第八章 离散系统理论第八章 离散系统理论 第八章 离散系统理论第八章 离散系统理论

8.1 离散系统的基本概念8.2 信号的采样与保持

8.3 Z 变换与 Z 反变换

8.4 离散系统的数学模型

8.5 稳定性与稳态误差8.6 离散系统的动态性能分析

End

本章作业

有关概念有关概念

A/D D/A数字控制器 被控对象

测量元件

e*(t)

数字计算机

r(t) e(t) u*(t) uh(t) c(t)

_

计算机控制系统典型原理图

2. 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：

A/D ：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。

1. 离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。

D/A ：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。

8.18.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念8.18.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

(a) 连 续 信号

t(b) 离散信号

t(c) 离散量化信号

t

A/D D/A数字控制器 被控对象

测量元件

e*(t)

数字计算机

r(t) e(t) u*(t) uh(t) c(t)

_

计算机控制系统典型原理图

离散控制系统的特点

1. 校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。

2. 采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力。

3. 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率。

4. 可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。

e*(t)=e(t)δT(t), 其中 为理想单位脉冲序列。则：

8.28.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 8.28.2 信号的采样与保持信号的采样与保持

0

)()(n

T nTtt

0

* )()()(n

nTtnTete

0

** )()]([)(n

nTsenTeteLsE对上式取拉氏变换 ,得例 8.1 e(t)=eat, 试写出 e*(t) 表达式。

0

)()(n

anT nTtete 解：

物理意义：可看成是单位理想脉冲串 T (t) 被输入信号 e(t)进行调制的过程，如右图所示。 在图中， T(t) 为载波信号； e(t) 为调制信号； e*(t)为理想输出脉冲序列。

8.2.1 采样过程与采样定理

e(t)

t

e*(t)

te(t) e*(t)S

采样过程采样过程 数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。

8.1 8.3 8.4 8.5 8.68.2.2

--- 设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 1. 问题的提出 连续信号 e(t) 经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了 e(t) 所含的信息。

采样定理采样定理

(a) 连 续 信号

t(b) 离散信号

t

2. 定性分析 如果连续信号 e(t) 变化缓慢（最大角频率 max 较低〕，而采样角频率 s 比较高（即采样周期 T=2/s 较小〕，则 e*(t) 基本上能反映 e(t) 的变化规律。

3. 采样定理（香农定理） 如果采样器的输入信号最高角频率为 ωmax ，则只有当采样频率 ωs≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。

怎样才能使采样信号 e*(t) 大体上反映 e(t) 的变化规律呢？

8.2.2 信号复现及零阶保持器 信号复现 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装

置称为保持器或复现滤波器。

eh(t)e*(t)

e*(t)

t 零阶保持器

eh(t)

t

零阶保持器的数学表达式为 e(nT+△t)=e(nT) ；其脉冲响应为 gh(t)=1(t)-1(t-T) ，传递函数为

s

e

s

e

stgLsG

TsTs

hh

11)]([)(

零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零阶保持器的输入输出特性可用下图描述。

8.2.1

8.38.3 Z Z 变换与变换与 ZZ 反变换反变换8.38.3 Z Z 变换与变换与 ZZ 反变换反变换8.3.1  Z 变换

1. Z 变换的定义

0

** )()]([)(n

nTsenTeteLsE

2. Z 变换方法 (1) 级数求和法 将 Z 变换的定义式展开： E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+…+ e(nT)z-n+…

(2) 部分分式法对于常用函数 Z 变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。

① 先求出已知连续时间函数 e(t) 的拉氏变换 E (s) ；② 将 E (s)展开成部分分式之和的形式；③ 求拉氏反变换，再求 Z 变换 E(z) 。

即为 Z 变换的定义式。 称 E(z) 为 e*(t) 的 Z 变换 , 记作 Z[e*(t)]=E(z), 或 Z[e(t)]=E(z)

8.1 8.4 8.5 8.68.28.3.2性质 动画演示

0

* )()()(n

nTtnTete 由上节已知

令 z=eTs , 则 =e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…

0

)()(n

nznTezE

对比 (2) 中结果，有

11)()( 0

0

zznTezEn

n

1)|z(|11

1zz1)(1)(

12--1

0

z

z

zznTzE

n

n

1)|z(|11

1zz1)()(

12--1

0

z

z

zznTzE

n

nT

(4) 单位斜坡信号 e(t)=t ，则

0

)(n

nznTZE

3. 典型信号的 Z变换

两边同乘 (-Tz) ，得单位斜坡信号的 z 变换

两端对 z求导数，得

10

z

zz

n

n

20

1

)1(

1)(

zzn

n

n

)1(,)1( 2

0

zz

TzznT

n

n

(3) 单位理想脉冲序列 e(t)=δT(t)

(1) 单位脉冲函数 e(t)=δ(t)

(2) 单位阶跃函数 e(t)=1(t)

(5) 指数函数 e(t)=e-at(a 为实常数〕，则

(*)1

)(

33221

0

zezeze

zeZE

aTaTaT

n

nanT

这是一个公比为 (e-aTz-1) 的等比级数，当 | e-aT z-1 |<1 时，级数收敛 , 则可写成闭合形式 (**)

1

1)(

1

aTaT ez

z

zeZE

所以

利用 (*)、 (**) 式，有

(6) 正弦信号 e(t)=sin t , 因为 )(2

1sin tjtj ee

jt

])()([2

1

)(2

1)(

00

0

n

nnTj

n

nnTj

n

nnTjnTj

zezej

zeej

zE

1cos2

sin

]1)(

)([

2

1][

2

1)(

2

2

Tzz

Tz

eezz

eez

jez

z

ez

z

jzE

TjTj

TjTj

TjTj

进行部分分式展开，有

:)(,)1(

1)()7( 变换的设 zte

sssE

1

11

)1(

1)(

sssssE

再取拉氏反变换

参照 (2)和 (5), 得

tetss

Lte

)(1]1

11[)( 1

))(1(

)1(

1])(1[)(

T

T

Tt

ezz

ez

ez

z

z

zetZzE

44.. ZZ 变换的性质变换的性质 (1) 线性定理

若 E1(z)=Z[e1(t)] ， E2(z)=Z[e2(t)] ， a 为常数，则 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z) ， Z[ae(t)]=a E(z)

例 8.2 已知 e(t)=1(t-T), 求 Z 变换 E(z) 。

1

1

1)](1[)](1[ 11

zz

zztzzTtZ

(3) 复数位移定理 已知 e (t) 的 Z 变换为 E(z) ，则有

2)1(

)(][

aT

aTat

ez

ezTetZ根据复数位移定理，有

例 8.3 已知 e(t)=t e-at, 求 Z 变换 E(z) 。2)1(

][

z

TztZ

Z[e(t) ]=E(z e ±aT)ate

])()([1

0

k

n

nk znTezEz

(2) 实数位移定理若 E(z)=Z[e(t)] ，则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]=

解：

解：已知单位斜坡信号的 z 变换为

8.3.28.3.1

(4) z 域微分定理若 e (t) 的 z 变换为 E(z) ，则

)]([)]([ zEdz

dTztetZ

若 e (t) 的 z 变换为 E(z) ，则 Z[ane(t)]=E(z/a) , a 为常数

例 8.4 试求 ncost 的 Z变换。

1cos2

)cos(][cos

2

Tzz

TzztZ

1cos2)(

)cos(]cos.[

2

Tzz

Tzz

tZ n

则

221

1

cos21

cos1

zTz

Tz

(5) z域尺度定理

解：由变换表

(6) 初值定理

)(lim)]([lim0

zEtezt

若 e (t) 的 z 变换为 E(z) ，函数序列 e(nT) 为有限值 (n=0,1,2,…) ，且极限 存在，则 )(lim nTe

n

)()1(lim)]([lim1

zEznTezn

设 x(nT)和 y(nT) 为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT)y(nT)= ，则卷积定理为：Z[x(nT)y(nT)]=X(z)Y(z)

0

])[()(k

TknykTx

)(lim zEz

若 e (t) 的 z 变换为 E(z) ，并有极限 存在，则

(7) 终值定理

(8) 卷积定理

8.3.2 Z 反变换• 从 Z 域函数 E(z)求时域函数 e*(t) ，叫做 Z 反变换。

– 记作 Z-1[E(z)]= e*(t) 。

例 8.5 已知 z 变换函数 ，试求其 z 反变换。)2)(1(

10)(

zz

zzE

解：首先将 E(z)/z展开成部分分式

2

10

1

10

)2)(1(

10)(

zzzzz

zE

210

110)(

z

z

z

zzE所以

n

z

zz

z

zz 2]

2[,1]

1[ 11

查表可得

所以 e(nT)=(-1+2n)10

e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+… =0+10(t-T)+30(t-2T)+ 70(t-3T)+…

1. 部分分式展开法 部分分式展开法是将 E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查 Z 变换表找出相应的 e*(t) 。因 Z 变换表中 Z 变换函数分子普遍有因子 Z ，所以应将 E(z)/z展开成部分分式。

性质8.3.1

aTez

z

z

zzE

1

)(所以

例 8.6 已知 z 变换函数试求其 z 反变换。 ))(1(

)1()(

aT

aT

ezz

zezE

解： 因为 aTaT

aT

ezzezz

e

z

zE

1

1

1

))(1(

1)(

所以 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+… =0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+…

2. 幂级数法（综合除法 )

2--1

0

e(2T)ze(T)ze(0))()(n

nznTezE

2-

2-1

1022

11

22

110 zczcc)(

1)( nm

zazaza

zbzbzbbzE

nn

mm

0

* )()(n

n nTtcte

查表得 e(t)=1(t)-e-at 则 e(nT)=1-e-anT

由 Z 变换的定义

而

则 c0,c1,c2,…就是脉冲序列 e*(t) 各采样点的值 e(nT) , 所以

8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.4.1 线性常系数差分方程及其解法

)()1()(

)()2()1()(

10

21

mkrbkrbkrb

nkcakcakcakc

m

n

工程中常用迭代法和 Z 变换法来求解差分方程：1. 迭代法

根据给定差分方程和输出序列的初值，则可以利用递推关系，一步一步算出输出序列。

2.Z变换法 用 Z 变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取 Z 变换，并利用 Z 变换的位移性质，得到以 z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解 C(z) 取 Z 反变换即求得输出序列。

式中： k— 第 k 个采样时刻； n— 系统的阶次。

一般 n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用n阶常系数差分方程描述。

8.1 8.3 8.5 8.68.2

8.4.2 脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义和意义 零初始条件下，系统输出 C(t) 的 z 变换 C(z) 与输入 r(t) 的 z

变换 R(z) 之比，称为脉冲传递函数，即 G(z)=C(z)/R(z) 。 若输入 r(t)=δ(t), 则 C(z)=G(z)R(z)=G(z), g*(t)=Z-1[G(z)] 。即

连续系统的脉冲响应采样后的 Z 变换即为脉冲传递函数。

)()()(),()()() 21 zDzGzCzRzGzDa

)(

)()(),()()()( 21 zR

zCzGzRzGzGzC

)()()() 21 sGsGsGb

)()]()([)( 2121 zGGsGsGZzG 记为

中：和在 )) ba

开环脉冲传递函数1. 串联环节

)()()( 2121 zGzGzGG

2. 有零阶保持器的情况

)(])(

[)(1 zRs

sGZzC p

)()( 11

2 zCzzC

)(])(

[)1()()()( 121 zR

s

sGZzzCzCzC p

])(

[)1()(

)()( 1

s

sGZz

zR

zCzG p

)()()( 1 sRsGsE )()( 1 zRGzE

)()()( 2 zEzGzC

)()()( 12 zRGzGzC

3. 连续信号进入连续环节

-

-

闭环脉冲传递函数)()()()1 sBsRsE )()()()( * sEsHsGsR

)()]()([)()( **** sEsHsGsRsE

)()()()( zEzGHzRzE

)(1

)()(

zGH

zRzE

)(1

)()()()()(

zGH

zRzGzEzGzC

)(1

)()(,

)(1

1)(

zGH

zGz

zGHze

)()()()()()2 21 zEzHGzGzRzE

)()(1

)()()()()()()(

21

2121 zHGzG

zRzGzGzEzGzGzC

)()()()()()()3 * sCsHsGsRsGsC )()()()( zCzGHzGRzC

)(1

)()(

zGH

zGRzC

)()(1

)()()(,

)()(1

1)(

21

21

21 zHGzG

zGzGz

zHGzGze

动画演示

S 域的虚轴映射成 Z 域的圆周；左半 S 平面映射在圆周内，右半S 平面映射在圆周外。

8.58.5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差8.58.5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差

一、 S域到 Z域的映射

二、离散系统稳定的充要条件1. 时域中：特征方程的根满足│ ai│<1 ( 了解即可〕2. Z 域中：特征方程 1+HG(z)=0 的模│ zi│<1 ( 牢固掌握 )

三、离散系统的稳定性判据双线性变换与劳氏判据：1. 双线性变换

,1

1

w

wz

1

1

z

zw

2. 劳氏判据 : 形式同连续系统。

8.1 8.3 8.4 8.68.28.5.2例8.5.1 稳定性判据 动画演示

动画

设系统的结构图如下图所示，采样周期 T=1s 。设 K=10 ，试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。

例 8.7

解： ⑴ 由图得

)1(

)1(10

)1(

)1()(

22

ss

e

ss

eKsG

sTs

368.0368.1

)264.0368.0(10)(

2

zz

zzG

331.2

64.268.3

)(1

)()(

2

zz

z

zG

zGz

由此得系统特征方程为 z2+2.31z+3=0求解得一对共轭复根 1=-1.156＋ j1.29 ， 2=-1.156-j1.29分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。

)1( ss

K C(s)R(s) s

e Ts1

——

8.5.1 8.5.2

由 1 ＋ G(z)=0 求得系统特征方程为 z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0

⑵ 由系统开环脉冲传递函数

368.0368.1

)264.0368.0()(

2

zz

zKzG

0104.0736.2

0528.0264.1

0632.0

K

K

K

得到系统的临界放大系数为 : Kc=2.4

列劳氏表计算 w2 2.736-0.104K 0.632K w1 1.264-0.528K 0 w0 0.632K

为使系统稳定，须有

进行 w 变换得 (2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0

动画演示

1. 终值定理法

8.5.2 稳态误差的计算

)](1[

)()1(lim)()1(lim)(lim)(

1

1

1

*

zGz

zRzzEztee

zzt

2. 误差系数法 (1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t)

)](1[lim1

zGKz

p

(2) 单位斜坡输入时 r(t)=t

1)(

z

zzR

2)1()(

z

TzzR

)()1(lim1

1zGz

TK

zv

(3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2

3

2

)1(2

)1()(

z

zzTzR

)()1(lim1 2

12zGz

TK

za

8.5.1 例 动画演示

设系统的结构图如下图所示， K=1, T=0.1s ,r(t)=1(t)+t, 求系统的稳态误差。

例 8.8

系统的稳态误差为

解：系统的开环传递函数为

))(1(

)1(

)1()1(

)1(

1)1()(

21

21

T

T

ezz

ze

z

Tzz

ssZzzG

把 T=0.1 代入化简得 )905.0)(1(

)9.0(005.0)(

zz

zzG

)905.0)(1(

)9.0(005.01lim)](1[lim

11 zz

zzGK

zzp

1)905.0)(1(

)9.0(005.0)1(lim

1.0

1)()1(lim

111

zz

zzzGz

TK

zzv

111

)( vp KK

e

)1( ss

K C(s)R(s) s

e Ts1

——

一般假定外作用为单位阶跃函数 r(t)=1(t) ，此时 R(z)=z/(z-1) ，则系统输出量的 Z 变换函数为

8.68.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析8.68.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析

一、时间响应

)(1

)( zz

zzC

然后用长除法，将 C(z) 展成无穷幂级数： C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+…+ Cnz-n

在 C*(t)—t 坐标中描出点 (kT, Ck ), k=0,1,2,…n ，则得阶跃响应脉冲序列。

则得单位阶跃作用下的输出序列为 C(kT)=Ck , k=0,1,2,…n

将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。

8.1 8.3 8.4 8.58.2

闭环复极点与动态响应的关系

二、闭环极点与动态响应的关系

闭环实极点与动态响应的关系

本 章 作 业本 章 作 业本 章 作 业本 章 作 业

( P436)

• 8-1(1)• 8-2(3, 6)• 8-4• 8-9(1)• 8-10