 3便得 (8) . )( ABBA

性质 6　对任意两个事件 A 、 B ，有　　　　　　　　　　　　

)()()()( ABPBPAPBAP (8)

AB AB

§3 频率与概率

)()()()()()()()(7

ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP

性质

)()()(8 ABPBPABP 性质

S

BA

第一章概率论的基本概念·

ABBAB


§3 频率与概率

性质 9 有个事件对任意 ,,,, 21 nAAAn


n

iiAP

1

n

iiAP

1

nji

ji AAP1

nkji

kji AAAP1

nn AAAP 21

11

要求：熟练掌握概率的性质。


§3 频率与概率



例 1 ：设 P(A)=1/3,P(B)=1/21) 若事件 A 与 B 互不相容，求 P( )2) 若 , 求 P( )3 〕若 P(AB)=1/8, 求 P( )

BABA BA

BA

例 2 ： A ， B 是 E 中两个事件，已知P(A)=0.3,P(A+B)=0.6, 求 P( )BA

§3 频率与概率


1 ）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有 n种，第二类有 m 种，则完成这件事共有 n+m 种方法。

3 ）排列：

(1) 有重复排列 : 在有放回选取中，从 n 个不同元素中取

r 个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为。

rn

四、排列组合公式

2 ）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有 n种方法，第二步有 m 种方法，则完成这件事共有 nm种方法。


§3 频率与概率


4 ）组合：（ 1 ）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为

（ 2 ）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为

)1()1( rnnnP rn

)!(!

!

!

)1()1(

rnr

n

r

rnnnrn

C rn

说明：如果把 n 个不同元素分成两组，一组 r个，另一组 n-r 个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有种。

)!(!

!

rnr

n



（ 2 ）多组组合：把 n 个不同元素分成 k 组 ,

使第组有个元素，，若组内元素不考

虑顺序，那么不同分法有种。

)1( nk

i in nnk

ii

1

!!

!

1 knn

n

（ 3 ）常用组合公式：

.2,

,,

00

11

nn

i

in

k

i

ikm

in

kmn

kn

kn

kn

knn

kn

CCCC

CCCCC

说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的退出前一页后一页目录

§4 等可能概型

等可能概型（古典概型）


生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：

样本空间的元素只有有限个；

每个基本事件发生的可能性相同。

即“ 有限等可能”。

一、等可能概型（古典概型）

我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概

率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。

第一章概率论的基本概念§4 等可能概型


设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得

}.{}{}{ 21 ne=PePeP

又由于基本事件两两互不相容；所以

},{}{}{}{1 21 nePePePSP

.,,2,1,1

}{ nin

eP i



若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek

},

则有： .)(

中基本事件总数包含的基本事件数S

A

n

kAP



例 1 把一套 4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？解：

第一章概率论的基本概念 §4 等可能概型

将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一

个基本事件，共有放法 4！种。

把书恰好排成序有两种放法。

所以，所求概率为 0833.0!4

2p


例 2 （分球入盒）将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率 ( 设盒子的容量不限）。

,种放法nNNNN

解：将 n 只球放入 N 个盒子中去 , 共有

而每个盒子中至多放一只球 , 共有,)]1([)1( 种放法n

NPnNNN

.)]1([)1(

n

nN

n N

P

N

nNNNp

故


思考：某指定的 n 个盒子中各有一球的概率。

§4 等可能概型



§4 等可能概型

目录

例 3 （生日问题）有 r 个人，设每个人的生日是 365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率 .

r

rPAP

)365()( 365

r

rPAPAP

)365(1)(1)( 365

A为求 P(A), 先求 P( )

解：令 A={至少有两人同生日 }

={ r 个人的生日都不同 }A则


第一章概率论的基本概念 §2等可能概型

目录

用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476)(AP

美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了 22 个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日 .

即 22 个球迷中至少有两人同生日的概率为 0.476.


§4 等可能概型

目录

表 3.1 人数至少有两人同生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的 . 实际上 , 这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过 23 时，打赌说至少有两人同生日是有利的 .

（分组问题）例 4： 30名学生中有 3名运动员，将这 30名学生平均分成 3组，求：（ 1）每组有一名运动员的概率；（ 2） 3名运动员集中在一个组的概率。解 :设 A为“每组有一名运动员”这一事件 ;B为 “3名运动员集中在一组”这一事件。

!10!10!10

!30)( 10

101020

1030 CCCSN

203

50

)(

!9!9!9!27

!3)(

SNAP

)(!10!10!7

!273

)(SN

BP

例 * 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A ={ 5 颗骰子不同点 } ； B ={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 } ； C ={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同是另一个点数 }．

；4630.0 56

35

625

PCBP

所以

所含样本点数为事件 B

AP所以

个共有颗骰子，所有可能结果同时掷 565


解：

56

56

P

，35

625

PC


03858.0 56

26

25

PCCP

所以，

所含样本点数为事件C

第一章概率论的基本概念等可能概型§4 等可能概型

，26

25

PC


古典概率的常用的几种类型：1 抽球问题2 分球入盒问题3 分组问题4 随机取数问题等


例 5 （抽球问题）设有 10件产品，其中有 4 件次品，从中任取3件，每次取一件不放回，连取三次；求下列事件的概率：A: 所取 3件均为正品； B: 3件均为次品；C :3件中恰有一件为次品； D: 直到第3次才取到正品。解 :.不考虑所取3件的次序，可能结果为组合问题得样本空间样本点数 : n=C10

3 所取3均为正品的样本点数：m A=C6

3 所取3件均为次品的样本点数 : m B=C4

3 m C= C31C6

2C41

m D=4×3×6 =72 则 P(A)=1/6 ,P(B)=1/30 ，P(C)=3/5 ， P(D)=1/10

例 6 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?

种，nNC

又在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有

种，knMNC 在 N-M 件正品中取 n-k 件 , 所有可能的取法有

种，kMC

解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有不放回抽样1 ）



于是所求的概率为：

nN

knMN

kM

C

CCp

此式即为超几何分布的概率公式。

由乘法原理知：在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k

件次品的取法共有种，kn

MNkM CC



2 ）有放回抽样

而在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有

于是所求的概率为：

knkkn MNMC )(

从 N 件产品中有放回地抽取 n 件产品进行排列，可能的排列数为个，将每一排列看作基本事件，总数为。

nNnN

knkknn

knkkn

N

M

N

MC

N

MNMCP

)1()()(

此式即为二项分布的概率公式。



例 7 某厂家称一批数量为 1000 件的产品的次品率

为 5% 。现从该批产品中有放回地抽取了 30 件，经

检验发现有次品 5 件，问该厂家是否谎报了次品率？解：


假设这批产品的次品率为 5% ，那么 1000 件产品中有次品为 50 件。这时有放回地抽取 30 件，次品有 5

件的概率为 255530 )

1000

501()

1000

50( Cp 014.0


人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件

在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推

断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟

然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。



例将 n 个男生和 m 个女生 (m<n) 随机地排成一列 , 问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？

解：


任意两个女生都不相邻时，首先 n 个男生的排法有 n!种，每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有

队列两侧各有一个位置可以站女生，这样 m 个女生共有 n+1 个位置可以站，

所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为

)!(

!! 1

mn

Cmnp

mn

n+m 个学生随机地排成一列共有排法 (n+m)!种

!1mC mn总共排法有种。

mmn

mn

C

C

1


思考题：如果这 n+m 个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不相邻的概率是多少？


)/( 1m

mnmn CC


例 8 袋中有 a只白球， b 只黑球．从中将球取出依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的概率．

．种排法（样本点总数）成一列共有个球中将球取出依次排从 )!( baba

解：设 A=“第 k 次取出的球是黑球”

．所含样本点数为种，因此事件次取出黑球，有取法第

)!1()!1(

babAbabk


无关．注意：此结果与次数 k

．所以，ba

b

ba

babAP

)!(

)!1(

§4 等可能概型


§4 等可能概型例 9 将一颗骰子抛掷 4 次，问至少出一次“ 6” 点的概率是多少？令事件 A={至少出一次“ 6” 点 }

A 发生 { 出 1 次 6 点 } { 出 2 次“ 6” 点 }

{ 出 3 次“ 6” 点 }{ 出 4 次“ 6” 点 }

直接计算 A 的概率较麻烦 , 我们先来计算A 的对立事件

A={4 次抛掷中都未出“ 6” 点 }

的概率 .

例 10 从 1～ 9 这 9 个数中有放回地取出 n 个 .

试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率．解： A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除 } ； B ={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 } ； C ={取出的 n 个数至少有一个 5 } ．则 A = B ∩C.

BCP1 CBP 1

CBPCPBP 1

n

n

n

n

n

n

9

4

9

8

9

51

BCPAP



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