我們一般使用的三角板,都有一個角是直角 (90°) ,這種有一個角為直角的三角形,稱為直角三角形,如右圖 1 。其中直角所對的邊,稱為斜邊,其餘的兩個邊都稱為股。兩股長度相等的直角三角形稱為等腰直角三角形。
圖 2 是一張希臘為了紀念畢達哥拉斯於 1955 年 8 月 20 日發行的郵票,中間白色的三角形是一個直角三角形,而旁邊的三個正方形則是依照直角三角形的三邊長所畫出來的。假設每一個正方形中,小方格的面積皆為 1 ,我們可以觀察到上面兩個正方形的面積分別為 16 與 9 ,而下面的大正方形的面積為 25 ,所以上面兩個正方形的面積和等於大正方形的面積。
探討直角三角形中,各邊長之間的關係已知三角形 ABC 為一個直角三角形,其三邊長分別為 a 、 b 、 c 。今分別以 AB 、AC 、 BC 為一邊各畫一個正方形,如右圖所示。試回答下列問題。
1. 觀察圖 3∼ 圖 6 的變化過程,紫色部分的面積是否均相等?為什麼?
紫色部分的面積均相等 ( 同底等高 ) 。
2. 觀察圖 7∼ 圖 10 的變化過程,橘色部分的面積是否均相等?為什麼?
橘色部分的面積均相等 ( 同底等高 ) 。
3. 兩個小正方形的面積和是否等於大正方形的面積?是
從問題探索 1 我們發現,兩個小正方形的面積和等於大正方形的面積,也就是說,利用直角三角形兩股長所畫出的正方形面積和,與利用斜邊長所畫出的正方形面積相等,即 a2 + b2 = c2 。接下來,我們再介紹另一種方法來說明這個性質。
圖 11 中,三角形 ABC 是一個直角三角形,P 、 Q 、 R 分別為以三邊的長度所畫出的正方形。假設 BC 長為 a 、 AC 長為 b 、 AB
長為 c ,再取三個與三角形 ABC 一模一樣的三角形和邊長為 c 的正方形一起拼成一個邊長為 a + b 的正方形 EFCD ,所以 R 的面積為正方形 EFCD 面積減掉 4 個三角形 ABC 面積,即: R 的面積= (a + b)2 - 4× ×a×b
= a2 + 2ab + b2
- 2ab = a2 + b2
= P 的面積+ Q 的面積因為 R 的面積= c2 ,所以 c2 = a2 + b2 。
2
1
由上頁問題探索 1 中的圖形及利用乘法公式與面積的計算,我們可以推得以下結果:
勾股定理任意直角三角形,其兩股的平方和等於斜邊的平方。
我國古代將直角三角形的斜邊稱為弦,較短的股稱為勾。周髀算經中有一段記載商高與周公的對話:「勾廣三,股修四,徑隅五」,意即:直角三角形的兩股長是 3 和 4 ,則斜邊長是 5 。因而推出一個直角三角形三邊長的關係。我們把這個結果叫做勾股定理,也就是西方人所稱的畢達哥拉斯定理 ( 簡稱畢氏定理 ) 。
例1
利用勾股定理求直角三角形的邊長 求出下列邊長 a、 b 的值。
解 ⑴ 由勾股定理知: a2 = 52 + 122 = 25 + 144= 169 , 所以 a = ± = ±13 , a 表示邊長,是一個正數,故 a = 13 。
169
⑵ 由勾股定理知: 152 = 92 + b2 , b2 = 152 - 92 = 225 - 81 = 144 , 所以 b = ± = ±12 , b 表示邊長,是一個正數,故 b = 12 。
144
求出下列邊長 a 、 b 的值。
由勾股定理知:a2 = 82 + 62
= 64 + 36
= 100
a 為 100 的正平方根,所以 a = 10 。
由勾股定理知:b2 = 102 - 72
= 100 - 49= 51b 為 51 的正平方根,所以 b = 251 。
例2
直角三角形斜邊上的高 在直角三角形 ABC 中, BD 為斜邊上的高,
則 BD 的長為多少?
解 由勾股定理知: AC2 = AB2 + BC2 = 102 + 242 = 676 ,
所以 AC = ± = ±26( 負不合 ) ,得 AC = 26 ,
又直角三角形 ABC 的面積= ×AB×BC = ×AC×
BD ,
所以 ×10×24 = ×26×BD ,
即 BD =
676
2
1
2
1
2
1
2
1
13
120
26
2410
在直角三角形 ABC 中, BD 為斜邊上的高,則 BD 的長為多少?
由勾股定理知: BC2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 ,
BC = ± = ±9( 負不合 ) ,得 BC
= 9 ,
又直角三角形 ABC 的面積= ×AB×BC = ×A
C×BD ,
所以 ×12×9 = ×15×BD ,即 BD =
81
2
12
1
2
12
15
36
15
912
例3
勾股定理的應用問題如右圖,樂觀號的船帆是一塊直角三角形的帆布,已知此帆布一股長 15 公尺,斜邊長 17 公尺,帆船
手阿傑須將船帆拉離帆船桿 a 公尺,才能將整張 船帆展開。則 a 的值為多少?
解由勾股定理知: 172 = 152 + a2 ,a2 = 172 - 152 = 289 - 225 = 64 ,所以 a = ± = ±8( 負不合 ) ,得 a = 8 。
64
通常我們說一臺 21 吋的電視機,表示這臺電視機螢幕對角的距離是 21 吋。現在有一臺電視機,它的螢幕長 20 吋、寬 15 吋,如右圖,請問這是幾吋的電視機 ( 即求 AC 長 ) ?
本題是要求 AC 的長,根據勾股定理得 AC2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625 ,AC = ± = ±25( 負不合 ) ,所以螢幕長 20 吋、寬 15 吋的電視機是 25 吋的電視機。
2
12
15
36
15
912
625
例4
勾股定理的應用問題 育萍拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。
⑴ 已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺,則牆腳與梯頂 距離多少公尺? ⑵ 接上題,若將梯頂下移 0.9 公尺,則梯腳滑移多
少公尺?解 ⑴ 參考右圖直角三角形 ABC ,根據勾股定
理得 2.52 = AB2 + 0.72
AB2 = 6.25 - 0.49 = 5.76
AB = ±2.4( 負不合 )
得 AB = 2.4
所以牆腳與梯頂的距離為 2.4 公尺。
例4
勾股定理的應用問題 育萍拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。
⑴ 已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺,則牆腳與梯頂 距離多少公尺? ⑵ 接上題,若將梯頂下移 0.9 公尺,則梯腳滑移多
少公尺?解 ⑵參考右圖直角三角形 EBD ,根據勾股定理
得2.52 = (2.4 - 0.9)2 + BD2
BD2 = 6.25 - 2.25 = 4 , BD = ±2( 負不合 )
得 BD = 2
所以 CD = 2 - 0.7 = 1.3( 公尺 )
所以梯腳滑移了 1.3 公尺。
曉倩拿著 1.3 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。已知牆腳與梯腳距離為 0.5 公尺,若將梯頂下移 0.7 公尺,則梯腳滑移多少公尺?原來的梯頂高度下移後的梯頂高度= 1.2 - 0.7 = 0.5
梯頂下移後的牆腳與梯腳距離為 所以梯腳滑移 1.2 - 0.5 = 0.7 公尺
2.144.15.03.1 22
2.144.15.03.1 22
例5
勾股定理的應用問題
如右圖,有一正方體的盒子,其邊長 6 公分,
則 A、 D 兩點的距離為多少公分?
解分成下面兩個步驟求解:⑴ 在正方體的盒子中,三角形 BCD 為直角三角形,
已知 BC = CD = 6 公分,根據勾股定理得到: BC2 + CD2 = BD2
BD2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72
BD = ± ( 負不合 ) ,得 BD = ( 公分 ) 。72 72
例5
勾股定理的應用問題
如右圖,有一正方體的盒子,其邊長 6 公分,
則 A、 D 兩點的距離為多少公分?
解 ⑵ 在正方體的盒子中,三角形 ABD 為直角三角形,∠ABD 為直角,已知 AB = 6 公分, BD = 公分,根據勾股定理得到: AB2 + BD2 = AD2
AD2 = 62 + ( )2 = 36 + 72 = 108
AD = ± = ± ( 負不合 ) ,得 AD = ( 公分 )
因此 A 、 D 兩點的距離為 公分。
72
72
108 36 36
36
如右圖,有一個長方體的盒子,已知 AE = 15 , AG = 25 , EF = 12 ,則 FG 為多少? (提示:先求出 E
G 的長 )
EG2 = AG2 - AE2 = 252 - 152 = 400
EG = ± = ±20( 負不合 ) ,所以 EG =
20
FG2 = EG2 - EF2 = 202 - 122 = 256
FG = ± = ±16( 負不合 ) ,所以 FG =
16
400
256
例6
利用勾股定理在數線上畫出指定的點
在數線上畫出 的位置。解
3
用三角板畫出兩股長都為 1 的直角三角形,如圖 A 。由勾股定理可知斜邊長為 。有了長為 的線段,就能畫出兩股長分別為 1 、 的直角三角形,如圖 B 。由勾股定理可知斜邊長為 。以 O 為圓心, AD 長為半徑畫弧,在 O 的右邊交數線於 M 點,則 M 點即為 。
211 22 2 2
321)2(1 22
3
重複這個方式繼續下去,就可以畫出長度為 的線段,其中 a 為任意正整數。
a
在數線上畫出 的位置。5
用三角板畫出兩股長分別為 1 與 2 的直角三角形,如右圖。由勾股定理可知斜邊長為 。以 O 為圓心, AC 長為半徑畫弧,在 O 的右邊交數線於 N 點,則 N 點即為 。
521 22
5
第一冊學過:如果 A(a) 、 B(b) 是數線上的兩點,那麼 A 與 B 的距離是它們坐標差的絕對值,也就是
A(a) 與 B(b) 的距離 AB =∣ a - b∣或∣ b - a∣
那麼直角坐標平面上兩點的距離怎麼求呢?我們來看下面的例題。
例7
求水平線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(2 , 0)、 B(5 , 0)、 C(- 4 , 3)、 D(2 , 3)四點,分別求出下列各小題中兩點的距離。
⑴ A、 B ⑵ C、 D
解A 、 B 兩點的 y 坐標相同,均為 0 ,故兩點在同一條水平線上,如同在一數線上,所以它們的距離可以用 x 坐標差的絕對值來算,即 AB =∣ 5 - 2∣= 3 。
⑴
例7
求水平線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(2 , 0)、 B(5 , 0)、 C(- 4 , 3)、 D(2 , 3)四點,分別求出下列各小題中兩點的距離。
⑴ A、 B ⑵ C、 D
解 ⑵ 同理, CD=∣ 2 - ( -4)∣= 6 。
直角坐標平面上有 A(1 , - 2) 、 B( - 6 , - 2) 、 C( - 7 , 3) 、 D( - 2 , 3) 四點,分別求出下列各小題中兩點的距離。
⑴ A 、 B ⑵ C 、 D因為 A 、 B 兩點的縱坐標都相同,均為- 2 ,所以 A 、 B 兩點的距離AB =│ 1 - ( - 6)│ = 7
因為 C 、 D 兩點的縱坐標都相同,均為 3 ,所以 C 、 D 兩點的距離CD =│- 7 - ( - 2)│= 5
例8
求鉛垂線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(0 , 3)、 B(0 ,- 3)、 C(- 3 , 1)、 D(-3 , 5)四點,請分別求出下列各小題中兩點的距離。
⑴ A、 B ⑵ C、 D解
A 、 B 兩點的 x 坐標相同,均為 0 ,故兩點在同一條鉛垂線上,因此它們的距離可以用 y 坐標差的絕對值來算,即 AB =∣ 3 - ( - 3)∣= 6 。
⑴
例8
求鉛垂線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(0 , 3)、 B(0 ,- 3)、 C(- 3 , 1)、 D(-3 , 5)四點,請分別求出下列各小題中兩點的距離。
⑴ A、 B ⑵ C、 D解 ⑵ 同理, CD =∣ 5 - 1∣= 4 。
直角坐標平面上有 M(1 , 3) 、 N(1 , - 2) 、 P( - 2 , -1) 、 Q( - 2 , - 5) 四點,分別求出下列各小題中兩點的距離。
⑴M 、 N ⑵ P 、 Q因為 M 、 N 兩點的橫坐標都相同,均為 1 ,所以 M 、 N 兩點的距離MN =│ 3 - ( - 2)│ = 5
因為 P 、 Q 兩點的橫坐標都相同,均為- 2
所以 P 、 Q 兩點的距離PQ =│- 1 - ( - 5)│ = 4
由例 7 和例 8 我們可以知道,在直角坐標平面上相異兩點,若 y 坐標相同,則兩點所成的直線為水平線,這兩點的距離為它們 x 坐標差的絕對值;若 x 坐標相同,則兩點所成的直線為鉛垂線,這兩點的距離為它們 y 坐標差的絕對值。
如果在直角坐標平面上有 A( - 3 , - 1) 、 B(2 ,
5) 兩點,它們不在同一水平線上或同一鉛垂線上,我們可以透過作水平線和鉛垂線,找到一個直角三角形,再利用勾股定理求出兩點的距離,我們來看下面的問題探索。
利用勾股定理求兩點間的距離在直角坐標平面上有 A( - 3 , - 1) 、 B(2 , 5) 兩點,回答下列問題。
1. 在右圖的直角坐標平面上畫出過 A 點平行於 x 軸的水平線,過 B 點平行於 y 軸的鉛垂線。如右圖
2. 設兩直線相交於 C 點,求 C 點的坐標。
A 、 C 兩點的 y 坐標都是- 1 ,B 、 C 兩點的 x 坐標都是 2 ,所以 C 點的坐標為 (2 ,- 1) 。
3. 求 A 、 B 兩點的距離。
從圖中可以看出,三角形 ABC 是直角三角形, AB 為斜邊,AC 、 BC 為兩股,AC =∣ ( - 3) - 2∣= 5 、 BC =∣ 5 - ( - 1)∣= 6 ,根據勾股定理可以得到: AB2 = AC2 + BC2 = 52 + 62
= 25 + 36= 61 ,AB = ± ( 負不合 ) ,所以 AB = 。
61 61
由問題探索 2 可知,如果 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 是直角坐標平面上的兩點且不在同一水平線或鉛垂線上,我們可以找出一點 C(x2 , y1) ,使得三角形 ABC 為一直角三角形,且 AC =︱ x2 - x1︱, BC =︱ y2 - y1︱,所以由勾股定理可以得到:
212
212
2
12
2
1222
)()( yyxx
yyxxBCACAB
直角坐標平面上兩點間的距離公式如果 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 是直角坐標平面上的兩點,則 A 與 B 的距離 2
122
12 )()( yyxxAB
例9
利用公式求兩點間的距離 在直角坐標平面上有 C(- 4 , 6)、 D(5 ,- 3) 兩點,則 CD
=?解 CD
29
162
8181
)]3(6[]5)4[( 22
1. 在直角坐標平面上有 E(6 , 4) 、 F( - 3 , - 7) 兩點,則 EF =?EF
20212181
119)]7(4[)]3(6[ 2222
2. 利用距離公式求下列各小題兩點間的距離,並與例 7 ⑴、 例 8 ⑵比較答案是否相同? ⑴ A(2 , 0) 、 B(5 , 0) ⑵ C( - 3 , 1) 、 D( - 3 , 5)
⑴ AB 30)25( 22
⑵ CD 4)51()]3(3[ 22
1 勾股定理
任意直角三角形,其兩股的平方和等於斜邊的平方。
例 如右圖,直角三角形 ABC 中, a2 + b2 = c2 。
註: 常見的直角三角形三邊長有 3 、 4 、 5;
5 、 12 、 13; 7 、 24 、 25; 8 、 15 、 17 。
2 直角坐標平面上兩點間的距離公式
如果 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 是直角坐標平面上的兩點,
則 A 與 B 的距離
。
例 直角坐標平面上有 A( - 3 , - 1) 、 B(2 , 5) 兩點,
212
212 )()( yyxxAB
613625]5)1[(]2)3[( 22 AB
1已知一直角三角形的兩股長分別為 、 7 ,求斜邊長。11
斜邊長 152607)11( 22
2已知一直角三角形的兩邊長分別為 6 、 8 ,求第三邊的長。
若 6 、 8 分別為直角三角形的兩股,則斜邊長為 若 6 為直角三角形的一股, 8 為斜邊長,則另一股為 所以第三邊的長為 10 或
1086 22
7268 22
72
3 求下列圖形中,英文字母 a 、 b 、 c 、 d 所代表的線段長度。⑴ ⑵
65 3
65)34(4
3945
2222
2222
ba
BCABAC
ABADBD
,所以5
12 5
5
12
5
432
143
2
1
52543 2222
dcd
dACADC
BCABAC
,所以,
面積三角形
4 如右圖,三角形 ABC 為一等腰三角形,已知 AB = AC = 13 公分, AD 垂直 BC ,且 BD = 5 公分,則三角形 ABC
的面積是多少平方公分?
)(60
)55(122
1
2
1
51213
12513
2222
2222
平方公分
面積三角形
BCADABC
ADACDC
BDABAD
5 王伯伯有一塊田地,拿來種花、蔬菜和番茄,若他想將田地的外圍用鐵絲圍起來,如右圖,則他至少要準備多少公尺的鐵絲?
如右圖, AG = AD - GD = EF - GD = 7
- 4 = 3
BG = 4
所以田地的外圍= AB + BC + CE + EF + A
F
= 5 + 4 + 7 + 7 + 3 = 26( 公尺 )
543 2222 BGAGAB 543 2222 BGAGAB
6 直角坐標平面上有 A(3 , - 2) 、 B( - 4 , - 5) 、 C(0 ,
6) 、 D( - 9 , 12) 四點,則 AB 、 BC 、 CD 、 AD 分別是多少?
5837)]5(2[)]4(3[ 2222 AB
137114)65()04( 2222 BC
8523404112)]2(12[)39( 2222 AD
13311769)126()]9(0[ 2222 CD
7 直角坐標平面上有 A(3 , - 2) 、 B( - 4 , - 5) 、 C(0 ,
6) 、 D( - 9 , 12) 四點,則 AB 、 BC 、 CD 、 AD 分別是多少?
10086)35()33( 2222
P 點坐標為 (3 , 3) 、 Q 點坐標為 ( - 3 , - 5)
則 P 、 Q 兩點的距離
= 10 個單位長
勾股定理的證明:出入相補原理
劉徽,三國時期魏國人,他在魏 景元四年為九章算術作
註解。在他的九章算術注文中,劉徽有系統地應用圖形和
模型等幾何直觀的方法 ( 也就是將各種圖形相互拼湊,相
當於現在一般平面幾何學中的平行移動和疊合 ) ,來處理
各種數學問題。他利用「出入相補原理」,把圖形分割成
若干塊後重新拼合,成功地證明了「勾股定理」。現在說
明如下:
1. 圖 1 為分別以直角三角形三邊勾、股、弦為邊長所構成的三個小正方形。
2. 將以勾、股為邊長的兩個正方形拼在一起,如圖 2 。3. 將以弦為邊長的正方形疊到圖 2 上,如圖 3 的虛線正方
形。4. 依照圖 3 ,將標示「出」的部分移到對應「入」的位置,重新組合成一個正方形,如圖 4 。
我們可以看出,以「股」為邊長的是一個綠色的正方形,以「勾」為邊長的是一個藍色的正方形。經過出入相補之後,得到一個以「弦」為邊長的大正方形。即是:以「勾」為邊長的正方形面積+以「股」為邊長的正方形面積=以「弦」為邊長的正方形面積,也就是:勾 2 +股 2 =弦 2 ,即是「勾股定理」或「畢達哥拉斯定理」: 任意一個直角三角形中,兩股的平方和等於其斜邊的平方。
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