第二章 点、直线和平面南昌理工学院

机械制图教研室

2.1 投影法及其分类

2.2 点的投影

2.3 直线的投影

结束放映

目 录2.1.1 中心投影法2.1.2 平行投影法2.1.3 平行投影的基本性质2.1.4 投影面体系与投影轴

2.2.1 点的投影2.2.2 点的投影规律2.2.3 点的投影和坐标2.2.4 各种位置点的投影2.2.5 两点的相对位置和重影点

2.3.1 直线的投影2.3.2 各种位置直线2.3.3 一般位置直线2.3.4 投影面平行线2.3.5 投影面垂直线

2.4 平面的投影

本章小结

2.3.6 直角三角形法求实长和倾角2.3.7 直线上的点2.3.8 两直线的相对位置2.3.9 一边平行于投影面的直角的投影

2.4.1 平面的表示法2.4.2 用平面的迹线表示平面 2.4.3 各种位置平面2.4.4 一般位置平面2.4.5 投影面垂直面2.4.6 投影面平行面2.4.7 平面上的直线和点

结束放映

物体在光源的照射下会出现影子。

投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。

2.1 投影法及其分类

平行投影法中心投影法

投影法的分类：

投射线物体

投影面 投影

投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法 ——投影法。

投射中心 斜投影法 正投影法

投影面H

投射线

B

AC

规 定规 定大写字母表示空间点 ;小写字母表示 相应空间点的投影。

中心投影法：：投射线均通过投射中心。投射线均通过投射中心。投影特性： 如改变△ ABC 与投射中心或投影面之间的距离，则其投影△ abc 的大小也随之改变，度量性较差。 在投射中心确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。

2.1.1 中心投影法

a

bc

投影

投射中心 S

如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法。

HH

S

HH

S

正投影法投射方向 S 垂直于投影面 H

2.1.2 平行投影法

斜投影法投射方向 S 倾斜于投影面 H

平行投影的投影特性：

投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。

工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。

1.同素性2.从属性不变3.平行性不变4.简单比不变5.相仿性

2.1.3 平行投影的基本性质

特殊情况下：积聚性、全等性。

点的投影是点，直线的投影一般仍是直线。

1 同素性

若点在直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上。

2 从属性不变

即 C 在 AB 上，则 c 在 ab 上。

两平行直线的投影一般仍平行。 AB/CD=ab/cd

3 平行性不变

一条直线上任意三个点的简单比是平行投影的不变量。AC/BC = ac/bc

4 简单比不变

一般情况下，平面形的投影都要发生变形，但投影形状总与原形相仿，即平面投影后，与原形的对应线段保持定比性，表现为投影形状与原形的边数相同、平行性相同、凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变。

5 相仿性

伸缩系数 k ：投影长与线段原长之比。

k = ab/AB = cosα

特殊情况下，平行投影还具有以下性质。

当直线平行于投射方向 S 时，直线的投影为点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为直线。

1.积聚性

当线段平行于投影面 H 时，其投射长度反映线段的实长；当平面图形平行于投影面 H 时，其投影与原平面图形全等。

2.全等性

2.1.4 投影面体系与投影轴

三投影面体系：

用三个相互垂直的投影面构成投影面体系。

正面投影面（ V 面）水平投影面（ H 面）

侧面投影面（ W 面）

V ∩ H = OX 轴

V ∩ W = OZ 轴H ∩ W = OY 轴

两投影面相交，其交线称为投影轴：

V

H

WX

Y

O

Z

三投影面体系：

2.2.1 点的投影

a 点 A 的正面投影。

a 点 A 的水平投影。

a 点 A 的侧面投影。

规定： 空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其中 H 投影不加撇， V 投影加一撇， W 投影加两撇。

OX

Y

Z

Wa●

a●

a●

A●

V

H

2.2 点的投影

X● ●

●

●

Z

投影面展开

H

V W

a

a

Z

a

a

y

ay

a

X

YH

YW O

●

●

az●

x ● ●

●

●

Y

O

V

H

W

A

a

a

a

xa

a z

a y

向右翻

向下翻

不动

在投影时，投影的大小不受限制，通常不必画出投影面的边框。

Z

a

a

X

YH

YWO

●

●

a●

xa

a z

ya

ay

●

2 、 V 、 W 两投影都反映高标，且投影连线垂直 Z 轴； aa⊥OZ 轴。

2.2.2 点的投影规律

Z

a

a

X

YH

YW

● a

1 、 V 、 H 两投影都反映横标，且投影连线垂直X 轴； aa⊥OX 轴。

其中 W 面上的一段垂直 OYW ， H面上的一段垂直 OYH，中间可用折线、 45 。斜线或以 O 为圆心的圆弧联系起来。

●

xa3 、 H 、 W 两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。

az

ya

ay

O

aax= aaz= y = A 到 V 面的距离

aax= aay= z = A 到 H 面的距离aay = aaz= x = A 到 W 面的距离

a

a

Z

a

a

y

ay

a

X

YH

YWO

●

●

az●

x

1 、点的投影连线垂直于相应的投影轴。

2 、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。

小 结：

Z

a

a

X

YH

YWO

●

●

a●

xa

az

ya

ay

X● ●

●

●

Z

● ●

●

●

Y

O

V

H

W

A

a

a

a

xa

a z

a y

c

［例 1 ］已知点 C 的两个投影 c 和 c ，求作其水平投影 c 。

●c●

c

cz

通过作 45°

转宽线使ccz=ccx

X

Z

YH

Ywcyw

cyH

o

●

cx

点的每个投影反映两个坐标： V 投影反映高标和横标 (a′aX 和 a′aZ ) ， H 投影反映纵标和横标 (aaX 和 aaYH ) ， W 投影反映高标和纵标 (a″aYW 和 a″aZ) 。

2.2.3 点的投影和坐标

1 、一般位置点（ X 、 Y 、 Z ）

1) 投影面上的点： V 面上点（ X 、 0 、 Z ） H 面上点（ X 、 Y 、 0 ） W 面上点（ 0 、 Y 、 Z ）

3) 原点上的点 : （ 0 、 0 、 0 ）

2) 投影轴上点 : X 轴上点（ X 、 0 、 0 ） Y 轴上点（ 0 、 Y 、 0 ） Z 轴上点（ 0 、 0 、 Z ）

注意 : 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

2.2.4 各种位置点的投影

2 、特殊位置点

各种位置点的投影

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

判断方法：X 坐标大的在左 Y 坐标大的在前Z 坐标大的在上

1 、两点的相对位置

左 右 后

上

下

前

上

下

后

前左 右

2.2.5 两点的相对位置和重影点

作图步骤： 1 ）在 a′ 左方 12 mm ，上方 8 mm 处确定 b′ ； 2 ）作 b′b⊥OX 轴，且在 a 前 10 mm 处确定 b ；

3 ）按投影关系求得 b″ 。

［例 2 ］如图，已知点 A 的三投影，另一点 B 在 点 A 上方 8 mm ，左方 12 mm ，前方 10 mm处， 求 : 点 B 的三个投影。

ay

ay

Z

a

aax

az

X

YH

YWO

a

by

bybx

bzb●

b●

b●

12

8

10

当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

2 、重影点

点 A 、 B 在对 H 面的同一条投射线上，它们在 H 面的投影重合，称为对 H 面的重影点。而点 C 、 A 则称为对 W 面的重影点。

2.3 直线的投影

一般情况下，直线的投影仍为直线。 两点确定一条直线，将直线上两点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的三个投影。

2.3.1 直线的投影

a

a a

bb

b

●

●

●

●

●

●

X

Z

YH

YW

o

直线的投影规定用粗实线绘制。

2.3.2 各种位置直线

投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜

投影面垂直线

正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）

正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）

一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线

统称特殊位置直线

垂直于某一投影面

2.3.3 一般位置直线

直线与 H 、 V 和 W 三投影面的夹角分别用 α 、 β 、 γ 表示。投影长分别是：a b = AB cosα

ab = AB cosβab=AB cosγ

一般位置直线投影特性

各投影的长度均小于直线本身的实长。直线的各投影均不平行于各投影轴。

b

a

a

b

b

a

X

Z

YH

YW

b

a

ab

a

b

X

Z

YH

YW

b

a

a

a b b

X

Z

YW

水平线

YH

2.3.4 投影面平行线

1 ）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。2 ）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

侧平线正平线

投 影 特 性与 H 面的夹角 :α与 V 面的夹角 :β与 W 面的夹角 :γ

实长

βγ

γ

实长

α

实长

αβ

名称 立体图 投影图 投影特性

水平线

(∥H ）

正平线

(∥V )

侧平线

(∥W )

(1)ab∥OX,ab∥OYW

(2)ab=AB ；(3) 反映夹角、大小。

(1)ab∥OX,ab∥OZ(2)ab =AB

(3) 反映夹角、 大小。

(1)ab∥OYH,ab∥OZ ；(2)ab=AB

(3) 反映夹角、大小。

2.3.5 投影面垂直线

（ 2 ） 另外两个投影 , 反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。

（ 1 ） 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。

投 影 特 性

侧垂线

●e f

e f

e(f)

X

Z

o

YH

YW

正垂线●

c(d)

c

d

d c

X

Z

o

YH

YW

铅垂线

●

a

b

a(b)

a

bX

Z

o YW

YH

名称 立体图 投影图 投影特性

铅垂线（ H ）

正垂线（ V ）

侧垂线（ W ）

(1) H 投影为一点，有积聚性；(2) ab OX , abOYW ；(3) ab=ab =AB

(1) V 影为一点， 有积聚性；

(2) abOX , abOZ ；

(3) ab=ab =AB(1) W 投影为一点，有积聚性；(2) Ab OYH, ab OZ ；(3) Ab =ab =AB

投影面垂直线

2.3.6 直角三角形法求实长和倾角

1 、 点和直线的从属关系 2.3.7 直线上的点

若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示， C∈AB ，则有 c ∈ab ， c′∈a′b′ ， c

″∈a″b″ 。 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。

从属性

在图中， C 点在直线 AB 上，而 D 、 E两点均不满足上述条件，所以都不在 AB 直线上。

Z

［例 1 ］判断点 C 是否在线段 AB 上。

a

b● c

　　因 c 不在 a b 上，故点 C 不在 AB 上。

应用简单比定理

a

b

c

a

bc

●

●

另一判断法 ?

Xo

YH

YW

2 、点分割线段成定比　

AC/CB=ac/cb=ac/cb

直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即：

定比定理

ab

c

a

bc

XA

B

C

V

H

bc

cb

a

a

X

［例２］试在 AB 线段上取一点 C ，使 AC∶CB ＝ 1 2 ∶ ， 求 : 分点 C 的投影。

a

bc

a

bc

X

C1B1

分点 C 的投影，必在 AB 线段的同面投影上，且 ac∶cb ＝ a′c′∶c′b′ ＝ 1 2∶　　　 可用比例作图法作图。

1 ）过 a( 或 b) 任作一直线 aB1

（或 bB1) ；

5 ）过 c 作 X 轴的垂线与 a′b′ 交于 c 。则 c 、 c′ 即所求分点 C 的投影。

2 ）在 aB1 上取 C1 ，使 aC1∶C1B1 ＝ 1 2∶ ；

3 ）连接 B1 、 b ；4 ）过 C1 作 C1c∥B1b ，与 ab 交于 c ；

作图步骤：

分析：

e

k

f

e

f

X

[ 例３ ] 已知直线 EF 及点 K 的二投影，试判断 : 点 K 是否在直线 EF 线上。

作图步骤：

应用简单比定理

E1 k1 。k

1 ）在 H 投影上，过 f （或 e ）任作一条直线 fE1 ;

2 ) 在 fE1 上取 fK1=fk,K1E1=ke;

3) 连接 E1e ，过 K1 作直线平行于E1e ，与 fe 交于 k 1 ；因为已知投影 k 与 k 1 不重合，所以点 K 不在直线 EF 上。

.K1

空间两直线的相对位置分为：　　　　　　　　 平行、相交、相错。1 、两直线平行

投影特性：

空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

2.3.8 两直线的相对位置

a

V

H

c

bc

d

A

B

C D

bd

a

X

［例 4 ］判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。

AB//CD

a

b

c

d

ca

bd

X

bd

ca

cb

ad

db

ac 对于特殊位

置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。

求出侧面投影后可知：

AB 与 CD 不平行。

［例 5 ］判断图中两条直线是否平行。

X

Z

o

YH

YW

a

bc

d

b

a

c

d

k

k

X

2 、两直线相交

判别方法： 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。

交点是两直线的共有点

H

V

ABC

DKa

bc

d

k

a

bck

d

X

相交两直线的三面投影：

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。

2

1

d

b

a

a

bc

d

c 3(4)

2(1)

●

●

3

4●

●

●

X

Ⅰ、 Ⅱ 是对 H 面的重影点，Ⅲ、 Ⅳ 是对 V 面的重影点。

3 、两直线相错

A

B

●

情况 立体图 投影图 投影特性

平行两直线

相交两直线

相错两直线

若空间两直线相互平行，则其各同面投影也一定相互平行。反之，若两直线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间一定相互平行。

若空间两直线相交，则其各同面投影也一定相交，且交点一定符合点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。

若两直线既不平行又不相交，为相错直线。它可能有一个或两个同面投影相互平行；也可能有一个、两个或三个同面投影相交，但其交点不符合点的投影规律，这些电都是重影点。

2.3.9 一边平行于投影面的直角的投影直角的投影特性：

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。

设直角边 BC//H 面因 BC AB, ⊥ 同时 BC Bb⊥所以 BC ABba⊥ 平面

直线在 H 面上的投影互相垂直

即∠ abc 为直角因此 bc ab⊥故 bc ABba⊥ 平面又因 BC bc∥

A

BC

ab

cH

acb

a

b

c

.

证明：

2.4.1 平面的表示法

不在同一直线上的三个点

直线及线外一点

两平行直线

两相交直线

平面图形

1 、用几何元素表示平面

2.4 平面的投影

2.4.2 用平面的迹线表示平面 平面和投影面的交线，称为平面的迹线。

平面和 H 面的交线，称为水平迹线 PH ，和 V 面的交线，称为正面迹线 PV ，和 W 面的交线，称为侧面迹线 PW 。

两相交迹线

两平行迹线

迹线上的点 :

根据迹线的投影规律可知： 点A 、 B 位于平面 P

上， 而点C 、 D 则不在平面 P 上。

投影面垂直面

投影面平行面

一般位置平面

特殊位置平面

垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面

平行于某一投影面，垂直于另两个投影面

与三个投影面都倾斜

正垂面 侧垂面 铅垂面

正平面 侧平面 水平面

2.4.3 各种位置平面平面对于三投影面的位置可分为三类：

2.4.4 一般位置平面

一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所以，如用平面形 ( 例如三角形 ) 表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相仿性。

2.4.5 投影面垂直面

只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面。

根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于 H 面； 2)正垂面——垂直于 V 面； 3)侧垂面——垂直于 W 面。

a

bc

ac

b

c

b

a

γ

βX

Z

o

YH

YW

投影面垂直面

1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。

铅垂面相仿性相仿性

积聚性

投影面垂直面的投影特性是：

名称 立体图 投影图 投影特性

铅垂面

（ H ）

正垂面

（ V ）

侧垂面

（ W ）

1)H 投影为斜直线，有积聚性，且反映、 大小2)V 、 W 投影不是实形，但有相仿性。

1)V 投影为斜直线，有积聚性，且反映、大小2)H 、 W 投影不是实形，但有相仿性。

1)W 投影为斜直线，有积聚性，且反映、大小2)H 、 V 投影不是实形，但有相仿性。

用迹线表示投影面平行面和投影面垂直面 :

2.4.6 投影面平行面

垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投影面。

根据其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分为三种： 1) 水平面——平行于 H 面； 2) 正平面——平行于 V 面； 3) 侧平面——平行于 W 面。

a b c a bc

a

b

c

X

Z

o

YH

YW

投影面平行面

投影面平行面的投影特性是： 1)如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形； 2)在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴。

水平面积聚性积聚性

实 形

名称 立体图 投影图 投影特性

水平面

（∥H ）

正平面

（∥V ）

侧平面

（∥W)

1)H 投影反映实形；2)V 、 W 投影分别为平行OX 、 OYW 轴的直线段，有积聚性1)V 投影反映实形；2)H 、 W 投影分别为平行OX 、 OZ 轴的直线段，有积聚性

1)W 投影反映实形；2)V 、 H 投影分别为平行OZ 、 OYH 轴的直线段，有积聚性

2.4.7 平面上的直线和点

点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上 。

1 、平面内的点

直线在平面上的条件 : 通过平面上的两个点或通过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线 。

2 、平面内的直线

1 ）

a

b

c

a

b

c

d

k●d

过平面内两已知点作辅助线求解

● k

X

2 ）

a

b

c

a

b

c

d

k●d

过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解

● k

X

［例 1 ］已知平面 ABC 内一点 K 的 H 投影 k, 试求 K 点的 V 投影 k 。

00

3 ）

a

b

c

a

b

c

d

d

过平面内一个已知点作投影面的平行线求解

● k

X

k●

［例 1 ］已知平面 ABC 内一点 K 的 H 投影 k, 试求 K 点的 V 投影 k 。

［例 2 ］已知四边形平面 ABCD 的 H 投影 abcd 和ABC 的 V 投影 a′b′c′ ，试完成其 V 投影 。

1 ）连接 ac 和 a′c′ 得辅助线 AC 的两投影；

d′

a′

c′

b

d

b′

a

c

X

2 ）连接 bd 交 ac于 e ；

3 ）由 e 在 a′c′ 上求出 e′ ；

4 ）连接 b′e′ ， 在 b′e′ 上求出 d′ ；

5 ）分别连接 a′d ′ ；及 c′d′ ，即为所求。

e

e′

PV

PH

ab

Xa

b

［例 3 ］已知铅垂面 P 内一条水平线 AB 的端点 A

的两投影，且 AB=20mm ，求直线 AB 的两投影。

分析：铅垂面 P 的 H 投影有积聚性，铅垂面 P 内点和直线的H 投影，必重合于 P H 迹线上，而直线 AB 为水平线，故其 H 投影反映实长。

作图步骤：1 ）在迹线 PH 上，过 a 量取 ab=20mm ，得点 b ；

20

2 ）由 b引垂线，与自 a 所作 OX 的平行线相交， 其交点为 b ，则 ab,ab 即为所求。

0

本 章 结 束