1

Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones.

Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Clase 9-10-11 Versión 1 - 2015

Contenido

Diseños de Sistemas de Control

Reglas de diseño de Ziegler-Nichols

Estructura y dinámicas de controladores PID

Propiedades de un SC en estado estacionario

Definición de la propiedad “Tipo de Sistema”

Regla de Truxal

2

Estructura de un controlador PID

kP + kD s + kI1s

Ccl(s) = = kp (1+ TD s + )1s

kD

kP

TD =kP

kI

TI =

e

y

r u

-

kP e(t) + kD + e(t) dtdedt

kI 0

t

Forma industrial

TI

Ccl(s) = U(s) / E(s)

ControladorControlador PID

3

Tipos de controladores

e

y

r u

-kP e(t) + kD + e(t) dtde

dtkI0

t

Controlador PID

4

sTI

11s

= kp (1+ TD s + ) kP + kD s + kICPID(s) =

TI

1s

1s = kp (1+ ) kP + kICPI(s) =

= kp (1+ TD s) kP + kD sCPD(s) =

kPCP (s) =

kP e(t) + e(t) dtkI0

t

kP e(t) + kDdedt

kP e(t)

Controlador PI Controlador PD Controlador P

Estructura de un controlador PID

A veces es útil en diseños analíticos expresar la Función de Transferencia del controlador factoreada:

Ccl(s) = kPTD (s2+1/TDs+1/TDTI)

s

s=

kPTD (s+1/2TD (1+ 1-4TD/TI )) (s+1/2TD(1- 1-4TD/TI ))

= kPTD(s+z1)(s+z2)

s

s

xz1z2Configuración USUAL de

polos y ceros de un PID p=0

5

s

Ceros de un PDI con modificación de TD

Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros:

p = 0

x

TI=3, TD : variable

Derivador puro

6

kPs

TI

C(s)=

Controlador PI

z2= -1/2TD (1- 1- 4TD/TI )z1= -1/2TD (1+ 1- 4TD/TI )

z1= 0z2= 0

Derivador puro

TD

0

Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros:

s

TI

0

Ceros de un PDI con modificación de TI

TD=2, TI : variable

z2= -1/TD z1= 0x

Controlador PD

7

C(s)= kp(1+TDs)

Controlador oscilante de frecuencia infinita

p = 0 z2= -1/2TD (1- 1- 4TD/TI )z1= -1/2TD (1+ 1- 4TD/TI )

Controlador PD

kI

0

Los ceros de un PID son en general reales negativos

Ubicación válida de ceros en un PDI

Para un Ti muy chico, o para un TD muy grande, los ceros delPID pueden ser complejos

Vemos de las expresiones:

-TI - TI2-4TDTI

2TITD

z1 = -TI + TI

2-4TDTI

2TITD

z2 =

que para TD=TI /4, los dos ceros son dobles, reales y negativos,

y que sólo para TITD<0, al menos un cero es inestable. Este caso no puede darse pues en general TI>0 y TD>0.

Para TI= el controlador PID se convierte en un controlador PD con ceros en z2=0 y z2=-1/TD

Para TD= el controlador PID se convierte en un derivador puro.

8

Dinámica de un Controlador PID

e(t) = t 1(t)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0

time

e(t) vs. u(t)

kp=11, kd=1, ki=10

-1; -10 s

x

kp=3, kd=1, ki=6.25

-1.52j s

x

kp=3,1 kd=1, ki=2

-1; -2 s

x

-1.5; -1.5 s

x

kp=3, kd=1, ki=2.25

kP + kD s + kI1s

Ccl(s) =

Respuesta súbita pues el PID tiene másceros que polos

9

Si e(t) crece uniformemente

Dinámica de un controlador PD

Término derivativo: TD 1(t)

Término Proporcional: t 1(t)con kp=1

e(t) = t 1(t)

TD

TD

C(s) = kp (1+ TD s)

u(t)

10

5 10 15 20 25

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0

u(t) vs. e(t)

Propiedades de un Controlador PD

G(s)D (s) = kP + kD sY(s)R(s) U(s)E(s)

-

Aplicando el Teorema del Valor Inicial:

u(0) = lim s D(s) (R(s) -Y(s)) =s

Es decir, con una entrada r(t) escalonada, el PD reacciona con un valorinicial infinitamente grande que provoca la saturación de sus actuadores.

s R(s) =lim

s

D(s)

1+D(s)G(s)

lim

s s 1/s = D(s)

1+D(s)G(s)ya que G(s) tiene al menos un polo !

Sea D(s) con un cero y la planta con n-m > 0 (grado relativo +)

11

Alternativa de un Controlador PD

Aplicando el Teorema del Valor Inicial:

G(s)Y(s)R(s) E(s)

-

D (s) = kP + kD sU(s)

u(0) = lim s D(s) Y(s) =s

slim

s

D(s)G(s)

1+D(s)G(s)R(s) =

slim

s

D(s)G(s)

1+D(s)G(s)1/s = lim

s

D(s)G(s)

1+D(s)G(s)=

cte< si n-m={1,0}

0 si n-m>1

Para plantas con muchos polos y pocos ceros, u(0) es finito!

Una alternativa de diseño PD salva este problema indeseado:

12

Además la estabilidad no se modificó en este caso respecto al primero!

Especificaciones temporales para el diseño de PID’s

1 Tiempo de subida tr

2 Sobrepico Mp

3 Tiempo de sobrepico tp

4 Tiempo de establecimiento ts (para ±1% de tolerancia)

2’ Pico inverso Mpi

3’ Tiempo de pico inverso tpi

tr = 1.8

wn(promedio equivalente a =0.5 o sea q=30°)

Mp = e-pz / 1-z2 = e-p

/s d Mpidh(t)

dt= 0

tp = pwd

tpi h(tpi) = - Mpi

ts = 4.6

s(1%)

Muchos sistemas de control resultan oscilantes sub-amortiguados.

13

En muchos casos también pueden aproximarse a un sistema sub-amortiguado de segundo orden (ejemplo: 2 de sus polos son complejos conjugados dominantes y con coeficiente Ci de alto modulo.

jw

s

s

Diseño de PID’s en el plano complejo

CerosPID

PoloPID

CeroPlanta

Polo Planta

PoloPlanta

Los polos dominantes de la planta controlada se adentran en la región

de buena performance

14

FT de un SLC con controlador PID

La ecuación característica del sistema con un PID es:

KtG(s) =

Se observa que los 3 coeficientes nuevos son modificables por diseño!

Sea una planta de segundo orden:

Se deben usar métodos de diseño avanzados para definir kP, kD y kI

acorde a especificaciones temporales.

Si el sistema planta tiene un par de polos complejos dominantes con módulo |Ci| grande, vale la aproximación a un sistema de 2do orden!

15

Por ello se pueden localizar los 3 polos resultantes donde se desee.

tiempo

y(t), u(t)

0

0

PRIMER DISEÑO DE UN PID: Reglas de Ziegler-Nichols para Curva de Reacción

A

Sea un Controlador PID:

Pendiente R=A/

A e-sL

Planta: G(s) ts+1

r(t)

y(t)

1

16

Punto de inflexión

tL

Recta tangenteRespuesta de la aproximación

CURVA DE REACCIÓN

y una planta real sin modelo a la cual se la excita con un escalón unitario.

Tomamos ese modelo aproximado para diseñar un controlador PID

R= A/t =1/90

L= 13

t=90 s 5013 s

Sea la siguiente curva de reacción de un Intercambiador de Calor,la cual fue medida en un experimento excitando a la planta con 1(t)

Curva de Reacción - Ejemplo

Buscamos un punto de inflexión y trazamos la línea tangente hasta cortar el eje de tiempo

Estimamos en el periodo de tiempo desde el instante cero hasta el instante de corte

Luego buscamos una constante de tiempoequivalente a un sistema de primer orden

Planta: G(s) e-13s

1+ 90s

17

Diseño de Controladores P-PI-PID según Ziegler-Nichols

Para un Controlador P, la regla de ZN dice:

Para un Controlador PI, la regla de ZN dice:

kp = 1/RL = 6.92

kp = 0.9/RL = 6.22 Ti = L/0.3 = 43.3

Para un Controlador PID, la regla de ZN dice:

kp = 1.2/RL = 8.3 TD= 0.5 L = 6.5 Ti = 2L = 26

18

Notas sobre las Reglas de Ziegler-Nichols

o No es necesario estimar a la planta, se mide su respuesta al escalón únicamente

o La configuración de polos y ceros del modelo posee una función exponencial e-sLt que no es racional, y es de orden infinito. Se la puede aproximar por Circuitos de Padé de orden finito.

o La familia de plantas válidas a las que se les aplican las Reglas deZ-N son en general todas las que tienen sólo polos reales negativos, sin importar cuan alto sea su orden de la ODE

o Por ello la FT del sistema es desconocida. Aunque sí se puede obtener una estimación del modelo a través de su curva de reacción

o Quedan excluidos de la aplicación los sistemas oscilantes subamortiguados, los que poseen sobrepico debido a ceros, los inestables y los de fases no-mínima

19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-0.2

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Planta: G(s) e-sL

ts+1

Respuesta original

Respuestas de Padécon órdenes 1, 2, 3, 8 y 15

Planta con Circ. de Pade’s de distintos órdenes20

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

L =1 seg

=1 seg

zoom

L =1 seg =1 seg

1

Padé con distintosórdenes

32 8 16original

Objetivo: reemplazar la función e-Ls con una función de transferencia

jw s

s-0.011

-1/t

DcG(s) A kPe-sL

ts+1+kP

e-sL 1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12

con:

Aproximante de Padé de 2o orden

Polo conjugadode Padé

Cero Conjugado de Padé

Planta Aproximada con Controlador P

FT de LA del sistema de con un P:

21

kp

0

>kp3kp1>kp2 >kp4>kp*

0.2308 0.1332i-0.2308 0.1332i

: Polos de lazo cerrado

-

Con ayuda de Simulink se puede simular numéricamente una planta con una FT dada por su aproximación de la Curva de Reacción y un retardo puro exacto (sin aproximar por Padé).

Sea:

kP

Y(s)R(s) UE

-

Curva deReacción

Performance del Sistema de Control P

Mp

esscon kp

kp=9kp=8kp=6.92kp=6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

tiempo

1.8

2.0

ess

Pero ess no es cero!

22

A menos que kp sea crítico

con kp

salida controlada P

referencia escalón

kp=11.5*

-1/t

jw s

s

e-sL 1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12

con:

Planta Aproximada y Controlador PI

Aproximante de Padé de 2o orden:

DCG(s) kp(Ti s + kp) A e-sL

(tTi s2 + Ti s)

-1/TI

FT de LA del sistema de control PI:

23

kp

0

: Polos de lazo cerrado

Ti=10

-

kP(1+s/TI)

Y(s)R(s) UE

-

Curva deReacción

Sea:

Performance del Sistema de Control PI

kp*2kp/2 TI/2kp y TI originales TI*2

tiempo

16020 40 60 80 100 120 140

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0

con kpMp

ess = 0 siempre

y con Ti(y viceversa)

24

Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID

retraso correctivo por lasaturación efectuadaa la acción de control

Origen del fenómeno de Wind-Up

25

e(t) dt1

TI

Máximo

Umax(t)

tiempo

e(t)

uI(t)

tiempo

Cruce por cero

saturación

Cruce por cero

0

t

Aquí empieza el término integral acorregir el error negativo

Aquí empieza el término integral acorregir el error negativo

Corrección Anti-Wind-Up en SC PI o PID

Polo s=0

Intensidad de la corrección integral: ki

26

Para kI muy alto, la acción integral puede crecer desmesuradamente,tal que cuando se produce un cambio de signo del error, la integral tarda un tiempo largo en cambiar su signo.

Esta situación demora la acción correctiva del error.

Esta situación se acentúa cuando existe una saturación de la acción de control.

Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID1er Método Anti Wind-Up

GI= s + kI Ka

kI Polo s = -kI Ka

Cuando existe saturación, cambia la ganancia en la realimentación de cero a Ka

27

Es decir, para uI baja se reduce el valor de la integral del error segun kI /s. Si este valor supera umax se crea una “fuga” en la integral para

reducir la acumulación del error.

Saturación: salvaguarda de los actuadores en la planta

De kI/s se pasa a:

PI c/AWUjw

s

Alternativa para implementación del Método Anti Wind-Up

Fenómeno de anti Wind-Up en SC PI o PID

-Ka kI-kI / kP

28

u

Cuando NO existe saturación: Ka (u-u)=0Cuando SI existe saturación:

GI= s

kp s + kI

PI s/AWU

Diseño de un Controlador PID con Métodode la Sensitividad Límite

G(s)D (s) = kP + kD s + kI1s

Y(s)R(s) UE

-

G(s)=K

(s+1)4

Planta típica de un proceso de alto orden

Y sea la planta (desconocida) y que para los fines del análisis es:

29

Son Reglas alternativas a las de Zigler-Nichols, sin embargo en lugar de una Curva de Reacción, se ejecuta el diseño de un PID (PI o P) mediante un experimento real en planta que consiste en llevar la planta controlada a su límite de estabilidad

Sea un sistema de control PID a diseñar:

Diseño de un Controlador PID con Métodode la Sensitividad Límite

kPY(s)

R(s) UE

-G(s)

Se adopta una r(t) acotada de baja energía: puede ser un tren de pulsos, por ejemplo, de amplitud max r(t) = 5% max y(t) permitida

30

Para dicha planta real desconocida se instala un controlador proporcional en un lazo de control:

Se comienza a subir la ganancia kp suavemente, por ejemplo en forma escalonada con un periodo por escalón mayor al tiempode establecimiento ts de la planta

Cuando la escalera de kp(t) llega a un valor para el cual la salida y(t)oscila en forma permanente (kp crítica), el proceso se detiene.

0 5 10 15 20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Pu= 6.35

kp=ku=4

Sintonización de un Controlador PID31

Salida de la planta controlada con ganancia crítica

Ganancia crítica

Periodo deoscilación Planta: G(s)=

K

(s+1)4

Controlador P: ku = 4

jw

s-1 -0.19

PI jw

s-1

P jw

s-1

-0.67

-0.59

PID

Sintonización de un Controlador PID

00

5 10 15 20 25

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

kp=0.6 ku= 2.4

TI=0.5 Pu= 3.175

TD=1/8 Pu= 0.79

kp=0.45 ku=1.8

TI=Pu/1.2= 5.29

kp=0.5 ku= 2.0

ess

Finalmente, analizamos tr, tp, Mp, ts y luego ess

32

Con dichos parámetros (ku y Pu) se aplican las siguiente reglas:

Si no son los deseados, resintonizamos manualmente,

Respuestas de la planta controlada

por ejemplo: bajando Mp con kp TI TD

Supóngase el siguiente sistema dinámico (planta o proceso):

G(s)= 2/(s3+6s2+9s+3)

s3+6s2+9s+2 kp +3=0

T(s)=2kp/(s3+6s2+9s+2 kp +3)y un controlador proporcional de ganancia kp. La FT de LC es:

Estabilidad: entonces sabemos que la ganancia cumple: 25.5 > kp > -1.5 con 2 ganancias críticas en los límites del intervalo

La ecuación característica es:

s3 1 9s2 6 2 kp +3s1 (6*9-(2 kp +3)/6 0s0 2 kp +3 0

Por Criterio de Routh se tiene:

Aplicación del Método con Modelo33

acción de control u

2

den(s)

FT de la Planta Fcn

y

Registro Y

kp

Registro K

Saturación

Salida y

1s

IntegradorGenerator de pulsos

Ganancia kp

Controlador P

1

escalón

Ejemplos de Aplicación con Matlab34

Asumamos desconocer las ganancias críticas y que solo nosinteresa una ku positiva

Supongamos que no tenemos un modelo de la planta, sólo la planta real a disposición. Aplicamos el Método de Sensitividad

Diagrama en Simulink

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

5

10

15

20

25

30

Ejemplos de Aplicación con Matlab35

Incremento escalonado de la Ganancia kp

1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600

21.5

22

22.5

23

23.5

24

24.5

25

25.5

26

Zoom de la Ganancia kp

cerca de su valor crítico ku

Ku=25.45

Por Criterio de Routh: Ku=25.00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Ejemplos de Aplicación con Matlab

Evolución de la salida controlada y(t) del sistema dinámico ante una ganancia variable

36

1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600

0.934

0.936

0.938

0.94

0.942

0.944

0.946

0.948

0.95

0.952Zoom de la evolución del

sistema dinámico

Nivel de la evolucióntemporal donde se observa

una oscilación auto-mantenida

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Pu=2

ku=25.4

Ejemplos de Aplicación con Matlab37

Respuesta del sistema de control con ganancia crítica

Propiedades de un Sistema de Control en

Estado Estacionario

FCR Mario Jordán38

Propiedades de Estado Estacionario (ss)

Hy sale como 1/Hy afuera del lazo. Se supone luego Hr1=Hr / Hy.

Nos queda entonces:

39

También Hy es absorbida el controlador en el camino directo y queda como Dcl Hy=D.

Propiedades de Estado Estacionario (ss)

E’ U

Definimos el error entre R e Y, es decir E = R - Y, y vale:

40

Propiedades de Estado Estacionario (ss)

E(s)

S =

T =1 - S =

E = S R - S G W + T V

E = S R - S G W + (1- S ) V

Función de Sensitividad

Función de Sensitividad Complementaria

41

S + T = 1

la Función de Transferenciade Lazo Cerrado

La Función de Sensitividad Complementaria es igual aFunción de Sensitividad Complementaria

V(w)

Propiedades de Estado Estacionario (ss)

E = S R - S G W + (1 - S) V

w

Ganancia frecuencial (Función de Transferencia de Fourier)

1

R(w)

T =1-S =Gcl

W(w)

Excelente performance y buen rechazo al ruido y a las perturbaciones !

G/(1+DG)W

S

42

S + T = 1

con S = 1 / (1 + DG) y T = Gcl= DG / (1 + DG)

¿Cómo debería ser el controlador para ofrecer buena performance y simultáneamente buen rechazo al ruido y a las perturbaciones?

Tipo de Sistema de Control

FCR Mario Jordán43

NOTAS PRELIMINARES

El TIPO de SISTEMA de CONTROL es un concepto ligado al estado permanente de un sistema controlado y no a su estabilidad

44

El TIPO de SISTEMA de CONTROL se mide con un número entero mayor o igual a cero, ejemplo: 0, 1, 2, 3,…

Mientras más alto es el TIPO de SISTEMA de CONTROL tanto mejor será la precisión del sistema controlado en estado estacionario

En el TIPO de SISTEMA de CONTROL intervienen tanto ladinámica de la planta como la del controlador

La herramienta básica para calcular el TIPO de SISTEMA de CONTROL es el Teorema del Valor Inicial

Error de Estado Estacionario (ess)El error de control e(t) puede tomar un valor asintótico a una constante (que puede ser cero o no) o bien tender a un valor infinito a medida que transcurre el tiempo

1

1+D(s)G(s)ess = e () = lim s

s 0R(s)

Ahora bien, R(s) puede ser, entre otras, un escalón, o una rampa, o una señal cuadrática, etc., y en general un polinomio de grado t

k

t

r(t)t2

1(t)t 1(t)

1(t)

t3 1(t)

Escalón R(s)=1/s

Rampa R(s)=1/s2

Parábola R(s)=1/s3

Polinom. t k R(s)=1/sk+1

...

45

Este valor asintótico dependerá no sólo de la entrada R(s) sino también de las dinámicas de la planta G(s) y del controlador C(s).

Por el Teorema del Valor Final:

Veamos.

Tipo de Sistema - DefiniciónSe define TIPO DE SISTEMA al grado del polinomio necesario de la señal r(t) para que el ess sea una constante finita y distinta

de cero. Supongamos una familia de señales r=t

0=1, r=t1=t, r=t 2, …

Señal parabólica

Señal rampa

Señal escalón

Entonces este sistema es de TIPO CERO

s1

1+D(s)G(s)

1s =

1

1+D(0)G(0)

1

1+Kp

= 0 y < (>- ) e () = limess=s 0

ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s3 = 1

1+Kp

= 1s2

e () = limess=lim

s 0

1 1 ss 0 1+D(s)G(s) s2 = =

1s

e () = limess= lims 0

1

1+Kp

Sea por ejemplo un sistema tal que con una:

46

Kp es finita

Tipo de Sistema

Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que:

Para una familia de señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue:

Señal parabólica

Señal rampa

Entonces este sistema es de TIPO UNO

Señal escalón e () = lim ss 0

1

1+D(s)G(s)

1s =

1

= 0 ess=

e () = lim ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s3 = 1

Kv

= 1s

ess= lims 0

e () = lim ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s2=

1Kv

0 y < (>- )ess=

Sea por ejemplo un sistema tal que con una:

47

D(0)G(0) es infinito

0 D(0)G(0)=Kv es finito

Tipo de Sistema

Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que:

Para una familia e señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue.

Señal parabólica

Señal rampa

Señal escalón1 1

s1

ss 0 1+D(s)G(s)

= = 0 e () = limess=

ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s2 = 1

= 0 e () = limess=

ss 0

1

1+D(s)G(s)

1

s3 = 1

Ka

0 y < (>- ) e () = limess=

Entonces este sistema es de TIPO DOS

Sea por ejemplo un sistema tal que con una:

48

D(0)G(0) es infinito

0 D(0)G(0) es infinito

02 D(0)G(0)=Ka es finito

Resumen: Tipo de Sistema

Kp : cte. de error de posición

Kv : cte. de error de velocidad

Ka : cte. de error de aceleración

49

Según las ecuaciones de ess para definir el tipo de sistema, resulta:

Tabla: error de estado estacionario vs tipo de sistema

Ejemplos: Tipo de Sistema CERO

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5 10 15 20 250 tiempo

Respuesta a la parábola

ess=

ess=

Respuesta al escalón unitario

Respuesta a la rampa

50

e(t) creciente

e(t) crecienteess=1/(1+Kp)

Ejemplos: Tipo de Sistema UNO

ess=cte=1/Kv

Respuesta a la rampa

ess=0Respuesta al escalón unitario

5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

0 tiempo

51

e(t) creciente

Recta asin

tótica

Par

ábol

a as

intó

tica

ess=

Respuesta a la parábola

Ejemplos: Tipo de Sistema DOS

ess=0

Respuesta al escalón unitario

Respuesta a la rampa

ess=0

ess=cte=1/Ka

Respuesta a la parábola

00

1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

12

14

16

tiempo

52

Resumen: Error de Estado Estacionario

E = S R = (1-T ) R donde:

S =

T =1 - S =

Si R(s) es polinómica (constante 1(t), rampa t 1(t), parábola: t2 1(t), etc.)

1+D(s)G(s) sk+1E(s) =

1

1+D(s)G(s)R(s) =

1 1

Para entradas r(t) de grado menor que k, la precisión es ideal, o sea ess=0

ss 0

1

1+D(s)G(s)

1sk+1 =

1sk e () = limess= lim

s 0

1

1+D(s)G(s)=cte0

53

Para un sistema tipo k, ocurre que:

(cte. jerk)

Primer ejemplo

¿Qué tipo de sistema es?

Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc.

Con R=1/s llegamos a:

Kv = lim s DG(s) = KkI s 0

s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)ess = lim

s 0

= 0s(t1s+1)(t2s+1)

Y con R=1/s2 llegamos a:s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)

ess = lims 0

=(t1s+1)(t2s+1) 1

KkI

El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es:

54

ControladorPlanta

YR UE

-

K

(t1s+1)(t2s+1)skP+kI

s

PI

Segundo ejemploControlador Planta

kP+kDsYR UE

-

K

s(t1s+1)(t2s+1)

¿Qué tipo de sistema es?

Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc.

Con R=1/s llegamos a:

Kv = lim s DG(s) = Kkp s 0

s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs)ess = lim

s 0

= 0s(t1s+1)(t2s+1)

Y con R=1/s2 llegamos a:s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs)

ess = lims 0

=(t1s+1)(t2s+1) 1

Kkp

El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es:

55

PD

Tercer ejemplo

¿Qué tipo de sistema es?

Es de tipo 2. Probarlo.

56

Cuarto ejemplo

¿Qué tipo de sistema es?

Es de tipo 3. Probarlo.

Control de orientación de un satélite con un controlador PID

Controlador Planta

YR UE

-

K

s(t1s+1)skP+kI

s

PI

Si R=V=0, queda:

Tipo de Sistema para las Perturbaciones

E(s)

WControlador Planta

D(s)YR UE’

-G(s)

V

+

+

+

+

+

Y = - E = S GW = = G(s)

1+D(s)G(s)

1sk+1

G(s)

1+D(s)G(s)W(s)

ss 0

G(s)

1+D(s)G(s)

1sk+1 =

1sk y () = limyss= lim

s 0 1+D(s)G(s)=cte0

G(s)

57

Sistema de tipo k para el rechazo a las perturbacionesV(w)

R(w)

T =1-S =Go

w

Ganancia frecuencial (Módulos de las Transformadas de Fourier)

Y(w)

SG WG

W(w)

S1

Ejemplos de SC con dos entradas

¿Qué tipo de sistema es respecto a perturbaciones de planta w(t)?

Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc.

Con W=1/s llegamos a:

KP = lim D(s) = kP s 0

El TIPO es 0 y la cte. de posición es:

Controlador Planta

kP+kDsYUE

-

K

s(t1s+1)(t2s+1)

W

R

s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs)yss = lim

s 0

=K 1

kP

Este ejemplo es el caso del Servomotor con un controlador P o PD !A la entrada R, el sistema es de tipo 1, y a la entrada W, es de tipo 0

58

PD

Otro ejemplo de SC con disturbio

¿Qué tipo de sistema es?

Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc.

Con W=1/s llegamos a:

Kv = lim sD(s)= kI s 0

Y con W=1/s2 llegamos a:s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)

yss = lims 0

=K 1

kI

El TIPO es 1 para W(s) y la cte. de velocidad es:

Controlador Planta

kP+kI/sYUE

-

K

(t1s+1)(t2s+1)

W

s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs)yss = lim

s 0

= 0s K

59

PI

y de TIPO 1 para la entrada R(s) y la cte. de velocidad es: Kv=KkI

Ejemplo: Satélite con disturbio de orientación

Controlador Satélite/orientación

kP+kDsYUE

-

K

s2

W (carga de viento solar)

1+D(s)G(s)Y = - E = S G W = =

G(s)W(s)

K

s2+KkDs+KkP

W(s)

Para W(s)=1/s : yss=y()=1/kP Sistema TIPO 0 para W(s)

KP = lim D(s) = kP s 0

Y la constante de error de posición es:

Para una entrada de referencia R, el sistema es de TIPO 2 (probar!)

60

PD

Sin embargo, este sistema de control es inestable para todo kP y kD

Ejemplo: Satélite – Control PID de orientación

Controlador Satélite/orientación

kP+kDs+kI/sYUE

-

K

s2

W

Y = - E = S GW = = G(s)

1+D(s)G(s)W(s)

sK

s3+KkDs2+KkPs+kI

W(s)

Para W(s)=1/s2 : yss=y()=1/kI Sistema TIPO 1 para W(s)

Kv = lim s D(s) = kI s 0

Y la constante de error de posición es:

61

PID

En cambio para la entrada R el sistema de control es de grado 3

Formula de Truxal: Sistemas TIPO UNO

La mayoría de los sistemas de control son de tipo 1.

La razón de esto yace en el deseo de que la performance de los sistemas de control tengan ess cero a una r(t) escalonada

Además ésta es una propiedad robusta, es decir, por másque varíen los parámetros de la planta, el TIPO es invariante

Existe una forma de hallar el error de estado estacionario rápida-mente si se conocen los polos y ceros de la FTLC: DG/(1+DG), es decir, si se quiere que por diseño estos sean de un valor particular

Esta forma de cálculo se denomina Fórmula de Truxal

62

Lo mismo vale para el ess en el rechazo a una perturbación en sistemas de tipo 1, es decir, si se conocen los polos y ceros de: G/(1+DG), es posible calcular rápidamente este error.

Fórmula de Truxal

La FTLC es:1+DG

DG K (s-z1)…(s-zm)

(s-p1) (s-p2)…(s-pn)=Tlc(s) =

El error e(t) a una r(t) rampa:

ess= lim s(1-Tcl)/s2

s 0

= lim (1-Tcl)/ss 0

0

0=

Regla de L´Hospital

Como Tcl(0)=1, entonces vale:

= - lim s 0 ds

essd

ln Tcl

s 0

dTcl

ds- lim 1

Tcl

ess=

1+DG 1+DG

DG1 -

1

s2E(s) = =

1 1

s2

= - lims 0 ds

dln K (s-z1)…(s-zm)

(s-p1) (s-p2)…(s-pn)=

1

Kv

Si se asume el TIPO 1 y esto implica Tlc(0)=1, pues r()-y()=0,

dTcl= - lims 0 ds

1

Kv

=

63

Fórmula de Truxal

ess = - lims 0 ds

dln

K (s-z1)…(s-zm)

(s-p1) (s-p2)…(s-pn)=

ess = - lims 0 ds

dK + ln (s-zi) - ln (s-pi) =

m n

ess = -

s=0ds

d lnTcl(s)=

m n

- 1zi

1pi

=1

Kv

Para un sistema de control, los pi son estables, por lo que su parte real es negativa.

64

Si los ceros son estables, KV será tanto más grande (más precisión) si ambos grupos de polos y ceros tienen sumas inversas similares

Diseño con la Fórmula de TruxalSupongamos el siguiente sistema de control PI

El sistema es de tipo 1 respecto a r(t)

(s+3) (s+1)2R

Controlador Planta

(s+2) / sYUE

-

Se quiere que el sistema posea una constante de error de velocidad Kv=10

s

s

jw

Polo Planta

Polo Planta

65

Si se calcula la Kv del actual lazo, sedesprende :Kv=lim [(s+2) (2/(s+3)(s+1)] =1,33

s 0

Para ello se propone relocalizar el cero del PI

Cero PIPolo PI

Polo delazo cerrado

Polo delazo cerrado

Polo delazo cerrado

Diseño con la Fórmula de TruxalEl cero que se relocaliza varía también los polos del sistema de lazo cerrado, por lo que hay que verificar la performance resultante

p1 = -3.2695 p2 = -0.3652 + 0.6916ip3 = -0.3652 - 0.6916i

El cero se provee desde el controlador PI. Este adapta el seguimiento de una rampa con un menor error de velocidad.

66

s

s

jw

Cero PI

Polo FTLC

Polo FTLC

Polo FTLC

z

La función de transferencia de lazo cerrado tiene 3 polos:

Diseño con la Fórmula de Truxal

Se emplea la Formula de Truxal para sintonizar este cero:

1Kv

Cero del PI: z = - 0.7143

Resultado:

= - -0.3652 + 0.6916i

1 --3.2695

1= 0.1

-0.3652 - 0.6916i

1 -1

+z

67

s

s

jw

Polo del PI

Cero FTLC

Polo FTLC

Polo FTLC

Polo FTLC

z

-0.7143

Diseño con la Fórmula de Truxal

ess= 0.66 (sistema sin cero adicional)

0 10 20 30 400

10

20

30

40

ess= 0.1 (sistema con cero adicional)

t

Sistema sin cero

1Kv

1Kv

Sistema con cero

68

69

=3.9L=1.5

Ejemplos de diseño con las Reglas de Ziegler-Nichols

70

2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0

A=1.5

R=A/=0.384

RL=0.577

kp = 1.2/RL = 0.866 TD= 0.5 L = 0.750Ti = 2L = 3.000

PID según Ziegler-Nichols: