四 . 模型的无量纲化 1. 模型与量纲 模型描述的是实际问题的内蕴的特征。 量纲有赖于基本量的选择， 是外加的有关量的度量手段。 模型所描述的规律应该独立于量纲的影响 机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响 因此机理模型需要无量纲化。使用无量纲量

来描述客观规律。

2. 模型无量纲化举例 例 1. 单摆的运动：建模描述单摆运动的规律 假设：同前。 变量、参量：同前。 坐标系 : (x ， y) ， (r, θ) 平衡关系： 受力物体运动的加速度与其质量的乘积等于

它所受的外力。 外力：重力 mg ，张力 T 。

)cos1(,sin lylx

模型

注意到摆球的坐标的表达式，则有

第一个方程描述了摆球沿摆弧的切线方向运动的情况，是量纲齐次的。

对它进行无量纲化。

mgTdt

ydmT

dt

xdm cos,sin

2

2

2

2

.cos)(,0sin 22

2

mg

dt

dmlTmg

dt

dml

变量的无量纲化 令 称之为无量纲时间 代入模型可得

选择变换因子为 则有

1][0 ，tw

0)(sin)(

2

220

gd

dlw

lgw 0

0sin2

2

d

d

无量纲模型的分析 1. 换算因子 w0: 令 T0 为单摆的周期，则

w0 为角频率 以 2π 为时间单位时摆动的频率数。

2. 特征时间 tc, 称 tc=1/w0=T0/2π 为特征时间。 以 2π 为时间单位时，摆动一次所需的时间 3. 无量纲时间 = t/tc 。是以特征时间为单位

的时间计量。

00

22

wg

lT

0

0

2

Tw

例 2. 抛射问题：从地球表面以速度 v 竖直

向上发射火箭。 讨论火箭发射的高度随时间变化的规律。 假设： 1. 地球是球体。 2. 火箭升空只需克服地球的引力。 3. 火箭在地球的表面附近在引力作用下将

具有自由下落的加速度 g 。 平衡关系：牛顿定律，万有引力定律 火箭升空后由于地球吸引力的作而减速运

动用。

变量、参量 时间： t ，火箭的高度： y(t), 地球半径： r, 初速度： v ，重力加速度： g ， 火箭质量： m1, 地球质量： m2. 模型 m1y’’= - k m1m2/(y+r)2 。 由假设 3, y = 0 时 , y’’= - g 。故有 g = k m2/r2. y’’= - r2 g / (y+r)2, y(0) = 0, y’(0) = v.

模型的无量纲化 将模型中的变量变换为无量纲变量 令 tc ， yc 分别为具有时间量纲和长

度量纲的量。 则 t*= t / tc ， y*= y / yc 就成为无量纲的

时间和长度。注意到

模型就可以化为

2

22

2

2

)(,)(dt

yd

y

t

dt

ydy

dt

dy

y

t

dt

dyy

c

c

c

c

c

cc

c

c

y

vtyyy

r

y

y

gty

)0(,0)0(,]1))[(( 2

2

令 tc2g / yc = 1, vtc/ yc = 1, 则有

tc = v / g, yc=v2/g 分别称 tc 和 yc 为特征时间和特征尺度 模型可以化简为

y*’’=-(Ay*+1)-2, y*(0)=0, y*(0)=1, 其中 A=v2/rg

这时模型是简单的，而且其中所有的量都是无量纲的。

无量纲化模型的分析 1. 模型的化简 地球的半径 r = 6370 千米， r g = 62426000 米 2/ 秒 2

火箭的速度 故，近似地有 A = 0 ，从而有 y*’’= - 1 ， y*(0)=0 ， y*’(0)=1 。 有解 y* = - t2

* / 2 + t* ， y(t) = - g t2 / 2 + v t 还原到原模型为 y’’=-g ， y(0)=0, y’(0)=v 。 刚好是由于高度 ，近似取 y=0 得到

的。

smrgv /7910

ry

2. 特征时间和特征距离 不难看出， t c= v / g 给出了对于 较小的 v ，

火箭在定常的引力作用下达到最高点的时间 yc / 2 = v2 / 2g 是火箭所能达到的最高距离 常数 tc ， yc 是抛射问题的两个内在的特征

指标。称之为特征时间和特征距离。 当以特征时间和特征距离为单位来度量变量

时 抛射体的运动规律是最简单的而且是最本质

的， 并且是与物理量的量纲无关。

五 . 拟合模型与机理模型 拟合模型 机理模型 假设条件 弱 强 机理分析 少 多 拟合效果 好 差 普适范围 小 大 理论深度 浅 深

模型的无量纲化

问题 P85-86 ： 5 ， 3*