第 2 章 电路的基本分析方法

2.1 简单电阻电路分析

2.2 复杂电阻电路分析

2.3 电压源与电流源的等效变换

2.4 电路定理

2.5 含受控源 电阻电路分析

2.6 非线性电阻电路的分析

2.1 简单电阻电路分析

2.1.1 2.1.1 电阻的串联电阻的串联

nRRRR 21

分压公式 IRU kk UR

Rk

两个电阻串联时

URR

RU

21

11

URR

RU

21

22

R1

I

+

U

－

R2

+U1

－+U2

－

n 个电阻并联可等效为一个电阻

I1 I2 In

R1

I

+

U

－

R2 Rn R

I

+

U

－

nRRRR

1111

21

2.1.2 2.1.2 电阻的并联电阻的并联

I1 I2 In

R1

I

+

U

－

R2 Rn R

I

+

U

－

分流公式k

k R

UI I

R

R

k

两个电阻并联时

IRR

RI

21

21

IRR

RI

21

12

I1 I2

R1

I

+

U

－

R2

是以支路电流为未知量，直接应用 KCL 和 KVL 或欧姆定律，分别对节点和回路列出所需的方程式，然后联立求解出各未知电流。

步骤：①设各支路电流的方向，选定网孔回路的绕行方向；②根据 KCL 可列出节点电流方程式；③ 根据KVL 可列出 KVL 方程式；④联立电压电流方程求解可得出各支路电流。

2.2 复杂电阻电路分析2.2.1 2.2.1 支路电流法支路电流法

① 设各支路电流的方向，选定网孔回路的绕行方向；

②根据 KCL 可列出节点电流方程式；

+ E1

－

I1

R1

I2

I3 R2

R3 + E2

－

a

b

Ⅰ Ⅱ

+ E1

－

I1

R1

I2

I3 R2

R3 + E2

－

a

b

Ⅰ Ⅱ

0321 III

例 1 ：如图示电路用支路电流法求各支路电流。

③ 根据 KVL 可列出 KVL 方程式；

0321 III

13311 ERIRI

23322 ERIRI

13311 ERIRI

23322 ERIRI

+ E1

－

I1

R1

I2

I3 R2

R3 + E2

－

a

b

Ⅰ Ⅱ

+ E1

－

I1

R1

I2

I3 R2

R3 + E2

－

a

b

Ⅰ Ⅱ

④联立电压电流方程求解可得出各支路电流

解得： I1= － 1A ； I2=1A

I1<0 说明其实际方向与图示方向相反。

对节点 a 列 KCL 方程：I2=2+I1

【例】如图所示电路，用支路电流法求各支路电流

2A

I1

I2

+ 5V

－

a

b

10Ω

5Ω

解： 2 个电流变量 I1 和 I2 ，只需列 2 个方程。

对图示回路列 KVL 方程：5I1+10I2=5

2.2.2 2.2.2 节点电压法节点电压法

节点分析法指以节点电压为电路的独立变量来列写方程的方法。这里的节点电压是指各节点与参考点之间的电压，即各节点的电位。

例：如图电路，求 U

+Us1

－

I1

R1

I2Is1

R2

R3－ Us2

+

I3Is2

+

U

－

根据 KCL 有： I1+I2-I3-Is1+Is2=0

设两节点间电压为 U，则：

1

11 R

UUI s

2

22 R

UUI s

33 R

UI

+Us1

－

I1

R1

I2Is1

R2

R3－ Us2

+

I3Is2

+

U

－

321

212

2

1

1

111RRR

IIR

UR

U

Uss

ss

因此可得：

R

IR

Us

s

1

弥尔曼公式：弥尔曼公式：

+Us1

－

I1

R1

I2Is1

R2

R3－ Us2

+

I3Is2

+

U

－

式中分母的各项总为式中分母的各项总为正，分子中各项的正负符正，分子中各项的正负符号为：电压源号为：电压源 UUss 的参考方的参考方向与节点电压向与节点电压 UU 的参考方的参考方向相同时取正号，反之取向相同时取正号，反之取负号；电流源负号；电流源 IIss 的参考方的参考方向与节点电压向与节点电压 UU 的参考方的参考方向相反时取正号，反之取向相反时取正号，反之取负号。负号。

321

212

2

1

1

111RRR

IIR

UR

U

Uss

ss

对只有两个节点的电路，可用弥尔曼公式直接求出两节点间的电压。

+Us1

－

I1

R1

I2Is1

R2

R3－ Us2

+

I3Is2

+

U

－

例：用节点电压法求图示电路各支路电流。

解：

求出 U后，可用欧姆定律求各支路电流。

+US1

－

I1

R1

I2

R2

－ US2

+

IS

+

U

－

1Ω 6Ω

6V8V

0.4AI3

R3 10Ω

V4

10

1

6

1

1

1

4.06

8

1

6

111

321

2

2

1

1

RRR

IR

U

R

U

US

SS

A21

46

1

11

R

UUI S

A26

48

2

22

R

UUI S

A4.010

4

33

R

UI

+US1

－

I1

R1

I2

R2

－ US2

+

IS

+

U

－

1Ω 6Ω

6V8V

0.4AI3

R3 10Ω

2.3 电压源与电流源的等效变换

在电路分析中常常利用“等效”的概念将多个元件组成的电路化简为只有少数几个元件组成的电路，从而使电路简化，然后在这一个简化的电路中求电流或电压， 包括电阻的等效、电源的等效。

2.3.1 等效变换的概念

i

-

+ u N1

i

-

+ u N2

2.3.2 电压源与电流源的等效变换1. 理想电源的等效分析

（ 1 ）恒压源的串、并联 I

I

+

- E

+

- E1

+

- E2

+

- E3

+

-

U

+

-

U

n

iiE

EEEE

1

321

注意：当数个恒压源并联时只有电动势相等的恒压源才允许并联。

（ 2 ）恒流源的串、并联

IS1 IS2 IS3

· · · ·

I

IS

I

+

-

U

+

-

U

注意：当数个恒流源串联时只有电流相等的恒流源才允许串联。

n

iiSSSSS IIIII

1321

（ 3 ）恒流源与恒压源的串、并联当恒压源与恒流源相串联时，

当恒流源与恒压源并联时，

由两图可以看出与恒流源串连的元件可以视为一个多余元件，同样与恒压源并连的元件也可以视为一个多余元件。

¯

I

+

U

+

- E

IS

¯

+

U IS

I

a

b

a

b

¯

+

U IS

¯

+

U +

- E

+

- E

a

b

a

b

2. 实际电源的等效分析

电压源或电流源向同一个负载电阻供电，若能产生相同的供电效果，即负载电阻上的电压和电流分别相同，则这两个电源是等效的。

¯

+

U

+

- E

I

R0

¯

+

U IS

I

R'0

¯

+

U

+

- E

I

R0

¯

+

U IS

I

R'0

由图（ a）可知， 0IREU

由图（ｂ）可知 '' 00 IRRIU S

两者等效，因此 '00 RR SIRE 0和

注意：进行等效变换时，两种电源的极性要一致，即恒流源流出电流的一端与恒压源的正极性端相对应。

（ a ） （ b ）

例：求电流 I1 和 I2 。

A13510

52

I

A121221 II

求图所示二端网络的电压源形式的最简等效电路。

b

a 2Ω

+

- 2V

2.4 电路定理

2.4.1 叠加定理如果线性电路中有多个电源共同作用，则任何一条支

路的电流或电压等于电路中各个电源分别单独作用时在该支路所产生的电流或电压的代数和。

每一个独立源单独作用时，其他电源以零值代替（除源）。即恒压源以短路线代替，恒流源以开路线代替。

例：用叠加定理求 I和 U。

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2A 2Ω

+

- 4V

+

- U

I

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2Ω

+

- 'U

'I

+

- 4V

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2A 2Ω

+

- ''U

''I

（ 1 ）电压源单独作用时的等效电路如图所示：

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2Ω

+

- 'U

'I

+

- 4V

AI 122

4'

VU 212'

由欧姆定律得：

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2A 2Ω

+

- 4V

+

- U

I

（ 2 ）电流源单独作用时的等效电路如图所示

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2A 2Ω

+

- ''U

''I

AI 12

2''

VU 212''

2Ω I1

G1

I2

IS1 G2

A

B

+

- E1

+

- UAB

2A 2Ω

+

- 4V

+

- U

I

（ 3 ）两电源共同作用时：

AIII 211'''

VUUU 422'''

如图所示，已知E1=3V ， E2=6V ， R1=3Ω ， R2=6Ω ， R3=2Ω 。用戴维南定理计算电流 I。

R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

R3

R0

+

- UOC

I

2.4.2 等效电源定理1 、戴维南定理 （ Thevenin’s theorem ）

对外电路来说，任何一个线性有源二端网络，都可以用恒压源和电阻串联的支路来代替。其恒压源的电压等于线性有源二端网络的开路电压 U0C ，电阻等于线性无源二端网络的等效电阻 R0 ，这就是戴维南定理戴维南定理。

恒压源和电阻串联的支路称为戴维南等效电路。

如图所示，已知E1=3V ， E2=6V ， R1=3Ω ， R2=6Ω ， R3=2Ω 。用戴维南定理计算电流 I。

R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

R3

R0

+

- UOC

I

（ 1 ）断开 R3 支路，先求开路电压 U0C

含源支路的欧姆定律得 :

1110C RIEU

2120C RIEU 代入数据得：

10C 33 IU

10C 66 IU

解得： U0C=4V

R1

+

- E1

R2

+

- E2

a

b

1I

R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

（ 2 ）再求等效电阻 RO

电路中的两个电压源均以零值代替（短路），这时二端网络为无源二端网络，等效电阻为：

263

63

21

210 RR

RRR

R1 R2

a

b

R1

+

- E1

R2

+

- E2

a

b

1I

（ 3 ）最后求电流原电路等效为如图所示电路，由全电路欧姆定律得：

A

RR

UI 1

22

4

30

0C

+

- U0C

R0

R3

I

2 、诺顿定理对外电路来说，任何一个线性有源二端网络，都可以

用恒流源和电阻并联的支路来代替。其恒流源的电流等于线性有源二端网络的短路电流 ISC ，电阻等于线性无源二端网络的等效电阻 R0 ，这就是诺顿诺顿定理定理。

¯

+

U0C

I a

b

有源

二端

网络

¯

+

U0C ISC

I

R0

a

b

电路如图所示，已知E1=3V ， E2=6V ， R1=3Ω ， R2=6Ω ， R3=2Ω 。用诺顿定理求电流 I。

R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

ISC R0 R3

I

（ 1 ）先求短路电流 ISC

将二端网络短路，如图所示。

021 SCIII由 KCL 得：

0111 RIE

0222 RIE由欧姆定律得：

R1

+

- E1

R2

+

- E2

ISC I1 I2

求得： A26

6

3

3SCI

R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

（ 2 ）再求等效电阻 RO

电路中的两个电压源均以零值代替（短路），这时二端网络为无源二端网络，等效电阻为：

263

63

21

210 RR

RRR

R1 R2

a

b

R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

（ 3 ）最后求电流 I

A130

0

SCIRR

RI

原电路等效为如图所示电路，

ISC R0 R3

I R1

R3 +

- E1

R2

+

- E2

I

前已述及，恒流源与电阻并联的形式可以等效为恒压源与电阻串联的形式，其短路电流与开路电压的关系为：

¯

+

U0C ISC

I

R0

a

b

0

0

R

UI C

SC

受控源的电压或电流受电路中另一部分的电压或电流控制。

22 、分类及表示方法、分类及表示方法

VCVS 电压控制电压源VCCS 电压控制电流源CCVS 电流控制电压源CCCS 电流控制电流源

2.5 2.5 含受控源电路的分析含受控源电路的分析2.5.1 2.5.1 受控源受控源11 、概念、概念

+

U1

－

+

U2

－

I1=0 I2

gU1

+

U1

－

+

U2

－

I1=0 I2

+

μ U1

－

VCVS I1=0U2=U1

CCVS U1=0U2=rI1

VCCS I1=0I2=gU1

CCCS U1=0I2=βI1

I1 I2+

U2

－

+

U1=0

－

+ rI1

－

I1 I2

+

U2

－

+

U1=0

－

β I1

用支路电流法写方程时，应先把受控源暂时作为独立源去列写支路电流方程。但因受控源输出的电压或电流是电路中某一支路电压或电流（即控制量）的函数，所以，一般情况下还要用支路电流来表示受控源的控制量，使未知量的数目与独立方程式数目相等，这样才能将所需求解的未知量解出来。

2.5.2 2.5.2 含受控源电路的分析含受控源电路的分析

11 、支路电流法、支路电流法

－U2

+

+4V －

2Ω

3Ω1Ω

I2

I1 2U2－ +

I3

Ⅰ Ⅱ

0321 III

支路电流方程：

辅助方程：

22 3IU

A12A,4A,8 321 III

432 21 II

223 23 UII

解之得：

应用叠加定理时，独立源的作用可分别单独考虑，但受控源不能单独作用，且独立源作用时受控源必须保留。例：用叠加定理求 I1 、 I2

22 、叠加定理、叠加定理

21 II A121 II

解得：

（ 1 ） 10V 电压源单独作用：

1045 121 III

解得：05 21 II

A5.42 I

（ 2 ） 5A 电流源单独作用：

A5.01 I

045 121 III

（ 3 ）两电源共同作用时：

A5.55.41222 III

A5.05.01111 III

应用等效电源定理分析含受控源的电路时，不能将受控源和它的控制量分割在两个网络中，二者必须在同一个网络中。至于求等效电源的内阻 R0 时，有源二端网络中的独立电源均应为零，但受控源是否为零则取决于控制量是否为零。因此 R0不能用电阻串并联的方法计算。一般采用以下两种方法计算 R0 。

33 、戴维南定理、戴维南定理

（ 1 ）开路短路法。即求出有源二端网络的开路电压 U0C 和短路电流 ISC ，则：

SC

0C0 I

UR

（ 2 ）外加电压法。即在不含独立源的二端网络（内含受控源）两端之间加一个电压 U，求出在这个电压作用下输入到网络的电流 I，则：

I

UR 0

例 应用戴维南定理求电流 I2 。

10C 620 IU

（ 1 ）断开 4Ω支路，先求其开路电压 UOC

V80)10(620

（ 2 ）再求等效电阻

101SC II

+ 10I"1 －

+20V －

6Ω

ISC

I"1

10A

A3

4010

6

20

6

3

4080

SC

0C0

I

UR

A864

802

I

则

R0

4Ω

I2

+U0C

－

因此，原电路等效为

2.6 2.6 非线性电阻电路的分析非线性电阻电路的分析2.6.12.6.1 非线性电阻非线性电阻

非线性电阻的阻值不是一个常数，而是随着电压或电流变动。计算非线性电阻的阻值时，必须指明工作电流或工作电压，称为非线性元件的工作点，如图所示伏安特性曲线上的 Q点。

0

I

U

Δ UΔ II

U

Q

αβ

工作点处电压与电流的比值称为静态电阻或直流电阻 R

tan

1

I

UR

工作点附近电压变化量 ΔU和电流变化量 ΔI的比值的极限称为动态电阻或微变电阻 r

tan

1lim

0

dI

dU

I

Ur

I

非线性电阻 R的伏安特性曲线①与负载线②的交点 Q确定的电压 U与电流 I。

2.6.22.6.2 非线性电阻电路分析非线性电阻电路分析

R1

I

+US

－R

+U

－

+ U1 －

0

I

U

US

R1

USIR1U

I

①

Q②

负载线由方程 确定。1S1S IRUUUU

学习要求

Δ 1 、掌握用支路电流法、节点电压法、叠加定理、等效电源定理等方法分析电路；

Δ 2 、理解电路等效的概念，掌握用等效概念分析计算电路；

3 、了解受控源的概念以及含受控源电阻电路的分析计算；

4 、了解非线性电阻电路的分析方法。

本章重点：1 、支路电流法2 、等效法3 、叠加定理及其应用4 、戴维南定理及其应用本章难点：1 、电路等效变换的条件和方法2 、含受控源电阻电路的分析计算3 、非线性电阻电路的图解分析方法

本章考点：1 、电源等效变换法求解电路2 、支路电流法求解电路3 、节点电压法求解电路4 、叠加定理求解电路5 、戴维南定理求解电路6 、诺顿定理求解电路7 、含受控源电阻电路的分析计算