第二章 实数第二章 实数2.2. 平方根平方根 (( 一一 ))

北师大版数学八年级上册

1

1

1

1

a

a

如图所示 , 右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的 , 请表示 a2= .2

请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

x2= ，

y2= ，

z2= ，

w2= ． 1

1 1

1

1

A

BO

C

D

E

xyz

w

2

3

4

5

x2=2 ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？

一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 = a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a ”．

特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0 ，即

． 00

例 1 求下列各数的算术平方根：

（ 1 ） 900 ；（ 2 ） 1 ；（ 3 ） ；（ 4 ） 14 ．64

49

解 :(1) 因为 302=900, 所以 900 的算术平方根是 30,

即 ;

(2) 因为 12=1, 所以 1 的算术平方根是 1, 即 ;

(3) 因为 , 所以 的算术平方根是 ,

即 ;

(4)14 的算术平方根是 .

30900

11

64

49)

8

7( 2

64

49

8

7

8

7

64

49

14

非平方数的算术平方根只能用根号表示 .

如图所示 , 右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的 , 请表示 a= .

1

1

1

1

a

a

2

请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

1

1 1

1

1

A

BO

C

D

E

xyz

w

x2=2 ， x= ;

y2=3 ， y = ;

z2=4 ， z = ;

w2=5,w = .

2

3

5

2

例 2 自由下落物体的高度 h （米）与下落时间 t （秒）的关系为 h=4.9 t2 ．有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

解 : 将 h=19.6 代入公式

h=4.9 t2,

得 t2 =4, 所以 t = =2( 秒 ).

即铁球到达地面需要 2 秒 .

4

式子 的两层含义 :

(1) a≥0 ;

(2) ≥0 .

a

a

例 3 如果将一个长方形 ABCD 折叠，得到一个面积为 144cm2 的正方形 ABFE ，已知正方形 ABFE的面积等于长方形 CDEF 面积的 2 倍，求长方形ABCD 的长和宽．

A

B C

DE

F

解：设正方形 ABFE 的边长为 a,

有 a2 = 144 , 所以 a = =12,

所以 AB = AE =EF=CD= 12.

又因为 SABFE=2SCDEF ,

设 FC=x ,

所以 144=2×12x ,

x = 6 .

所以BC=BF+FC=12+6=18(cm).

所以长方形的长为 18cm, 宽为 12cm.

A

B C

DE

F

144

一、填空题： 1 ．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；

2 ． 的算术平方根是 ；

3 ． 的算术平方根是 ；

4 ．若 ，则 = ．

7

9

2)3

2(

22 m 2)2( m

7

3

3

2

16

二、求下列各数的算术平方根：

36 ， ， 15 ， 0.64 ， ， ， ． 144

121 410 2250)

6

5(

解 :(1) 因为 62=36, 所以 36 的算术平方根是 6, 即 ; (2) 因为 , 所以 的算术平方根是 ,

即 ;

(3) 15 的算术平方根是 ; (4) 因为 0.82=0.64 , 所以 0.64 的算术平方根是 0.8 , 即 ; (5) 因为 , 所以 10-4 的算术平方根是 10-2 , 即 ; (6) 因为 , 所以 的算术平方根是 ; (7) 因为 , 所以 的算术平方根是 1.

636

144

121)

12

11( 2

144

121

12

11

12

11

144

121

15

8.064.0 422 10)10( 24 1010

1515225 225

1)6

5( 0 0)

6

5(

三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷．若绳子的长度为 5.5 米，地面固定点 C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是 4.5 米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

A

B C

解 : 由题意得 AC=5.5 米 ,

BC=4.5 米 , ∠ABC=90°,

在 Rt△ABC 中 , 由勾股定理得

( 米 ).

所以帐篷支撑竿的高是 米 .

10

5.45.5 22

22

BCACAB

10

A

B C

xy 已知 ，求 的值．已知 ，求 的值．042 yx xy 已知 ，求 的值．已知 ，求 的值．042 yx

• 解：因为 和 都是非负数，• 并且 ，• 所以 ， ，• 解得 x=2 ， y= -4 ，• 所以 ．

4y

042 yx

2x

02 x 04 y

16)4( 2 xy

练习练习1 ．已知 ，求 x+y+z 的值．2 ．若 x ， y 满足 ，求 xy的值．3 ．求 中的 x ．4 ．若 的小数部分为 a ， 的小数部分为 b ，求 a+b 的值．5 ．△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，且a ， b 满足 ，求 c 的取值范围

02

32

2

1 2 zyx

52112 yxx

55 xx

115 115

0441 2 bba

（ 1 ）算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：

a一是 a≥0 ， 二是 ≥ 0 ．a

（ 2 ）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是 0 ；负数没有算术平方根．（ 3 ）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

习题 2.3