第 31 课时　圆的有关性质第 32 课时　直线与圆的位置关系第 33 课时...

第31 　　课时圆的有关性质

第32课时　直线与圆的位置关系

第33课时圆与圆的位置关系

第34课时弧长、扇形的面积、圆

锥的有关计算

第 31 课时┃ 圆的有关性质

第 31 课时┃ 考点聚焦

考点聚焦考点 1 圆的有关概念

圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所经过的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段OA叫做半径

弦连结圆上任意两点的 ________叫做弦

直径经过圆心的弦叫做直径

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧

优弧大于半圆的弧叫做优弧

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧

线段

考点 2 点和圆的位置关系

点在圆外⇔ ________

如果圆的半径是 r，点到圆心的距离是 d ，那么点在圆上⇔ ________

点在圆内⇔ ________

d>r 　

d ＝ r

d<r


考点 3 确定圆的条件

确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆

三角形的外心

三角形三边 ___ _____的交点，即三角形外接圆的圆心

防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部

垂直平分线


考点 4 圆的对称性

圆既是轴对称图形又是 ________ 对称图形，圆还具有旋转不变性．

中心


考点 5 垂径定理及其推论

垂径定理垂直于弦的直径 ______ ，并且平分弦所对的两条弧

推论

(1)平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

平分弦

考点 6 圆心角、弧、弦之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ______相等，所对的 ______ 也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等

弧弦


考点 7 圆周角

圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ________，都等于该弧所对的圆心角的 ________

推论 1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 ______

推论 2 同弧或等弧所对的圆周角 ______，都等于这条弧所对的圆心角的一半

推论 3 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ______； 90°的圆周角所对的弦是 ______

相等一半

相等

相等

直角直径


考点 8 等分圆周 1 ．利用尺规，可把圆周分成 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 8… 等

份； 2 ．把圆分成 n 等份 (n≥3) ，依次连结各分点所得的多

边形，是圆的内接正 n 边形．


第 31 课时┃ 中考探究

中考探究

► 　类型之一　确定圆的条件命题角度：1. 确定圆的圆心、半径；2. 三角形的外接圆圆心的性质．

例 1 [2012· 资阳 ] 直角三角形的两边长分别为 16和12 ，则此三角形的外接圆半径是 ________ ．10或 8

[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；

②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜

边长＝ 162＋122＝20，

因此这个三角形的外接圆半径为10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.


► 　类型之二　垂径定理及其推论命题角度：1. 垂径定理的应用；2. 垂径定理的推论的应用．

例 2 [2012· 台州 ] 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图 31－ 1 所示，已知 EF＝ CD＝ 16

厘米，则球的半径为 ________ 厘米．

图 31－ 1

10


[ 解析 ] 首先找到 EF的中点M ，作MN⊥AD于点M ，分别交圆于 G 、 N 两点，取GN的中点 O ，连结OF，设OF＝ x ，

则OM＝ 16－ x ，MF＝ 8.

在直角三角形OMF中，OM2 ＋MF2 ＝OF2 ，即 (16－ x)2 ＋ 82 ＝ x2 ，解得 x ＝ 10.


► 类型之三圆心角、弧、弦之间的关系

命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．

例 3 [2011· 济宁 ] 如图 31－ 2 ， AD 为△ ABC 外接圆的直径， AD⊥BC ，垂足为点 F ，∠ ABC 的平分线交AD 于点 E ，连结 BD、 CD.

(1) 求证： BD＝ CD ； (2) 请判断 B 、 E 、 C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由．图 31－ 2


解： (1) 证明：∵ AD 为直径， AD⊥BC ， ∴BD＝ CD.∴BD＝ CD.

(2)B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上 .

理由：由 (1) 知： BD＝ CD ，∴∠ BAD ＝∠ CBD.

∵∠DBE ＝∠ CBD ＋∠ CBE ，∠ DEB ＝∠ BAD ＋∠ ABE ，

∠CBE ＝∠ ABE ， ∴∠DBE ＝∠ DEB.∴DB＝DE.

由 (1) 知： BD＝ CD ，∴ DB＝DE＝DC.

∴B ， E ， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上 .


[ 解析 ]

(1) 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明； (2) 利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.


► 类型之四圆周角定理及推论

命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．

例 4 [2012· 南宁 ] 如图 31－ 3 ，点 B ， A ， C ， D 在⊙ O 上， OA⊥BC ，∠AOB＝ 50° ，则∠ ADC＝ ________°.

图 31－ 3

25


[解析] 连结OC，∵ OA⊥BC，∴ AB＝AC，

∴ ∠AOC＝∠AOB＝50° ，∴ ∠ADC＝12∠AOC＝25° .


► 类型之五与圆有关的开放性问题

命题角度：1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2. 给定一个圆，添加条件并说明理由．


例5 [2012· 湘潭] 如图31－4，在⊙O上位于直径AB的异

侧有定点C和动点P，AC＝12AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、

B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点． (1)如图①，求证：△ PCD∽△ ABC； (2)当点P运动到什么位置时，

△ PCD≌△ ABC？请在图②中画出△ PCD，并说明理由；

(3)如图③，当点P运动到 CP⊥AB时，求∠BCD的度数．

图 31－ 4


解：(1)证明：∵ AB为直径， ∴ ∠ACB＝∠D＝90° .又∵ ∠CAB＝∠DPC， ∴ △ PCD∽△ ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时，△ PCD≌△ ABC. 理由如下： ∵ PC为直径， ∴ ∠PBC＝90° ，则此时D与B重合， ∴ PC＝AB，CD＝BC，故△ PCD≌△ ABC.


(3) ∵ AC＝12AB，∠ACB＝90° ，

∴ ∠ABC＝30° ，∠CAB＝60° . ∴ ∠CPB＝∠CAB＝60° . ∵ PC⊥AB， ∴ ∠PCB＝90° －∠ABC＝60° ， ∴ △ PBC为等边三角形．又CD⊥PB， ∴ ∠BCD＝30° .


[解析] (1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90° ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P. (2)由△ PCD∽△ ABC，可知当PC＝AB时，△ PCD≌△ ABC，利用相似比等于1的相似三

角形全等．(3)由∠ACB＝90° ，AC＝12

AB，可求得∠ABC的度

数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60° ，通过证△ PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．


第 32 课时┃　直线与圆的位置关系


考点聚焦考点 1 直线和圆的位置关系

(1) 直线 l 和⊙ O 相交⇔ ________

设⊙ O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为d ，那么

(2) 直线 l 和⊙ O 相切⇔ ________

(3) 直线 l 和⊙ O 相离⇔ ________

d<r

d ＝ r

d>r

考点 2 切线的性质和判定

性质 (1)经过切点的半径 ______圆的切线； (2)经过切点垂直于切线的直线必经过 ____

判定

(1)和圆有 ____个公共点的直线是圆的切线； (2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的

________，那么这条直线是圆的切线； (3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

常用辅助线连圆心和切点

垂直于圆心

一

半径


考点 3 三角形的内切圆

三角形的内切圆

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形

三角形的内心

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形 ________________的交点，三角形的内心到三边的 ________相等

规律清单

⊙ I内切于△ ABC，切点分别为D、E、F，如图，则

(1)∠BIC＝90° ＋12∠BAC；

(2)△ ABC三边长分别为a、b、c，

⊙ I的半径为r，则有S△ ABC＝12r(a＋b＋c)

三条角平分线距离



中考探究► 　类型之一　直线和圆的位置关系的判定

命题角度：1. 定义法判定直线和圆的位置关系；2. d 、 r 比较法判定直线和圆的位置关系．

例 1 [2012· 无锡 ] 已知⊙ O 的半径为 2 ，直线 l 上有一点 P 满足 PO＝ 2 ，则直线 l 与⊙ O 的位置关系是 ( 　 )

A ．相切 B ．相离 C ．相离或相切 D ．相切或相交

D

[ 解析 ] 分OP 垂直于直线 l，OP 不垂于直线 l 两种情况讨论．

当OP 垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d ＝ 2＝ r ，⊙ O 与 l 相切；

当OP 不垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离d<2＝ r ，⊙ O 与直线 l 相交．

故直线 l 与⊙ O 的位置关系是相切或相交．


在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．


► 　类型之二　圆的切线的性质命题角度：1. 已知圆的切线得出结论；2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．

例 2 [2012· 湛江 ] 如图 32－ 1 ，已知点 E 在直角△ ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的⊙ O 与直角边 BC 相切于点 D.

(1) 求证： AD 平分∠ BAC ； (2)若 BE＝ 2 ， BD＝ 4 ，求⊙ O 的半径．

图 32－ 1


解： (1) 证明：连结OD，∵ BC与⊙ O 相切于点 D ，∴OD⊥BC.

又∵∠ C ＝ 90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即 AD平分∠ BAC.

(2)设圆的半径为 R ，在 Rt△BOD中， BO2 ＝ BD2 ＋OD2 ，∵ BE＝ 2 ， BD＝ 4, ∴(BE＋OE)2 ＝ BD2 ＋OD2 ，即 (2＋ R)2 ＝ 42 ＋ R2 ，解得 R ＝ 3 ，故⊙ O 的半径为 3.


[ 解析 ]

(1) 连结 OD ，则 OD⊥BC ，且 AC⊥BC ，再由平行进行证明；

(2) 设圆的半径为 R ，在 Rt△BOD 中利用勾股定理即可求出半径．


“ 圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．


► 　类型之三　圆的切线的判定方法命题角度： 1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线； 2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．


例 3 [2012· 临沂 ] 如图 32－ 2 ，点 A 、 B 、 C 分别是⊙ O 上的点，∠ B ＝ 60°， AC＝ 3 ， CD 是⊙ O 的直径， P 是 CD 延长线上的一点，且 AP＝ AC.

(1) 求证： AP 是⊙ O 的切线； (2)求 PD 的长．

图 32－ 2


解：(1)证明：连结OA. ∵ ∠B＝60° ，∴ ∠AOC＝2∠B＝120° . 又∵ OA＝OC, ∴ ∠ACP＝∠CAO＝30° . ∴ ∠AOP＝60° . 又∵ AC＝AP, ∴ ∠P＝∠ACP＝30° .∴ ∠OAP＝90° . ∴ OA⊥AP, 故AP是⊙O的切线． (2)连结AD. ∵ CD是⊙O的直径，∴ ∠CAD＝90° .

∴ AD＝AC· tan30° ＝3×3

3＝ 3.∵ ∠ADC＝∠B＝60° ，

∴ ∠PAD＝∠ADC－∠P＝60° －30° ＝30° ，

∴ ∠P＝∠PAD，∴ PD＝AD＝ 3.


[ 解析 ] (1) 首先连结 OA ，利用圆周角定理，即可求得∠ AOC 的度数，利用等边对等角求得∠ PAO＝ 90° ，则可证得 AP 是⊙ O 的切线；

(2)由 CD 是⊙ O 的直径，即可得∠ DAC＝ 90° ，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得 PD 的长．


在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．


► 　类型之四　三角形的内切圆命题角度：1. 三角形的内切圆的定义；2. 求三角形的内切圆的半径．例4 [2012· 玉林] 如图32－3，Rt△ ABC的内切圆⊙O与两

直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC 分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△ MBN的周长为( )

A．r B.32r C．2r D.

52r

图 32－ 3C


[ 解析 ] 连结 OD、OE ，则 OD＝OE ，∠ODB ＝∠ DBE ＝∠ OEB＝ 90° ，推出四边形 ODBE 是正方形，得出 BD＝ BE＝OD＝OE＝ r. 根据切线长定理得出 MP＝DM，NP＝NE ，则 Rt△MBN 的周长为MB＋NB＋MN＝MB＋ BN＋NE＋DM＝ BD＋ BE

＝ r＋ r＝ 2r ，故选 C.


解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．


第 33 课时┃　圆与圆的位置关系


考点聚焦

考点 1 圆和圆的位置关系

两圆外离⇔ ________

两圆外切⇔ ________

设⊙O1 ，⊙O2 的半径分别为

R ， r(R>r) ，圆心距为 d ，那么⊙ O1 和⊙O2

两圆相交⇔ ________

两圆内切⇔ ________

两圆内含⇔ ________

d>R ＋ r

d ＝ R ＋ r

R － r<d<R ＋ r 　

d ＝ R －r

d<R － r

考点 2 相切两圆的性质

相切两圆的性质

如果两圆相切，那么两圆的连心线经过 ________

两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的连线 ( 连心线 ) 是它的对称轴

切点



中考探究

► 　类型之一　圆和圆的位置关系的判别

命题角度：1. 根据两圆的公共点的个数确定；2. 根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定．

例 1 [2012· 上海 ] 如果两圆的半径长分别为 6 和 2 ，圆心距为 3 ，那么这两圆的关系是 ( 　　 )

A ．外离 B ．相切 C ．相交 D ．内含

D

[ 解析 ] ∵ 两个圆的半径分别为 6 和 2 ，圆心距为 3 ，又∵ 6 － 2 ＝ 4 ， 4 ＞ 3 ，∴ 这两个圆的位置关系是内含．


在判断圆和圆的位置关系时，可以根据两圆的公共点的个数确定，也可以结合圆心距和半径的关系来判定．


► 　类型之二　两圆位置关系中的“分类讨论”命题角度：1 ．两圆位置关系中的“分类讨论”；2 ．“分类讨论”思想的应用．例 2 在平面直角坐标系中，⊙O1 ，⊙O2 的半径分别为

1 和 2 ，两圆都与 x 轴、 y 轴相切，那么这两圆的圆心距O1O2 是

________．2或 10或3 2


注意两圆相切时应分内切与外切两种情况进行讨论．


► 　类型之三　两圆位置关系的有关计算命题角度：1. 相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系；2. 和勾股定理有关的计算．


例3 [2012· 宜宾] 如图33－1，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两

点，其中⊙O1的半径r1＝2, ⊙ O2的半径r2＝ 2 ，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙ O2于点C、D，连结CP、DP，过点Q任作一直线AB分别交⊙ O1和⊙ O2于点A、B，连结AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E.

(1)求证：PAPB＝ 2；

(2)若PQ＝2，试求∠E的度数.

图 33－ 1


解： (1)证明：∵ PQ⊥CD，∴ ∠CQP＝∠DQP＝90° ， ∴ CP是⊙O1的直径，PD是⊙O2的直径， ∴ ∠CAP＝∠PBD＝90° . ∵ ∠APC＝∠AQC，∠BPD＝∠BQD，又∵ ∠BQD＝∠AQC, ∴ ∠APC＝∠BPD.

∴ △ APC∽△ BPD, ∴PAPB＝

CPPD＝ 2.


(2)∵PQ＝ 2 ，在 Rt△CPQ 中， CP＝ 4,

∴∠PCQ＝ 30° ， ∴∠ CPQ＝ 60°.

在 Rt△DPQ 中， PQ＝ 2 ， PD＝ 2 ，∴ QD＝ 2,

∴∠QPD＝ 45° ， ∴∠ CPD＝ 105°.

∵△APC∽△BPD, ∴∠PDB ＝∠ ACP,

∴∠PDB ＋∠ PCE ＝∠ ACP ＋∠ PCE＝ 180° ，

∴∠E ＝ 360°－ 180°－ 105°＝ 75°.


[解析](1)根据PC、PD分别是⊙O1和⊙O2的直径，证

△ APC∽△ BPD，推出PAPB＝

CPPD，代入求出即可；

(2)求出cos∠CPQ＝PQPC＝

12，求出∠CPQ＝60° ，同理求出

∠DPQ＝45° ，由△ APC∽△ BPD，推出∠PDB＝∠PCA，由∠PCA＋∠PCE＝180° 得∠PDB＋∠PCE＝180° .再根据四边形的内角和为360° 求出即可．


► 　类型之四　和相切两圆有关的计算命题角度：1. 相切两圆的性质；2. 两圆相切的简单应用．


例 4 [2010·绍兴 ] 如图 33－ 2 为某机械装置的截面图，相切的两圆⊙O1 ，⊙O2 均与⊙ O 的弧 AB相切，且O1O2∥l1(l1 为水平线 ) ，⊙O1 ，⊙O2 的半径均为 30 mm，弧 AB的最低点到 l1 的距离为 30 mm，公切线 l2 与 l1 间的距离为 100 mm.则⊙ O 的半径为 ( )

A ． 70 mm B． 80 mm

C ． 85 mm D． 100 mm

B

图 33－ 2


[ 解析 ] 设⊙ O 的半径为 R ，⊙O1 ，⊙O2 外切于点 E ，则OO1 ＝ R － 30，O1E ＝ 30，OE＝ R － 40.根据勾股定理得(R － 30)2 － 302 ＝ (R － 40)2 ，解得 R ＝ 80(mm)．


第 34 课时┃弧长、扇形的面积、圆锥的有关计算


考点聚焦考点 1 圆的周长与弧长公式

圆的周长若圆的半径是 R ，则圆的周长 C ＝ ________

弧长公式

若一条弧所对的圆心角是 n° ，半径是 R ，则弧长 l＝ ________. 在应用公式时， n 和 180 不再写单位

2πR

nπ R180

考点 2 扇形的面积公式


扇形面积

(1)S 扇形＝ ______(n 是圆心角度数， R 是半径 ) ；

(2)S 扇形＝ ______(l是弧长， R 是半径 )

弓形面积 S 弓形＝ S 扇形 ±S△

nπ R2

360

12lR

考点 3 圆锥的侧面积与全面积


图形

圆锥简介

(1)h 是圆锥的高； (2)a 是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的 ________ ； (3)r 是底面半径； (4) 圆锥的侧面展开图是半径等于 ________ 长，弧长等于圆锥底面圆的 ________

圆锥的侧面积 S 侧＝ ________

圆锥的全面积 S 全＝ S 侧＋ S 底＝ πra＋ πr2

半径

母线周长

πra


中考探究

► 　类型之一　计算弧长

命题角度： 1 ．已知圆心角和半径求弧长； 2 ．利用转化思想求弧长．

例 1 [2012· 广安] 如图 34－1，Rt△ ABC的边 BC位于直

线 l 上，AC＝ 3，∠ACB＝90° ，∠A＝30° ，若 Rt△ ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点 A第 3次落在直线 l 上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

图 34－ 1

(4＋ 3)π


[解析] 根据含 30° 角的直角三角形三边的关系得到 BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60° .点 A先是以 B点为旋转

中心，顺时针旋转 120° 到 A1，再以点 C1为旋转中心，顺时针旋转 90° 到 A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第 3次落在直线 l 上时，点 A所经过的路线的长．

∵ Rt△ ABC中，AC＝ 3，∠ACB＝90° ，

∠A＝30° ，∴ BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60° . ∵ Rt△ ABC在直线 l 上无滑动

地翻转，且点 A第 3次落在直线 l 上时，有 3个 AA1的长，2个 A1A2的长， ∴ 点 A经过的

路线长＝120π ×2

180×3＋

90π × 3180

×2＝(4＋ 3)π .


► 　类型之二　计算扇形面积

命题角度： 1. 已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积； 2. 已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．


例 2　　　[2012·南京 ] 某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图 34－ 2 ，在⊙O1 和扇形O2CD中，⊙O1

与O2C 、O2D 分别切于点 A 、 B ，已知∠ CO2D ＝60°， E 、 F 是直线O1O2 与⊙O1 、扇形O2CD的两个交点，且 EF＝ 24 cm，设⊙O1 的半径为 x cm.

(1)用含 x 的代数式表示扇形O2CD的半径； (2)若⊙O1 和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元 /cm2 和 0.06元 /cm2 ，当⊙O1 的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？

图 34－ 2


解：(1)连结O1A. ∵ ⊙O1与 O2C、O2D分别切于点 A、B，

∴ O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，∴ ∠AO2O1＝12∠CO2D＝30° .

在 Rt△ O1AO2中，sin∠AO2O1＝AO1

O1O2，

∴ O1O2＝AO1

sin∠AO2O1＝

xsin30°

＝2x.

∴ FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x，即扇形 O2CD的半径为(24－3x)cm.


(2)设该玩具的制作成本为 y元，

则 y＝0.45π x2＋0.06×（360－60）×π ×（24－3x）2

360＝0.9π x2

－7.2π x＋28.8π＝0.9π (x－4)2＋14.4.∴ 当 x＝4时，y的值最小．

答：当⊙O1的半径为 4 cm时，该玩具的制作成本最小．


► 　类型之三　和圆锥的侧面展开图有关的问题

命题角度： 1. 圆锥的母线长、底面半径等计算； 2. 圆锥的侧面展开图的相关计算．例 3 [2011· 宁波] 如图 34－3，Rt△ ABC中，

∠ACB＝90° ，AC＝BC＝2 2，

若把 Rt△ ABC绕边 AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为( )

A．4π B．4 2π

C．8π D．8 2π

图 34－ 3

D


[解析] 过 C作 CO⊥AB，则 OC＝2, Rt△ ABC绕边 AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为

2×OC×AC×π＝2×2×2 2π＝8 2π .


例 4 [2012· 襄阳] 如图 34－4，从一个直径为 4 3 dm

的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 60° 的扇形 ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为________dm.

图 34－ 4

1


[解析] 作 OD⊥AC于点 D，连结OA， ∴ ∠OAD＝30° ，AC＝2AD＝2OA×cos30° ＝6 (dm)，

∴ BC的长＝60π ×6

180＝2π (dm)，

∴ 圆锥的底面圆的半径为 1dm.


► 　类型之四　用化归思想解决生活中的实际问题

命题角度： 1. 用化归思想解决生活中的实际问题； 2. 综合利用所学知识解决实际问题．


例 5 [2012· 山西] 如图 34－5是某公园的一角， ∠AOB＝90° ，弧 AB的半径OA长是 6米，C是 OA的中点，

点 D在弧 AB上，CD∥ OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )

A.

12π－92

3米 2 B.

π－92

3米 2

C.

6π－92

3米 2 D.

6π－9 3米 2

图 34－ 5

C


[解析] 先根据半径O理求出 CD的长，根据锐角三角函数的定义求出∠DOC的度数，由 S阴影＝S扇形 AOD－S△ DOC即可得出结论．连结OD，∵ 弧 AB的半径 OA长是 6米，C是 OA的中点，

∴ OC＝12OA＝

12×6＝3(米)．

∵ ∠AOB＝90° ，CD∥ OB， ∴ CD⊥OA. 在 Rt△ OCD中， ∵ OD＝6米，OC＝3米，

∴ CD＝ OD2－OC2＝ 62－32＝3 3(米)．∵ sin∠DOC＝CDOD＝

3 36＝

32，∴ ∠DOC＝60° .

∴ S阴影＝S扇形 AOD－S△ DOC＝60×π ×62

360A长是 6米，C是 OA的中点可知OC＝

12OA＝3，

再在 Rt△ OCD中，利用勾股定－12×3×3 3＝

6π－92

3(米 2)．


求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．


第 31 课时　圆的有关性质第 32 课时　直线与圆的位置关系第 33 课时...

Documents

Transcript of 第 31 课时　圆的有关性质第 32 课时　直线与圆的位置关系第 33 课时...

第 31 课时 圆的有关性质 第 32 课时 直线与圆的位置关系 第 33 课时...

Documents

Transcript of 第 31 课时 圆的有关性质 第 32 课时 直线与圆的位置关系 第 33 课时...

第 31 课时　圆的有关性质第 32 课时　直线与圆的位置关系第 33 课时...

Transcript of 第 31 课时　圆的有关性质第 32 课时　直线与圆的位置关系第 33 课时...