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ACTUARIAT

Master 1

Année académique 2016/2017

Intervenant: Yasmin LAHRACH / ActuaireCours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach

Introduction

Première partie: Actuariat Vie

A. Cadre théorique général

B. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque

C. Estimation des provisions mathématiques

Deuxième partie : Actuariat non vie

B. Modélisation de la fréquence du sinistre

C. Modélisation du coût individuel du sinistre

D. Estimation des provisions pour sinistres à payer Cours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach

Introduction

B. Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque

C. Estimation des provisions mathématiques

Deuxième partie : Actuariat non vie

B. Modélisation de la fréquence du sinistre

C. Modélisation du coût individuel du sinistre

D. Estimation des provisions pour sinistres à payer Cours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach

IntroductionA qui s’adresse l’actuariat?

L'actuariat s'adresse à deux catégories de professionnels :

1- Les actuaires professionnels.

2- Ceux qui, sans souhaiter devenir actuaires, ont besoin de comprendre le langage et la façon de raisonner des actuaires, afin de pouvoir dialoguer avec eux de manière professionnelle.

Cette catégorie est large; elle comprend :

Les financiers, Les commerciaux, les comptables, les juristes, les informaticiens, Les auditeurs, Les dirigeants.

Cours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach

IntroductionDéfinition de l’actuariat

Un ensemble de méthodes statistiques permettant de modéliser et gérer le risque au sein des compagnies d’assurance

Environnement: Compagnies d’assurance Objectif: Modélisation et gestion du risque Outil: Méthodes statistiques

De manière simple , l’actuariat peut être définie comme:

IntroductionEnvironnement de l’actuaire

Définition d’une compagnie d’assurance:

Une entreprise qui s’engage auprès de son client « l’assuré » de lui fournir une prestation lors de la survenance d’un événement lié à un risque donné, en

contrepartie d’un montant fixe payé par l’assuré

Deux flux financiersAssuré --> Assurance: Payement d’une prime au début du contrat

Flux financier certainAssurance -->Assuré: Prestation si sinistre à sa date de survenance

Flux Financier incertain

• Prime: montant payé par l’assuré• Sinistre: survenance du risque

Cycle de production

inversé

IntroductionEnvironnement de l’actuaire

Cycle de production inversé

Constatation des charges

Vente à un prix fixe

Collecte des primes Payement des

sinistres

TempsCycle de production classique

Cycle de production en assurance

Donc : Besoin d’estimer le coût exact du risque couvert• Si la prime est sous-estimée : Pertes subies par l’assureur• Si la prime est surestimée : Perte de parts de marché à cause de la concurrence.

Rôle de l’actuaire: Estimation des flux futurs incertainsCours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach

IntroductionRôle de l’actuaire

Définition de l’actuaire selon la SOA , institution à but éducatif

L’actuaire est reconnu à titre de principal professionnel dans la modélisation et la gestion du risque financier et des événements contingents

Les actuaires sont des experts pour évaluer la probabilité d’événements futurs, concevoir de façon créative des mesures pour réduire la probabilité d’événements indésirables, et amenuiser l’impact des événements indésirables qui surviennent…. Les actuaires sont des professionnels de premier plan pour trouver des façons de gérer le risque

Définition de l’actuaire selon la CSA: Casualty Actuarial Society

Le titre d’actuaire est organisé par un ordre : l’AAI (Association ActuarielleInternationale). Cet ordre mondial a des déclinaisons dans les pays où il areconnu une ou plusieurs structures affiliées qui respectent un standardqualité. Ce sont ces structures qui, au niveau national, dans l’ensemble despays concernés, délivrent le titre d’actuaire, en respectant les critères imposéspar l’AAI.

Dans les pays anglo-saxons par exemple, qui sont les pionniers et les leadersen matière d’actuariat, on peut citer l’Institut of Actuaries (Grande Bretagne),la Society of Actuaries (USA) et la Casualty Actuarial Society(USA).

En Afrique, seules quatre structures sont ainsi reconnues par l’AAI : l’EgyptianSociety of Actuaries, l’Association Marocaine des Actuaires (AMA), l’Institutdes Actuaires de Côte d’Ivoire et l’Actuarial Society of South Africa.

La durée de vie du contrat est généralement plus longue que l’exercice comptable

Les engagements payés au cours d’une année ne correspondent pas forcément auxprimes payés dans la même année.

Ex : Pour une assurance décès contracté en 2000, le client s’acquitte de la prime à cettedate, il décède en 2015, la prime a été bien calculée mais est ce que l’assurance dispose en2015 du montant nécessaire à verser au bénéficiaire? Si non elle puise dans ses fonds!

De ce fait, la gestion de risque doit tenir compte de deux éléments:

L’entreprise a une dette envers ses assurés, qui représente une partie des primes.

L’entreprise doit générer du cash pour ses actionnaires.

La modélisation du risque : EvaluerLa gestion du risque: Réduire

Deux rôles:

Introduction Le risque en actuariat?

Financier : On ne s’assure pas contre le risque mais contre le dommage

C’est l’impact financier lors de la survenance du risque qui est transféré.

Propriétés du risque actuariel;

Aléatoire : incertain, dont le résultat peut prendre plusieurs valeurs, défini surun ensemble d’éventualités

Inexistant : La survenance du risque ne doit pas être antérieure à la conclusiondu contrat d’assurance

Redouté : l’indépendance de la volonté de l’assuréL’assurance n’accepte pas d’assurer un risque dont l’avènement implique laparticipation de l’assuré soit par préméditation soit par négligence avérée.C’est le principe des exclusions dans les contrats d’assurance

La classification d’usage au sein des compagnies d’assurance est la suivante :

Risques pesant sur les personnes : Assurances de Personnes

Le contrat couvre les personnes physiques contre :les accidents corporels, l'invalidité, la maladie, le décès.

Risques pesant sur le patrimoine : assurances dommages/IARD

Le contrat couvre les biens et les responsabilités des personnes assurées comme les contrats assurance automobile, Incendie, tous risques chantier, Assurance multirisque habitation, Assurance maritime,…

Types du risque actuariel;

Produits d’assurance

AssuranceIncendie

AssuranceAutomobile

Assurance en cas de décès

Assurance en cas de vie

MaladieAssuranceHabitation

Assurance risque chantier

Accidents corporels

• Date incertaine• Montant fixe

• Date incertaine• Montant incertain

Assurance de Personnes Assurance Dommages

Introduction Distinction Actuariat vie / Actuariat non vie

Classification par spécificité d’aléa

AssuranceIncendie

AssuranceAutomobile

Assurance en cas de décès

Assurance en cas de vie

MaladieAssuranceHabitation

Assurance risque chantier

Accidents corporels

Actuariat vie Actuariat non vie

Aléa viagerAléa de taux

Échéances longuesVariance faible

Aléa de chargeAléa de fréquenceÉchéances courtesGrande variance

Introduction Distinction Actuariat vie / Actuariat non vie

Outils et prérequis

Actuariat vie Actuariat non vie

Outils • Tables de mortalité• Fonction

d’actualisation/capitalisation• Formules actuarielles

Prérequis• Probabilités• Mathématiques financières

élémentaires

PrérequisLois de probabilitésRégression linéaire

Outils• Modélisation économétrique• Analyse de données• Logiciels statistiques

Introduction

Chapitre 1: Cadre théorique général

a. Risque de mortalité

b. Prime de risque

c. Commutations

Chapitre 2: Techniques actuarielles pour le calcul de la prime de risque

Chapitre 3: Estimation des provisions mathématiques

Deuxième partie : Actuariat non vieCours actuariat /HEM/ préparé et animé par yasmin lahrach

Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique général/ Risque de mortalité

T : la variable aléatoire continue de l’âge au décès, représentant la durée de vie d’un individu.

FT : Fonction de répartition associée à T

FT(x) =Pr[T ≤ x] ; x ≥0 est la probabilité que la durée de vie d’un individu soit inférieure ou égale à l’âge x

TX : variable aléatoire représentant la durée de vie restante d’un individu âgé de x

Relation entre T et TX :

TX = T-x | T>x

Probabilités de décès et de survie

Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique général/ Risque de mortalité

Notations

La probabilité qu’un individu d’âge x décède avant t

tqx =Pr[Tx ≤ t] = Pr[T ≤ x+t | T>x ]

1qx= qx

La probabilité de survie d’un individu d’âge x au-delà d’une durée t est égale à :

tpx = Pr[TX > t] = 1- Pr[TX≤ t]= 1- tqx

1px= px

La probabilité de décès d’un individu d’âge x entre t et t’

t|t’qx = Pr[t<TX≤ t+ t’]= Pr[t+x< T ≤ x+t+ t’| T>x ]

Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Risque de mortalité

Taux instantané de mortalité :

La mortalité est un phénomène continu dans le temps

Individu à l’âge x et supposé vivant à la date t (donc à l’âge x+t), on cherche la probabilité qu’il décède dans l’intervalle de temps t ;t +∆t.

Pr[ t<TX≤ t +∆t | Tx>t ]

la probabilité qu’un individu d’âge x survive à l’âge x+t+ t’ est la probabilité qu’il survive à l’âge x+t puis à l’âge x+t+ t’.

t+t’px= tpx . t’px+t

tpx . px+tt+1px =px . tpx+1t+1px =

De manière générale:

npx= px . px+1 . px+2 ……….. px+n-1

la probabilité qu’un individu d’âge x décède avant l’âge x+t+1 est la probabilité qu’ildécède avant x+1, ou bien qu’il survive à l’âge x+1 et décède avant l’âge x+1+t.

t+1qx= 1qx +1px .tqx+1

De manière générale:

nqx= 1qx +1px .qx+1 +2px .qx+2 +n-1px .qx+n-1

t|t’qx= tpx - t+t’px

t|t’qx= tpx . t’qx+t

t|t’qx= t+t’qx - tqx

la probabilité qu’il survive à l’âge x+t, mais non à l’âge x+t+ t’.

la probabilité qu’un individu d’âge x décède entre les âges x+t et x+t+ t’

la probabilité qu’il décède avant l’âge x+t+ t’, mais pas avant x+t.

la probabilité qu’un individu d’âge x décède entre les âges x+t et x+t+t’ est:

Exercice 1:

On suppose que les probabilités de survie d’une tête d’âge actuel 60 ans est:

à 63 ans 3p60 = 0,9502 et 5p60 = 0,9125 à 65 ans.

1- Quelle est la probabilité pour qu’une tête de 63 ans survive à 65 ans?

2- sachant que les probabilités annuelles de décès de cet individu sont:

q60=0, 0156

2q60=0,0323

Calculer sa probabilité de décès annuelle à l’âge 61 ans?

Exercice 2

Pour le même individu: on a les probabilités annuelles de décès suivantes:

3|2q40=0, 0077

3p40 = 0,9907

L’estimation des probabilités de décès se fait à travers de l’observation d’un ensemble d’individus du même âge sur plusieurs années (cohorte), on suit année après année le nombre de survivants

Notations :

Soit : la variable aléatoire X(t) définie comme suit

X(t)=1 si l’individu est vivant à la date t

X(t)= 0 si l’individu sinon

Donc :

E(X)= 1.tpx+0. tqx = tpx

Estimation des probabilités de décès et de survie

Notations :

lx : nombre d’individus de même âge observé sur plusieurs années

Lx+t: variable aléatoire, le nombre d’individus survivants à l’âge x+t

Lx+t= somme ( Xi(t)) i allant de 1 à lx

Donc E(Lx+t)= lx . tpx=lx+t

On a alors : tpx= lx+t/lx

Estimation des probabilités de décès et de survie

Exemple de table de mortalité

Table de mortalité

• La fonction l est positive et décroissante.• La table donne les valeurs de l pour des

âges entiers• l0= 100 000 par convention• ω: âge ultime : premier âge où il n’y a

plus de survivants• lω =0 • lx: nombre de survivants à l’âge x au sein

de la génération • dx= nombre de décès entre l’âge x et x+1

Age lx dx qx px

0 100 000 648 0,65% 99,35%

1 99 352 58 0,06% 99,94%

2 99 294 33 0,03% 99,97%

3 99 261 25 0,03% 99,97%

4 99 236 22 0,02% 99,98%

5 99 214 20 0,02% 99,98%

Formules utiles

• px = lx+1/lx : probabilité annuelle de survie

• dx= lx-lx+1 nombre de décès entre l’âge x et x+1

• qx=dx/lx : taux annuel de décès par âge

• npx = lx+n/lx : probabilité de survie de l’âge x à l’âge x+n

• nqx= (lx – lx+n) : probabilité de décès dans les n années (ayant l’âge x de

décéder avant l’âge x+n )

• n|qx =(lx+n – lx+n+1) : Probabilité de décès dans n années (ayant l’âge x de

décéder entre les âges x+n et x+n+1)

Table de mortalité

________lx

Exercice 1:

Compléter les tables suivantes:

Table de mortalité

Age lx dx

14 99 062

15 99 041 23

17 98 989

19 98 913 44

Age lx px

22 98 778 99,96%

24 98 689

25 99,95%

26 99,95%

27 98 537 99,98%

Exercice 2:

Table de mortalité

Age lx

0 100 000

1 99 352

10 99 129

40 97 534

70 84 440

71 83 251

calculer d70 :

calculer q70 :

calculer 30p40 :

calculer 30q40 :

calculer 30|q40 :

Définition : Moyenne à l’âge x du nombre d’années restant à vivre

ex= lx+1 + lx+2 + lx+2 …….. lω ex= 𝑡=1ω−𝑥

𝑡𝑝𝑥

Espérance de vie abrégée : décès en début d’année

Espérance de vie complète : décès en milieu d’année ex=ex+1/2

exemple

Espérance de vie

TV 88-90 à 60 ans à 70 ans à 80 ans à 0 ans

Espérance de vie 23,50 15,80 8,12 80,20

les tables de mortalité brutes : résultant du recensement à un momentdonné

les tables de mortalité ajustées : table ajustée analytiquement

Différentes techniques existent :- Méthode de King et Hardy et variantes- Méthode des moindres carrés

les tables d’expérience : tables tenant compte de l’expérience d’un assureur

les tables de mortalité périodiques : suppose que la mortalité va rester stable dans le futur

les tables de mortalité prospectives : intègre une évolution future attendue de la mortalité, introduisant une amélioration progressive de la mortalité.

Types de table de mortalité

En vigueur depuis 2006, tables de mortalité françaises qui remontent aux années 90

TD 88-90 : Tarification des engagements en cas de décès

TV 88-90 Tarification des engagements en cas de vie

Ce sont des tables de mortalité abrégées

Pertinence de ce choix ?

Impact d’une table de mortalité récente ?

Table de mortalité réglementaire

Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Prime de risque

Le montant que l’assurance aura à débourser si réalisation du risque assuré correspond à un flux futur.

Rappelons la notion de valeur actuelle:

Taux technique d’actualisation

La valeur actuelle est le montant qu’on doit investir aujourd’hui, pendant une durée n, à un taux t, afin de percevoir une somme S à la fin de l’investissement

(1+t)nVA=

Taux technique d’actualisation

Le taux d’intérêt utilisé en assurance s’appelle le taux d’intérêt technique

Quel taux d’intérêt ?

Les contrats d’assurance sur la vie étant des contrats généralement delongue durée.

On choisira un taux d’intérêt technique de telle manière que le taux derendement des capitaux placés ne soit inférieur au taux technique.

Le taux technique est réglementaire.

Au Maroc, il est de 3,25%

Valeur actuelle probable

Le versement d’un capital est tributaire de la réalisation du risque, décès ou survie selon les termes du contrat

La valeur actuelle comporte un aléa viager

En assurance on calcule une valeur actuelle qui intègre les probabilités de vie ou de décès

La valeur actuelle probable : VAP

La VAP est le montant que doit investir aujourd’hui une personne d’âge x , sur la base d’un taux d’intérêt technique t et d’une durée d’investissement n , pour percevoir une somme à la fin de l’opération, si l’aléa viager se réalise

Valeur actuelle probable

Prenons, un contrat de capital différé:

• Capital S ,versé à condition que l’assuré d’âge x soit en vie au terme du contrat n

• En cas de décès de l’assuré : 0

Caractéristique de la VAPValeur actuelle probable d’une série de flux futurs incertains

=Somme des VAP des flux futurs incertain

S . lx+n

(1+t)nlx

Prime Pure

• La prime pure d’un contrat d’assurance est calculée selon le principe d’équivalence:

Égalité entre les engagements de l’assureur et les engagements du preneur

• La valeur de la prime est obtenue de telle façon qu’elle vise à couvrir les prestations assurées sans laisser ni bénéfice ni perte à l’assureur

C’est-à-dire : Prime Pure = Valeur actuelle probable

Prime Pure

Reprenons l’exemple précédent du contrat de capital différé:

• Capital S, versé à condition que l’assuré d’âge x soit en vie au terme du contrat n

• En cas de décès de l’assuré : 0

Prime pure =

Exemple:Age = 30 ansS= 1.000.000 dhs Prime pure = ?n= 20 Taux d’intérêt technique =3,25%Table réglementaire marocaine

S . lx+n

(1+t)nlx

Prime Pure

Question?

La prime sera d’autant plus élevée que

le taux technique est …. bas? Élevé?

la mortalité est …..? Faible? Élevée?

l’âge de l’assuré est ….? Bas ?grand?

la durée du contrat ….? Courte ? longue?

Prime Pure:Illustration pour capital différé

Prime commerciale

Le calcul de la prime pure selon le principe de l’équivalence suppose que:

l’assureur investira les primes perçues au taux technique; la proportion de survivants observée dans son portefeuille est conforme à la

table de mortalité utilisée.

Si telle n’est pas la réalité, l’assureur réalisera une perte ou un bénéfice selon le cas.

Donc la prime demandée sera majorée, afin de couvrir les frais d’exploitation, le risque de mortalité, de rendement financier

Prime commerciale

La prime payée par l’assuré à la compagnie d’assurance correspond à la prime commerciale

Prime d’inventaire= Prime pure+ frais administratifPrime commerciale = prime d’inventaire + frais d’acquisition + frais d’encaissement de primes

Périodicité de la prime

Il existe deux sortes de primes :

Prime unique : la prime est payée en un seul versement au début du contrat

Prime nivelée : Prime payée en plusieurs versements

• Prime annuelle : l’assuré est tenu à faire des versements chaque année du contrat pour autant qu’il soit en vie au moment de leurs échéances

• Prime fractionnées, semestrielles, trimestrielles ou mensuelles• Prime limitée : l’assuré est tenu à des versements chaque année des m

premières années du contrat. Il en est libéré dès la (m+1)ème année.

Calcul de la prime nivelée

Reprenons l’exemple précédent du contrat de capital différé:• Capital S, versé à condition que l’assuré d’âge x soit en vie au terme ducontrat n• En cas de décès de l’assuré : 0

Au lieu de payer une prime unique au début du contrat, l’assuré paye une primeau début de chaque année, tant qu’il est vivant.Calcul?

Selon le principe de l’équivalence: la valeur actuelle de l’engagement de l’assuré doit être égale à la valeur actuelle de l’engagement de l’assureur à l’instant t

Valeur actuelle probable de l’engagement de l’assuré

0 1 2 n

Donc la prime annuelle est égale :

VAP= Pa +Pa.1px

+(1+t)1

Pa.2px+

Pa.n-1px

(1+t)2 (1+t)n-1…+

VAP= ∑i=0

Pa. ipx

(1+t)i=

S .npx

(1+t)nS .

npx(1+t)n

∑i=0

(1+t)i

Exemple:Age = 70 ansS= 1.000.000 dhs Prime annuelle? n= 3 Taux d’intérêt technique =3,25%Table réglementaire

Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Commutations

Pour faciliter les calculs, il existe un certain nombre de commutations qui

s’appliquent à l’assurance en cas de décès et à l’assurance en cas de vie

Posons: ν =(1+t)

Sx= Nx+ Nx+1+Nx+2+…

Les commutations usuelles sont:

Dx= lxνx.

Nx= Dx+ Dx+1+ Dx+2+…

Cx= dxνx+1/2. __

Cx= dxνx+1.

Mx= Cx+ Cx+1+ Cx+2+… Mx= Cx+ Cx+1+ Cx+2+…__ __ __ __

Rx= Mx+ Mx+1+Mx+2+… Rx= Mx+ Mx+1+Mx+2+…__ __ __ __

Partie 1: Actuariat VieChapitre 1. Cadre théorique global/ Commutations

Application: Capital différé pour une somme de 1

Prime Unique= 1 .(1+t)n

lx+n1 .npx

(1+t)n =

nEx= νn. lx

lx+n =Dx

Prime Annuelle =

∑i=0

(1+t)i

Démonstration?

Nx - Nx+n

Dx Dx+n

Nx - Nx+n

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