Bosna i HercegovinaBRKO DISTRIKTBOSNE I HERCEGOVINEInternacionalni univerzitet Brko o

Tehnika mehanika(Seminarski rad)

Tema:Brzina i ubrzanje u prirodnom koordinatnom sistemu

Prof. Dr.Sc Student Enis NiiSadraj

Uvod..3Koordinatni sistemi i prirodni kooridnatni system....4Brzina.........6Ubrzanje 8BRZINA I UBRZANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU..9Zakljuak...13 Literatura...14

Uvod

Sama tema ovog rada je Brzina i ubrzanje u prirodnom koordinatnom sistemu.Prije nego to kaemo neto o brzini i ubrzanju u ovom sistemu moramo rei osnovne stvari o prirodnom koordinatnom sistemu.Prirodni koordinatni sistem ine tri meusobno upravne koordinatne ose koje ne lee u istoj ravni. To su prirodne koordinatne ose tangenta (T), glavna normala (N) i binormala (B). Prirodni koordinatni sistem je pokretan, tj.vezuje se za posmatranu taku.

Najjednostavnija i uobiajena definicija brzine je da je brzina omjer prijeenog puta u promatranom vremenu.isto teoretska definicija brzine jeste da je brzina derivacijazakona putapo vremenu. Zakon puta je neka matematika funkcija koja nam daje zavisnost koordinata tijela ugibanju(dakle poloaja) o vremenu. Krae moemo rei da je brzinaderivacijaputa po vremenu te je to definicija koja vrijedi posve openito.Ubrzanja je vektorska fizika veliina kojom se definie nain promene vektora brzine tokom vremena. Kao i brzinu, ubrzanje kao pojam prvi je uveo Galilej.

Koordinatni sistemi i prirodni kooridnatni system

Koordintesu brojni ili uglovni elementi koji odreuju poloj neketkeurvni ili prostoru. Zvisno od potrebe,koordinte mogu biti odreene s jednom, dvije, ili tri tke.Ako immo brojniprvc, potrebn je jedn koordint. Z povr ili rvn, potrebne su dvije, z trodimenzionlni prostor tri koordinte.Koordintni sistemje skup nepokretnih linij i rvni koje se koriste z nedvosmisleno odreivnje poloj nekog objekt njegovim koordintm.Postoji vie vrst koordintnih sistem.Koordintni sistemi u rvni:Prvougli koordintni sistem. Dve prve linije (koordintne ose) se sijeku pod prvim uglom u jednoj tki (koord. poetk, ishodite). Horizontln os je iks (X) os (pcisn os), vertikln os je ipsilon (Y) os (ordintn os).Kosougli koordintni sistem. Rzlikuje se od prvouglog po tome to ugo izmeu koordintnih os nije 90 stepeni.Polrni koordintni sistem. Im usvojeni koor. poetk O i orijentisnu prvu liniju OP (polrn os). Poloj tke je odreen polrnim koord. ro ()(polrn rzdljin, rdijus vektor, poteg) i fi () (polrni ugo, nomlij, mplitud).Koordintni sistemi u prostoru:Prvougli ili kosougli. Ovj sistem stvrju tri koord. ose, X, Y i Z, koje se meusobno sijeku pod nekim uglom. Poloj tke je odreen s 3koord. - pscis X, ordint Y i plikt Z.Cilindrini. Polrni koordintni sistem je u rvni XY, smjer koordintne ose Z. Cilindrine koordinte su , i Z.Sferni. Obrzuju g dv polrn sistem. Postoji rvn XY i rvn ZT. Sferne koord. r, i se zovu i polrne koord. u prostoru. Prvougoni prostorni (trodimenzionlni) koordintni sistem Prvougoni (dvodimenzionlni) koordintni sistem u rvni

Prirodni koordinatni sistem je Ortogonalni sistem s pravolinijskim osima n i t koji se od Oxyz ortogonalnog sistema razlikuje samo svojom pominou. Koordinatni sistem je vezan uz materijalnu taku M koja se giba po putanji trajektoriji s.

Primjena prirodnog koordinatnog sistema mogua je samo ako je poznata putanja: = (t) Zakon krivocrtnog gibanja

Brzina

Najjednostavnija i uobiajena definicija brzine je da je brzina omjer prijeenog puta u promatranom vremenu.isto teoretska definicija brzine jeste da je brzina derivacijazakona putapo vremenu. Zakon puta je neka matematika funkcija koja nam daje zavisnost koordinata tijela ugibanju(dakle poloaja) o vremenu. Krae moemo rei da je brzinaderivacijaputa po vremenu te je to definicija koja vrijedi posve openito.Dakle, da bismo bili u stanju u svakom trenutku znati intenzitet i smjer brzine tijela (ili toke) u gibanju, moramo poznavati vektorsku funkciju, gdje jeradijvektor promatrane toke u nekom referentnomkoordinatnom sustavukojeg smo postavili. Ta vektorska funkcija je upravo zakon puta! Spomenutu vektorsku jednadbu moemo predstaviti i trimaskalarnimjednadbama, npr. za Kartezijev koordinatni sustav:,,gdje su x, y i z koordinate promatrane toke na trima osima u naem koordinatnom sustavu.Zamislimo sada nekuputanjupromatrane toke, koja moe biti proizvoljna prostorna krivulja, i na toj putanji dvije toke, A i B. Tijelo svojim gibanjem po putanji mora proi kroz obje toke u nekom vremenskom razmaku. to je taj vremenski razmak krai, kaemo da se tijelo bre giba, odnosno to je taj vremenski razmak vei, tijelo se sporije giba. Spojimo livektorom toku A s tokom B, dobit emo rezultantni vektor pomaka tijela na tom segmentu putanje. Rezultantni vektor brzine e se po pravcu i smjeru poklapati s rezultantnim vektorom pomaka. Moemo rei i da je to srednji vektor brzine koji bi bio i pravi vektor brzine da se tijelo uistinu gibalo u pravcu rezultantnog (srednjeg) vektora pomaka. Tada moemo rei da je brzina:

gdje jeintenzitet vektora pomaka, aje vrijeme. Ova je relacija potpuno tona za svaki segment putanje i svaki vremenski trenutak za jednoliko gibanje po pravcu!! Za svaku drugu vrstugibanjaovaj nam izraz daje samo iznos i smjer srednje brzine u vremenskom periodu.Kako smo uoili da se rezultatni vektor pomaka ne poklapa nuno s putanjom (koja moe biti bilo koja krivulja), poet emo meusobno pribliavati toke A i B sve dok se one ne priblie toliko blizu da ih razdvaja tek beskonano maleni segment putanje. Sada moemo rei da se vektorpoklapa u cijelosti s diferencijalnim segmentom putanje te tovie, da i predstavlja diferencijalni segment putanje kojeg e tijelo prevaliti u diferencijalno malom vremenskom razmaku. Za brzinu sada moemo pisati:

to dokazuje poetnu definiciju. Ovako matematiki formuliran izraz za brzinu zovemozakon brzineiz kojeg moemo dobiti toan intenzitet i vektor brzine u svakoj toki proizvoljne putanje u svakom vremenskom trenutku.Iz izloenog je lako zakljuiti da je SI mjerna jedinica za brzinumetar u sekundi[m/s]. U upotrebi su vrlo esto ikilometri na sat[km/h],vorovi(brodski promet),Machov brojitd.Brzina nije pojam vezan iskljuivo za translaciju, ve i za rotaciju. U sluaju rotacije baratamo pojmomkutne brzine. Za kutnu brzinu vrijedi potpuna analogija u odnosu prema translacijskoj brzini, samo to translacijske dimenzije u metrima [m] treba zamijeniti rotacijskim dimenzijama u radijanima [rad]. Kutna brzina je dakle veliina koja nam govori koliki je kut prevaljen tijekom rotacije u jedinici vremena i moemo ju definirati kao

gdje jeprijeeni kut u [rad].Posve openita definicija kutne brzine je vektor koji se dobiva kao vektorski produkt vektora polumjera rotacije i obodne brzine

Za kutnu brzinu se u tehnici vrlo esto koriste okretaji u minuti[o/min]. Veza izmeu broja okretaja u minuti s kutnom brzinom je slijedea

Srednja ili prosjena brzina je omjer prijeenog puta s vremenskim intervalom za koji smo taj put proli. To je skalarna veliina, jer nema stalan smjer. Srednju brzinu oznaavamo oznakom , prijeeni put oznaavamo s , proteklo vrijeme s , dok je jedinica za brzinu metar po sekundi, oznaka .v=s/tTrenutna brzina je vektorska veliina iji je smjer odreen pomakom u pojedinom trenutku, tj. ona ima isti smjer kao i pomak u odreenom trenutku. Obino je pri gibanju nekog tijela trenutna ili stvarna brzina u razliitim trenucima razliita. Njenu vrijednost moemo uvijek nai kao kvocijent prijeenog puta i obino vrlo kratkog vremenskog intervala u kojem je to tijelo prolo taj put, ako se pri tome vrijednost brzine nije mijenjala.Za neko tijelo kaemo da ima stalnu brzinu samo onda ako se iznos i smjer njegove brzine tokom vremena ne mijenja.

Ubrzanje

Ubrzanja je vektorska fizicka velicina kojom se definie nacin promene vektora brzine tokomvremena. Kao i brzinu, ubrzanje kao pojam prvi je uveo Galilej.Ubrzanje je kolinik promjenebrzineivremenaza koje to ubrzanje traje. To znai da ubrzanje dobijemo kada oduzmemo poetnu brzinu tj. brzinu kojom se tijelo kretalo prije nego to je poelo ubrzavati, od brzine koju je tijelo dostiglo nakon ubrzanja i to podijelimo sa vremenom koje je trebalo tijelu da postigne drugu brzinu tj. koliko je trajalo ubrzanje. To moemo iskazati formulom (v-v0)/t, gdje je v brzina kojom se tijelo kretalo nakon ubrzanja, v0 brzina kojom se tijelo kretalo prije ubrzanja, a t vrijeme tokom kojeg je tijelo ubrzavalo. Najjednostavnije objanjenje ubrzanja je da je ubrzanje postepeno poveavanje brzine i ubrzanje predstavlja za koliko se brzina tijela poveava svake sekunde. Pod pojmomubrzanjese podrazumijeva ravnomjerno ubrzanje tj. da se svake sekunde za odreen broj povea brzina. Oznaka u fizici za ubrzanje jea(akceleracija), a jedinica metar po sekundi za sekundu tj.Ubrzanje je vektorska veliina.Najjednostavnija definicija ubrzanja, koja je dobro polazite za razumijevanje pojma, jest uobiajena definicija iz osnovne kole: "Ubrzanje je promjena brzine u jedinici vremena. Pritom se obino promatra pravocrtno gibanje, pa se rijebrzinaodnosi samo na iznos brzine (jer ne mijenja smjer) a i rijeubrzanjesamo na iznos ubrzanja. Takva definicija vrlo nepotpuno opisuje ubrzanje: to je samo broj koji je jednak prosjenom iznosu ubrzanja u toj jedinici vremena.No ako promatramo jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje, kod kojega se iznos ubrzanja ne mijenja, onda je on doista jednak prosjenom iznosu, i rauna se tako da se promjena brzine podjeli s vremenom. Npr. ako za 3 sekunde brzina naraste s 5 m/s na 17 m/s, ukupna promjena je 12 m/s, a ubrzanje se dobiva dijeljenjem (12 m/s): (3 s) = 4 m/s2, i oznaava da brzina naraste za 4 m/s svake sekunde. Odatle se vidi i da jemetar u sekundi na kvadrat(m/s2)mjerna jedinicaza ubrzanje uSI sustavu Rastav sile i ubrzanja na tangencijalnu i normalnu komponentu

BRZINA I UBRZANJE U PRIRODNOM KOORDINATNOM SISTEMU

U nekim sluajevima zgodno je prostorno kretanje take opisati pomou koordinatnog sistema smjetenog u taki P koji se kree po putanji zajedno sa takom. To je tzv. prirodni koordinatni sistem koji ima

10ortogonalne jedinine vektore:

et - u smjeru tangente,

en - u smjeru glavne normale,

eb - u smjerubinormale. Jedinini vektori u ovom redosljedu odreuju desni koordinatni sistem. Tangenta i glavna normala odreuju ravninu (oskulatornu ravan) u kojoj je i trenutna zakrivljenost krive. Jedinini vektorglavne normale en uvijek je usmjeren ka lokalnom sreditu (centru) zakrivljenosti. Putanja take u poloajuP ima lokalnu zakrivljenost , koju nazivamo poluprenik krivine putanje u taki. esto se ovaj poluprenikzakrivljenosti oznaava i sa Rk .

Poloaj take na putanji odreen je duinom luka s (podsjetimo, s s(t ) je zakon kretanja take po putu), a vektor poloaja take P je u tom sluaju r r s t .

Putanja take

Brzina take je po definiciji promjena vektora poloaja u datom trenutku vremena

v dr

dr dsdt ds dtKako prirataj vektora poloaja dr ima pravac tangente na putanju take, onda je intenzitet (modul) ovog prirataja

dr dr et etdr ds , pa je ds , odnosnodr

.dr

ds etOvo znai da je kolinikdskoordinate s .Vektor brzine take sada je

jedinini vektor tangente, et , i usmjeren je u stranu porasta krivolinijske

v dr ds ds e

se

ds

ds dt dt t ta intenzitet vektora brzine je

v v s .dtAko je poznat intenzitet brzine take, mogue je odrediti krivolinijsku koordinatu s izts v t dt s0 .t0

Ubrzanje take definie promjenu brzine u odreenom trenutku vremena a dv d ve dv e

v det .dt dt t

dt t dtNalaenje vremenske derivacije jedininog vektora pokazano je u prethodnoj lekciji (polarne koordinate),tako da e slian postupak biti pokazan i ovdje.Jedinini vektor et u poloaju P promjeni se kada se taka pomjeri po putanji iz poloaja P u poloaj P, pripromjeni ugla d za vrijeme dt . U poloaju P je vrijednost jedininog vektora

et det . Promjena

detvektora et

ima pravac prema sreditu zakrivljenosti M, tj. pravac jedininog vektora normale en , a veliinapromjene je 1 d .Prirataj luka ds od P do P odreen je poluprenikom zakrivljenosti i infinitezimalnim putem d , tj.ds d , to daje d ds . Promjena det jedininog vektora et

sada je

det

1 ds

v

de de e

d e

ds e

, a odavde je

e e .t t n 1

Vektor ubrzanja take sada je

n

dv

n

v dv

dt dt n n

v2 a et v en et en at an .dt dt Ubrzanje take odreeno je vektorskim zbirom dviju komponenata od kojih je jedna usmejrena du tangente na putanju take, a druga du glavne normale i uvijek ima smjer prema sreditu zakrivljenosti (usmjerena u konkavnu stranu putanje ka centru krivine).Intenzitet vektora ubrzanja je

2 2a at

an .

Komponenta ubrzanja usmjerena du tangenti naziva se tangencijalno (tangentno) ubrzanje take i imaintenzitetdv d 2 sat dt

dt 2

sa komponenta usmjerena du normale naziva se normalna komponenta i ima intenzitetv2an

s2

Tangencijalno ubrzanje karakterie promjenu brzine take po intenzitetu, a normalno ubrzanje karakterie promjenu pravca vektora brzine. Vektor ubrzanja take lei u ravni vektora et i en , tj. u oskulatornoj ravni.

Razmotrimo posebno sluaj kretanja po krunoj putanji

Pri kretanju take po krunici duina luka s kojeg opie pokretna taka moe se iskazati proizvodom poluprenika r krunice i ugla koji je u optem sluaju funkcija vremena t , t ,s r

Kako je poluprenik zakrivljenosti krunice

r const , onda je intenzitet brzine takev s ds d r r d r .

Vektor ubrzanje take

dt dt

dt

2

a a a

se

s

e re

r 2e .t n t

r n t nIntenziteti tangentne i normalne komponente ubrzanja su2at r

an r .

Vektori brzine i ubrzanja take ne zavise od izbora postupka (koordinatnog sistema) kojim ih odreujemo, ve od prirode kretanja take to je odreeno konanim jednainama kretanja take. Pravac, smjer i intenzitet vektora brzine i ubrzanja take ostaje isti bez obzira na izbor postupka kojim ih odreijemo, a jednaine koje koristimo pri odreivanju brzine i ubrzanja su sljedee:

dr

dv

PostupakZakon kretanjaBrzinaUbrzanjeVektorski postupak r r t v xi yj zk dt a xi yj zk dtKoordinatni postupakDekartove koordinatex x(t ) y y(t ) z z(t ) dx dy dz x dt , y dt , z dtv x 2 y 2 z2x dx , y dy , z dzdt dt dta x2 y2 z2Polarne koordinater r (t ) (t ) v vr v rer rev v2 v2 a ar a a r r 2 e 2r r er a a2 a2r Prirodni postupaks s(t ) v ds e sedtv ds sdt dv v 2 a at an et endt a a2 a2t nr

t t

Zakljuak

Tema ovog seminarskog rada bila je Brzina i ubrzanje u prirodnom koordinatnom sistemu.Na poetku ovog rada rekli smo prije svega neto o koordinatnim sistemima,nakon ega smo preli na prirodni koordinatni sistem.Nakon pojanjavanja prirodnog koordinatnog sistema veoma vano je bilo upoznati se sa optim pojmovima brzine i ubrzanje sa kojima smo se definitvno susretali u ranijem kolovanju.Ponavaljenje ovih pojmova je bilo veoma znaajno jer nam je to bilo uvod u samu nau tematiku tj. Brzinu i Ubrzanje u prirodnom koordinatnom sistemu.Na osnovu literature koje sam uspio pronai pokuao sam objasniti ta to ustvari znai brzina u ubrzanje u prirdnom koordinatnom sistemu.U tom dijelu sam predstavio brojne dijagrame i formule koje su nas vie uputile u samu tematiku ovog rada.

Literatura

1. Knjiga iz Mehanike 2 - Kinematike: Milivoje Simonovi, Zoran Mitrovi, Zoran Golubovi. Beograd, 1998. Izdava: Univerzitet u Beogradu, Studentski Trg 1.2. Zbirka zadataka iz Kinematike: Nikola Mladenovi, Zoran Mitrovi, Zoran Stoki. Beograd, 2009. Izdava: Mainski fakultet Univerziteta u Beogradu.3. Vojn enciklopedij, Beogrd, 1972., knjig etvrt, strn 572.4. Boris Kulii: Tehnika mehanika - statika s vjebama5. Levanat: Fizika za TVZ - Kinematika i dinamika Tehniko veleuilite u Zagrebu (2010)6. Young H. D., Freedman R. A., Sears and Zemansky University Physics, Addison-Wesley, San Francisco (2004)7. http://www.moje-instrukcije.com/index.php?option=com_content&view=article&id=3518:brzina-trenutna-i-srednja&catid=114&Itemid=1388. http://www.agfbl.org/sajt/doc/file/so/1/0c/01647_20110308_02274_20110126_Predavanja_I-Kinematika.pdf