ใบความรท� 2 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

ใหนกเรยนพจารณาสถานการณตอไปน� ถานกเรยนทราบเพยงวา “ปงและปองมหนงสอรวมกน 9 เลม” นกเรยนบอกไดแนนอนหรอไมวาปงมหนงสอก(เลมและปองมหนงสอก(เลม ถาให x แทน จานวนหนงสอของปง y แทน จานวนหนงสอของปอง เราสามารถเขยนขอความขางตนเปนประโยคสญลกษณไดวา 9yx =+ จะเหนไดวาคาตอบของสมการน� มหลายคาตอบไดแก (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2) และ (8, 1) ดงน�นนกเรยนจะไมทราบแนนอนวาปงมหนงสอก(เลม และปองมหนงสอก(เลม ถานกเรยนทราบขอมลเพ(มข�นอกวา “ปองมหนงสอนอยกวาปง 5 เลม” นกเรยนจะทราบแนนอนหรอไมวา ปงและปองมหนงสอคนละก(เลม เราสามารถเขยนขอความ “ปองมหนงสอนอยกวาปง5 เลม” เปนประโยคสญลกษณไดวา 5yx =− คาตอบของสมการน� มหลายคาตอบ เชน (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4) แตเม(อพจารณาคาตอบของสมการ 9yx =+ และ 5yx =− จะเหนวา (7, 2) เปนคาตอบเดยวท(สอดคลองกบสมการท�งสอง ดงน�นเม(อทราบขอมลเพ(มข�น นกเรยนจะทราบแนนอนวาปงมหนงสอ 7 เลม และปองมหนงสอ 2 เลมและนาไปเขยนกราฟไดดงน� จานวนหนงสอของปอง (เลม)

จานวนหนงสอของปง (เลม) ตอไปน� เราจะ เรยก 9yx =+ 5yx =− วา

และเรยก (7, 2) วา

ใบความรท� 1.2 ระบบสมการเชงเสน

(7,2)

ครบญนา เกษ 15 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ให a, b, c, d, e, และ f เปนจานวนจรงท( a, b ไมเปนศนยพรอมกนและ c, d ไมเปนศนยพรอมกน เรยกระบบท(ประกอบดวยสมการ

ebyax =+ fdycx =+ วาระบบสมการเชงเสนสองตวแปรท(ม x และ y เปนตวแปร กลาววา a และ c เปนสมประสทธJ ของ x b และ d เปนสมประสทธJ ของ y คาตอบของระบบสมการเชงเสนสองตวแปร คอ คอนดบ (x, y) ท(สอดคลองกบสมการท�งสอง หรอคอนดบ (x, y) ท(คา x และคา y ทาใหสมการท�งสองของระบบสมการเปนจรง

จะตองมความรพนฐานอะไรบางนะ ?

ถงจะสามารถหาคาตอบ

ของระบบสมการได

สงทจะตองทาความเขาใจกคอ คาตอบของระบบสมการ

ระบบสมการอาจจะมคาตอบเดยว ไมมคาตอบ หรอมหลายคาตอบ

ดงแสดงในตวอยางตอไปนะ

ความรพนฐาน มดงน

1. การเขยนกราฟของสมการเสนตรง 2. สมบตการเทากนในระบบจานวนจรง

และใชความรพนฐานดานอน ๆ

ครบญนา เกษ 16 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ใหนกเรยนพจารณาการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนสองตวแปรดวยการเขยนกราฟของแตละระบบสมการบนระนาบโดยใชแกนคเดยวกน ดงตวอยางตอไปน�

จงหาคาตอบของระบบสมการ 3x3y −=

2x2y +−= วธทา เขยนกราฟของสมการท�งสองไดดงน�

จากกราฟ จะเหนวามคอนดบมากมายท(เปนคาตอบของสมการ 3x3y −= และมคอนดบมากมายท(เปนคาตอบของสมการ 2x2y +−= เน(องจากกราฟของสมการท�งสองเปนเสนตรงท�งสองเสนซ(งตดกนท(จด (1, 0) เพยงจดเดยว แสดงวามคอนดบเพยงคเดยวคอ (1, 0) ท(เปนคาตอบของระบบสมการ ด�งน�น ระบบสมการน� จง

คงไมลมวธเขยนกราฟนะจะ หาจดตดบนแกน Y โดยให x=0 แลวคานวณหาคา y หาจดตดบนแกน X โดยให y=0 แลวคานวณหาคา x

แลวลากเสนตรงเชอมจดทงสอง

ครบญนา เกษ 17 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

จงหาคาตอบของระบบสมการ 2xy +=

2xy −= วธทา เขยนกราฟของสมการท�งสองไดดงน�

จากกราฟ จะเหนวามคอนดบมากมายท(เปนคาตอบของสมการ 2xy += และมคอนดบมากมายท(เปนคาตอบของสมการ 2xy −= เน(องจากกราฟของสมการท�งสองเปนเสนตรงท�งสองเสนซ(งขนานกน จงไมมคอนดบเปนคาตอบของสมการท�งสอง ดงน�น ระบบสมการน�

ครบญนา เกษ 18 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

จงหาคาตอบของระบบสมการ 8x2y4 +−=

2x21

y +−=

วธทา เขยนกราฟของสมการท�งสองไดดงน�

จากกราฟ จะเหนวามคอนดบมากมายท(เปนคาตอบของสมการ 824 +−= xy และ

มคอนดบมากมายท(เปนคาตอบของสมการ 221+−= xy

เน(องจากกราฟของสมการท�งสองเปนเสนตรงท�งสองเสนซ(งทบกน แสดงวา คอนดบ ทกคอนดบท(เปนพกดของจดเปนเสนตรงท(ทบกนน� เปนคาตอบของระบบสมการ ดงน�น ระบบสมการน� จง

ครบญนา เกษ 19 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

จากตวอยางท(กลาวมาขางตนเม(อจดสมการใหอยในรป baxy += สรปไดดงน� กาหนดให 111 bxay += เม(อ 1a คอ ความชนของเสนตรง และ 1b คอ จดตดบนแกน Y และ 222 bxay += เม(อ 2a คอ ความชนของเสนตรง และ 2b คอ จดตดบนแกน Y 1) ถาความชนไมเทากน 21 aa ≠ กราฟของเสนตรงท�งสองจะตดกน แลวระบบสมการจะม

2) ถาความชนเทากน 21 aa = แตจดตดบนแกน Y ตางกน 21 bb ≠ กราฟของเสนตรงท�งสองจะขนานกน แลวระบบสมการจะ

3) ถาความชนเทากน 21 aa = และจดตดบนแกน Y เปนจดเดยวกน 21 bb = หรอ เปนสมการเดยวกนกราฟของเสนตรงท�งสองจะทบกน แลวระบบสมการจะม

ครบญนา เกษ 20 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

จงตรวจสอบวาระบบสมการมคาตอบเดยว ไมมคาตอบหรอมหลายคาตอบ โดยไมตองเขยนกราฟ

1) 4y-x = , 2y2x =+ วธทา สมการท( 1 4y-x = จดสมการใหอยในรป baxy += ได y = x -4 ม 1a1 = และ 4b1 −= สมการท( 2 2y2x =+ จดสมการใหอยในรป baxy += ได y = -2x +2 ม 2a 2 −= และ 2b2 =

เน(องจากความชนไมเทากน 21 aa ≠ กราฟตดกน ดงน*นระบบสมการจะมคาตอบเดยว

2) 12y-x = , 24y-2x = วธทา สมการท( 1 12y-x = จดสมการใหอยในรป baxy +=

ได 21

21

y −= x ม 21

a1 = และ 21

b1 −=

สมการท( 2 24y-2x = จดสมการใหอยในรป baxy +=

ได 21

21

y −= x ม 21

a 2 = และ 21

b 2 −=

เน(องจากความชนเทากน 21 aa = และ 21 bb = กราฟทบกน ดงน*น ระบบสมการจะมหลายคาตอบ

3) 6-2y3x = , -33x-2y = วธทา สมการท( 1 6-2y3x = จดสมการใหอยในรป baxy +=

ได 323

y −= x ม23

a1 = และ 3b1 −=

สมการท( 2 -33x-2y = จดสมการใหอยในรป baxy +=

ได 23

23

y −= x ม 23

a 2 = และ 23

b2 −=

เน(องจากความชนเทากน 21 aa = แต 21 bb ≠ กราฟขนานกน ดงน*น ระบบสมการจะไมมคาตอบ

ครบญนา เกษ 21 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

แบบฝกท� 2 ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

1. จงเขยนกราฟของระบบสมการแลวตรวจสอบวาระบบสมการมคาตอบเดยวไมมคาตอบหรอ มหลายคาตอบ (ตวอยางท( 1-3) 1) y = x – 4, y = -2x + 2

...................................................................

...................................................................

2) y = -2x + 1, y = -2x + 1

...................................................................

................................................................... 3) y = -2x + 1, y = -2x - 3

.................................................................. ...................................................................

4) y = 2x + 1, y = -2x + 1

...................................................................

...................................................................

แบบฝกท� 1.2 ระบบสมการเชงเสน

ครบญนา เกษ 22 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

5) y = x + 2, y = -2x - 1

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

6) x – 2y = -10, 2x - 4y = -20

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

7) 4x + y = 1, x - 2y = 7

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

8) x - 2y = 2, 2x - 4y = 8

.................................................................. ................................................................... ...................................................................

ครบญนา เกษ 23 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

2. ตรวจสอบวาระบบสมการ มคาตอบเดยว ไมมคาตอบหรอมหลายคาตอบ โดยไมตองวาดกราฟ (ตวอยางท( 4) 1) x2y =

5x2y −= ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

2) 4yx =+

8y2x2 =+ ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

3) 1x3y +−=

7x3y += ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

ครบญนา เกษ 24 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

4) 0y5x3 =−

x5

3y=

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ ..........................................................................

............................................................................ .......................................................................... 5) 5yx −=+

5yx −=− ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 6) 6y3x =−

9y3x =− ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

ครบญนา เกษ 25 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

7) 8x4y +−=

7xy += ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 8) 8x4y −=

10x2y += ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 9) 1xy +=

1x2y −= ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................

ครบญนา เกษ 26 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

10) 4yx2 =−

12y3x6 −=+− ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 11) 3y4x2 =+

8y6x3 =+ ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... 12) 06y3x =+−−

09y3x =++ ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ .......................................................................... ............................................................................ ..........................................................................