§1 　向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念

　　 1. 向量 : 既有大小 , 又有方向的量 , 称为向量 .

( 或矢量 )　 2. 向量的几何表示法 :

用一条有方向的线段来表示向量 .

以线段的长度表示向量的大小 ,

有向线段的方向表示向量的方向 .A

B

a

以 A 为起点 , B 为终点的向量 , 记为 AB, , a .a

向量 AB 的大小叫做向量的模 . 记为 ||AB|| 或

.|||| a

( 一 ) 　向量的概念

3. 自由向量a b

自由向量：只有大小、方向 , 而无特定起点的向量 . 具有在空间中可以任意平移的性质 .

,ba与当向量 大小相等且方向相同 ,

记作相等与称 .ba ba

特别 : 模为 1 的向量称为单位向量 .

模为 0 的向量称为零向量 . 它的方向可以看作是任意的 .

1 、向量加法(1) 平行四边形法则　　设有　　 ( 若起点不重合 ,

可平移至重合 ). 作以　　为邻边的平行四边形 , 对角线向量 , 称为　　的和 , 记作

ba、

ba与 .ba

ba、

baa

b

(2) 三角形法则baab

　　将　　之一平行移动 , 使　　的起点与　的终点重合 , 则由 的起点到　的终点所引的向量为

ba、

a

b

a

.ba

b

( 二 ) 　向量的加减法

2. 向量加法的运算规律 .

(1) 交换律 :

abba

ba

a b

ccb

cba (2) 结合律 :

)()( cbacba 例如 :

4321 aaaas s

1a2a

3a4a

a

b

a

b

abba

3. 向量减法 .

(1) 负向量 : 与　模相同而方向相反的向量 ,

称为　的负向量 . 记作

a

a .a

aa

(2) 向量减法 .

规定 : )( baba

　　平行四边形法则 .将　　之一平移 , 使起

点重合 , 作以　　　为邻边的平行四边形 , 对角线向量 ,

为

ba、

ba 和

.ba

　　三角形法则 .将　　之一平移 , 使起

点重合 , 由　的终点向　的终点作一向量 , 即为

ba、

.ba

ab ba

a

b

ba a

b

b

ba

1. 定义 实数与向量　的　　　为一个向量 .a a乘积

其中 : |||||||||| aa

当 > 0 时 , ;同向与aa 当 < 0 时 , ;反向与aa 当 = 0 时 , .,它的方向可以是任意的oa

2. 数与向量的乘积的运算规律 :

(1) 结合律 : auauau )()()(

(2) 分配律 : auaau )(baba )(

a ( <0)aa

( >0)

( 三 ) 数与向量的乘法

结论 : 设　表示与非零向量　同向的单位向量 .aa

则 aaa ||||

或||||||||

1aa

aa

a

定理 1: 两个非零向量　　平行ba与

.ba 存在唯一实数，使得

( 方向相同或相反 )

例 1: 在平行四边形 ABCD 中 , 设 AB= 　　 ,AD =

a b

试用　　　表示向量 MA,MB,MC 和 MD.ba和

其中 , M 是平行四边形对角线的交点 .

解 : ba由 = AC = 2MC

有 MC = )(21 ba

又 = BD = 2MDab

)(21 ab

有 MD =

MB = MD )(21)(

21 baab

)(21 ba

MA = MC

a

b

D

A B

C

M

1. 点在轴上投影

　　设有空间一点 A 及

轴 u, 过 A 作 u 轴的垂直

平面 , 平面与 u 轴的交

点 A' 叫做点 A 在轴 u 上

的投影 .

A'

A

u

( 四 ) 　向量在轴上的投影

2. 向量在轴上的投影 .

设有向线段 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为点 A 和 B .

定义

B'

B

A'

A

u

向量 AB 在轴 u 上的投影向量或射影向量 .

称有向线段 A B 为

如果向量 e 为与轴 u

的正方向的单位向量，

xeBA 则称 x 为向量 AB 在轴 u 上的投影，记作 ABjuPr

即 xABju Pr

则向量 AB 的投影向

量 A'B' 有：

B'

B

A'

A

ue

显然；ABjuPr BA || ||

ABjuPr

当 与 u 轴同向时，

BA

当 与 u 轴反向时，

BA BA || ||

3. 两向量的夹角设有非零向量 ba

, ( 起点同 ).b

) ,( ba

a规定：正向间位于 0 到之间的那个夹角为　　的夹角 ,

记为　　　或

) ,( ba

) ,( ab ba, ba

,

(1) 若　　同向，则ba , 0) ,(

ba

(2) 若　　反向，则ba ,

) ,( ba

(3) 若　　不平行，则ba , ),0() ,(

ba

4. 向量的投影性质 .

定理 2. ( 投影定理 ) 设向量 AB 与轴 u 的夹角为

则 PrjuAB = || AB ||·cos

B

B

A

A

u

B1

定理 3: 两个向量的和在轴 u 上的投影等于两个向量在　　该轴上的投影的和。

推论 :

nuuunu ajajajaaaj PrPrPr)(Pr 2121

B

B

A

A

u

C

C1a

2a21 aa

2121 PrPr)(Pr ajajaaj uuu 即

ajaj uu Pr)(Pr 即

定理 4: 实数与向量　的乘积在轴 u 上的投影，

　　等于乘以向量　在该轴上的投影。

a

a

二 . 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示

1. 空间直角坐标系的建立

o

z

x

y

z

x

y

x 轴 ( 横轴 ) 、 y 轴 ( 纵轴 ) 、 z 轴 ( 竖轴 ) 组成了一个空间直角坐标系 , 又称笛卡尔 (Descarstes)坐标系，点 O 叫做坐标原点 .

o

( 一 ) 　空间直角坐标系

2. 坐标面 .

由三条坐标轴的任意两条确定的平面 , 称为坐标面 , 分别叫 x y 面 . y z 面、 z x 面 , 它们将空间分成八个卦限 . z

IV

VI

V

VII

0

x

y

VIII

IIIII

I

1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示 .

R

Q

P

< M > (x, y, z)

记 : 点 M 为 M (x, y, z)

O

x

y

z

M

x

y

z

( 二 ) 空间向量的表示

(1) 若点 M 在 yz 面上 , 则 x = 0;

在 zx 面上 , 则 y = 0;

在 xy 面上 , 则 z = 0.

(2) 若点 M 在 x 轴上 , 则 y = z = 0

在 y 轴上 , 则 x = z = 0在 z 轴上 , 则 x = y = 0

特别 :

2. 空间向量的坐标表示(1) 起点在原点的向量 OM

设点 M (x, y,z)

以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z轴正向的单位向量 , 称为基本单位向量 .

OM = OA + AN +NM

= OA + OB + OC = xi + yj + zk

x, y, z, 分别是 OM 在三坐标轴上的投影 , 称为OM 的坐标 .

z

i jk M

o

x

y

C

A

B

z

yx

N

简记为 OM =(x, y, z) 称为向量 OM 的坐标表示式 .

z

i jk M

o

x

y

C

A

B

z

yx

N

由于：22 |||||| NMONOM

222 zyx

从而：

222 |||||| OCOBOA

222 zyxOM (1)

(2). 起点不在原点 O 的任一向量 a = M1M

2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)

a = M1M2 = OM2 OM1

= (x2 i+ y2 j + z2 k)

(x1 i + y1 j + z1 k)

= (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k

即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量 a 的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1

分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影 , 称为 a 的坐标 .

z

xy

M1 M2a

o

a = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)

22221 zyx aaaMM

两点间距离公式：由此得

212

212

212 )()()( zzyyxx (2

)

212

212

21221 )()()( zzyyxxMM (3)

(3). 运算性质设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且为常数

a b = (ax bx , ay by , az bz )

a = (ax , ay , az)

证明 : a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)

= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)

= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k

a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )

(4) 两向量平行的充要条件 .

设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz),

即 ax =bx, ay =by, az =bz,

于是

注 : 在 (*) 式中 , 规定若某个分母为零相应的分子也为零 .

a // b z

z

y

y

x

x

ba

ba

ba (*)

a // b a = b则 (为常数 )

例如： (4, 0, 6) // (2, 0, 3)

1. 方向角 : 非零向量 a 与 x, y, z 轴正向夹角 , , 称为 a 的方向角 .2. 方向余弦 : 方向角的余弦

cos, cos, cos 称为方向余弦 .

3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式

故有 ax =|| a || cos

ay =|| a || cos

az =|| a || cos

a

y

z

x

0

设 a =(ax, ay, az,)

( 三 ) 向量的模与方向余弦的坐标表示式

又：222|||| zyx aaa a

222

222

222

cos

,cos

,cos

zyx

z

zyx

y

zyx

x

aaa

a

aaa

a

aaa

a

(4)

(5)

由 (5) 式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1 (6)

设 ao 是与 a 同向的单位向量ao

||a||

a

222222222,,

zyx

z

zyx

y

zyx

x

aaa

a

aaa

a

aaa

a

= (cos , cos , cos ) (7)

　　例 2. 已知两点 M1(2, 2, ) 和 M2(1, 3, 0).

计算向量 M1 M2 的模 , 方向余弦和方向角 .

2

解 : M1 M2 = (1, 1, )2

||M1 M2 || = ;24)2(1)1( 222

;2

2cos ,21cos ,

21cos

43 ,

3 ,

32

例 3: 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和 B(3, 5, 2)

等距离的点 .

解 : 设该点为 M(0, 0, z)

由题设 |MA| = |MB|.

即 :

222

222

)2()05()03(

)7()01()04(

z

z

解得 : 914z

所求点为 M (0, 0, )9

14

例 4 证明以 M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 .

解 :14)12()31()47(|| 222

21 MM

6)23()12()75(|| 222

32 MM

6)13()32()45(|| 22213 MM

由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形 .

§2 　向量的数量积 . 向量积及混合积一、 向量的数量积例如 : 设力 F 作用于某物体上 , 物体有一段位移 S

, 　　求功的表示式 .解 : 由物理知 , 与位移平行的分力作

功 , 与位移垂直的分力不作功 .

于是W=|F |cos |S | = |F | |S | cos

s

F

且2

0 当 时，做正功；

2

当 时，做负功；

2

当 时，不做功。

设有两个向量 a 、 b, 它们的夹角为 ,

即 : a b = |a| |b| cos

1. 定义 1:

将数值 |a ||b|cos 称为 a 与 b 的数量积

( 或 点积 ), 记作 a b .内积

注 1: 当 a 0 时 , | b | cos = Prjab

当 b 0 时 , | a |cos = Prjb

a于是　　 a b = |a| Prjab = |b| Prjba

注 2: 　　 a a = | a |2

例如 : 　　 i i = j j = k k = 1

a b = |a| |b| cos

(1) 交换律 a b = b a

(2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 数量积满足如下结合律 :

( a) b = a ( b) = (a b), 为实数

2. 数量积的性质

(4) a a 0 ， a = 0且 a a = 0

a b = |a| |b| cosa b = |a| Prjab = |b| Prjb

a

证 : 　必要性 : 　设 a b, .2

则

02

cos||||

baba

充分性 : 设 a b = | a | |b |cos =0; 由 a 0, b 0,

得 : cos =0 ,2

即　　 a b

例如 : i 、 j 、 k 互相垂直 , 所以

i j = j k = i k = 0

(5) 两个非零向量 a , b 垂直　 a b = 0

如图 , 利用数量积证明三角形的余弦定理

| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos

证 :

| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)

= a a + b b 2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos

| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故 :

ab

c

例 1.

由于 c = a b , 于是

= a (a b) b (a b)

3. 数量积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 则

a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )

= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k )

+ az k (bx i + by j + bz k )

= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k

+ ay bx j i +ay by j j + ay bz j k

+ az bx k i + az by k j + azbz k k

= ax bx + ay by + az bz

得公式 : a b = ax bx + ay by + az bz (1)

推论 : 两个非零向量

a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz) 垂直

ax bx + ay by + az bz = 0

4. 数量积在几何中的应用

设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz),

(1) 求 a 在 b 上的投影 .

Prjba = | a | )cos(

a,b

由 |a | |b | = a b , 得

)cos(

a,b

222jPr

zyx

zzyyxx

bbb

bababa

|b|

baab (2)

已知 :

(2) 求两向量 a, b 的夹角

由 | a | | b |cos = a b, 知

|a||b|

baθ

cos

(3)222222zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1) 和 B(2, 1, 2), 求 AMB.

AMB 即为向量 MA 与 MB 的夹角 . 由MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1)

得 : cosAMB=|||| MBMA

MBMA

2

1

101011

100111222222

所以3

AMB

例 2

解 :

由力学规定 : 力 F 对支点 O

的力矩是一个向量 M .其中 :

F

OQ

P L

(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin ·|F | = |OP| |F | sin(2) M 的方向 : 垂直于 OP 与 F 所在的平面 , 指向满足右手规则 . 即 : 右手四指从 OP 以不超过的角转向 F 握拳 , 大拇指的指向就是 M 的方向 .

设 O 为一根杠杆 L 的支点 , 有一个力 F 作用于这杠杆上 P 点处 , F 与 OP 的夹角为 , 考虑 F 对支点 O 的力矩 .

例如 :

二、两向量的向量积

a

b

c = ab

(1) | c | = | a | | b | sin

(2) c 与 a 、 b 所在的平面垂直 , ( 即 c a 且 c b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定 .

则将向量 c 称为 a 与 b 的向量积 , 记作 : a b.即 : c = a b

注 : 向量积的模的几何意义 .

以 a 、 b 为邻边的平行四边形 , 其面积等于 | a | | b |sin

, 所以 a b 的模 , 等于以 a 、 b 为邻边的平行四边形的面积 .

1. 定义 1:设有两个向量 a 、 b,

夹角为 , 作一个向量 c, 使得

向量积的性质(1) a a = 0

(2) 反交换律 a b = b a

(3) 分配律 a (b + c) = a b + a c

(4) 向量积与数乘满足结合律 :

(b + c) a = b a + c a

( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数

| c | = | a | | b | sin

必要性 : 设 a 、 b 平行 , 则 = 0 或 = . 于是

| a b | = | a | | b |sin = 0

所以 a b = 0

充分性 : 设 a b = 0 则 | a b | = | a | | b |sin = 0

由 | a | 0, | b | 0, 得

= 0 或 = . 所以 a 与 b 平行

证 :

(5) 两个非零向量 a 、 b 平行 a b = 0

例如 : i i = j j = k k = 0

i j = k

j i = k k j = i i k = j

k j

i

x

y

z

k i = jj k = i

2 、向量积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )

= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k )

+ az k (bx i + by j + bz k )

= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k )

+ ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k )

+ az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k

)= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i +

az bx j + az by( i )= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k

得公式 :

a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

求垂直于向量 a = (2, 2, 1) 和 b = (4, 5, 3) 的向量c. a b 同时垂直于 a 、 b

354

122

kji

ba

= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i

= i 2j + 2k

取 c = a b = (1, 2 , 2).

显然 , 对于任意 0R, c = (,2, 2) 也与 a 、 b 垂直 .

例 3:

解 :

而

已知 ABC 的顶点分别是 A(1, 2, 3), B(3, 4,

5), C(2, 4, 7), 求 ABC 的面积 .

x

y

z

AB

C

o

由向量积的定义 .

||2

1ACABS ABC

而 AB = (2, 2, 2)

AC = (1, 2, 4)

所以421

222

kji

ACAB = 4i 6j + 2k

于是 ||2

1ACABS ABC 142)6(4

2

1 222

例 4:

解 :

三、两向量的混和积

1. 定义 2 称 与 的向量积

再与向量 的数量积为向量 , ,

[ ] ＝ ( )

即的混合积，记作 [ ]

设有三个向量 , , ,

则有设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),

2. 混合积的坐标表示式

zy

zy

bb

aa

zx

zx

bb

aa

yx

yx

bb

aai j k ,

)(zy

zy

bb

aa

zx

zx

bb

aa

yx

yx

bb

aacx cy cz,

zyx

zyx

bbb

aaai j k

)( .

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

混合积性质：

(1) [ ] = [ ]= [ ]

= – [ ]= – [ ] = – [ ]

事实上，若 , , 在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于 , 即

( ) = 0

(2) , , 共面 [ ]= 0

混合积 ( ) 的绝对值等于以 , ,

为棱的平行六面体的体积 V 的数值。

h

平行六面体

所以，

= |( ) |

3 、混合积 ( ) 的几何意义

|| ijph

V = S h = || || ijp

|| S底面积高 h 为 在 上的投影的绝对值

a b = |a| Prja

b

例 5:已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2),

C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4)

求四面体 ABCD 的体积。解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和

AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，

.|][|6

1ADACABV

AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1),

AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1),

AD = (x4 – x1, y4 – y1, z4 – z1),

即

所以，

V = ,

,,

,,

,,

6

1

141414

131313

121212

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。