我們一般使用的三角板，都有一個角是直角 (90°) ，這種有一個角為直角的三角形，稱為直角三角形，如右圖 1 。其中直角所對的邊，稱為斜邊，其餘的兩個邊都稱為股。兩股長度相等的直角三角形稱為等腰直角三角形。

圖 2 是一張希臘為了紀念畢達哥拉斯於 1955 年 8 月 20 日發行的郵票，中間白色的三角形是一個直角三角形，而旁邊的三個正方形則是依照直角三角形的三邊長所畫出來的。假設每一個正方形中，小方格的面積皆為 1 ，我們可以觀察到上面兩個正方形的面積分別為 16 與 9 ，而下面的大正方形的面積為 25 ，所以上面兩個正方形的面積和等於大正方形的面積。

探討直角三角形中，各邊長之間的關係已知三角形 ABC 為一個直角三角形，其三邊長分別為 a 、 b 、 c 。今分別以 AB 、AC 、 BC 為一邊各畫一個正方形，如右圖所示。試回答下列問題。

1. 觀察圖 3∼ 圖 6 的變化過程，紫色部分的面積是否均相等？為什麼？

紫色部分的面積均相等 ( 同底等高 ) 。

2. 觀察圖 7∼ 圖 10 的變化過程，橘色部分的面積是否均相等？為什麼？

橘色部分的面積均相等 ( 同底等高 ) 。

3. 兩個小正方形的面積和是否等於大正方形的面積？是

從問題探索 1 我們發現，兩個小正方形的面積和等於大正方形的面積，也就是說，利用直角三角形兩股長所畫出的正方形面積和，與利用斜邊長所畫出的正方形面積相等，即 a2 ＋ b2 ＝ c2 。接下來，我們再介紹另一種方法來說明這個性質。

圖 11 中，三角形 ABC 是一個直角三角形，P 、 Q 、 R 分別為以三邊的長度所畫出的正方形。假設 BC 長為 a 、 AC 長為 b 、 AB

長為 c ，再取三個與三角形 ABC 一模一樣的三角形和邊長為 c 的正方形一起拼成一個邊長為 a ＋ b 的正方形 EFCD ，所以 R 的面積為正方形 EFCD 面積減掉 4 個三角形 ABC 面積，即： R 的面積＝ (a ＋ b)2 － 4× ×a×b

＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2

－ 2ab ＝ a2 ＋ b2

＝ P 的面積＋ Q 的面積因為 R 的面積＝ c2 ，所以 c2 ＝ a2 ＋ b2 。

2

1

由上頁問題探索 1 中的圖形及利用乘法公式與面積的計算，我們可以推得以下結果：

勾股定理任意直角三角形，其兩股的平方和等於斜邊的平方。

我國古代將直角三角形的斜邊稱為弦，較短的股稱為勾。周髀算經中有一段記載商高與周公的對話：「勾廣三，股修四，徑隅五」，意即：直角三角形的兩股長是 3 和 4 ，則斜邊長是 5 。因而推出一個直角三角形三邊長的關係。我們把這個結果叫做勾股定理，也就是西方人所稱的畢達哥拉斯定理 ( 簡稱畢氏定理 ) 。

例1

利用勾股定理求直角三角形的邊長 求出下列邊長 a、 b 的值。

解 ⑴ 由勾股定理知： a2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 25 ＋ 144＝ 169 ， 所以 a ＝ ± ＝ ±13 ， a 表示邊長，是一個正數，故 a ＝ 13 。

169

⑵ 由勾股定理知： 152 ＝ 92 ＋ b2 ， b2 ＝ 152 － 92 ＝ 225 － 81 ＝ 144 ， 所以 b ＝ ± ＝ ±12 ， b 表示邊長，是一個正數，故 b ＝ 12 。

144

求出下列邊長 a 、 b 的值。

由勾股定理知：a2 ＝ 82 ＋ 62

＝ 64 ＋ 36

＝ 100

a 為 100 的正平方根，所以 a ＝ 10 。

由勾股定理知：b2 ＝ 102 － 72

＝ 100 － 49＝ 51b 為 51 的正平方根，所以 b ＝ 251 。

例2

直角三角形斜邊上的高 在直角三角形 ABC 中， BD 為斜邊上的高，

則 BD 的長為多少？

解 由勾股定理知： AC2 ＝ AB2 ＋ BC2 ＝ 102 ＋ 242 ＝ 676 ，

所以 AC ＝ ± ＝ ±26( 負不合 ) ，得 AC ＝ 26 ，

又直角三角形 ABC 的面積＝ ×AB×BC ＝ ×AC×

BD ，

所以 ×10×24 ＝ ×26×BD ，

即 BD ＝

676

2

1

2

1

2

1

2

1

13

120

26

2410

在直角三角形 ABC 中， BD 為斜邊上的高，則 BD 的長為多少？

由勾股定理知： BC2 ＝ 152 － 122 ＝ 225 － 144 ＝ 81 ，

BC ＝ ± ＝ ±9( 負不合 ) ，得 BC

＝ 9 ，

又直角三角形 ABC 的面積＝ ×AB×BC ＝ ×A

C×BD ，

所以 ×12×9 ＝ ×15×BD ，即 BD ＝

81

2

12

1

2

12

15

36

15

912

例3

勾股定理的應用問題如右圖，樂觀號的船帆是一塊直角三角形的帆布，已知此帆布一股長 15 公尺，斜邊長 17 公尺，帆船

手阿傑須將船帆拉離帆船桿 a 公尺，才能將整張 船帆展開。則 a 的值為多少？

解由勾股定理知： 172 ＝ 152 ＋ a2 ，a2 ＝ 172 － 152 ＝ 289 － 225 ＝ 64 ，所以 a ＝ ± ＝ ±8( 負不合 ) ，得 a ＝ 8 。

64

通常我們說一臺 21 吋的電視機，表示這臺電視機螢幕對角的距離是 21 吋。現在有一臺電視機，它的螢幕長 20 吋、寬 15 吋，如右圖，請問這是幾吋的電視機 ( 即求 AC 長 ) ？

本題是要求 AC 的長，根據勾股定理得 AC2 ＝ 202 ＋ 152 ＝ 400 ＋ 225 ＝ 625 ，AC ＝ ± ＝ ±25( 負不合 ) ，所以螢幕長 20 吋、寬 15 吋的電視機是 25 吋的電視機。

2

12

15

36

15

912

625

例4

勾股定理的應用問題 育萍拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。

⑴ 已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺，則牆腳與梯頂 距離多少公尺？ ⑵ 接上題，若將梯頂下移 0.9 公尺，則梯腳滑移多

少公尺？解 ⑴ 參考右圖直角三角形 ABC ，根據勾股定

理得 2.52 ＝ AB2 ＋ 0.72

AB2 ＝ 6.25 － 0.49 ＝ 5.76

AB ＝ ±2.4( 負不合 )

得 AB ＝ 2.4

所以牆腳與梯頂的距離為 2.4 公尺。

例4

勾股定理的應用問題 育萍拿著 2.5 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。

⑴ 已知牆腳與梯腳距離為 0.7 公尺，則牆腳與梯頂 距離多少公尺？ ⑵ 接上題，若將梯頂下移 0.9 公尺，則梯腳滑移多

少公尺？解 ⑵參考右圖直角三角形 EBD ，根據勾股定理

得2.52 ＝ (2.4 － 0.9)2 ＋ BD2

BD2 ＝ 6.25 － 2.25 ＝ 4 ， BD ＝ ±2( 負不合 )

得 BD ＝ 2

所以 CD ＝ 2 － 0.7 ＝ 1.3( 公尺 )

所以梯腳滑移了 1.3 公尺。

曉倩拿著 1.3 公尺長的梯子靠在一垂直牆上。已知牆腳與梯腳距離為 0.5 公尺，若將梯頂下移 0.7 公尺，則梯腳滑移多少公尺？原來的梯頂高度下移後的梯頂高度＝ 1.2 － 0.7 ＝ 0.5

梯頂下移後的牆腳與梯腳距離為 所以梯腳滑移 1.2 － 0.5 ＝ 0.7 公尺

2.144.15.03.1 22

2.144.15.03.1 22

例5

勾股定理的應用問題

如右圖，有一正方體的盒子，其邊長 6 公分，

則 A、 D 兩點的距離為多少公分？

解分成下面兩個步驟求解：⑴ 在正方體的盒子中，三角形 BCD 為直角三角形，

已知 BC ＝ CD ＝ 6 公分，根據勾股定理得到： BC2 ＋ CD2 ＝ BD2

BD2 ＝ 62 ＋ 62 ＝ 36 ＋ 36 ＝ 72

BD ＝ ± ( 負不合 ) ，得 BD ＝ ( 公分 ) 。72 72

例5

勾股定理的應用問題

如右圖，有一正方體的盒子，其邊長 6 公分，

則 A、 D 兩點的距離為多少公分？

解 ⑵ 在正方體的盒子中，三角形 ABD 為直角三角形，∠ABD 為直角，已知 AB ＝ 6 公分， BD ＝ 公分，根據勾股定理得到： AB2 ＋ BD2 ＝ AD2

AD2 ＝ 62 ＋ ( )2 ＝ 36 ＋ 72 ＝ 108

AD ＝ ± ＝ ± ( 負不合 ) ，得 AD ＝ ( 公分 )

因此 A 、 D 兩點的距離為 公分。

72

72

108 36 36

36

如右圖，有一個長方體的盒子，已知 AE ＝ 15 ， AG ＝ 25 ， EF ＝ 12 ，則 FG 為多少？ (提示：先求出 E

G 的長 )

EG2 ＝ AG2 － AE2 ＝ 252 － 152 ＝ 400

EG ＝ ± ＝ ±20( 負不合 ) ，所以 EG ＝

20

FG2 ＝ EG2 － EF2 ＝ 202 － 122 ＝ 256

FG ＝ ± ＝ ±16( 負不合 ) ，所以 FG ＝

16

400

256

例6

利用勾股定理在數線上畫出指定的點

在數線上畫出 的位置。解

3

用三角板畫出兩股長都為 1 的直角三角形，如圖 A 。由勾股定理可知斜邊長為 。有了長為 的線段，就能畫出兩股長分別為 1 、 的直角三角形，如圖 B 。由勾股定理可知斜邊長為 。以 O 為圓心， AD 長為半徑畫弧，在 O 的右邊交數線於 M 點，則 M 點即為 。

211 22 2 2

321)2(1 22

3

重複這個方式繼續下去，就可以畫出長度為 的線段，其中 a 為任意正整數。

a

在數線上畫出 的位置。5

用三角板畫出兩股長分別為 1 與 2 的直角三角形，如右圖。由勾股定理可知斜邊長為 。以 O 為圓心， AC 長為半徑畫弧，在 O 的右邊交數線於 N 點，則 N 點即為 。

521 22

5

第一冊學過：如果 A(a) 、 B(b) 是數線上的兩點，那麼 A 與 B 的距離是它們坐標差的絕對值，也就是

A(a) 與 B(b) 的距離 AB ＝∣ a － b∣或∣ b － a∣

那麼直角坐標平面上兩點的距離怎麼求呢？我們來看下面的例題。

例7

求水平線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(2 , 0)、 B(5 , 0)、 C(－ 4 , 3)、 D(2 , 3)四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。

⑴ A、 B ⑵ C、 D

解A 、 B 兩點的 y 坐標相同，均為 0 ，故兩點在同一條水平線上，如同在一數線上，所以它們的距離可以用 x 坐標差的絕對值來算，即 AB ＝∣ 5 － 2∣＝ 3 。

⑴

例7

求水平線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(2 , 0)、 B(5 , 0)、 C(－ 4 , 3)、 D(2 , 3)四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。

⑴ A、 B ⑵ C、 D

解 ⑵ 同理， CD＝∣ 2 － ( －4)∣＝ 6 。

直角坐標平面上有 A(1 , － 2) 、 B( － 6 , － 2) 、 C( － 7 , 3) 、 D( － 2 , 3) 四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。

⑴ A 、 B ⑵ C 、 D因為 A 、 B 兩點的縱坐標都相同，均為－ 2 ，所以 A 、 B 兩點的距離AB ＝│ 1 － ( － 6)│ ＝ 7

因為 C 、 D 兩點的縱坐標都相同，均為 3 ，所以 C 、 D 兩點的距離CD ＝│－ 7 － ( － 2)│＝ 5

例8

求鉛垂線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(0 , 3)、 B(0 ,－ 3)、 C(－ 3 , 1)、 D(－3 , 5)四點，請分別求出下列各小題中兩點的距離。

⑴ A、 B ⑵ C、 D解

A 、 B 兩點的 x 坐標相同，均為 0 ，故兩點在同一條鉛垂線上，因此它們的距離可以用 y 坐標差的絕對值來算，即 AB ＝∣ 3 － ( － 3)∣＝ 6 。

⑴

例8

求鉛垂線上兩點的距離直角坐標平面上有 A(0 , 3)、 B(0 ,－ 3)、 C(－ 3 , 1)、 D(－3 , 5)四點，請分別求出下列各小題中兩點的距離。

⑴ A、 B ⑵ C、 D解 ⑵ 同理， CD ＝∣ 5 － 1∣＝ 4 。

直角坐標平面上有 M(1 , 3) 、 N(1 , － 2) 、 P( － 2 , －1) 、 Q( － 2 , － 5) 四點，分別求出下列各小題中兩點的距離。

⑴M 、 N ⑵ P 、 Q因為 M 、 N 兩點的橫坐標都相同，均為 1 ，所以 M 、 N 兩點的距離MN ＝│ 3 － ( － 2)│ ＝ 5

因為 P 、 Q 兩點的橫坐標都相同，均為－ 2

所以 P 、 Q 兩點的距離PQ ＝│－ 1 － ( － 5)│ ＝ 4

由例 7 和例 8 我們可以知道，在直角坐標平面上相異兩點，若 y 坐標相同，則兩點所成的直線為水平線，這兩點的距離為它們 x 坐標差的絕對值；若 x 坐標相同，則兩點所成的直線為鉛垂線，這兩點的距離為它們 y 坐標差的絕對值。

如果在直角坐標平面上有 A( － 3 , － 1) 、 B(2 ,

5) 兩點，它們不在同一水平線上或同一鉛垂線上，我們可以透過作水平線和鉛垂線，找到一個直角三角形，再利用勾股定理求出兩點的距離，我們來看下面的問題探索。

利用勾股定理求兩點間的距離在直角坐標平面上有 A( － 3 , － 1) 、 B(2 , 5) 兩點，回答下列問題。

1. 在右圖的直角坐標平面上畫出過 A 點平行於 x 軸的水平線，過 B 點平行於 y 軸的鉛垂線。如右圖

2. 設兩直線相交於 C 點，求 C 點的坐標。

A 、 C 兩點的 y 坐標都是－ 1 ，B 、 C 兩點的 x 坐標都是 2 ，所以 C 點的坐標為 (2 ,－ 1) 。

3. 求 A 、 B 兩點的距離。

從圖中可以看出，三角形 ABC 是直角三角形， AB 為斜邊，AC 、 BC 為兩股，AC ＝∣ ( － 3) － 2∣＝ 5 、 BC ＝∣ 5 － ( － 1)∣＝ 6 ，根據勾股定理可以得到： AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ＝ 52 ＋ 62

＝ 25 ＋ 36＝ 61 ，AB ＝ ± ( 負不合 ) ，所以 AB ＝ 。

61 61

由問題探索 2 可知，如果 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 是直角坐標平面上的兩點且不在同一水平線或鉛垂線上，我們可以找出一點 C(x2 , y1) ，使得三角形 ABC 為一直角三角形，且 AC ＝︱ x2 － x1︱， BC ＝︱ y2 － y1︱，所以由勾股定理可以得到：

212

212

2

12

2

1222

)()( yyxx

yyxxBCACAB

直角坐標平面上兩點間的距離公式如果 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 是直角坐標平面上的兩點，則 A 與 B 的距離 2

122

12 )()( yyxxAB

例9

利用公式求兩點間的距離 在直角坐標平面上有 C(－ 4 , 6)、 D(5 ,－ 3) 兩點，則 CD

＝？解 CD

29

162

8181

)]3(6[]5)4[( 22

1. 在直角坐標平面上有 E(6 , 4) 、 F( － 3 , － 7) 兩點，則 EF ＝？EF

20212181

119)]7(4[)]3(6[ 2222

2. 利用距離公式求下列各小題兩點間的距離，並與例 7 ⑴、 例 8 ⑵比較答案是否相同？ ⑴ A(2 , 0) 、 B(5 , 0) ⑵ C( － 3 , 1) 、 D( － 3 , 5)

⑴ AB 30)25( 22

⑵ CD 4)51()]3(3[ 22

1 勾股定理

任意直角三角形，其兩股的平方和等於斜邊的平方。

例 如右圖，直角三角形 ABC 中， a2 ＋ b2 ＝ c2 。

註： 常見的直角三角形三邊長有 3 、 4 、 5；

5 、 12 、 13； 7 、 24 、 25； 8 、 15 、 17 。

2 直角坐標平面上兩點間的距離公式

如果 A(x1 , y1) 、 B(x2 , y2) 是直角坐標平面上的兩點，

則 A 與 B 的距離

。

例 直角坐標平面上有 A( － 3 , － 1) 、 B(2 , 5) 兩點，

212

212 )()( yyxxAB

613625]5)1[(]2)3[( 22 AB

1已知一直角三角形的兩股長分別為 、 7 ，求斜邊長。11

斜邊長 152607)11( 22

2已知一直角三角形的兩邊長分別為 6 、 8 ，求第三邊的長。

若 6 、 8 分別為直角三角形的兩股，則斜邊長為 若 6 為直角三角形的一股， 8 為斜邊長，則另一股為 所以第三邊的長為 10 或

1086 22

7268 22

72

3 求下列圖形中，英文字母 a 、 b 、 c 、 d 所代表的線段長度。⑴ ⑵

65 3

65)34(4

3945

2222

2222

ba

BCABAC

ABADBD

，所以5

12 5

5

12

5

432

143

2

1

52543 2222

dcd

dACADC

BCABAC

，所以，

面積三角形

4 如右圖，三角形 ABC 為一等腰三角形，已知 AB ＝ AC ＝ 13 公分， AD 垂直 BC ，且 BD ＝ 5 公分，則三角形 ABC

的面積是多少平方公分？

)(60

)55(122

1

2

1

51213

12513

2222

2222

平方公分

面積三角形

BCADABC

ADACDC

BDABAD

5 王伯伯有一塊田地，拿來種花、蔬菜和番茄，若他想將田地的外圍用鐵絲圍起來，如右圖，則他至少要準備多少公尺的鐵絲？

如右圖， AG ＝ AD － GD ＝ EF － GD ＝ 7

－ 4 ＝ 3

BG ＝ 4

所以田地的外圍＝ AB ＋ BC ＋ CE ＋ EF ＋ A

F

＝ 5 ＋ 4 ＋ 7 ＋ 7 ＋ 3 ＝ 26( 公尺 )

543 2222 BGAGAB 543 2222 BGAGAB

6 直角坐標平面上有 A(3 , － 2) 、 B( － 4 , － 5) 、 C(0 ,

6) 、 D( － 9 , 12) 四點，則 AB 、 BC 、 CD 、 AD 分別是多少？

5837)]5(2[)]4(3[ 2222 AB

137114)65()04( 2222 BC

8523404112)]2(12[)39( 2222 AD

13311769)126()]9(0[ 2222 CD

7 直角坐標平面上有 A(3 , － 2) 、 B( － 4 , － 5) 、 C(0 ,

6) 、 D( － 9 , 12) 四點，則 AB 、 BC 、 CD 、 AD 分別是多少？

10086)35()33( 2222

P 點坐標為 (3 , 3) 、 Q 點坐標為 ( － 3 , － 5)

則 P 、 Q 兩點的距離

＝ 10 個單位長

勾股定理的證明：出入相補原理

劉徽，三國時期魏國人，他在魏 景元四年為九章算術作

註解。在他的九章算術注文中，劉徽有系統地應用圖形和

模型等幾何直觀的方法 ( 也就是將各種圖形相互拼湊，相

當於現在一般平面幾何學中的平行移動和疊合 ) ，來處理

各種數學問題。他利用「出入相補原理」，把圖形分割成

若干塊後重新拼合，成功地證明了「勾股定理」。現在說

明如下：

1. 圖 1 為分別以直角三角形三邊勾、股、弦為邊長所構成的三個小正方形。

2. 將以勾、股為邊長的兩個正方形拼在一起，如圖 2 。3. 將以弦為邊長的正方形疊到圖 2 上，如圖 3 的虛線正方

形。4. 依照圖 3 ，將標示「出」的部分移到對應「入」的位置，重新組合成一個正方形，如圖 4 。

我們可以看出，以「股」為邊長的是一個綠色的正方形，以「勾」為邊長的是一個藍色的正方形。經過出入相補之後，得到一個以「弦」為邊長的大正方形。即是：以「勾」為邊長的正方形面積＋以「股」為邊長的正方形面積＝以「弦」為邊長的正方形面積，也就是：勾 2 ＋股 2 ＝弦 2 ，即是「勾股定理」或「畢達哥拉斯定理」：　　任意一個直角三角形中，兩股的平方和等於其斜邊的平方。