MODUL
Kalkulus 2
Dosen : Diah Aryani M.Kom
Disusun Oleh :
Maylan Asmarani 1021464601
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN DAN ILMU KOMPUTER
STMIK RAHARJA
TANGERANG
(2013/2014)
MODUL 1
INTEGRAL TAK TENTU
1. Tujuan
Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral tak tentu dan dapat
mengimplementasikannya dengan baik.
2. Dasar Teori
Integral itu sendiri adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral
ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi dimana
matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan
dengan solusi diferensiasi.
Lambang dari integral yaitu
Macam-macam integral terbagi dua, yaitu Integral tak tentu dan tentu. Bedanya
adalah integral tak tentu tidak memiliki batas bawah dan batas atas sedangkan
integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah
Rumus-rumus integral tak tentu :
Jika f dan g dapat di integralkan atau memiliki anti turunan dan k dan c adalah
konstanta, maka:
3. Alat Dan Bahan
Alat Tulis
Grafik
4. Langkah Kegiatan
Contoh Soal :
Penyelesaian : (Untuk fungsi pangkat gunakan rumus No.3,)
Soal No 4
Penyelesaian : (Ubah kedalam bentuk pangkat,)
Soal No 5
Penyelesaian : (Ubah dahulu bentuk akar kedalam bentuk pangkat!)
Soal no 6
Penyelesaian : Untuk integral dan selisih gunakan rumus No. 4
Soal no 7 :
Penyelesaian : Ubah dulu bentuk akar ke dalam bentuk pangkat
Soal no 8 :
Penyelesaian : buka dahulu tanda kurung menggunakan rumus jumlah kuadrat
5. Tugas
MODUL 2
INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI
TRIGONOMETRI
1. Tujuan
Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral tak tentu fungsi
trigonometri dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.
2. Dasar Teori
Integral trigonometri atau lebih dikenal dengan Integral fungsi trigonometri
adalah integral yang memuat fungsi trigonometri. Dimana integral merupakan invers
atau kebalikan dari turunan fungsi.
Rumus Integral Trigonometri
3. Alat Dan Bahan
Alat Tulis
Grafik
4. Langkah Kegiatan
Contoh Soal dan Penyelesaian
a. ∫ cos x
√sin xdx
Penyelesaian :
= ∫ cos x
√sin xdx
=∫sin−12 x cos x dx
=1
−12
+1sin
−12
+1x+c
2 sin12 x+c2√sinx+c
b. ∫6 sin13 x cos5 xdx
Penyelesaian :
∫6 sin13 x cos5 xdx
=6.12∫ (sin (13x+5 x )+sin (13 x−5x ) )dx
=3∫ (sin 18 x+sin 8 x )dx
=3(−118
cos18x−18
cos8 x )+c=−16
cos18 x−38
cos8 x+c
c. ∫cos 2x cos3 x dx
Penyelesaian :
∫cos 2x cos3 x dx
=12∫ {cos (2 x+3 x )+cos (2x−3x ) }dx
=12∫ (cos5 x+cosx )dx
=12¿
=1
10sin 5 x+ 1
2sinx+c
d. ∫¿¿
Penyelesaian
∫¿¿
=∫(sin2¿x+2 sinx cosx+cos2 x)dx ¿
=∫(1+2 sinx cosx)dx
=∫¿¿
=x−12
cos 2x+c
e. ∫¿¿
Penyelesaian
∫¿¿
=∫( tan2¿x+2 tanxcotx+cot2 x)dx ¿
=∫{(sec2¿x−1)+(2. tanx .1tanx )+(cosec 2 x−1)}dx ¿
=∫ ( sec2 x−1+2+cosec x−1 )dx
=∫(sec 2¿x+cosec 2 x)dx ¿
=tan x−cot x+c
5. Tugas
∫¿¿ =………..
∫sin3 x dx = ………….
∫sin3 x cosx dx = ………
∫ cos2 xsin x−cos x
dx=…………..
∫sin23 x dx=………
MODUL 3
INTEGRAL DALAM SUBSTITUSI
TRIGONOMETRI
1. Tujuan
Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral dalam substitusi
trigonometri dan dapat mengimplementasikannya dengan baik.
2. Dasar Teori
Integral subtitusi merupakan salah satu teknik penyelesaian integral khusus
termasuk juga teknik integral parsial. Oleh karena itu prasyarat mempelajari
materi integral subtitusi ini yaitu integral tak tentu fungsi aljabar , integral tak tentu
fungsi trigonometri serta integral tertentu.
Rumus substitusi trigonometri
Teknik pengintegralan berikutnya adalah integral subtitusi trigonometri yaitu integral
yang memuat bentuk-bentuk seperti dibawah ini,
Hasil subtitusinya seperti tabel 1 dibawah ini:
3. Alat Dan Bahan
• Alat Tulis
• Grafik
4. Langkah Kegiatan
Contoh Soal :
a.
Penyelesaian :
b.
Penyelesaian :
c.
Penyelesaian :
d.
Penyelesaian :
e.
Penyelesaian (gunakan cara subsitusi jadi lakukan permisalan dahulu)
lakukan substitusi ,
f.
Penyelesaian
misalkan
lakukan substitusi
g.
Penyelesaian
ingat rumus penjumlahan sudut
h.
Penyelesaian
ingat rumus trigonometri dan
i.
Penyelesaian
ubah dulu kebentuk yang untuk permisalan dan substitusi
misalkan
substitusi dan selesaikan integralnya
5. Tugas
∫cos3 x sin x dx = ……
∫sin5 x dx =……….
∫ cos3 xsin2 x
dx = ………..
MODUL 4
INTEGRAL PARSIAL
1. Tujuan
Mahasiswa diharapkan mampu memahami integral parsial dan dapat meng-
implementasikannya dengan baik.
2. Dasar Teori
Integral parsial merupakan salah satu teknik pengintegralan jika teknik
integral yang lain tidak dapat diselesaikan seperti teknik integral
subtitusi atau integral tak tentu secara umum. Metode integral parsial didasarkan pada
integrasi untuk turunan hasil kali dua fungsi.
Jika u = u(x) dan v = v(x), maka rumus integral parsial adalah:
Ada dua hal yang sangat penting dalam integral parsial dan akan menentukan berhasil
atau tidaknya pengintegralan, yaitu:
1. Pemilihan u dan dv yang tepat, memilih dv sehingga v dapat ditentukan
melalui v = ∫ dv
2. ∫ v du harus lebih mudah diselesaikan dibandingkan ∫ u dv
3. Alat dan Bahan
Alat Tulis
Grafik
4. Langkah Kegiatan
a.
Penyelesaian :
b.
Penyelesaian :
c.
Penyelesaian :
Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan
mempertimbangkan prioritas permisalan, kita
dan
lalu
lakukan substitusi integral parsial
bentuk menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan
metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan :
dan sama seperti sebelumnya
Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi
d.
Penyelesaian
berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan dan
lalu
lakukan substitusi dengan menggunakan integral parsial
lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan
kali ini dengan memilih lagi, dengan
. Karena persamaan u sama, langsung saja ke
persamaan dv,
substitusi untuk
tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi
e.
Penyelesaian :
lakukan permisalan dan
substitusikan ke rumus integral parsial
untuk menyelesaikan bentuk diatas, kita perlu melakukan substitusi
biasa. Kita misalkan
lanjutkan substitusi
f.
Penyelesaian :
sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih permisalan
dan .
dan
masukan ke dalam rumus integral parsial
5. Tugas
MODUL 5
INTEGRASI FUNGSI RASIONAL
1. Tujuan
Mahasiswa mampu memahami integrasi fungsi rasional dan dapat
mengimplementaskannya dengan baik di mata kuliah kalkulus 2
2. Dasar Teori
Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk , dengan
p(x) dan q(x) masing-masing suatu polinom derajat m dan n, (m < n).
disebut polynomial derajat m.
Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk
menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial .
Bentuk inilah yang lalu diintegralkan.
3. Alat dan Bahan
Alat Tulis
Grafik
4. Langkah Kegiatan
Contoh :
dx = dx
= dx + dx
A dan B dapat dicari melaui hubungan :
=
=
2x + 1 = A(x – 2) + B(x -1)
2x + 1 = (A + B)x – 2A – B
(A + B) = 2 dan -2A – B = 1
A = -3 dan B = 5
= dx + dx
misal : u = x – 1 du = dx
v = x – 2 dv = dx
= du + dv
= -3 ln(u) + 5 ln(v) + C
= -3 ln(x-1) + 5 ln(x-2) + C
= ln + C
Aturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk sebagai berikut :
1. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk , maka penguraian factor tersebut
berbentuk :
2. Untuk setiap factor dari q(x) berbentuk , maka penguraian factor
tersbut berbentuk :
Agar lebih jelas tentang aturan tersebut, diberikan contoh-contoh berikut :
Contoh :
1. =
=
dengan A = B = D = 1 dan C = 0
2.
dengan A = 4, B = -1, dan C = 2
3.
dengan A = 1, B = -1, C = 3 D = -5 dan E = 0.
Untuk kasus nbm yaitu derajat polinomial p(x) tidak kurang dari derajat polinomial ,
maka sebelum diterapkan aturan penguraian di atas, perlu dilakukan penyederhanaan
lebih dulu.
Contoh :
dx = …
Dalam hal ini = x3 - 1 berderajat 3 dan = x3 + x juga berderajat 3.
dx = (1 + + ) dx
= 1 dx + dx + dx
= 1 dx – dx + d –
= 1 dx – dx + d(x2 + 1) –
= x – ln x + ln(x2 + 1) – tan-1 x + C
Contoh :
Penyelesaian dibawah ini
Contoh :
Gunakan rumus di atas
5. Tugas
a.∫ (3 x2−22x+19 )dx
( x+2 ) ( x−3 )2=. ..
b.∫ dx
x3+x=. ..
c.∫ 2 x3+x+3
(x2+2 )2dx= .. .
d. ∫ 2x+1
x2−3 x+2dx=…
e. ∫ x3−1x3+x
dx=…
MODUL 6
INTEGRASI TERTENTU
( DEFINITE INTEGRAL)
1. Tujuan
Mahasiswa mampu memahami integrasi tertentu ( definite integral ) dengan
baik dan mampu mengimplementasikannya di mata kuliah kalkulus 2
2. Dasar Teori
Integral tertentu adalah nilai dari jumlah luas dibawah suatu kurva tertentu
dalam interval a ≤ x ≤ b, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas integral
tertentu. Sebelum pembahasan lebih jauh saya yakin anda sudah menguasai materi
integral tak tentu, tapi kalau lupa silahkan direview lagi halaman lain blog ini, klik
tulisan berwarna. Integral tertentu dituliskan dalam notasi disebut
integral tertentu karena hasilnya berupa nilai tertentu dan tidak lagi mengandung
konstanta.
Rumus dan Bentuk umum integral tertentu
3. Alat dan Bahan
Alat Tulis
Grafik
4. Langkah Kegiatan
Contoh soal :
Penyelesaian :
Perhatikan bentuk harga mutlaknya. Dengan menggunakan definisi harga mutlak,
bentuk integral bisa dibagi menjadi 2 bagian, yaitu untuk inverval dan
Contoh Soal : ∫−1
2
(4 x−6 x2 )dx
Penyelesaian :
∫−1
2
(4 x−6 x2 )dx=4∫−1
2
x dx−6∫−1
2
x2dx= 4
[ x2
2 ]−1
2
−6 [ x3
3 ]−1
2
= 4( 4
2−1
2 )−6 (83+ 1
3 ) = 12
5. Tugas
a. ∫ 1
√ x−3√ xdx=........
b. ∫1
4
(6 x2¿−2x2 )dx ¿=.......
c. ∫1
4
¿¿=......
MODUL 7
APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
1. Tujuan
Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan
integral tertentu.
Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan
menggunakan integral tertentu.
Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda dengan
menggunakan integral tertentu.
Mahasiswa dapat menentukan panjang busur dengan menggunakan
integral tertentu.
2. Teori Dasar
A. Luas Suatu Luasan
a) Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini
R adalah bidang datar yang dibatasi oleh grafik-grafik
y=f ( x ) , x=a , x=b , dan y=0
Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan
A(R )=∫a
b
f ( x )dx
Jika luasan terletak dibawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai
negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral
tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam
bentuk
A(R )=∫
a
b
− f ( x )dx=|∫a
b
f ( x )dx|
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-
langkah sebagai berikut :
a) Gambar daerah yang bersangkutan
b) Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu
c) Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang
d) Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut
e) Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh
integral tertentu.
b) Daerah antara 2 Kurva
Perhatikan kurva-kurva y=f ( x )dan y=g (x ) denganf ( x )≥g( x )pada
selang [a ,b ] , seperti gambar berikut :
ΔA≈ ( f ( x )−g( x ))Δx
Sehingga luas luasannya dinyatakan dengan:
A(R )=∫a
b
( f ( x )−g ( x ))dx
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah
kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan
dengan
A(R )=∫c
d
( f ( y )−g( y ))dy
c) Volume Benda Putar
o Pemutaran mengelilingi sumbu X
o Pemutaran mengelilingi sumbu Y
1. V=π∫
c
d
x2dy
2. V=π∫
c
d
( x12−x11
2 )dy
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung
dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi
tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali
antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi
benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat
dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
V=∫a
b
A ( x )dx
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu
daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua
buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.
d) Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan
sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung
dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah
tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a ,b ] .
Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram
dinyatakan :
A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :
V=∫a
b
π ( f ( x ))2 dx
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x=g( y ) , x=0 , y=c dan y=d
diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
V=∫c
d
π (g( y ))2 dy
Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 , f ( x )≥g (x )untuk
setiap x∈ [a ,b ] , x=a dan x=b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka
volume:
V=∫a
b
π ( f 2( x )−g2( x )) dx
Bila daerah yang dibatasi oleh x=f ( y )≥0 , x=g ( y )≥0 , f ( y )≥g ( y ) untuk
setiap y∈ [c ,d ] , y=c dan y=d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka
volume :
V=∫c
d
π ( f 2( y )−g2 ( y )) dy
e) Metode Kulit Tabung
Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume
benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan
dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai
tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang
akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita
lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-
turut r1 dan r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
ΔV=(πr2−πr1)h=2π rh Δr
dengan :r2−r1
2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr
Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x ) , y=0 , x=a , x=b diputar
mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari
r=x dan Δr=Δx dan tinggi tabung h=f (x ) Oleh karena itu volume benda
putar yang terjadi adalah
V=∫a
b
2 π xf (x )dx
Misal daerah dibatasi oleh kurva
y=f ( x ) , y=g ( x ) , f ( x )≥g ( x ) , x∈ [a ,b ] , x=a dan x=bdiputar mengelilingi
sumbu Y. Maka volume benda putar
V=∫a
b
2 πx ( f ( x )−g ( x )) dx
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan
x=f ( y ) , x=0 , y=c , y=d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
V=∫c
d
2 πy ( f ( y )) dy
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
x=f ( y ) , x=g ( y ) , f ( y )≥g( y ) , y∈ [c ,d ] , dan y=c dan y=d diputar
mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan
dengan
V=∫c
d
2 πy ( f ( y )−g( y )) dx
3. Alat dan Bahan
Alat Tulis
Grafik
4. Langkah Kegiatan
Luas Suatu Luasan
Contoh Soal :
o Segitiga ABC terletak pada XOY, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Titik A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan
integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
y
C (3,7)
x
B(3,0 )A(0,0 )
Persamaan garis AC dapat dinyatakan dengan rumus
y− y Ax−xA
=y c− yAxc−x A
Diperoleh persamaan
y−0x−
=7−03−0
3 y=7 x atau y=7 x3
Sehingga luas yang dicari dinyatakan denA(R )=∫
a
b
f ( x ) dx
⇔∫0
37 x3dx=( 7
6x2)
0
3
=( 76
9)=10 ,5
Contoh Soal Volume Benda Putar
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : y=x2
dan
y2=8 x diputar mengelilingi
a. sumbu X.
b. sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang [ 0,2 ] ,√8 x≥x2 .
Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
V=π∫0
2
( (√8x )2−(x2)2) dx=485π
b. Pada selang [ 0,4 ] ,√ y≥ y2
8
Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
V=π∫0
2
( (√ y )2−( y2
8 )2) dy=48
5π
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva :
y=2−x2 , y=−x dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis y=−2
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di (−1,1 ) dan (2 ,−2 ) . Pada selang [−1,0 ] berlaku
2−x2≥−x .
Jarak kurva y=2−x2 , y=−x terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat
dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah (4−x ) dan
(2−x ).
Sehingga volume benda putarnya adalah:
V=π∫−1
0
( ( 4−x2)2−(2−x )2) dx=365π
Contoh :
3. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama
dibawah parabola
Jawab
y=2−x2 dan di atas parabola y=x
2 diputar mengelilingi sumbu Y.
V=2π∫0
1
x [ (2−x2)−x2 ]dx=π
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian
yaitu : pada selang 0≤ y≤1 dibatasi x=√2− y dan sumbu Y sedang pada
selang dibatasi 1≤ y≤2
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
V=π∫0
1
(√ y )2dx+π∫1
2
(√2− y )2dy=π
4. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y=1−x2 ,
sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1
Jawab
Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda
pejal, (1−x2 )dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x
). Oleh karena itu,
volume benda putar :
V=2π∫−1
0
(1+x ) (1−x2)dx=56π
5. Tugas
I. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2−2 dan
y = 2 x2+x−4
II. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan
y = 5 – x
III. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = √ x dan y = -x + 6
Top Related