第八章第 1 课时：

圆的有关性质 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练

要点、考点聚焦1. 本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、圆周角、弦心距、弧之间的关系 .

2.圆的定义(1)是通过旋转 .(2)是到定点的距离等于定长的点的集合 .

3.点和圆的位置关系 (圆心到点的距离为 d)(1)点在圆上 d=r.(2)点在圆内 d ＜ r.(3)点在圆外 d ＞ r.

5. 有关定理及推论

4. 与圆有关的概念(1) 弦：连结圆上任意两点的线段 .(2) 直径：经过圆心的弦 .(3) 弧：圆上任意两点间的部分 .(4) 优弧：劣弧、半圆 .(5) 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤 .(6) 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交 .(7) 圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交 .(8) 三角形外心及性质 .

(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆 .(2) 垂径定理及其推论 .

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧 .推论 1：平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧 .推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧 .推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧 .

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等 .

(3) 圆心角、弧、弦、弦心距 .

(4)圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等 .推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角； 90°的圆 周角所对的弦是直径 .推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形 .(5) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 .

6.中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合 .

课前热身1. 如图 8-1-1 ，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， E 在 BC延长线上，若∠ A=50° ，则∠ DCE 等于 ( )

A.40° B.50°C.70° D.130° 图 8-1-1

(2003 年 · 北京市海淀区 )2. 若 AB 分圆为 1∶5 两部分，则劣孤 AB 所对的圆周角为( )A.30° B.150°C.60° D.120°

B

A

3. 如图 8-1-2已知圆心角∠ BOC= １００ °，则圆周角∠ BAC的度数为 ( )A.100° B.130°C.50° D.80°

(2003年·武汉市 )

C

图 8-1-2

4. 如 图 8-1-3 ， 已 知 ， AB 是 ⊙ O 的 直径， C 、 D 、 E 都是⊙ O 上的点，则∠ 1+∠2=(

)

 图 8-1-3

A. ９０ ° B. ４５ °C. ６０ ° D. ３０ ° (2003年·陕西省 )

A

5.下列说法中，正确的是 ( )A.到圆心的距离大于半径的点在圆内B.圆周角等于圆心角的一半C.等弧所对的圆心角相等D.三点确定一个圆

C

典型例题解析【例 1 】在直径为 400mm 的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽 320mm ，求油的深度 .【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图 8-1-4(1) 图 (2)

图 8-1-4

图 (1) 中OC==120(mm)∴CD=80(mm)图 (2) 中OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)

2222 160200 BCOB

【例 2 】如图 8-1-5 ， A 是半径为 5 的⊙ O 内的一点，且 OA=3 ，过点 A 且长小于 8 的弦有 ( )   

图 8-1-5A.0 条 B.1 条C.2 条 D.4 条 (2003 年 · 广州市 )

A

【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于OA 的弦长 BC=2 =8 即过 A 点最短的弦长为 8 ，故没有弦长小于 8 的弦，∴选 (A)

22 OAOB

变形， A 是半径为 5的⊙ O 内的一点，且OA=3，过点 A 的弦，其中弦长为整数的弦有 ( )A.0 条 B.2条C.4 条 D.无数条

C

【解析】过 A 点的最短弦长为 8，则还有 9、 10故选 C.

【例 3】如图 8-1-6 ， O 是∠ CAE平分线上的一点，以点 O 为圆心的圆和∠ CAE的两边分别交于点 B 、 C 和 D 、 E，连结 BD 、 CE.

求证：(1)BC=DE(2)AC=AE(3)DB∥CE. 图 8-1-6

【解析】(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，又已知OA是∠ CAE的平分线，联想到角平分线性质，故过 O 分别作OG⊥AC 于 G ，OH⊥AE 于 H ，∴OG=OH∴BC=DE(2)由垂径定理知： BC=DE ， G 、 H 分别是 BC 、 DE的中点 .再由△ AOG≌△AOHAG=AH AB=AD AC=AE.(3)AC=AE ∠C=∠E ，再根据圆的内接四边形的性质定理知∠ C=∠ADB ∠E=∠ADB BD∥CE.

【例 4】一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口 ?【解析】在农村、城镇上这是一个狸猫捉老鼠会遇到的一个问题，我们可以为这个小动物设计或计算出来 .这个问题应考虑两种情况：设三个洞口分别为A 、 B 、 C 三点，又设 A 、 C 相距最远①当△ ABC为钝角三角形或直角三角形时， AC的中点即为所求 .②当△ ABC为锐角三角形时，△ ABC的外心即为所求 .

课时训练1. 如图 8-1-7 ，设⊙ O 的半径为 r ，弦 AB 的长为a ，弦心距OD=d 且 OC⊥AB 于 D ，弓形高 CD 为 h ，下面的说法或等式：①r=d+h②4r2=4d2+a2

③已知： r 、 a 、 d 、 h 中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是 ( )

 

图 8-1-7A.① B.①② C.①②③ D.②③

C

2. 如图 8-1-8 ， AB 是 AB 所对的弦， AB 的中垂线 CD 分别交 AB 于 C ，交 AB 于 D ， AD 的中垂线 EF 分别交 AB 于 E ，交AB 于 F ， DB 的中垂线 GH 分别交 AB 于 G ，交 AB 于 H ，下面结论不正确的是 ( )

A.AC=CB B.EC=CGC.EF=GH D.AE=EC 图 8-1-8

(2003 年 · 江苏省 )

D

3. 图 8-1-9 中每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是 ( )

图 8-1-9

A

4. 如图 8-1-10 ，⊙ O 的弦 AB 垂直于直径 MN ，点 C 为垂足，若 OA=5 cm ，下面四个结论中可能成立的是 ( )

A.AB=12 cm B.OC=6 cm 图 8-1-10 C.MN=8 cm D.AC= cm

(2003 年 · 吉林省 )

D

5.半径为 1的圆中有一条弦，如果它的长为 3，那么这条弦所对的圆周角为 ( )A.60° B.120°C.45° D.60°或 120°

D

6. 如图 8-1-11，四边形 ABCD内接于⊙ O，若它的一个外角∠ DCE=70° ，则∠ BOD=(

)

图 8-1-11A ． 35° B.70°C ． 110° D.140° (2003年·江苏苏州市 )

D

1. 已 知 ： 如 图 8-1-1 ２ ， Rt△ABC 内 接 于⊙ O ∠， ACB=90° ，弦 CD⊥AB 于 E ， CF 是⊙ O 的 直 径 ， 连 结 FE 、 FD ， 又 知AC=2 ， BE=4.

(1) 求证： DF=2EO.

(2) 求⊙ O 的半径和 tan ∠EFD 的值 .

图 8-1-12

3

证明： (1)∵CF为⊙ O 的直径∴∠CDF=90° 即 DF⊥CD又∵ CD⊥ED∴OE∥DF又∵ CO=FO∴CE=ED∴EO为△ CDF的中位线∴ DF=2EO

解： (2) 设 AE=x∵∠ACB=90°∠AEC=90°∴△ACB∽△ABC∴AC/AB=AE/AC∴AC2=AE·AB 即 (2 )2=x·(x+4)12=x2+4x x=2∴AB=6∴半径为 3∴ OA=3AE=2∴OE=1DF=2 又∵OE⊥CD∴CE=ED在 Rt△COE中 CO=3OE=1∴CE=2 =EDtan ∠EFD= =222=2

3

2

DF

DE

2. 已知：如图 8-1-13(1) ， AB 为⊙ O 的直径， AE 、 BF分别垂直于直线 CD.

图 8-1-13(1)求证： (1)ED=CF(2)AC=DG(3)OE=OF(4)AE·BF=EC·ED

变形：若将直线 CD 向上平移与直径 AB 交于点P，如图 8-1-13(2)，其他条件不变，则判断上述结论是否成立，说明理由 .

图 8-1-13(2)

证明： (1)过点 O 作 OM⊥EF∵OM⊥EF ， OM过圆心∴ MC=MD①∵OM⊥EFAE⊥EFBF⊥EF∴AE∥OM∥BF又∵ O 为 AB中点∴ M 为 EF中点即 EM=MF②由①②可知 EC=DF∴ED=CF

(2)连接 AG∵AB为⊙ O 的直径∴∠AGB=90°又∵ BF⊥EF∴∠BFE=90°∴∠AGB=∠BFE∴AG∥EF∴AC=DG

(3) 在 Rt△OME 和 Rt△OMF中EM=MFOM=OM∠OME=∠OMF∴△OME≌△OMF∴OE=OF(4)连结 AD 、 BD∵AB为⊙ O 直径∴∠ADB=90°∴∠ADE+∠BDF=90°①又∵ BF⊥EFAE⊥EF∴∠AEC=90°=∠BFD=90°③∠BDF+∠DBF=90°②由①、②可知∠ ADE=∠DBF④由③、④可知△ AED∽△DFB ∴ ∴AE·BF=DE·DF又∵ EC=DF∴AE·BF=EC·ED

BF

ED

DF

AE

变形：证明： (1)ED=CF 成立 过 O 作OM⊥CD由题意知OM∥AE∥BF又∵ O 为 AB中点∴ M 为 EF中点即 EM=MF①又∵OM⊥CD∴CM=DM② 由 ① 、 ② 可 知CE=DF∴ED=CF(2)AC=DG成立连结 AG∵AB为⊙ O 直径∴∠AGB=90°又∵ BF⊥CD∴∠BFC=90° ∴∠BFC=∠AGB∴AG∥CD∴AC=DG

(3)OE=OF成立在 Rt△OME 和 Rt△OMF中EM=MFOM=OM∠OME=∠OMF∴△OME≌△OMF∴OE=OF(4)AE.BF=EC.ED 成 立 连 结AD 、 BD∵AC=DG∴∠FBD=∠CDA又∵ AE⊥CDBF⊥CD∴∠AED=∠BFD=90°∴△AED∽△DFB ∴∴AE·BF=DF·DE又∵DF=EC∴AE·BF=EC·ED

BF

DE

DF

AE