TRIÁNGULOS ITRIÁNGULOS I
Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.
• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades.
• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades.
• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.
1. Definición
2. Elementos primarios
Triángulos I
Vértices
Lados
Ángulos interiores
Ángulos exteriores
3. Clasificación de los Triángulos
5. Generalidades en un triángulo cualquiera
4.1 Área o superficie
4.2 Perímetro o longitud
4. Elementos secundarios
Altura
Transversal de gravedad
Simetral
Bisectriz
Mediana
1.Definición
1. Triángulo
Es un polígono de tres lados.
2. Elementos primarios
Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.
En la figura, los vértices son A, B y C.
A B
C
• Vértices:
• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.
A B
C
ab
cAB = c, BC = a, AC = b
Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.
a + b > c
b + c > a
a + c > b
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm.
Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.
Ejemplo:
3 + 4 = 7 No se cumple.
4 + 7 > 3 Sí se cumple.
3 + 7 > 4 Sí se cumple.
Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.
Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.
a - b < c
b - c < a
a - c < b
Ejemplo:
Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.
8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.
8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.
5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.
Como una de ellas no se cumple, NO existe dicho triángulo.
• Ángulos interiores:
A B
C
y
son los ángulos interiores del triángulo ABC.
Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.
Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º
Ejemplos:
Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.
Ejemplo:
A B
C
ab
c
En el triángulo de la figura,
c > a > b
• Ángulos exteriores:
´´
y ´
son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.
Son los suplementos de los ángulos interiores.
Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.
´´´
Teorema:Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.
’ = + ’ = +
’ = +
Ejemplo:
3. Clasificación de triángulos• Según sus ángulos:
-Acutángulo:
-Rectángulo:
-Obtusángulo:
Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos.
Es aquel que tiene un ángulo recto.
Es aquel que tiene un ángulo obtuso.
Ej.:
Ej.:
Ej.:
• Según sus lados:
-Escaleno:
Es aquel que tiene todos sus lados y ángulos distintos.
Ejemplo:
-Isósceles:Es aquel que tiene sólo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base.
Ejemplo:
(Base)
Nota:
-Equilátero:
Es aquel que tiene todos sus lados congruentes.
(Base)
En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son congruentes.
Se dice que el triángulo de la figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”.
4. Elementos Secundarios• Altura (h):Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.
En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.
Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (hc , ha, hb).
A B
C
H
A B
C
hc
D
• Transversal de gravedad (t):
Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
tc tc: transversal desde C
Centro de gravedad o baricentro(G):
Punto de intersección de las transversales.El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
D: Punto medio del lado AB
D, E y F: Puntos medios.
AE = ta
BF = tb
CD = tc
G: Centro de gravedad
Ejemplo:
En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
OBS. En un triángulo rectángulo, la transversal bajada desde el vértice del ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.
A B
C
S
• Simetral (S):
Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.
Circuncentro:
Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
D, F y G: Puntos medios.
E: Circuncentro
• Bisectriz (b):
Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.
En la figura, el ACD = DCB =
B
C
DA
bc
Incentro:
Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
Ejemplo:
E: Incentro
• Mediana:Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.
D, E y F: Puntos medios.
DF, DE y EF: Medianas
DE// BC y DE = BC 2
EF// AC y EF = AC 2
DF// AB y DF = AB 2
Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos congruentes entre sí. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo original.
4. Generalidades en un triángulo cualquiera
• Área o Superficie (A):
Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo.
Área = Base ∙ Altura
2
A =
A B
C
ab
c
hc
ha hb
2
c∙ hca∙ha
2=
2
b∙hb =
Ejemplo:
Determinar el área del triángulo de la figura:
En este caso, se tiene el valor de la base AB = 8, y la altura que cae sobre su prolongación es CD = 3.
Luego su área es:
A =2
8∙3 = 12
• Perímetro o longitud (P):
Corresponde a la suma de los lados del triángulo.
A B
C
ab
c
P = a + b + c
Ejemplo:
P = 15 + 18 + 22
P = 55
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