UNIVERZITET U NIŠU
FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU
TEHNIČKA MEHANIKA- PREZENTACIJA PREDAVANJA -
Dr Darko Mihajlov, doc.
- 5. PREDAVANJE -
STATIKA
Središte (centar) sistema paralelnih sila;
Koordinate težišta materijalne homogene zapremine;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Težište krutog tela;
Koordinate težišta materijalne homogene površine;
Koordinate težišta materijalne homogene linije;
SADRŽAJ PREDAVANJA
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (1/9)
Ako kruto telo napada sistem paralelnih sila
u različitim napadnim tačkama koje se ne mogu
pomerati, tj. “vezane su”, taj sistem paralelnih sila se
može svesti na rezultantu postepenom primenom
Teorema o slaganju dve paralelne sile istog ili
suprotnog smera.
( )1,2,..,iF i n=
iA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (2/9)
Tada postoji jedna nepomična (vezana) tačka u odnosu
na telo kroz koju prolazi napadna linija rezultante bez
obzira na pravac napadnih linija sistema paralelnih sila,
odnosno, pri rotaciji datog sistema paralelnih sila za isti
ugao i u istom smeru oko svojih napadnih tačaka, i
rezultanta će se zarotirati za isti ugao i u istom smeru
oko te nepomične tačke.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (3/9)
Nepomična tačka kroz koju prolazi napadna linija
rezultante bez obzira na pravac napadnih linija tog
sistema paralelnih sila zove se središte (centar) C
sistema paralelnih sila.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (4/9)Središte ili centar paralelnih sila je ona napadna tačka
njihove rezultante oko koje napadna linija rezultante
rotira pri rotaciji napadnih linija paralelnih sila oko
njihovih napadnih tačaka,
a za isti ugao i u istom
smeru.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
T: Koordinate središta sistema paralelnih sila, centra C,
u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu 0xyz
su određene izrazima:
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (5/9)
1 1 1
1
1 1 1; ; ;
.
n n n
C i i C i i C i ii i i
n
ii
x F x y F y z F zR R R
R F
= = =
=
= = =
=
∑ ∑ ∑
∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Ovaj sistem se može
svesti na rezultantu
koja prolazi kroz
središte paralelnih
sila, tj. kroz centar -
tačku C.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (6/9)Dokaz (1/4):
Dat je sistem paralelnih sila čije su napadne
tačke .
),...,( 1 nFF
( )1,2,..,iA i n=
R
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (7/9)Dokaz (2/4):
Rotacijom napadnih linija svih sila sistema za isti ugao i
u istom smeru oko napadnih tačaka, tako da budu
paralelne sa nekom od koordinatnih osa (npr. sa 0z-
( )1 ,..,r r
nF FrR
( ), ,C C CC x y z
osom), dobija se rotirani
sistem paralelnih sila
čija rezultanta
takođe prolazi kroz
tačku .TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (8/9)Dokaz (3/4):
Na rotirani sistem paralelnih sila se primeni Varinjonova
teorema o momentu rezultante za osu:
T: Ako dati sistem sila ima rezultantu, tada je moment te
rezultante za proizvoljnu osu jednak zbiru momenata
svih sila tog sistema za istu osu:
( ) ( )ri
n
iy
ry FMRM ∑
=
=1
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
SREDIŠTE (CENTAR) SISTEMA PARALELNIH SILA (9/9)Dokaz (4/4):
Na osnovu definicije momenta sile za osu:
( )( ) 1
r rny C C
C i iriy i i i
M R R x R xRx F x
M F F x =
⎫= − ⋅ = − ⋅ ⎪→ ⇒ − = − ⇒⎬= − ⋅ ⎪⎭
∑
( ) ( )ri
n
iy
ry FMRM ∑
=
=1
(a)T:
(a)
1 1 1 1
1 1 1; ; ;n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x F x y F y z F z R FR R R= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑- Kraj dokaza -
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
TEŽIŠTE KRUTOG TELA (1/6)
Na svaku česticu tela koje se nalazi na Zemlji ili u
njenom omotaču dejstvuju privlačne sile - sile Zemljine
teže. Zbog malih dimenzija tela u odnosu na dimenziju
Zemlje, ove sile se mogu smatrati paralelnim,
vertikalnim, sa smerom naniže, ka centru Zemlje i
“vezane” u napadnim tačkama tela. Te napadne tačke
su težišta pojedinih čestica tela, odnosno konačnih
delova tela.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
TEŽIŠTE KRUTOG TELA (2/6)
Rezultanta privlačnih sila Zemljine teže, koje su
paralelne i napadaju sve čestice tela, zove se težina tela.
Težište tela je ona tačka koja pri ma kom položaju tela
ostaje uvek napadna tačka njegove težine.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
TEŽIŠTE KRUTOG TELA (3/6)
Težište je tačka čiji se položaj ne menja prema krutom
telu, a kroz koju prolazi napadna linija rezultante sila
teže svih delića datog tela pri bilo kakvom položaju tela
u prostoru.
Težište je tačka C - središte (centar) paralelnih sila
Zemljine teže.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
TEŽIŠTE KRUTOG TELA (4/6)
Problem određivanja težišta tela se svodi na određivanje
položaja središta sistema vezanih vertikalnih paralelnih
sila istog smera.
Položaj težišta tela može da se odredi pomoću
koordinata u odnosu na usvojeni Dekartov koordinatni
sistem.
Postupak određivanja težišta krutog tela:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
TEŽIŠTE KRUTOG TELA (5/6)
Telo se podeli na konačne
delove čija su težišta i
težine poznati i zatim se
primene izrazi za određivanje
koordinata središta (centra)
paralelnih sila, gde su
i .
iC
iG
i iF G= − R G= −
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
TEŽIŠTE KRUTOG TELA (6/6)
1 1
; ; ;n n
i i i ii i
R F R G F G G G= =
= = − = − ⇒ =∑ ∑
1 1
1 1 ;n n
C i i C i ii i
x F x x G xR G= =
= ⇒ =∑ ∑
1 1
1 1 ;n n
C i i C i ii i
y F y y G yR G= =
= ⇒ =∑ ∑
1 1
1 1 .n n
C i i C i ii i
z F z z G zR G= =
= ⇒ =∑ ∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (1/7)
Telo je homogeno ako se težine njegovih proizvoljnih
delova odnose kao njihove zapremine:
,i i i
i
G V G GG V V V
γ γ= = ⇒ = =
gde je
γ - koeficijent srazmere - specifična težina, koja
predstavlja težinu jedinice zapremine.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (2/7)
Ako je homogeno telo sastavljeno iz n tela čije su
pojedinačne zapremine i koordinate težišta tih
zapremina poznate, tada je , gde su:
- zapremina i-tog dela tela sa težištem u tački
i
- zapremina datog tela.
∑=
=n
iiVV
1
( )iiii zyxC ,,iV
V
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (3/7)
, , 1,...,i iG V G V i nγ γ= = = ⇒
1
1
1
1
1 ;
1 ;
1 ;
.
n
C i iin
C i iin
C i ii
n
ii
x V xV
y V yV
z V zV
V V
=
=
=
=
⎧=⎪
⎪⎪
=⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪ =⎪⎩
∑
∑
∑
∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (4/7)
Ako telo nije moguće podeliti na konačan broj delova
čija su težišta poznata, telo se deli na male proizvoljne
zapremine . Tada važi:
gde su koordinate ma koje tačke koja leži unutar
elementarne zapremine, te su izrazi za koordinate
težišta približni.
niVi ,...,1, =Δ
1 1 1 1
1 1 1Δ ; Δ ; Δ ; Δn n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x V x y V y z V z V VV V V= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
, ,i i ix y z
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (5/7)
Za određivanje tačnih vrednosti koordinata težišta je
potrebno da se odrede granične vrednosti izraza
pod uslovom da se telo podeli na beskonačan broj
elementarnih zapremina dV, odnosno da elementarne
zapremine budu veoma male, tj. da teže nuli.
1
1 1 1
Δ ;
1 1 1Δ ; Δ ; Δ ,
n
ii
n n n
C i i C i i C i ii i i
V V
x V x y V y z V zV V V
=
= = =
=
= = =
∑
∑ ∑ ∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (6/7)
Tada granične vrednosti zbirova prelaze u određene
integrale po zapremini:
1lim ;
n
in iV V dV
→∞=
= Δ =∑ ∫∫∫
1lim ;
n
C i in ix V V x xdV
→∞=
= Δ =∑ ∫∫∫
1lim ;
n
C i in iy V V y ydV
→∞=
= Δ =∑ ∫∫∫
1lim .
n
C i in iz V V z zdV
→∞=
= Δ =∑ ∫∫∫TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE ZAPREMINE (7/7)
Koordinate težišta materijalne homogene zapremine su:
1 ;Cx xdVV
= ∫∫∫
∫∫∫= ;1 ydVV
yC
∫∫∫= ;1 zdVV
zC
.V dV= ∫∫∫TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (1/8)
Materijalnom površinom se smatra homogeno telo čija
je jedna dimenzija veoma mala u odnosu na druge dve
dimenzije.
Za koeficijent srazmere se uzima težina jedinice
površine, tj. specifična težina površine γ´ , tako da je:
, odnosno .G Aγ ′=i iG Aγ ′=
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (2/8)
Ako se površina može podeliti na konačan broj površina
čije su težine i koordinate poznate, onda
su koordinate težišta određene sledećim izrazima:
( )iiii zyxC ,,iG
1 1 1
1
1 1 1; ; ;
.
n n n
C i i C i i C i ii i i
n
ii
x A x y A y z A zA A A
A A
= = =
=
= = =
=
∑ ∑ ∑
∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (3/8)
Ako se površina ne može podeliti na konačan
broj površina čije su težine i koordinate
poznate, onda se
ona deli na elementarne
površine .
( )iiii zyxC ,,iG
iAΔ
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (4/8)
Tada se izrazi
mogu napisati u obliku
gde su koordinate ma koje tačke koja leži unutar
elementarne površine, pa su izrazi približni.
1 1 1 1
1 1 1; ; ;n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x A x y A y z A z A AA A A= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1 1 1
1 1 1Δ ; Δ ; Δ ; Δ .n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x A x y A y z A z A AA A A= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
iii zyx ,,
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (5/8)
Da bi se postigla što veća tačnost, broj elementarnih
površina bi trebalo da bude što veći.
Za iznalaženje tačnih vrednosti, potrebno je odrediti
granične vrednosti izraza
pod uslovom da se telo podeli na beskonačan broj
elementarnih površina dA, odnosno da elementarne
površine budu veoma male, tj. da teže nuli.
1 1 1 1
1 1 1Δ ; Δ ; Δ ; Δ ,n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x A x y A y z A z A AA A A= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (6/8)
Tada granične vrednosti zbirova prelaze u određene
integrale po površini. Na taj način se dobijaju konačni
izrazi, u kojima se pojavljuju određeni integrali po datoj
površini, a iz kojih slede izrazi za tačno određivanje
koordinata težišta površina:
1lim ;
n
in iA A dA
→∞=
= Δ =∑ ∫∫1
lim ;n
C i in ix A A x xdA
→∞=
= Δ =∑ ∫∫
1lim ;
n
C i in iy A A y ydA
→∞=
= Δ =∑ ∫∫
1lim .
n
C i in iz A A z zdA
→∞=
= Δ =∑ ∫∫TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (7/8)
Koordinate težišta materijalne homogene površine
određene su sledećim izrazima:
1 ;Cx xdAA
= ∫∫1 ;Cy ydAA
= ∫∫1 ;Cz zdAA
= ∫∫
1.
n
ii
A A dA=
= Δ =∑ ∫∫
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE POVRŠINE (8/8)
Ako materijalna površina leži u jednoj ravni, tada je
položaj težišta određen dvema koordinatama.
Težište se nalazi u toj ravni, pa je koordinata u pravcu
ose koja je upravna na tu ravan jednaka nuli.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (1/7)
Materijalnom linijom se smatra homogeno telo čije su
dve dimenzije veoma male u odnosu na treću dimenziju.
Za koeficijent srazmere se uzima težina jedinice linije, tj.
specifična težina materijalne linije γ" , tako da je:
, odnosno .G Lγ ′′=i iG Lγ ′′=
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (2/7)
Ako se linija može podeliti na konačan broj linija čije
su dužine i koordinate poznate, onda su
koordinate težišta određene izrazima:
( )iiii zyxC ,,
1 1 1 1
1 1 1; ; ; .n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x L x y L y z L z L LL L L= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
iL
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (3/7)
Ako linija ne može da se podeli na konačan broj linija
čije su dužine i koordinate poznate, onda
se ona deli na elementarne linije,
( )iiii zyxC ,,iL
čiji bi broj trebalo da bude što
veći kako bi se postigla što
veća tačnost.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (4/7)
Tada se izrazi
mogu napisati u obliku
gde su koordinate ma koje tačke koja leži na
elementarnoj liniji, pa su izrazi približni.iii zyx ,,
1 1 1 1
1 1 1; ; ; .n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x L x y L y z L z L LL L L= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
1 1 1 1
1 1 1; ; ; ,n n n n
C i i C i i C i i ii i i i
x L x y L y z L z L LL L L= = = =
= Δ = Δ = Δ = Δ∑ ∑ ∑ ∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (5/7)
Određivanjem graničnih vrednosti izraza
pod uslovom da se telo podeli na beskonačan broj
elementarnih linija dL, odnosno da dužine elementarnih
linija budu veoma male, tj. da teže nuli, dobijaju se izrazi
za tačno određivanje koordinata težišta linije:
1 1 1
1
1 1 1; ; ;
,
n n n
C i i C i i C i ii i i
n
ii
x L x y L y z L zL L L
L L
= = =
=
= Δ = Δ = Δ
= Δ
∑ ∑ ∑
∑
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (6/7)
1lim ;
n
in iL L dL
→∞=
= Δ =∑ ∫
1lim ;
n
C i in ix L L x xdL
→∞=
= Δ =∑ ∫
1lim ;
n
C i in iy L L y ydL
→∞=
= Δ =∑ ∫
1lim .
n
C i in iz L L z zdL
→∞=
= Δ =∑ ∫
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA- TEŽIŠTE -
KOORDINATE TEŽIŠTA MATERIJALNE HOMOGENE LINIJE (7/7)
Koordinate težišta materijalne homogene linije su:
1 ;Cx xdLL
= ∫1 ;Cy ydLL
= ∫1 ;Cz zdLL
= ∫ .L dL= ∫
Ako materijalna linija leži u jednoj ravni, tada je položaj
težišta određen dvema koordinatama. Težište se nalazi
u toj ravni, pa je koordinata u pravcu ose koja je
upravna na tu ravan jednaka nuli.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
STATIKA
1. Šta je težina tela, a šta težište tela?
Napisati izraze za koordinate težišta tela.
2. Napisati izraze za koordinate težišta materijalne
homogene zapremine.
3. Napisati izraze za koordinate težišta materijalne
homogene površine.
4. Napisati izraze za koordinate težišta materijalne
homogene linije.
Kontrolna pitanja 5
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Top Related