В.Т. Дубровин

ЛЕКЦИИ ПОМАТЕМАТИЧЕСКОМУ

АНАЛИЗУЧасть I

Казань, 2012

В.Т. Дубровин

ЛЕКЦИИ ПОМАТЕМАТИЧЕСКОМУ

АНАЛИЗУЧасть I

Казань, 2012

УДК 517.5ББК 22.16Я73Д79

Печатается по рекомендациикафедры математической статистики

Института ВМ и ИТКазанского (Приволжского) федерального университета

Научный редактор-докт. ф-м. н., зав. каф. мат. стат. КФУ В.С. Желтухин

Рецензенты:канд. ф-м. наук, доц. каф. мат. стат. КФУ А.М. Сидоров

канд. ф-м. наук, доц. КГАСУ Ф.Г. Габбасов

Дубровин В.Т.

Д79 Лекции по математическому анализу: учебноепособие. – 3–е изд., перераб. и доп. / В.Т. Дубровин. – Казань:Казан. ун-т, 2012. Ч.I. – 180 с.: илл.

ISBN 978-5-905787-43-0

В предлагаемом учебном пособии излагается лекционныйматериал по курсу "Математический анализ", раздел:"Дифференциальное и интегральное исчисление функцийодной переменной". Указан материал, рекомендуемый длясамостоятельного изучения.

УДК. 517.5 (075.8)ББК 22.16Я73

ISBN978-5-905787-43-0 ©Казанский (Приволжский)федеральный университет, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕВ основу данной книги положены лекции, читавшиеся

автором в течение ряда лет для студентов специальности"Прикладная математика" Казанского федеральногоуниверситета. Весь материал излагается в виде,непосредственно преподносимом на лекциях, и поэтому можетбыть использован в качестве конспекта будущих лекций.Наличие практически готового текста лекций позволитстудентам предварительно ознакомиться с излагаемымматериалом, освободит их от тщательного конспектированияи даст, тем самым, возможность уделить больше вниманияпониманию содержания лекции.

Предполагается, что книга может быть использована вкачестве учебного пособия при изучении математическогоанализа не только студентами специальности "Прикладнаяматематика" , но и студентами экономических, географическихи других специальностей университетов.

Первая часть содержит дифференциальное и интегральноеисчисление числовых функций одной переменной.

Отметим некоторые методические особенности даннойкниги. Особо выделяется материал, рекомендуемый длясамостоятельного изучения, при этом начало и конец текставсюду отмечены значком x. Все доказательства различного видаутверждений завершаются значком .

3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙНазвание "Математический анализ" представляет собой

сокращенное изменение старого названия "Анализ посредствомбесконечно малых". Что же анализируется с помощьюбесконечно малых? В классическом математическом анализетакими объектами являются прежде всего функции, т. е.переменные величины, зависящие от других переменныхвеличин. Ближайшая наша задача – изучение достаточнообщих, встречающихся на практике, функций методамибесконечно малых или, что все равно, методами пределов.Сущность метода пределов будет постепенно изучаться налекциях. Определение функции основывается на понятиимножества, поэтому прежде всего необходимо познакомиться спонятием множества.

Глава 1МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ.ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1.1 Множества и операции над ними.§ 1.2 Понятие функции.§ 1.3 Действительные числа. Свойство непрерывности

действительных чисел.§ 1.4 Топология числовой прямой. Расширенная числовая

прямая.

§ 1.1 МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАДНИМИ

Часто мы сталкиваемся с трудноопределимым понятием,которое выражается словом совокупность. Например, можноговорить о совокупности людей, присутствующих в данныймомент в данной аудитории, о совокупности дождливых

4

дней в данном году и т. д. По-видимому, в каждом изэтих случаев можно было бы вместо слова совокупностьупотреблять слово множество. В математике постоянноприходится иметь дело с различными множествами: множествоточек, являющихся вершинами какого-нибудь многоугольника,множество натуральных чисел (N), множество целых чисел(Z) и т. д. Если мы попытаемся дать точное определениепонятию множества, то придем к определению множествачерез множество. Например: "Множество возникает путемобъединения отдельных предметов в одно целое. Оно естьмножественность, мыслимое как единство". Поэтому мы примемв качестве основного положения следующее:

"Вещи a, b, c, . . . особым, не подлежащим определениюобразом, определяют вещь M , и, обратно, вещь M определяетвещи a, b, c, . . .". Это отношение мы будем выражать словами:множество M состоит из объектов a, b, c, . . .. Таким образом,множество считается заданным, если про всякую вещьопределено, входит она в это множество или нет.

Множества бывают конечными и бесконечными.Множество сторон многоугольника, множество корнейнекоторого многочлена – примеры конечных множеств, т. е.множеств, состоящих из конечного числа предметов. Примерамибесконечных множеств могут служить: множество целых чисел,множество четных чисел и т. д.

Множества мы будем обозначать прописными буквамиE,A,B,X, Y, . . ..

Если E обозначает некоторое заданное множествопредметов, а x – один из этих предметов, то говорят, чтоx есть элемент множества и записывают это так: x ∈ E.

Элементы множеств мы будем обозначать малыми буквамиx, y, z, . . ..

Если x не есть элемент E, то это записывается так: x∈Eили x /∈ E.

Два множества называются равными (A = B) тогда итолько тогда, когда каждый элемент A является также иэлементом B и обратно.

Если из того, что x ∈ A следует, что x ∈ B,то пишут A ⊂ B и говорят, что A входит в B илиA есть подмножество или часть B. Заметим, что при такомопределении случай A = B есть частный случай A ⊂ B.

5

Свойства отношения ⊂: если E ⊂ B, B ⊂ A, то E ⊂ A;X = Y тогда и только тогда, когда X ⊂ Y и Y ⊂ X .

Последнее из этих свойств часто употребляется длядокозательства равенства двух множеств.

Замечание. Если множество состоит из одного элемента x,то лучше его обозначать другой буквой, например A, потомучто надо отличать логически множество, состоящее из одногоэлемента, от самого этого элемента. Например, множествоA = 1, 2 состоит из двух элементов, но множество A состоитиз одного элемента (здесь множествоA само является элементоммножества A).

Множество, не содержащее в себе никаких элементов,называется пустым и обозначается ∅. По определению ∅ ⊂ A,каково бы ни было множество A.

Всякому подмножеству X множества E сопоставимоподмножество CX , состоящее из всех элементов, которые непринадлежат X . CX называется дополнением множества.

Пусть X и Y – два множества. Определим: объединениеX⋃Y как множество, элементы которого обладают свойством

"x ∈ X либо x ∈ Y "; пересечение X⋂Y как множество,

элементы которого обладают свойством "x ∈ X и x ∈ Y ".Примеры.1. Множество всех целых чисел есть объединение

множества всех четных и множества всех нечетных чисел.2. Множество всех целых чисел есть объединение

множества X – всех нечетных чисел, не делящихся на три,множества Y – всех четных чисел, множества Z – всех чисел,делящихся на три (при этом множества Y и Z имеют общиеэлементы – числа, делящиеся на шесть).

3. Множество чисел, делящихся на шесть, есть пересечениемножества четных чисел и множества всех чисел, делящихся натри.

Понятия "объединение"и "пересечение"распространяютсяна любое конечное и даже бесконечное число множеств.

Под объединением⋃Xk семейства множеств Xk будем

понимать множество, каждый элемент которого принадлежитхотя бы одному Xk.

Пересечение⋂Xk множеств семейства Xk определяется

как множество, каждый элемент которого принадлежит

6

всем Xk.Обозначения:

1.N⋃k=1

Xk = X1

⋃· · ·⋃XN ,

∞⋃k=1

Xk = X1

⋃X2

⋃· · · .

2.N⋂k=1

Xk = X1

⋂· · ·⋂XN ,

∞⋂k=1

Xk = X1

⋂X2

⋂· · · .

Примеры.1. Ak – множество всех рациональных чисел, модуль

которых меньше 1/k, k ∈ N. Пересечение∞⋂k=1

Ak состоит из

одного числа 0.2. Ak – множество всех положительных рациональных

чисел, меньших чем 1/k. В этом случае нет ни одного элемента,

общего всем множествам Ak, т. е.∞⋂k=1

Ak = ∅.

Операции объединения и пересечения множеств по самомусвоему определению коммутативны и ассоциативны:

1. X⋃Y = Y

⋃X,X

⋂Y = Y

⋂X (коммутативность).

2. (X⋃Y )⋃Z = X

⋃(Y⋃Z), (X

⋂Y )⋂Z = X

⋂(Y⋂Z)

(ассоциативность).Кроме того, они связаны между собой следующими

отношениями дистрибутивности:1. (X

⋃Y )⋂Z = (X

⋂Z)⋃

(Y⋂Z)

2. (X⋂Y )⋃Z = (X

⋃Z)⋂

(Y⋃Z)

Проверим, например, первое из этих равенств. Пустьx ∈ ((X

⋃Y )⋂Z). Это означает, что x ∈ Z и, кроме того,

по крайней мере одному из множеств X или Y . Но тогда xпринадлежит хотя бы одному из множеств X

⋂Z или Y

⋂Z, т.

е. x ∈ (X⋂Z)⋃

(Y⋂Z). Обратно, пусть x ∈ (X

⋂Z)⋃

(Y⋂Z).

Тогда x ∈ X⋂Z или x ∈ Y

⋂Z. Следовательно, x ∈ Z, и,

кроме того, x входит вX или Y , т. е. x ∈ X⋃Y . Таким образом,

x ∈ (X⋃Y )⋂Z.

В первой части доказательства мы получили, что

(X⋃Y )⋂Z ⊂ (X

⋂Z)⋃

(Y⋂Z).

Во второй:

(X⋂Z)⋃

(Y⋂Z) ⊂ (X

⋃Y )⋂Z.

7

Из полученных включений следует справедливость равенства

(X⋃Y )⋂Z = (X

⋂Z)⋃

(Y⋂Z).

Аналогично проверяется и равенство 2.Операция вычитания множеств определяется следующим

образом: "Разностью множеств X и Y (X \ Y ) называетсямножество, элементы которого принадлежат X , но непринадлежат Y ".

В теории множеств и её приложениях весьма важнуюроль играет так называемый принцип двойственности, которыйоснован на следующих соотношениях:

1. Дополнение пересечения равно объединению дополнений

C(⋂i

Xi) =⋃i

CXi.

2. Дополнение объединений равно пересечению дополнений

C(⋃i

Xi) =⋂i

CXi.

(Xi – произвольные множества).Приведем доказательство соотношения 2. Пусть x ∈

C(⋃iXi). Следовательно, x /∈

⋃iXi, т. е. x /∈ Xi при любом i.

Следовательно, x ∈ CXi при любом i, т. е. x ∈⋂iCXi. Обратно,

пусть x ∈⋂iCXi, т. е. x ∈ CXi при любом i. Следовательно, x /∈

Xi при любом i, т. е. x /∈⋃iXi, и, следовательно x ∈ C(

⋃iXi).

Равенство 2 доказано.

Упражнения.Доказать следующие равенства:

1. E \ F = E \ (E⋂F ) = (E

⋃F ) \ F .

2. (E \G)⋂

(F \G) = (E⋂F ) \G.

3. (E⋃F ) \G = (E \G)

⋃(F \G).

8

§ 1.2 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

I. Определение функции.Пусть E и F – два множества.Определение. Функцией, определенной на E со значениями

в F (или отображением E в F ), называется правило f , котороекаждому элементу x ∈ E относит (единственный) элемент F ,обозначаемый f (x).

Обозначение: f : E → F .Множество E называется областью определения функции

f , а множество F – областью её значений.Множество G, состоящее из элементов y = f (x), где x ∈

E, называется образом множества E при отображении (илипри помощи функции) f . Кратко это записывается так: G == f (x)|x ∈ E. Часто для G используется обозначениеG = f (E). Очевидно, образ множества E при отображенииf : E → F является частью множества F , т. е. G ⊂ F .

II. Счетные множества.Определение 1. Отображение f : E → F называется

биекцией, если

1. x 6= y(x, y ∈ E)⇒ f (x) 6= f (y)

2. f (E) = F .

(Здесь и в дальнейшем двойная стрелка "⇒"означает слово"следует".)

Определение 2. Множества E и F называютсяравномощными, если существует биекция f : E → F .

Определение 3. Множество E называется счетным, еслионо равномощно множеству натуральных чисел N.

Пример. Множество всех рациональных чисел Q счетно.

9

Доказательство. Q можно представить в виде таблицы

0 1/1 1/2 1/3 1/4 . . .−1/1 −1/2 −1/3 −1/4 . . .

2/1 2/2 2/3 . . .

−2/1 −2/2 −2/3 . . .3/1 3/2 . . .−3/1 −3/2 . . .

4/1 . . .−4/1 . . .

Искомая биекция f : N→ Q может быть определена правилом:

f (1) = 0, f (2) = 1/1, f (3) = −1/1, f (4) = 1/2, f (5) = −1/2, . . .

(встречающиеся ранее числа в дальнейшей нумерации неучавствуют). Таким образом, Q равномощно N.

Упражнения.Доказать следующие утверждения:

1. Всякое подмножество счетного множества конечно илисчетно.

2. Объединение любого конечного или счетного множествасчетных множеств есть снова счетное множество.

3. Всякое бесконечное множество содержит счетноеподмножество.Литература: [1], с. 23 – 24.

III. Числовые функции.Мы будем иметь дело в основном с числовыми функциями:

E ⊂ R, F = R (R – множество действительных чисел).Числовые функции удобно изображать графиками. В связи

с этим говорят о двух переменных: x – независимая переменная(пробегает E), y = f (x) – зависимая переменная. Отсюдавозникает обозначение для числовой функции f : E → R :y = f (x), x ∈ E.

Примеры.

1. y = x2, x ∈ R.

10

2. y =√

1− x2, −1 ≤ x ≤ 1.

3. y = sgnx =

1, если x > 0,0, если x = 0,−1, если x < 0.

4. y = [x], x ∈ R, [x] – наибольшее целое число ≤ x (целаячасть числа x).

5. y = x = x− [x], x ∈ R, x – дробная часть числа x.Замечание. В определении функции ни словом не

упоминается ни об аналитическом выражении (формуле),ни о графическом изображении. Поэтому полноценностьзадания функции нисколько не зависит от того, можно лифункцию выразить аналитически (формулой) или изобразитьграфически.

Например, функция y = x2 (x ∈ R) задается формулой;функция sgnx не может быть задана единственной формулой,т. е. не задается аналитически; функция Дирихле

y =

1, если x− рациональное число,0, если x− иррациональное число,

не может ни быть задана аналитически, ни изображенаграфически.

IV. Числовая последовательность.Определение. Последовательностью в R (числовой

последовательностью) называется функция x : N → R.Обозначение: x1, x2, x3, . . ., или, короче, (xn). Числа xnназываются членами последовательности. Последовательностичасто задаются формулой общего члена или рекуррентнымсоотношением.

Примеры.

1. xn = n2, (n ∈ N) : 1, 4, 9, . . .

2. xn = (−1)n, (n ∈ N) : . . . ,−1, 1,−1, 1, . . .

3. xn+1 = xn−1 + xn, x1 = x2 = 1 : 1, 1, 2, 3, 5, . . .

4. 3, 1, 4, 1, 5, . . . – последовательность цифр в десятичнойзаписи числа π (аналитической формулы нет, рекуррентногосоотношения тоже нет).

11

V. График функции.Определение. Графиком функции f : E → R(E ⊂ R)

называется часть числовой плоскости Γ=(x, f (x))∈R2|x ∈ E.Пусть на плоскости R2 задана прямоугольная система

координат xy и пусть под кривой на плоскости понимаетсяпросто непустое подмножество γ ⊂ R2.

Теорема. Кривая Γ на плоскости R2 является графикомнекоторой функции f : E → R(E ⊂ R) тогда и только тогда,когда каждая прямая, параллельная оси OY , пересекает Γ неболее чем в одной точке.

Доказательство. Необходимость. Пусть Γ являетсяграфиком функции f : E → R, т. е. Γ = (x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E.Так как f – функция, то каждому x ∈ E соответствуетединственное значение y = f (x), поэтому прямая, параллельнаяоси OY и проходящая через точку (x, 0) ∈ R2, будет пересекатьΓ только в одной точке (x, f (x)) ∈ R2.

Достаточность. Пусть прямая, параллельная оси OY ,пересекает Γ не более чем в одной точке. Покажем,что в этом случае Γ является графиком некоторойфункции f . Областью определения искомой функции будетмножество E = x ∈ R|прямая, параллельная оси OY ,проходящая через точку (x, 0), пересекает Γ. Примем теперьза f (x) (значение в точке x искомой функции) ординату точкипересечения прямой, ‖ оси OY с Γ. Тем самым мы установимзакон соответствия между x и f (x) такой, что каждомузначению x соответствует единственное значение f (x). Такимобразом, функция, графиком которой является Γ, определена.Действительно, в этом случае Γ = (x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E.График Γ определяет функцию y = f (x) (x ∈ E).Действительно, если x ∈ E, то соответствующее значениеy = f (x) определяется как ордината точки (x, a) ∈ Γ. Такимобразом, при помощи графика задается вполне определенноеправило соответствия между x и f (x).

Примеры различных кривых.

1.

12

6

-

y

0 a x

Кривая является графиком функции (в точке x = a онабудет просто не определена).

2.

6

-

y

0x

Кривая не будет графиком какой-либо функции, так как вточке x = 0 она принимает два значения.

3.

6

-

y

0

b

a x

Кривая будет графиком функции (в точке x = a онапринимает значение f (a) = b).

4.

6

-

y

0

b

a x

Кривая не будет графиком какой-либо функции, так какв точке x = a она принимает бесконечное множествозначений.Замечание. Если правило ставит в соответствие каждой

точке x ∈ E не единственную точку y ∈ F , то ононазывается многозначной функцией. Примером такой функцииможет служить функция y = Arcsinx. В такого родасоответствиях обычно выделяются ветви, где соответствие

13

однозначно. Например, в случае y = Arcsinx выделяетсяy = arcsinx.

6

-

y

x0 1−1

VI. Полярная система координат.В полярной системе координат каждая точка A плоскости

характеризуется парой чисел (r, ϕ), где r – расстояние от A доначальной точки O (полюса полярной системы координат), а ϕ– угол наклона отрезка oA к отмеченному лучу (полярной оси),выходящему из точки 0 (луч ϕ = 0).

-

ϕ = 0ϕr

o

A

В прямоугольной системе координат соответствие междуточками плоскости и парами чисел было биекцией. В полярнойсистеме координат соответствие между точками плоскости ипарами (r, ϕ) уже не является биекцией. Например, (0, 0) == (0, ϕ) при любом ϕ; (r, ϕ) = (r, ϕ + 2π) при любых r, ϕ.

Функцию r = r(ϕ), заданную на множестве E(ϕ ∈ E),можно представить как множество точек (r, ϕ) числовойплоскости, где ϕ ∈ E, r = r(ϕ). Многие кривые наплоскости могут быть описаны в полярных координатах ссоответствующими функциями r = r(ϕ) (однозначными илимногозначными).

Примеры.

1. r = ϕ(ϕ ≥ 0).

%

6

-0 2π ϕ = 0

14

2. r = r0/ cos(ϕ− ϕ0), ϕ ∈ (ϕ0 − π2 , ϕ0 + π

2), r0 > 0.

Такая функция описывает в полярных координатах такуюпрямую, что спущенный на неё из полюса O перпендикуляримеет длину r0 и образует с полярной осью угол ϕ0.

@@

@@@

@@

@

6

-0ϕϕ0

rr0

ϕ = 0

VII. Обратная функция.Пусть кривая Γ является графиком функции y = f (x)

(x ∈ E, y ∈ F ). Если кривая Γ определяет x как функцию y, т.е. каждому y ставится в соответствие с помощью Γ (см. рис. 1)единственная точка x, то говорят, что определена x = g(y)(y ∈ F ) – функция, обратная к функции f .

'6

-

y

0 xРис. 1.

x

(x, y)

Замечание. Графиком обратной функции x = g(y), y ∈ Fявляется кривая Γ′, являющаяся зеркальным отображениемкривой Γ относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Доказательство. Γ = (x, f (x)) ∈ R2|x ∈ E. Графикомобратной функции x = g(y), y ∈ F будет следующая криваяΓ′ = (y, g(y)) ∈ R2|y ∈ F = (y, x) ∈ R2|y ∈ F. Отсюдаследует справедливость замечания.

Теорема 1. Если y = g(x) (x ∈ F ) – функция, обратнаяк функции y = f (x) (x ∈ E), то справедливы два тождества:x ≡ g(f (x)) (x ∈ E), x ≡ f (g(x)) (x ∈ F ).

Доказательство. Пусть x ∈ E ⇒ (x, f (x)) ∈ Γ ⇒⇒ (f (x), x) ∈ Γ′ ⇒ x = g(f (x)). Так как x произвольно, тодоказана справедливость первого тождества. Второе тождестводоказывается аналогично.

15

Теорема 2. Критерий существования обратной функцииПусть функция f : E → R строго возрастает (изx1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)) или строго убывает (изx1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)). Тогда существует функцияg : F → R, обратная к функции f : E → R, причем онабудет строго возрастать или, соответственно, строго убывать.

Доказательство. Пусть функция f : E → R строговозрастает. Покажем, что тогда существует функция, обратнаяк функции f , и что она будет так же строго возрастать. Дляэтого нужно показать, что кривая Γ, являющаяся графикомфункции f , определяет x как функцию y(y ∈ F ). Это будетвыполняться, если любая прямая ‖ оси OX пересекает кривуюΓ только в одной точке. Допустим, что этого нет и что какая-то прямая, ‖ оси OX , пересекает кривую в двух точках.Следовательно одному значению y соответствуют два значенияx : x1 и x2 (для определенности положим x1 < x2), что означает:f (x1) = f (x2) при x1 < x2. Мы пришли к противоречиюс условием строгого возрастания функции f . Таким образом,наше предположение, сделанное выше, является неверным, и,следовательно, любая прямая, ‖ оси OX , пересекает Γ тольков одной точке. По определению это означает, что определенафункция x = g(y) (y ∈ F ) – обратная к функции f . Обратнаяфункция x = g(y) (y ∈ F ) будет строго возрастать, так как изy1 = f (x1) < y2 = f (x2) ⇒ x1 < x2 (в противном случае мыполучим противоречие строгому возрастанию функции f).В случае строгого убывания функции f теорема доказываетсяаналогично.

Примеры.

1. Функция y =√

1− x2 (−1 ≤ x ≤ 1), y ≥ 0, обратной поотношению к себе функции не имеет, так как не является нистрого возрастающей, ни строго убывающей.

2. Функция y =√

1− x2 (0 ≤ x ≤ 1), y ≥ 0,имеет обратную функцию, которая совпадает сисходной, так как кривая Γ (график функции y ==√

1− x2) симметрична относительно биссектрисы I иIII координатных углов. (см. рис.)

16

$6

-

y

1

0 1Рис.

x...................................

VIII. Операции над функциями.1. Арифметические операции. Пусть f : E → R, g : E → R

заданы на одном и том же множестве E ⊂ R. Тогда можноопределить новые функции:сумма (разность) f ± g : E → R по правилу (f ± g)(x) == f (x)± g(x), x ∈ E,произведение f ·g : E→R по правилу (f ·g)(x)=f (x)g(x), x ∈ E,частное f/g : E → R по правилу (fg )(x) = f(x)

g(x) , x ∈ E0, гдеE0 = x ∈ E|g(x) 6= 0.

Замечания.

1. Так как функции принимают числовые значения, то дляних справедливы (верные для чисел) коммутативный,ассоциативный и дистрибутивные законы: f + g = g + f,fg = gf, (f + g) + ϕ = f + (g + ϕ), (fg)ϕ == f (gϕ), f (g + ϕ) = fg + fϕ.

2. Если функции f и g определены на разных множествах E1и E2, то сумма (разность), произведение будут определенына множествах E1

⋂E2, а функция f/g определена на

множестве E1

⋂E2

⋂E0

Пример. f (x) = 2x2 + 3, g(x) =√x− 1. f + g, f − g, f · g

определены для всех x ≥ 1, а f/g определена при x > 1.2. Суперпозиция функций. Пусть f : E → R, g : F → R,

причем образ f (E) множества E при отображении f содержитсяв области определения функции g(f (E) ⊂ F ). Тогдаравенством h(x) = g(f (x)), x ∈ E, определяется новая функцияh : E → R, которая называется суперпозицией функции f и g иобозначается h = g f .

Замечание. Область определения функции gf совпадает собластью определения функции f . Функция h = gf называетсятакже сложной функцией.

17

Пример. f (x) = 2x2+3, g(x) =√x− 1. Функция (fg)(x) =

= 2(g(x))2 + 3 = 2(√x− 1)2 + 3 = 2x + 1 определена при x ≥ 1

и не определена при x < 1. Функция (g f )(x) =√f (x)− 1 =

=√

2x2 + 2 определена при всех x.

§ 1.3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.СВОЙСТВО

НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХЧИСЕЛ

В школьном курсе математики дается определениедействительных чисел и рассматриваются некоторые ихсвойства, но среди свойств действительных чисел, нерассматриваемых в школьном курсе, имеются особые свойства,имеющие существенную роль при исследовании числовыхфункций. К изучению таких свойств действительных чисел мыи приступаем сейчас.

Определение 1. Неотрицательным действительным числомназывается произвольная десятичная дробь вида a == a0, a1a2 . . . , где a0 – неотрицательное целое число, отделенноеот остальных членов запятой; остальные члены ai – цифры(ai ∈ 0, 1, . . . , 9, i ≥ 1), причем в этой последовательностицифр нет "хвоста" , целиком состоящего из девяток.

Множество всех неотрицательных действительных чиселобозначим R+.

По определению положим 0 = 0, 00 . . ..Определение 2. Отрицательным действительным числом

называется дробь вида a = −a0, a1a2 . . . , где a0, a1a2 · · · ∈ R+ иai 6= 0 одновременно (i ≥ 0).

По определению считаем −0 = 0. Множество всехдействительных чисел будем обозначать R.

Определение 3. 10. Два действительных числа a == ±a0, a1a2 . . . , b = ±b0, b1b2 . . . считаются равными междусобой тогда и только тогда, когда их знаки одинаковы и ak == bk(k = 0, 1, . . . ).20. Если a и b положительны, то считается a < b (или, что всеравно, b > a), если a0 < b0 или если найдется индекс l такой,

18

что ak = bk(k = 0, 1, . . . , l) и al+1 < bl+1.30. Если a положительно (отрицательно), то считается, чтоa > 0 (a < 0). Если a < 0, b > 0, то, считается, a < b. Еслиa < 0, b < 0 и |a| > |b|, то считается, что a < b.

Замечание.

|a| =

a, если a ≥ 0,−a, если a < 0.

Упражнения.Изучить определение арифметических операций для

действительных чисел.Литература:[2], с. 46 – 49 (§2.3).

1. Свойство порядка действительных чисел.1. Для каждой пары действительных чисел a и b имеет местоодно и только одно соотношение a = b, a > b, a < b.2. Из a < b и b < c ⇒ a < c (транзитивность).3. Если a < b, то существует действительное число c такое,что a < c < b.Доказательство. Свойства 1 и 2 вытекают непосредственноиз определений знаков "=" и "<". Пусть 0 ≤ a == a0, a1a2 . . . < b = b0, b1b2 . . . и an < bn. Положим тогда

c =

a0, a1 . . . an(an+1 + 1)00 . . . , если an+1 6= 9,a0, a1 . . . an9(an+2 + 1)00 . . . , если an+1 = 9, an+2 6= 9.

Очевидно, что a < c < b.Если a < 0, b ≥ 0 или a < 0, b < 0 (a < b), то следуетрассмотреть случаи |a| > b или |a| > |b|, для которыхсуществование числа c мы доказали. Искомое нами числобудет равно −c.

2. Архимедово свойство действительных чисел.Для любого действительного числа a > 0 существуетнатуральное число n > a.Действительно, если a = a0, a1a2 . . . , то можно взять n == a0 + 1.

19

3. Свойство непрерывности множества действительных чисел.Сформируем ряд понятий, необходимых для определениясвойства непрерывности.Определение 1. Множество E ⊂ R называетсяограниченным сверху (снизу), если существует b ∈ Rтакое, что a ≤ b (a ≥ b) для любого a ∈ E, при этом числоb называется мажорантой (соответственно, минорантой)множества E.Определение 2. Множество, ограниченное сверху и снизу,называется ограниченным.Определение 3. Наименьшая мажоранта ограниченногосверху множества E называется точной верхней гранью Eи обозначается одним из символов: supE, sup

a∈Ea (supremum

– наивысшее).Данное определение можно привести в другой записи: "cявляется supE, если удовлетворяет двум условиям:1. c – мажоранта E.2. Любое число d < c уже не является мажорантой E".Аналогично, точная нижняя грань ограниченного снизумножества E есть наибольшая миноранта множества E.Обозначение: inf E, inf

a∈Ea (infimum – наинизшее).

Свойство непрерывности действительных чисел: "Непустоеограниченное сверху (снизу) множество действительныхчисел имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грани".Доказательство. Ограничимся случаем, когда E ⊂ R+,и доказательством существования supE. E ограниченосверху. Следовательно, E имеет мажоранту, в качествекоторой можно взять натуральное число n0:

a = a0, a1a2 · · · ≤ n0, 00 . . . для любого a ∈ E.Пусть c0 – наибольшее из целых чисел, стоящих до запятойу чисел множества E. Тогда c0 ≤ n0. Пусть E0 – часть E,состоящая из чисел, у которых до запятой стоит c0:

E0 = c0, a′1a′2 . . . ; c0, a

′′1a′′2 . . . ; . . . .

20

Пусть c1 – наибольшая из цифр, стоящих на первом местепосле запятой у чисел множества E0, так что c1 ≤ 9. ПустьE1 – часть E0, состоящая из чисел, у которых на первомместе после запятой стоит c1. Продолжая этот процесс, мыприходим к выражению

c0, c1, c2, . . . (∗)Пока нельзя утвеждать, что записано действительное число,так как в (∗) может оказаться хвост из девяток. Положим

γ =

c0, c1c2 . . . , если в (∗) нет хвоста из девяток,c0, c1 . . . cn−1(cn + 1)00 . . . , если cn 6=9, а cn+1 = cn+2 = · · · = 9,c0 + 1, 00 . . . , если c1 = c2 = · · · = 9.

Покажем, что γ – мажоранта E. Пусть a = a0, a1a2 . . . ∈ E.Рассмотрим два случая:

1. a /∈∞⋂i=0Ei. Тогда существует n такое, что a /∈ En,

и, следовательно, существует k ≤ n такое, что ak 6= ck.Следовательно,

a = a0, a1a2 . . . an · · · < c0, c1c2 . . . ck00 · · · ≤ γ2. a ∈

∞⋂ι=0

Eι. Тогда a = c0, c1c2 · · · = γ.

Докажем, что γ = supE, т. е. является наименьшеймажорантой множества E. Действительно, пусть d < γ(d = d0, d1d2 . . . ). Тогда найдется такое n, что di = ci привсех i < n, но dn < cn. Отсюда следует, что любое числоa ∈ En будет больше d, так как ai = ci = di при всех i < n иan = cn > dn. Таким образом, d не может быть мажорантойE, и, следовательно, γ – наименьшая мажоранта E.Упражнения.

1. Доказать существование supE для произвольного непустогоE ⊂ R, ограниченного сверху.

2. Доказать существование inf E для произвольного непустогоE ⊂ R, ограниченного снизу.Указание: Предварительно доказать две леммы:Лемма 1. Любое непустое множество E ⊂ R+ имеет точнуюнижнюю грань.

21

Лемма 2. Пусть E = a – произвольное непустоемножество действительных чисел. Тогда1. Если существует supE, то существует inf−a = − supE.2. Если существует inf E, то существует sup−a = − inf E.Литература: [3], с. 45 – 47.

Замечание. supE(inf E) не обязательно принадлежит E.Например, inf

a>0a = 0, при этом 0 /∈ a > 0. Действительно,

множество E = a > 0 ограничено снизу 0, а средиположительных чисел нет минорант множества E, так как длялюбого c ∈ E всегда существует действительное число b > 0такое, что c > b > 0.

§ 1.4 ТОПОЛОГИЯ ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ.РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ

Для промежутков в R будем использовать следующиеобозначения:

(a, b) = x ∈ R|a < x < b – интервал,[a, b] = x ∈ R|a ≤ x ≤ b – отрезок,[a, b) = x ∈ R|a ≤ x < b,(a, b] = x ∈ R|a < x ≤ b,(−∞, b] = x ∈ R|x ≤ b,(a,+∞) = x ∈ R|x > a.Определения:10 Окрестностью точки a ∈ R называется любой интервал

(c, d), содержащий точку a : c < a < d. Для окрестности точкиa будем использовать обозначение U(a).

20 ε-окрестностью точки a ∈ R называется интервал(a− ε, a + ε), ε > 0.

Замечание. Любые две различные точки a, b ∈ R обладаютнепересекающимися окрестностями: U(a)

⋂U(b) = Ø.

30 Проколотой окрестностью точки a ∈ R называетсямножество U(a) = U(a) \ a (если U(a) = (c, d), то U(a) == (c, a)

⋃(a, d)).

22

40 Множество называется открытым, если оно вместес каждой своей точкой содержит целиком и некоторуюокрестность этой точки.

Пример. Интервал (a, b) ⊂ R есть множество открытое,так как если x ∈ (a, b), то (x − ε, x + ε) ⊂ (a, b), где ε == min(x− a, b− x).

50 Множество F ⊂ R называется замкнутым, если R \ Fоткрыто.

Пример. Множество a, состоящее из одной точки,является замкнутым.

60 Точка a ∈ E называется изолированной точкой E, еслисуществует U(a) такая, что U(a)

⋂E = Ø.

70 Точка a ∈ R называется предельной точкой E, если длялюбой U(a) : U(a)

⋂E 6= Ø.

Замечание 1. Предельная точка множества может и непринадлежать самому множеству.

Доказательство. Приведем пример, доказывающийсправедливость замечания. Покажем, что любая точка Rявляется предельной точкой множества рациональных чисел Q.Пусть a ∈ R и U(a) = (c, d) – произвольная окрестность точкиa. Из свойств порядка действительных чисел (см. свойство 3)следует, что существует действительное число q такое, что,например, c < q < a , причем из доказательства данногосвойства следует, что q ∈ Q. Таким образом, точка a являетсяпредельной точкой множества Q. Если a /∈ Q, то мы получаемпример, когда предельная точка множества не принадлежитсамому множеству.

Замечание 2. Если E – бесконечное множество, то любаяокрестность точки, предельной для множества E содержитбесконечное множество точек из E.

Доказательство. Пусть (ak, bk), k = 1, 2 . . . , –последовательность вложенных друг в друга окрестностейточки a, причем a1 > a2 > a3 > . . . , b1 < b2 < b3, . . . . Так как a– предельная точка множества E, то любая окрестность (ak, bk)точки a содержит по крайней мере одну точку из множества E.Отсюда следует, что окрестность (a1, b1) содержит бесконечноемножество точек из E. Окрестность (a1, b1) выбираласьпроизвольно, поэтому утверждение замечания 2 доказано.

23

РАСШИРЕННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯИногда бывает удобно присоединить к числовой прямой

R одну (∞) или две (+∞,−∞) точки (так называемыенесобственные числа).

Определение 1. Множества R⋃∞, R

⋃±∞

называются расширенными числовыми прямыми.Введем соответствующие системы проколотых

окрестностей.Определение 2.

10. Проколотой окрестностью в R⋃∞ точки ∞ называется

всякое множество вида U(∞) = (−∞, N)⋃

(M,+∞).20. Проколотой окрестностью в R

⋃±∞ точки +∞

(соответственно −∞) называется всякое множество вида(M,+∞) (соответственно (−∞, N)).

24

Глава 2ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 2.1 Предел числовой последовательности. Элементарныесвойства пределов.

§ 2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.§ 2.3 Монотонные ограниченные последовательности.§ 2.4 Критерий Коши.§ 2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний и

нижний пределы последовательности.

§ 2.1 ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Число a называется пределомчисловой последовательности (xn), если для любого ε > 0найдется (зависящее от ε) натуральное число N такое, что длявсякого n > N выполняется неравенство: |xn − a| < ε. В этомслучае пишут limxn = a (или xn → a) и говорят, что (xn)сходится (или стремится) к a.

Замечания:1. xn → a означает, что любая окрестность точки a

является "ловушкой" последовательности, т. е. все членыпоследовательности, начиная с некоторого номера, попадают внаперед заданную окрестность точки a.

Доказательство. Пусть xn → a. Возьмем произвольнуюокрестность точки a:U(a)=(c, d). Выбираем ε = min(a−c, d−a).Так как xn → a, то для любого ε > 0 (в частности и для намивыбранного) найдется номер N такой, что для всех n > N будетсправедливо |xn − a| < ε, т. е. все члены последовательности,начиная с номера N + 1, будут принадлежать (a − ε, a + ε),который, в силу выбора ε, принадлежит U(a).

2. Приведем запись определения limxn = a в кванторах:∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N (|xn − a| < ε). (∗)

В частности, xn → 0 означает, что ∀ ε > 0 ∃N ∈ N ∀ n > N(|xn| < ε). Отсюда следует: xn → 0 тогда и только тогда, когда|xn| → 0.

25

3. Изменение конечного числа членов последовательностине влияет на её сходимость.

Справедливость данного замечания следует из того, чтоусловие |xn − a| < ε, из определения limxn, выполняется,начиная с некоторого конечного N . Если мы изменим числочленов, у которых наибольший номер N0 < N , то для (xn)по-прежнему выполняется (∗) и limxn = a. Если же N0 будетбольше N , то мы просто выбираем в (∗) N = N0, и по-прежнемуlimxn = a.

Определение 2. Пусть (xn) – последовательность и n1 << n2 < . . . (nk ∈ N). Последовательность (yk), где yk = xnk(k ∈N) называется подпоследовательностью последовательности(xn) и обозначается (xnk).

Теорема. Если (xn) сходится, то любаяподпоследовательность (xnk) сходится к тому же самомупределу.

Доказательство. xn → a. Следовательно, любаяε - окрестность точки a является "ловушкой" последователь-ности (xn). Отсюда из определения 2 подпоседовательностиследует, что эта же ε - окрестность будет "ловушкой" любойподпоследовательности (xnk). Согласно замечанию 1 этоозначает, что xnk → a.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ1. Если limxn существует, то он единственен.

Доказательство. Пусть (xn) имеет два различных пределаa и b (a 6= b). Две различные точки всегда имеютнепересекающиеся окрестности U(a) и U(b) (U(a)

⋂U(b) =

= Ø). Так как xn → a и xn → b, то U(a) и U(b) являются"ловушками" (xn), т. е. в U(a) попадают все члены (xn),начиная с некоторого номера. То же справедливо для U(b).Очевидно, что этого не может быть, так как U(a)

⋂U(b) =

= Ø. Следовательно, a = b.2. x "Свойство двух милиционеров": если xn → a, yn → a,xn ≤ zn ≤ yn(n ∈ N), то zn → a.Доказательство. Пусть ε > 0. Тогда при достаточнобольшом N : a− ε < xn < a+ ε, a− ε < yn < a+ ε (n > N).Следовательно, a− ε < xn ≤ zn ≤ yn < a + ε (n > N), т. е.zn → a.

26

3. Если xn → a, то |xn| → |a|.Доказательство. Следует из неравенства ||xn| − |a|| ≤≤ |xn − a|.

4. Если (xn) сходится, то она ограничена.Доказательство. Положим ε = 1 в определении пределапоследовательности. Тогда ∃N ∈ N, ∀ n > N : |xn−a| < 1.Отсюда, т. к. | |xn| − |a| | ≤ |xn − a|, следует |xn| ≤M (n ∈ N), где M = max|a| + 1, |x1|, . . . , |xn|, т. е. (xn)– ограничена.

5. Арифметические свойства:а) lim(xn ± yn) = limxn ± lim yn,б) lim(xn · yn) = limxn · lim yn,в) lim(xn \ yn) = limxn \ lim yn, (lim yn 6= 0).В том смысле, что если определены правые части равенств,то определены и левые, и они равны.Доказательство. Пусть xn → a, yn → b;а) |(xn + yn)− (a+ b)| ≤ |xn − a|+ |yn − b|. Так как xn → a,yn → b, то ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N : |xn − a| < ε

2,|yn − b| < ε

2. Отсюда следует ∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n >N : |(xn + yn) − (a + b)| ≤ |xn − a| + |yn − b| < ε, т. е.(xn + yn)→ a + b;б) справедливы неравенства: |xnyn − ab| ≤ |xnyn − ayn| ++|ayn−ab| ≤ |yn||xn−a|+|a||yn−b|. Так как xn → a, yn → b,|yn| ≤M (в силу свойства 4), то всегда можно выбрать N ∈N такими, что для любых n > N : |yn||xn−a|+|a||yn−b| < ε,где ε > 0 – любое наперед заданное число;в) пусть yn → b 6= 0. Тогда ∃N ∈ N, ∀ n > N : | |yn|−|b| | ≤≤ |yn − b| < |b|

2 . Отсюда следует: |yn| > |b|2 , ∀ n > N . Далее,

получаем | 1yn− 1

b | = |yn−b||yn||b| <

2|b|2 |yn − b|, ∀ n > N . Так как

yn → b, то N можно выбрать таким, что 2|b|2 |yn − b| < ε при

∀ n > N . Таким образом, 1yn→ 1

b . Отсюда и из свойства б)следует xn 1

yn→ a1

b = ab .

6. Если xn → 0, а (yn) ограничена, т. е. существует число M >0 такое, что |yn| ≤M (n ∈ N), то xnyn → 0.

27

Доказательство. Справедлива оценка 0 ≤ |xnyn| ≤ M |xn|.По свойству 3, если xn → 0, то |xn| → 0. Следовательно,M |xn| → 0. Отсюда, по свойству 2, следует |xnyn| → 0.Следовательно, xnyn → 0. xПримеры.

1. lim n√a = 1 (здесь a ≥ 1).

Доказательство. Положим zn = n√a − 1 ≥ 0. Тогда a =

= (1 + zn)n ≥ 1 + nzn. Следовательно, 0 ≤ zn ≤ a−1n . Отсюда

(по "Свойству двух милиционеров") следует zn → 0, т. е.n√a = 1 + zn → 1.

2. lim n√n = 1.

Доказательство. Положим zn = n√n − 1 ≥ 0. Тогда n =

= (1+zn)n = 1+nzn+n(n−1)2 z2

n+. . . > n(n−1)2 z2

n. Отсюда следует

0 ≤ zn ≤(

2n−1

)1/2. По "Свойству двух милиционеров"(т. к.(

2n−1

)1/2→ 0) имеем: zn → 0, т. е. n

√n = 1 + zn → 1.

§ 2.2 ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ.ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХЛюбая последовательность вложенных отрезков I1 ⊃

I2 ⊃ . . . (In = [an, bn]) обладает общей точкой, причем еслиbn − an → 0, то эта точка будет единственной.

Доказательство. Докажем сначала существование точки,общей для всех In. Множество E = a1, a2, . . . левыхконцов отрезков ограничено сверху (например, числом b1), и,следовательно (см. "Свойство непрерывности действительных

чисел"), существует a = supE. Точка a ∈∞⋂n=1

In : во-первых,

ak ≤ a (k = 1, 2, 3, . . . ); во-вторых, каждое bk – мажоранта E,так как an ≤ bn ≤ bk при n ≥ k,

an ≤ ak ≤ bk при n < k

28

и, следовательно, a, будучи наименьшей мажорантой E,обладает свойством a ≤ bk (k = 1, 2, . . . ). Таким образом,

an ≤ a ≤ bn, n ∈ N, т. е. a ∈∞⋂n=1

In.

Покажем, что an → a, для чего достаточно применить"Свойство двух милиционеров" к неравенству 0 ≤ a − an ≤bn − an (n ∈ N). Так как, если предел существует, то онединственный (см. свойство 1), и поэтому a будет единственнойточкой, принадлежащей всем In.

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССАБесконечное ограниченное множество E ⊂ R обладает по

крайней мере одной предельной точкой.Доказательство. Множество E – ограничено.⇒ существует

число M > 0 такое, что E ⊂ [−M,M ]. Построимпоследовательность вложенных отрезков In = [an, bn]:положим I1 = [−M,M ]; в качестве I2 возьмем тот издвух отрезков [−M, 0], [0,M ], который содержит бесконечноеподмножество E; если I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In−1 ужепостроены, то в качестве In возьмем тот из двух отрезков[an−1, an−1 + bn−1−an−1

2 ], [an−1 + bn−1−an−1

2 , bn−1], который содержитбесконечное подмножество множества E. По построениюbn − an → 0. По лемме о вложенных отрезках существует точка,общая всем In (a ∈

∞⋂n=1

In). Покажем, что a является искомой

точкой. Пусть U(a) – произвольная окрестность a. Тогдасуществует N ∈ N такое, что In = [an, bn] ⊂ U(a) (n > N), т.е. произвольной окрестности U(a) принадлежит бесконечноемножество точек множества E. Следовательно, a – предельнаяточка множества E.

Следствие. Каждая ограниченная последовательностьобладает сходящейся подпоследовательностью.

Доказательство. По теореме Вейерштрасса ограниченнаяпоследовательность (как бесконечное ограниченноемножество) обладает предельной точкой a. ⇒ любаяокрестность a содержит бесконечное множество элементовпоследовательности (xn). ⇒ Любая окрестность a должнабыть "ловушкой" хотя бы одной подпоследовательности(xnk)⇒ xnk → a.

29

§ 2.3 МОНОТОННЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Последовательность (xn) называетсянеубывающей (соответственно, невозрастающей), еслиxn ≤ xn+1 (соответственно, xn ≥ xn+1). Последовательность(xn) называется монотонной, если она неубывающая илиневозрастающая.

Теорема. Ограниченная монотонная последовательностьсходится.

Доказательство. Пусть, например, (xn) не убывает иограничена. Тогда существует M = supx1, x2, . . . . Покажем,что xn → M . Пусть U(M) = (a, b) – произвольная окрестностьточки M , т. е. a < M < b. По определению точной верхнейграни найдется N такое, что a < XN < M , и тогда (всилу неубывания) xn ∈ U(M), ∀ n > N . Так как U(M)– любая окрестность точки M , то в качестве её мы можемвзять ε - окрестность точки M . В результате мы получим:∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀ n > N : M − ε < xn < M + ε, т. е.xn →M . Теорема доказана.

Определение 2. Предел числовой последовательности (xn),где xn =

(1 + 1

n

)n, называется числом e, т. е.

lim

(1 +

1

n

)n= e.

Докажем, используя теорему об ограниченной имонотонной последовательности, что lim

(1 + 1

n

)n существует.Прежде всего докажем, что xn =

(1 + 1

n

)n являетсявозрастающей: xn =

(1 + 1

n

)n= 1 + n 1

n + n(n−1)1·2

1n2 +

+n(n−1)(n−2)1·2·3

1n3 + . . . n(n−1)...(n−n+1)

1·2...n1nn = 1 + 1 + 1

2!

(1− 1

n

)+

+ 13!

(1− 1

n

) (1− 2

n

)+ . . .+ 1

n!

(1− 1

n

)( 1− 2

n ) . . .(1− n−1

n

), xn+1 =

= 1 + 1 + 12!

(1− 1

n+1

)+ 1

3!

(1− 1

n+1

)(1− 2

n+1

)+ . . .

. . . + 1(n+1)!

(1− 1

n+1

)(1− 2

n+1

). . .(

1− nn+1

). Из данной записи

видно, что xn+1 > xn. Последовательность xn ограниченасверху: xn < 2 + 1

2! + 13! + . . . + 1

n! < 2 + 12 + 1

22 + . . . + 12n−1 < 3.

30

Так как xn =(1 + 1

n

)n является неубывающей и ограниченнойсверху, то limxn существует.

Пример. lim cn

n! = 0, (c > 0).Доказательство. Обозначим xn = cn

n! .Пусть c < 1. Тогда cn → 0, в то же время 1

n! → 0.⇒ xn→0.Если c = 1, то cn = 1 и так как 1

n! → 0, то xn → 0.Пусть c > 1. Тогда xn+1 = xn · c

n+1. ⇒ Последовательностьxn будет убывающей как только n > c − 1; очевиднотакже, что xn ограничена снизу нулем. Отсюда, по теореме обограниченной и монотонной последовательности, следует, чтопоследовательность xn имеет предел: limxn = a. Для тогочтобы найти a, перейдем к пределу слева и справа в равенствеxn+1 = xn · c

n+1. Получим a = a · 0.⇒ a = 0.

§ 2.4 КРИТЕРИЙ КОШИОпределение 1. Последовательность называется

фундаментальной или последовательностью Коши, если

∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n,m > N ( |xn − xm| < ε) (∗)или, что эквивалентно,∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∈ N ( |xn − xn+p| < ε). (∗∗)

Замечание. Эквивалентность (∗) и (∗∗) почтиочевидна. В условии (∗∗) не участвуют разности содинаковыми номерами элементов и разности, отличающиесяперестановкой элементов. Так как |xn − xn| = 0,|xn−xm| = |xm−xn|, то условия (∗), (∗∗) будут эквивалентными.

Теорема (критерий Коши). Чтобы последовательность(xn) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она былафундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть xn → a. Тогдафундаментальность (xn) следует из неравенства

|xn − xm| ≤ |xn − a| + |xm − a|, ∀ n,m > N.

Достаточность. Пусть (xn) – фундаментальна.Тогда (xn) – ограничена. Действительно, если Nтакое, что |xn − xm| < 1 (n,m > N), то|xn| ≤M = max|x1|, . . . , |xN |, |xN+1| + 1, n ∈ N. В силу

31

следствия к теореме Вейерштрасса существует сходящаясяподпоследовательность (xnk). Пусть xnk → a. Покажем, чтоxn → a. Для произвольного ε > 0 существует N ′ ∈ N такое,что |xnk − a| < ε/2 (nk > N ′). Пусть теперь N ′′ ∈ N такое,что |xn − xm| < ε/2, (n,m > N ′′). Тогда для n > N == maxN ′, N ′′ : |xn − a| ≤ |xn−xnk|+|xnk−a| < ε, если мывыберем какое-либо nk > N .

Замечание. В отношении (∗∗) существенна произвольностьp: если, например, ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ( |xn − xn+1| < ε),то последовательность (xn) может и расходиться.

Пример: последовательность (xn), где xn = 1 + 12 + . . . +

1n, – не сходится. Действительно, для неё не выполняютсяусловия критерия Коши: пусть ε = 1/2, N – произвольно,n = N + 1, p = N + 1; тогда |xN+1 − x2N+2| == 1

N+2 + . . . + 12N+2 > (N + 1) · 1

2(N+1) = 12. В то же время

∀ ε > 0 ∃ N ∈ N (|xn − xn+1| = 1n+1 < ε).

§ 2.5 ПРЕДЕЛЫ В РАСШИРЕННОЙЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ. ВЕРХНИЙ И

НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Последовательность (xn) называетсясходящейся к ∞ в R

⋃∞, если ∀ M > 0 ∃ N ∈ N ∀ n >

N ( |xn| > M), при этом пишут: limxn =∞ или xn →∞.Замечание. limxn =∞ означает, что всякая ∨ - окрестность

точки ∞ является ловушкой (xn).Определение 2. Последовательность (xn) называется

сходящейся к +∞ в R⋃±∞, если ∀ M > 0 ∃ N ∈ N ∀ n >

N (xn > M), при этом пишут: limxn = +∞ или xn → +∞.Аналогично определяется limxn = −∞ в R

⋃±∞.

Пример. Пусть xn = (−1)n 3√n (n ∈ N). Тогда xn → ∞.

Однако xn 6→ +∞, xn 6→ −∞.

32

ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Рассмотрим расширенную числовую прямую R⋃±∞.

Определение. Точка a ∈ R⋃±∞ называется верхним

(соответственно, нижним) пределом (xn), если

1. Существует подпоследовательность (xnk) такая, что xnk→a.2. Если подпоследовательность xmk

→ b ((xmk) отлична от

подпоследовательности (xnk)), то b≤a (соответственно, b≥a).

При этом используются обозначения: a = limxn(соответственно, a = limxn).

Замечание. Последовательность (xn) может иметь толькоодин верхний (нижний) предел.

Доказательство. Пусть a1 и a2 два верхних предела (xn) ипусть a1 < a2. В этом случае существует подпоследовательность(xnk), сходящаяся к a2, что противоречит тому, что a1 –верхний предел (xn). Аналогично проводится доказательстводля нижнего предела.

Теорема 1. Для произвольной последовательности (xn)справедливы следующие утверждения:1. Верхний и нижний пределы всегда существуют.2. limxn ≤ limxn.3. limxn = limxn тогда и только тогда, когда существует limxn,

при этом limxn = limxn = limxn.

Доказательство. Докажем свойство 1 в случаеограниченной (xn). Выделим из (xn) подпоследовательность(xnk), сходящуюся к некоторому числу, действуя следующимобразом. Пусть (xn) ⊂ ∆0 = [c, d]. Далее, разделим ∆0 надве равные части и обозначим через ∆1 самую правую изних, содержащую в себе ∞ число элементов xn. Пусть xn1

– один из элементов отрезка ∆1. Обозначим, далее, через∆2 самую правую половину отрезка ∆1, содержащую в себе∞ число элементов xn. Очевидно, что среди элементов xn,принадлежащих ∆2, найдется элемент xn2

с n2 > n1. Вообще,если отрезки ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ · · · ⊃ ∆k−1 и принадлежащие имэлементы xn1

, . . . , xnk−1уже определены, то обозначим через

33

∆k самую правую половину отрезка ∆k−1, содержащую всебе ∞ число элементов xn. Очевидно, что среди последнихнайдется элемент xnk с nk > nk−1. Обозначим через aточку, принадлежащую всем ∆k (k = 1, 2, 3, . . . ). Для любойε - окрестности точки a существует n ∈ N такое, что∆n ⊂ (a− ε, a + ε).⇒ ∆k ⊂ (a− ε, a + ε) для всех k ≥ n.⇒ Всечлены построенной последовательности (xnk), начиная с номераn, будут принадлежать (a − ε, a + ε), что означает xnk → a.Покажем, что a = limxn. Пусть a′ > a. Подберем n настолькобольшим, что a′ оказывается правее ∆n. Но правее ∆n можетбыть только конечное число элементов xn, и, следовательно,не существует подпоследовательности последовательности (xn),которая сходилась бы к a′. Таким образом, a = limxn.

Если процесс доказательства видоизменить, обозначаячерез ∆n (для любого n) не самую правую, а самую левуюполовину ∆n−1, содержащую∞ число элементов xn, то получимчисло a, равное нижнему пределу xn.

Замечание. Для любого ε > 0 интервал (a − ε, a + ε),где a = limxn (a = limxn), содержит в себе бесконечное числоэлементов xn, при этом справа (слева) от этого интервалаимеется более чем конкретное число элементов xn.

Доказательство. Можно указать такое n, что ∆n ⊂(a−ε, a+ε). Но в ∆n имеется∞ число элементов xn – тем болееэто справедливо для (a− ε, a + ε). Правее ∆n имеется не болеечем конечное число элементов xn – тем более это справедливодля (a− ε, a + ε).

Упражнения.Завершить доказательство свойства 1, доказав его для

следующих случаев.Для верхнего предела:

1. (xn) – не ограничена сверху.

2. (xn) – ограничена сверху, но не ограничена снизу.

Для нижнего предела:

1. (xn) – не ограничена снизу.

2. (xn) – ограничена снизу, но не ограничена сверху.

34

Литература: [2], § 3.7, с. 79.

Свойство 2 является простым следствием определенийверхнего и нижнего пределов числовой последовательности.Докажем свойство 3. Если существует limxn, то всеподпоследовательности (xn) сходятся к нему, и поэтому имеетместо limxn = limxn = limxn. Обратно, пусть limxn = limxn = a.Если a – конечное число, то из limxn = limxn = a следует, чтодля любого ε > 0 неравенства a − ε < xn < a + ε соблюдаютсядля всех индексов n, за исключением конечного их числа, аэто значит, что xn → a. Если теперь a = +∞, то неравенствуxn ≤M может при любом конечномM удовлетворять конечноечисло элементов xn, но тогда limxn = +∞. Аналогичнорассматривается случай a = −∞.

Теорема 2.x Справедливы следующие отношения:

1. limxn = −lim(−xn).

2. lim(xn + yn) ≤ limxn + limyn.

3. lim(xn + yn) ≥ limxn + limyn.

Доказательство. Справедливость равенства 1 следуетнепосредственно из определения верхнего и нижнегопределов. Докажем неравенства 2 и 3. Будем считать(xn) и (yn) ограниченными, так как в противном случаенеравенства 2 и 3 выполняются очевидным образом(проверку этого факта предлагается провести самостоятельно).Существует подпоследовательность (xnk + ynk) такая, чтоlim(xn + yn) = lim(xnk + ynk). (xn) – ограничена ⇒ (xnk)– ограничена. По следствию к теореме Вейерштрасса,существует подпоследовательность (xn′k) ⊂ (xnk) такая, чтосуществует limxn′k. Подпоследовательность (xn′k) определяетподпоследовательность (yn′k) ⊂ (ynk). Так как (yn) – ограничена,то (yn′k) – ограничена. По следствию к теореме Вейерштрасса,существует подпоследовательность (yn′′k) ⊂ (yn′k) такая,что существует lim yn′′k. Но так как существует limxn′k, тосуществует limxn′′k. Поэтому lim(xn′′k + yn′′k) = lim(xn′′k) + lim(yn′′k).(xn′′k + yn′′k) ⊂ (xnk + ynk), и lim(xnk + ynk) существует.Следовательно, lim(xnk + ynk) = lim(xn′′k + yn′′k) = lim(xn′′k) +

35

+ lim(yn′′k) ≤ limxn + limyn. Последнее доказываетнеравенство 2. Неравенство 3 является следствиемравенства 1 и неравенства 2. Действительно, lim(xn ++yn) = −lim(−xn − yn) ≥ −(lim(−xn) + lim(−yn)) == limxn + limyn. x

Пример.

xn =(2 + (−1)n)n

n, n ∈ N.

limxn = +∞, limxn = 0.

36

Глава 3ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

§ 3.1 Предел функции. Свойства пределов функции.Первый замечательный предел.

§ 3.2 Критерий Коши существования предела функции.§ 3.3 Модификация понятия предела функции в точке.§ 3.4 Второй замечательный предел.§ 3.5 Порядок функции. Эквивалентность. Асимптотика.

§ 3.1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВАПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ. ПЕРВЫЙ

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная намножестве E.

Определений 1. Число α называется пределом функцииf в точке a, если:

1. a – предельная точка множества E.

2. Для любой последовательности (xn) такой, что xn ∈ E,xn 6= a : xn → a⇒ f (xn)→ α. (∗)Обозначение: α = lim

x→af (x) или f (x) → α при x → a.

Подчеркнем, что понятие предела функции в точке a вводитсятолько для предельных точек a области определения функции.Отметим, что при этом функция может быть и не определена вточке a, т. е., вообще говоря, a /∈ E.

Замечание 1. Условие 1 в определении предела функциив точке можно заменить следующим: функция определена внекоторой окрестности точки a, за исключением, может быть,самой точки a. Тогда мы получим определение, подпадающеепод определение 1.

Замечание 2. Число α = limx→a

f (x) ничего не говорит означении f в точке a. Функция f (x) может быть и не определенав точке a. Утверждение lim

x→af (x) = α говорит о том, что если

37

x приближается к a, по любому закону оставаясь не равным a,то соответствующее значение f , в свою очередь, приближаетсяк α, т. е. делается сколь угодно близким к α.

Определение 2. Число α называется пределом функцииf в точке α, если:

1. α – предельная точка множества E.

2. ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ E x ∈ (a − δ, a + δ), x 6= a(|f (x)− α| < ε). (∗)Замечание. Определения 1 и 2 эквивалентны.Доказательство. Эквивалентность определений будет

доказана, если мы докажем эквивалентность условий (∗)и (∗∗). Доказательство будем вести от противного. Пустьсправедливо (∗), но при этом не выполняется (∗∗). Это значит,что существует хотя бы одно ε > 0 (обозначим его ε0), такое,что для любого δ > 0 существует x ∈ (a − δ, a + δ)

⋂E, x 6= a,

для которого |f (x) − α| ≥ ε0. Возьмем в качестве δ все числавида δ = 1/k, k = 1, 2, 3, . . . , и для каждого из них найдемxk ∈ E, для которого

0 < |xk − a| < 1/k, xk 6= a, и

|f (xk)− α| ≥ ε0, k = 1, 2, 3, . . .

Из этих соотношений видно, что существует последовательность(xk) такая, что xk → a (xk 6= a), в то время как f (xk) заведомоне стремится к α. Таким образом, допущение, что выполняется(∗), но не выполняется (∗∗), приводит к противоречию.

Докажем, что из условия (∗∗) следует условие (∗). Пустьсправедливо (∗∗) и пусть задана (xn); xn ∈ E : xn → a (xn 6= a).Подберем натуральное число N так, чтобы |xn − a| < δ длялюбых n > N . Тогда, согласно условию (∗∗), |f (xn)−α| < ε длялюбых n > N , т. е. f (xn) → α. Доказанное верно для любойпоследовательности (xn), сходящейся к a (лишь бы xn 6= a),поэтому из (∗∗) ⇒ (∗).

Пример. limx→a

cosx = cos a, так как | cosx − cos a| =

= |2 sin x−a2 sin x+a

2 | ≤ ≤ 2|x−a2 | = |x− a| (здесь мы использовалинеравенство | sinx| ≤ |x|, x ∈ R).

СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ

38

Теорема 1. Если f (x) определена в некоторой окрестноститочки a, за исключением, может быть, самой этой точки a иlimx→a

f (x) = α, где α – конечное число, то существует U(a) такая,

что f (x) ограничена в U(a).Доказательство. Так как lim

x→af (x) = α, то для ε = 1

существует δ > 0 такое, что если 0 < |x−a| < δ, то |f (x)−α| < 1.Таким образом, для некоторой проколотой окрестности точкиa справедливы неравенства |f (x)| − |α| ≤ |f (x) − α| < 1.Следовательно |f (x)| < |α| + 1 для x из некоторой U(a).

Теорема 2.x Если f (x) определена в некоторой окрестноститочки a, за исключением, может быть, самой этой точки a иlimx→a

f (x) = α и α 6= 0, то существует U(a) такая, что |f (x)| >

> |α|2 , x ∈ U(a). Больше того, для указанных x

f (x) >α

2, если α > 0,

иf (x) <

α

2, если α < 0.

Доказательство. limx→a

f (x) = α 6= 0. Пусть ε = |α|2 > 0.

Следовательно, существует U(a) такая, что ∀ x ∈ U(a) :

|f (x) − α| < |α|2 . ⇒ |α| − |f (x)| ≤ |α − f (x)| < |α|

2 . ⇒ |f (x)| >> |α|

2 , ∀ x ∈ U(a). Таким образом, если α > 0, то f (x) > α2 , и

если α < 0, то f (x) < α2 .

Теорема 3 (арифметические свойства). Пусть f (x) и g(x)определены в некоторой окрестности точки a, за исключением,может быть, самой точки a. Тогда справедливы равенства:

limx→a

(f (x)± g(x)) = limx→a

f (x)± limx→a

g(x),

limx→a

f (x) · g(x) = limx→a

f (x) · limx→a

g(x), (∗)

limx→a

f (x)

g(x)=

limx→a

f (x)

limx→a

g(x), (lim

x→ag(x) 6= 0),

в том смысле, что если определены правые части, то определенылевые, и они равны.

39

Доказательство. Пусть определены правые части равенств(∗), т. е. lim

x→af (x) = α и lim

x→ag(x) = β. Пусть xn → a (xn 6= a,

n = 1, 2, . . .), тогда lim f (xn) = α, lim g(xn) = β. Но для числовыхпоследовательностей равенства (*) верны, т. е.

lim(f (xn)± g(xn)) = lim f (xn)± lim g(xn),

lim f (xn) · g(xn) = lim f (xn) · lim g(xn), (∗∗)

limf (xn)

g(xn)=

lim f (xn)

lim g(xn), (lim g(xn) 6= 0).

(Условие lim g(xn) 6= 0 выполняется, так как limx→a

g(x) 6= 0;

g(xn) 6= 0, так как, если limx→a

g(x) 6= 0, то g(xn) 6= 0 в некоторойокрестности точки a). Так как равенства (∗∗) выполняются длялюбой последовательности xn → a, xn 6= a, то равенства (∗)справедливы.

Теорема 4. ("Свойство двух милиционеров"). Пустьf1(x), f2(x), ϕ(x) определены в некоторой окрестноститочки a, за исключением, может быть, самой точки a, иудовлетворяют неравенствам f1(x) ≤ ϕ(x) ≤ f2(x). Пустьlimx→a

f1(x) = limx→a

f2(x) = α. Тогда limx→a

ϕ(x) = α.Доказательство. Пусть xn → a, xn 6= a; тогда при

достаточно большом N для n > N f1(xn) ≤ ϕ(xn) ≤ f2(xn).Далее, так как lim

x→af1(x) = α, lim

x→af2(x) = α, то lim f1(xn) = α и

lim f2(xn) = α и по "Свойству двух милиционеров" для числовыхпоследовательностей существет limϕ(xn) = α. В силу того, что(xn) является произвольной последовательностью, сходящейсяк a, утверждение теоремы доказано. x

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛlimx→a

sinxx = 1.

Доказательство.

6

-

TTTT

0x

A

M

Ny

x

40

Площадь 4AOM < площади сектора OAM < площади4OMN , т. е.

1

2r2 sinx <

1

2r2x <

1

2r2 tg x

(здесь x – радианная мера ∠AOM). Проведем сокращение на1/2, и так как r = 1, то

sinx < x < tg x, x ∈ (0, π/2). (∗)В предположении, что 0 < x < π/2, разделим на sinx каждыйиз членов неравенства (∗). В результате получим

1 >sinx

x> cosx

limx→0

cosx = 1, поэтому, по "Свойству двух милиционеров", для

предела функции получим limx→0

sinxx = 1.

§ 3.2 КРИТЕРИЙ КОШИСУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная намножестве E.

Теорема. Для того, чтобы существовал предел limx→a

f (x) =

α, необходимо и достаточно, чтобы точка a была предельнойточкой множества E и для любого ε > 0 существовалаокрестность U(a) такая, что для любых x′, x′′ ∈ U(a)

⋂E имело

место |f (x′)− f (x′′)| < ε.Доказательство. Необходимость. Пусть lim

x→af (x) = α. Тогда

a – предельная точка множества E и для любого ε > 0существует U(a) такая, что для x ∈ U(a)

⋂E : |f (x)−α| < ε/2.

Таким образом, если x′, x′′ ∈ U(a)⋂E, то |f (x′) − f (x′′)| ≤

|f (x′)−α|+ |f (x′′)−α| < ε, т. е. выполняется условие критерияКоши.Достаточность. Пусть a – предельная точка множества E ипусть для любого ε > 0 можно указать окрестность U(a)такую, что |f (x′) − f (x′′)| < ε для всех x′, x′′ ∈ U(a)

⋂E.

Зададим произвольную последовательность (xn), xn 6= a, xn ∈E, сходящуюся к a : xn → a. Тогда, согласно критериюКоши для числовой последовательности, найдется N ∈ N

41

такое, что для любых n,m > N : xn, xm ∈ U(a). Нотогда |f (xn) − f (xm)| < ε (для любых n,m > N), т. е.последовательность (f (xn)) удовлетворяет условию критерияКоши и, следовательно, имеет предел. Таким образом, мыдоказали следующее свойство рассматриваемой функции: длялюбой сходящейся к a последовательности xn 6= a существуетlim f (xn). Для завершения доказательства существованияlimx→a

f (x) необходимо показать, что lim f (xn) будет один и тот жедля любой последовательности xn → a, xn 6= a. Пусть xn → a,x′n → a (xn, x

′n 6= a, n = 1, 2, . . .). По доказанному

выше, существуют lim f (xn) и lim f (x′n). Предположим, чтоlim f (xn) = α, lim f (x′n) = α′. Составим новую числовуюпоследовательность: (x′′n) = (x1, x

′1, x2, x

′2, . . .). Очевидно, что

x′′n → a. Но тогда должен существовать lim f (x′′n), чтовозможно только тогда, когда α = α′. Итак, для любойпоследовательности x→a, xn 6= a, существует lim f (xn) = α, чтоозначает: существует lim

x→af (x) = α.

§ 3.3 МОДИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЯПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная намножестве E.

Определение 1. Число α называется пределом функциив точке a справа (пишут: lim

x→a+0f (x) = α или f (a+ 0) = α), если

1. a – предельная точка множества E.

2. Для любой последовательности (xn), xn > a, xn ∈ E :xn → a⇒ f (xn)→ α.

Определение 2. Число α называется пределом функциив точке a слева (пишут: lim

x→a−0f (x) = α или f (a− 0) = α), если

1. a – предельная точка множества E.

2. Для любой последовательности (xn), xn < a, xn ∈ E :xn → a⇒ f (xn)→ α.

Замечание 1. Условия 2 в определениях 1 и 2 эквивалентны,соответственно, следующим условиям:

42

2′. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E, x ∈ (a, a + δ) : |f (x)− α| < ε.2′′. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E, x ∈ (a− δ, a) : |f (x)− α| < ε.

Доказывается данное замечание как и в случае обычногопредела функции.

Используя данное замечание, легко доказать следующееутверждение.

Замечание 2.x Пусть f (x) определена в некоторойокрестности точки a, за исключением, может быть, самойточки a. Тогда lim

x→af (x) существует тогда и только тогда, когда

существуют limx→a−0

f (x), limx→a+0

f (x) и они равны..Доказательство. Необходимость. Пусть lim

x→af (x) = α, т. е.

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E, x ∈ (a−δ, a+δ), x 6= a (|f (x)−α| < ε).Тогда

∀x ∈ (a− δ, a) (|f (x)− α| < ε), (1)

∀x ∈ (a, a + δ) (|f (x)− α| < ε). (2)

Из (1) ⇒ limx→a−0

f (x) = α, а из (2) ⇒ limx→a+0

f (x) = α.Достаточность. Пусть lim

x→a−0f (x) = lim

x→a+0f (x) = α, т. е.

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a− δ, a) (|f (x)− α| < ε), (3)

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, a + δ) (|f (x)− α| < ε). (4)

Заметим, что δ в (3) и (4) выбираются одинаковыми. Из (3) и(4) ⇒ ∀ε > 0∃δ > 0 ∀ x ∈ (a− δ, a + δ), x 6= a (|f (x)− α| < ε).⇒ lim

x→af (x) = α. x

Определение 3. Число α называется пределом функции f в∞ (пишут: lim

x→∞f (x) = α), если

1. f (x) определена на некоторой U(∞).2. Для любой сходящейся к ∞ последовательности (xn) :f (xn)→ α.Замечание 3. Условие 2 эквивалентно условию:

∀ε > 0 ∃ U(∞) ∀x ∈ U(∞) (|f (x)− α| < ε).

Аналогично определяются limx→+∞

f (x) и limx→−∞

f (x).Единственное отличие состоит в том, что используются,соответственно, U(+∞) и U(−∞)

43

Иллюстрации:

6 6 6

- - -0 0 0x x x

y y y

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

−1 −1 −1

1 1 1

2 2 2

3 3 3

-

-

R

I-

Рис. 1. limx→0+0

f (x) = 2, limx→0−0

f (x) = −1 (существуют),limx→0

f (x) – не существует.Рис. 2. lim

x→+∞f (x) = 2 (существует), lim

x→∞f (x) – не

существует.Рис. 3. lim

x→∞f (x) = 1, lim

x→0+0f (x) = 3, lim

x→0−0f (x) = −1

(существует), limx→0

f (x) – не существует.Сделанные выше определения можно обобщить на случай,

когда α – несобственная точка.Определение 4. lim

x→af (x) =∞, если

1. a – предельная точка множества E.

2. ∀M > 0 ∃U(a) ∀x ∈ U(a)⋂E(|f (x)| > M).

Замечание 4. Если limx→a

f (x) =∞ и в некоторой окрестностиU(a) функция f (x) > 0 (соответственно f (x) < 0), то пишут:limx→a

f (x) = +∞ (соответственно limx→a

f (x) = −∞).Иллюстрации:

6

-0

y

xa

66

-0

y

xa

?

6

44

§ 3.4 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Ранее было определено число e как предел числовойпоследовательности

e = lim

(1 +

1

n

)n. (1)

Теперь мы установим более общий результат: limx→∞

(1 + 1

x

)x= e.

Очевидно, достаточно доказать это равенство для случаев x→+∞ и x → −∞. Пусть x → +∞. Очевидно, справедливынеравенства:(

1 +1

[x] + 1

)[x]

<

(1 +

1

x

)x<

(1 +

1

[x]

)[x]+1

, (2)

где [x] – целая часть числа x.(

1 + 1[x]+1

)[x]и(

1 + 1[x]

)[x]+1являются числовыми последовательностями. По

доказанному ранее lim(

1 + 1[x]+1

)[x]= lim

(1 + 1

[x]

)[x]+1= e.

Поэтому, по "Свойству двух милиционеров", из (2)следует lim

x→+∞

(1 + 1

x

)x= e. Пусть x → −∞.

limx→−∞

(1 + 1

x

)x= lim

y→+∞

(1− 1

y

)−y= lim

y→+∞

(yy−1

)y=

= limy→+∞

(1 + 1

y−1

)y−1·(

1 + 1y−1

)= e.

§ 3.5 ПОРЯДОК ФУНКЦИИ.ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (АСИМПТОТИКА)

Определение 1. Функция f имеет порядок функции ϕна множестве E, или f есть O большое от ϕ на E (записывается:f (x) = O(ϕ(x)), x ∈ E), если |f (x)| ≤ C|ϕ(x)|, x ∈ E, где C –не зависящая от x постоянная.

Замечание. f (x) = O(1), x ∈ E, означает, что f ограниченана E.

Пример. sinx = O(x), x ∈ R, т. к. | sinx| ≤ |x|, ∀x ∈ R.

45

Очень часто возникает вопрос о поведении функциив окрестности точек, в которых она не определена. Длясложных функций желательно иметь хорошую аппроксимациюпростыми функциями. Сейчас мы дадим определение основныхасимптотических соотношений.

Определение 2.10. f (x) = o(ϕ(x)), x→ a (говорят: функция f есть o малое

от функции ϕ при x → a), если f (x) = ε(x)ϕ(x), где функцияε(x)→ 0 при x→ a.

20. f (x) = O(ϕ(x)), x → a (говорят: функция f есть Oбольшое от функции ϕ(x) при x → a), если существует U(a)такая, что f (x) = O(ϕ(x)), x ∈ U(a).

30. Функции f1(x) и f2(x) называются эквивалентными приx→ a (пишут: f1(x) ' f2(x), x→ a), если f1 и f2 не равны нулюв некоторой U(a) и если lim

x→af1(x)f2(x) = 1.

Замечания.1. В определении 2 считается, что функции f, ϕ, f1, f2

определены на некоторой окрестности точки a, за исключением,может быть, самой точки a.

2. Если функция ϕ(x) 6= 0 на U(a), то 10, 20 из определения2 будут эквивалентны следующим:

1′. f есть o малое от ϕ при x→ a, если limx→a

f(x)ϕ(x) = 0.

2′. f есть O большое от ϕ при x→ a, если существует U(a),на которой |f(x)

ϕ(x)| ≤ C. C – постоянная.Примеры.1. x2 = o(x), x→ 0.2. x = o(x2), x→∞.3. x = O(sinx), x→ 0.Докажем следующие асимптотические свойства:Теорема 1. f (x) ' ϕ(x), x→ a, тогда и только тогда, когда

f (x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)), x→ a.Доказательство. f (x) ' ϕ(x), x → a. ⇒ f (x) = ϕ(x) +

+r(x), где r(x) =[f(x)ϕ(x) − 1

]ϕ(x), причем lim

x→ar(x)ϕ(x) =

= limx→a

(f(x)ϕ(x) − 1

)= lim

x→ar(x)ϕ(x) − 1 = 0. Таким образом, r(x) =

=o(ϕ(x)), x→a, и, следовательно, f (x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)), x→ a.

46

Обратно, пусть f (x) = ϕ(x) + o(ϕ(x)), x → a. ⇒ f(x)ϕ(x) =

= 1 + o(1), x→ a, т. е. f (x) ' ϕ(x), x→ aТеорема 2. Если f (x) ' ϕ(x), x → a и функция ψ(x)

определена в некоторой U(a), то limx→a

f (x)ψ(x) = limx→0

ϕ(x)ψ(x)

в том смысле, что если определена одна из частей равенства, тоопределена и другая и они равны.

Доказательство. Пусть, например, определена правая частьравенства. Тогда lim

x→af (x)ψ(x) = lim

x→af(x)ϕ(x) · ϕ(x)ψ(x) =

= limx→a

ϕ(x)ψ(x).Примеры.1. sinx ' x, x → 0 (эквивалентная запись 1-го

замечательного предела).2. 1− cosx ' 1

2x2, x→ 0.

Доказательство. limx→0

1−cosx12x2 = lim

x→0

2 sin2 x2

12x2 = lim

x→0

2·(x2)2

12x2 =

= limx→0

x2

4x2

4

= 1.Здесь мы использовали пример 1 (sin x

2 'x2 , x → 0) и

теорему 2 (заменили sin x2 на x

2).

47

Глава 4НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 4.1 Непрерывные функции. Основные свойства функций,непрерывных в точке.

§ 4.2 Точки разрыва.§ 4.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке.§ 4.4 Равномерная непрерывность. Продолжение по

непрерывности.§ 4.5 Непрерывность обратной функции.§ 4.6 Показательная функция. Логарифмическая,

степенная, гиперболические функции.

§ 4.1 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,

НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

Определение 1. Функция f называется непрерывнойв точке a, если она определена на некоторой U(a) и еслиlimx→a

f (x) = f (a).Мы имеем два эквивалентных определения предела,

поэтому данное определение можно развернуть двумяспособами.

10. Функция f называется непрерывной в точкеa, если она определена на некоторой U(a) и еслидля ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ)(|f (x)− f (a)| < ε).

20. Функция f называется непрерывной в точкеa, если она определена на некоторой U(a) и еслидля любой последовательности (xn) : xn → a ⇒⇒ f (xn)→ f (a).

Ещё раз отметим, что 10 эквивалентно 20.Если функция не является непрерывной в точке a, то

говорят, что она разрывна в точке a. В случае, когда функцияопределена на U(a), разрывность в точке a можно определитьна языке (ε, δ) следующим образом: ∃ ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ (a− δ, a + δ) (|f (x)− f (a)| ≥ ε).

48

Иллюстрации:

-

6

0

y

xРис. 1.

f(a)

f(a)+ε

f(a)−ε

a−δ a a+δ-

6

0

y

xРис. 2.

f(a)

f(a)+ε0

f(a)−ε0

a−δ a a+δ

r

На рис. 1 изображена непрерывная кривая("непрерывность" понимается в интуитивном смысле – кривуюможно начертить, не отрывая карандаша от бумаги). Пустьэта кривая является графиком некоторой функции f (x). Тогда∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ (a − δ, a + δ) (|f (x) − f (a)| < ε)(все это видно на рисунке) и, следовательно, математическоеопределение непрерывности функции отвечает интуитивномупонятию непрерывности кривой.

На рис. 2 изображена разрывная кривая, состоящая издвух кусков. Разрыв имеет место в точке a. На рисунке видно,что существует ε0 > 0 такое, что для любых δ > 0 существуетx ∈ (a − δ, a + δ) такое, что |f (x)− f (a)| ≥ ε0. Таким образом,разрывному графику соответствует разрывная функция.

Примеры.1. f (x) = C, x ∈ R, C – постоянная, – непрерывна в

каждой точке x ∈ R.2. f (x) = x, x ∈ R, – непрерывна в каждой точке x ∈ R.Определение 2. Функция называется непрерывной, если

она непрерывна в каждой точке своей области определения.Примеры.x Тригонометрические функции cosx(x ∈ R),

sinx(x ∈ R), tg x(x ∈ R, x 6= π2 + kπ, k ∈ Z), ctg x(x ∈ R, x 6=

kπ, k ∈ Z) являются непрерывными функциями.Справедливость утверждения следует из утверждений:

limx→a

cosx = cos a, limx→a

sinx = sin a, limx→a

tg x = tg a

(a 6= π2 + kπ, k ∈ Z), lim

x→actg x = ctg a(a 6= kπ, k ∈ Z).

Первое утверждение доказано в § 3.1. Докажем остальныеутверждения. | sinx − sin a| =

∣∣2 cos x+a2 sin x−a

2

∣∣ ≤≤ 2

∣∣x−a2

∣∣ = |x − a|. Отсюда следует, что limx→a

sinx = sin a.Далее, используя арифметические свойства предела функции,

49

получим

limx→a

tg x =limx→a

sinx

limx→a

cosx=

sin a

cos a= tg a (a 6= π

2+ kπ, k ∈ Z);

limx→a

ctg x =limx→a

cosx

limx→a

sinx=

cos a

sin a= ctg a (a 6= kπ, k ∈ Z). x

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ

Теорема 1. Если функция f непрерывна в точке, то онаограничена в некоторой окрестности этой точки.

Доказательство. Так как f непрерывна в точке a, то, поопределению, lim

x→af (x) = f (a). Следовательно, по свойству

предела функции, функция f будет ограничена в некоторойU(a), причем точка a не выбрасывается из U(a), так как fопределена в точке a.

Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна в точке a иf (a) 6= 0, то существует окрестность U(a), на которой |f (x)| >> |f(a)|

2 . Больше того, если f (a) > 0, то f (x) > f(a)2 , x ∈ U(a),

а если f (a) < 0, то f (x) < f(a)2 , x ∈ U(a). Справедливость

утверждения теоремы следует из теоремы 2 (см. "Свойствопределов функций" ), так как непрерывность f (x) в точке aозначает, что lim

x→af (x) = f (a).

Теорема 3 (арифметические свойства).x Пусть функции fи g непрерывны в точке a, тогда в точке a непрерывны такжефункции: f (x)± g(x), f (x) · g(x), f (x)/g(x), если g(x) 6= 0.

Доказательство. Справедливость утверждения теоремыследует из теоремы 3 (см. "Свойство пределов функций" ).Например, пусть f (x) и g(x) непрерывны в точке a. ⇒limx→a

f (x) = f (a) и limx→a

g(x) = g(a). По свойству пределовфункций в точке имеем lim

x→a(f (x)± g(x)) = lim

x→af (x)± lim

x→ag(x) =

= f (a)± g(a). Таким образом, функция f (x)± g(x) непрерывнав точке a.

50

Теорема 4 (непрерывность суперпозиций функций). Еслифункция ϕ(x) непрерывна в точке a и функция f (y) непрерывнав точке b = ϕ(a), то функция F (x) = f (ϕ(x)) – непрерывна вточке a.

Доказательство. Зададим ε > 0. Вследствие непрерыв-ности функции f в точке b существует δ1 > 0 такое, что f (y)будет определена на интервале (δ − δ1, δ + δ1) и выполняетсянеравенство:

|f (y)− f (b)| < ε, если |y − b| < δ1.

А вследствие непрерывности функции ϕ в точке a существуетδ2 > 0 такое, что ϕ(x) определена на интервале (a− δ2, a+ δ2) и

|ϕ(x)− ϕ(a)| < δ1 для |x− a| < δ2. (1)

Из полученных соотношений следует, что для всехx, удовлетворяющих неравенству (1), функция f (ϕ(x))определена и справедливо неравенство |f (ϕ(x))−f (ϕ(a))|<εили |F (x)−F (a)|<ε. x

§ 4.2 ТОЧКИ РАЗРЫВА

Определение 1. Если функция f не является непрерывнойв точке a, но существует lim

x→af (x), то говорят, что f имеет

устранимый разрыв в точке a.Иллюстрации:

-

6

0 x

y

α

aРис. 1.

limx→a+0

f(x)=limx→a−0

f(x)=α

f(x) - не определена в точке a

-

6

0 x

y

α

aРис. 2.

limx→a+0

f(x)=limx→a−0

f(x)=α

f(a) 6= α

f(a) r

В обоих случаях limx→a

f (x) существует, но f разрывна в a,так как (см. рис. 1) f – не определена в a и (см. рис. 2) f (a) 6=

51

α = limx→a

f (x). Разрывы функций в точке a легко устраняются. В1 случае f нужно доопределить в точке a, а во 2 случае f нужновидоизменить, положив f (a) = lim

x→af (x) = α.

Следует заметить, что разрывы могут быть инеустранимыми.

Пример. Пусть f (x) = sin 1x (x ∈ R, x 6= 0). Тогда

limx→a

sin 1x не существует, так как если xn = 2

π(2n+1) → 0, топоследовательность sin 1

xn= (−1)n предела не имеет. Таким

образом, f (x) = sin 1x не является непрерывной в точке O и

разрыв этот неустранимый.Определение 2. Если функция f непрерывна в любой точке

достаточно малой окрестности U(a) и не ограничена в U(a), тоговорят, что f имеет бесконечный разрыв в точке a.

Пример. f (x) = tg x имеет бесконечный разрыв в точкахxk = π

2 + kπ, k ∈ Z.Введем понятие непрерывности функции в точке справа и

слева. Обозначим: f (a + 0) = limx→a+0

f (x), f (a− 0) = limx→a−0

f (x).Определение 3. Функция f называется непрерыв-

ной в точке a справа (слева), если существует f (a + 0) иf (a + 0) = f (a) (соответственно, если существует f (a − 0) иf (a− 0) = f (a)).

Замечание. Если f непрерывна как справа, так и слева вточке a, то она непрерывна в точке a.

Доказательство. Ранее было доказано: limx→a

f (x) существуеттогда и только тогда, когда существуют f (a + 0) и f (a − 0) иона равны, при этом lim

x→af (x) = f (a + 0) = f (a − 0). Поэтому,

так как f (a + 0) = f (a − 0) = f (a), то limx→a

f (x) = f (a), т. е. f –непрерывная в точке a.

Определение 4. Точка a называетсяточкой разрыва 1-го рода для функции f , если пределы f (a+0)и f (a−0) существуют (конечны) и хотя бы один из них отличенот f (a) или функция f не определена в точке a.

Примеры графиков функций, имеющих разрыв 1-го рода вточке a.

52

6

-0 x

y

aРис. 1.f(a+0)6=f(a),f(a−0) 6=f(a),

f - разрывна справа и слева.

f(a) r 6

-0 x

y

aРис. 2.f(a+0)6=f(a),f(a−0)=f(a),

f - разрывна справа инепрерывна слева.

f(a) r

6

-0 x

y

aРис. 3.f(a−0)6=f(a),f(a+0)=f(a),

f - разрывна слева инепрерывна справа.

f(a) r

6

-0 x

y

aРис. 4.

f(a+0)=f(a−0)6=f(a),Разрыв устраним.

rf(a)

6

-0 x

y

aРис. 5.

f(a+0)6=f(a−0),f не определена в a.

6

-0 x

y

aРис. 6.

f(a+0)=f(a−0),f не определена в a.Разрыв устраним.

Определение 5. Если f определена в некоторой U(a),исключая, может быть, саму точку a, и имеет разрыв в a, неявляющийся разрывом 1-го рода, то говорят, что она имеет в aразрыв 2-го рода.

Пример.

Функция f (x) =

0, x ≤ 0,sin 1

x, x > 0.

имеет в точке 0 разрыв 2-го рода, потому что хотя и имеетсмысл f (0−0)=0, но не имеет смысла f (0 + 0) (см. примернеустранимого разрыва).

53

§ 4.3 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ,НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Определение. Функция называется непрерывной наотрезке [a, b], если она непрерывна на (a, b), непрерывна слевав точке b и непрерывна справа в точке a.

Теорема 1. Если f непрерывна на отрезке [a, b], то онаограничена на [a, b].

Доказательство. Допустим, что f не ограничена на [a, b].Тогда для любого n ∈ N существует xn ∈ [a, b] такое, что

|f (xn)| > n. (∗)Последовательность (xn) ограничена, т. к. xn ∈ [a, b], n ∈ N.Поэтому (по следствию к теореме Вейерштрасса) (xn)содержит сходящуюся подпоследовательность (xnk) : xnk → c,причем c ∈ [a, b]. Так как f непрерывна на [a, b], тоlimkf (xnk) = f (c), т. е. ∀ε > 0 ∃ N ∈ N ∀k > N

(|f (xnk)−f (c)|<ε). Отсюда и из неравенства|f (xnk)−f (c)| ≥ ||f (xnk)|−|f (c)|| следует: ∀k > N |f (xnk)| <|f (c)| + ε. При k → ∞, nk → ∞, поэтому можно выбрать k′таким большим, что nk′ будет больше |f (c)|+ ε. Таким образом,мы получили |f (xnk′)| < nk′, что противоречит (∗).

Теорема 2. Непрерывная на [a, b] функция f достигает на[a, b] своих точных граней, т. е. существуют точки α и β ∈ [a, b],для которых sup

x∈[a,b]

f (x) = f (α), infx∈[a,b]

f (x) = f (β)

Доказательство. По теореме 1 непрерывная на [a, b]функция ограничена: |f (x)| ≤ K (x ∈ [a, b]), где K − const.Но тогда существует точная верхняя грань f (x) на [a, b] :supx∈[a,b]

f (x) = M . Из определения sup мы имеем: для любых

n ∈ N существует xn ∈ [a, b] такое, что

M − 1

n< f (xn) ≤M. (∗)

Таким образом, мы получили последовательность (xn) ⊂ [a, b].Следовательно, (xn) – ограничена, и, по следствию к теоремеВейерштрасса, из неё можно выделить подпоследовательность

54

xnk → α, причем α ∈ [a, b]. Так как f (x) непрерывна на[a, b], а значит, и в точке α, то lim

k→∞f (xnk) = f (α). С другой

стороны из (∗) видно, что M − 1nk

< f (xnk) ≤ M . Отсюда,по "свойству двух милиционеров", lim

k→∞f (xnk) = M . Но f (xnk)

может сходиться только к одному пределу, поэтому M = f (α).Аналогично доказывается другая часть теоремы.

Замечание. Очевидно, что в случае теоремы 2 supx∈[a,b]

f (x) =

maxx∈[a,b]

f (x), infx∈[a,b]

f (x) = minx∈[a,b]

f (x).

Теорема 3.x Если f непрерывна на [a, b] и числа f (a) 6=0, f (b) 6= 0 и имеют разные знаки, то на интервале (a, b)существует точка c такая, что f (c) = 0.

Доказательство. Построим индуктивно последовательностьвложенных отрезков I1 ⊂ I2 ⊂ . . .. Положим I1 = [a, b] и пустьx1 середина I1: если f (x1) = 0, то c = x1, если f (x1) 6= 0, тов качестве I2 возьмем тот из отрезков [a, x1], [x1, b], на концахкоторого f (x) имеет различные знаки. Если I1 ⊂ I2 ⊂ . . . In−1построены и xn−1 середина In−1, причем f (xn−1) 6= 0 (еслиf (xn−1) = 0, то c = xn−1), то In – тот из двух подотрезковIn−1, на концах которого f имеет различные знаки. По лемме

о вложенных отрезках существует точка c ∈∞⋂n=1

In. Очевидно,

f (c) = 0. Потому что, если мы допустим, что f (c) > 0,то существует окрестность U(c) такая, что для любой точкиx ∈ U(c) : f (x) > 0, но при достаточно большом n :In ⊂ U(c). А так как на концах In f (x) принимает разныезнаки, то f (x) не может быть > 0 на всей окрестности U(c).Таким образом, f (c) = 0.

Теорема 4. Если f непрерывна на [a, b] и если число γ лежитмежду f (a) и f (b), то существует число c ∈ (a, b) такое, чтоf (c) = γ.

Доказательство. Определим новую функцию g(x) =f (x)− γ. Очевидно, что функция g(x) удовлетворяет условиямтеоремы 3, поэтому применим к ней теорему: по теореме 3,существует точка c ∈ (a, b) такая, что g(c) = 0 или f (c) = γ.x

55

Примеры.1. Функция f (x) = x, x ∈ (0, 1) – непрерывна на (0, 1), но

своих точных граней на (0, 1) не достигает, так как supx∈(0,1)

f (x)=1,

infx∈(0,1)

f (x) = 0. И не существует x ∈ (0, 1), для которых f (x) = 1

или 0.2. Функция f (x) = 1/x, x ∈ (0, 1] – непрерывна, но не

ограничена на (0, 1].Приведенные примеры позволяют сделать заключение,

что условие непрерывности функции на отрезке (замкнутоммножестве) является существенным.

§ 4.4 РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ.ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИ

Определение. Функция f : E → R (E ⊂ R)называется равномерно непрерывной на E, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ E (|x− y| < δ ⇒ |f (x)− f (y)| < ε).

Замечание. Если f (x) определена в некоторой окрестностилюбой точки из E, то из равномерной непрерывности f (x) наE следует непрерывность f (x) на E. Обратное утверждение,вообще говоря, не верно. Например: f (x) = 1/x, x ∈ (0, 1)– непрерывна, но не равномерно непрерывна на (0, 1).Действительно, для x = δ > 0 y = δ/2 мы имеем|x − y| < δ, но |f (x) − f (y)| = |1x −

1y | = 1

δ > 1

при всех δ ∈ (0, 1). Функция f : E → R будет неравномерно непрерывной на E, если ∃ε > 0 ∀ δ > 0∃x, y ∈ E (|x − y| < δ, но |f (x) −f (y)| ≥ ε). Мы же показали: при ε = 1∀δ ∈ (0, 1) ∃x = δ, y = δ/2 ∈ (0, 1) (|x−y| < δ, но |f (x)−f (y)| =1δ > ε = 1), что доказывает неравномерную непрерывностьf (x) = 1/x на (0, 1).

Теорема. Если f непрерывна на [a, b], то она и равномернонепрерывна на [a, b].

Доказательство. Предположим противное. Тогда ∃ε >0 ∀ δ > 0∃x, y ∈ [a, b] (|x− y| < δ, но |f (x)− f (y)| ≥ ε). Будембрать δ = 1/k, k = 1, 2, 3, . . .. Тогда существуют пары чисел

56

xk, yk ∈ [a, b] такие, что

|xk − yk| <1

k, но |f (xk)− f (yk)| ≥ ε, k = 1, 2, . . . . (∗)

Последовательность (xk) – ограниченная, поэтому из неё можновыделить сходящуюся подпоследовательность (xkj) : xkj →c, c ∈ [a, b]. Заметим, что ykj → c, так как ykj = (ykj − xkj) + xkjи 0 < |ykj −xkj | < 1

kjпри любых kj ∈ N. Функция f непрерывна

в точке c ∈ [a, b], поэтому f (xkj)− f (ykj)→ f (c)− f (c) = 0, чтопротиворечит (∗).

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИТеорема. Пусть f : E → R(E ⊂ R) – равномерно

непрерывна на E и E ′ – множество всех предельных точекмножества E. Тогда f допускает равномерно непрерывноепродолжение на множество F = E

⋃E ′. (Другими словами,

существует f : F → R, равномерно непрерывная на F , причемf (x) = f (x), если x ∈ E).

Доказательство. Пусть a ∈ E ′. Так как a – предельнаяточка множества E, то любая U(a) содержит бесконечноемножество точек из E. Функция f равномерно непрерывна наE, поэтому для любых x, y ∈ U(a) : |f (x) − f (y)| < ε, гдеε > 0 – произвольное число. Это значит, что для функции fвыполняется условие "Критерия Коши существования пределафункции" и, следовательно, существует lim

x→af (x). Определим

f (a) =

f (a), если a ∈ E,limx→a

f (x), если a ∈ E ′\E.

Убедимся, что f : F → R равномерно непрерывна на F .Пусть ε > 0 – произвольно и δ > 0 такое, что

∀ x′, x′′ ∈ E : |x′ − x′′| < 3δ ⇒ |f (x′)− f (x′′)| < ε/3. (1)

Пусть z, y ∈ F и |y − z| < δ. Тогда существуют числа δ′, δ′′ ∈(0, δ) такие, что

|x′ − y| < δ′ ⇒ |f (x′)− f (y)| < ε/3, (2)

57

|x′′ − z| < δ′′ ⇒ |f (x′′)− f (z)| < ε/3. (3)

Действительно, если y, z ∈ E ⊂ F , то (2) и (3) следуютиз (1), так как δ′ и δ′′ < 3δ. Если же y, z ∈ F\E, то (2) и (3)следуют из того, что f (y) = lim

x→yf (x), f (z) = lim

x→zf (x). Выберем

теперь x′ ∈ Uδ′(y)⋂E, x′′ ∈ Uδ′′(z)

⋂E (здесь Uδ′(y) = (y−δ′, y+

δ′), Uδ′′(z) = (z − δ′′, z + δ′′)) и запишем очевидное неравенство

|f (y)− f (z)| = |f (y)− f (x′) + f (x′)− f (x′′) + f (x′′)− f (z)| ≤

≤ |f (y)− f (x′)| + |f (x′)− f (x′′)| + |f (x′′)− f (z)|. (4)

Учитывая, что x′ ∈ Uδ′(y)⋂E, x′′ ∈

Uδ′′(z)⋂E и что |x′ − x′′| = |x′ − y +

+y− z+ z−x′′| ≤ |x′− y|+ |y− z|+ |z−x′′| < 3δ, используя (1),(2), (3), мы получили из (4): ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀y, z ∈ F (|y − z| <δ ⇒ |f (y)− f (z)| < ε). Равномерная непрерывность функции fна F доказана.

§ 4.5 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБРАТНОЙФУНКЦИИ

Пусть y = f (x) – некоторая числовая функция, заданнаяна множестве E ⊂ R, F = f (E) – область значений функцииf . Функцию, обратную к функции f , мы определяли так: есликривая Γ, являющаяся графиком f , определяет x как функциюy, то говорят, что определена обратная функция x = g(y), y ∈F . Было доказано также, что если f строго возрастает (строгоубывает), то обратная функция существует и также строговозрастает (строго убывает).

Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности обратнойфункции.

Теорема 1. Пусть y = f (x) непрерывна и строго возрастаетна [a, b]. Тогда образ [a, b] есть отрезок [A,B] (A = f (a), B =f (b)) и обратная к f функция x = g(y) будет строговозрастающей и непрерывной на [A,B].

Доказательство. Прежде всего докажем, что f ([a, b]) =[A,B]. Так как f строго монотонна, то очевидно f ([a, b]) ⊂[A,B]. Далее, опять же в силу строгой монотонности, f (a) <f (b), поэтому (по теореме 4 из § 4.3) для ∀y ∈ [A,B] ∃ x ∈ [a, b]

58

такое, что f (x) = y, и это означает: y ∈ f ([a, b]) ⇒ [A,B] ⊂f ([a, b]). В итоге мы доказали, что f ([a, b]) = [A,B].

Таким образом, нам остается доказать, что изнепрерывности f на [a, b] следует непрерывность g на[A,B]. Пусть y0 ∈ [A,B] и yn ∈ [A,B] такие, чтоyn → y0. Положим x0 = g(y0), xn = g(yn). Тогда, изсвойства обратной функции, следует y0 = f (g(y0)), yn =f (g(yn)) = f (xn). Непрерывность функции g в точке y0будет доказана, если мы покажем, что xn → x0. Допустим,что это не так. Тогда существует подпоследовательностьxnk → x′, причем x′ ∈ [a, b] и x′ 6= x0 (существованиетакой подпоследовательности следует из следствия к теоремеВейерштрасса, т. к. xn ⊂ [a, b] при n ≥ 1). Так как x0 6= x′, тов силу строгого возрастания функции f : f (x0) 6= f (x′). (f (xnk))является подпоследовательностью последовательности (yn), ноyn → y0, поэтому f (xnk) = ynk → y0 = f (x0). В то же время,в силу непрерывности f , f (xnk) → f (x′), так как xnk → x′. Витоге мы получили, что последовательность (f (xnk)) имеет дваразличных предела, что невозможно. Таким образом, xn → x0.

Теорема 2.x Пусть f (x) непрерывна и строго возрастает на(a, b) и пусть A = inf

x∈(a,b)f (x), B = sup

x∈(a,b)

f (x), причем может

быть, что a = −∞, A = −∞, b = +∞, B = +∞. Тогда образ(a, b) есть (A,B), и обратная к f (x) функция x = g(y) строговозрастает и непрерывна на (A,B).

Доказательство. Так как f (x) строго возрастает, тоочевидно f ((a, b)) ⊂ (A,B). Покажем обратное включение.Пусть y ∈ (A,B), тогда, в силу определения A и B, существуютx1, x2 ∈ (a, b) такие, что y1 = f (x1) < y < f (x2) = y2. А так какf (x) строго возрастает, то должно быть x1 < x2. Функция f (x)непрерывна на (a, b), тем более она непрерывна на [x1, x2] ⊂(a, b)⇒ (по теореме 4 § 4.3) существует единственная точка x ∈[x1, x2] такая, что f (x) = y ⇒ y ∈ f ((a, b))⇒ (A,B) ⊂ f ((a, b)).В итоге: f ((a, b)) = (A,B).

Проверим далее, что g(y) непрерывна в любой точкеинтервала (A,B). Пусть y ∈ (A,B). Очевидно функциюg(y), считая её определенной при y ∈ [f (x1), f (x2)] можнорассматривать как функцию, обратную к функции f (x),определенной на [x1, x2] (существование точек x1 и x2 мыдоказывали выше для любой точки y ∈ (A,B)). Так как f (x)

59

непрерывна на [x1, x2], то по теореме 1 g(y) будет непрерывнана [f (x1), f (x2)], т. е. в точке y ∈ [f (x1), f (x2)] ⊂ (A,B). Точка y– произвольная точка из (A,B), поэтому g(y) – непрерывна на(A,B).

Замечание 1. В теоремах 1 и 2 можно заменить"возрастающая" на "убывающая", и тогда в их заключенияхнадо заменить, соответственно, [A,B] на [B,A] и (A,B) на(B,A).

Замечание 2. В теореме 2 интервалы (a, b), (A,B) можно,соответственно, заменить на полуинтервалы, например, на[a, b), [A,B), и тогда a и A – конечные числа. x

§ 4.6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, СТЕПЕННАЯ,

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Пусть n ∈ N, a ∈ R, a > 0. Число an = a . . . a︸ ︷︷ ︸n раз

(по определению). Число a1/n – арифметический корень n-йстепени из числа a. Если n/m – неотрицательное рациональноечисло, то (по определению) полагаем an/m = (a1/m)n = (an)1/m.Таким образом, мы определили функцию f (p) = ap, p ∈ Q. Изэлементарной алгебры известно, что ap (p ∈ Q) обладаетсвойствами:

1. ap+q = ap · aq.2. ap строго возрастает при a > 1 и строго убывает при

a < 1.Возникает вопрос, можно ли доопределить функциюf (p) = ap (p ∈ Q) на иррациональных числах так, что,определенная уже на всей числовой прямой R, продолженнаяфункция будет непрерывной на R и удовлетворять свойствам1. и 2. Докажем существование такой функции. Начнем стого, что докажем равномерную непрерывность f (p) = ap

на любом отрезке [−N,N ]⋂Q, n ∈ N. Пусть для

определенности a > 1. Если p < q (p, q ∈ [−N,N ]⋂Q), то

0 < aq − ap = ap(aq−p − 1) < aN(aq−p − 1). Пусть ε > 0 -произвольное число и n0 ∈ N такое, что если n > n0, то

|a1/n − 1| < ε · a−N (1)

60

(этого можно добиться, так как lim a1/n = 1).Таким образом, если 0 < q − p ≤ 1

n0+1, то мы получим,используя (1), что

0 < aq − ap < aN(a1

n0+1 − 1) < ε. (2)

Далее, если p > q, то

0 < ap − aq = aq(ap−q − 1) < aN(ap−q − 1).

Отсюда, используя (1), получим

0 < ap − aq < aN(a1

n0+1 − 1) < ε, если 0 < p− q ≤ 1

n0 + 1. (3)

Перепишем (2) следующим образом:если

−1

n0 + 1≤ p− q < 0, то − ε < ap − aq < 0. (4)

Из (4) и (3) ⇒ ∀p, q ∈ [−N,N ]⋂Q справедливо: |p − q| ≤

1n0+1 ⇒ |a

p − aq| < ε, что означает равномерную непрерывностьap на любом отрезке [−N,N ]

⋂Q.

Любая точка R является предельной для множества Q,поэтому на R можно определить функцию f (x) следующимобразом:

f (x) =

ax, если x ∈ Q,limp→x

ap, если x ∈ R\Q.

Докажем, что это и есть искомая нами функция. Пусть x ∈R\Q. Накроем эту точку некоторым отрезком [−N,N ], N ∈N. Выше была доказана равномерная непрерывность функцииap, p ∈ Q на множестве [−N,N ]

⋂Q. Так как функция f (x)

является продолжением функции ap, p ∈ [−N,N ]⋂Q, то по

теореме "Продолжение по непрерывности" (см. § 4.4), f (x) будетравномерно непрерывна на [−N,N ], а следовательно, простонепрерывна в точке x ∈ R\Q. Любая точка x ∈ R\Q можетбыть накрыта отрезком [−N,N ], поэтому f (x) будет непрерывнав любой точке x ∈ R.

Вновь определенную функцию обычно обозначают f (x) =ax, x ∈ R и называют показательной функцией. Докажем

61

справедливость свойств 1. и 2. для показательной функцииax, x ∈ R. Пусть x, y ∈ R\Q, причем x < y. Существуютрациональные числа p, q такие, что x < p < q < y (см. § 1.3"Свойства порядка действительных чисел" ). Пусть pn, qn ∈ Qтакие, что pn → x (возрастая), а qn → y (убывая) ⇒ apn <ap < aq < aqn. Переходя к пределу, получим ax ≤ ap < aq ≤ ay.Таким образом, мы доказали свойство 2. Свойство 1. следует изравенства apn+qn = apn · aqn после перехода к пределу.

Если a < 1, то полагаем ax = 1(1/a)x . Функция (1/a)x, по

доказанному выше, будет непрерывна на R, (1/a)x > 0 приx ∈ R, поэтому функция ax (a < 1) будет непрерывна на R.Заметим, что при a < 1 функция ax будет строго убывать.

При a = 1 полагаем: 1x = 1 при любом x ∈ R.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯОпределение. Функция, обратная к показательной y =

ax (x ∈ R), a > 0, a 6= 1, называется логарифмической иобозначается y = loga x, x > 0.

6

-0

y

x

y= loga x

y=ax

Рис. 1. (a > 1)

6

-0

y

xy= loga x

y=ax

Рис. 2. (a < 1)Логарифмическая функция будет непрерывной, как

функция, обратная к показательной (непрерывной) функции.Из свойства обратной функции следует:1. aloga x = x (x > 0).2. loga(a

x) = x (x ∈ R. (∗)

Упражнения.Доказать следующие свойства логарифмической функции:

1. loga xy = loga x + loga y.

2. logaxy = loga x− loga y.

3. loga xy = y loga x.

62

4. loga b · loga a = 1.

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯy = xb (b – постоянная, x – переменная, x > 0) – степенная

функция.Согласно свойствам (∗) логарифмической функции

xb = eb lnx(x > 0), lnx – непрерывная функция, показательнаяфункция - непрерывна, суперпозиция двух непрерывныхфункций есть функция непрерывная, поэтому степеннаяфункция будет непрерывной.

Из xb = eb lnx(x > 0) ⇒ limx→0+0

xb = 0, limx→+∞

xb = +∞, (b >

0), а также тождество: (xy)b = xb · yb (b – произвольно).Иллюстрации:

6

-0 x

y

1

1

Рис. 1. (β > 0)

β=2

β=1

β=1/2

6

-0 x

y

1

1

Рис. 2. (β < 0)

β=1/2

β=1β=2

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИshx = ex−e−x

2 – гиперболический синус,chx = ex+e−x

2 – гиперболический косинус,thx = shx

chx = ex−e−xex+e−x – гиперболический тангенс,

cthx = chxshx = ex+e−x

ex−e−x (x 6= 0) – гиперболический котангенс.

Из непрерывности показательной функции иарифметических свойств непрерывных функций следуетнепрерывность гиперболических функций: shx (x ∈R), chx (x ∈ R), thx (x ∈ R), cthx (x ∈ R, x 6= 0).

63

Эскизы графиков гиперболических функций:6

-1

0

y

x

shxchx

6

-1

0

y

x−1

thx

cthx

cthx

Замечание. Для гиперболических функций имеют местоформулы, аналогичные формулам для тригонометрическихфункций. Например, ch2 x− sh2 x = 1, 2 chx shx = sh 2x, sh(x±y) = shx ch y ± chx sh y и т. д.

64

Глава 5ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 5.1 Задачи, приводящие к понятию производной.Определение производной.

§ 5.2 Дифференцируемые функции. Дифференциалфункции.

§5.3 Техника дифференцирования.§ 5.4 Производные и дифференциалы высших порядков.§ 5.5 Основные теоремы.§ 5.6 Правило Лопиталя.§ 5.7 Формула Тейлора.§ 5.8 Формула Тейлора для некоторых элементарных

функций.§ 5.9 Локальная формула Тейлора.§ 5.10 Ряд Тейлора.§ 5.11 Исследование поведения функции с помощью

понятия производной (возрастание и убывание функции наотрезке, локальный экстремум).

§5.12 Исследование поведения функции с помощью понятияпроизводной (выпуклость кривой и точки перегиба).

§ 5.1 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ КПОНЯТИЮ ПРОИЗВОДНОЙ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Понятие производной возникло как результатмноговековых усилий, направленных на решение таких задач,как задача о проведении касательной к кривой или вычислениескорости неравномерного движения. В определениях понятияпроизводной от функции существенно используется понятиепредела функции.

1. Задача определения касательной к кривой.

65

Рассмотрим некоторую непрерывную кривую Γ в плоскостиR2. Пусть A – лежащая на ней точка, и C – другая, лежащая наΓ, точка. Прямую S, проходящую через A и C, будем называтьсекущей (кривую Γ). Когда точка C будет перемещаться вдольпо кривой, то эта секущая будет вращаться вокруг точки A.Может случиться, что при этом S будет стремиться занятьв пределе положение вполне определенной (проходящей черезточку A) прямой, которую мы обозначим через T . Если этобудет иметь место, то говорят, что кривая Γ имеет в точке Aкасательную, которой и будет прямая T (см. рис. 1.)

6

-0 x

y

α

S

βx x+∆x

A

CT

Рис. 1

6

-0 x

y

hhhhhhhhhrr

Γ1

Γ2

T2 S2

S1

T1

A

Рис. 2

Не всякая кривая в любой её точке имеет касательную.Примером такой кривой может служить кривая, изображеннаяна рис. 2. Она состоит из двух кусков Γ1 и Γ2, соединенных вточке A, так как секущие S1 и S2 будут стремиться занять впределе положение двух разных прямых T1 и T2 .

Пусть теперь кривая Γ есть график некоторой непрерывнойфункции y = f (x), точкаA имеет абсциссу x, точка C – абсциссуx+∆x (∆x 6=0). Тогда секущая S, проходящая через точкиA и C,образует с положительным направлением оси x угол β, тангенскоторого равен tg β = ∆y

∆x = f(x+∆x)−f(x)∆x . Будем ∆x стремить к

нулю. Так как f – непрерывна, то ∆y → 0, и точка C, двигаясьпо Γ, будет стремиться к точке A. Если окажется (этого может ине быть!), что при этом отношение ∆y/∆x стремится при любомспособе стремления ∆x → 0 к одному и тому же конечномупределу (числу) k : ∆y

∆x → k при ∆x → 0, то тогда и угол βбудет стремиться к некоторому отличному от π/2 углу α. Вместес β и секущая S, вращаясь около точки A, будет стремитьсязанять в пределе положение прямой T , проходящей через A подуглом α с положительным направлением оси x. Но тогда T есть

66

касательная к Γ в точке A и lim∆x→0

∆y∆x = lim

∆x→0tg β = tgα.

Таким образом, мы установили: если отношение ∆y∆x при

∆x→ 0 стремится к конечному пределу, то кривая Γ имеет вточке A касательную, тангенс угла которой с положительнымнаправлением оси x равен этому пределу.

2. Мгновенная скорость.Пусть S(t) – путь, пройденный материальной точкой за

время t. Тогда средняя скорость на участке времени [t0, t0 +

∆t] ([t0 + ∆t, t0], если ∆t < 0) есть Vcp = S(t0+∆t)−S(t0)∆t .

Мгновенную или истинную скорость Vt0 точки в моментвремени t0 естественно определить как предел, к которомустремится Vcp при ∆t→ 0, т. е. Vt0 = lim

∆t→0)

S(t0+∆t)−S(t0)∆t .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙОпределение. Производной от функции f в точке x назы-

вается предел, к которому стремится отношение её приращения∆y = f (x + ∆x) − f (x) в этой точке к соответствующемуприращению ∆x аргумента, когда последнее стремится к нулю:f ′(x) = lim

∆x→0

∆y∆x = lim

∆x→0

f(x+∆x)−f(x)∆x .

Замечания.1. Говорят, что f имеет в точке x бесконечную производную,

равную +∞ или−∞ (случай∞ исключается), если в этой точкеf ′(x) = lim

∆x→0

∆y∆x = +∞ или, соответственно, f ′(x) = lim

∆x→0

∆y∆x =

−∞.2. Можно ввести также понятие

правой и левой производной от f в точке x: f ′(x + 0) =

lim∆x→0+0

∆y∆x – правая производная от f в точке x. f ′(x − 0) =

lim∆x→0−0

∆y∆x – левая производная от f в точке x.

Для того, чтобы существовала производная f ′(x),необходимо и достаточно, чтобы существовали производныеот f в точке x справа и слева и были равны между собой, приэтом f ′(x) = f ′(x + 0) = f ′(x− 0).

Справедливость данного утверждения следует из того,что lim

∆x→0

∆y∆x = f ′(x) существует тогда и только тогда, когда

67

существуют пределы справа, слева: lim∆x→0+0

∆y∆x = f ′(x +

0), lim∆x→0−0

∆y∆x = f ′(x− 0) и они равны.

Заметим, что приведенное утверждение остается верным,если термин "производная" заменить на "бесконечнаяпроизводная" .

Иллюстрации:

-

6

Рис. 10

y

xx0

-

6

Рис. 20

y

xx0

EEEE

-

6

Рис. 30

y

xx0-

6

Рис. 40

y

xx0-

6

Рис. 50

y

xx0-

6

Рис. 60

y

xx0

Рис. 1. Функция имеет f ′(x0) (график в этой точке имееткасательную, причем единственную).

Рис. 2. Функция не имеет производной, но существуютf ′(x0 + 0), f ′(x0 − 0), не равные друг другу.

Рис. 3. Функция имеет бесконечную производную f ′(x0) =+∞.

Рис. 4. Функция имеет бесконечную производную f ′(x0) =−∞.

Рис. 5. Функция не имеет производной,f ′(x0−0)=+∞, f ′(x0+0)=−∞.

Рис. 6. Функция не имеет производной, f ′(x0 − 0)= −∞, f ′(x0 + 0)=−∞.

Теорема. (необходимое условие существования производной).Если функция имеет производную в точке x, то она непрерывнав этой точке.

Доказательство. Из существования производной следует,что ∆y

∆x = f ′(x) + ε(∆(x)), где ε(∆x) → 0 при ∆x → 0. Отсюдаследует ∆y = f ′(x)∆x+ε(∆(x))·∆x = f ′(x)·∆x+o(∆x), ∆x→ 0,и lim ∆x→ 0∆y = 0.⇒ Функция f (x) непрерывна в точке x.

Замечание 1. Утверждение, обратное данной теореме,неверно, т. е. если f непрерывна в точке x, то она может и неиметь производной в этой точке.

Справедливость замечания доказывает следующий пример.

f (x) = |x| =x, если x ≥ 0,−x, если x < 0.

68

Функция |x| непрерывна для любого x, в том числе ив точке x = 0. Это видно из выкладок: ||x + h| − |x|| ≤|x + h − x| = |h| → 0 (h → 0). При x = 0 : ∆y

h =

|0+h|−0h = |h|

h →

1 (h > 0, h→ 0),−1 (h < 0, h→ 0).

Таким образом, правая

производная отлична от левой в точке x = 0, поэтомупроизводная от |x| в точке x = 0 не существует. В точкеx 6= 0 производная существует и равна |x|′ = sgnx =

1, x > 0,−1, x < 0.

Действительно: пусть x > 0, ∆yh = |x+h|−|x|

h =

= x+h−xh = 1, т. к. |h| < |x| = x; пусть x < 0, ∆y

h = |x+h|−|x|h =

−x−h+xh = −1, т. к. |h| < |x| = −x.Замечание 2. Функция, имеющая в точке бесконечную

производную, может иметь в этой точке разрыв.Рассмотрим примеры, доказывающие данное замечание.Пример 1. y = sgnx, x ∈ R.

y′(0− 0) = limh→0−0

y(0 + h)− y(0)

h= lim

h→0−0

−1

h= +∞,

y′(0 + 0) = limh→0+0

y(0 + h)− y(0)

h= lim

h→0+0

1

h= +∞.

⇒ y′(0) = +∞, но при этом функция y = sgnx в точке x = 0имеет разрыв 1-го рода.

Пример 2. Функция y =

1x, x 6= 0,0, x = 0

имеет в точке x = 0

бесконечный разрыв. В то же время в этой точке существуетбесконечная производная: y′(0) = +∞.

§ 5.2 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Определение 1. Функция y = f (x) называетсядифференцируемой в точке x, если она определена в некоторойокрестности U(x) и ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = A · ∆x + o(∆x),∆x → 0, где A – некоторая постоянная, не

69

зависящая от ∆x. Член A · ∆x называетсяглавным линейным членом приращения ∆y.

Замечание. Равенство ∆y = A · ∆x + o(∆x) (∆x → 0)показывает, что ∆y ' A ·∆x, ∆x→ 0.

Определение 2. Главный линейный член приращенияназывается дифференциалом функции f и обозначаетсясимволом dy или df (x).

Теорема. Для того, чтобы функция y = f (x) имелапроизводную в точке x, необходимо и достаточно, чтобы онабыла дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Необходимость. Пусть существует f ′(x) =

lim∆x→0

∆y∆x ⇒

∆y∆x = f ′(x) + ε(∆x), где ε(∆x) → 0 при ∆x → 0 ⇒

∆y = f ′(x)·∆x+ε(∆x)·∆x или ∆y = f ′(x)·∆x+o(∆x), ∆x→ 0.Так как f ′(x) является постоянной, не зависящей от ∆x, то мыдоказали дифференцируемость f в точке x, причем постояннаяA из определения 1 равна f ′(x).Достаточность. Пусть f дифференцируема в точке x, т. е.∆y=A · ∆x + o(∆x), ∆x → 0 ⇒ ∆y

∆x = A + o(1), ∆x → 0 ⇒lim

∆x→0

∆y∆x = A, т. е. производная f ′(x) существует и равна A.Замечание. Доказывая теорему, мы показали, что

постоянная A из определения 1 равна f ′(x). Это значит, чтодифференциал функции y = f (x) всегда равен dy = f ′(x)∆x.По соглашению ∆x обозначается через dx, что не противоречитвыражению dx = x′ · ∆x = ∆x, так как x′ = lim

∆x→0

x+∆x−x∆x = 1.

Поэтому dy = f ′(x)dx (или df = f (x)dx). Отсюда следуетf ′(x) = dy

dx, т. е. производная функции f в точке x равнаотношению дифференциала функции f к дифференциалунезависимой переменной x. Следует иметь в виду, чтодифференциал dx независимой переменной не зависит отx, он равен ∆x – произвольному приращению аргумента x. Чтоже касается дифференциала dy функции y (отличной от x), тоон зависит от x и dx.

70

Геометрический смысл дифференциала в точке

6

-0 x

y

qA

x x+∆x

DqqqC

B

α

∆y = BC + CD, где CD = f ′(x) ·∆x = dy, f ′(x) = tgαCD = dy – главный линейный член приращения ∆y, BC =o(∆x).

§ 5.3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Теорема 1.x Пусть функции f и g дифференцируемы вточке x, тогда в точке x дифференцируемы функции f ± g,fg, f/g (если g 6= 0), причем1. (f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x), d(f (x)± g(x)) = df (x)± dg(x).2. (f (x)·g(x))′ = f ′(x)g(x)+f (x)g′(x), d(f (x)·g(x)) = g(x)df (x)++f (x)dg(x).3.(f(x)g(x)

)′= f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)

g2(x) , d(f(x)g(x)

)= g(x)df(x)−f(x)dg(x)

g2(x) .Доказательство.

(f (x)± g(x))′ = limh→0

(f (x + h)± g(x + h))− (f (x)± g(x))

h=

= limh→0

(f (x + h)− f (x))± (g(x + h)− g(x))

h= f ′(x)± g′(x).

(f (x) · g(x))′ = limh→0

f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x)

h=

= limh→0

(f (x+h)−f (x))g(x+h)+f (x)(g(x+h)−g(x))

h=

= f ′(x)g(x)+f (x)g′(x). (1)(1

g(x)

)′= lim

h→0

1

h

(1

g(x+h)− 1

g(x)

)=

71

= limh→0

(−g(x+h)−g(x)

h· 1

g(x)g(x+h)

)= − g

′(x)

g2(x). (2)

f(x)g(x) = f (x) · 1

g(x), поэтому, используя (1) и (2), получим формулупроизводной от частного функций.

Формулы для дифференциалов являютсяочевидными следствиями соответствующих формулдля производных. Например, d(f (x)g(x)) == (f (x)g(x))′dx = (f ′(x)g(x) + f (x)g′(x))dx = (df (x))g(x) +f (x)dg(x).

Следствие. (Cf (x))′ = C · f ′(x)(C - постоянная). xТеорема 2 (дифференцирование сложной функции). Пусть

задана сложная функция F (x) = g(f (x) = (g f ) (x) и пустьf дифференцируема в точке x, а функция g дифференцируемав точке y = f (x). Тогда F = g f дифференцируема в точкеx и F ′(x) = (g(f (x)))′ = g′(f (x)) · f ′(x), dF (x) = dg(f (x)) =g′(f (x))df (x).

Доказательство. g(f (x+h))−g(f (x)) = g(f (x)+ [f (x+h)−f (x)])−g(f (x)) = g′(f (x)) ·(f (x+h)−f (x))+o(f (x+h)−f (x)) =g′(f (x)) · (f ′(x) · h + o(h)) + ε(∆f ) · (f ′(x) · h + o(h)) = g′(f (x)) ·f ′(x) ·h+ g′(f (x)) · o(h) + ε(∆f ) · f ′(x) ·h+ ε(∆f ) · o(h)=g′(f (x)) ·f ′(x) · h + o(h), h → 0 (здесь ε(∆f )→0 при h → 0). Такимобразом, функция F (x) дифференцируема в точке x и F ′(x) =g′(f (x)) · f ′(x).⇒ dF (x) = g′(f (x)) · f ′(x)dx = g′(f (x))df (x).

Теорема 3 (дифференцирование обратной функции).x Пустьy = g(x) – функция, обратная к функции x = f (y), причемf дифференцируема в точке y и f ′(y) = f ′(g(x)) 6= 0. Тогда gдифференцируема в точке x и g′(x) = 1

f ′(g(x)).Доказательство. h = (x + h)− x = f (g(x + h))− f (g(x)) =

f (g(x) + g(x+ h)− g(x))− f (g(x)) = f ′(g(x))(g(x+ h)− g(x)) +o(g(x + h) − g(x)) = (g(x + h) − g(x)(f ′(g(x)) + o(1)), h →0. lim

h→0

g(x+h)−g(x)h = lim

h→0

1f ′(g(x))+o(1) = 1

f ′(g(x)).

72

Таблица производных основных функций.1. (sinx)′ = cosx, x ∈ R. 9. (ax)′ = ax ln a, (ex)′ = ex, x ∈ R.2. (cosx)′ = − sinx, x ∈ R. 10. (ln |x|)′ = 1

x , x 6= 0.3. (tg x)′ = 1

cos2 x , cosx 6= 0. 11. (loga |x|)′ = 1x ln a , x 6= 0, a > 0, a 6= 1.

4. (ctg x)′ = − 1sin2 x

, sinx 6= 0. 12. (xb)′ = bxb−1, x > 0.5. (arcsinx)′ = 1√

1−x2 , |x| < 1. 13. (shx)′ = chx, x ∈ R.6. (arccosx)′ = − 1√

1−x2 , |x| < 1. 14. (chx)′ = shx, x ∈ R.7. (arctg x)′ = 1

1+x2 , x ∈ R. 15. (thx)′ = 1ch2 x

, x ∈ R.8. (arcctg x)′ = − 1

1+x2 , x ∈ R. 16. (cthx)′ = − 1sh2 x

, x 6= 0.

Доказательство.

1. (sinx)′ = limh→0

sin(x+h)−sinxh = lim

h→0

2 sin h2

cos 2x+h2

h = cosx.

3. (tg x)′ =(

sinxcosx

)′= cos2 x+sin2 x

cosx = 1cos2 x (здесь мы использовали

теорему 1).5. (arcsinx)′ = 1

cos(arcsinx) = 1√1−sin2(arcsinx)

= 1√1−x2

(здесь мы

использовали теорему 3).9. (ax)′ = lim

h→0

ax+h−axh = lim

h→0

ax(ah−1)h = ax ln a, так как lim

h→0

ah−1h =

ln a (доказать самостоятельно, см. [2], § 5.1, с. 123).12. (xb)′ = (eb lnx)′ = eb lnx ln e·b· 1x = bxb−1 (здесь мы использовалитеорему 2). x

Упражнения.Доказать формулы 2, 4, 6, 7, 19, 11, 13 – 16 из таблицы

производных основных функций.Литература: [2], § 5.1, с. 125; § 5.3, с. 128; § 5.4, с. 130-131.

§ 5.4 ПРОИЗВОДНЫЕИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ

Пусть f : E → R (E ⊂ R) дифференцируема в каждойточке E, тогда определена функция f ′ : E → R, котораяназывается производной функции f . Если f ′ дифференцируемав точке x ∈ E, то число (f ′(x))′ называется 2-й производной отf в точке x и обозначается f ′′(x).

73

Если же f ′ дифференцируема в каждой точке множестваE,то тогда определена функция f ′′ : E → R (f ′′(x) = (f ′(x))′, x ∈E), которая называется второй производной от функции f .

Допустим, что уже определена производная от функцииf (n − 1)-го порядка (обозначение: f (n−1) : E → R (fn−1(x) =(fn−2(x))′, x ∈ R). Тогда производная от функции f порядка nопределена как первая производная от производной порядка(n − 1) : f (n)(x) = (f (n−1)(x))′, x ∈ E, конечно, при условии,что f (n−1) дифференцируема во всех точках E.

Замечание: Существование производной от функции f (n−1)-го порядка во всех точках множества E является слишкомжестким требованием, если нас интересует производная отфункции f n-го порядка лишь в конкретной точке x ∈ E.Достаточно потребовать существования производной (n − 1)-го порядка в некоторой достаточно малой окрестности точкиx ∈ E.

Примеры:

1. Функция xm, где m – целое положительное число, имеет наR производную любого порядка: (xm)(n) = m(m−1) . . . (m−n + 1)xm−n.

2. Степенная функция xa, где a – произвольное действительноечисло, имеет для x > 0 производную любого порядка:(xa)(n) = a(a− 1) . . . (a− n + 1)xa−n.

3. (ax)(n) = ax(ln a)n, n = 1, 2, 3, . . . .

4. (sinx)(n) = sin(x+ π2n), (cosx)(n) = cos(x+ π

2n), n = 1, 2, . . . .

Дифференциал от функции f в точке x (dy = f ′(x)dx)мы будем называть первым дифференциалом от f в точке x,соответствующим dx – дифференциалу независимой переменнойx.

Дифференциал второго порядка от функции f в точкеx, соответствующий dx, определяется равенством d2f (x) =d(df (x)). Обозначая (dx)2 через dx2 и учитывая, чтоdx не зависит от x, имеем: d2f (x) = d(f ′(x)dx) == f ′′(x)dx2.

74

Аналогично определяется дифференциал n-го порядка(по индукции): dnf (x) = d(dn−1f (x)) = d(fn−1(x)dxn−1) =f (n)(x)dxn.

Из данного равенства следует f (n)(x) = dnf(x)dxn .

Докажем формулу, по которой вычисляется производнаяn-го порядка от произведения двух функций.

Формула Лейбница:x Пусть U, V – функции,обладающие n-й производной в точке x. Тогда (считаяпо определению, U (0)(x) = U(x), V (0)(x)=V (x)) имеем

(U(x)V (x))(n)=n∑k=0

CknU

(k)(x)V (n−k)(x), где Ckn = n!

k!(n−k)!, k =

0, 1, . . . , n, – биноминальные коэффициенты (см. [2], § 5.9, с.145).

Доказательство. Проводится по индукции. Приn = 1 формула очевидна. Предположим, чтоона верна для случая n-й производной. Тогда(U(x)V (x))(n+1) = d

dx

n∑k=0

CknU

(k)(x) · V (n−k)(x) =

=n∑k=0

Ckn [ U (k+1)(x)V (n−k)(x)+U (k)(x)V (n−k+1)(x)] =

=n+1∑k=1

Ck−1n U (k)(x)V (n+1−k)(x) +

n∑k=0

CknU

(k)(x)V (n+1−k)(x) =

=n+1∑k=0

Ckn+1U

(k)(x)V (n+1−k)(x), так как C0n+1 = C0

n = Cnn =

Cn+1n+1 = 1 и Ck

n+1 = Ckn + Ck−1

n , k = 1, . . . , n. xПример. (x sinx)(100) = C0

100·x(sinx)(100)+C1100·x′·(sinx)(99) =

x sin(x + 100 · π2) + 100 sin(x + 99 · π2) = x sinx− 100 cosx.

§ 5.5 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема Ролля. Пусть f : [a, b] → R непрерывна идифференцируема в (a, b), причем f (a) = f (b). Тогда существуетточка c ∈ (a, b) такая, что f ′(c) = 0.

Доказательство. Если f (x) – постоянная на [a, b], то теоремаочевидна. Пустьf (x) 6= const и существует точка x ∈ (a, b)такая, что, например, f (x) > f (a). Тогда ("непрерывная на [a, b]

75

функция достигает своих точных граней" ) существует точкаc ∈ (a, b) такая, что f (c) = max

x∈[a,b]f (x). Отсюда следует

f ′(c + 0)= limh→0+0

f (c + h)− f (c)

h≤ 0, f ′(c− 0) =

= limh→0−0

f (c + h)− f (c)

h≥ 0. (∗)

Так как f (x) дифференцируема в точке c, то f ′(c + 0) =f ′(c− 0) и из (∗) следует f ′(c) = 0.

Теорема Коши (о среднем). Пусть f : [a, b] → R, g :[a, b]→ R непрерывны на [a, b], причем f и g дифференцируемына (a, b), f ′(x), g′(x) 6= 0 одновременно и g(b) 6= g(a). Тогдасуществует точка c ∈ (a, b) такая, что f(b)−f(a)

g(b)−g(a) = f ′(c)g′(c) .

Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) = g(x) · [f (b)−f (a)] − f (x) · [g(b) − g(a)], a ≤ x ≤ b. Нетрудно проверить,что h(a) = h(b). Очевидно также, что h(x) непрерывна на[a, b] и дифференцруема на (a, b). Таким образом, функцияh(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, и, следовательно,существует c ∈ (a, b) такое, что

h′(c) = g′(c) · [f (b)− f (a)]− f ′(c) · [g(b)− g(a)] = 0. (∗)Очевидно, что g′(c) 6= 0, иначе будет f ′(c) = 0, что противоречитпредположению теоремы. Поэтому из (∗) следует искомоеравенство.

Теорема (формула Лагранжа конечных приращений).Пусть f :[a, b] → R непрерывна на [a, b] и дифференцируемана (a, b). Тогда существует точка c ∈ (a, b) такая, чтоf (b)− f (a) = f ′(c)(b− a).

Доказательство. Пусть g(x) из теоремы Коши равна x.Очевидно, f и g будут удовлетворять условиям теоремы Коши.Из теоремы Коши следует f(b)−f(a)

b−a = f ′(c), c ∈ (a, b).

76

Геометрический смысл формулы Лагранжа6

-0 x

y

α

a c b

Запишем равенство из формулы Лагранжа в видеf(b)−f(a)

b−a = f ′(c), c ∈ (a, b). Левая часть этого равенства есть tgα(α – угол наклона к оси абсцисс хорды, стягивающей точки(a, f (a)), (b, f (b)) графика функции f (x)). Правая часть естьтангенс угла наклона касательной к графику в точке c ∈ (a, b).Таким образом, формула Лагранжа утверждает, что если f (x)непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то на кривой,являющейся графиком f (x), существует точка (c, f (c)) такая,что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде,стягивающей концы кривой (a, f (a)), (b, f (b)).

Теорема 1. Если функция имеет на (a, b) производную,равную нулю, то она постоянна на (a, b).

Доказательство. Пусть x1 – фиксированная точка из(a, b), x – произвольная точка из (a, b) (она может находитьсясправа и слева от x1). Тогда на основании формулы Лагранжаимеет место f (x)− f (x1) = (x− x1)f ′(c), где c – некоторая,зависящая от x1 и x, точка, находящаяся между x1 и x. Поусловию f ′(x) ≡ 0 на (a, b), поэтому f ′(c) = 0 и f (x) = f (x1) =C − const, для любых x ∈ (a, b).

§ 5.6 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Пусть f и g определены и дифференцируемы в некоторойпроколотой окрестности U(a) (a – число или ∞,±∞), причемg(x), g′(x) 6= 0 в U(a) и выполнено одно из условий(

0

0

)limx→a

f (x) = limx→a

g(x) = 0

(∞∞

)limx→a

f (x) = limx→a

g(x) =∞ (+∞ или −∞).

77

Тогда, если существует предел limx→a

f ′(x)g′(x) (конечный или

бесконечный), то существует также равный ему пределlimx→a

f(x)g(x) = lim

x→af ′(x)g′(x) .

Правило верно также для случаев: limx→a+0

, limx→a−0

.Доказательство.Разберем несколько случаев.1. (0/0), x→ a + 0, a – конечное число. В этом случае под

U(a) понимается правая окрестность точки a, т. е. U(a) = (a, λ),где λ > a. Определим функции f и g в точке a :f (a)=0= lim

x→a+0f (x), g(a)=0= lim

x→a+0g(x). Тогда f и g будут

непрерывны на [a, λ). Так как, по условию, g′(x) 6= 0 приx ∈ (a, λ), то g(x) − g(a) 6= 0, a < x < λ. Мы получили,что функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши наотрезке [a, x], x < λ. Применяя теорему Коши, получим

f (x)

g(x)=f (x)− f (a)

g(x)− g(a)=f ′(c)

g′(c), (∗)

где c ∈ (a, x) или c = a + θ(x− a), 0 < θ < 1.Перейдем в (∗) к пределу при x → a + 0 : lim

x→a+0

f(x)g(x) =

limx→a+0

f ′(c)g′(c) .

При x→ a + 0, c→ a + 0, поэтому limx→a+0

f ′(c)g′(c) = lim

c→a+0

f ′(c)g′(c) .

Последний предел существует по условию. Таким образом,lim

x→a+0

f(x)g(x) = lim

x→a+0

f ′(x)g′(x) .

2. (0/0), x→ a− 0, a – конечное число. Этот случайдоказывается аналогично случаю 1 (сходимости справа).Отличия состоят только в том, что U(a) = (λ, a), λ < a;функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши наотрезке [x, a], x > λ.

3. (0/0), x→ a, a – конечное число. Справедливостьправила в этом случае следует из двух предыдущихслучаев. Действительно, если существует пределlimx→a

f ′(x)g′(x) = α, то существуют пределы lim

x→a+0

f ′(x)g′(x) =

= limx→a−0

f ′(x)g′(x) = α. Отсюда, согласно случаям 1 и 2, следует,

78

что существуют пределы limx→a+0

f(x)g(x) = α = lim

x→a−0

f(x)g(x) , что

равносильно существованию limx→a

f(x)g(x) = α.

4. (0/0), a =∞. Положим y = 1x. Тогда функции F (y) =

f (1y),

G(y) = g(1y) дифференцируемы в некоторой окрестности

нуля U(0). В этой же U(0) : G(y) 6= 0, G′(y) 6= 0. (Заметим,что если a = +∞, то функции F (y), G(y) дифференцируемыв правой окрестности нуля, если же a = −∞, то в левойокрестности нуля.) Далее, lim

y→0F (y) = lim

x→∞f (x) = 0, lim

y→0G(y) =

= limx→∞

g(x) = 0; limx→∞

f ′(x)g′(x) = lim

y→0

f ′( 1y)·(− 1

y2 )

g′( 1y)·(− 1

y2 )= lim

y→0

F ′(y)G′(y)

(∗)= lim

y→0

F (y)G(y) =

= limx→∞

f(x)g(x) .

Равенство (∗) справедливо благодаря доказанному вышеслучаю 3 ((0/0), a = 0).

5. (∞/∞). Будем считать, для определенности, что a –конечное число и что x→ a + 0.

В этом случае U(a) = (a, λ), λ > a. Пустьlim

x→a+0(f ′(x)/g′(x)) = α.Допустим также, что x и δ такие, что [x, δ] ⊂ (a, λ). Тогда,

с учетом теоремы Коши для отрезка [x, δ], имеем

f (x)

g(x)=f (x)[g(δ)− g(x)]

g(x)[f (δ)− f (x)]· f (δ)− f (x)

g(δ)− g(x)=

=f (x)g(x)

g(x)f (x)· (g(δ)/g(x))− 1

(f (δ)/f (x))− 1· f′(c)

g′(c),

где c ∈ (x, δ). Параметром δ в правой части данного равенствамы можем распоряжаться. Выберем его немного позднее.

limx→a+0

f ′(x)g′(x) существует, поэтому по критерию Коши:

∀ε > 0(пусть ε < 1)∃δ1 > a∀x, y ∈ (a, δ1)

(∣∣∣∣f ′(y)

g′(y)− f ′(x)

g′(x)

∣∣∣∣ < ε

3

).

79

В силу условия limx→a+0

f (x) = limx→a+0

g(x) =∞ имеем

limx→a+0

(g(δ)/g(x))− 1

(f (δ)/f (x))− 1= 1, поэтому

∃ δ2 > a ∀ x ∈ (a, δ2)

(∣∣∣∣ (g(δ)/g(x))− 1

(f (δ)/f (x))− 1− 1

∣∣∣∣ < ε

3

).

Введем обозначения: h(δ, x) = (g(δ)/g(x))−1(f(δ)/f(x))−1.

limx→a+0

h(δ, x)f′(x)g′(x) = lim

x→a+0h(δ, x) lim

x→a+0(f ′(x)/g′(x)) = α, поэтому

∃ δ3 > a ∀ x ∈ (a, δ3)

(∣∣∣∣h(δ, x)f ′(x)

g′(x)− α

∣∣∣∣ < ε

3

).

Возьмем в качестве δ = min(δ1, δ2, δ3) и запишем(f (x)/g(x))− α в следующем виде: для ∀ x ∈ (a, δ)

∣∣∣f(x)g(x) − α

∣∣∣==∣∣∣h(δ, x)f

′(c)g′(c)−

f ′(c)g′(c)+f ′(c)

g′(c)−f ′(x)g′(x)+f ′(x)

g′(x)−h(δ, x)f′(x)g′(x)+h(δ, x)f

′(x)g′(x)−α

∣∣∣==∣∣∣(h(δ, x)− 1)

(f ′(c)g′(c)−

f ′(x)g′(x)

)+(f ′(c)g′(c)−

f ′(x)g′(x)

)+(h(δ, x)f

′(x)g′(x)−α

)∣∣∣ ≤≤ |h(δ, x)− 1|

∣∣∣f ′(c)g′(c) −f ′(x)g′(x)

∣∣∣ +∣∣∣f ′(c)g′(c) −

f ′(x)g′(x)

∣∣∣ +∣∣∣h(δ, x)f

′(x)g′(x) − α

∣∣∣ <ε, ∀ x ∈ (a, δ). (Заметим, что число δ > c).

Таким образом, limx→a+0

f(x)g(x) = α = lim

x→a+0

f ′(x)g′(x) .

Упражнения.Доказать случаи правила Лопиталя:

(∞/∞), x→ a− 0, a – конечное число;(∞/∞), x→ a, a – конечное число;(∞/∞), x→∞;(∞/∞), x→ +∞;(∞/∞), x→ −∞.

Указание: использовать приемы доказательства случаев 2– 4.

Замечание 1. В условиях правила Лопиталя изсуществования предела lim

x→af(x)g(x) , вообще говоря, не следует

80

существование предела limx→a

f ′(x)g′(x) . Например, lim

x→∞x−sinx

x =

limx→∞

(1− sinxx ) = 1, но lim

x→∞(x−sinx)′

x′ = limx→∞

1−cosx1 – не существует.

Замечание 2. Неопределенности типа ∞ − ∞, 0 ·∞, 00, ∞0, 1∞ приводятся к уже рассмотренным типамнеопределенностей 0/0 или ∞/∞.

Если f → ∞ и ϕ → ∞, то пишем f − ϕ =(

1ϕ −

1f

): 1fϕ и

получаем неопределенность 0/0.Если f → 0 и ϕ → ∞, то пишем fϕ = f

1ϕ

, что приводит кнеопределенности вида 0/0; если записать fϕ = ϕ

1f

, то придем кнеопределенности вида ∞/∞.

Выражения fϕ приводят к неопределенностям вида00, ∞0, 1∞. Если прологарифмировать fϕ, то придем кнеопределенности вида 0 · ∞. Например, lim

x→afϕ = e

limx→a

ϕ ln f .

§ 5.7 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Формулой Тейлора называется формула, с помощьюкоторой можно по данным значениям функции и еёпроизводных в точке a f (a), f ′(a), . . . , f (n−1)(a) и некоторымсведениям о её производной f (n) в окрестности U(a) этой точкиузнать приближенно её значение f в точках U(a).

Сначала получим формулу Тейлора для многочлена P (x) =a0 + a1x + · · · + anx

n. Сделаем замену x на (x− a) + a в P (x):

P (x) = a0 +a1((x−a) +a) + · · ·+an((x−a) +a)n=n∑k=0

bk(x−a)k,

где bk – коэффициенты, зависящие от коэффициентов ak.Полученное равенство называется разложением многочленаP (x) по степеням x − a, а bk – коэффициентами данногоразложения.

Продифференцируем равенство P (x) =n∑k=0

bk(x−a)k k раз:

P (k)(x) = k!bk + (k + 1)k · · · 2bk+1(x− a) + · · ·

81

В полученном выражении для P (k)(x) положим x = a: P (k)(a) =k!bk, k = 0, 1, 2, . . . , (здесь мы считаем P (0)(a) = P (a)). Отсюдаследует

bk =P (k)(a)

k!, k = 0, 1, 2, · · · . (1)

Таким образом, один и тот же многочлен P (x) можноразложить по степеням x − a единственным образом, т. е. еслидля всех значений x

P (x) =n∑k=0

bk(x− a)k =n∑k=0

b′k(x− a)k,

то bk = b′k, k = 0, 1, 2, . . . , n, т. к. числа bk, b′k вычисляются поодной и той же формуле (1).

Мы получили формулу:

P (x) =n∑k=0

P (k)(a)

k!(x− a)k, (2)

которая называется формулой Тейлора по степеням x − a (илиформула Тейлора в окрестности точки a) для многочлена P (x)степени n.

Замечание. При a = 0 формула Тейлора (2) называетсятакже формулой Маклорена.

Перейдем теперь к выводу формулы Тейлора для функцииf , не являющейся многочленом степени n − 1, но имеющейпроизводные достаточно высокого порядка. Вычислим числаf (a), f ′(a), . . . , f (n−1)(a) и с помощью их образуем функцию

Q(x) = f (a) +f ′(a)

1!(x− a) + · · · + f (n−1)(a)

(n− 1)!(x− a)n−1 =

=n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k. (3)

Функция Q(x) называется многочленом Тейлора ((n−1)-м)функции f по степеням x− a.

Если f является сама многочленом степени n−1, то, как мыустановили выше, f (x) = Q(x), для любых x ∈ U(a), т. е. f (x) ≡

82

Q(x). Так как в нашем случае f не многочлен степени n− 1, тоf (x) 6≡ Q(x). Тем не менее многочлен Q(x) связан с функциейf (x) в том смысле, что f (k)(a) = Q(k)(a), k = 0, 1, . . . , n − 1.Действительно, по формуле Тейлора для многочленов

Q(x) =

(n−1)∑k=0

Q(k)(a)

k!(x− a)k.

Отсюда и из (3) следует f (k)(a) = Q(k)(a), k = 0, 1, . . . , n− 1.Положим

f (x) = Q(x) + Rn(x), (4)

где Q(x)− (n− 1)-й многочлен Тейлора функции f по степенямx− a.

Выражение (4) называется формулой Тейлора функции fпо степеням x− a (или в окрестности точки a), а Rn(x) назы-вается остаточным членом формулы Тейлора.

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, в которойбудут даны две формы (два выражения через n-ю производнуюот f) остаточного члена Rn(x).

Теорема. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, x]вместе со своими производными до (n − 1)-го порядкавключительно и n раз дифференцируема на (a, x). Тогдасуществует точка c ∈ (a, x) такая, что имеет место равенство

f (x)=f (a)+1

1!f ′(a)(x−a)+· · ·+ 1

(n− 1)!f (n−1)(a)(x−a)n−1+Rn(x),

где

Rn(x) =1

n!f (n)(c)(x−a)n (остаточный член в форме Лагранжа)

или

Rn(x) =1

(n− 1)!f (n)(c)(x−a)n(1−θ)n−1, 0 < θ < 1 (остаточный

член в форме Коши).Доказательство. Мы ставим своей задачей найти удобное

выражение для остатка Rn(x) в формуле Тейлора f (x) =

83

n−1∑k=0

f (k)(a)(x−a)k

k! + Rn(x) (здесь мы использовали обозначениеn∑k=0

ak = a0 + a1 + · · · + an).

Представим Rn(x) в виде произведения Rn(x) = λ(x− a)p,сведя таким образом вопрос к отысканию величины λ (здесь p –любое натуральное число, λ – величина, зависящая от x, и прификсированном x будет рассматриваться как постоянная).

Итак, мы имеем равенство

f (x) =n−1∑k=0

f (k)(a)(x− a)k

k!+ λ(x− a)p. (1)

Заменим в (1) формально постоянную a на переменную z.

Тогда получим функцию g(z) = f (x)−n−1∑k=0

f (k)(z)(x−z)k

k! −λ(x−z)p,

которая определена и непрерывна для всех z ∈ [a, x], так какна этом отрезке непрерывна исходная функция f (z) вместесо своими производными до (n − 1)-й включительно. Крометого, из определения функции g(z) следует (см. (1)), что приz = a она принимает значение 0 (g(a) = 0). Больше того, приz = x она также обращается в 0 (g(x) = 0). Наконец, функцияg(z) имеет на интервале (a, x) производную, потому что на(a, x) исходная функция f имеет производную n-го порядка.Мы видим, что вспомогательная функция g(z) удовлетворяетусловиям теоремы Ролля, поэтому, согласно теореме Ролля,существует между a и x промежуточная точка c = a + θ(x −a) (0 < θ < 1) такая, что g′(c) = 0. Подсчитаем g′(z) :

g′(z) = −f ′(z) −n−1∑k=1

1k!(f

(k+1)(z)(x − z)k − f (k)(z)k(x − z)k−1) +

+λp(x−z)p−1 = −f ′(z)+f ′(z)− 11!f

(2)(z)(x−z)+ 22!f

(2)(z)(x−z)−− 1

2!f(3)(z)(x− z)2 + · · · − 1

(n−1)!f(n)(z)(x− z)n−1 + λp(x− z)p−1 =

= − 1(n−1)!f

(n)(z)(x − z)n−1 + λp(x − z)p−1. Из условия g′(c) = 0

находим λ = f (n)(c)(x−c)n−1

(n−1)!p(x−c)p−1 .Если положить p = n, то получим остаточный член в

форме Лагранжа: Rn(x) = λ(x − a)n = 1n!f

(n)(c)(x − a)n, а еслиположить p = 1, то – в форме Коши: Rn(x) = λ(x − a) =

84

= 1(n−1)!f

(n)(c)(x − a)(x − c)n−1 = 1(n−1)!f

(n)(a + θ(x − a))(x − a)

(x−a− θ(x−a))n−1 = 1(n−1)!f

(n)(a+ θ(x−a))(x−a)n(1− θ)n−1 =

= 1(n−1)!f

(n)(c)(x− a)n(1− θ)n−1.Замечание 1. При a = 0 формулу Тейлора называют также

формулой Маклорена. В этом случае она имеет вид

f (x) =n−1∑k=0

1

k!f (k)(0)xk + Rn(x),

Rn(x) =xn

n!f (n)(θx)− форма Лагранжа,

Rn(x) =xn

(n− 1)!(1− θ)n−1f (n)(θx)− форма Коши.

Замечание 2. В формулах из теоремы x можно считатьне только большим, но и меньшим, чем a. Если x < a, то(a, x), [a, x] обозначают множества точек t, удовлетворяющихсоответственно неравенствам x < t < a, x ≤ t ≤ a.

§ 5.8 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯНЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ

ФУНКЦИЙ

1. f (x) = ex, x ∈ R. Запишем для этой функцииразложение по формуле Тейлора в окрестности нуля,т. е. при a = 0. f (n)(x) = ex. ⇒ f (n)(0) = 1,f (n)(θx) = eθx, n = 1, 2, 3, . . .

По формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа имеемex = 1+ x

1! +x2

2! + · · ·+ xn−1

(n−1)! +Rn(x), Rn(x) = xn

n!eθx, 0 < θ < 1.

Если положить x = 1, то получим приближенное выражениедля числа e : e ≈ 1 + 1 + 1

2! + · · ·+ 1(n−1)! с ошибкой |Rn(1)| ≤

1n!e <

3n!.

Посмотрим, как ведет себя остаточный член Rn(x) при n→∞. Пусть x ≥ 0, тогда |Rn(x)| ≤ xn

n!ex → 0 при n→∞ (здесь

85

мы использовали то, что limn→∞

xn

n! = 0 при любом x ≥ 0 (см.§ 2.3)).Если же x < 0, то |Rn(x)| ≤ |x|n

n! → 0 при n→∞.Таким образом, Rn(x)→ 0 при n→∞ при любых x ∈ R.Замечание. Разложение функции по формуле Тейлора вокрестности нуля обычно называется разложением функциипо степеням x.

2. f (x) = sinx, x ∈ R.x Для этой функции f (n)(x) = sin(x+n·π2),

f (n)(0) = sin nπ2 , f

(n)(θx) = sin(θx + nπ2 ), n = 1, 2, 3, . . . ; 0 <

θ < 1.Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0)с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

sinx = x− x3

3!+ · · · + (−1)n+1 x2n−1

(2n− 1)!+ R2n+1(x),

R2n+1(x) =x2n+1

(2n + 1)!sin(θx + (2n + 1)

π

2).

|R2n+1(x)| ≤ |x|2n+1

(2n+1)! → 0, при n→∞, для любого x ∈ R.

Таким образом, R2n+1(x) → 0, при n → ∞, для любогоx ∈ R.

3. f (x) = cosx, x ∈ R. Для этой функции f (n)(x) = cos(x +

n · π2), f (n)(0) = cos nπ2 , f (n)(θx) = cos(θx + nπ2 ), n =

1, 2, 3, . . . ; 0 < θ < 1.Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0)с остаточным членом в форме Лагранжа

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− · · · + (−1)n−1 x2(n−1)

(2(n− 1))!+ R2n(x),

R2n(x) =x2n

(2n)!cos(θx + (2n)

π

2).

Остаток ведет себя как и в случае sinx : R2n(x) → 0, приn→∞, для любого x ∈ R.

86

4. f (x) = ln(1 + x) определена и сколько угоднораз дифференцируема при x > −1. f (n)(x) =(−1)n−1(n−1)!

(1+x)n , f (n)(0) = (−1)n−1(n− 1)!

Формула Тейлора имеет вид (в окрестности точки a = 0)

ln(1 + x) = x− x2

2+ · · · + (−1)n−1x

n

n+ Rn+1(x). (1)

Запишем для остатка две формы:

Rn+1(x) =(−1)nxn+1

(n + 1)(1 + θx)n+1(форма Лагранжа), (2)

Rn+1(x) = (−1)nxn+1

1 + θx

(1− θ1 + θx

)n(форма Коши), (3)

0 < θ < 1.Пусть 0 ≤ x ≤ 1. Тогда из (2) получим |Rn+1| ≤ xn+1

n+1 → 0(n → ∞). В случае −1 < x < 0 форма Лагранжане дает возможности сделать заключение о стремленииRn+1(x) → 0, потому что мы знаем только, что θудовлетворяет неравенству 0 < θ < 1. Применим в этомслучае форму Коши (3), получим: |Rn+1(x)| ≤ |x|n+1

1−|x| → 0

(n→∞), потому что 1−θ1+θx <

1−θ1−θ = 1.

При x > 1 формула (1) при любом n имеетсмысл, однако Rn+1(x) 6→ 0 при n → ∞.Действительно, положим Sn(x) = x − x2

2 + · · · ++(−1)n−1xn

n , n = 1, 2, 3, . . . . Тогда Sn(x) + Rn(x) =

Sn+1(x) + Rn+1(x) и Rn(x)−Rn+1(x) = (−1)nxn+1

n+1 .Для x > 1 и n → ∞ правая часть этого равенства нестремится к нулю. Поэтому Rn(x) 6→ 0 при n → ∞, таккак не выполняется условие критерия Коши для пределапоследовательности.

5. f (x) = (1 + x)m. Для этой функции f (n)(x) = m(m −1) . . . (m−n+1)(1+x)m−n, f (n)(0) = m(m−1) . . . (m−n+1).

87

Формула Тейлора по степеням x (в окрестности точки a = 0)имеет вид

(1 + x)m = 1 + mx +m(m−1)

2!x2 + · · ·

· · · + m(m−1) . . . (m−n+2)

(n−1)!xn−1 + Rn(x),

x ∈ R, если m ∈ N и x > −1, если m ∈ R\N, где

Rn(x) =m(m− 1) . . . (m− n + 1)

n!xn(1 + θx)m−n

(в форме Лагранжа),

Rn(x) =m(m− 1) . . . (m− n + 1)

(n− 1)!xn(1+θx)m−1

(1− θ1 + θx

)n−1

(в форме Коши).В частном случае, когда m = n ∈ N, Rn+1(x) = 0, мыполучим известную формулу бинома Ньютона: (1 + x)n =

1 + n1!x + n(n−1)

2! x2 + · · · + xn. x

§ 5.9 ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Теорема. Если функция f n раз дифференцируема в точкеa, то

f (x) = f (a)+f ′(a)(x−a)+· · ·+ 1

n!f (n)(a)(x−a)n+o((x−a)n), x→ a.

(∗)Доказательство. Введем функцию h(x) = f (x) −

n∑k=0

1k!f

(k)(a)(x− a)k.

Так как функция f дифференцируема n раз, то

h(i)(x) = f (i)(x)−n−i∑k=0

1

k!f (k+i)(a)(x− a)k, i = 1, . . . , n. (1)

88

Отсюда следует h(a) = h′(a) = · · · = h(n)(a) = 0. Теоремабудет доказана, если мы покажем, что h(x) = o((x−a)n), x→ a.

Применим метод математической индукции. Пусть n = 1.Тогда, так как функция h(x) дифференцируема в точке a, имеемh(x) − h(a) = h′(a)(x − a) + o(x − a), x → a, или h(x)=h(a) +h′(a)(x− a) + o(x− a)=o(x− a), x→ a.

Следовательно, при n = 1 теорема верна. Допустим, чтоутверждение теоремы верно для n − 1, и докажем, что тогдаверно и для n. Положим g(x) = h′(x). Тогда из (1) следует,что g(a) = g′(a) = · · · = g(n−1)(a) = 0 и, по предположениюиндукции, g(x) = o((x − a)n−1), x → a. По формуле конечныхприращений Лагранжа h(x) = h(x) − h(a) = h′(c)(x − a) =

g(c)(x−a), где c – точка между a и x. Следовательно,∣∣∣ h(x)

(x−a)n

∣∣∣ =∣∣∣ g(c)(x−a)n−1

∣∣∣ ≤ ∣∣∣ g(c)(c−a)n−1

∣∣∣ = o(1), x→ a.Таким образом, h(x) = o((x− a)n), x→ a.Формула (∗) называется также формулой Тейлора с

остаточным членом в форме Пеано.Замечание:1. Если к предположению о существовании n-й производной

в точке a добавить непрерывность этой производной, толокальная формула Тейлора будет следовать из формулыТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Пусть f имеет n-ю непрерывнуюпроизводную в точке a. ⇒ Существует некоторая окрестностьточки a, на которой f имеет производную n-го порядка f (n)

и, тем более, непрерывную производную (n − 1)-го порядкаf (n−1). Мы получим, что условия, при которых имеет месторазложение f по формуле Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа, выполняются и, следовательно,

f (x) = f (a) +n−1∑k=1

1

k!f (k)(a)(x− a)k + Rn(x), где

Rn(x) =(x− a)n

n!f (n)(a + θ(x− a)), 0 < θ < 1. (2)

Так как f (n) непрерывна в точке a, то f (n)(a + θ(x −a))=f (n)(a) + o(1), x→a.⇒ Rn(x)= 1

n!(x− a)nf (n)(a) + 1n!(x− a)n ·

89

o(1)=(x−a)n

n! f (n)(a) + o((x− a)n), x→ a.Учитывая полученное равенство и (2), мы получим

локальную формулу Тейлора (∗).2.x Разложение функции по локальной формуле Тейлора

единственно. Единственность разложения понимается в томсмысле, что если f имеет n-ю производную в точке a и если

f (x) = a0 + a1(x− a) + · · ·+ an(x− a)n + o((x− a)n), x→ a, то

ak =1

k!f (k)(a), k = 0, 1, . . . , n. (∗∗)

Доказательство. f имеет n-ю производную в точке aпоэтому по теореме она разложима по локальной офрмулеТейлора:

f (x) = f (a) +n∑k=1

1

k!f (k)(a)(x− a)k + o((x− a)n), x→ a.

В то же время справедливо разложение f (x) = a0 + a1(x−a) + · · · + an(x − a)n + o((x − a)n), x → a. Поэтому мы имеемравенство

a0 + a1(x− a) + · · · + an(x− a)n + o((x− a)n) =

= f (a) +n∑k=1

1

k!f (k)(a)(x− a)k + o((x− a)n), x→ a. (3)

Перейдем к пределу при x → a в правой и левой частиданного равенства. Получим a0 = f (a). Таким образом,в (3) мы можем убрать a0 и f (a), а затем, проведясокращение на x − a, мы получим равенство a1 + a2(x − a) +

+ · · · + an(x − a)n−1 + o((x − a)n−1)=f ′(a)+n∑k=2

f (k)(a)(x−a)k

k! +

+o((x − a)n−1), x→a. Перейдя к пределу при x → a, получимa1 = f ′(a). Продолжая этот процесс последовательно, мыдокажем (∗∗). x

§ 5.10 РЯД ТЕЙЛОРА

Выражение z0 + z1 + z2 + · · · , где zk – числа, зависящие отнатурального индекса k (k = 0, 1, 2, . . . ), называется рядом.

90

Обозначим через Sn =n−1∑k=0

zk сумму его первых n членов.

Числа Sn составляют последовательность (Sn) = (S1, S2, S3, . . . ).Определение. Если существует предел limSn =

S, то говорят, что ряд z0 + z1 + z2 + · · ·сходится и имеет сумму, равную S. При этом пишутS = z0 + z1 + z2 + · · ·.

Пусть функция f имеет в U(a) производные сколь угодновысокого порядка. Тогда для нее чисто формально можнозаписать ряд

f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f (2)(a)

2!(x− a)2 + · · · , (∗)

который называется рядом Тейлора функции f по степеням(x− a).

Ряд Тейлора может сходиться или расходиться для данныхзначений x и a. Особенно важен случай, когда ряд Тейлорафункции f сходится к самой функции, т. е. S = f (x).

Теорема. f (x) =∞∑k=0

1k!f

(k)(a)(x− a)k, x ∈ E, тогда и только

тогда, когда остаточный член Rn(x) в формуле Тейлора f (x) =n−1∑k=0

1k!f

(k)(a) · (x− a)k +Rn(x) = Sn(x) +Rn(x) стремится к нулю

при n→∞ (Rn(x)→0)∀ x ∈ E.Доказательство. Пусть Rn(x) → 0 при n → ∞. Тогда из

формулы Тейлора следует f (x) = limn→∞

Sn(x) + limn→∞

Rn(x) =

limn→∞

Sn(x), т. е. ряд (∗) сходится (по определению), так как Sn(x)

– сумма первых n членов ряда (∗). Таким образом,

f (x) =∞∑k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k. (∗∗)

Допустим теперь, что имеет место (∗∗). Это значитlimn→∞

Sn(x) = f (x). Но тогда, так как f (x) = Sn(x) + Rn(x),получается, что Rn(x)→ 0 при n→∞.

Замечание. На основании доказанной теоремы и формулТейлора для элементарных функций (см. § 5.8) мы можем

91

сделать заключение о справедливости следующих разложенийв ряды Тейлора:1. ex = 1 + x + x2

2! + x3

3! + · · · , x ∈ R.2. sinx = x− x3

3! + x5

5! − · · · , x ∈ R.3. cosx = 1− x2

2! + x4

4! − · · · , x ∈ R.4. ln(1 + x) = x− x2

2! + x3

3! − · · · , x ∈ (−1, 1].

§ 5.11 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯПРОИЗВОДНОЙ (ВОЗРАСТАНИЕ И

УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ,ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ)

1. Возрастание и убывание функции на отрезке.Определения:10. Функция f называется строго возрастающей

(неубывающей) на [a, b], если для любых x1, x2 ∈ [a, b],удовлетворяющих неравенству x1 < x2, справедливонеравенствоf (x1) < f (x2) (f (x1) ≤ f (x2)).

20. Функция f называется строго убывающей(невозрастающей) на [a, b], если для любых x1, x2 ∈ [a, b],удовлетворяющих неравенству x1 < x2, справедливонеравенствоf (x1) > f (x2) (f (x1) ≥ f (x2)).

Теорема. Пусть f : [a, b] → R непрерывна на [a, b]и дифференцируема на (a, b). Тогда имеет место следующаятаблица:

f ′ f на [a, b] f ′ на (a, b)> 0 ⇒1 строго возрастает ⇒6 ≥ 0≥ 0 ⇒2 не убывает ⇒7 ≥ 0≡ 0 ⇒3 константа ⇒8 ≡ 0≤ 0 ⇒4 не возрастает ⇒9 ≤ 0< 0 ⇒5 строго убывает ⇒10 ≤ 0

Доказательство. Все импликации (следуют) ⇒k являются

92

следствием формулы Лагранжа:f (y)− f (x) = f ′(z)(y − x), a ≤ x < z < y ≤ b. (∗)

Для примера докажем некоторые из них.1. (⇒1). Пусть f ′(z) > 0 для ∀ z ∈ (a, b). Тогда, если y, x ∈ [a, b]

и y > x, то существует z ∈ (a, b) такая, что справедливо (∗)и, следовательно, f (y)−f (x) = f ′(z)(y−x) > 0, т. е. функцияf строго возрастает на [a, b].

2. (⇒3). Пусть f ′(z) = 0 для ∀ z ∈ (a, b); x0 – фиксированнаяточка из [a, b]. Тогда для любого x ∈ [a, b] (x 6= x0) существетточка z ∈ (a, b) и лежащая между x0 и x такая, что f (x)−f (x0) = f ′(z)(x−x0). Так как f ′(z) = 0, то f (x) = f (x0), чтоозначает: f (x) = const для ∀ x ∈ [a, b].

3. (⇒7). Утверждение следует из неравенства f ′(x) = f ′(x +

0) = limh→0+0

f(x+h)−f(x)h ≥ 0.

4. (⇒6). Данное утверждение следует из ⇒7.Замечание. Из строго возрастания функции на [a, b] не

следует, что f ′(x) > 0 для всех x ∈ (a, b).Например, функция f (x) = x3, x ∈ R, строго возрастает,

но f ′(0) = 0.2. Локальный экстремум.Определение 1. Говорят, что функция f достигает в

точке a локального максимума (минимума), если существуетокрестность нуля U(0) такая, что f (a + h) − f (a) ≤ 0 (f (a +h)− f (a) ≥ 0) для всех h ∈ U(0).

Определение 2. Говорят, что f достигает в точке aлокального экстремума, если f достигает в a локальногомаксимума или минимума.

Теорема (Ферма).x Если функция f достигает в точке xлокального экстремума и в ней существует f ′(x), то последняяравна нулю (f ′(x) = 0).

Доказательство. Допустим, что в точке a f достигаетлокального максимума. Тогда f ′(a + 0) = lim

h→0+0

f(a+h)−f(a)h ≤ 0,

f ′(a− 0) = limh→0−0

f(a+h)−f(a)h ≥ 0.

93

Но в точке a существует f ′(a), поэтому f ′(a+0) = f ′(a−0) == f ′(a) = 0.

Замечание. Условия f ′(x) = 0 не достаточно длядостижения функцией f в точке x локального экстремума, т. е.может быть, что f ′(x) = 0, но функция не достигает локальногоэкстремума в точке x.

Например, функция f (x) = x3 имеет в точке x = 0

производную, равную нулю (f ′(x) = 3x2 и f ′(0) = 0), но в этойточке нет локального экстремума, так как f (x)−f (0) = f (x) ≤ 0при x ≤ 0 и f (x)− f (0) = f (x) ≥ 0 при x ≥ 0.

Докажем теоремы, дающие достаточные критериидостижения функций локального экстремума по знаку первойпроизводной (теорема 1) и по знаку второй производной(теорема 2).

Теорема 1. Пусть функция f (x) непрерывна в окрестноститочки a U(a) и дифференцируема в проколотой окрестноститочки a U(a). Если, при некотором δ > 0,10. f ′(x) ≥ 0, для ∀ x ∈ (a, a+ δ); f ′(x) ≤ 0, для ∀ x ∈ (a− δ, a),то f (x) имеет в точке a локальный минимум.20. f ′(x) ≤ 0, для ∀ x ∈ (a, a+ δ); f ′(x) ≥ 0, для ∀ x ∈ (a− δ, a),то f (x) имеет в точке a локальный максимум.

Доказательство. ∆f = f (a+ h)− f (a) = f ′(a+ θh) · h, 0 <θ < 1. Пусть U(0) такая окрестность нуля, что, если h ∈ U(0),то |θh| < δ.

Рассмотрим случай 10 : h > 0.⇒(a+θh) ∈ (a, a+δ).⇒f ′(a+θh) ≥ 0.⇒ ∆f ≥ 0; h < 0.⇒ (a+θh) ∈ (a−δ, a).⇒ f ′(a+θh) ≤0.⇒ ∆f ≥ 0. Таким образом, существует окрестность нуля U(0)такая, что при h ∈ U(0) ∆f ≥ 0. Следовательно, f имеет в точкеa локальный минимум.

Аналогично доказывается случай 20.Теорема 2. Если функция f удовлетворяет условиям

f ′(a) = 0 и f ′′(a) > 0 (f ′′(a) < 0), то x0 есть точка локальногоминимума (максимума) функции f .

Доказательство. Пусть f ′(a) = 0 и f ′′(a) > 0. Тогдасуществует проколотая окрестность нуля U(0) такая, что∆f ′(a)h =f ′(a+h)−f ′(a)

h =f ′(a+h)h > 0, для ∀ h ∈ U(0). Таким образом,

знак f ′(a + h) совпадает со знаком h (h ∈ U(0)), и поэтомуf (a + h) − f (a) = f ′(a + θh) · h ≥ 0 для ∀ h ∈ U(0), т. к. 0 <

94

θ < 1. Следовательно, функция f имеет в точке a локальныйминимум. Вторая часть утверждения теоремы доказываетсяаналогично.

Замечание. Необходимым условием достижения функциейв точке локального экстремума является несуществованиепроизводной в этой точке или равенство ее нулю.

Действительно, если f достигает в точке a локальногоэкстремума и если в a существует f ′, то по теореме Фермаf ′(a) = 0. Остается случай, когда f достигает в a локальногоэкстремума, но при этом f ′ в a не существует. Заметим,что такое возможно, например, для функции, эскиз графикакоторой имеет вид

6

-0 x

y

a

(функция имеет в точке локальный максимум, но не имеетпроизводной).

При исследовании на экстремум полезна следующаятаблица (f (x), x ∈ (c, d), – непрерывна на (c, d), a ∈ (c, d)):

знак f ′

на (c, a) на (a, d)эскизы вывод

− +

−− экстремуманет

локальныйминимум

95

знак f ′

на (c, a) на (a, d)эскизы вывод

+ +

−+

экстремуманет

локальныймаксимум

§ 5.12 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ

ПРОИЗВОДНОЙ (ВЫПУКЛОСТЬ, ТОЧКИПЕРЕГИБА)

Пусть y = f (x), x ∈ E; Γ – кривая (график функции f (x));L – секущая, проходящая через точки a, b ∈ Γ. Тогда, если приb→ a секущая L занимает единственное предельное положениеL0, то прямая L0 называется касательной к кривой Γ в точке a.(см. Рис.)

6

-0 x

y

a

b

Γ L

L0

Рис.Рассмотрим три случая:

1 сл. f ′(a) – существует (имеет конечное значение). Тогдауравнение касательной имеет вид: y − f (a) = f ′(a)(x − a), гдеy = f (x).2 сл. f (x) – непрерывна в точке a, f ′(a) = ±∞. Тогда уравнениекасательной: x = a.

96

6

-0 x

y

a

f(a)

6

-0 x

y

a

f(a)

3 сл. f (x) – непрерывна в точке a, f ′(a) - не существует.Тогда уравнение касательной: x = a.

6

-0 x

y

a

f(a)

f ′(a + 0) = +∞f ′(a− 0) = −∞

6

-0 x

y

a

f(a)

f ′(a + 0) = −∞f ′(a− 0) = +∞

Тогда a в третьем случае называется точкой возврата.Определение 1. Пусть в точке a существует конечная f ′,

тогда кривая (график функции y = f (x)) выпукла вверх (вниз)в точке a, если кривая в некоторой окрестности U(a) лежит под(над) касательной к кривой в точке a.

Определение 2. Пусть f (x) непрерывна в точке a исуществует конечная f ′(a) или f ′(a) = ±∞. Тогда, если длянекоторого δ > 0 в интервалах (a, a + δ), (a − δ, a) кривая(график функции y = f (x)) находится по разные стороны откасательной к кривой в точке a, то точка a называется точкойперегиба кривой.

97

Иллюстрации:

6

-0 x

y

a

PPPPP

P

Рис. 1. Кривая выпуклавверх в точке a

6

-0 x

y

a

Рис. 2. Кривая выпуклавниз в точке a

6

-0 x

y

a a+δ

a−δРис. 3. a – точка пере-гиба кривой

Теорема 1. Если функция f (x) имеет в точке a вторуюпроивзодную и f ′′(a) > 0 (f ′′(a) < 0), то кривая (графикфункции y = f (x)) выпукла вниз (вверх) в точке a.

Доказательство. Утверждение теоремы следует изпредставления: f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + (x−a)2

2 f ′′(a +

θ(x − a)), 0 < θ < 1. Остаток r2(x) = (x−a)2

2 f ′′(a + θ(x − a))характеризует превышение кривой над касательной y =f (a) + f ′(a)(x− a). Если f ′′(a) > 0, то в силу непрерывности f ′′в точке a функция f ′′ сохраняет знак в некоторой окрестноститочки a и, следовательно, кривая в некоторой окрестноститочки a находится над касательной, т. е. кривая выпукла внизв точке a.

Случай f ′′(a) < 0 доказывается аналогично.Теорема 2. Если функция f (x) такова, что производная f ′′′

непрерывна в точке a, а f ′′(a) = 0 и f ′′′(a) 6= 0, то кривая(график функции y = f (x)) имеет в точке a точку перегиба.

Доказательство. Утверждение теоремы следует изпредставления: f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + (x−a)3

3! f ′′′(a +θ(x − a)), x ∈ U(a), 0 < θ < 1. f ′′′ сохраняет знак в некоторойокрестности точки a, и множитель (x − a)3 имеет нечетнуюстепень, поэтому кривая (график функции y = f (x)) будетнаходиться по разные стороны касательной в окрестноститочки a. Следовательно, a – точка перегиба кривой.

Теорема 3. Пусть функция f обладает следующимисвойствами:

f ′′(x0) = · · · = f (k)(x0) = 0,

98

f k+1(x) – непрерывна в точке x0, и f (k+1)(x0) 6= 0.Тогда, если k – нечетное число, то кривая y = f (x) выпукла

вверх или вниз в точке x0 в зависимости от того, будет лиf (k+1)(x0) < 0 или f (k+1)(x0) > 0, а если k – четное число, тоx0 есть точка перегиба кривой.

Если дополнительно к приведенным условиям добавитьещё

f ′(x0) = 0, (∗)то, если k – нечетное число, функция f достигает в точкеx0 максимума или минимума в зависимости от того, будет лиf (k+1)(x0) < 0 или f (k+1)(x0) > 0.

Доказательство. По условию f (k+1) непрерывна x0.Следовательно, f (k+1) определена в некоторой U(x0), и,следовательно, f (k) – непрерывна в U(x0). Мы получили, чтодля f выполняются условия разложения по формуле Тейлорав окрестности точки x0, поэтому, используя формулу Тейлорас остаточным членом в форме Лагранжа, можно записатьf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x− x0) + Rk+1(x), где

Rk+1(x) =(x− x0)k+1

(k + 1)!f (k+1)(x0 + θ(x− x0)), 0 < θ < 1. (1)

1 сл. (k – четное число, f (k+1)(x0) > 0). f (k+1) – непрерывнав точке x0, поэтому она сохраняет знак в некоторой окрестноститочки x0 и, следовательно, f (k+1)(x0 + θ(x− x0)) > 0 для любыхx ∈ U(x0). Множитель (x − x0)k+1 имеет нечетную степень ипоэтому меняет знак при переходе из левой окрестности точкиx0 в правую (если x ∈ [x0, x0 + δ), то (x − x0)k+1 ≥ 0; еслиx ∈ (x0−δ, x0], то (x−x0)k+1 ≤ 0 (здесь δ > 0)). Таким образом,Rk+1(x) > 0 для x ∈ (x, x0+δ) и Rk+1(x) < 0 для x ∈ (x0−δ, x0),и, следовательно, кривая y = f (x) будет находиться по разныестороны касательной к кривой в точке x0, т. е. имеет в точкеx0 перегиб (здесь мы учли, что f (x) = f (x0) + (x − x0)f ′(x0) –уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке x0 ).

99

Иллюстрация:

6

-0 x

y

x0

2 сл. (k – четное число, f (k+1)(x0) < 0). Рассуждая, как и вслучае 1, мы придем к выводу: Rk+1(x) < 0 для x ∈ (x0, x0 + δ)и Rk+1(x) > 0 для x ∈ (x0 − δ, x0), т. е. кривая y = f (x) имеетв точке x0 перегиб.

Иллюстрация:

6

-0 x

y

x0

3 сл. (k – нечетное число, f (k+1)(x0) > 0). В этом случаеf (k+1)(x0 + θ(x − x0)) > 0 для любых x ∈ U(x0). Множитель(x−x0)k+1 будет иметь четную степень и поэтому не меняет знакпри переходе из левой окрестности точки x0 в правую. Такимобразом, Rk+1(x) > 0 для всех x ∈ U(x0), и, следовательно,кривая y = f (x) будет выпукла вниз в точке x0.

Иллюстрация:

6

-0 x

y

x0

100

4 сл. (k – нечетное число, f (k+1)(x0) < 0). Очевидно в этомслучае, Rk+1(x) < 0 для всех x ∈ U(x0), и, следовательно,кривая y = f (x) будет выпукла вверх в точке x0.

Иллюстрация:

6

-0 x

y

a

PPPPP

P

При дополнительном условии (∗) разложение (1) приметвид:

f (x) = f (x0) +(x− x0)k+1

(k + 1)!f (k+1)(x0 + θ(x− x0)). (2)

Если k – нечетное число и f (k+1)(x0) > 0 (f (k+1)(x0) < 0), томы получим из (2), что f (x)− f (x0) ≥ 0 (f (x)− f (x0) ≤ 0) длялюбых x ∈ U(x0), и, следовательно, функция f (x) достигает вточке x0 локального минимума (максимума).

Если же k – четное число, то нетрудно увидеть, что в точкеx0 будет перегиб. Единственное отличие от случаев 1 и 2 будетсостоять в том, что касательная к кривой в точке x0 будетпараллельна оси абсцисс.

101

Глава 6ПЕРВООБРАЗНАЯ И

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 6.1 Определение первообразной и неопределенногоинтеграла. Свойства неопределенного интеграла.

§ 6.2 Неопределенные интегралы от простейшихэлементарных функций. Примеры вычисления неопределенныхинтегралов.

§ 6.3 Отыскание первообразных для рациональныхфункций.

§ 6.4 Интегрирование некоторых иррациональных итрансцендентных функций.

§ 6.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ИНЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

Определение 1. Функция F : E → R (E – открытоемножество изR) называется первообразной функции f : E→R,если F ′(x) = f (x), x ∈ E.

Будем считать, что функции, для которых ищутсяпервообразные, являются непрерывными и заданными нанекотором интервале (a, b). Такое допущение вполне оправдано,так как в дальнейшем будет доказано, что для каждойнепрерывной функции первообразная существует.

Теорема. Если F – первообразная для функции f , то всевозможные первообразные для f выражаются формулой: F (x)+C, где C может быть любой const.

Доказательство. Нам нужно доказать, что множествофункций вида F (x) + C (C – произвольная const) совпадаетс множеством всех первообразных функций f . Если F –первообразная функции, то очевидно, что функция F (x) + Cесть также первообразная функции f , так как (F (x) + C)′ =F ′(x) = f (x). Обратно, пусть G – первообразная функции f , не

102

равная F (x). ⇒ (G(x) − F (x))′ = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).Тогда, по теореме 1 (см. § 5.5), получаемG(x)−F (x) = C−const,т. е. G(x) = F (x) + C.

Определение 2. Неопределенным интегралом отнепрерывной функции f называется произвольная еепервообразная. Обозначение:

∫f (x)dx.

Из теоремы следует: если F – определенная первообразнаяфункции f , то

∫f (x)dx = F (x) + C, где C − const.

Свойства неопределенного интеграла

10.∫

(λf (x) +µg(x))dx = λ∫f (x)dx+µ

∫g(x)dx+C, λ, µ ∈ R.

20.∫

(f (x)g′(x)dx = f (x)g(x) −∫g(x)f ′(x)dx + C (формула

интегрирования по частям).30.∫f (t)dt =

∫f (ϕ(x))ϕ‘(x)dx + C, t = ϕ(x) (формула замены

переменной).Доказательство.

1. (∫

(λf (x)+µg(x)dx)′=λf (x)+µg(x). (λ∫f (x)dx+µ

∫g(x)dx+

C)′ = λ(∫f (x)dx)′ + µ(

∫g(x)dx)′ = λf (x) + µg(x). Тогда

из теоремы 1 (см. § 5.5), следует 10:∫

(λf (x) + µg(x))dx == λ

∫f (x)dx + µ

∫g(x)dx + C.

2. (∫f (x)g′(x)dx)′ = f (x)g′(x). (f (x)g(x)−

∫g(x)f ′(x)dx+C)′ =

= f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)− g(x)f ′(x) = f (x)g′(x).⇒ 20.

3. ddx [∫f (t)dt] = d

dt [∫f (t)dt] · t′x = f (ϕ(x))ϕ′(x) =

ddx

∫f (ϕ(x))ϕ′(x)dx. ⇒ d

dx(∫f (t)dt −

∫f (ϕ(x))ϕ′(x)dx) ≡

0.⇒ (по теореме 1 (см. § 5.5))∫f (t)dt =

∫f (ϕ(x))ϕ′(x)dx+

C.

§ 6.2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ

ФУНКЦИЙ. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯНЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Таблица неопределенных интегралов от простейшихэлементарных функций.

103

1.∫

0dx = C. 9.∫

sinxdx = − cosx + C.2.∫

1dx =∫dx = x + C. 10.

∫cosxdx = sinx + C.

3.∫xn = 1

n+1xn+1 + C, n 6= 1. 11.

∫dx

cos2 x = tg x + C.4.∫dxx = ln |x| + C. 12.

∫dx

sin2 x= − ctg x + C.

5.∫

dx1+x2 = arctg x + C. 13.

∫chxdx = shx + C.

6.∫

dx√1−x2

= arcsinx + C. 14.∫

shxdx = chx + C.7.∫axdx = 1

ln aax + C. 15.

∫dx

sh2 x= − cthx + C.

8.∫exdx = ex + C. 16.

∫dx

ch2 x= thx + C.

Все приведенные формулы следуют из соответствующихформул для производных элементарных функций.

ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХИНТЕГРАЛОВ

1.∫

(6x2− 3x+ 5)dx = 6∫x2dx− 3

∫xdx+ 5

∫dx = 2x3− 3

2x2 +

5x+C (здесь мы использовали свойство 10 и формулу 3. изтаблицы).

2.∫

tg xdx =∫

sinxcosxdx = −

∫dtt = − ln |t| = − ln | cosx| + C

(здесь мы использовали формулу замены переменной (см.свойство 30: t = cosx)).

3.∫

lnxdx = x lnx−∫xd lnx = x lnx−

∫dx = x(lnx− 1) + C

(здесь мы использовали формулу интегрирования по частям(см. свойство 20)).

4. J=∫eax cosxdx = (интегрируем по частям) = eax sinx −

−a∫eax sinxdx = (ещё раз интегрируем по частям) =

eax sinx + aeax cosx− a2J + C.Решая полученное уравнение относительно J , найдем

J =eax(sinx + a cosx)

1 + a2+ C1.

5.∫

dxx2+px+q = J .

Рассмотрим два случая: ∆ = p2 − 4q < 0, ∆ = p2 − 4q > 0.1 сл. J =

∫dx

x2+px+q =∫ d(x+p/2)

(x+p/2)2+(12

√−∆)2 = (делаем замену

104

x + p2 = t) =

∫dt

t2+a2 , где a=12

√−∆.

∫dt

t2+a2 =1a

∫ d(t/a)(t2/a2)+1 =

= (делаем замену ta = u) = 1

a

∫duu2+1 = (используем

формулу 5. из таблицы) = 1a arctg u + C = 1

a arctg ta + C =

= 2√−∆

arctg (x+p/2)2√−∆

+ C = 2√−∆

arctg 2x+p√−∆

+ C.2 сл. J =

∫dx

x2+px+q =∫

dx(x−α1)(x−α2), где α1 и α2 – корни

уравнения x2 + px + q = 0. J = 1α1−α2

∫( 1x−α1

− 1x−α2

)dx =1

α1−α2

∫ d(x−α1)x−α1

− 1α1−α2

∫ d(x−α2)x−α2

= 1α1−α2

ln∣∣∣x−α1

x−α2

∣∣∣ + C (здесьα1 6= α2).В частности, если α2 = −α1, мы получаем формулу∫

dx

x2 − a2= − 1

2aln

∣∣∣∣x + a

x− a

∣∣∣∣ + C.

6.∫ αx+βx2+px+qdx = α

2

∫ 2x+px2+px+qdx + α

2 (2βα − p)

∫dx

x2+px+q = α2 ln |x2 +

px+q|+(β−αp2 )∫

dxx2+px+q (в 1-м интеграле мы сделали замену

x2 +px+ q = t, а интеграл∫

dxx2+px+q решается как в примере

5.).

7. Jm =∫

dx(x2+a2)m = 1

a2

[Jm−1 −

∫x2

(x2+a2)mdx]

= 1a2Jm−1 −

12a2

∫ xd(x2+a2)(x2+a2)m = 1

a2Jm−1 + 12a2(m−1)

∫xd( 1

(x2+a2)m−1 ) =

(интегрируем по частям) = 1a2Jm−1 + x

2a2(m−1)(x2+a2)m−1 −1

2a2(m−1)Jm−1.Полученная формула сводит вычисление интеграла Jmк вычислению интеграла Jm−1. Например, зная интегралJ1 = 1

a arctg xa , по полученной формуле найдем

J2 =1

2a3arctg

x

a+

1

2a2

x

x2 + a2.

8.∫

dx(x2+px+q)m , m > 1, ∆ = p2 − 4q < 0.

Данный интеграл с помощью замены t = x + p2 сводится к

интегралу из примера 7.

9.∫ αx+β

(x2+px+q)mdx, m > 1, ∆ = p2 − 4q < 0.∫ αx+β(x2+px+q)mdx = α

2

∫ 2x+p(x2+px+q)mdx + (β − αp

2 )∫

dx(x2+px+q)m =

105

= (делаем замену t = x2 + px + q) = α2

∫dttm + (β −

αp2 )∫

dx(x2+px+q)m = − α

2(m−1)(x2 + px + q)−(m−1) + (β −

αp2 )∫

dx(x2+px+q)m .

Оставшийся интеграл считается как в примере 8.

10. J =∫

dx√x2±a2

.Применим замену с использованием гиперболическихфункций:1. x = a ch t, x > 0, t > 0. Так как dx =

a sh tdt,√x2 − a2 = a sh t, то

J =

∫dx√x2 − a2

=

∫dt = t + C.

Остается найти t как функцию x.xa = ch t = et+e−t

2√x2

a2 − 1 = sh t = et−e−t2

.

Сложив данные уравнения, получим xa +

√x2

a2 − 1 = et. ⇒

⇒ t = ln

(xa +

√x2

a2 − 1

).

Таким образом,∫

dx√x2−a2

= ln

(xa+√

x2

a2 − 1

)+C= ln(x +

√x2 − a2) + C1.2. x = a sh t, x > 0, t > 0. Так как dx =

a ch t dt,√x2 + a2 = a ch t, то

J =

∫dx√x2 + a2

=

∫dt = t + C = ln(x +

√x2 + a2) + C1.

§ 6.3 ОТЫСКАНИЕ ПЕРВООБРАЗНЫХДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим числовую функцию вида f (x) = P (x)Q(x), где

P (x), Q(x) – действительные многочлены, т. е. являются

106

числовыми функциями вида P (x) = amxm + am−1x

m−1 + · · · +a0, Q(x) = bnx

n+bn−1xn−1+· · ·+b0, ai, bk ∈ R, i = 0, . . . ,m; k =

0, . . . , n. Пусть SP , SQ – показатели степени многочленов P (x)и Q(x) (в нашем случае SP = m, SQ = n). Будем называть f (x)правильной рациональной дробью, если m < n. Допустим, чтоam = 1, bn = 1.

Известно, что любой действительный многочлен с целымипоказателями степени можно разложить на простые множителитипа (x− a) и x2 + px+ q (a, p, q ∈ R). Поэтому будем считать,что многочленQ(x) разложен на следующие множители:Q(x) == (x − a)α . . . (x − b)β(x2 + px + q)δ . . . (x2 + rx + s)γ,причем трехчлены x2 + px + q, . . . , x2 + rx + s не имеютдействительных корней, т. е. p2 − 4q < 0, . . . , r2 − 4s < 0.Числа α, . . . , β, δ, . . . , γ ∈ N. Заметим, что так как SQ = n,то α + · · · + β + 2(δ + · · · + γ) = n.

Теорема.x При сделанных предположениях для функцииf (x) = P (x)/Q(x) справедливо единственное представлениевидаP (x)

Q(x)=

A1

(x− a)α+ · · · + Aα

x− a+ · · · + B1

(x− b)β+ · · · + Bβ

x− b+

+C1x+D1

(x2+px+q)δ+Cδx+Dδ

x2+px+q+ · · ·+ E1x+F1

(x2+rx+s)γ+ · · ·+ Eγx+Fγ

x2+rx+s,

(∗)где A1, . . . , Aα, . . . , B1, . . . , Bβ, C1, D1, . . . , Cδ, Dδ, . . . , E1,F1, . . . , Eγ, Fγ∈R. (Разложение единственно в том смысле, чтокоэффициенты Ai, Bi, Ci, Di, Ei, Fi определяются единственнымобразом).

Доказательство теоремы начнем с леммы.Лемма. Пусть U(x) и V (x) – многочлены, однозначно

определяемые равенствами Q(x) = (x − a)αU(x), Q(x) = (x2 +px + q)γV (x).

Тогда имеют место представления:P (x)

Q(x)=

A1

(x− a)α+

R(x)

(x− a)α−1U(x), (1)

P (x)

Q(x)=

C1x + D1

(x2 + px + q)γ+

T (x)

(x2 + px + q)γ−1V (x), (2)

107

где S1(x) = R(x)(x−a)α−1U(x), S2(x) = T (x)

(x2+px+q)γ−1V (x) – правильныедроби.

Доказательство. Для доказательства (1) достаточноподобрать число A1 и многочлен R(x) так, чтобы выполнялосьтождество

P (x)− A1U(x) = (x− a)R(x) (3)

(в этом легко убедиться, приводя (1) к общему знаменателю).Определим A1 так, чтобы левая часть (3) делилась на (x − a).Для этого достаточно, чтобы ее значение при x = a было нулем.Таким образом,

A1 =P (a)

U(a),

что имеет смысл, так как U(a) 6= 0.При указанном выборе A1 многочлен R(x) определяется

просто как частное:

R(x) =1

x− a(P (x)− A1U(x)).

При этом R(x) будет многочленом, так как a – кореньмногочлена P (x)−A1U(x). Степень многочленаR(x) на единицуменьше степени многочлена P (x), так что S1 – правильнаярациональная дробь. Равенство (1) доказано.

Для доказательства (2) достаточно числа C1 и D1 имногочлен T (x) подобрать так, чтобы имело место тождество

P (x)− (C1x + D1)V (x) = (x2 + px + q)T (x) (4)

(проверяется это приведением (2) к общему знаменателю).Определим числа C1 и D1 так, чтобы на этот раз делиласьна x2 + px + q левая часть равенства (4). Пусть остатками отделения P (x) и V (x) на этот трехчлен будут, соответственно,a1x + b1 и cx + d. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы наx2 + px+ q делилось выражение ax+ b1 − (C1x+D1)(cx+ d) == −cC1x

2 + (a1−dC1−cD1)x+ (b1−dD1). Выполнив деление наx2+px+q, мы получим в остатке [(pc−d)C1−cD1+a1]x+[qcC1−dD1 + b1]. C1 и D1 нужно подобрать так, чтобы коэффициенты,стоящие в квадратных скобках, равнялись нулю. Поэтомудля определения C1 и D1 имеем систему из двух линейных

108

уравнений: (pc− d)C1 − cD1 + a1 = 0,qcC1 − dD1 + b1 = 0

. (5)

Определитель данной системы∣∣∣∣pc− d, −cqc, −d

∣∣∣∣ = d2 − pcd + qc2

отличен от нуля. Действительно, при c 6= 0 его можно записатьв виде

c2

[(−dc

)2

+ p

(−dc

)+ q

],

где выражение в квадратных скобках есть значение трехчленаx2 + px + q в точке x = −d

c и, следовательно, не может бытьнулем, ибо трехчлен этот не имеет вещественных корней; приc = 0 определитель сводится к d2, а в этом случае d 6= 0, так какмногочлен V (x) на x2 + px + q не делится.

Многочлен T (x), после установления чисел C1 и D1,определяется как частное:

T (x) =1

x2 + px + q[P (x)− (C1x + D1)V (x)],

причем T (x) будет действительно многочленом, так как числаC1 и D1 подбираются так, что P (x) − (C1x + D1)V (x) делитсяна x2 +px+q. Степень многочлена T (x) на две единицы меньшестепени многочлена P (x), поэтому S2(x) будет правильнаярациональная дробь.

Доказательство теоремы сведется к повторномуприменению предложений (1) и (2) из леммы, которыепозволяют последовательным понижением степени многочленаQ(x) получить (∗).

Если множитель (x − a) входит в Q(x) в первой степени,то в силу (1) ставим ему в соответствие единственную простуюдробь вида A1

x−a.Если же показатель степени (x − a) есть α > 1, то,

выделив на основании (1) простую дробь A1

(x−a)α , мы к оставшейсядроби снова применим (1) и выделим, таким образом, простую

109

дробь A2

(x−a)α−1 . Описанный процесс продолжается до тех пор,пока (x − a) не исчезнет из разложения. В итоге множителю(x− a)α, α > 1, будет отвечать группа из α простых дробей

Aα

x− a+

Aα−1

(x− a)2+ . . . +

A1

(x− a)α.

Такое же рассуждение мы поочередно применим и ккаждому из оставшихся ещё линейных множителей, показнаменатель не исчерпается или в его разложении останутсяодни лишь квадратичные множители.

Аналогичным образом, пользуясь (2) из леммы, мыпоставим в соответствие квадратичному множителю x2 + px+ qодну лишь простую дробь вида C1x+D1

x2+px+q , если он входит в первойстепени, и группу из γ простых дробей

C1x + D1

(x2 + px + q)γ+

C2x + D2

(x2 + px + q)γ−1+ . . . +

Cγx + Dγ

x2 + px + q,

если этот множитель входит с показателем степени γ > 1. То жеможно проделать и с прочими квадратичными множителями,при условии, что они ещё имеются.

В результате всех операций мы получим разложение (∗)правильной рациональной дроби на простые дроби.

Единственность представления (∗) следует из того,что величины A1, . . . , Bβ определяются однозначно: A1 =

limx→a

(x − a)αP (x)Q(x), A2 = lim

x→a(x − a)α−1

[P (x)Q(x) −

A1

(x−a)α

]и т.

д. Величины C1, . . . , Fδ также определяются однозначно.Например, величины C1, D1 находятся как решение системыуравнений (5), которая имеет единственное решение, так как ееопределитель отличен от нуля.

Замечание 1. Для определения коэффициентовC1, . . . , Fδ на практике обычно используютметод неопределенных коэффициентов, суть которого вследующем. Правая часть (∗) приводится к общемузнаменателю, которым, очевидно, будет Q(x). Приравниваячислители, мы придем к равенству двух многочленовтождественному относительно x:

P (x) = Mn−1xn−1 + Mn−2x

n−2 + . . . + M1x + M0,

110

где Mi – линейные однородные многочлены относительноn коэффициентов Ai, . . . , Bj, . . . , Ci, . . . , Dj, . . . , Ei, . . . , Fj.Приравнивая Mi соответствующим численным коэффициентаммногочлена P (x), мы получим систему из n линейныхуравнений, решая которые мы определим коэффициентыC1, . . . , Fδ.

Пример.P (x)

Q(x)=

2x2 + 2x + 13

(x− 2)(x2 + 1)2.

2x2 + 2x + 13

(x− 2)(x2 + 1)2=

A

x− 2+Bx + C

x2 + 1+Dx + E

(x2 + 1)2=

= Ax4+2Ax2+A−2Bx3+Bx2−2C−2Cx2+Cx+Bx4−2Bx+Cx3+Dx2+Ex−2Dx−2E(x−2)(x2−1)2 .

Приравнивая коэффициенты при соответствующихстепенях x, получим систему уравнений

A + B = 0−2B + C = 02A + B − 2C + D = 2C − 2B + E − 2D = 2A− 2C − 2E = 13

Решая данную систему, определимA=1, B=−1, C=−2, D=−3, E=−4. Таким образом,

2x2 + 2x + 13

(x− 2)(x2 + 1)2=

1

x− 2− 2 + x

x2 + 1− 3x + 4

(x2 + 1)2.

Замечание 2. Если рациональная дробь будетнеправильной, т. е. sp ≥ sQ, то сначала дробь P (x)

Q(x) приводят квиду P0(x) + P1(x)

Q(x) , где P0(x) – многочлен, а P1(x)Q(x) – правильная

рациональная дробь, а затем уже производят разложение P1(x)Q(x)

на простые дроби.Рассмотрим неопределенный интеграл

∫ P (x)Q(x)dx =∫

P0(x)dx +∫ P1(x)

Q(x) dx.∫P0(x)dx легко вычисляется, так как

распадается на сумму интегралов от степенной функции;

111

∫ P1(x)Q(x) dx, после применения выше доказанной теоремы,

превращается в сумму интегралов от простых дробей,которые мы знаем как вычислить (см. примеры вычислениянеопределенных интегралов из § 6.2)

Таким образом, мы умеем вычислять интегралы отрациональных дробей.

Определение. Рациональной функцией от x будем называтьфункцию, которая получается в результате применения кx конечного числа арифметических операций: умножение,вычитание, сложение, деление.

Примеры:1. Любой многочлен P (x) есть рациональная функция от x.2. f (x) = P (x)

Q(x), где P (x), Q(x) – многочлены, есть рациональнаяфункция от x.

Так как любая рациональная функция от x имеет видмногочлена от x или легко приводится к виду P (x)/Q(x), гдеP (x), Q(x) – некоторые многочлены, то нам известно, каквычисляются интегралы от рациональных функций. x

§ 6.4 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХИРРАЦИОНАЛЬНЫХ И

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Интегрирование алгебраических иррациональ-ностей.

Рациональная функция от x, u, v, . . . , w получаетсяв результате применения к x, u, v, . . . , w арифметическихопераций (сложения, вычитания, умножения и деления),взятых в конечном числе. Пусть R(x, u, v, . . . , w) – обозначениерациональной функции от x, u, v, . . . , w. Рассмотрим интеграл∫ (

R(x,

(ax + b

cx + d

)λ, . . . ,

(ax + b

cx + d

)µ)dx, (1)

где λ, . . . , µ ∈ Q и имеют наименьший общий знаменатель m :λ= p

m, . . . , µ= qm. В интеграле (1) сделаем подстановку tm=ax+b

cx+d :

x = dtm−ba−tmc = ϕ(t) – рациональная функция от t; ϕ′(t) –

112

производная от ϕ(t) – есть, очевидно, рациональная функцияот t. После чего интеграл (1) сводится к интегралу:∫

R(ϕ(t), tp, . . . , tq)ϕ′(t)dt =

∫R1(t)dt,

где R1(t) – рациональная функция от t (p, . . . , q – целые числа).2.x Подстановки Эйлера.Рассмотрим интеграл вида∫

R(x,√cx2 + bx + a)dx. (2)

Предполагаем, что трехчлен cx2 + bx + a не имеет разныхкорней, так что корень из него не может быть замененрациональным выражением. Мы изучим три подстановки,называемые подстановками Эйлера, с помощью которых можновсегда достичь рационализации подинтегрального выражения.

I подстановка приложима в случае, когда c > 0.√cx2 + bx + a = t−

√cx

(можно было бы положить)√cx2 + bx + a = t +

√cx.

После возведения в квадрат этого равенства, получим

bx + a = t2 − 2√ctx.⇒ x =

t2 − a2√ct + b

= ϕ1(t),

√cx2 + bx + a = t −

√cx = ϕ2(t), dx = ϕ′1(t)dx,

где ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ′1(t) – рациональные функцииот t. Таким образом,

∫R(x,

√cx2 + bx + a)dx =

=∫R(ϕ1(t), ϕ2(t))ϕ′1(t)dt=

∫R2(t)dt, где R2(t) – рациональная

функция от t.II подстановка приложима в случае, когда a > 0.

√cx2 + bx + a = xt +

√a

(можно было бы положить и)√cx2 + bx + a = xt−

√a.

Возведем равенство в квадрат, уничтожим a в обеих частях исократим x. Получим

cx + b = xt2 + 2√at.

113

Отсюда следует x = 2√at−bc−t2 = ϕ3(t),

√cx2 + bx + a = xt +

√a =

= ϕ4(t), dx = ϕ′3(t)dt, где ϕ3(t), ϕ4(t), ϕ′3(t) – рациональныефункции от t. После подстановки полученных выражений винтеграл (2) мы получим рационализацию подинтегральноговыражения.

III подстановка пригодна в случае, когда cx2 + bx + a == c(x− λ)(x− µ).

√cx2 + bx + a = t(x− λ).

Возведя в квадрат и сокращая на x − λ, получим уравнениепервой степени относительно x:

c(x− µ) = t2(x− λ).

Отсюда следует

x =−cµ + λt2

t2 − c= ϕ5(t),

√cx2 + bx + a =

c(λ− µ)t

t2 − c= ϕ6(t),

dx = ϕ′5(t), где ϕ5(t), ϕ6(t), ϕ′5(t) – рациональные функции от t.После подстановки полученных выражений в интеграл (2)

мы получим интеграл от рациональной функции.Замечание 1. Подстановок Эйлера I и III одних

достаточно для того, чтобы осуществить рационализациюподинтегрального выражения в (2) во всех возможных случаях.

Доказательство. Если cx2 + bx + a имеет действительныекорни, то приложима подстановка III. Если же действительныхкорней нет, т. е. b2 − 4ac < 0, то трехчлен

cx2 + bx + a =1

4c[(2cx + b)2 + (4ac− b2)]

при любых x имеет знак c. Случай c < 0 нас не интересует,так как тогда

√cx2 + bx + a вовсе не имел бы действительных

значений. В случае же c > 0 применима подстановка I.Замечание 2. Случаи подстановок I и II (c > 0, a > 0)

приводятся один к другому подстановкой x = 1z . Поэтому всегда

можно избегать применения подстановки II.

114

Доказательство. Пусть c > 0. Тогда cx2 + bx + a = c(1z)

2 +

b · 1z + a = c+bz+az2

z2 .⇒∫R(x,

√cx2 + bx + a)dx =

∫R

(1

z,

√c + bz + az2

z2

)·(− 1

z2

)dz =

=

∫R3(z,

√c + bz + az2)dz.

Так как c > 0, то мы попали в случай применения подстановкиII. x

3. Биноминальные дифференциалы.Рассмотрим интеграл∫

xm(a + bxn)pdx, (3)

где a, b ∈ R(a, b 6= 0), m, n, p ∈ Q. Подинтегральное выражениеxm(a + bxn)p называется биноминальным дифференциалом.

Сделаем замену (подстановку): xn = t. x = t1/n, dx =1nt

( 1n)−1dt, поэтому интеграл (3) приводится к виду

1

n

∫tmn (a + bt)pt(

1n)−1dt =

1

n

∫t(

mn

+ 1n−1)(a + bt)pdt.

Если положить m+1n − 1 = q, то вопрос сводится к интегралу

вида ∫tq(a + bt)pdt. (4)

Утверждение. Интеграл (4) всегда берется в элементарныхфункциях, если одно из чисел p, q, p+ q – целое (положительно,нуль или отрицательно).

Доказательство.1. p – целое число. Тогда∫

tq(a + bt)pdt =

∫R(t, tq)dt, (5)

115

где R(t, tq) – некоторая рациональная функция от t и tq.2. q – целое число. Тогда∫

tq(a + bt)pdt =

∫R(t, (a + bt)p)dt, (6)

где R(t, (a + bt)p) – некоторая рациональная функция от t и(a + bt)p.3. p + q – целое число. Тогда∫

tq(a + bt)pdt =

∫tp+q

(a + bt

t

)pdt =

∫R(t,

(a + bt

t

)p)dt,

(7)где R(t,

(a+btt

)p) – некоторая рациональная функция от t и(

a+btt

)p.Все интегралы (5) – (7) имеют вид интегралов (1) (см.

интегрирование алгебраических иррациональностей), каждыйиз которых приводится к интегралу от рациональной функции спомощью соответствующих подстановок. Допустим m = λ

N , n =µN , p = i

j , где λ, µ,N, i, j – целые числа. ⇒ q = m−n+1n = λ−µ+N

µ .

Инетеграл (5): применяем подстановку uµ = t.

Инетеграл (6): применяем подстановку ui = a + bt.

Инетеграл (7): применяем подстановку ui =a + bt

t.

(8)

Замечание. Подстановку xn = t к интегралу (3)и соответствующие подстановки (8) можно объединить иполучить подстановки, приводящие интеграл (3) сразу кинтегралу от рациональной функции.1 сл. (p – целое). x = t1/n, uµ = t. ⇒ x = uµ/n = uN . Получимподстановку: x = uN , где N – наименьший общий знаменательчисел m и n.2 сл. (q – целое). x = t1/n, ui = a + bt. ⇒ ui = a + bxn, где i –знаменатель числа p.3 сл. (p – целое). x = t1/n, ui = a+bt

t . ⇒ ui = ax−n + b, где i –знаменатель числа p.

116

Пример.∫

x3√x−1

dx =∫x3(x − 1)−1/2dx, m = 3, n = 1, p =

−12.

q = m−n+1n = 3. ⇒ Мы имеем 2-й случай. Применяем

подстановку u2 = x − 1. Получим∫

x3√x−1

dx =∫

(u2 +

1)3u−12udu = 2∫

(u2 + 1)3du – интеграл от рациональнойфункции R(u) = (u2 + 1)3.

4.x Интегрирование некоторых тригонометрическихфункций.

Рассмотрим интеграл∫R(sinx, cosx)dx (9)

где R(u, v) – рациональная функция от u и v. Такие интегралымогут быть рационализированы подстановкой: t = tg x

2 , x ∈(−π, π). Действительно,

sinx =2 tg x

2

1 + tg2 x2

=2t

1 + t2, cosx =

1− tg2 x2

1 + tg2 x2

=1− t2

1 + t2,

x = 2 arctg t.⇒ dx = 2dt1+t2 . Таким образом,∫

R(sinx, cosx)dx =

∫R

(2t

1 + t2,

1− t2

1 + t2

)2

1 + t2dt =

∫R4(t)dt,

где R4(t) – рациональная функция от t.Приведенная подстановка является универсальной, но она

приводит иной раз к сложным выкладкам. Существуют случаи,когда цель может быть достигнута с помощью более простыхподстановок.

Предварительно сделаем несколько элементарныхзамечаний из алгебры:1. Если R(−u, v) = R(u, v), то R(u, v) = R1(u2, v), где R1(u2, v)содержит лишь четные степени u.2. Если R(−u, v) = −R(u, v), то R(u, v) = R2(u2, v) · u, гдеR2 – рациональная функция от u2 и v. Первое замечаниеочевидно. Докажем второе замечание. Рассмотрим функциюR3(u, v) = R(u,v)

u , где R(−u, v) = −R(u, v). ⇒ R3(−u, v) =

117

R3(u, v). Тогда R3(u, v) = R2(u2, v). ⇒ R(u,v)u = R2(u2, v). ⇒

R(u, v) = R2(u2, v) · u. Замечание доказано.Рассмотрим три частных случая.

1. (R(−u, v) = −R(u, v)). В этом случае R(sinx, cosx)dx =

R2(sin2 x, cosx) · sinxdx = −R2(1 − cos2 x, cosx)d cosx, ирационализация достигается подстановкой t = cosx2. (R(u,−v) = −R(u, v)). В этом случае R(sinx, cosx)dx =

R∗2(sinx, cosx) · cosxdx = R∗2(sinx, 1 − sin2 x)d sinx, ирационализация достигается подстановкой t = sinx3. (R(−u,−v) = R(u, v)). R(u, v) = R(uv · v, v) = R∗(uv , v). ⇒R(−u,−v) = R∗(−u−v ,−v) = R∗(uv ,−v) = R∗(uv , v). ⇒ R∗(uv , v) =

R∗1(uv , v2). ⇒ R(sinx, cosx) = R∗( sinx

cosx, cosx) = R∗1(tg x, cos2 x) =

R∗1(tg x, 11+tg2 x

), т. е. R(sinx, cosx) = R(tg x).⇒ Рационализациядостигается подстановкой t = tg x, x ∈ (−π2 ,

π2), так как

R(tg x)dx = R(t) 11+t2dt.

5. Интегрирование выражений sinν x cosµ x(ν, µ ∈ Q,x ∈ (0; π2)).

Применим подстановку z = sin2 x. Тогда dz = 2 sin x cosxdxи sinν x cosµ xdx = 1

2 sinν−1 x · (1 − sin2 x)µ−1

2 2 sinx cosxdx =12(1−z)

µ−12 z

ν−12 dz. Таким образом, все сводится к интегрированию

биноминального дифференциала (см. п. 3 данного параграфа).Нам известно, что интеграл

∫zm(1 − z)pdz (здесь m =

ν−12 , p = µ−1

2 ) берется в элементарных функциях, если:1.) m = ν−1

2 (или p = µ−12 ) есть целое число, т. е. если ν (или µ)

есть нечетное целое число.2.) p + q = µ+ν−2

2 (в настоящем случае q = m = ν−12 ) – целое

число, т. е. µ + ν есть четное целое число.Замечание. Если ν и µ – целые числа, то выражение

sinν x cosµ x рационально относительно sinx и cosx, т. е.принадлежит классу R(sinx, cosx), уже нами рассмотренному.x

118

ИНТЕГРАЛ РИМАНА.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 7.1 Определение интеграла Римана. Необходимое условиеинтегрируемости функции по Риману.

§ 7.2 Верхние и нижние интегральные суммы.§ 7.3 Необходимое и достаточное условие интегрируемости

функции по Риману.§ 7.4 Некоторые классы интегрируемых функций.§ 7.5 Основные свойства интеграла Римана.§ 7.6 Свойства интеграла Римана, в которых фигурируют

неравенства.§ 7.7 Интеграл как функция верхнего предела.§ 7.8 Формула Ньютона-Лейбница.§ 7.9 Общие приемы интегрирования.§ 7.10 Некоторые приложения интеграла Римана.

§ 7.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛАРИМАНА. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО

РИМАНУ

Определение площади криволинейной трапеции.Пусть на [a, b] задана неотрицательная непрерывная

функция f (x). Перед нами стоит задача: разумно определитьпонятие площади фигуры, ограниченной кривой y = f (x), осьюx, прямыми x = a, x = b, и вычислить эту площадь. Этузадачу естественно решать следующим образом. Разобьем [a, b]на n частей точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b, выберемна каждом отрезке [xi, xi+1], i = 0, . . . , n − 1, по произвольнойточке ξi ∈ [xi, xi+1] и составим сумму

Sn =n−1∑i=0

f (ξi)∆xi, где ∆xi = xi+1 − xi :

119

6

-0 x

y

y = f(x)

a=x0 ξ0 x1 ξ1 x2 . . . xn−2 xn=b

Сумма Sn называется интегральной суммой. Sn, очевидно,равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников (см.рис.). Устремим все ∆xi к нулю так, чтобы максимальный(самый большой) отрезок разбиения стремился к нулю.Если при этом величина Sn стремится к определенномупределу S, не зависящему от способов разбиения ивыбора точек ξi, то естественно величину S назватьплощадью нашей криволинейной трапеции. Таким образом,

S = limmax ∆xi→0

n−1∑i=0

f (ξi)∆xi.

Определение интеграла Римана.Пусть a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

В этом случае будем говорить: "Система отрезков∆ = [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xn−1, xn] называетсяразбиением отрезка [a, b]" (краткая запись этого факта):∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b).

Величина d(∆) = max1≤i≤n

(xi − xi−1) называетсядиаметром разбиения ∆.

Интегральной суммой Римана функции f : [a, b] → Rотносительно разбиения ∆ называется сумма

S∆ = S∆(f ) =n∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1),

где ξi ∈ [xi−1, xi].Определение 1. Функция f : [a, b] → R называется

интегрируемой по Риману, если для любой последовательности

120

разбиений ∆k(a = x(k)0 < x

(k)1 < . . . < x

(k)nk = b) такой, что

d(∆k)→ 0, существует предел

α = limk→∞

nk∑i=1

f (ξ(k)i )(x

(k)i − x

(k)i−1)

при любом выборе ξ(k)i ∈ [x

(k)i−1, x

(k)i ]. Число α называется

интегралом Римана функции f по отрезку [a, b] и обозначаетсяb∫af (x)dx.

Замечание. Число α в определении 1 не зависит от выборапоследовательности разбиений (∆k).

Доказательство. Пусть f интегрируема и(∆k), (∆′k) – две последовательности разбиенийотрезка [a, b] такие, что d(∆k)→ 0, d(∆′k) → 0.Образуем новую последовательность разбиений ∆′′k == (∆1,∆

′1,∆2,∆

′2, . . .). Очевидно, что d(∆′′k) → 0. Тогда,

так как f интегрируема, должен существовать пределпоследовательности интегральных сумм

(S∆′′k) = (S∆1, S∆′1, S∆2

, S∆′2, . . .).

Но последовательности (S∆k) и (S∆′k) являются подпосле-

довательностями данной (сходящейся) последовательности,поэтому lim

k→∞S∆k

= limk→∞

S∆′k, что доказывает справедливостьзамечания.

Дадим ещё одно определение интегрируемой функции.Определение 2. Функция f : [a, b] → R называется

интегрируемой по Риману и α =b∫af (x)dx, если ∀ε > 0 ∃ δ >

0 ∀∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b)(d(∆) < δ ⇒ |S∆ − α| < ε) прилюбых ξi ∈ [xi−1, xi].

Утверждение. Определения 1 и 2 – эквивалентны.Доказательство. Докажем, что если f – интегрируема в

смысле определения 2, то она интегрируема по определению1. Пусть (∆k) – произвольная последовательность разбиенийотрезка [a, b] такая, что d(∆k) → 0. ⇒ Существует N ∈N такое, что ∀ k > N : d(∆k) < δ, где δ > 0 – произвольное

121

число. По определению 2: ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∀∆(d(∆) < δ⇒ |S∆ − α| < ε). Мы имеем d(∆k) < δ, поэтому|S∆k

− α| < ε для ∀ε > 0 и ∀k > N . Последнееозначает, что lim

kS∆k

= α. Так как последовательностьразбиений ∆k – произвольная и все сказанное выше выполняетсяпри любых ξ

(k)i ∈ [x

(k)i−1, x

(k)i ], то выполняются условия

определения 1, т. е. f интегрируема согласно определению 1.Доказательство того, что из интегрируемости f по определению1 следует интегрируемость f по определению 2, будем вести отпротивного. Допустим, что f интегрируема по определению 1,но не интегрируема в смысле определения 2, т. е.

∀α ∃ε > 0 ∀ δ > 0 ∃∆(d(∆) < δ, |S∆ − α| ≥ ε). (∗)Выберем последовательность чисел δk → 0. Тогда из (∗) следует:∃ последовательность разбиений (∆k) такая, что d(∆k) < δkи |S∆k

− α| ≥ ε при ∀ числе α. Мы получили, что изd(∆k) → 0 не следует существование lim

kS∆k

, что противоречитпредположению интегрируемости f согласно определению 1.

Таким образом, из определения 2 следует определение 1.Примеры:

1. f (x) = λ, x ∈ [a, b]. Функция f будет интегрируема на [a, b]

иb∫aλdx = λ(b− a), так как для любого разбиения ∆(a = x0 <

x1 < . . . < xn = b) : S∆ =n−1∑i=1

λ(xi − xi−1) = λ(b− a).

2. Пусть на [a, b] фиксировано конечное число точек c1, . . . , cm.Тогда функция

f (x) =

λi, если x = ci,0, если x 6= ci,

интегрируема на [a, b] иb∫af (x)dx = 0.

Доказательство. Используем определение 2. ПоложимK = max

k|λj| и пусть ε > 0 – произвольное число.

Выберем δ = ε/2mK. Тогда, если разбиение ∆ такое,

122

что d(∆) < δ, то |S∆| =

∣∣∣∣∣ n∑j=1f (ξj)(xj − xj−1)

∣∣∣∣∣ ≤

≤n∑j=1|f (ξj)|(xj − xj−1) < 2mK ε

2mK = ε (здесь мы учли,

что сумма содержит не более 2m членов, отличных от нуля).

Согласно определению 2, это означает, чтоb∫af (x)dx = 0.

Необходимое условие интегрируемости функции по Риману.Теорема (∗). Если функция f : [a, b]→ R интегрируема на

[a, b], то она ограничена на [a, b].Доказательство. Пусть, напротив, f не ограничена. Тогда

для произвольного разбиения ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) fне ограничена на некотором отрезке [xi0−1, xi0]. Пусть N > 0 –сколь угодно велико. Выберем ξi ∈ [xi−1, xi] произвольным дляi 6= i0, а затем выберем ξi0 так, что

|f (ξi0)| >N

xi0 − xi0−1+

∣∣∣∣∣∣∑i6=i0

f (ξi)(xi − xi−1)

∣∣∣∣∣∣ · 1

xi0 − xi0−1.

Тогда |S∆| = |f (ξi0)(xi0 − xi0−1) +∑i6=i0

f (ξi)(xi − xi−1)| ≥

|f (ξi0)|(xi0 − xi0−1) − |∑i6=i0

f (ξi)(xi − xi−1)| > N . Таким образом,

f не интегрируема на [a, b], так как limkS∆k

не имеет конечногозначения.

Сообразуясь с теоремой (∗), мы будем рассматривать лишьограниченные на отрезке [a, b] функции. Возникает естествен-ный вопрос: всякая ли ограниченная на отрезке [a, b] функцияявляется интегрируемой на этом отрезке? Следующий примерпоказывает, что это, вообще говоря, не так. Рассмотримфункцию Дирихле

ψ(x) =

1, если x ∈ [a, b]

⋂Q,

0, если x ∈ [a, b]\Q.

Для любого разбиения ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) со сколь

123

угодно малым d(∆) при ξi ∈ Q имеем

S∆ =n∑i=1

f (ξi)(xi − xi−1) =n∑i=1

(xi − xi−1) = b− a.

Если же ξi выбрать иррациональными, то для того же разбиения∆, получим S∆ = 0. Таким образом, для функции Дирихлене существует предела интегральных сумм, не зависящего отвыбора точек ξi, т. е. эта функция не интегрируема.

В дальнейшем мы докажем интегрируемость всехнепрерывных на [a, b] функций и интегрируемость широкогокласса разрывных функций.

§ 7.2 ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕИНТЕГРАЛЬНЫЕ СУММЫ

Пусть f : [a, b] → R ограничена на [a, b], ∆ – разбиение[a, b] точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b,

Mi = supx∈[xi−1,xi]

f (x), mi = infx∈[xi−1,xi]

f (x).

Определение 1. Суммы

∗S∆ =

∗S∆(f ) =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1), S∗

∆ = S∗

∆(f ) =n∑i=1

mi(xi − xi−1)

называются соответственно верхней и нижней (интегральными)суммами функции f для данного разбиения ∆ отрезка [a, b].

Очевидно, что S∗

∆ ≤ S∆ ≤∗S∆.

Докажем следующие свойства верхних и нижнихинтегральных сумм:

10. Для любого фиксированного разбиения∆(a=x0<x1< . . . <xn=b) и для любого ε > 0 промежуточныеточки ξi на отрезках [xi−1, xi] можно выбрать так, чтоинтегральная сумма S∆ будет удовлетворять неравенствам0 ≤

∗S∆− S∆ < ε. Точки ξi можно выбрать также и таким

образом, что интегральная сумма будет удовлетворятьнеравенствам 0 ≤ S∆− S

∗∆ < ε.

124

Доказательство. Пусть ∆ – некоторое разбиение отрезка[a, b] и ε > 0. Докажем, что существуют точки ξi ∈ [xi−1, xi]

такие, что 0 ≤∗S∆− S∆ < ε (здесь S∆ =

n∑i=1f (ξi)(xi − xi−1)).

По определению Mi при данном ε > 0 на [xi−1, xi] существуетξi ∈ [xi−1, xi] такая, что

0 ≤Mi − f (ξi) < ε/(b− a), i = 1, 2, . . . , n.

Умножая эти неравенства на ∆xi = xi−xi−1 и затем складывая,получим

0 ≤∗S∆− S∆ < ε.

Аналогично доказываются неравенства 0 ≤ S∆− S∗

∆ < ε.20.x Если разбиение ∆′ отрезка [a, b] получено путем

добавления новых точек к точкам разбиения ∆ этого отрезка,то S∗

∆ ≤ S∗

∆′,∗S∆′ ≤

∗S∆, т. е. нижняя сумма не убывает, а верхняя

– не возрастает при увеличении числа точек разбиения отрезка[a, b].

Доказательство. Очевидно, что данное свойство достаточнодоказать для случая, когда к разбиению ∆ добавляетсяодна точка. Пусть эта точка x′ ∈ [xi−1, xi] и пустьM ′

i = supx∈[xi−1,x′]

f (x), M ′′i = sup

x∈[x′,xi]

f (x), ∆x′i = x′ − xi−1,

∆x′′i = xi− x′,∗S∆′ – верхняя интегральная сумма по разбиению

∆′, полученному добавлением к точкам разбиения ∆ точкиx′. Заметим, что ∆xi = ∆x′i + ∆x′′i , Mi ≥ M ′

i , Mi ≥ M ′′i

и, что суммы∗S∆,

∗S∆′ отличаются лишь слагаемыми Mi∆xi и

M ′i∆x

′i + M ′′

i ∆x′′i . Учитывая все сказанное, получим∗S∆−

∗S∆′ = Mi∆xi − (M ′

i∆x′i + M ′′

i ∆x′′i ) = (Mi −M ′i)∆x

′i+

+(Mi −M ′′i )∆x′′i ≥ 0,

т. е.∗S∆′ ≤

∗S∆. Аналогично доказывается свойство и для нижних

интегральных сумм.30. Пусть ∆′ и ∆′′ – любые два разбиения отрезка [a, b].

ТогдаS∗

∆′ ≤∗S∆′′, S

∗∆′′ ≤

∗S∆′,

125

т. е. нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходитверхнюю сумму другого.

Доказательство. Очевидно, что для разбиения ∆ верно:

S∗

∆ ≤∗S∆. Пусть ∆ – разбиение [a, b], полученное объединением

разбиений ∆′ и ∆′′. Разбиение ∆ получено из разбиения ∆′

добавлением к нему точек разбиения ∆′′, поэтому по свойству20 имеем

S∗

∆′ ≤ S∗

∆ ≤∗S∆ ≤

∗S∆′.

В то же время разбиение ∆ может быть получено из разбиения∆′′ добавлением к нему точек разбиения ∆′. Поэтому

S∗

∆′′ ≤ S∗

∆ ≤∗S∆ ≤

∗S∆′′.

Из полученных неравенств следует, что

S∗

∆′ ≤∗S∆′′, S

∗∆′′ ≤

∗S∆′.

40. Множество ∗S∆ верхних сумм данной функции f (x)

для всевозможных разбиений отрезка [a, b] ограничено снизу.Множество S

∗∆ нижних сумм ограничено сверху.

Доказательство. Из свойства 30 следует, что любаяверхняя интегральная сумма ограничена снизу некоторойфиксированной нижней интегральной суммой. Любаянижняя интегральная сумма ограничена сверху некоторойфиксированной верхней интегральной суммой.

50. Пусть разбиение ∆′ отрезка [a, b] получено из разбиения∆ добавлением к последнему p новых точек. Тогда дляразностей

∗S∆−

∗S∆′ и S

∗∆′ − S

∗∆ может быть получена оценка

∗S∆−

∗S∆′ ≤ (M −m)pd(∆), S

∗∆′ − S

∗∆ ≤ (M −m)pd(∆),

где d(∆) = maxi

(xi − xi−1), M = supx∈[a,b]

f (x), m = infx∈[a,b]

f (x).

Доказательство. Очевидно, что это свойство достаточнодоказать для случая, когда к разбиению ∆ добавляется однаточка x′. Как и при доказательстве свойства 20, имеем

126

∗S∆−

∗S∆′ = (Mi −M ′

i)∆x′i + (Mi −M ′′

i )∆x′′i . Далее m ≤ M ′i ≤

Mi ≤ M и m ≤ M ′′i ≤ Mi ≤ M , поэтому Mi −M ′

i ≤ M −m иMi−M ′′

i ≤M −m.⇒∗S∆−

∗S∆′ ≤ (M −m)(∆x′i + ∆x′′i ) = (M −

m)∆xi. ∆xi ≤ d(∆), поэтому∗S∆−

∗S∆′ ≤ (M − m)d(∆). Таким

образом, мы доказали неравенство для верхних интегральныхсумм при p = 1. Неравенство для нижних интегральных суммдоказывается аналогично. x

По свойству 40 множества ∗S∆ и S

∗∆ ограничены

соответственно снизу и сверху, поэтому существуютinf∆∗S∆, sup

∆S∗

∆.

Определение 2. Числа I = inf∆∗S∆, I = sup

∆S∗

∆называются соответственно верхним и нижним интеграламиДарбу от функции f (x).

Замечание. I ≤ I .Доказательство. Пусть I > I . Тогда I − I = ε > 0. Из

определения точных граней I и I вытекает, что существуютчисла

∗S∆′, S

∗∆′′, представляющие собой соответственно верхнюю

и нижнюю суммы некоторых разбиений ∆′ и ∆′′ отрезка [a, b],такие, что I+ ε

2 >∗S∆′ и I− ε

2 < S∗

∆′′. Вычитая второе неравенство

из первого и учитывая, что I − I = −ε, получим S∗

∆′′ >∗S∆′. Но

это последнее неравенство противоречит свойству 30 верхних инижних сумм. Таким образом, I ≤ I .

Лемма Дарбу. I и I от функции f (x) по отрезку [a, b]являются соответственно пределами верхних и нижних суммпри d(∆)→ 0.

Доказательство. Докажем, например, что limd(∆)→0

∗S∆ = I .

Заметим, что если f (x) = c = const, то лемма очевидна, так какв этом случае M = m и, следовательно,

∗S∆ = I = I = S

∗∆ при

любом разбиении ∆. Учитывая это замечание, будем считать

127

M > m. I = inf∆∗S∆, поэтому для любого данного ε > 0

существует разбиение ∆′ отрезка [a, b] такое, что∗S∆′ − I <

ε

2. (1)

Обозначим p число точек разбиения ∆′, лежащих строговнутри [a, b]. Пусть ∆ – любое разбиение [a, b], удовлетворяющееусловию d(∆) < δ, где δ – положительное число, которое мывыберем позднее;

∗S∆ – верхняя сумма разбиения ∆. Добавим

к точкам разбиения ∆ внутренние точки разбиения ∆′. Врезультате получим разбиение ∆′′, верхняя сумма

∗S∆′′ которого

в силу свойства 50 и условия d(∆) < δ для ∆ удовлетворяетнеравенству

0 ≤∗S∆−

∗S∆′′ ≤ (M −m)pδ. (2)

Если теперь δ будет равным ε2(M−m)p, то из (2) получим

0 ≤∗S∆−

∗S∆′′ <

ε

2. (3)

В то же время разбиение ∆′′ получено добавлением к разбиению∆′ внутренних точек разбиения ∆. Поэтому, в силу свойства 20,

I ≤∗S∆′′ ≤

∗S∆′.

Отсюда следует, что 0 ≤∗S∆′′−I ≤

∗S∆′, т. е., согласно неравенству

(1),0 ≤

∗S∆′′ − I <

ε

2.

Складывая это неравенство с неравенством (3), получим

0 ≤∗S∆−I < ε. (4)

Таким образом, мы установили, что для любого данного ε > 0

существует δ > 0 такое, что если d(∆) < δ, то 0 ≤∗S∆−I < ε. Но

это значит, что limd(∆)→0

∗S∆ = I . Для нижних сумм доказательство

проводится аналогичным образом.128

§ 7.3 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕУСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ

ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ

Теорма. Для того, чтобы ограниченная на [a, b] функцияf (x) была интегрируемой на [a, b], необходимо и достаточно,чтобы для любой ε > 0 существовало разбиение ∆ отрезка [a, b],для которого

∗S∆− S

∗∆ ≤ ε.

Доказательство. Необходимость. Пусть f (x)

интегрируема на [a, b]. Обозначим I =b∫af (x)dx. По

определению 2 (см. § 7.1) для ∀ε > 0 ∃ δ > 0∀∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b):

d(∆) < δ ⇒ | S∆(ξi)− I| < ε/4, (1)

при любых ξi ∈ [xi−1, xi] (1) (здесь S∆(ξi) =n∑i=1f (ξi)(xi− xi−1) ).

Зафиксируем одно разбиение, для которого справедливо (1). Посвойству 10 для данного разбиения ∆ можно указать такие дветочки ξ′i и ξ′′i на каждом частичном отрезке [xi−1, xi], что

∗S∆− S∆(ξ′i) ≤ ε/4, S∆(ξ′′i )− S

∗∆ ≤ ε/4. (2)

Отметим, что обе интегральные суммы S∆(ξ′i), S∆(ξ′′i )удовлетворяют неравенству (1). Запишем∗S∆− S

∗∆ = (

∗S∆− S∆(ξ′i))+(S∆(ξ′i)−I)+(I−S∆(ξ′′i ))+(S∆(ξ′′i )−S

∗∆).

Отсюда и из неравенств (1), (2) вытекает, что∗S∆− S

∗∆ < ε.

Достаточность. Для любого разбиения ∆ справедливынеравенства S

∗∆ ≤ I ≤ I ≤

∗S∆, и для ∀ε > 0, согласно условию

129

теоремы, ∃ разбиение ∆ такое, что∗S∆− S

∗∆ ≤ ε. Поэтому

0 ≤ I−I ≤ ε. В силу произвольности ε имеем I = I . Обозначим

I = I = I . Докажем, что I =b∫af (x)dx. По лемме Дарбу имеем

limd(∆)→0

∗S∆ = I = lim

d(∆)→0S∗

∆ .

Поэтому для ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что при d(∆) < δ

справедливы неравенства I − S∗

∆ < ε/2,∗S∆−I < ε/2, т. е. при

d(∆) < δ,∗S∆− S

∗∆ < ε, причем

S∗

∆ ≤ I ≤∗S∆ . (3)

Для любого разбиения ∆ справедливы неравенства S∗

∆ ≤

S∆(ξi) ≤∗S∆, при любых ξi ∈ [xi−1, xi]. Поэтому из (3) следует,

что ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что при d(∆) < δ (| S∆(ξi) − I| < ε)при ∀ξi ∈ [xi−1, xi]. Согласно определению 2 (интегрируемой

функции) это означает, что I =b∫af (x)dx.

§ 7.4 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Если функция f (x) определена и ограниченана [a, b] и если для любого ε > 0 существует конечное числоинтервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции иимеющих общую сумму длин меньше ε, то f (x) интегрируемана [a, b].

Доказательство. Напомним старые и введем новыеобозначения:

M = supx∈[a,b]

f (x), m = infx∈[a,b]

f (x), Mi = supx∈[xi−1,xi]

f (x),

mi = infx∈[xi−1,xi]

f (x)

130

(здесь [xi−1, xi] – частичные множества некоторого разбиенияотрезка [a, b]), ωi = Mi − mi – колебание функции f (x) на[xi−1, xi]. Пусть Ω – множество точек разрыва функции f (x)и пусть дано ε > 0. Покроем Ω конечным числом интервалов(αi, βi), i = 1, . . . , l, имеющих общую сумму

l∑i=1

(βi − αi) <ε

2(M −m)

(покрытие Ω интервалами (αi, βi) означает Ω ⊂l⋃i=1

(αi, βi). Будем

считать, что интервалы (αi, βi) попарно не пересекаются. Итак,

[a, b] =

(l⋃i=1

(αi, βi)

)⋃(t⋃i=1

[α′i, β′i]

)

a=α′1 . . . β′i−1 α′i β′i α′i+1 . . . b=β′t

αi βi αi+1 βi+1

Разобьем каждый отрезок [α′i, β′i] так, чтобы колебание

ωi функции f (x) на любом частичном отрезке разбиениябыло меньше ε

2(b−a). Объединяя частичные отрезки разбиенияотрезков [α′i, β

′i] и интервалы (αi, βi), мы получим разбиение

∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) всегоотрезка [a, b]. Для этого разбиения слагаемые суммы

∗S∆− S

∗∆ =∑

k

ωk(xk − xk−1) разделим на две группы –∑k

′ωk(xk − xk−1) и∑k

′′ωk(xk−xk−1), причем в первую группу входят все слагаемые,

отвечающие частям разбиения ∆, образованным из интервалов(αi, βi), покрывающих точки разрыва, а во вторую – остальныеслагаемые.

Для слагаемых первой группы ωi ≤ M − m и∑′(xk −

xk−1) =l∑i=1

(βi−αi)< ε2(M−m). Поэтому

∑′ ωk(xk−xk−1) ≤

(M−m)∑′(xk−xk−1) < (M−m)ε

2(M−m) = ε2. Для слагаемых второй

группы ωi <ε

2(b−a). Поэтому∑′′ ωk(xk − xk−1) < ε

2(b−a)

∑′′(xk −131

xk−1) ≤ ε(b−a)2(b−a) = ε

2. Таким образом,∗S∆− S

∗∆ =∑k

ωk(xk−xk−1)=∑k

′ωk(xk−xk−1)+

∑k

′′ωk(xk−xk−1)<ε.

Следовательно, для функции f (x) выполнены достаточныеусловия интегрируемости.

Замечание 1. Ограниченная на [a, b] функция f (x),имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируемана [a, b]. Действительно, если p – число точек разрывафункции f (x), то достаточно покрыть каждую точку разрываинтервалом длины ε/2, где ε > 0, и мы получим, что всеточки разрыва функции f (x) покрываются конечным числоминтервалов, суммарная длина которых меньше ε. Возникаетвопрос. Существуют ли интегрируемые функции, имеющиебесконечное число точек разрыва? Оказывается, что такиефункции есть. Например, функция f (x), определенная на [0, 1]

f (x) =

1, если x ∈(

12n,

12n−1

], n = 1, 2, . . . ,

−1, если x ∈(

12n+1,

12n

], n = 1, 2, . . . , x = 0

.

Указанная функция имеет разрывы 1-го рода во всех точкахxn = 1

n, n = 2, 3, . . .. Фиксируем любое ε > 0. Покроем точкуx = 0 интервалом

(−ε

4,ε4

), внутри которого находится

бесконечное число, а вне - лишь конечное число p точек разрывафункции f (x). Каждую из точек, находящуюся вне интервала(−ε

4,ε4

), покроем интервалом длины меньше ε

2p. Сумма длининтервалов, покрывающих все точки разрыва функции f (x),будет меньше ε

2 + p · ε2p = ε. Следовательно, функция f (x)

интегрируема на [0, 1].Замечание 2. Любая непрерывная функция f : [a, b] → R

интегрируема на [a, b].Утверждение данного замечания является очевидным

следствием замечания 1.Докажем теорему об интегрируемости монотонных

функций, заданных на [a, b] (функция называется монотоннойна [a, b], если она не убывает или не возрастает на [a, b]).

Теорема 2. Монотонная на отрезке [a, b] функция f (x)интегрируема на [a, b].

132

Доказательство. Пусть f – не убывает на [a, b]; ε >0. Разобьем [a, b] на равные части, длины которых меньшеε/(f (b) − f (a)) (f (b) 6= f (a), так как в противном случае f =const).

∗S∆− S

∗∆ =

n∑i=1

(Mi −mi)∆xi <ε

f (b)− f (a)

n∑i=1

(Mi −mi),

но для неубывающих функцийn∑i=1

(Mi − mi) ≤ f (b) − f (a).

Поэтому∗S∆− S

∗∆ < ε. Следовательно, f интегрируема на [a, b].

Теорема 1 не дает ответа на вопрос о классе функций,интегрируемых по Риману. Отвечает на этот вопрос следующаятеорема.

Теорема Лебега. Для того, чтобы функция f былаинтегрируемой на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобыона была ограниченной на [a, b] и непрерывной всюду на [a, b],за исключением множества точек лебеговой меры нуль.

Доказательство этой теоремы слишком трудоемко, и мы егоне приводим.

По определению, множество E имеет лебегову мерунуль, если при любом ε > 0 существует покрывающая Eсчетная или конечная система интервалов, сумма длин которыхменьше ε. Например, конечное или счетное множество точекимеет лебегову меру нуль. В самом деле, пусть точки множестваперенумерованы: x1, x2, . . .. Покроем каждую из них интерваломтак, чтобы длина интервала, покрывающего точку xn, быламеньше, чем ε · 2−n. Сумма длин этих интервалов будет меньше,чем ε.

Заметим, что теорема 1 является частным случаем частидостаточности теоремы Лебега. Отличие состоит в том, что втеореме Лебега допускается покрытие множества точек разрыване только конечным набором интервалов, но и счетным.

§ 7.5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛАРИМАНА

10. Пусть функции f и g интегрируемы на [a, b], тогда на[a, b] интегрируемы функции: f (x)± g(x), f (x)g(x), λf (x), λ−

133

const, |f (x)|, f (x)/g(x), где |g(x)| ≥ d > 0. При этомb∫a

(f ±

g)dx =b∫afdx±

b∫agdx,

b∫aλfdx = λ

b∫afdx.

Доказательство. Возьмем произвольнуюпоследовательность разбиений ∆k = ∆k(a = x

(k)0 < x

(k)1 <

. . . < x(k)nk = b) такую, что d(∆k)→ 0 при k →∞.

Функции f и g интегрируемы, поэтому при любых ξ(k)i ∈

[x(k)i−1, x

(k)i ] существуют пределы

limd(∆k)→0

∑i

f (ξ(k)i )(x

(k)i − x

(k)i−1) =

b∫a

f (x)dx,

limd(∆k)→0

∑i

g(ξ(k)i )(x

(k)i − x

(k)i−1) =

b∫a

g(x)dx.

Из существования данных пределов следует существованиепредела

limd(∆k)→0

∑i

(f (ξ(k)i )±g(ξ

(k)i ))(x

(k)i −x

(k)i−1)=lim

d(∆k)→0

∑i

f (ξ(k)i )(x

(k)i −

−x(k)i−1)± lim

d(∆k)→0

∑i

g(ξ(k)i )(x

(k)i − x

(k)i−1) =

b∫a

f (x)dx±b∫

a

g(x)dx,

при любых ξ(k)i ∈ [x

(k)i−1, x

(k)i ].

Таким образом, функция f (x)±g(x) интегрируема на [a, b],и

b∫a

(f (x)± g(x))dx =

b∫a

f (x)dx±b∫

a

g(x)dx.

Подобным образомb∫

a

λf (x)dx= limd(∆k)→0

∑i

λf (ξ(k)i )(x

(k)i −x

(k)i−1)=

134

= λ limd(∆k)→0

∑i

f (ξ(k)i )(x

(k)i −x

(k)i−1) = λ

b∫a

f (x)dx.

Пусть ∆ = ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) – произвольноеразбиение отрезка [a, b]. Введем обозначения:

M if = sup

x∈[xi−1,xi]

f (x), mif = inf

x∈[xi−1,xi]f (x), Kf = sup

x∈[a,b]

|f (x)|.

Для произвольных ξi, ηi ∈ [xi−1, xi] имеем

|f (ξi)| − |f (ηi)| ≤ |f (ξi)− f (ηi)| ≤M if −mi

f , (1)

f (ξi)g(ξi)− f (ηi)g(ηi) = f (ξi)g(ξi)− f (ξi)g(ηi) + f (ξi)g(ηi)−−f (ηi)g(ηi) ≤ |f (ξi)||g(ξi)− g(ηi)| + |g(ηi)||f (ξi)− f (ηi)| ≤

≤ Kf(M ig −mi

g) + Kg(Mif −mi

f). (2)

1

g(ξi)− 1

g(ηi)=g(ηi)− g(ξi)

g(ξi)g(ηi)≤ 1

d2(M i

g −mig). (3)

Возьмем sup левых частей неравенств (1) и (3) по ξi, ηi ∈[xi−1, xi], умножим полученные числа на (xi − xi−1) ипросуммируем по i. В результате получим∑

i

(M i|f | −mi

|f |)(xi − xi−1) ≤∑i

(M if −mi

f)(xi − xi−1), (4)

∑i

(M i1/g −mi

1/g)(xi − xi−1) ≤ 1

d2

∑i

(M ig −mi

g)(xi − xi−1). (5)

Вследствие интегрируемости f и g (см. § 7.3) правые части (4) и(5) при надлежащем разбиении можно сделать меньшими ε, нотогда и левые части можно сделать меньшими ε. ⇒ Функции|f | и 1/g интегрируемы на [a, b].

Функции f и g интегрируемы на [a, b], поэтому существуютразбиения ∆1 и ∆2 отрезка [a, b] такие, что

∗S∆1

(f )− S∗

∆1(f ) < ε,

∗S∆2

(g)− S∗

∆2(g) < ε.

Пусть ∆ = ∆1 + ∆2, т. е. разбиение ∆ отрезка [a, b] состоитиз множества точек, являющегося теоретико-множественной

135

суммой множества точек, из которых состоят ∆1 и ∆2 (∆ =∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b)). Из свойства 20 нижних иверхних сумм (см. § 7.2) следует, что

∗S∆(f )− S

∗∆(f ) < ε,

∗S∆(g)− S

∗∆(g) < ε.

Взяв sup левой части неравенств (2) по ξi, ηi ∈ [xi−1, xi], умноживполученные числа на (xi−xi−1) и просуммировав по i, получим∑

i

(M ifg −mi

fg)(xi − xi−1) ≤ Kf

∑i

(M ig −mi

g)(xi − xi−1)+

+Kg

∑i

(M if −mi

f)(xi − xi−1) = Kf(∗S∆(g)− S

∗∆(g))+

+Kg(∗S∆(f )− S

∗∆(f )) < (Kf + Kg) < ε. (6)

Таким образом, можно указать такое разбиение ∆, что леваячасть (6) может быть сделана как угодно малой, что показывает:функция f (x) · g(x) интегрируема на [a, b].

Нетрудно показать теперь интегрируемость частногофункцией f (x)/g(x). Действительно, если f (x) и g(x)интегрируемы на [a, b] и |g(x)| ≥ d > 0, то, по доказанномувыше, интегрируема на [a, b] функция 1/g(x), а следовательно,функция f (x) · 1

g(x) = f (x)/g(x) также интегрируема на [a, b].Замечания:

1. Из интегрируемости |f (x)| не следует интегрируемость f (x).Например, рассмотрим функцию

f (x) =

1, если x ∈ Q

⋂[a, b],

−1, если x ∈ [a, b]\Q.

136

|f (x)| – интегрируема на [a, b], так как |f (x)| ≡ 1 на [a, b], вто время, как f (x) не интегрируема на [a, b] (см. пример сфункцией Дирихле из § 7.1).

2. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], афункция g(x) отличается от функции f (x) лишь в конечномчисле точек, то функция g(x) также интегрируема на

отрезке [a, b], причемb∫af (x)dx =

b∫ag(x)dx.

Доказательство. Пусть g(x) отлична от f (x) в точках xi ∈[a, b], i = 1, . . . , n. Введем на [a, b] функцию

ϕ(x) =

g(xi)− f (xi), если x = xi,0, если x 6= xi, i = 1, . . . , n.

Функция ϕ(x) интегрируема на [a, b] иb∫aϕ(x)dx = 0 (см. пример

§ 7.1). Очевидно, что g(x) = f (x) + ϕ(x). Из интегрируемостисуммы интегрируемых функций следует интегрируемость g(x)на [a, b] и равенство

b∫a

g(x)fx =

b∫a

f (x)dx +

b∫a

ϕ(x)dx =

b∫a

f (x)dx.

20. Имеет место равенствоb∫

a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx, a < c < b, (∗)

в том смысле, что если определена одна из его частей, тоопределена и другая и они равны.

Доказательство. Пусть функция f (x) интегрируема наотрезках [a, c] и [c, b]. Тогда существуют разбиения ∆1 и ∆2отрезков [a, c] и [c, b] соответственно такие, что

∗S∆1− S∗

∆1< ε/2,

∗S∆2− S∗

∆2< ε/2.

137

Объединяя разбиения ∆1 и ∆2, мы получим разбиение ∆ отрезка[a, b], для которого

∗S∆− S

∗∆ =

∗S∆1

+∗S∆2− S∗

∆1− S∗

∆2< ε.

Следовательно, функция f (x) интегрируема на [a, b]. Допустимтеперь, что f (x) интегрируема на [a, b]. Тогда для любого ε > 0существует разбиение ∆ отрезка [a, b] такое, что

∗S∆− S

∗∆ < ε. (7)

Будем считать, что точка c является делящей точкой разбиения∆. В противном случае мы ее просто добавляем к точкамразбиения ∆ и получаем более частое разбиение отрезка [a, b],для которого тем более будет справедливо (7) (см. свойство20 верхних и нижних сумм, § 7.2). Разбиение ∆ отрезка[a, b] порождает разбиения ∆1 и ∆2 отрезков [a, c] и [c, b]соответственно, при этом

∗S∆1− S∗

∆1< ε,

∗S∆2− S∗

∆2< ε.

Следовательно, согласно необходимому и достаточному условиюинтегрируемости функций (см. § 7.3), функция f будетинтегрируема на [a, c] и [c, b]. Пусть ∆k = ∆k(a = x

(k)0 < x

(k)1 <

. . . < x(k)n = b) – последовательность разбиений отрезка [a, b]

такая, что d(∆k) → 0. Точку c будем включать при любомk в число делящих точек разбиения ∆k (этого можно всегдалегко добиться). Тогда интегральная сумма функции f (x) на[a, b] будет равна сумме интегральных сумм функции f (x) наотрезках [a, c] и [c, b]:

S∆k(f ) = S∆1k

(f ) + S∆2k(f ).

Переходя к пределу при d(∆k)→ 0, мы получим равенство (∗).Замечание. Полезно расширить определение интеграла

Римана по отрезку на случай, когда a > b и a = b. Поопределению полагаем:

1.b∫af (x)dx = −

a∫b

f (x)dx, если a > b.

2.a∫af (x)dx = 0.

138

§ 7.6 СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА, ВКОТОРЫХ ФИГУРИРУЮТ НЕРАВЕНСТВА

10. Если f и g интегрируемы на [a, b] и f (x) ≤ g(x) (a ≤x ≤ b), то

b∫a

f (x)dx ≤b∫

a

g(x)dx.

Доказательство. Из условия следует:∑i

f (ξ(k)i )(x

(k)i − x

(k)i−1) ≤

∑i

g(ξ(k)i )(x

(k)i − x

(k)i−1), (1)

для любой последовательности разбиений ∆k = ∆k(a = x(k)0 <

x(k)1 < . . . < x

(k)n = b) такой, что d(∆k)→0. Переходя в (1) к

пределу при d(∆k)→ 0, получим требуемое неравенство.20.x Если f интегрируема на [a, b], то

|b∫

a

f (x)dx| ≤b∫

a

|f (x)| dx ≤ K(b− a),

где K = supx∈[a,b]

|f (x)|.

Доказательство. При любом x ∈ [a, b] :

−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|.

Поэтому из свойства 10 следует

−b∫

a

|f (x)|dx ≤b∫

a

f (x)dx ≤b∫

a

|f (x)|dx,

что равносильно неравенству

|b∫

a

f (x)dx| ≤b∫

a

|f (x)|dx. (2)

139

Для любых x ∈ [a, b] : |f (x)| ≤ K.b∫aKdx = K(b−a) (см. пример

1 из § 7.1), поэтомуb∫

a

|f (x)|dx ≤b∫

a

Kdx = K(b− a). (3)

Из (2) и (3) следует 20.30. Если f интегрируема на [a, b], f (x) ≥ 0 на [a, b] и f

непрерывна в точке x0 ∈ [a, b], причем f (x0) > 0, тоb∫af (x)dx >

0.Доказательство. f непрерывна в x0 и f (x0) > 0. ⇒

существует окрестность U(x0) такая, что f (x) ≥ λ > 0 дляx ∈ U(x0). Пусть для определенности x0 ∈ (a, b). Тогда U(x0) =(c, d), a < c < x0 < d < b, и

b∫a

f (x)dx =

c∫a

+

d∫c

+

b∫d

≥d∫c

f (x)dx ≥d∫c

λdx = λ(d− c) > 0.

40. (Теорема о среднем). Пусть f, ϕ интегрируемы на[a, b], ϕ ≥ 0 на [a, b]. Тогда

b∫a

f (x)ϕ(x)dx = λ

b∫a

ϕ(x)dx,

где m ≤ λ ≤ M (m = infx∈[a,b]

f (x), M = supx∈[a,b]

f (x)). Если, кроме

того, f непрерывна, то существует точка ξ ∈ [a, b] такая, чтоb∫

a

f (x)ϕ(x)dx = f (ξ)

b∫a

ϕ(x)dx.

Доказательство. ϕ(x) ≥ 0. ⇒ mϕ(x) ≤ f (x)ϕ(x) ≤Mϕ(x), x ∈ [a, b]. Интегрируя эти неравенства (см. свойство

140

10), имеем:

m

b∫a

ϕ(x)dx ≤b∫

a

f (x)ϕ(x)dx ≤M

b∫a

ϕ(x)dx.

Еслиb∫aϕ(x)dx = 0, то в качестве λ можно взять любое число из

отрезка [m,M ]. Если жеb∫aϕ(x)dx > 0, то

λ =

b∫a

f (x)ϕ(x)dx/

b∫a

ϕ(x)dx.

Пусть f непрерывна на [a, b]. ⇒ Существуют точки α и β ∈[a, b] такие, что m = f (α), M = f (β). Отсюда (опять же всилу непрерывности f на [a, b]) ⇒ существует точка ξ ∈ [α, β](здесь мы допускаем для определенности, что α < β), в которойфункция f достигает промежуточного значения λ(m ≤ λ ≤M),т. е. f (ξ) = λ. x.

§ 7.7 ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА

Теорема 1. Пусть f интегрируема на [a, b]. Тогда определенаи непрерывна на [a, b] функция

F (x) =

b∫a

f (t)dt, a ≤ x ≤ b.

Доказательство. Пусть K = supt∈[a,b]

|f (t)|. Тогда справедлива

оценка |F (x+h)−F (x)| = |x+h∫xf (t)dt| ≤ K|h|. Так какK|h| → 0

при h→ 0, то F будет непрерывна на [a, b].Заметим, что данное утверждение справедливо независимо

от того, имеет или нет f разрывы; важно, что f интегрируемана [a, b].

141

Рассмотрим теперь замечательное уточнение доказаннойтеоремы.

Теорема 2. Если f интегрируема на [a, b] и непрерывна в

точке x0 ∈ [a, b], то функция F (x) =x∫af (t)dt, a ≤ x ≤ b

дифференцируема в x0 и F ′(x0) = f (x0). Если же f непрерывнана (a, b), то F (x), a < x < b, будет первообразной для f (x), a <x < b.

Доказательство. Докажем сначала вторую частьутверждения теоремы. Пусть x ∈ [a, b]. F (x + h) − F (x) =x+h∫xf (t)dt =

x+h∫xf (x)dt +

x+h∫x

(f (t) − f (x))dt = f (x) · h +

+x+h∫x

(f (t)− f (x))dt. (∗)

Воспользуемся второй частью теоремы о среднемдля преобразования интервала из правой части(∗). В результате получим F (x + h) − F (x) == f (x)h + (f (x + θh) − f (x))h, где 0 < θ < 1. Так как f (x)непрерывна в любой точке x ∈ (a, b), то f (x+θh)−f (x)→ 0 приh → 0 и, следовательно, F (x + h) − F (x) = f (x)h + o(h), h →0. ⇒ F (x) дифференцируема в любой точке x ∈ (a, b) иF ′(x) = f (x), т. е. F (x) – первообразная для функции f (x).

Перейдем к доказательству первой части теоремы.Равенство (∗) остается:

F (x0 + h)− F (x0) = f (x0)h +

x0+h∫x0

(f (t)− f (x0))dt.

Очевидно, справедливы неравенства

m(h) · h ≤x0+h∫x0

(f (t)− f (t0))dt ≤M(h) · h,

где

m(h) = inft∈[x0,x0+h]

(f (t)− f (x0)), M(h) = supt∈[x0,x0+h]

(f (t)− f (x0)).

142

По теореме о среднем (1-я часть теоремы) имеем: inft∈[x0,x0+h]

(f (t)−

f (x0))dt = λ(h)x0+h∫x0

dt = λ(h)h, где m(h)≤λ(h)≤M(h).

Покажем, что λ(h) → 0 при h → 0. Если мы докажем,что M(h) → 0, m(h) → 0 при h → 0, то по "Свойствудвух милиционеров" и λ(h) → 0 при h → 0. Функция f (x)непрерывна в точке x0, поэтому ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что∀t(|t − x0| < 2δ ⇒ |f (t)−f (x0)|<ε/2). Если h такое, что |h|=δ,то отсюда следует: |M(h)| < ε.⇒ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что∀h(|h| < δ ⇒ |M(h)| < ε)⇒M(h)→ 0 при h→ 0. Аналогично:m(h)→ 0 при h→ 0.

Замечание. Понятие первообразной можно распространитьна случай, когда функция f (x) определена на [a, b].

Определение. Функция F (x) называется первообразнойфункции f : [a, b]→ R, если F ′(x) = f (x) для любых x ∈ [a, b](в точках a и b рассматриваются соответственно левая и праваяпроизводные функции F (x)).

После сделанного доопределения, второй части теоремы 2можно придать вид: "Если функция f (x) непрерывна на [a, b],

то F (x) =x∫af (t)dt является первообразной функции f (x) на

[a, b]." (доказательство теоремы при этом не изменяется).Таким образом, мы доказали, что произвольная

непрерывная на отрезке [a, b] функция f имеет на этом отрезкепервообразную, определенную равенством

F (x) =

x∫a

f (t)dt.

Этим доказано существование первообразной для всякойнепрерывной на отрезке функции.

§ 7.8 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Теорема 1 (Ньютона-Лейбница). Если f непрерывна на

[a, b] и Φ – произвольная ее первообразная, тоb∫af (t)dt = Φ(b)−

143

Φ(a).Доказательство. Пусть Φ – произвольная первообразная

для f . Тогда, согласно теореме 2 (см. §7.7), Φ(x) = F (x) + c,

где F (x) =x∫af (t)dt, c− const. Следовательно,

b∫a

f (t)dt = F (b)− F (a) = (F (b) + c)− (F (a) + c) = Φ(b)− Φ(a).

Замечание. Разность Φ(b) − Φ(a) обозначается символомΦ(t)|ba.

Формулу Ньютона-Лейбница можно обобщить.Предварительно приведем необходимые определения.

Определение 1. Функция f называется гладкой (на [a, b]),если1. f непрерывна на [a, b].2. Производная функции f ′ : (a, b) → R непрерывна, причем

существуют и конечные пределы limx→a+0

f ′(x), limx→b−0

f ′(x).

Определение 2. Непрерывная функция f :[a, b] → R называется непрерывной кусочно-гладкой,если существует разбиение a = x0 < x1 < . . .. . . < xn = b такое, что f – гладкая на каждом отрезке[xj−1, xj].

Примеры.

1. f (x) = |x|, x ∈ [−1, 1] – непрерывная кусочно-гладкаяфункция.

2. f (x) = arcsinx, x ∈ [−1, 1] – не непрерывная кусочно-гладкая функция, так как для этой функции пределы

limx→1−0

f ′(x), limx→−1+0

f ′(x) не являются конечными.

Упражнение. Доказать самостоятельно следующееутверждение: "Если f, g – гладкие (непрерывные кусочно-гладкие) на [a, b], то f ± g, f · g – гладкие (непрерывныекусочно-гладкие) функции на [a, b]" .

Замечание 1. Если функция f гладкая на [a, b], то f ′ :(a, b) → R допускает непрерывное продолжение на [a, b], т. е.

144

f ′ можно доопределить в точках a и b так, что f ′ : [a, b] → Rбудет непрерывной.

Доказательство. f : [a, b]→R является гладкой, поэтомуf ′ : (a, b)→R – непрерывна на (a, b) и существуют пределы

limx→a+0

f ′(x), limx→b−−

f ′(x). По определению функция называется

непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на (a, b),непрерывна слева в точке a и непрерывна справа в точкеb. Поэтому, доопределяя f ′ в точках a и b так, чтоf ′(a)= lim

x→a+0f ′(x), f ′(b)= lim

x→b−0f ′(x), мы добьемся непрерывности

f ′ на [a, b].Нетрудно показать, что lim

x→a+0f ′(x) и lim

x→b−0f ′(x) есть,

соответственно, производные справа в точке a и слева в точке bфункции f (x). Действительно,

limh→0+0

f (a + h)− f (a)

h= lim

h→0+0f ′(a + θh) = lim

x→a+0f ′(x)

(здесь 0 < θ < 1, и мы использовали формулу Лагранжаконечных приращений). Аналогично – для lim

x→b−0f ′(x).

Теорема 2.x Если F – непрерывная кусочно-гладкая на [a, b]функция, то

b∫a

F ′(x)dx = F (b)− F (a). (∗)

Прежде чем доказывать данную теорему, вы вынужденыраспространить понятие интеграла на функции, определенныене во всех точках отрезка [a, b]. Это нам необходимо, так какинтеграл слева в (∗) "плохо" определен: если a = x0 < x1 <. . . < xn = b – разбиение, фигурирующее в определении 2, тоF ′(x) не определена в точках xi.

Рассмотрим функцию f (x), определенную на [a, b] заисключением точек c1, . . . , cn. Пусть f (x) совпадает на [a, b] сf (x) в точках x 6= ci, i = 1, . . . , n, а в точках c1, . . . , cn принимаетпроизвольные числовые значения.

Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемойпо Риману на [a, b], если интегрируема по Риману на [a, b]

145

функция f (x), причем считаетсяb∫

a

f (x)dx =

b∫a

f (x)dx.

Замечание 2. Данное определение будет корректным, т. е.не будет зависеть от значений функции f (x) в точках c1, . . . , cn.

Действительно, пусть функция f1(x) = λ(1)i , если x = ci, а

f2(x) = λ(2)i , если x = ci. Очевидно,

f2(x) = f1(x) + ϕ(x),

где

ϕ(x) =

λ

(2)i − λ

(1)i , если x = ci

0, если x 6= ci, i = 1, . . . , n, x ∈ [a, b].

Функция ϕ(x) интегрируема на [a, b] иb∫aϕ(x)dx = 0. Если

f1(x) интегрируема, то f2(x) также интегрируема на [a, b] (см.замечание 2 § 7.5). Поэтому

b∫a

f2(x)dx =

b∫a

f1(x)dx +

b∫a

ϕ(x)dx =

b∫a

f1(x)dx.

Замечание доказано.Перейдем к доказательству теоремы 2. После определения

3b∫aF ′(x)dx будет вполне корректно определен (полагаем, что

F ′(x) определена в точках xi произвольно). Используя свойстваинтеграла Римана, запишем

b∫a

F ′(x)dx =n∑i=1

xi∫xi−1

F ′(x)dx. (1)

146

F (x) – непрерывная кусочно-гладкая на [a, b] функция,поэтому, согласно замечанию 1, F ′(x) допускает непрерывноепродолжение на [xi−1, xi] при любом i = 1, . . . , n, т. е.

xi∫xi−1

F ′(x)dx =

xi∫xi−1

F ′(x)dx,

гдеF ′(xi) = lim

x→xi−0F ′(x), F ′(xi−1) = lim

x→xi−1+0F ′(x)

и функция F ′(x) является непрерывной на [xi−1, xi] при любомi = 1, . . . , n.

К интеграламxi∫

xi−1

F ′(x)dx

применим формулу Ньютона-Лейбница:xi∫

xi−1

F ′(x)dx = F (xi)− F (xi−1) = F (xi)− F (xi−1). (2)

Из (1) и (2) следуетb∫

a

F ′(x)dx =n∑i=1

(F (xi)− F (xi−1)) = F (b)− F (a).

Что и требовалось доказать. xПримеры.

1.1∫0

arcsinxdx = π2 − 1.

Решение: Найдем первообразную дляarcsinx, x ∈ (0, 1).

∫arcsinxdx =

= x arcsinx −∫

xdx√1−x2

= x arcsinx +√

1− x2 + c = F (x).Функция arcsinx – непрерывна на [0, 1], поэтому (потеореме 1 из § 7.7) F (x) – непрерывна на [0, 1]. Функция

147

F (x) известна нам на (0, 1). Используя ее вид на (0, 1)и ее непрерывность на [0, 1], определим F (0) = F (0 + 0),F (1) = F (1− 0). Далее, по формуле Ньютона-Лейбница,имеем

1∫0

arcsinxdx = F (1)− F (0) = F (1− 0)− F (0 + 0) =π

2− 1.

2.2∫0

|1− x|dx = 1.

Решение: Так как |1 − x| =

1− x, если 0 ≤ x ≤ 1,x− 1, если 1 < x ≤ 2

, то

мы разбиваем исходный интеграл на два интеграла:2∫

0

|1− x|dx =

1∫0

|1− x|dx +

2∫1

|1− x|dx =

=

1∫0

(1− x)dx +

2∫1

(x− 1)dx.

Далее, применяя к каждому из интегралов формулуНьютона-Лейбница, получим

2∫0

|1− x|dx = −(1− x)2

2

∣∣∣∣10

+(x− 1)2

2

∣∣∣∣∣2

1

=1

2+

1

2= 1.

3.b∫a

sgnxdx = |b| − |a|.

Решение: По обобщенной формуле Ньютона-Лейбница

имеемb∫a

sgnxdx = |x|∣∣∣∣ba

= |b| − |a|, так как |x|′ = sgnx.

148

§ 7.9 ОБЩИЕ ПРИЕМЫИНТЕГРИРОВАНИЯ

10. (Формула интегрирования по частям). Пусть f и g –непрерывные кусочно-гладкие на [a, b] функции. Тогда

b∫a

f (x)g′(x)dx = f (x)g(x)|ba −b∫

a

f ′(x)g(x)dx.

Доказательство. f (x), g(x) – непрерывные кусочно-гладкиена [a, b] функции.⇒ f (x) · g(x) – непрерывная кусочно-гладкаяна [a, b] функция.⇒ f (x) · g(x) имеет на [a, b], за исключениемконечного числа точек, непрерывную производную (f (x)g(x))′ =f (x)g′(x) + f ′(x)g(x). По обобщенной формуле Ньютона-Лейбница, имеем

b∫a

(f (x)g(x))′dx = f (x)g(x)

∣∣∣∣ba

.

Отсюда следует

f (x)g(x)

∣∣∣∣ba

=

b∫a

(f (x)g′(x) + f ′(x)g(x))dx =

=

b∫a

f (x)g′(x)dx +

b∫a

f ′(x)g(x)dx. (1)

Заметим, что функции f (x)g′(x), f ′(x)g(x) – интегрируемы на[a, b], так как f и g являются, по условию, непрерывнымикусочно-гладкими на [a, b] функциями. Из (1) следует требуемоеравенство:

b∫a

f (x)g′(x)dx = f (x)g(x)

∣∣∣∣ba

−b∫

a

f ′(x)g(x)dx.

149

20. (Формула замены переменной). Пусть f : [a, b] → Rнепрерывная, а ϕ – непрерывная кусочно-гладкая на [c, d]функция, причем ϕ(c) = a, ϕ(d) = b и определена суперпозицияf ϕ. Тогда

b∫a

f (x)dx =

d∫c

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

Доказательство. Пусть F (x) – первообразная функции f иразбиение c = t0 < t1 < . . . < tn = d такое, что ϕ(t) – гладкаяна каждом отрезке [ti−1, ti]. Тогда d

dtF (ϕ(t)) = f (ϕ(t))ϕ′(t), t ∈(ti−1, ti), и, следовательно,

b∫a

f (x)dx = F (b)− F (a) = F (ϕ(d))− F (ϕ(c)) =n∑i=1

[F (ϕ(ti))−

−F (ϕ(ti−1))] =n∑i=1

ti∫ti−1

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

d∫c

f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

§ 7.10 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯИНТЕГРАЛА РИМАНА

x I. Формула Тейлора с остатком в интегральной форме.Пусть f : (α, β) → R, α < a < β и f (n) – непрерывна на

отрезке [a, x] ⊂ (α, β) (или [x, a] ⊂ (α, β)). Тогда

f (x) =n−1∑k=0

1

k!f (k)(a)(x− a)k +

1

(n− 1)!

x∫a

f (n)(t)(x− t)n−1dt. (∗)

(Величина rn(x) = 1(n−1)!

x∫af (n)(t)(x − t)n−1dt называется

остатком в интегральной форме).

Доказательство. Мы имеем: f (x) − f (a) =x∫af ′(t)dt =

tf ′(t)

∣∣∣∣xa

−x∫af ′′(t)tdt = xf ′(x) − af ′(a) + xf ′(a) − xf ′(a) −

150

x∫af ′′(t)tdt = f ′(a)(x − a) + x

x∫af ′′(t)dt −

x∫af ′′(t)tdt = f ′(a)(x −

a) +x∫af ′′(t)(x − t)dt. Таким образом, формула (∗) справедлива

для n = 1, 2. Пусть она справедлива для всех k ≤ n− 1. Тогда

f (x) =n−2∑k=0

1

k!f (k)(a)(x−a)k+

1

(n− 2)!

x∫a

f (n−1)(t)(x−t)n−2dt. (2)

Интегрируя по частям интеграл в правой части, имеем:x∫a

f (n−1)(t)(x−t)n−2dt=− 1

n−1f (n−1)(t)(x−t)n−1

∣∣∣∣xa

+

+1

n−1

x∫a

(x−t)n−1f (n)(t)dt=

=1

n− 1f (n−1)(a)(x− a)n−1 +

1

n− 1

x∫a

f (n)(t)(x− t)n−1dt. (3)

Из (2) и (3) следует формула (∗).Замечание. Используя интегральную форму остаточного

члена формулы Тейлора, легко получить остаточный членформулы Тейлора в форме Лагранжа.

Действительно, используя теорему о среднем, получим1

(n−1)!

x∫af (n)(t)·(x−t)n−1dt = f (n)(ξ)

(n−1)!

x∫a

(x−t)n−1dt = −f (n)(ξ)(n−1)!

(x−t)nn

∣∣∣∣xa

=

f (n)(ξ)n! (x − a)n, где ξ = a + θ(x − a), 0 < θ < 1. Полученное

выражение и представляет собой остаточный член в формеЛагранжа. x

II. Геометрические приложения.10 (Площадь криволинейной трапеции).Рассмотрим криволинейную трапецию, т. е. фигуру типа

изображенной на рис. 1.

151

6

-0 x

y

Рис. 1

y = f(x)

S

a b

Мы уже видели (см. § 7.1), что площадь S данной фигурыравна

S =

b∫a

f (x)dx. (∗1)

Замечание. При формальном использовании формулы (∗1)для площади может получиться отрицательное значение (см.рис. 2).

6

-0 x

y

ab

Рис. 2

g+ g−y = f(x)

20 (Площадь плоской фигуры в полярной системекоординат).

Рассмотрим фигуру, ограниченную двумя выходящими изполярного полюса 0 лучами θ = α, θ = β и кривой, заданнойв полярных координатах непрерывной функцией r = r(θ), α <θ < β (см. рис. 3).

-0 x

r = r(θ)

((((((((

((β

Рис. 3

α

152

Площадь S данной фигуры может быть определенаследующим образом (см. рис. 4). Произведем разбиение отрезка[α, β] изменения θ : ∆(α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β).

-0 x

(((((((

(((

Рис. 4

q qq q q

θ1

ξ1

θ2ξ2θ3pppqθn−1

ξnθn

Элемент площади фигуры, ограниченной кривой r =r(θ) и лучами θ = θk−1, θ = θk, приближенно выражаемплощадью кругового сектора, ограниченного теми же лучамии окружностью радиуса rk = r(ξk) (ξk ∈ (θk, θk−1)), равной12r

2(ξk)(θk − θk−1). По определению полагаем

S = limd(∆)→0

n∑1

1

2r2(ξk)∆θk,

где ∆θk = θk − θk−1.Так как r = r(θ) непрерывна на отрезке [α, β] изменения θ, то

S =1

2

β∫α

r2(θ)dθ. (∗2)

30 (Длина плоской кривой).Длиной l кривой Γ естественно назвать предел длин

ломаных, вписанных в кривую, когда набольшее расстояниемежду соседними узлами ломаной стремится к 0. Пусть Γ –график непрерывной кусочно-гладкой функции y = f (x), x ∈[a, b]. Каждая вписанная ломаная характеризуется некоторымразбиением ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b), так что длина i-тогозвена li =

√(xi − xi−1)2 + (f (xi)− f (xi−1))2 (см. рис. 5).

6

-0 x

y

Рис. 5a xi−1 xi b

f(xi−1)

f(xi)

y = f(x)

Γ

153

Введем функцию ψ(x) =√

1 + f ′(x)2, x ∈ [a, b],имеющую на [a, b] не более конечного числа точекразрыва. По формуле конечных приращений Лагранжаli =

√1 + (f ′(xi−1 + θ(xi − xi−1)))2 · (xi − xi−1) = ψ(xi−1 +

θ(xi − xi−1))(xi − xi−1), 0 < θ < 1. l = limd(∆)→0

n∑i=1li =

limd(∆)→0

n∑i=1

√1 + f ′(ξi)2(xi − xi−1) = lim

d(∆)→0S∆(ψ), ξi = xi−1 +

θ(xi − xi−1). f – непрерывная кусочно-гладкая на [a, b].⇒ f ′ –интегрируема на [a, b]. ⇒ ψ ==

√1 + (f ′)2 – интегрируема на

[a, b].⇒ limd(∆)→0

S∆(ψ) существует при ∀ ξi.⇒

l =

b∫a

ψ(x)dx =

b∫a

√1 + f ′(x)2dx. (∗3)

x 40 (Площадь поверхностного тела вращения).Пусть y = f (x) (x ∈ [a, b]) – непрерывная кусочно-

гладкая функция (для определенности пусть f (x) ≥ 0). Найдемσ – площадь поверхности, полученной вращением графика Γ(функции f) вокруг оси 0X (см. рис. 6).

6

-0

y

xxi−1 xi

(xi, f(xi))

Рис. 6

Пусть ∆(a = x0 < x1 < . . . < xn = b) – разбиение [a, b].Заменим Γ на ломаную с узлами в точках (xi, f (xi)). Площадьσ аппроксимируется площадью поверхности, возникающей привращении ломаной. Часть поверхности вращения ломаной,

154

заключенной между узлами (xi−1, f (xi−1)), (xi, f (xi)), естьбоковая поверхность усеченного конуса, и ее площадь σi равна

σi = π(f (xi) + f (xi−1))√

(xi − xi−1)2 + (f (xi)− f (xi−1))2 =

= π(f (xi) + f (xi−1))√

1 + f ′(ξi)2 (xi − xi−1), xi−1 ≤ ξ ≤ xi.

Отсюда искомая площадь

σ =limd(∆)→0

∑i

σi =limd(∆)→0

πn∑i=1

(f (xi)+f (xi−1))√

1 + f ′(ξi)2 (xi−xi−1).

(4)Для вычисления σ преобразуем правую часть (4).

n∑i=1

σi = 2πn∑i=1

f (ξi)√

1 + f ′(ξi)2(xi − xi−1︸ ︷︷ ︸∑′+

+ πn∑i=1

[(f (xi)− f (ξi)) + (f (xi−1)− f (ξi))]√

1 + f ′(ξi)2(xi − xi−1)︸ ︷︷ ︸∑′′.

Сумма∑′ есть интегральная сумма для функции

2πf (x)√

1 + f ′(x)2. Следовательно,

limd(∆)→0

∑′

= 2π

b∫a

f (x)√

1 + f ′(x)2dx.

Покажем, что limd(∆)→0

∑′′ = 0. Пусть K = supx∈[a,b]

√1 + f ′(x)2.

Тогда |f ′(x)| ≤√

1 + f ′(x)2 ≤ K, и применение формулыконечных приращений Лагранжа дает∣∣∣∑′′∣∣∣ = π

∣∣∣∣∣n∑i=1

[f ′(ηi)(xi − ξi) + f ′(ζi)(ξi − xi−1)]√

1 + f ′(ξi)2·

·(xi − xi−1)| ≤ πK2n∑i=1

(xi − xi−1)2 ≤ πK2(b− a)d(∆).

155

Отсюда следует, что limd(∆)→0

∑′′ = 0. Окончательно получаем

формулу площади поверхности тела вращения:

σ = 2π

b∫a

f (x)√

1 + f ′(x)2dx. (∗4)

50 (Объем тела по поперечным сечениям).Рассмотрим тело, содержащееся между плоскостями

x = a, x = b, и станем рассекать его плоскостями,перпендикулярными к оси 0X (см. рис. 7).

6

-0

y

x

Рис. 7

xi−1 xiba

S(xi−1)

Допустим, что все эти сечения имеют площадь, и пустьплощадь сечения, отвечающего абсциссе x, – обозначим ее S(x)– будет непрерывной функцией от x, x ∈ [a, b]. Вычислим объемданного тела. Произведем разбиение отрезка [a, b] : ∆(a = x0 <x1 < . . . < xn = b). Элемент ∆Vi объема тела, ограниченногоплоскостями x = xi−1, x = xi, приближенно равен объемуцилиндра высоты ∆xi = xi − xi−1 с площадью основанияS(xi−1) :

∆Vi ≈ S(xi−1)∆xi.

Величинаn∑i=1

∆Vi ≈ V и является интегральной суммой

функции S(x), которая, в силу своей непрерывности, являетсяинтегрируемой на [a, b].

156

Таким образом,

V = limd(∆)→0

n∑i=1

S(xi−1)∆xi =

b∫a

S(x)dx. (∗5)

60 (Объем тела вращения).Рассмотрим тело, ограниченное плоскостями x = a, x = b

и поверхностью вращения кривой Γ вокруг оси 0X (см. рис. 8).

6

-0

y

xa bxi−1 xi

Рис. 8

(Γ – график функции y = f (x), x ∈ [a, b], причем f (x) ≥ 0).Вычислим объем V данного тела вращения.

Произведем разбиение отрезка [a, b] на частиa=x0 < x1 < . . . < xn=b. Пусть ∆Vi – элемент объема V ,ограниченный плоскостями x = xi−1, x = xi. Будем считать,что ∆Vi приближенно равен объему цилиндра высоты∆xi = xi − xi−1 и радиуса yi−1 = f (xi−1) :

∆Vi ≈ πy2i−1∆xi = πf 2(xi−1)∆xi.

Отсюда следует:

V = limmaxi

∆xi→0π

n∑i=1

f 2(xi−1)∆xi = π

b∫a

f 2(x)dx − (∗6)

– формула объема тела вращения. xПримеры.

1. Даны эллипс x2

a2 + y2

b2 = 1 и точка M(x, y) на нем (см. рис. 9).

157

6

-0 x

y

S

B M

K

Рис. 9Необходимо найти площадь криволинейной трапецииBOKM . Из уравнения эллипса имеем

y =b

a

√a2 − x2.

Так что по формуле (∗1)

S =

x∫0

b

a

√a2 − x2dx =

ab

2arcsin

x

a+

b

2ax√a2 − x2 =

=ab

2arcsin

x

a+xy

2.

2. Найдем площадь окружности радиуса R, используяформулу (∗2). Из рис. 10 видно, что изображенная на немокружность определяется уравнением r = 2R cos θ, −π

2 ≤θ ≤ π

2 .

-q

θ0 R

Рис. 10Поэтому, в силу (∗2), ее площадь равна

S = 2R2

π2∫

−π2

cos2 θdθ = 4R2

π2∫

0

1 + cos 2θ

2dθ = πR2.

158

3. Дана парабола: y = x2

2p. Найти длину l кривой Γ – графикданной параболы при изменении x от 0 до a. По формуле(∗3) имеем

l =1

p

a∫0

√x2 + p2dx =

1

p

[1

2x√x2 + p2+

p2

2ln(x+

√x2 + p2

]∣∣∣∣a0

=

=a

2p

√a2 + p2 +

p

2lna +

√a2 + p2

p.

4. Рассмотрим параболу y = x2, x ∈ [0, 1]. Площадьповерхности вращения куска данной параболы вычисляетсяпо формуле (∗4):

S = 2π

1∫0

x2√

1 + 4x2dx.

(Полученный интеграл предлагается вычислитьсамостоятельно).

5. Вычислить объем V кругового конуса с радиусом основанияr и высотой h (см. рис. 11).

6

-0

y

x

HHHH

HHHHHHH

HHHHHH

H

h

Рис. 11

r

Проведем перпендикулярно оси конуса, которая совпадаетс осью x, секущую плоскость. Площадь сечения

159

S(x) = π( rhx)2. По формуле (∗5) имеем

V = π

h∫0

(r

hx)2dx =

πr2

h2· x

3

3

∣∣∣∣h0

=1

3πr2h.

160

Глава 8НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ§ 8.1 Определения несобственных интегралов и некоторые

общие свойства несобственных интегралов.§ 8.2 Несобственные интегралы от неотрицательных

функций.§ 8.3 Интегрирование по частям.§ 8.4 Несобственный интеграл и ряд.§ 8.5 Несобственный интеграл с особенностями в нескольких

точках.

§ 8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХИНТЕГРАЛОВ И НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХИНТЕГРАЛОВ

Определение 1. Выражениеb∫af (x)dx называется

интегралом (от f) с особенностью в точке b, если выполняютсяследующие условия:

1. b – конечная точка; функция f интегрируема на [a, b′] прилюбом b′ ∈ (a, b); f не ограничена в окрестности точки b.

2. b = +∞; функция f интегрируема на [a, b′] при любомb′ > a.

Замечание. Аналогично интегралуb∫af (x)dx, с

особенностью в точке b, определяется интеграл с особенностьюв точке a. Только теперь:

1. a – конечная точка; если a < b, то f интегрируема на любом[a′, b], где a < a′ < b и не ограничена в окрестности точки a.

2. a = −∞; f интегрируема на любом [a′, b], a′ < b.

161

Определение 2. Еслиb∫af (x)dx имеет особенность в точке

b (согласно определению 1(1)) и если существует предел

limb′→b

b′∫af (x)dx, то этот предел называется несобственным

интегралом от f на [a, b] и записывается в виде:+∞∫a

f (x)dx = limb′→b

b′∫a

f (x)dx,

при этом говорят, что интеграл+∞∫af (x)dx сходится

(существует). В противном случае говорят, что он расходится(не существует).

Замечание. Функция f в обычном смысле (Римана) неинтегрируема на [a, b], так как она не определена в окрестноститочки b.

Определение 3. Еслиb∫af (x)dx имеет особенность в точке

b (согласно определению 1(2)) и если существует предел

limb′→+∞

b′∫af (x)dx, то этот предел называется несобственным

интегралом отf на [a,+∞) и записывается в виде:b∫

a

f (x)dx = limb′→+∞

b′∫a

f (x)dx,

при этом говорят, что интеграл∞∫af (x)dx сходится (существует).

В противном случае говорят, что он расходится (не существует).Замечание. Аналогичным образом определяется

несобственный интеграл с особенностью в точке a (a – конечнаяточка, a = −∞):

b∫a

f (x)dx = lima′→a

b∫a′

f (x)dx,

162

b∫−∞

f (x)dx = lima′→−∞

b∫a′

f (x)dx.

Для определения везде в дальнейшем мы будем рассматриватьb∫af (x)dx с единственной особенностью в точке b, конечной или

бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесенына случай интеграла с единственной особенностью в точке a.

Примеры.

1.1∫0

dxxα , где α > 0 постоянное число. Данный интеграл

имеет единственную особенность в точке x = 0. Вычислим

предел limε→0

1∫ε

dxxα = lim

ε→0

11−α ·

1xα−1

∣∣∣∣1ε

= lim 11−α(1 − ε1−α) =

=

11−α, если α < 1,+∞, если α > 1.

limε→0

1∫ε

dxx = − lim

ε→0ln ε = +∞.

Таким образом,1∫0

dxxα сходится при α < 1 и равен (α− 1)−1 и

расходится при α ≥ 1.

2.∞∫1

dxxα = lim

N→+∞

N∫1

dxxα = 1

1−α limN→∞

x1−α∣∣∣∣N1

=

1α−1, если α > 1,+∞, если α < 1.

∞∫1

dxx = lim

N→∞

N∫1

dxx = lim

N→∞lnN = +∞.

Таким образом,∞∫1

dxxα сходится при α > 1 и равен (α− 1)−1 и

расходится при α ≤ 1.

Теорема 1 (Критерий Коши). Пусть заданb∫af (x)dx с

единственной особенностью в точке b. Для существованияданного интеграла необходимо и достаточно выполнение

163

следующего условия: ∀ ε > 0 ∃ b0 < b ∀ b′, b′′

(b0 < b′ < b′′ < b): ∣∣∣∣b′′∫b′

f (x)dx

∣∣∣∣< ε.

Доказательство. Рассмотрим функцию F (x) =x∫af (t)dt,

a < x < b. Существованиеb∫af (t)dt эквивалентно существо-

ванию limx→b−0

F (x), что, в свою очередь, эквивалентно

выполнению условия Коши: ∀ ε > 0 ∃ b0 < b∀ b′, b′′ (b0 <b′ < b′′ < b):

|F (b′′)− F (b′)| < ε.

Так как F (b′′)− F (b′) =b′′∫b′f (t)dt, то теорема доказана.

Замечание. Пусть заданb∫af (x)dx, имеющий единственную

особенность в точке b. Тогдаb∫cf (x)dx, где a < c < b, также

имеет единственную особенность в точке b, и так как условиекритерия Коши для приведенных интегралов формулируетсясовершенно одинаково, то они или одновременно сходятся илиодновременно расходятся.

Теорема 2. Если интегралыb∫af (x)dx,

b∫aϕ(x)dx

сходятся (особенность в точке b), то сходится также

интегралb∫a

(Af (x) + Bϕ(x))dx (A,B – постоянные) и

справедливо равенствоb∫a

(Af (x) + Bϕ(x))dx = Ab∫af (x) +

+Bb∫aϕ(x)dx.

164

Доказательство.b∫a

(Af (x)+Bϕ(x))dx = limb′→b

b′∫a

(Af+Bϕ)dx =

= A limb′→b

b′∫afdx + B lim

b′→b

b′∫aϕdx = A

b∫af (x) + B

b∫aϕ(x)dx.

Определение 4.b∫af (x)dx (имеющий особенность в точке b)

сходится абсолютно, если сходится интегралb∫a|f (x)|dx.

Теорема 3. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

Доказательство. Из сходимостиb∫a|f |dx следует: ∀ ε >

0 ∃ b0 ∈ (a, b)∀ b′, b′′(b0 < b′ < b′′ < b):

b′′∫b′

|f (x)|dx < ε.

Отсюда, так как∣∣∣∣ b′′∫b′f (x)dx

∣∣∣∣≤ b′′∫b′|f (x)|dx, следует

∣∣∣∣ b′′∫b′f (x)dx

∣∣∣∣< ε.

Мы получили, что дляb∫af (x)dx выполняется условие критерия

Коши, а значит, он сходится.Замечание. Для абсолютно сходящегося интеграла

b∫af (x)dx справедливо неравенство:

∣∣∣∣b∫

a

fdx

∣∣∣∣≤b∫

a

|f |dx.

Действительно,∣∣∣∣ b′∫afdx

∣∣∣∣≤ b′∫a|f |dx. После перехода к пределу при

b′ → b получим нужное неравенство.

165

§ 8.2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТНЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть f (x) ≥ 0 на [a, b] иb∫af (x)dx имеет единственную

особенность в точке b. Тогда функция F (b′) =b′∫af (x)dx (a < b′ <

b) от b′ не убывает, и, следовательно, если F (b′) ≤M ∀ b′ ∈ (a, b),то существует интеграл

b∫a

f (x)dx = limb′→b

b′∫a

f (x)dx ≤M.

Если же F (b′) не ограничена, то интеграл расходится:b∫

a

f (x)dx = limb′→b

b′∫a

f (x)dx = +∞.

При этом пишут (только в случае f (x) ≥ 0 на [a, b) ):b∫

a

f (x)dx <∞, если интеграл сходится;

b∫a

f (x)dx = +∞, если интеграл расходится;

Теорема 1. Пусть интегралы

b∫a

f (x)dx,

b∫a

ϕ(x)dx

имеют единственную особенность в точке b и на [a, b)справедливо неравенство

0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x).

166

Тогда из сходимостиb∫aϕ(x)dx следует сходимость

b∫af (x)dx и

справедливо неравенствоb∫

a

f (x)dx ≤b∫

a

ϕ(x)dx,

а из расходимостиb∫af (x)dx следует расходимость

b∫aϕ(x)dx.

Доказательство. Из неравенства f (x) ≤ ϕ(x) следует, чтодля любых b′ ∈ (a, b):

b′∫a

f (x)dx ≤b′∫a

ϕ(x)dx.

Если теперьb∫aϕ(x)dx сходится, то

b′∫af (x)dx ≤

b∫aϕ(x)dx, а так

какb′∫af (x)dx при возрастании b′ не убывает, то lim

b′→b

b′∫af (x)dx =

b∫af (x)dx ≤

b∫aϕ(x)dx. Если же

b∫af (x)dx расходится, т. е.

limb′→b

b′∫af (x)dx = +∞, то lim

b′→b

b′∫aϕ(x)dx = +∞.

Теорема 2. Пусть интегралыb∫af (x)dx,

b∫aϕ(x)dx имеют

единственную особенность в точке b; f (x), ϕ(x) > 0 на [a, b)и существует предел

limx→b

f (x)

ϕ(x)= A > 0. (1)

Тогда эти интегралы одновременно сходятся или одновременнорасходятся.

Доказательство. Из (1) следует, что для∀ ε > 0 ∃ c ∈ [a, b)такое, что

A− ε < f (x)

ϕ(x)< A + ε, (c < x < b).

167

Отсюда, так как ϕ(x) > 0, следует

(A− ε)ϕ(x) < f (x) < (A + ε)ϕ(x), (c < x < b). (2)

Из сходимостиb∫aϕ(x)dx⇒ сходимость

b∫cϕ(x)dx,⇒ сходимость

b∫c

(A + ε)ϕ(x)dx,⇒ (по теореме 1)⇒ сходимостьb∫cf (x)dx,⇒

сходимостьb∫af (x)dx. Далее, пусть сходится

b∫af (x)dx,⇒

сходимостьb∫cf (x)dx,⇒ сходимость

b∫c

(A − ε)ϕ(x)dx, ⇒

сходимостьb∫cϕ(x)dx,⇒ сходимость

b∫aϕ(x)dx.

Замечание 1. Теорема 2 может быть обобщена следующимобразом. Пусть f (x) и ϕ(x) удовлетворяют условиям теоремы 2 иψ(x) – непрерывная и неотрицательная на [a, b) функция. Тогда

интегралыb∫af (x)ψ(x)dx и

b∫aϕ(x)ψ(x)dx одновременно сходятся

или одновременно расходятся.Доказательство замечания 1 следует из неравенства

(A− ε)ϕ(x)ψ(x) ≤ f (x)ψ(x) ≤ (A + ε)ϕ(x)ψ(x),

которое вытекает из неравенства (2).

Замечание 2. Если в теореме 2 A = 0, то сходимостьb∫aϕ(x)dx влечет сходимость

b∫af (x)dx.

Доказательство. Из (2) при A = 0 получаем

f (x) < ε ϕ(x), (c < x < b).

Из этого неравенства следует утверждение замечания 2.Замечание 3. В теореме 2 можно считать, что только одна

из функций f (x) или ϕ(x) положительна на [a, b).Доказательство. Из (2), так как ε < A, следует, что если

ϕ(x) > 0, то и f (x) > 0, а также наоборот: если f (x) > 0, то иϕ(x) > 0.

168

§ 8.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть на [a,∞) заданы непрерывные функции ϕ(x), ψ(x),причем ψ(x) имеет непрерывную производную. Нас интересуют

достаточные признаки существования интеграла∞∫aϕ(x)ψ(x)dx,

для вычисления которых мы проделаем следующее:N∫a

ϕ(x)ψ(x)dx = ψ(N)φ(N)− ψ(a)φ(a)−N∫a

ψ′(x)φ(x)dx,

где φ(x) – произвольная первообразная от ϕ(x); a < N < ∞.Очевидно, что если существует несобственный интеграл

∞∫a

ψ′(x)φ(x)dx = A (1)

и существует предел

limx→+∞

ψ(x)φ(x) = B, (2)

то существует несобственный интеграл∞∫a

ϕ(x)ψ(x)dx = B − ψ(a)φ(a)− A. (3)

Теорема 1 (I-й признак). Если функция φ(x) ограничена

(|φ(x)| ≤M − const), ψ(x)→ 0 при x→ +∞ и∞∫a|ψ′(x)|dx <∞,

то интеграл (1) и предел (2) существуют.Доказательство. Интеграл (1) сходится абсолютно:

∞∫a

|ψ′(x)φ(x)|dx ≤M

∞∫a

|ψ′(x)|dx <∞.

Выполняется также и условие (2):

|ψ(x)φ(x)| ≤M |ψ(x)| → 0 при x→ +∞,

169

т. е. условие (2) справедливо при B = 0. Таким образом,∞∫aϕ(x)ψ(x)dx = −ψ(a)φ(a)− A, т. е. существует.

Теорема 2 (II-й признак (Признак Дирихле)). Если|φ(x)| ≤M , ψ(x)→ 0 при x → +∞ монотонно убывает, тотогда интеграл (1) и предел (2) существуют, а следовательно,существует

∞∫a

ϕ(x)ψ(x)dx.

Доказательство. Посмотрим на I-й признак. Первые дваусловия этого признака очевидно выполняются: |φ(x)| ≤M, ψ(x)→ 0 при x→ +∞. Проверим третье условие:

limN→+∞

N∫a

|ψ′(x)|dx = − limN→+∞

N∫a

ψ′(x)dx = limN→+∞

[ψ(a)−ψ(N)] =

= ψ(a) <∞(здесь мы использовали неположительность ψ′(x), так как налуче [a,∞) она монотонно убывает).

Таким образом, признак Дирихле есть частный случай I-гопризнака.

Пример.∞∫1

sinxx dx имеет единственную особенность в ∞.

Этот интеграл сходится по признаку Дирихле, так какфункция 1/x → 0 при x → +∞ монотонно и имеетнепрерывную производную, а функция sinx непрерывна и имеетограниченную первообразную, равную − cosx.

§ 8.4 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И РЯД

Рассмотрим интегралb∫af (x)dx, имеющий единственную

особенность в точке b. Пусть

a = b0 < b1 < . . . < b, bk → b.

170

Определим рядb1∫b0

fdx +

b2∫b1

fdx + · · · =∞∑k=0

bk+1∫bk

fdx.

Теорема. Еслиb∫afdx сходится, то сходится также ряд

∞∑k=0

ak,

где ak =bk+1∫bk

fdx. При этом справедливо равенствоb∫afdx =

∞∑k=0

bk+1∫bk

fdx.

Доказательство.

limn→∞

n∑0

bk+1∫bk

fdx = limn→∞

bn+1∫b0

fdx =

b∫a

fdx.

Замечание 1. Если f (x) ≥ 0 на [a, b), то из сходимости ряда∞∑0ak следует сходимость

b∫af (x)dx.

Доказательство. Пусть ряд∞∑0ak сходится и его сумма

равна S. Для любого b′ (a < b′ < b) существует n = n(b′) такое,что b′ < bn. Поэтому, так как f (x) ≥ 0, имеем

b′∫a

f (x)dx ≤bn∫a

f (x)dx =n−1∑k=0

bk+1∫bk

f (x)dx =n−1∑k=0

ak ≤ S.

Таким образомb′∫af (x)dx ограничен, а так как f (x) ≥ 0, то

несобственный интегралb∫af (x)dx сходится.

Замечание 2. Если функция f (x) не сохраняет знак на

[a, b), то из сходимости ряда∞∑0ak вообще не следует сходимость

171

b∫af (x)dx.

Пример. Ряд∞∑k=0

2(k+1)π∫2kπ

sinxdx =∞∑k=0

0 = 0 сходится. В

то же время+∞∫0

sinxdx расходится, так как limN→+∞

N∫0

sinxdx =

limN→+∞

(1− cosN) не существует.

§ 8.5 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СОСОБЕННОСТЯМИ В НЕСКОЛЬКИХ

ТОЧКАХ

Пусть на (a, b) задана функция f .

Определение 1. Выражениеb∫af (x)dx называется

интегралом, имеющим особенности в точках a и b, если

1. a = −∞ или, если a – конечная точка, в U(a) функция f неограничена.

2. b = +∞ или, если b – конечная точка, в U(b) функция f неограничена.

3. Функция f интегрируема на любом [a′, b′], где a < a′ < b′ <b.Пусть точка c делит (a, b) на две части (a, c) и (c, b) так, что

c∫af (x)dx имеет единственную особенность в точке a,

b∫cf (x)dx

имеет единственную особенность в точке b. Заметим, что о такихинтегралах, имеющих особенность в единственной точке, намизвестно, когда они сходятся как несобственные.

Определение 2. Говорят, что интегралb∫af (x)dx, имеющий

две особенности в точках a и b, сходится (существует) как

несобственный, если каждый из интеграловc∫af (x)dx,

b∫cf (x)dx

172

сходится (существует), при этом полагаютb∫

a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx.

Докажем, что определение интеграла с двумяособенностями в точках a и b не зависит от выбора точки

c. Пусть a < c < c′ < b. Тогдаb∫c

=c′∫c

+b∫c′, причем

c′∫c

–

собственный интеграл, т. е. не имеет особенности.c∫a

+c′∫c

=c′∫a.

Отсюдаc∫a

=c′∫a−

c′∫c. Сложив полученные выражения для

b∫cи

c∫a,

мы получимc∫a

+b∫c

=c′∫a

+b∫c′.

Рассмотрим более сложный случай. Пусть интервал (a, b)можно разбить точками a = c0 < c1 < . . . < cn = b на конечноечисло интервалов (ck, ck+1) так, что каждый из интеграловck+1∫ck

f (x)dx (k = 0, . . . , n − 1) имеет только одну особенность на

одном из концов (ck, ck+1).Определение 3. Если все несобственные интегралы

ck+1∫ck

f (x)dx (k = 0, . . . , n− 1) сходятся (существуют), то считают,

что сходится (существует)b∫af (x)dx, при этом полагают

b∫a

f (x)dx =n−1∑k=0

ck+1∫ck

f (x)dx.

Если хотя бы один из интеграловck+1∫ck

f (x)dx не сходится

(расходится, не существует), то и интегралb∫af (x)dx считается

расходящимся.

173

Определение 4. Интегралb∫af (x)dx, имеющий несколько

особенностей, называется абсолютно сходящимся тогда и только

тогда, когда все интегралыck+1∫ck

f (x)dx сходятся абсолютно.

174

ЛИТЕРАТУРА1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и

функционального анализа. – М.: Наука, 1976.

2. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.:Наука, 1975. Т.I.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.Ч.1. – М.: Наука 1982.

4. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическомуанализу. Казанское матем. общество – Казань: УНИПРЕСС,1998.

5. Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа. – М.:Физматгиз, 1962. Т.I – II.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.:Высшая школа, 1981. Т.I.

7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математическийанализ. – М.: Наука, Физматгиз, 1979.

175

ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Глава 1. Множества и функции. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

§ 1.1 Множества и операции над ними. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4§ 1.2 Понятие функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9§ 1.3 Действительные числа. Свойство непрерывностидействительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18§ 1.4 Топология числовой прямой. Расширенная числоваяпрямая.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Глава 2. Предел последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

§ 2.1 Предел числовой последовательности. Элементарныесвойства пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25§ 2.2 Лемма о вложенных отрезках. Теорема Вейерштрасса.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§ 2.3 Монотонные ограниченные последовательности. . . . 30§ 2.4 Критерий Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31§ 2.5 Пределы в расширенной числовой прямой. Верхний инижний пределы последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Глава 3. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

§ 3.1 Предел функции. Свойства пределов функции. Первыйзамечательный предел.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37§ 3.2 Критерий Коши существования предела функции.. .41§ 3.3 Модификация понятия предела функции в точке. . . 42§ 3.4 Второй замечательный предел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45§ 3.5 Порядок функции. Эквивалентность (асимптотика).45

Глава 4. Непрерывные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

§ 4.1 Непрерывные функции. Основные свойства функций,непрерывных в точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48§ 4.2 Точки разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51§ 4.3 Свойства функций, непрерывных на отрезке. . . . . . . . 54

176

§ 4.4 Равномерная непрерывность. Продолжение понепрерывности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56§ 4.5 Непрерывность обратной функции.. . . . . . . . . . . . . . . . . .58§ 4.6 Показательная функция. Логарифмическая, степенная,гиперболические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Глава 5. Дифференциальное исчисление функций однойпеременной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§ 5.1 Задачи, приводящие к понятию производной.Определение производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65§ 5.2 Дифференцируемые функции. Дифференциалфункции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§ 5.3 Техника дифференцирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71§ 5.4 Производные и дифференциалы высших порядков. 73§ 5.5 Основные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75§ 5.6 Правило Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77§ 5.7 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81§ 5.8 Формула Тейлора для некоторых элементарныхфункций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85§ 5.9 Локальная формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88§ 5.10 Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90§ 5.11 Исследование поведения функции с помощью понятияпроизводной (возрастание и убывание функции на отрезке,локальный экстремум). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92§ 5.12 Исследование поведения функции с помощью понятияпроизводной (выпуклость, точки перегиба). . . . . . . . . . . . . . 96

Глава 6. Первообразная и неопределенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

§ 6.1 Определение первообразной и неопределенногоинтеграла. Свойства неопределенного интеграла. . . . . . . . 102§ 6.2 Неопределенные интегралы от простейшихэлементарных функций. Примеры вычислениянеопределенных интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103§ 6.3 Отыскание первообразных для рациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106§ 6.4 Интегрирование некоторых иррациональных итрансцендентных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

177

ИНТЕГРАЛ РИМАНА. НЕСОБСТВЕННЫЕИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. Определенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

§ 7.1 Определение интеграла Римана. Необходимое условиеинтегрируемости функции по Риману. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119§ 7.2 Верхние и нижние интегральные суммы.. . . . . . . . . . .124§ 7.3 Необходимое и достаточное условие интегрируемостифункции по Риману. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129§ 7.4 Некоторые классы интегрируемых функций.. . . . . . .130§ 7.5 Основные свойства интеграла Римана. . . . . . . . . . . . . . 134§ 7.6 Свойства интеграла Римана, в которых фигурируютнеравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139§ 7.7 Интеграл как функция верхнего предела. . . . . . . . . . . 141§ 7.8 Формула Ньютона-Лейбница.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143§ 7.9 Общие приемы интегрирования.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149§ 7.10 Некоторые приложения интеграла Римана. . . . . . . . 150

Глава 8. Несобственные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§ 8.1 Определения несобственных интегралов и некоторыеобщие свойства несобственных интегралов.. . . . . . . . . . . . . .161§ 8.2 Несобственные интегралы от неотрицательныхфункций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166§ 8.3 Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169§ 8.4 Несобственный интеграл и ряд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170§ 8.5 Несобственный интеграл с особенностями в несколькихточках. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

178

Дубровин Вячеслав Тимофеевич

ЛЕКЦИИПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ,

ЧАСТЬ I

Редактор Н.А. ХолстининаКомпьютерная верстка автора

Дизайн обложки

179

Подписано в печать 2012г.

Бумага офсетная. Печать ризографическая.

Формат 60x84 1/16. Гарнитура . Усл. печ. л.10, 46

Уч.-изд. л. 9,5. Тираж 400экз. Заказ 177/4.

Казанский университет

420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37тел. (843) 233-73-59, 292-65-60

180