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  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Actuariat de lAssurance Non-Vie # 4

    A. Charpentier (Universit de Rennes 1)

    ENSAE ParisTech, Octobre / Dcembre 2016.

    http://freakonometrics.hypotheses.org

    @freakonometrics 1

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Modles Linaires Gnraliss

    Pour la rgression linaire Gaussienne, Y |X = x N (xT, 2)

    Pour la rgression logistique, Y |X = x B(H(xT)) avec H(s) = es

    1 + es

    Pour la rgression de Poisson, Y |X = x P(exp(xT))

    Plus gnralement Y |X = x L(x, ) avec x = h(E[Y |X = x] = g(xT))

    On garde un modle linaire, mais on va avoir une gnralisation un grandnombre de lois.

    @freakonometrics 2

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Modles linaires, non-linaires et linaires gnraliss

    le modle linaire

    (Y |X = x) N (x, 2)

    E[Y |X = x] = x = xT

    1 > fit

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Modles linaires, non-linaires et linaires gnraliss

    Les modles non-linaires

    (Y |X = x) N (x, 2)

    E[Y |X = x] = x = m(x)

    1 > fit fit

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Modles linaires, non-linaires et linaires gnraliss

    Les modles linaires gnraliss

    (Y |X = x) L(x, )

    E[Y |X = x] = h1(x) = h1(xT)

    1 > fit

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    La famille exponentielle

    Rfrences: Frees (2010), chapitre 13, de Jong & Heller (2008), chapitre 5, etDenuit & Charpentier (2005), chapitre 11.

    Considrons des lois de paramtres (et ) dont la fonction de densit (parrapport la mesure dominante adquate (mesure de comptage sur N ou mesurede Lebesgue sur R) scrit

    f(y|, ) = exp(y b()a() + c(y, )

    ),

    o a(), b() et c() sont des fonctions, et o est appel paramtre naturel. Leparamtre est le paramtre dintrt tandi que est considr comme unparamtres de nuisance (et suppos connu, dans un premier temps).

    @freakonometrics 6

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    La famille exponentielle

    Exemple La loi Gaussienne de moyenne et de variance 2, N (, 2)appartient cette famille, avec = , = 2, a() = , b() = 2/2 et

    c(y, ) = 12

    (y2

    2+ log(22)

    ), y R,

    Exemple La loi de Bernoulli de moyenne , B() correspond au cas = log{p/(1 p)}, a() = 1, b() = log(1 + exp()), = 1 et c(y, ) = 0.

    Exemple La loi binomiale de moyenne n, B(n, ) correspond au cas

    = log{p/(1p)}, a() = 1, b() = n log(1 + exp()), = 1 et c(y, ) = log(n

    y

    ).

    Exemple La loi de Poisson de moyenne , P() appartient cette famille,

    f(y|) = exp()y

    y! = exp(y log log y!

    ), y N,

    avec = log , = 1, a() = 1, b() = exp = et c(y, ) = log y!.

    @freakonometrics 7

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    La famille exponentielle

    Exemple La loi Binomiale Ngative, de paramtres r et p,

    f(k|r, p) =(y + r 1

    y

    )(1 p)rpy, y N.

    que lon peut crire

    f(k|r, p) = exp(y log p+ r log(1 p) + log

    (y + r 1

    y

    ))soit = log p, b() = r log p et a() = 1

    On reviendra sur cette loi dans la prochaine section du cours.

    @freakonometrics 8

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    La famille exponentielle

    Exemple La loi Gamma (incluant la loi exponentielle) de moyenne et devariance 1,

    f(y|, ) = 1()

    (

    )y1 exp

    (y

    ), y R+,

    est galement dans la famille exponentielle. Il faut choisir = 1, a() = ,

    b() = log(), = 1 et

    c(y, ) =(

    1 1)

    log(y) log(

    (

    1

    ))

    On reviendra sur cette loi dans la section du cours sur la modlisation des cotsde sinistres.

    @freakonometrics 9

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Esprance et variance

    Pour une variable alatoire Y dont la densit est de la forme exponentielle, alors

    E(Y ) = b() et Var(Y ) = b(),

    i.e. la variance de Y apparat comme le produit de deux fonctions:

    la premire, b() , qui dpend uniquement du paramtre est appelefonction variance,

    la seconde est indpendante de et dpend uniquement de .

    En notant = E(Y ), on voit que le paramtre est li la moyenne . Lafonction variance peut donc tre dfinie en fonction de , nous la noteronsdornavant

    V() = b([b]1()).

    Exemple Dans le cas de la loi normale, V() = 1, dans le cas de la loi dePoisson, V () = alors que dans le cas de la loi Gamma, V () = 2.

    @freakonometrics 10

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Esprance et fonction lien

    Notons que la fonction variance caractrise compltement la loi de la familleexponentielle. Chacune des lois de la famille exponentielle possde une fonctionde lien spcifique, dite fonction de lien canonique, permettant de relierlesprance au paramtre naturel (ou canonique) . Le lien canonique est telque g?() = . Or, = b() donc g?() = b()1.

    Exemple Pour la loi normale, = (link=identity),

    Exemple Pour la loi de Poisson, = log() (link=log)

    Exemple Pour la loi de Bernoulli, = logit() = log 1 , (link=logit)

    Exemple Pour la loi Gamma, = 1/ (link=inverse)

    @freakonometrics 11

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Esprance et variance

    Loi de probabilit V ()

    Normale 1Poisson Gamma 2

    Inverse gaussienne 3

    Binomiale (1 )

    @freakonometrics 12

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Esprance et variance, la famille Tweedie

    Tweedie (1984) a suggr la famille suivante

    f(y|, ) = A(y, ) exp{

    1

    [y()

    (()

    )]},

    o

    () =

    1

    1 6= 1

    log = 1et

    (()

    )=

    2

    2 6= 2

    log = 2

    La loi de Y est alors une loi Poisson compose, avec des sauts Gamma,

    Y CPoi(2(2 ),G

    ( 2 (1 ) , (2 )

    1))

    ,

    o [1, 2].

    Remarque On a une mesure de Dirac en 0 avec distribution (continue) dfiniesur R+.

    @freakonometrics 13

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Esprance et variance, la famille Tweedie

    On obtient alors une fonction variance de la forme V() = . On retrouve lemodle de Poisson quand 1 (ou ) et une loi Gamma quand 2 (ou 0). Il est en fait possible dobtenir une classe beaucoup plus large, y comprisdans le cas o > 2 en considrant des lois stables.

    @freakonometrics 14

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Paramtre naturel, et lien canonique

    Le lien canonique est tel que g(i) = i. Or, i = b(i) do g1 = b.

    Loi de probabilit Fonction de lien canonique

    Normale = Poisson = lnGamma = 1/

    Inverse gaussienne = 1/2

    Binomiale = ln ln(1 ) = logit()

    @freakonometrics 15

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Syntaxe et programmation

    La syntaxe des modles linaires gnralises ressemble 1 > glm(Y~X1+X2+X3+ offset (log(Z)), family = quasipoisson (link=log ),

    2 + data = base , weights =w)

    qui correspond un modle

    E(Yi|Xi) = i = g1(X i + i

    )et Var(Yi|Xi) =

    V (i)i

    o Y est le vecteur des Yi que lon cherche modliser (le nombre de sinistres dela police i par exemple), X1, X2 et X3 sont les variables explicatives qui peuventtre qualitatives (on parlera de facteurs) ou quantitatives, link=log indique queg est la fonction log, family=poisson revient choisir une fonction variance Videntit, alors que family=quasipoisson revient choisir une fonction variance Videntit avec un paramtre de dispersion estimer, offset correspond lavariable i, et weights le vecteur = (i).

    @freakonometrics 16

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Contrainte(s) du logiciel

    Il est possible de choisir, en thorie, nimporte quelle fonction de lien (bijective) gtelle que g() = . En colonne, la forme de la fonction lien, o ? dsigne le liencanonique

    Loi de probabilit 1 log 2 logit 1()

    Normale ? ? ?Poisson ? ? ?Gamma ? ? ?

    Inverse gaussienne ? ? ? ?Binomiale ? ? ?

    @freakonometrics 17

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Les quasi-lois

    La loi de Poisson correspondait au cas

    f(y|) = exp()y

    y! = exp(y log log y!

    ), y N,

    avec = log , = 1. On a alors Var(Y ) = E(Y ).

    On souhaitera introduire un paramtre 6= 1, autorisant de la surdispersion( > 1). On parle alors de loi quasi-Poisson (mais ce nest pas une vraie loi).Avec un tel modle, on aurait Var(Y ) = E(Y ).

    Remarque On reviendra plus longuement sur la modlisation dans le cassurdispers dans la prochaine section du cours.

    @freakonometrics 18

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Des lois exponentielles aux GLM

    Considrons des variables alatoires indpendantes Y1, Y2, . . . , Yn. La densit dechacune de celles-ci est

    f(yi|i, ) = exp{yii b(i)

    a() + c(yi, )}

    par rapport la mesure dominante approprie (mesure de comptage sur N oumesure de Lebesgue sur R). Ds lors, la vraisemblance est

    L(, |y) =ni=1

    f(yi|i, ) = exp{n

    i=1 yii ni=1 b(i)

    a() +ni=1

    c(yi, )}.

    On suppose que les i sont fonction dun ensemble de p paramtres 1, 2, . . . , p,disons.

    @freakonometrics 19

  • Arthur CHARPENTIER - Actuariat de lAssurance Non-Vie, # 4

    Des lois exponentielles aux GLM

    Plus prcisment, notant i la moyenne de Yi, on suppose que

    g(i) = xi = i