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第五章 大数定律及中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理
5.1 大数定律
5.2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理第五章 大数定律及中心极限定理内容提要
大数定律:伯努利大数定律
切比雪夫大数定律 ( 特殊情况 )
辛钦大数定律中心极限定理: 独立同分布的中心极限定理
德莫拂-拉普拉斯中心极限定理基本要求
理解三大数定律成立的条件与结论。 ( 重点 , 难点 )理解中心极限定理的应用条件和结论。 ( 重点 , 难点 )能够使用相关定理近似计算有关事件概率。 ( 重点 , 难点 )
5.1 5.1 大数定律大数定律一 . 客观背景1.大量抛掷硬币正面出现的频率
2. 生产过程中废品的废品率
3. 字母使用的频率
大量的随机现象中平均结果具有稳定性 , 这种稳定性即
为大数定律的客观背景。 nf A 我们常说事件 A 在多次重复试验中发生的频率 ,当试
验次数 n 增大时,逐渐稳定于某个常数,此处 ? lim nnf A p
不对!若 成立。 lim nnf A p
0 即对于 , 总存在 , 当 时 , 有
成立。
0N n N
nf A p
p 但若取 , 由于 0 1 0n
np f A p
0nf A N n即无论 多大 , 在 以后 , 总可能存在 , 使N
所以 不可能在通常意义下收敛于 p 。 nf A
二 . 伯努利大数定律
1. 依概率收敛
lim 1 1nnp Y a
1 2, , nY Y Y 定义 1 设 是一个随机变量序列 , a 是一个常数 ,
若对于 , 有0
1 2, , nY Y Y 则称序列 依概率收敛于 a , 记为 pnY a
0
说明 : , 即对于 , 当 n 充分大时 , “Yn 与 a 的偏
差大于 ”这一事件发生的概率很小 , 几乎不可能发生
( 收敛于 0)
pnY a
2. 依概率收敛的序列的性质
设 , 在点 (a , b) 连续 ,
则
,p pn nX a Y b ,g x y
, ,pn ng X Y g a b
3. 伯努利大数定律
lim 1 2A
n
np p
n
lim 0 3A
n
np p
n
定理 1 设 n A 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数 , p 是事件 A 在
每次试验中发生的概率 , 则对于任意正数 有
或
0
,An b n p证明: 由于 , 故 1A AE n np D n np p
于是 1A A
p pn nE p D
n n n
2 2
10
A
A
nD
p pn np p n
n n
对 , 由切比雪夫不等式得0
lim 1 lim 1A A
n n
n np p p p
n n
即 :
说明: (1) 伯努利大数定律表明事件发生的频率 依概率收敛
于事件的概率 p, 即当 n 很大时 , 事件发生的频率与其概率
较 大偏差的可能性小。
Ann
(2) 在实际应用中 , 当试验次数 n 很大时 , 可用频率代替概率。
1
0i
i AX
i A
第 次试验中事件 发生记
第 次试验中事件 不发生
1 1
1n nA
A i ii i
nn X X
n n
则 1 1
1 1n n
ii i
p p A E Xn n
于是 1 1
1 11 4
n n
i ii i
p X E Xn n
1 2, , nX X X 一般地 , 若随机变量序列 的数学期望都
存在 , 且满足 (4) 式 , 则称随机变量序列 满足大数定律。 nX
三 . 切比雪夫大数定律的特殊情况
2 , 1, 2,k kE X D X k
定理 2 设随机变量序列 相互独立且具有相
同的数学期望和方差 :
1 2, , nX X X
1
1lim lim 1 5
n
in n
i
p X p Xn
0 作前 n 个随机变量的算术平均 , 则对于任意
有1
1 n
ki
X Xn
1 2, , nX X X n 说明 : (5) 式表明当 时 , 随机变量
的算术平均 pX
四 . 辛钦大数定律
1 2, , nX X X
0 定理 3 设随机变量 相互独立 , 服从同一分布 ,
具有数学期望 , 则对于任意 有
1
1lim 1 6
n
kn
k
p Xn
说明 : 伯努利大数定理是辛钦大数定理的特殊情况。
1 2, , nX X X pX
例 1. 设 为独立同布随机变量序列 , 均服从参
数为 的泊松分布 , 求证算术平均 。
iX 证明:因为 , 所以 , 1, 2,i iE X D X i
1
1lim lim 1
n
in ni
p X p Xn
由切比雪夫大数定理得 :
pX 所以
1 2, , nX X X 例 2 设 是独立同分布的随机变量 , 其分布函
数为 , 问是否适用辛钦
大数定理?
1arctan 0
xF x a b
b
解 : 辛钦大数定律成立的条件是 独立同分布 ,
随机变量的数学期望存在。1 2, , nX X X
而 2 22 2 0
2b x b b xxdF xdx dx dx
dx b xb x
故辛钦大数定律不适用。
1 1 1
1
1
n n n
i i ii i i
nn
ii
X E X X nY
nD X
5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理定理 1. ( 独立同分布的中心极限定理 )
设随机变量 相同独立 , 服从同一分布 , 且
具有数学期望和方差 :
则随机变量之和的标准化变量
1 2, , nX X X
2, 0, 1,2,i iE X D X i
2
1 21
lim lim 22
n
ti xi
nn n
X nF x p x e dt x
n
的分布函数
说明:独立同分布的随机变量 之和 的标
准化变量 , 当 n 充分大时 , 近似服从标准正态分布 , 即:
1 2, nX X X1
n
ii
X
1 0,1
n
ii
X nN
n
定理 2 (德莫佛-拉普拉斯中心极限定理)
n , 0 1n p p 设随机变量 服从参数为 的二项分布,则对于任意 x 有
2
21
lim 321
tx
n
n
npp x e dt x
np p
说明 : 正态分布是二项分布的极限分布;
当 n 充分大时可用 (3) 式计算二项分布的概率。
例 1 已知一本 380 页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分
布 , 求这本书的印刷错误总数不多于 60 个的概率。 0.15
1,2, ,380i 解 : 以 Xi 表示第 i 页印刷错误的个数 ,
则总印刷错误380
1i
i
X X
0.15iX 由题 则 0.15 0.15i iE X D X
且 相互独立。1 2 380, , ,X X X
380 0.15 60 380 0.1560
380 0.15 380 0.15
Xp X p
60 570.397 0.6543
57
则
例 2 在次品率为 1/6 的大批产品中 , 任意抽取 300 件产品 , 利
用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在 (40, 60)
的概率。
1
30040 50 60 50640 60250 1 5 250
3006 66 6
Xp X p
102 1 0.8788
2506
解: 设 X 表示抽到的次品的总件数 , 则
300,1 6X b
由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理得
第五章 小结第五章 小结1. 大数定律为实际推断原理 ( 小概率原理 ) 作了理论支撑。2.中心极限定理表明 , 在一般条件下 , 当独立随机变量
的
个数增加时 , 其和的分布趋于正态分布。思考 : 大数定律和中心极限定理之间的关系?
答 : 大数定律是研究随机变量序列 {X n} 依概率收敛的极限问题;
中心极限定理是研究随机变量序列 {X n} 依分布收敛的极限
定理。
它们都是讨论大量的随机变量之和的极限行为。
第五章 测试题第五章 测试题 AA一. 填空选择题。
1.设随机变量 X 和 Y 的数学期望均为 2, 方差分别是 1 和4, 相
关系数为 0.5, 根据契比雪夫不等式 。 6p X Y
3. 设随机变量序列 服从泊松分布 , 且相互
独立 , 参数为 , 则 。
1 2, , nX X X
1lim
n
ii
n
X np x
n
100 60p X 2.将一枚硬币连续投掷 100 次 , 出现正面的次数大于 60
的概
率 。
1 2, , nX X X
4. 设随机变量 相互独立 , 且服从参数为
的泊松分布 , 则下面随机变量序列中不满足契比雪夫
大数定理条件的是 。
(A) (B)
(C) (D)
1 2, , nX X X
1 2, 2 , nX X nX 1 21, 1, , 1,nX X X
1 2
1 1, , , ,2 nX X X
n
二 . 计算。
0.3 0.2, 0.6 0.8p X p X 1.设随机变量 X 的分布律为
试求 0.2p X E X
2. 将编号为 1~ n 的 n 个球放入编号为 1~ n 的 n 个盒子内 , 且每
个盒子只能放 1 个球 , 记 X 为球号与盒号相一致的个数 , 证明 :
lim 0n
X E Xp
n
答案 :
一.填空,选择。
1. 11/72
2. 0.023
3.
4. C
x
二.计算。
1. 0.8788
2. 证明略
第五章 测试题第五章 测试题 BB一 . 填空选择题。
E X 2D X 1.设随机变量 X 的数学期望 , 方差 , 则
由契比雪夫不等式有 。 20p X
2. 设随机变量 相互独立同分布 , 且
则 。1 2 100, , ,X X X
1
!i
ep X k
k
100
1
120ii
p X
1,2, 100i
X
2, 2X N 3. 设随机变量 , 从 X 中抽取容量为 n 的样本 , 其均
值为 ,至少取 才能使样本均值 与总体均值 之差
的绝对值小于 0.1 的概率不小于 95%. 。
X
, 1, 2, 100if X i 100
1i
i
p X x
4.已知 Xi 的概率密度为 ,并且它
们相互独立 , 则对任意 X 概率 。
100
1
100
1 2 1001
ii
ii
X x
f x dx dx dx
(A) 无法计算 (B)
(C) 可以用中心极限定理计算出近似值
(D) 不能用中心极限定理计算出近似值
3 3p X E X
2D X
5.设随机变量 X 的方差存在 , 且满足不等式
, 则一定有 。
(A) (B)
(C) (D) 2D X
3 7 9p X E X
3 7 9p X E X
二 . 计算题。
1.某高校图书馆阅览室共 880 个座位 , 该校共 12000名学生 ,
已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为 8% 。求 : (1) 阅览室晚上座位不够用的概率
(2) 若要以 80% 的概率保证晚上去阅览室自习的学生 都
有座位 , 阅览室还需增添多少个座位 ?
2. 有一批钢材 , 其中 80% 的长度不小于 3m, 现从钢材中随机
抽出 100根 , 试用中心极限定理求小于 3m 的钢材不超过30根
的概率。
答案 :
.壹 填空选择。
1. 3/4
2. 0.977
3. 1537
4. B
5. D
二 . 计算题。
1. (1) 0.9964 (2) 105
2. 0.9938