Zbierka príkladov z vákuovej fyziky - uniba.sk...6 1 ZÁKLADY KINETICKEJ TEÓRIE PLYNOV 1.1. V...
77
VYSOKOŠKOLSKÉ SKRIPTÁ Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského Peter Lukáč Zbierka príkladov z vákuovej fyziky Bratislava 2008
Transcript of Zbierka príkladov z vákuovej fyziky - uniba.sk...6 1 ZÁKLADY KINETICKEJ TEÓRIE PLYNOV 1.1. V...
VYSOKOŠKOLSKÉ SKRIPTÁ Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského
Peter Lukáč
Zbierka príkladov z vákuovej fyziky
Bratislava 2008
Autori: PETER LUKÁČ
Názov: Zbierka príkladov z vákuovej fyziky
Lektori: LIBOR PÁTÝJOZEF KALUŽAY
Vydavateľ: Knižničné a edičné centrum FMFI UK Grafická úprava: Peter Kohaut
Rok vydania: 2008 Miesto vydania: Bratislava Vydanie v elektronickom tvare: prvé Počet strán: 77
Internetová adresa: http://www.fmph.uniba.sk/index.php?id=el_st_m
ISBN 978-80-89186-36-5
3
Obsah
Úvod .................................................................................................................................................. 4 Zoznam použitých symbolov ............................................................................................................ 5 1. Základy kinetickej teórie plynov ................................................................................................... 6 2. Prenosové javy v plynoch .............................................................................................................. 17 3. Interakcia plynov s povrchom tuhého telesa vo vákuu .................................................................. 23 4. Vákuové vodivosti konštrukčných prvkov vákuovej aparatúry .................................................... 33 5. Metódy získania a merania vákua. Netesnosti vákuových aparatúr .............................................. 59 Literatúra ........................................................................................................................................... 77
4
Úvod
Základ tejto zbierky vznikol z príkladov, ktoré študenti už dlhšiu dobu počítajú na skúške z pred-metu „Fyzika nízkych tlakov“ za použitia ľubovoľnej literatúry. Nové učebné plány predpisujú konať k uvedenému predmetu aj výpočtové cvičenie. Preto autor doplnil základ príkladov o ďalšie, takže v súčasnosti sa predkladá študentom viac ako 130 príkladov. Autor sa domnieva, že takáto zbierka je vcelku užitočná a prerátať si zopár príkladov až do konca s číselnými hodnotami je vec veľmi potrebná. Viackrát sa na skúške stalo, že študentom získaný číselný výsledok sa líšil od správneho nielen početne ale i rádovo. Domnievam sa taktiež, že zbierka príkladov je potrebná práve dnes, keď sa kladie zvýšený dôraz na samostatnosť a iniciatívu študentov, čo možno dosiahnuť aj zvyšovaním úrovne cvičení.
Príklady zahrnuté do zbierky sú čiastočne dobre známe, čiastočne zabudnuté a čiastočne celkom nové. Snažil som sa vybrať príklady tak, aby ilustrovali základné myšlienky predmetu v celej šírke a aby vyhovovali celoštátnym sylabom. Uvedomujem si tiež, že by bolo potrebné zaradiť aj ďalšie príklady, čím by však narástol plánovaný rozsah skrípt. Do zbierky sú zaradené len riešené príklady, ktoré však umožnia cvičiacemu učiteľovi ľahko zmeniť číselné hodnoty.
Táto zbierka určite má niekoľko chýb a možno i veľa nedostatkov. K riešeniam, ktoré sa uvádzajú, je teda správne pristupovať kriticky a neveriť im okamžite len preto, že sú „čierne na bielom“. Preto budem veľmi rád, keď ma každý čitateľ upozorní na chybu číselnú, formálnu, vecnú a metodickú, za čo mu vopred ďakujem.
V Bratislave január 1988 Autor
Predslov po dvadsiatich rokoch
Predmet „Vákuová fyzika“ sa vyučuje pre 3 experimentálne odbory fyziky a to „fyziku plazmy, fy-ziku kondenzovaných látok a optiku s optoelektronikou“ v rozsahu dvojhodinovej prednášky týždenne v 1. roku magisterského štúdia. Je to v porovnaní s minulosťou menej. Existujúce učebnice a monografie pre tento predmet v slovenčine, češtine, angličtine a v ďalších svetových jazykoch však neobsahujú praktické príklady na hlbšie osvojenie si získaných znalostí a ich praktického využitia. Vzhľadom na to, je veľmi užitočné vydať skriptá „Zbierka príkladov z vákuovej fyziky“ aj v elektronickej forme. Zbierka obsahuje riešené príklady z rôznych častí vákuovej fyziky a jej základov, čo umožní študentom prehĺbiť si vedomosti, urobiť si reálnu predstavu o jednotlivých javoch a napomôcť pri praktickom návrhu, prípadne zdokonaľovaní vákuovej aparatúry. Zbierka vhodne doplní existujúcu literatúru a napomôže študentom zvýšiť kvalitu osvojených vedomostí.
Autor
5
ZOZNAM POUŽITÝCH SYMBOLOV
A – plocha C – Vákuová vodivosť, koncentrácia častíc CV, cV – molekulové teplo za konštantného objemu D – koeficient difúzie, priemer potrubia d, dm – priemer molekuly Ek – kinetické energia ED – aktivačná energia difúzie G – rýchlosť vyparovania (kondenzácia) molekúl vyjadrená v kg/m2s; hmotnosť plynu preprúdeného za jednotku času B – magnetická indukcia I – elektrický prúd k – Boltzmannova konštanta L, l – dĺžka M – molekulová (molárna) hmotnosť m – hmotnosť častice N – počet častíc NA – Avogadrovo číslo n – koncentrácia častíc P – koeficient prenikania plynu p – tlak plynu Q – množstvo plynu = pV QT – množstvo tepla QP – aktivačná energia prenikania plynu q – tok (prietok) plynu = Q/t qT – tok tepla R – plynová konštanta r, Rn – polomer potrubia S – plocha, čerpacia rýchlosť Sú, Sef – účinná (efektívna) čerpacia rýchlosť T – absolútna teplota TS – zdvojovacia teplota, Sutherlandova konštanta V – objem plynu alebo nádoby v – rýchlosť častice varit va, ⟨v⟩ – stredná aritmetická rýchlosť častíc vkv – kvadratická rýchlosť častíc vp – najpravdepodobnejšia rýchlosť častíc vr – relatívna rýchlosť častíc vT – rýchlosť hmotnostného stredu (ťažiska) Wdes – aktivačná energia desorpcie = akt. energie adsorpcie Z – vákuový odpor ε – vyžarovací činiteľ Φ – tepelný tok λ – stredná voľná dráha častíc ΛT – koeficient tepelnej vodivosti plynu μ – molárna hmotnosť ν – zrážková frekvencia molekuly, počet zrážok za jednotku času ν * – počet molekúl dopadajúcich za jednotku času na jednotku plochy η – koeficient viskozity (vnútorného trenia) ρ – hustota plynu = pM/RT = m ·n σ – Štefanova – Boltzmannova konätanta τ – doba pobytu molekuly na povrchu
6
1 ZÁKLADY KINETICKEJ TEÓRIE PLYNOV
1.1. V päťlitrovej nádobe je plyn s tlakom 0,1 MPa. Vypočítajte ako sa zmení tlak plynu, ak nádobu spojíme s ďalšou 10 l alebo 20 l nádobou, v ktorých bol tlak vzduchu menší ako 10−4 Pa. Predpokladáme konštantnú teplotu plynu.
Riešenie Použitím Boyleho-Mariottovho zákona dostaneme, že tlak plynu sa zníži o 66,6 kPa alebo o 80 kPa.
1.2. V jeden a pol litrovej nádobe je dokonale čistý plyn s tlakom 5 kPa. Určite maximálne prípustný tlak zvyškových plynov v nádobách o objeme 0,5 litra a 4 litre, aby sa po ich pripojení zachovala obje-mová čistota plynu 1 ppm (t. j. 10−6 objemového množstva = 10−4 %). Riešenie Z požiadavky 10−6 objemového množstva zvyškových plynov p2V2 vyplýva podmienka: p2V2 = = 10−6 p1V1. Po Dosadení príslušných číselných hodnôt dostaneme p2 = 1,5·10−2 Pa a p2 = 1,875·10−3 Pa.
1.3. Plynom plnená nepracujúca priamo žeravená výbojka pri teplote 27 °C obsahuje plyn pod tlakom 80 kPa. Aký bude výsledný tlak plynu v pracujúcej výbojke, ak žeravená katóda vyhreje plyn na strednú teplotu 177 °C?
Riešenie Použitím Gayovho-Lussacovho zákona dostaneme pre výsledný tlak plynu hodnotu 120 kPa.
1.4. Vypočítajte počet častíc vzduchu v 1 cm3 pri teplote 273 K a tlakoch 102, 10−5, 10−9 Pa. Riešenie
Využijeme vzťah ]K[
]Pa[16]cm[ 10244,73
Tp
n ⋅=− . Výpočtom dostaneme hodnoty 2,65·1016 cm−3,
2,65·109 cm−3, a 2,65·105 cm−3.
1.5. Vypočítajte počet molekúl v 1 m3 ľubovoľného plynu pri teplote 27 °C a tlakoch 105, 102, 10−1, 10−4, 10−7, 10−10 a 10−13 Pa.
Riešenie Jednoduchým výpočtom z výrazu pre tlak plynu p = nkT dostaneme postupne koncentrácie
2,415·1025 m−3; 2,415·1022 m−3; 2,415·1019 m−3; 2,415·1016 m−3; 2,415·1013 m−3; 2,415·1010 m−3 a 2,415·107 m−3 = 24,15 cm−3.
1.6. Určite objem 1 kmol plynu pri tlaku 100 kPa a 27 °C. Riešenie Použitím stavovej rovnice ideálneho plynu pre 1 kmol dostaneme V = 24,95 m3.
1.7. Zmes dusíka a kyslíka sa nachádza v objeme 1,5 litra. Určite parciálne tlaky týchto plynov, ak celkový tlak zmesi je 100 Pa, pričom pri tomto tlaku by dusík zapĺňal objem 1,2 litra a kyslík 0,3 litra.
Riešenie Použitím Boyle-Mariottovho zákona vypočítame najprv parciálny tlak kyslíka alebo dusíka. Naprí-
klad pre dusík platí 1,2 l ·100 Pa = 1,5 l ·pN2, z čoho dostaneme pN2 = 80 Pa. Pomocou Daltonovho zákona vypočítame aj parciálny tlak kyslíka pO2 = 20 Pa.
1.8. Aký je výsledný tlak zmesi plynov v 2 l nádobe, ak je v nej 1015 molekúl kyslíka a 10−7 g du-síka? Teplota zmesi je 50 °C.
Riešenie Podľa Daltonovho zákona platí
p = (nO2 + nN2)kT
7
pričom
nO2 3
15
10210
−⋅==
VN m3 = 5·1017 m−3 a nN2 V
NMm A= m3 = 1,075 5·1018 m−3
Po dosadení do prvého vzťahu dostaneme, že p = 7,023·10−3 Pa.
1.9. Určite množstvo vodíka (v jednotkách Pa·l a kg), ktorým je naplnená nádoba s objemom 10 m3 pod tlakom 0,16 MPa pri teplote 25 °C.
Riešenie Z definície množstva plynu dostaneme
Q = pV = 1,6·109 Pa·l
Hmotnosť vypočítaného množstva vodíka určíme zo stavovej rovnice ideálneho plynu
TVmRpV =
Po dosadení zodpovedajúcich veličín pre hmotnosť vodíka dostaneme
mH2 = 1,292 kg
Hmotnosť vzduchu za rovnakých podmienok by bola rovná
mvzd ==2
29292,1 18,73 kg
Pre hustotu vodíka dostaneme zo vzťahu
==RTpMρ 0,129 kg·m−3
1.10. Vypočítajte hmotnosť vzduchu, vodíka a vodných pár v objeme l litra pri tlaku 133,3 Pa a teplote 20 °C.
Riešenie Zo stavovej rovnice ideálneho plynu dostaneme
== MRTpVm 4,105·10−7 pVM = 5,473·10−8 M [kg]
a teda mvzd = 1,587·10−3 g
mH2 = 1,094 5·10−7 g
mH2O = 9,85·10−4 g
1.11. Vypočítajte hmotnosť dusíka, kyslíka a argónu nachádzajúceho sa v 1 m3 suchom vzduchu pri atmosférickom tlaku t. j. 101 kPa a 0 °C.
Riešenie Ak zanedbáme malé prímesi oxidu uhličitého, kryptónu a ďalších inertných plynov, môžeme tvrdiť,
že 1 m3 suchého vzduchu obsahuje 780 l dusíka, 210 l kyslíka a 10 l argónu. Ak zoberieme za moleku-lové hmotnosti hodnoty postupne 28,016; 32,00 a 39,944, potom zodpovedajúce hmotnosti plynov budú
mN2 == 780,04,22
016,28 0,975 kg
mO2 == 210,04,22
000,32 0,3 kg
mAr == 10,04,22
944,39 0,017 8 kg
8
Celková molekulová hmotnosť vzduchu bude
Mvzd =++
++=
944,398017,0
00,3230,0
016,28975,0
8017,030,0975,0 29 kg·mol−1
1.12. Aký objem zaplnia vodné pary z 1 g vody pri tlaku 266 Pa a teplote 20 °C. Riešenie Využijeme stavovú rovnicu ideálneho plynu, z ktorej dostaneme
==Mp
mRTV 508 l ≈ 0,5 m3
1.13. Určite množstvo vodnej pary pri teplote 20 °C zapĺňa objem 300 cm3 s tlakom 670 Pa. Na akú hodnotu stúpne tlak vodných pár pri tej istej teplote, ak sa zmenší objem na 100 cm3, 10 cm3 a 1 cm3?
Riešenie Využijeme Boyleov-Mariottov zákon dovtedy, kým tlak v objeme nedosiahne tlak nasýtených pár
vody (2 333 Pa) zodpovedajúci zadanej teplote. Ďalšie zmenšovanie objemu spôsobí kondenzáciu pár. Po číselnom vyjadrení dostaneme hodnoty tlaku postupne 2 010 Pa, 2 333 Pa a 2 333 Pa.
1.14. Tlak nasýtených pár etanolu s molekulovou hmotnosťou M = 46 pri teplote 35 °C sa rovná približne 13,3 kPa. Vypočítajte rýchlosť vyparovania molekúl z jednotkovej plochy za jednotku času.
Riešenie Rýchlosť vyparovania sa rovná rýchlosti kondenzácie, ktorá sa definuje ako hmotnosť molekúl
prechádzajúcich za jednotku času jednotkovou plochou, teda
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅==⟩⟨= −
smkg1085,5
π8
441
21
TMp
RTMpnmG v
Po číselnom dosadení a za predpokladu, že každá molekula, ktorá dopadne aj skondenzuje a platí rovno-váha medzi kondenzujúcimi a vyparujúcimi sa molekulami, dostaneme
G = 22,54 kg·m−2 ·s−1
1.15. Vypočítajte tlak ortuťových pár vytvorených úplným odparením kvapky ortuti s hmotnosťou 2 g v uzavretej nádobe s objemom 100 cm3 vyhriatej na teplotu 557 °C.
Riešenie Použijeme stavovú rovnicu ideálneho plynu ,RTmpV
μ= kde μ je molárna hmotnosť a rovná sa
0,200 6 kg·mol−1. Po dosadení číselných hodnôt dostaneme pre tlak ortuťových pár hodnotu 688 kPa.
1.16. Aké množstvo ortuti treba vložiť do evakuovanej uzavretej nádoby s objemom 100 cm3, aby sa pri jej úplnom vyparení dosiahol tlak v nádobe zodpovedajúci tlaku nasýtených pár ortuti pri teplote 557 °C. Tlak nasýtených pár ortuti pri tejto teplote je 1,333 MPa.
Riešenie Zo stavovej rovnice ideálneho plynu vyplýva
RTpVm μ
=
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme m = 3,876·10−3 kg.
1.17. V určitom objeme je zmes plynov (kyslíka a dusíka) a pár (vody a ortuti) s nasledujúcimi parciálnymi tlakmi pri teplote 20 °C: pN2= 1,066·10−2 Pa, pO2 = 2,666·10−3 Pa, pH2O = 1,333 Pa, pHg = = 1,333·10−1 Pa. Určite celkový tlak zmesi, ak bez zmeny teploty zmenšíme objem 10-krát a 10000-krát.
Riešenie Použijeme Daltonov zákon, Boyleov-Mariottov zákon a skutočnosť, že tlak nasýtených pár vody
pri 20 °C je 2 333 Pa a tlak nasýtených pár ortuti je 1,6·10−1 Pa. Po číselnom vyjadrení dostaneme v prvom prípade pre výsledný tlak hodnotu 13,623 Pa a v druhom prípade hodnotu 2 466,42 Pa.
9
1.18. Určite vnútornú kinetickú energiu plynu nachádzajúceho sa v uzavretej nádobe s objemom 200 cm3, ak tlak plynu je 0,1 MPa.
Riešenie Využijeme stavovú rovnicu ideálneho plynu s uvážením, že častice majú tri stupne voľnosti. Dosta-
neme EK = 30 J.
1.19. Odvoďte strednú aritmetickú rýchlosť súboru častíc, ak preň platí Maxwellovské rozdelenie podľa rýchlosti.
Riešenie Maxwellovskú rozdeľovaciu funkciu vyjadríme v tvare
22
2
3 expπ4)( v
vv
vv
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=pp
ψ
Strednú hodnotu aritmetickej rýchlosti vypočítame podľa definície
pvvvvv
vvvvv
π2dexp
π4d)(
0
32
2
30
arit =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==⟩⟨ ∫∫∞∞
pp
ψ
pričom sme využili na výpočet integrálu vzťahy
20
3
21de
2
axxax =∫
∞− a
mkT
p2
=v
Poznámka: V ďalších príkladoch využijeme niektorý z nasledujúcich integrálov:
axax π
21de
0
2=∫
∞− ; 2/3
0
2 π41de
2
axxax =∫
∞− ;
aax
axx axax
21)d(e
21de
0
2
0
22
∫∫∞
−∞
− == ;
2/50
4 π83de
2
axxax =∫
∞− ; 3
0
5 1de2
axxax =∫
∞−
1.20. Vypočítajte strednú kvadratickú rýchlosť súboru častíc, ak preň platí Maxwellovo rozdelenie častíc podľa rýchlosti.
Riešenie Podobne ako v predchádzajúcom príklade z definície vyplýva
mkT
ppp
323dexp
π4d)( 2
0
42
2
30
22 ==⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==⟩⟨ ∫∫∞∞
vvvvv
vvvvv ψ
z čoho
mkT3
kv =⟩⟨v
1.21. Vypočítajte stredná aritmetickú rýchlosť atómov ortuti pri teplote −73 °C. Riešenie Z Maxwellovského rozdelenia vyplýva, že
1arit sm5,1455,145
π8 −⋅===⟩⟨
MT
MRTv
1.22. Vypočítajte strednú aritmetickú rýchlosť molekúl vzduchu, vodíka a vodných pár pri teplote 20 °C.
10
Riešenie Z Maxwellovského rozdelenia molekúl dostaneme
⟨varit⟩vzd = 464 m·s−1
⟨varit⟩H2 = 1 750 m·s−1
⟨varit⟩H2O = 587 m·s−1
1.23. Vypočítajte strednú najpravdepodobnejšiu rýchlosť molekúl vodíka pri teplote −73 °C a 27 °C. Riešenie Pre Maxwellovo rozdelenia častíc podľa rýchlosti je najpravdepodobnejšia rýchlosť daná
1sm290112932 −⋅====⟩⟨MT
mkT
MRT
pv
Pri teplote 27 °C je ⟨vp⟩ = 1 580 m·s−1.
1.24. Odvoďte strednú relatívnu rýchlosť medzi dvoma molekulami s rovnakou hmotnosťou. Riešenie Relatívna rýchlosť je definovaná ako
vr = v1 − v2
Jej strednú hodnotu cez súbory častíc vypočítame pomocou Maxwellových rozdeľovacích funkcií nasledovne
∫∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∞∞
∞
∞−
∞
∞−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ +
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
=⋅=⟩⟨
02r2
22
21
01
6
222r222111111r
dexpdπ1
ddd)()()(ddd)()()(
zp
xp
zyxzyxzyxzyx ffffff
vvvvvv
v
vvvvvvvvvvvvvv
L
Po dosadení rýchlosti ťažiska 2
21T
vvv += dostaneme
v1 = vT 21
+ vr v2 = vT 21
− vr
z čoho 2r
2T
22
21 2
12 vvvv +=+
Po dosadení do integrálu pre strednú relatívnu rýchlosť a po transformovaní do sférických súradníc dostaneme
⟩⟨==⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧−=
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧−⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⟩⟨
∫∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∞∞
∞∞
arit0
r3r2
2r
03T
2T2
2T
3
2π
0
π
0 0rrrr
3r2
2r
2π
0
π
0 0TTTT
2T2
2T
6
r
2π
822
1dexpπ4dexp
π4
ddsindexpddsindexpπ1
vvvvv2v
vvv
v2v
v
vvv2vvv
v2v
vv
ppppp
ppp
ϕϑϑϕϑϑ
1.25. Vypočítajte strednú relatívnu rýchlosť medzi molekulami s rôznou hmotnosťou. Riešenie Relatívnu rýchlosť a rýchlosť ťažiska (hmotnostneho stredu) definujeme ako
vr = v1 − v2, 21
2211T mm
mm++
=vvv
11
Pre zložky rýchlosti platí
xxxxxx mmm
mmm
r21
1T2r
21
2T1 vvvvvv
+−=
++=
a podobne pre v1y, v1z, v2y a v2z. Súčet kinetických energií častíc v jednotlivých rýchlostných priestoroch je daný
2r
21
212T21
222
211 2
1)(21
21
21 vvvv
mmmmmmmm
+++=+
Pre strednú relatívnu rýchlosť častíc s Maxwellovským rozdelením platí
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∞
∞−
∞
∞− ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⟩⟨ zyxzyx kT
mk
mkT
mk
m222r
222
2/32
111
211
2/31
r ddd2
expT2π
ddd2
expT2π
vvvvvvvvvv
Po transformácii integrálov do sférických súradníc, dosadení premenných rýchlostí ťažiska a relatívnej rýchlosti a vykonaním integrácie cez uhly, dostaneme
( ) 2/122
21
2/1
12
2/1
21
21
2
21
212/3
21
2/122/3
213
0r
3r
21
2r21
0T
2T
2T2122/3
213
r
π8
π8
π8
)(22π)4π()()T2π(
d2)(
expd2
)(exp)4π()()T2π(
⟩⟨+⟩⟨=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
−=⟩⟨
−
∞∞− ∫∫
vv
vvvvvvv
mkT
mkT
mmmmkT
mmmmkT
mmkTmmk
kTmmmm
kTmmmmk
1.26. Predpokladajme Maxwellovo rozdelenie molekúl podľa rýchlosti. Vypočítajte, aká časť mole-kúl v jednotke objemu pri jednotkovom tlaku bude mať hodnotu rýchlosti v intervale 0 až v/vp. Vypo-čítajte hodnoty normovanej Maxwellovej rozdeľovacej funkcie pre niektoré hodnoty v/vp.
Riešenie Maxwellovu rozdeľovaciu funkciu zapíšeme v tvare
pppnn
vv
vv
vvv dexp
π4)(d
22
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Substitúciou xp
=vv , z čoho x
pdd
=vv dostaneme
xxnn xx de
π4)(d 22 −=
Pre počet molekúl z celkového počtu, ktoré majú rýchlosť v intervale 0 až v/vp dostaneme
∫ −=x
xx
xxn
n
0
20 deπ
4 2
Hodnoty posledného integrálu sú tabelované, takže sa dá ľahko vypočítať. Hodnoty normovanej Maxwellovej rozdeľovacej funkcie vypočítame podľa vzťahu
2e
π4
d)(d1 2 xx xx
nn
−=
Niektoré vypočítané hodnoty sú uvedené v tabuľke 1.1. Z tabuľky vyplýva, že maximum normovanej rozdeľovacej funkcie bude mať hodnotu 0,83. Ak celkový počet molekúl v jednotke objemu bude napríklad 10 000, potom 8 z nich bude mať rýchlosť v intervale 0 až 0,1 vp alebo 17 z nich bude mať rýchlosť väčšiu ako 3 vp.
12
Tabuľka 1.1 Niektoré vypočítané hodnoty normovanej Maxwellovej rozdeľovacej funkcie
px
vv
= x
nn
x
d)(d1
nn x
0
0,1 0,022 5 0,000 8 0,2 0,086 7 0,005 9 0,3 0,185 6 0,019 3 0,4 0,307 7 0,043 8 0,5 0,439 3 0,081 2 0,6 0,566 8 0,131 6 0,8 0,761 3 0,266 3 1,0 0,830 3 0,427 6 1,2 0,769 8 0,589 6 1,5 0,535 1 0,787 8 1,7 0,362 4 0,877 2 2,0 0,165 2 0,954 0 2,5 0,027 2 0,994 1 3,0 0,002 4 0,998 3 4,0 4,1·10−6 1,000 0 5,0 7,8·10−10 1,000 0 6,0 1,9·10−14 1,000 0
Riešený príklad by sme mohli formulovať aj ako výpočet pravdepodobnosti, že rýchlosť ľubovoľne zvolenej molekuly je väčšia ako určitá rýchlosť v'. Toto je ekvivalentné výpočtu časti molekúl v jed-notke objemu, ktoré majú rýchlosť väčšiu ako hodnota v' t. j.
∫∞
′ ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=′
v
vvv
vvv dexp
π4)( 2/3
22
ppn
Po zavedení už uvedenej substitúcie dostaneme
xxnxnx
x deπ
4)(22∫
∞
′
−=′
Integráciou per partes vypočítame
xxxxx
xx
x
x de21e
21de
2222 ∫∫∞
′
−′−∞
′
− +′=
Ďalej je
)](1[π21deπ
21de
0
22xxx
xx
x
x ′Φ−=−= ∫∫′
−∞
′
−
kde
xxx
x deπ
2)(0
2
∫′
−=′Φ
je Gaussov integrál, známy z teórie pravdepodobnosti a je tabelovaný. Po dosadení do pôvodnej rov-nice dostaneme
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′Φ−+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′=
′
pppnn
vv
vv
vvv 1exp
π2)(
2
Pravdepodobnosti rýchlosti väčšej ako v' sú uvedené pre niektoré hodnoty v tabuľke 1.2.
13
Tabuľka 1.2 Pravdepodobnosť rýchlosti molekúl väčšej ako v'
pvv′ 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 3,0
nn )(v′ 1,00 0,994 0,956 0,869 0,734 0,572 0,411 0,271 0,163 3 0,090 6 0,046 0,000 4
Z uvedených čísiel vidieť, že napríklad rýchlosti väčšie ako 2vp má len 4,6 % všetkých molekúl, a že rýchlosti 70,6 % všetkých molekúl sú v intervale od 0,6vp do 1,6vp. Rozptyl molekulových rýchlostí je teda celkom malý, a preto predpoklad o rovnakej rýchlosti všetkých molekúl dáva často dostatočne správne výsledky.
1.27. Nech určitý objem je zaplnený len vodnými parami. Vypočítajte počet zrážok jednej molekuly vodnej pary (t. j. zrážkovú frekvenciu)
a) pri teplote 25 °C a tlaku 0,1 Pa, b) pri teplote 20 °C a tlaku 0,133 Pa. Riešenie Využijeme zjednodušenú predstavu o pohybe molekúl, kedy pre zrážkovú frekvenciu platí ν =
= n 2 ⟨va⟩π 2md . Ak predpokladáme, že priemer molekuly vody je dH2O = 4,7·10−10 m, potom jednodu-
chým výpočtom dostaneme v prípade a) ν = 14 176 s−1 a v prípade b) ν = 19 060 s−1.
1.28. Vypočítajte počet zrážok jednej molekuly vodnej pary, ak tvorí len malú prímes vo vzduchu a) pri teplote 25 °C a tlaku 0,1 Pa, b) pri teplote 20 °C a tlaku 0,133 Pa. Riešenie Za zjednodušených predstáv pre počet zrážok malej prímesi v základnom plyne (vzduchu) dosta-
neme
2a22
2/1
1
2
2
m
m 21124
12
2
1 ndMM
dd
m ⟩⟨π⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= vν
Za predpokladá, že dvzd = 3,37·10−10 m po vykonaní výpočtov dostaneme a) ν = 10 313 s−1, b) ν = 13 8 64,7 s−1.
1.29. Vypočítajte zrážkovú frekvenciu molekúl oxidu uhličitého pri teplote 50 °C a tlaku 133,3 Pa. Riešenie Zo vzťahu pre zrážkovú frekvenciu ν = n 2 π 2
CO2d ⟨va⟩ dostaneme
ν = 1,136·107 s−1.
1.30. Vypočítajte strednú voľnú dráhu molekuly oxidu uhličitého (dCO2 = 4,65·10−10 m) pri teplote 50 °C a tlaku 133,3 Pa.
Riešenie Zo zjednodušeného vzťahu pre strednú voľnú dráhu λ = ( 2 π 2
CO2d n)−1 po dosadení dostaneme
λ = 3,48·10−5 m.
1.31. Aká môže byť minimálna koncentrácia molekúl oxidu uhličitého v guľovej nádobe s prieme-rom D = 1 m, aby ich stredná voľná dráha nebola väčšia ako priemer nádoby.
Riešenie Zo zjednodušeného vzťahu pre strednú voľnú dráhu dostaneme
14
n ≥ ( 2 π 2CO2
d D)−1 = 1,041·1018 m−3
1.32. Vypočítajte strednú voľnú dráhu molekúl vzduchu pri tlaku 1,333·10−4 Pa a teplote 20 °C v priblížení ideálneho plynu.
Riešenie Pre strednú voľnú dráhu molekúl plynu v priblížení ideálneho plynu platí taktiež
=⋅=π
= −
pT
pdkT 5
2vzd
vzd 102,22
λ 48,66 m
1.33. Vypočítajte zrážkovú frekvenciu molekuly vzduchu pri tlaku 0,133 Pa a teplote 20 °C. Riešenie Pre zrážkovú frekvenciu platí taktiež
==⟩⟨
=−
m6048,0ms464 1
a
λν v 9 536 s−1
1.34. Vypočítajte strednú voľnú dráhu molekúl vzduchu pri tlaku 1 Pa, teplote 273 K a 298 K, v pri-blížení ideálneho aj reálneho plynu.
Riešenie V priblížení ideálneho plynu využijeme jednoduchý vzťah pre strednú voľnú dráhu λ = ( 2 π 2
md n)−1. Za priemer molekuly vzduchu dm = dvzd dosadíme „strednú“ hodnotu 3,75·10−10 m [2]. Po vyčíslení dostaneme pri teplote 273 K hodnotu
λ273 = 6,04·10−5 m
Pre výpočet strednej voľnej dráhy molekúl ideálneho plynu pri inej teplote T, a požadovanom tlaku 1 Pa platí
λT 273T
= λ273
V našom prípade λ298 = 6,593·10−3 m. Ak sa však nezmení koncentrácia molekúl plynu, zmení sa so zmenou teploty aj tlak plynu a stredná dráha sa nemení.
Pre molekuly reálneho plynu sa zmení ich zrážkový prierez. Túto zmenu vypočítal Sutherland a vy-jadril ju pomocou konštanty TS alebo C nazvanej zdvojovacia teplota, takže pre strednú voľnú dráhu molekúl platí
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +π
=
TTd S2
m 12
1λ
V prípade vzduchu TS = 113 [2] a pre strednú voľnu dráhu dostaneme λ273 = 4,272·10−3 m. Pre strednú voľnú dráhu molekuly pri inej teplote a nezmenenom tlaku platí
2S
2S
273 )273)(()273(
TTTT
T ++
= λλ
(Uvedený vzťah odvoďte). Po numerickom vyčíslení dostaneme λ298 = 4,78·10−3 m. Ak sa však ne-zmení koncentrácia molekúl plynu, zmení sa so zmenou teploty tlak plynu pre strednú voľnú dráhu molekúl platí
273)()273(
S
S273 TT
TTT +
+= λλ
čo v našom prípade dáva λ298 = 4,38·10−3 m.
15
1.35. Vypočítajte strednú voľnú dráhu atómov hélia pri teplote kvapalného vzduchu (88 K) a tlaku 0,133 3 Pa.
Riešenie Budeme postupovať ako v predchádzajúcom príklade. Za priemer atómu hélia dosadíme hodnotu
dHe = 2,2·10−10 m [2]. Stredná voľná dráha pri teplote 273 K je λ273 = 0,131 53 m, a pre nezmenený tlak pri teplote 88 K dostaneme λ88 = 4,24·10−2 m.
Ak uvážime opravu na vzájomné pôsobenie molekúl, potom Sutherlandova konštanta TS = 80 [2,15] a po výpočte bude λ273 = 10,172 ·10−2 m. Pre nezmenený tlak a teplotu 88 K dostaneme λ88 = 2,22·10−2 m. Ak sa však nezmení koncentrácia molekúl plynu, potom pre strednú voľnú drahú dostaneme λ88 = = 6,89·10−2 m.
Ak chceme vypočítať strednú voľnú dráhu elektrónu v héliu pri uvedených podmienkach použi-jeme vzťah odvodený v nasledujúcim príklade, pri zanedbaní hmotnosti elektrónu a hodnoty jeho priemeru v ideálnom a reálnom priblížení. Potom zodpovedajúce hodnoty sú λel, i = 74,4·10−2 m a λel, r = 57,54·10−2 m.
1.36. Odvoďte výraz pre strednú voľnú dráhu častíc v zmesi plynov. Riešenie Využijeme definíciu strednej voľnej dráhy ako podiel skutočnej dráhy častíc typu 1 t. j. n1va1, za
jednotku času a celkového počtu zrážok v jednotke objemu za jednotku času. Uvažujeme ideálny plyn. Celkový počet zrážok je určený ako súčet zrážok častíc typu 1 medzi sebou a zrážok častíc typu 1 s čas-ticami typu 2. Prvý člen je daný výrazom
a12m
21 1
2 vdn π a druhý člen je daný výrazom
2m2m12/12
a22a121 22
)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +π+
ddnn vv
Jednoduchými úpravami dostaneme 12/1
2
12
2m2m11
2m12,1 1)(
42
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
π+π=
mmnddndλ
kde va1, va2, dm1, dm2, n1, n2, m1, m2 sú stredné aritmetické rýchlosti, geometrické priemery, koncentrácie a hmotnosti častíc typu 1 a 2.
1.37. Vypočítajte strednú voľnú dráhu častíc malej prímesi He vo vzduchu pri tlaku 0,133 3 Pa a teplote 0 °C.
Riešenie Využijeme zjednodušený vzťah pre strednú voľnú dráhu v zmesi plynov, v ktorom sa zanedbajú
vzájomné zrážky častíc prímesi. Teda
22/1
2
12
2m
1m
1
11
24 λλ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
MM
dd
Z predchádzajúcich vzťahov vypočítame λ2 = 4,527·10−2 m a dosadíme už uvedené priemery molekúl a ich molekulové hmotnosti M1 = 4 a M2 = 29. Po vykonaní výpočtov dostaneme pre strednú voľnú dráhu prímesi hélia vo vzduchu λ1 = 9,536·10−2 m. Takto vypočítaná stredná voľná dráha je maximálna. Reálnejšiu hodnotu dostaneme zavedením Sutherlandovej konštanty do λ2 a priemerov molekúl dm1, dm2. Potom λ2 = 3,2·10−2 m a λ1 = 8,91·10−2 m.
1.38. Vypočítajte strednú voľnú dráhu elektrónov v héliu pri tlaku 100 Pa a teplote 20 °C. Riešenie
16
Elektróny tvoria vo výboji len malú prímes základného plynu. Preto použijeme vzťah pre strednú voľnú dráhu prímesi zo zjednodušujúcimi predpokladmi, že priemer a hmotnosť elektrónu sú omnoho menšie ako priemer a hmotnosť neutrálneho plynu. Potom λel = 4 2 λplyn. V našom prípade λel = 1,0645·10−3 m, alebo po uvážení Sutherlandovej opravy λel = 8,36·10−4 m. Za koncentráciu atómov hélia sme brali hodnotu nHe = 2,47·1022 m−3 a za strednú voľnú atómov hélia λplyn = 1,88·10−4 m.
1.39. Na aký tlak treba vyčerpať nádobu (recipient), v ktorej chceme pohliníkovať vnútorný povrch, ak kúsok rozprašovaného hliníka je vo vzdialenosti 50 mm od najvzdialenejšieho miesta povrchu ná-doby? Zariadenie pracuje pri teplote 25 °C.
Riešenie Tlak v nádobe môže byť maximálne tak veľký, aby stredná voľná dráha častíc bola rovná vzdiale-
nosti od miesta rozprašovaného hliníka po jeho podložku. Pre strednú voľnú dráhu molekúl vzduchu sme určili v prípade ideálneho priblíženia
]m[]Pa[
10593,6 3
298 p
−⋅=λ
alebo pre reálne priblíženie
]m[]Pa[
1078,4 3
298 p
−⋅=λ
Musí platiť λ298 ≥ 5·10−2 m, z čoho vyplýva, že
=⋅
⋅≤ −
−
2
3
10510593,6p 1,314·10−1 Pa
respektíve
=⋅
⋅≤ −
−
2
3
1051078,4p 0,956·10−1 Pa
17
2 PRENOSOVÉ JAVY V PLYNOCH
2.1. Priestor medzi dvoma veľmi dlhými koaxiálnymi valcami s polomermi R1 a R2 (R2 > R1) je vyplnený ideálnym plynom, ktorého koeficient tepelnej vodivosti je ΛT. Vonkajší valec R2 sa udržuje na teplote T2 a vnútorný valec R1 na teplote T1, pričom T1 > T2. Za predpokladu, že stredná voľná dráha molekúl plynu je menšia ako vzdialenosť medzi valcami, a že nie je konvekcia plynu, nájdite
a) tvar rozdelenia teploty v priestore medzi valcami, b) Gradient teploty dT/dr v priestore medzi valcami, c) tok tepla qT,1 pripadajúci na jednotku dĺžky valcov. Riešenie Pretože sa udržujú teploty oboch valcov na stálej teplote z vonkajších zdrojov, bude sa udržovať
konštantné rozdelenie teploty T(r). Tok tepla nebude závisieť od času, t. j. proces bude mať stacionárny charakter.
Tok tepla za jednotku času, ktorý prechádza cez myslený valec s polomerom r, kde je konštantná hodnota teploty, je
lrrTS
rT
tQq TT
TT πΛ=Λ== 2
dd
dd
dd
kde S je plocha valca s polomerom r a l je jeho dĺžka. Nutnou podmienkou existencie tepelnej rovno-váhy a stacionárnosti procesu je nezávislosť tepelného toku qT od polomeru valca r. Ak by tomu tak nebolo, potom by cez valcové plochy rôznych polomerov tiekli rôzne toky tepla, čo by značilo, že časť tepla by sa zhromažďovala v ktoromsi valci a vyvolala zmenu jeho teploty, čím by sa narušila tepelná rovnováha. Teda je nutné, aby qT = konšt. ≠ f(r). Za tohto predpokladu môžeme integrovať uvedenú rovnicu a dostaneme
∫∫ =Λπ r
R
T
TT
T
rrT
ql
11
dd2
alebo po integrácii
11 ln)(2
RrTT
ql
T
T =−Λπ
Začiatočné podmienky majú tvar: a) pri r = R1 je T = T1, b) pri r = R2 je T = T2.
Potom z uvedenej rovnice dostaneme pre tok tepla
)/(ln)(2
12
1
RRlTTq T
T−Λπ
=
Tok tepla na jednotku dĺžky valcov je
)/(ln)(2
12
11, RR
TTq TT
−Λπ=
Tvar rozdelenia teploty v priestore medzi valcami dostaneme, keď dosadíme za tok tepla získaný výraz do tretej rovnice, čiže
)/(ln)/(ln)()(12
1121 RR
RrTTTrT −+=
To znamená, že uvedená závislosť má logaritmický charakter.
18
Gradient teploty dostaneme, ak do prvej rovnice dosadíme výraz pre tok tepla, čiže
rRRTT
rT 1
)/(lndd
12
12 −=
2.2. Vzdialenosť medzi zohriatym a studeným povrchom je 10 mm a tlak medzi nimi je 105 Pa. Ako sa zmení koeficient tepelnej vodivosti vzduchu, ak tlak sa zníži na hodnotu 5·104 Pa.
Riešenie Pretože stredná voľná dráha molekúl vzduchu je menšia ako vzdialenosť medzi povrchmi, tak ko-
eficient tepelnej vodivosti nezávisí od tlaku a teda sa nezmení.
2.3. Ako sa zmení koeficient tepelnej vodivosti plynu, ktorý sa nachádza medzi dvoma povrchmi, popísanými v predchádzajúcom príklade, ak tlak plynu sa zvýši z hodnoty 1,333·10−2 Pa na hodnotu 4,2·10−2 Pa.
Riešenie Ak je vzdialenosť medzi dvoma povrchmi porovnateľná alebo menšia ako stredná voľná dráha mo-
lekúl (v našom prípade je cca 50 cm), potom koeficient tepelnej vodivosti plynu ΛT je úmerný tlaku plynu. Teda koľkokrát sa zvýši tlak plynu, toľkokrát sa zmení aj koeficient tepelnej vodivosti plynu, čiže
=⋅
⋅−
−
2
2
10333,1102,4 3,15-krát
2.4. Koeficient tepelnej vodivosti dusíka ΛT, N2 pri teplote 0 °C sa rovná 1,3·10−2 J·m−1·s−1·K−1. Určite efektívny priemer molekúl dusíka za týchto podmienok.
Riešenie Koeficient tepelnej vodivosti plynu (ideálneho) v kinetickej teórie plynov je daný ako
ΛT 31
= ⟨va⟩λρCV
kde λ je stredná voľná dráha molekúl plynu, v ktorej je zašifrovaný prierez molekuly, ρ je hustota plynu a CV, je molekulové teplo za konštantného objemu. Po dosadení za strednú voľnú dráhu molekúl dostaneme
nCdT
V
Λ⟩⟨
=23
a2ef
ρv
Po dosadení za hustotu plynu ρ = m·n a za CV = 5R/2M = 5k/2m dostaneme
=πΛ
=M
RTkdT
32ef 3
5 9,0486·10−20 m2
alebo def = 3·10−10 m
2.5. Koeficient tepelnej vodivosti vzduchu pri teplote 0 °C a atmosférickom tlaku je rovný ΛT,vzd = = 2,176·10−2 J·m−1·s−1·K−1. Určite hodnotu koeficientu ΛT,vzd pri teplote 40 °C a pri tom istom tlaku.
Riešenie Koeficient tepelnej vodivosti ideálneho plynu sa urči podľa vzťahu
ΛT 31
= ⟨va⟩λρCV
Z definície je zrejmé, že nezávisí explicitne od teploty. Táto závislosť je skrytá vo veličinách definu-júcich koeficient tepelnej vodivosti plynu, okrem parametra CV, ktorý závisí od teploty len pre viac-atómové plyny a nízkych teplotách. Súčin λρ = m/ 22 mdπ nezávisí od teploty, ak zanedbáme závislosť
19
dm od teploty (Sutherlandov vzťah). Potom koeficient tepelnej vodivosti ΛT závisí od teploty cez strednú aritmetickú rýchlosť, t. j. ⟨va⟩ = A T , kde A je konštanta pre zvolený plyn. Pre teploty T1 a T2 platí
ΛT,1 = A' 1T a ΛT,2 = A' 2T
z čoho
ΛT,2 = ΛT,1 12/TT
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
ΛT,2 = 2,330 46·10−2 J·m−1·s−1·K−1
2.6. Priestor medzi dvoma veľkými paralelnými doštičkami je vyplnený héliom. Vzdialenosť medzi nimi je L = 50 mm. Jedna doštička sa udržuje pri teplote T2 = 40 °C a druhá pri teplote T1 = 20 °C. Vy-počítajte tok tepla jednotkovou plochou pre tlak v plyne 105 Pa a tlak 6,65·10−3 Pa.
Riešenie Tok tepla je v zjednodušenej úvahe daný vzťahom
xTc
xTq VTT d
ddd η−=Λ−=
Pre absolútnu hodnotu toku po dosadení zjednodušených vzťahov pre ideálny plyn dostaneme výraz
)(3 12
A2He
TTΜ
RTLNd
iRqT −ππ
=
Po dosadení číselných hodnôt a za priemer atómu hélia hodnotu dHe = 2,18·10−10 m dostaneme
qT = 16,56 W·m−2
V prípade nízkeho tlaku musíme uvažovať tok tepla ako prenos energie jednotlivými molekulami, ktoré dopadnú na jednotku plochy a v priestore medzi doštičkami sa nezrazili. Každá molekula prene-
sie (v prvom priblížení) energiu AN
CV (T2 − T1), kde CV je molekulové teplo za konštantného objemu a
NA. je Avogadrovo číslo. Teda hustota toku tepla je daná ako
=−⟩⟨= )(41
12A
TTNCnq V
T v 2,78·10−1 W·m−2
2.7. Stredná voľná dráha atómov hélia pri tlaku 1 kPa a teplote 20 °C je 1,8·10−5 m. Vypočítajte koeficient difúzie hélia.
Riešenie Dosadením číselných hodnôt do zjednodušeného výrazu pre koeficient difúzie dostaneme
D31
= ⟨va⟩λ = 7,47·10−3 m2·s−1
2.8. Koeficient difúzie kyslíka pri teplote 0 °C je rovný hodnote 1,9·10−5 m2·s−1. Určite strednú voľnú dráhu molekúl kyslíka.
Riešenie Z jednoduchého vzťahu pre koeficient difúzie vyplýva
=⟩⟨
=a
3vDλ 1,34·10−7 m
20
2.9. Koeficient vnútorného trenia dusíka pri teplote 0 °C je rovný hodnote η = l,64·10−5 kg·m−1·s−1 [1, 2]. Určite hodnotu strednej voľnej dráhy molekúl dusíka pri atmosférickom tlaku.
Riešenie Koeficient vnútorného trenia (viskozity) pre ideálny plyn môžeme vyjadriť v tvare
η31
= ⟨va⟩λρ
kde ⟨va⟩ je stredná aritmetická rýchlosť, λ je stredná voľná dráha a ρ je hustota plynu. Po dosadení za príslušné veličiny dostaneme
=π
=MRT
p 83ηλ 8,66·10−8 m
2.10. Koeficient difúzie vodíka pri teplote 0 °C a atmosférickom tlaku má hodnotu 1,31·10−4 m2·s−1. Určite hodnotu koeficienta vnútorného trenia vodíka za tých istých podmienok.
Riešenie Z porovnania jednoduchých výrazov pre koeficient difúzie a koeficient vnútorného trenia v prípade
ideálneho plynu dostaneme
η = Dρ
kde ρ = m ·n = (M/NA)n je hustota plynu. Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
η = 1,17·10−5 kg·m−1·s−1
2.11. Koeficient viskozity oxidu uhličitého pri atmosférickom tlaku a 20 °C má hodnotu η = = 1,4·10−5 Pa·s [2,3]. Vypočítajte strednú voľnú dráhu molekúl CO2 a koeficient difúzie pri tých istých podmienkach.
Riešenie Zo zjednodušeného vzťahu medzi koeficientmi difúzie a viskozity dostaneme
ρη
=D
kde ρ je hustota plynu určená vzťahom ρ = Mp/RT. Po vyčíslení dostaneme
D = 7,65·10−6 m2·s−1
Strednú voľnú dráhu vypočítame z koeficienta difúzie ako
=⟩⟨
=a
3vDλ 6,1·10−8 m
2.12. Koeficient vnútorného trenia vodíka za určitých podmienok má hodnotu η = 8,6·10−6 Pa·s. Určite koeficient tepelnej vodivosti vodíka za tých istých podmienok.
Riešenie Jednoduchý vzťah medzi koeficientmi tepelnej vodivosti a viskozity je vyjadrený ako
ΛT = cVη
kde pre merné molekulové teplo za konštantného objemu platí cV = 5R/2M = 10 392,5, z čoho
ΛT = 8,94·10−2 W·m−1·K−1
2.13. Koeficient tepelnej vodivosti kyslíka pri teplote 100 °C má hodnotu ΛT = 3,25·10−2 W·m−1·K−1. Vypočítajte koeficient viskozity kyslíka pri tej istej teplote.
21
Riešenie Pomocou jednoduchého vzťahu medzi koeficientom tepelnej vodivosti a viskozity plynu, vypočí-
tame hľadanú hodnotu, t. j.
V
T
cΛ
=η
kde cV je molekulové merné teplo za konštantného objemu. Po vyčíslení dostaneme
η = 5·10−5 Pa·s
2.14. Vzdialenosť medzi pohybujúcou sa a nepohybujúcou sa doštičkou je 10 mm. Približne koľko laminárnych vrstiev dusíka sa uloží medzi týmito doštičkami pri tlaku 13,33 Pa a teplote 0 °C.
Riešenie Pod laminárnou vrstvou budeme chápať vrstvu, ktorej hrúbka je rovná strednej voľnej dráhe molekúl.
Výpočtom dostaneme pre strednú voľnú dráhu molekúl dusíka pri zadaných parametroch hodnotu λN2 = 4,56·10−4 m. Ak predelíme vzdialenosť medzi doštičkami strednou voľnou dráhou molekúl, dosta-neme hodnotu približne 22, čo zodpovedá počtu vrstiev.
Ak dosadíme za strednú voľnú dráhu molekúl dusíka hodnotu vypočítanú v príklade 2.9., potom pri tlaku 13,33 Pa je λN2 = 6,58·10−4 m a počet vrstiev je len 15.
2.15. Kyslík (plyn 1) a oxid uhličitý (plyn 2) sa nachádzajú pri rovnakých tlakoch a teplote. Pred-pokladajme, že ich priemery molekúl sú rovnaké. Nájdite vzťah medzi koeficientmi difúzie, viskozity a tepelnej vodivosti týchto dvoch plynov.
Riešenie Pre koeficienty difúzie, pre ideálne plyny platí
D1 = A / 1M a D2 = A / 2M z čoho
D2/D1 = 44/32/ 21 =MM = 0,853
Pre koeficienty viskozity platí
η1 = A'M1A / 1M = B 1M a η2 = B 2M z čoho
η2/η1 = 21/MM = 1,173
Pre koeficienty tepelnej vodivosti ideálneho plynu platí
ΛT,1 = cV1η1 = B'/M1(B 1M ) = C / 1M a ΛT,2 = C / 2M
z čoho znovu ako v prípade difúzie dostaneme
ΛT,2/ΛT,1 = 21/MM = 0,853
2.16. Cez plochu 100 cm2 za čas 10 s v dôsledku difúzie prejde určité množstvo dusíka. Gradient hustoty v kolmom smere na plochu je rovný dρ/dx = 1,26 kg·m−4 a nemení sa počas difúzie. Difúzia prebieha pri teplote 27 °C, pri tlaku dusíka, kedy je stredná voľné dráha molekúl dusíka rovná 10−5 cm a efektívny priemer molekuly je 3,75·10−10 m. Určite hodnotu koeficientu vnútorného trenia za uvede-ných podmienok a množstvo predifundovaného dusíka za uvedený čas cez uvedenú plochu.
Riešenie Z podmienky úlohy možno bezprostredne určiť koeficient difúzie D = λ⟨va⟩/3. Koeficient vnútor-
ného trenia súvisí s koeficientom difúzie ako η = Dρ, kde ρ je hustota dusíka. Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
η = 1,013·10−5 Pa·s
22
Pre množstvo predifundovaného dusíka pri stacionárnom difúznom procese a ustálenom gradiente hustoty platí
|Δm| = |−D(dρ /dx)SΔ t |
kde S je plocha cez ktorú difunduje dusík a Δ t je čas difúzie. Po vyčíslení dostaneme
Δm = 2,1·10−6 kg
2.17. Majme veľkú nádobu naplnenú čistým dusíkom na tlak 101 kPa pri teplote 298 K. V stene nádoby hrubej 1 cm nech je otvor s prierezom 1 cm2. Vypočítajte difúzny tok kyslíka do nádoby cez uvedený otvor z okolitého vzduchu.
Riešenie Pretože sú parametre dusíka a vzduchu skoro rovnaké, uvažujeme difúziu kyslíka ako vlastnú difú-
ziu. Pre difúzny tok cez plochu S platí
|ΓA| = |−Dxn
dd S |
kde D = ⟨va⟩λ /3 je koeficient samodifúzie a dn/dx je gradient koncentrácie kyslíka len v otvore, pretože môžeme zanedbať časový vzrast koncentrácie kyslíka vo veľkej nádobe.
Ak ⟨va⟩ = 444 m·s−1, a λO2 = 6,922·10−8 m (uvažujeme kyslík ako ideálny plyn), potom koeficient difúzie má hodnotu D = 1,024 46·10−5 m2·s−1.
Aby sme vypočítali gradient častíc kyslíka, potrebujeme určiť jeho koncentráciu vo vzduchu pri atmosférickom tlaku, ak vieme, že parciálny tlak kyslíka je 2,12·104 Pa. Potom nO2 = 5,15·1024 molekúl v 1 m3. Pre gradient dostaneme
=⋅
= −2
24
101015,5
dd
xn 5,15·1026 molekúl·m−4
Pre difúzny tok kyslíka do dusíka potom máme
ΓS = 1,024 46·10−5 × 5,15·1026 × 10−4 = 5,277·1017 molekúl·s−1
Ak predelíme difúzny tok Loschmidtovým číslom, dostaneme predifundovaný objem kyslíka pri atmosférickom tlaku a 20 °C, t. j.
=⋅⋅
=Γ
= 25
17
L 10687,210277,5
nV S 1,9637·10−8 m3·s−1 = 1,9637·10−2 cm3·s−1
2.18. Určite tlak v nádobe ponorenej do kvapalného vzduchu (teplota rovná −190 °C), ak ionizačný vákuometer pripojený vo väčšej vzdialenosti pri laboratórnej teplote (20 °C) ukazuje tlak
a) 1,6·10−3 Pa, b) 4·10−5 Pa. Riešenie Pre tento prípad môžeme využiť vzťahy platné pre tepelnú transpiráciu molekúl (resp. termomoleku-
lárne prúdenie plynov) t. j. p1 : p2 = 21 : TT . Po dosadení zodpovedajúcich hodnôt dostaneme a) p1 = 8,52·10−4 Pa, b) p2 = 2,13·10−5 Pa.
23
3 INTERAKCIA PLYNOV S POVRCHOM TUHÉHO TELESA VO VÁKUU
3.1. Koľko molekúl vzduchu obsahuje monomolekulárna vrstva molekúl vzduchu na vnútornej stene elektrónky, ak jej plocha je 25 cm2.
Riešenie Počet molekúl N určíme predelením plochy elektrónky prierezom jednej molekuly vzduchu. Ak
stredný priemer molekuly vzduchu je 3,75·10−10 m, potom N = 2,2635·1016 molekúl.
3.2. Vypočítajte počet molekúl vzduchu, ktoré dopadajú na plochu 1 cm2 za l s pri teplote 273 K a tlakoch 102, 10−5 a 10−9 Pa.
Riešenie Pre počet molekúl plynu dopadajúcich na plochu 1 cm za čas 1 s platí ν* = n⟨va⟩/4. Po dosadení čísel-
ných hodnôt dostaneme pre uvedené tlaky nasledovné počty častíc 2,96·1018 cm−2·s−1; 2,96·1011 cm−2·s−1 a 2,96·107 cm−2·s−1.
3.3. Určite objem plynu vytvorený dopadajúcimi molekulami vzduchu na plochu 1 m2 steny nádoby za čas 1 s pri teplote 20 °C.
Riešenie Pre objem plynu vytvorený dopadajúcimi molekulami plynu na plochu o veľkosti A m2 za čas 1 s platí
VA = 36,38AMT [m3·s−1]
Po dosadení číselných údajov, pričom Mvzd = 29, dostaneme
V = 115,6 m3/(m2·s) = 11,56 l/(cm2·s)
3.4. Vypočítajte dobu pobytu molekuly plynu s väzobnou energiou 5·104 kJ·kmol−1 na povrchu tuhej látky pri teplotách 100 K, 300 K a 1 000 K, ak najmenšia možná doba pobytu molekuly τ0 = 10−13 s.
Riešenie Pre dobu pobytu molekuly na povrchu tuhého telesa platí vzťah
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
RTWdesexp0ττ
Po dosadení zodpovedajúcich hodnôt dostaneme [12]
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⋅
= −
100314,8105exp10
413
100τ 10−13e60,14 = 10−13 × 1,313·1026 = 1,313·1013 s = 3·105 rokov
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⋅
= −
300314,8105exp10
413
300τ 5,08·10−5 s
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⋅
= −
0001314,8105exp10
413
0001τ 4,09·10−11 s
24
3.5. Vypočítajte dobu pobytu molekuly oxidu uhličitého CO2 na povrchu aktívneho uhlia pri 300 K, ak adsorpčná energia je 3,4·104 kJ·kmol−1 a ak najmenšia doba pobytu molekuly je τ 0 = 10−13 s.
Riešenie Podobne ako v predchádzajúcom príklade vypočítame
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⋅
= −
300314,8104,3exp10
413τ 8,32·10−8 s
3.6. Vypočítajte množstvo desorbovaného vodíka z jednotkovej plochy niklového plechu s hrúbkou 1 cm za 1 000 s pri teplote 300 K a 1 000 K, ak začiatočná koncentrácia je n0 = 0,1 kg·m−3 a koeficient difúzie môžeme vyjadriť v tvare
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⋅= −
TD 3504exp102 7 m2·s−1
Za rovnakých podmienok vypočítajte aj množstvo desorbovaného dusíka z ocele, ak koeficient difúzie môžeme vyjadriť v tvare
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−= −
TD 00017exp10 5 m2·s−1 [12]
Riešenie Najprv spočítame hodnoty koeficientov difúzie pre 300 K a 1000 K. Koeficienty difúzie vodíka
v nikli sú [8, 12]
12970001
12137300
sm1058,200013504exp102
sm1013003504exp102
−−−
−−−
⋅⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⋅=
⋅⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⋅=
D
D
Koeficienty difúzie dusíka v oceli majú hodnoty [8, 12]
121350001
12305300
sm1014,4000100017exp10
sm1045,2300
00017exp10
−−−
−−−
⋅⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
⋅⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−=
D
D
Spočítame teraz, či pre náš požadovaný čas ohrevu resp. desorpcie 1 000 s, môžeme použiť zjedno-dušený vzťah. Ak áno, potom musí platiť
962π
<dDt resp. 5·10−2
Pre najväčší koeficient difúzie dostaneme
961056,2
m)10(s0001sm1056,2 2
22
129 π<⋅=
×⋅ −−
−−
Za týchto predpokladov pre jednotlivé množstvá dostaneme
=π
=π
=−
3
13
0300,H
10101,02
tDn
AG
5,64·10−10 kg·m−2·s−1
=π
⋅=
π=
−
3
9
00001,H
101058,21,02
tDn
AG
9,06·10−8 kg·m−2·s−1
25
=π
⋅=
π=
−
3
30
0300,N
101045,21,02
tDn
AG
2,82·10−18 kg·m−2·s−1
=π
⋅=
π=
−
3
13
00001,N
101014,41,02
tDn
AG
1,148·10−9 kg·m−2·s−1
3.7. Určite o koľkokrát sa zmenší rýchlosť uvoľňovania dusíka z plátkov nízkouhlíkovej ocele pri zvýšení teploty vyhrievania zo 673 K na 773 K pri rovnakej dobe ohrevu.
Riešenie Pre koeficient difúzie dusíka v ocele môžeme napísať vzťah [8, 12]
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
××⋅
−⋅= −
TD
314,821085,2exp1007,1
55
Pre pomer rýchlosti uvoľňovania plynov môžeme písať
2,51
7731
6731
314,821085,2exp
5
K773,0
K673,0 =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
×⋅
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
==
==
Tx
Tx
xn
xn
t. j. pri zvýšení teploty o 100 K vzrastie efektívnosť odplyňovania (vyhrievania) o viac ako 5-krát.
Pomocou rýchlosti uvoľňovania plynov a koeficientu difúzie dostaneme taktiež pre časy ohrevu t1 a t2 pri teplotách T1 a T2 nasledujúci pomer
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−==
211
2
2
1 112
expTTR
EDD
tt D
Tieto časy sú nutné na získanie rovnakého toku uvoľňovania plynov. Ak použijeme rovnaké zvý-šenie teploty, dostaneme, že môžeme skrátiť čas ohrevu viac ako 28-krát pri zvýšení teploty o 100 K.
3.8. Určite tok dusíka uvoľneného z oceľovej doštičky s plochou 100 cm2 a hrúbkou b = 8 mm za čas 1 800 s pri jej ohriatí na 1 000 °C.
Riešenie Nech množstvo dusíka v oceli je 3,44 m3·Pa·kg−1 a nech koeficient difúzie dusíka v oceli pri teplote
1 000 °C má hodnotu D = 1,35·10−11 m2·s−1. Jednoduchý vzťah pre hustotu toku uvoľneného plynu z doštičky je daný ako
tDnnqπ
−=′ )( 0
kde n0 je začiatočná koncentrácia atómov v oceli a n je koncentrácia na povrchu. Tento jednoduchý vzťah môžeme použiť len ak doba ohrevu je menšia ako teoretická, t. j.
=⋅
⋅=≤ −
−−
11
232
1035,1)108(4024,04024,0
Dbt 115 600 s
Naša doba ohrevu 1 800 s je menšia ako sme vypočítali z teórie. Môžeme teda použiť zjednodušený vzťah pre výpočet hustoty toku plynu. Pretože začiatočná koncentrácia dusíka je vysoká, zanedbáme koncentráciu častíc n na povrchu. Ak zoberieme za hustotu našej ocele hodnotu ρ = 7,85·103 kg·m−3 môžeme písať
=⋅π⋅
⋅×=′−
80011035,11085,744,3
113q 1,32·10−3 m3·Pa/(m2·s)
26
Celkový tok dusíka uvoľneného z doštičky s plochou 100 cm2 je potom daný ako
Q' = q'A = 1,32·10−3 × 2·10−2 = 2,64·10−5 m3·Pa·s−1
3.9. Vypočítajte tok plynov, ktoré predifundujú z atmosférického vzduchu do vákuovej nádoby cez palec z nerezovej ocele vyhriaty na teplotu 1 000 °C, ak rozmery palca sú: vnútorný priemer 25 mm, dĺžka 150 mm a hrúbka steny 2,5 mm.
Riešenie Jednoduchým výpočtom zistime, že vnútorný povrch palca je 97,4 cm2 = 9,7·10−3 m2. Za konštanty (koeficienty) prenikania plynov pre nerezovú oceľ budeme brať koeficienty pre železo,
ktoré sú [8]:
P [m3·Pa/(m2·s)] P0 [m3·Pa/(m2·s)] QP [kJ·kmol−1] H2 975 K 1,31·10−6 1,88·10−4 8,04·104 N2 1 387 K 1,93·10−6 5,19·10−4 1,996·105
CO ≈ O2 1 266 K 1,93·10−6 1,51·10−4 1,557·105 Hodnotu koeficientu prenikania pre vodík v kove pri 1 000 °C spočítame podľa vzťahu
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
××⋅
−⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−= −
2731314,821004,8exp1088,1
2exp
44
0H 2 RTQPP P 4,213·10−6 m3·Pa·m−2 ·s−1
Za spád vodíka považujeme jeho parciálny tlak vo vzduchu, t. j.
ph2 = 5,06·10−2 Pa
Hustotu toku vodíka cez stenu vypočítame pomocou vzťahu
=⋅
⋅⋅=
−=′
−
−−
3
2601
H 105,21006,510213,4
2 bpp
Pq 3,79·10−4 m3·Pa·m−2 ·s−1
Podobne spočítame predifundované hustoty tokov aj pre N2 a O2 ≈ CO. Dostaneme
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
××⋅
−⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−= −
2731314,8210996,1exp1019,5
2exp
54
0N 2 RTQPP P 4,168·10−8 m3·Pa·m−2 ·s−1
PN2 = 7,9·104 Pa a =⋅
=′−3
NN 105,2
2
2
pPq 4,686·10−3 m3·Pa·m−2 ·s−1
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
××⋅
−⋅=≈ −
2731314,8210557,1exp1051,1
54
COO2PP 9,65·10−8 m3·Pa·m−2 ·s−1
PO2 = 2×12·104 Pa a =′2Oq 5,619 4·10−3 m3·Pa·m−2 ·s−1
Výsledný tok vzduchu dostaneme vynásobením jednotlivých hustôt tokov plochou palca a ich sčíta-ním, čiže
=×′+′+′=′Σ AqqqQ )(222 ONH 1,040 6·10−4 m3·Pa·s−1
3.10. Vypočítajte toky kyslíka a dusíka, ktoré preniknú cez gumové tesnenie s plochou 74 cm2 a hrúbky 1 cm pri laboratórnej teplote 25 °C.
Riešenie Koeficienty prenikania cez gumové tesnenie pre uvedené plyny nech sú dané nasledujúcimi
vzťahmi [8]
27
Plyn P0 [m3·Pa·m−2 ·s−1] QP [kg·kmol−1] P298 [m3·Pa·m−2 ·s−1] N2 3,56·10−7 2,598·104 9,94·10−12 O2 1,1·10−5 3,14·104 3,445 6·10−11
Pre koeficient prenikania dusíka cez gumové tesnenie dostaneme
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×⋅
−⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−= −
298314,810598,2exp1056,3exp
47
0N 2 RTQPP P 9,94·10−12 m3·Pa·m−2 ·s−1
Pre tok dusíka cez tesnenie dostaneme
=⋅
⋅⋅×⋅=××= −
−−
2
3412
NNN 101104,7109,71094,9
222 bApPQ 5,81·10−7 m3·Pa·s−1
Pre koeficient prenikania kyslíka cez gumové tesnenie dostaneme hodnotu
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
×⋅
−⋅= −
298314,81014,3exp101,1
45
O2P 3,445 6·10−11 m3·Pa·m−2 ·s−1
Pre tok kyslíka cez tesnenie platí
=⋅
⋅⋅×⋅=××= −
−−
2
3411
OOO 101104,71012,2106445,3
222 bApPQ 5,4055·10−7 m3·Pa·s−1
Tok vodíka, hélia a ďalších plynov neuvažujeme. Potom výsledný tok plynu je rovný súčtu tokov kys-líka a dusíka, t. j.
Q = 1,12·10−6 m3·Pa·s−1
3.11. Vypočítajte časovú závislosť vzrastu parciálneho tlaku hélia vo vákuovotesnej sklenenej nádobe s objemom 1 liter, vyčerpanej na tlak 1,33·10−10 Pa pri teplote 293 K, ak povrch nádoby je 500 cm2 a hrúbka steny je 0,1 cm. Hodnota koeficienta prenikania je 2,5·10−14 m2·s−1.
Riešenie Tok hélia cez plochu A je určený výrazom
bApPq He=
kde pHe je parciálny tlak hélia vo vzduchu rovný 5,33·10−1 Pa. Z definičného vzťahu pre tok plynu q = pV/t po dosadení dostaneme
=⋅×
=×
⋅×⋅×⋅=== −
−
−−
−−−
tttbV
ApPtVqp 6
17
33
2114He
101033,55,12
10101051033,5105,2 6,66·10−10 t [Pa]
Výsledná časová závislosť vzrastu tlaku je vyjadrená ako
p' = p∞ + p = 1,33·10−10 + 6,66·10−10 t ≈ 6,66·10−10 t [Pa]
3.12. Určite rýchlosť desorpcie z medeného povrchu vákuovej nádoby o ploche 1 320 cm pri labo-ratórnej teplote 298 K po dobu 6 hodín.
Riešenie Podľa vzťahu ln q'p1 = A − Bt vypočítame rýchlosť mernej desorpcie medených povrchov, ak za hod-
noty konštánt zoberieme tie, ktoré zodpovedajú morenej a prepláchnutej medi v benzole a acetóne, t. j. [8, 13]
ln q'p1 = −4,686 − 7,73·10−5 t
Potom podľa vzťahu
Q'p1 = q'p1 ·A
kde A je uvažovaný povrch, určíme výslednú rýchlosť desorpcie. Výsledky sú uvedené v tabuľke.
28
čas [s] q'p1 [m3·Pa·m−2 ·s−1] Q'p1 [m3·Pa·s−1] 2 000 1,443·10−5 1,905·10−6 3 000 1,21·10−5 1,595·10−6 4 000 1,01·10−5 1,335·10−6 5 000 8,46·10−6 1,117·10−6 6 000 7,08·10−6 9,35·10−7 8 000 4,96·10−6 6,549·10−7 10 000 3,475·10−6 4,587·10−7 12 000 2,43·10−6 3,21·10−7 15 000 1,427·10−6 1,884·10−7 18 000 8,367·10−7 1,1·10−7 20 000 5,86·10−7 7,737·10−8 21 600 4,409·10−7 5,82·10−8
3.13. Vypočítajte rýchlosti desorpcie pri laboratórnej teplote z povrchu vákuovej nádoby, vyhoto-venej z nerezovej ocele s plochou 8 655 cm2, počas odčerpávania trvajúceho 6 hodín.
Riešenie Podľa tabuliek nájdeme pre nehrdzavejúcu oceľ [8,13]
ln q'p1 = A − Bt = −3,463 − 4,16·10−5 t
Výsledky výpočtov sú v nasledujúcej tabuľke
čas [s] qp1 [m3·Pa·m−2 ·s−1] Qp1 [m3·Pa·s−1] 2 000 2,84·10−4 2,46·10−4 3 000 2,583·10−4 2,236·10−4 4 000 2,347·10−4 2,03·10−4 5 000 2,133·10−4 1,846·10−4 6 000 1,938·10−4 1,677·10−4 8 000 1,60·10−4 1,385·10−4 10 000 1,32·10−4 1,143·10−4 12 000 1,09·10−4 9,44·10−5 15 000 8,15·10−5 7,07·10−5 18 000 6,14·10−5 5,31·10−5 20 000 5,04·10−5 4,37·10−5 21 600 4,1·10−5 3,55·10−5
3.14. Vypočítajte rýchlosť desorpcie plynov q z gumového tesnenia vákuovej nádoby počas šesť-hodinového odčerpávania, ak celková plocha tesnenia smerujúceho do vákuového systému je 74 cm2 a je zohriata na teplotu 343 K v dôsledku tepelného žiarenia, pričom výrobca udáva graficky časovú zá-vislosť merného desorpčného toku q' (obr. 3.1) [8, 13].
Riešenie Zo zadaného grafu odčítame q' v jednotlivých časoch a každú hodnotu q' vynásobíme plochou t. j.
7,4·10−3 m2, čím dostaneme hodnoty q uvoľňovaného množstva plynov po zodpovedajúcich dobách čerpania v jednotkách m3·Pa·s−1.
3.15. Určite potrebný čas na odčerpanie valcovej nádoby o priemere 260 mm a výške 250 mm zho-tovenej z nízkouhlíkovej ocele z atmosférického tlaku na tlak 6,65·10−3 Pa. Výsledná vnútorná plocha vitonového tesnenia je 50 cm2. Efektívna čerpacia rýchlosť vákuového systému pri tlaku 6,65·10−3 Pa je 1·10 l ·s−1 = 1·10−2 m2·s−1.
Riešenie Vnútorný povrch vákuovej nádoby s uvedenými rozmeranú je
+π=4
)26,0(22
kovA π0,26×0,25 = 0,11 + 0,20 = 0,31 m2
29
Obr. 3.1 Závislosť merného desorpčného toku q' z gumového tes-nenia pri jeho ohreve na teplotu 343 K tepelným žiarením
Obr. 3.2 Časové závislosti desorpčného toku z nízkouhlíkovej ocele s plochou Akov = 0,31 m2 – krivka 1 a z vitonu o ploche 0,005 m2 – krivka 2. Výsledný desorpčný tok daný súčtom oboch kriviek – čiarkovaná krivka. Priamkami so šípkami je znázornený výpočet doby čerpania vákuovej aparatúry na tlak 6,65·10−3 Pa, čo je cca 2,4 hod.
30
Ale poznáme časové závislosti merného množstva plynov desorbovaných z nízkouhlíkovej ocele q'p1 a vynásobíme ju plochou Akov = 0,31 m2 a podobne časovú závislosť uvoľňovania merného množstva plynu z vitonu a vynásobíme ju plochou 0,005 m2, dostaneme krivky desorpcie plynov zo stien vákuovej nádoby a tesnenia, ako sú znázornené na obr. 3.2. Zložením oboch kriviek dostaneme ďalšiu krivku pre výsledné množ-stvo uvoľnených plynov, ktoré sa bude len málo líšiť od krivky pre uvoľňovanie z kovových stien nádoby.
Tok plynu odčerpávaný z vákuového zariadenia pri tlaku 6,65·10−3 Pa je rovný
q = pSef = 6,65·10−3 × 10−2 = 6,65·10−5 m3·Pa·s−1
Teraz cez bod q = 6,65·10−5 m3·Pa·s−1 na osi y urobíme horizontálnu priamku do priesečníku s výslednou krivkou celkovej desorpcie plynov. Ako výsledok dostaneme, že tlak p = 6,65·10−3 Pa získame za asi 2,4 hod.
3.16. Vypočítajte tok plynov, ktoré sa uvoľnia z 12 valčekov vyrobených z nehrdzavejúcej ocele s polomerom 35 mm a dĺžkou 100 mm (hustota ocele je 7,8·103 kg·m−3) počas ich odplyňovania v elek-trickej vákuovej peci pri teplote 1 000 °C počas 6 hodín.
Riešenie Celkový tok desorbovaných plynov zo zohriateho valca je daný vzťahom
qp1 = q'p1A
pričom q'p1 určíme ako množstvo desorbovaného plynu dvomi spôsobmi
a) Ak doba odplyňovania, D
dt96
2π< [s], potom rýchlosť desorpcie je
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
π=′
dD
tDCqp 01 [m3·Pa·m−2 ·s−1]
b) Ak čas odplynovania D
dt96
2π> [s], potom rýchlosť desorpcie je daná vzťahom
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
4π
=′ td
Dd
DCqp 20
124exp2 [m3·Pa·m−2 ·s−1]
Z uvedených vzťahov vyplýva, že pre výpočet rýchlosti desorpcie plynov treba určiť koeficienty difúzie a začiatočné koncentrácie C0 v materiáli.
Koeficienty difúzie pri 1 000 °C pre vodík, dusík, kyslík a uhlík v nehrdzavejúcej oceli sú [8,13]:
DH2 = 2,15·10−8 m2·s−1 DN2 = 1,55·10−11 m2·s−1 DO2 = 7,47·10−14 m2·s−1
DC = 1,95·10−11 m2·s−1 DCO = 5,65·10−9 m2·s−1
Začiatočná koncentrácia C0 sa určí podľa vzťahu
C0 = CMγ [m3·Pa·m−3]
kde CM je množstvo plynov obsiahnutých v 1 kg materiálu a γ je hustota materiálu v jednotkách kg·m−3. Za začiatočnú hodnotu koncentrácie C0 sa obvykle berie hodnota o 30 % väčšia, ako je hodnota,
ktorá sa rovná výslednému množstvu uvoľneného plynu určeného z tabuliek. (Tabuľka 3.1) [13].
Tabuľka 3.1 Množstvo uvoľneného plynu Q z nízkouhlíkovej ocele teplota ohrevu [°C]
celkové množstvo vodík dusík CO
400 0,000 887 500 0,002 87 600 0,012 7 700 0,153 0,020 5 0,074 5 0,058 6 800 0,178 0,020 4 0,063 6 0,094 0 900 0,115 0,029 8 0,013 4 0,072 1 000 0,216 0,037 0,036 5 0,142
31
Množstvá plynov sú uvedené v jednotkách m3·Pa·kg−1. Napríklad z nízkouhlíkovej ocele sa množstvo uvoľneného vodíka rovná
Q = 0,020 5 + 0,020 4 + 0,029 8 + 0,037 + 0,107 7 m3·Pa·kg−1
Ak toto množstvo zvýšime o 30 % a vztiahneme to na 1 m3 materiálu nájdeme hodnotu začiatočnej koncentrácie vodíka
C0, H2 = 0,107 7×7 300×100/70 = 1 200,086 m3·Pa·m−3
Analogicky by sme našli pre dusík a oxid uhoľnatý, t. j.
C0, N2 = 0,188×7 800×100/70 = 2 094,86 m3·Pa·m−3
C0, CO = 0,366 6×7 800×100/70 = 4 085 m3·Pa·m−3
Určíme rýchlosť uvoľňovania merného množstva vodíka. Za tým účelom najprv vypočítame čas vy-hrievania, t. j.
=⋅×
⋅π= −
−
8
22
1015,296)105,3(t 1 864,6 s << 21 600 = 6 hod.
Pretože náš čas vyhrievania je väčší ako vypočítaný čas použijeme pre výpočet množstva uvoľneného plynu q'p1 výraz z bodu b). Po logaritmovaní dostaneme
td
Dd
DCqp 20
1242lnln −
4π
+=′
a po dosadení číselných hodnôt dostaneme
=⋅
⋅×−+
⋅⋅××
=′−
−
−
−
tq 22
8
2
8
H )105,3(1015,2244785,0
105,31015,220012lnln
2ln 1,474·10−3 + 0,785 4 + 4,212·10−4 t
Potom dostaneme
q'H2 = 1,474·10−3 exp {0,785 4 − 4,212·10−4 t} m3·Pa·m−2 ·s−1
Výsledky výpočtov rýchlosti uvoľňovania jednotlivých plynov sú uvedené v tabuľke 3.2.
Tabuľka 3.2 Hodnoty rýchlosti desorpcie merných množstiev jednotlivých plynov z nízkouhlíkovej ocele
Čas [s] q'H2 q'N2 q'CO q'Σ q 2 000 1,41·10−3 1,021·10−4 2,28·10−4 1,74·10−3 2,7·10−4 3 000 9,23·10−4 8,357·10−5 1,86·10−4 1,193·10−3 1,85·10−4 4 000 6,06·10−4 7,208·10−5 1,61·10−4 8,391·10−4 1,30·10−4 5 000 4,00·10−4 6,448·10−5 1,44·10−4 6,085·10−4 1,06·10−4 6 000 2,62·10−4 5,868·10−5 1,31·10−4 4,517·10−4 7,01·10−5 8 000 1,14·10−4 5,078·10−5 1,13·10−4 2,778·10−4 4,30·10−5 10 000 4,89·10−5 4,528·10−5 1,01·10−4 1,952·10−4 3,02·10−5 12 000 1,91·10−5 4,128·10−5 9,18·10−5 1,522·10−4 2,36·10−5 15 000 6,02·10−6 3,678·10−5 8,18·10−5 1,240·10−4 1,93·10−5 18 000 1,70·10−6 3,348·10−5 7,45·10−5 1,097·10−4 1,70·10−5 20 000 7,60·10−7 3,168·10−5 7,06·10−5 1,030·10−4 1,59·10−5 21 600 3,81·10−7 3,048·10−5 6,77·10−5 9,856·10−5 1,53·10−5
Určíme rýchlosť desorpcie dusíka. Pre čas odplyňovania dostaneme
=⋅×
⋅π= −
−
11
22
1055,196)105,3(t 2,585·106 >> 21 600 s = 6 hod.
32
Pretože tento čas je omnoho väčäí ako 21 600 s, budeme počítať množstvo uvoľneného dusíka podľa vzťahu uvedeného pod bodom a), t. j.
73
2
1111
N 10278,910653,4105,31055,11055,10952
2
−−
−
−−
⋅−⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−π⋅
=′tt
q m3·Pa·m−2 ·s−1
Výsledky výpočtov sú uvedené v tabuľke 3.2. Pri výpočte rýchlosti uvoľňovania oxidu uhoľnatého sa predpokladá, že je táto rýchlosť ohraničená
difúziou uhlíka k povrchu, kde atómy uhlíka vytvárajú oxidovú tenkú vrstvu a uvoľňujú sa do objemu ako molekuly CO. Preto výpočty robíme pre systém „železo-uhlík“, pre ktorý je doba odplyňovania
=⋅×
⋅π= −
−
11
22
1095,196)105,3(t 2,056·106 >> 21 600 s = 6 hod.
Znovu postupujeme podobne ako v prípade dusíka a dostaneme
62
2
1111
CO 10276,2107017,1105,31095,11095,10854 −
−
−
−−
⋅−⋅
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅
−π⋅
=′tt
q m3·Pa·m−2 ·s−1
Výsledky výpočtov sú taktiež uvedené v tabuľke 3.2. Ak sčítame jednotlivé rýchlosti uvoľňovania pre vodík, dusík a oxid uhoľnatý v jednotlivých časoch,
dostaneme výsledný tok q'Σ pre zodpovedajúce časy. Výsledný tok uvoľňovaných plynov z 12 valčekov dostaneme, keď vynásobíme jednotlivé toky
plochou 12 valčekov, ktorá je
22
12valč m0155,0122105,310105,3 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4
)⋅π(+×⋅×π=
2−−−A
Výsledný tok plynov uvoľňovaných plynov q v jednotlivých časoch je taktiež uvedený v tabuľke 3.2. a môžeme ho aj graficky znázorniť ako závislosť q od času.
33
4 VÁKUOVÉ VODIVOSTI KONŠTRUKČNÝCH PRVKOV VÁKUOVEJ APARATÚRY
4.1. Odvoďte výraz pre vodivosť dlhej valcovej trubice v prípade molekulárneho prúdenia, využijúc Knudsenov postup1.
Riešenie Uvažujme dlhú valcovú trubicu, ktorej priemer je malý oproti strednej voľnej dráhy molekúl. Na
koncoch trubice nech sú tlaky p1 a p2. Vo vnútri trubice prevládajú zrážky molekúl so stenami nad ich vzájomnými zrážkami. Okrem toho predpokladajme, že zrážka molekuly so stenami je difúzna.
Na stene trubice si zvolíme v ľubovoľnom mieste element s plochou dS a určíme počet molekúl, ktoré sú vyslané týmto elementom za čas dt a prejdú druhým elementom o ploche dS', ktorý je umiest-nený kdekoľvek v trubici. Uvažované molekuly sa pohybujú v smeroch vo vnútri kužeľa k (obr. 4.1) so základňou dS' a vrcholom O na ploche elementu dS.
Obr. 4.1 Geometrické zobrazenie vzájomnej polohy emitujúcej plôšky dS na stene trubice a plôšky dS' ľubovoľnej umiestnenej v trubici, ktorou prechádza časť molekúl emitovaných plôškou dS
Koncentrácia týchto molekúl s rýchlosťami v intervale v až v + dv je daná
ωdd41 vvnπ
kde dω je priestorový uhol kužeľa k. Počet molekúl s rýchlosťami v intervale v až v + dv a vyslaných elementom dS za čas d t, je daný objemom valca so základňou dS a výškou vd t, ktorého os je rovno-bežná s osou kužeľa k. Objem valca je
dS ·v ·d t ·cos ϑ
kde ϑ je uhol medzi smerom pohybu molekúl a normálou k ploche dS. Potom celkový počet molekúl v smere uhla ϑ je daný súčinom
tSntSn dddcosd41cosdddd
41 ωϑϑω vvvv vv π
=π
1 Tento príklad má výkladový charakter poukazujúci na fyzikálnu podstatu molekulárneho prúdenia. V súčasných učebniciach sa
už nevyskytuje, uvádza sa len jeho výsledok. Pravdepodobnostný a štatistický charakter molekulového prúdenia umožňuje využiť aj metódu Monte-Carlo na výpočet vákuovej vodivosti rôznych prvkov pri molekulárnom prúdení plynu.
34
Integráciou podľa rýchlosti v od 0 do ∞, dostaneme počet všetkých molekúl, ktoré vyslal element dS za d t a prejdú plochou dS'. Využijúc definíciu strednej aritmetickej rýchlosti
⟩⟨=∫∞
ar0
d vvv v nn
prejde predchádzajúci výraz do tvaru
tSn dddcos41
ar ωϑ⟩⟨π
v
kde n značí počet molekúl v jednotke objemu a to v mieste, kde je element dS. Priestorový uhol dω sa tiež volá zorný uhol, pod ktorým vidíme plošný element dS' z bodu O na
dS. Určíme ho takto: Opíšeme guľu z bodu O s polomerom r, čo je najkratšia vzdialenosť plochy dS od dS'. Náš kužeľ vytne na guľovej ploche plošný element dS'', ktorý je vlastne pravouhlým prieme-tom plošného elementu dS'. Ak označíme ϑ' uhol medzi normálou k' k dS' a osou kužeľa, tak
dS'' = dS'cos ϑ' ale dS'' = r2dω a odtiaľ
Sdr
Sr
′′=′′= ϑω cos1d1d 22
a tak pre počet molekúl, ktoré vyšle za čas d t element dS a prejdú cez dS' je
tSSnr
dddcoscos4
1ar ′′⟩⟨
π 2 ϑϑv
Tento výraz je symetrický vzhľadom k obom elementom, až na to, že koncentrácia n sa vzťahuje k elementu dS. Preto môžeme písať úplne analogicky pre počet molekúl, ktoré vyšle plošný element dS' za čas d t do elementu dS
tSSnr
dddcoscos4
1ar ′′⟩⟨′
π 2 ϑϑv
kde n' je koncentrácia v objemovej jednotke v dS'. Tento výraz môžeme tiež písať ako
tSn dddcos41
ar ωϑ⟩⟨′π
v
Položme teraz do osi trubice súradnú os x a jej smer zvoľme tak, aby plyn prúdil v smere narastania x. V tomto smere klesá počet molekúl v objemovej jednotke, a teda aj tlak plynu p. Predpokladajme, že tlak plynu je v ľubovoľnom priereze trubice rovnaký. To znamená, že závisí len od x. Táto závislosť sa vzťahuje aj na počet molekúl v objemovej jednotke. Preskúmame najprv závislosť n od x.
Zvoľme si niektorý plošný element steny trubice dS a preložme ním rovinu x = 0 (obr. 4.2). Nech je tento element dostatočne vzdialený od oboch koncov trubice, aby sme vylúčili vplyv jej okrajov. Vypo-čítajme úhrnný počet molekúl vyslaných elementom dS za čas d t. Dostaneme ho integráciou výrazu
tSn dddcos41
a ωϑ⟩⟨π
v
ktorý znamená počet molekúl v objemovej jednotke v mieste, kde je element dS. Teraz však nahradíme koncentráciu n koncentráciou n0, čo je počet molekúl v objemovej jednotke v rovine x = 0. Integrujeme cez polguľu opísanú okolo elementu dS s polomerom r = 1 a označíme ju K. Hľadaný počet molekúl, ktoré vysiela element dS za čas dt je
∫⟩⟨π
K
tSn ωϑ dcosdd41
ar0 v
Ak predpokladáme ustálený stav v trubici, potom tento výraz musí sa rovnať výrazu pre počet mo-lekúl, ktoré dopadnú na dS za čas d t. Tieto molekuly sú však vyslané rôznymi miestami steny trubice. Integráciou cez tú istú plochu K z počtu molekúl v objemovej jednotke v ľubovoľnom elemente dS' dostaneme počet molekúl, ktoré za čas d t dopadnú na dS. Počet molekúl v objemovej jednotke v dS' je
tSn dddcos41
ar ωϑ⟩⟨′π
v
35
Obr. 4.2 Geometrické zobrazenie vzájomných plôšok dS a dS' pri mole-kulárnom prúdení plynu v trubici v smere rastúceho x
kde n' = n(x), a tak je
∫⟩⟨π
K
xntS ωϑ dcos)(dd41
arv
Integrácia v tomto prípade sa týka aj n(x), pretože táto hodnota sa mení s polohou dS'. Pretože počet molekúl dopadajúcich sa musí rovnať počtu molekúl vyletujúcich z elementu dS za čas d t v rovnováž-nom stave, preto platí rovnosť
∫∫ ⟩⟨π
=⟩⟨π
KK
xntSntS ωϑωϑ dcos)(dd41dcosdd
41
a0a vv
čiže 0dcos])([ 0 =−∫
K
nxn ωϑ
Niektoré riešenia uvedenej rovnice sú: a) Najjednoduchšie riešenie je
n(x) = n0 Toto riešenie zodpovedá rovnovážnemu stavu plynu, keď hustota plynu je v celej trubici rovnaká –
konštantná. b) Ďalšie riešenie je
n(x) = n0 − Cx kde C je konštanta. Dosadením do uvedenej rovnice dostaneme
0dcos =− ∫K
xC ωϑ
Ak teda riešenie b) vyhovuje uvedenej rovnici, treba dokázať uvedenú rovnosť. Priestorový uhol môžeme prepísať pomocou priestorových uhlov ϑ a ϕ teda
dω = sin ϑ dϑ dϕ Na základe tohto môžeme písať
0ddcossin0
2
0
=∫ ∫π/2 π
ϕϑϑϑx
Súradnica x je funkciou ϑ a ϕ. Vo valcovej trubici zodpovedajú pri zadanom uhle ϑ uhlom ϕ a (2π − ϕ) hodnoty x, ktoré sa líšia len znamienkom, a tak výsledok integrácie už len podľa ϕ sa rovná nule a je tak ukázané, že riešením uvedenej rovnice je
n(x) = n0 − Cx
36
Môžu existovať aj ďalšie riešenia. Predpokladajme však, že n je lineárnou funkciou x. Zo stavovej rovnice ideálneho plynu plynie
nmMRT
VRTp ==
ak uvážime, že
nmMMV ==
ρ
Dosadením za n dostaneme, že aj tlak plynu p je len lineárnou funkciou x
)( 0 CxnmMRTp −=
Potom gradient tlaku v celej trubici je rovnaký a rovná sa
mCMRT
xp
=−dd
Nech na koncoch trubice sú tlaky plynov p1 a p2, pričom p2 je menší ako p1. Potom máme
Lpp
xp 12
dd −
=−
kde L je dĺžka trubice. Porovnaním s predchádzajúcim výrazom dostaneme pre konštantu C výraz
Lpp
mRTMC 12 −
=
Vypočítajme teraz množstvo plynu, ktoré prechádza trubicou za čas d t. Zvoľme si v tomto prípade dS ako plošný element ľubovoľného prierezu trubice, napr. x = 0. Molekuly prechádzajúce plochou dS sú vyslané stenou trubice. Úhrnný počet molekúl, ktorý prejde plôškou dS je daný rozdielom počtu molekúl v smere x a proti smeru x.
Počet molekúl, ktoré prejdú cez plochu dS za čas d t a sú vyslané z plôšky dS' steny trubice, ktorá leží na strane kladných hodnôt x, je
∫⟩⟨π
K
xntS ωϑ dcos)(dd41
av
alebo po zavedení sférických súradníc
∫ ∫π/2 π
⟩⟨π
0
2
0a ddcossin)(dd
41 ϕϑϑϑxntSv
Obr. 4.3 Geometrické zobrazenie vzájomných plošiek dS a dS' pri od-vodení vodivosti dlhých trubiek v molekulárnom režime prúdenia plynu
Pokladajme trubicu za veľmi dlhú a pokúsme sa vyjadriť n(x). Z obr. 4.3 plynie: x = R cotg ϑ. Vzdia-lenosť OAR = závisí len od uhla ϕ a nie od uhla ϑ, pretože trubica je valcová, a tak teda platí
37
n(x) = n0 − CR cotg ϑ Po dosadení dostaneme
∫ ∫∫ ∫π/2 ππ/2 π
⟩⟨π
−⟩⟨π
0
2
0a
0
2
00a ddcossindd
4ddcossindd
41 ϕϑϑϑϕϑϑϑ RtSCntS vv
Hodnota prvého integrálu je
tSnntS dd41dcossindd
21
0a0
0a ⟩⟨=⟩⟨ ∫π/2
vv ϑϑϑ
Druhý integrál môžeme integrovať len podľa ϑ , čiže
∫∫∫ππ/2π
⟩⟨=⟩⟨π
2
0a
0
22
0a ddd
161dcosddd
4ϕϑϑϕ RtSCRtSC vv
Potom počet molekúl zo strany narastajúcich hodnôt x je
∫π
⟩⟨−⟩⟨2
0aa0 ddd
161dd
41 ϕRtSCtSn vv
Úplne analogicky dostaneme pre počet molekúl prúdiacich z opačnej strany, zo strany záporných hodnôt x
∫π
⟩⟨+⟩⟨2
0aa0 ddd
161dd
41 ϕRtSCtSn vv
Takže rozdiel je
∫π
⟩⟨2
0a ddd
81 ϕRtSC v
Ak tento výraz vynásobíme hmotnosťou jednej molekuly m a predelíme časom d t dostaneme hmotnosť plynu, ktorá prešla plôškou dS za jednotku času, t. j.
∫π
⟩⟨2
0a dd
81 ϕRSmC v
Integráciou cez celú plochu prierezu trubice Σ dostaneme pre hmotnosť plynu, ktorá prešla prierezom trubice za jednotku času ako
KmC ⟩⟨ a81 v
kde
∫∫π
Σ
=2
0)(
dd ϕRSK
Ak dosadíme za strednú aritmetickú rýchlosť ⟨va⟩ z Maxwellovského rozdelenia a za konštantu C vypo-čítanú hodnotu dostaneme
Lpp
RTMKK
MRT
Lpp
mRTMmG 1212
2122
81 −
2π=
π−
=
Hodnota integrálu K závisí od tvaru a rozmerov prierezu trubice. Vypočítame ho pre kruhový prierez s polomerom a. Z obr. 4.4 vyplýva, že
∫∫ππ
′=2
0
2
0
dd ϕϕ RR
38
Obr. 4.4 Zobrazenie prierezu trubice a premenných parametrov pre výpočet integrálu cez prierez
pretože ROM = a RON ′= nadobúdajú v integračnom intervale rovnaké hodnoty. Môžeme taktiež písať
∫∫ππ
′+=2
0
2
0
d)(21d ϕϕ RRR
Z rovnoramenného trojuholníka AMN a z pravouhlého trojuholníka AMP plynie R + R' ϕ22222 sin22 raha −=−=
kde AOr = je vzdialenosť elementu dS od stredu prierezu. Máme teda
∫∫∫/2πππ
−=−=0
2222
0
2222
0
dsin4dsind ϕϕϕϕϕ raraR
a tak pre hodnotu integrálu K platí
∫∫/2π
Σ
−=0
222
)(
dsind4 ϕϕraSK
Integrál podľa ϕ je funkciou r, preto pri integrácii cez plochu Σ môžeme za element dS voliť medzi-kružie s polomermi r a r + dr a vtedy je dS = 2πrdr , z čoho
∫∫/2π
−π=0
222
0
dsind8 ϕϕrarrKa
Zameňme poradie integrácie
∫∫ −π=/2π a
a
rrraK0
222 dsind8 ϕϕ
Vypočítame najprv integrál podľa r t. j.
ϕϕ
ϕϕϕ 2
33
02
2/3222
0
222
sin3cos1
sin3)sin(dsin −
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−∫ ararrra
aa
takže
∫/2π −
π=a
aK ϕϕ
ϕ dsin
cos138
2
33
Avšak
ϕϕϕϕϕ
ϕϕ cos
2cos2
1cossin
cos1sin
cos12
22
3
+=+−
=−
39
a
2sin2
tgdsin
cos1 2/
0
2/
02
3
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
− ππ
∫ ϕϕϕϕ
ϕ
a tak pre kruhový prierez s polomerom a je
3
316 aK π=
Výraz pre hmotnosť preprúdeného plynu potom prejde do tvaru
)(34
12
3
ppRTM
LaG −2π=
Pre množstvo preprúdeného plynu trubicou za jednotku času dostaneme
)(34
12
3
ppMRT
La
MGRTq −2π==
Konečne výraz pre vodivosť dlhej trubice pri molekulárnom prúdení je daná
MRT
La
ppqC
3
12 34
)(2π=
−=
4.2. Na koncoch kapiláry dlhej 30 cm a s priemerom 0,5 mm je rozdiel tlakov 6 666 Pa. Aký objem plynu preprúdi cez prierez kapiláry za jednu sekundu, keď koeficient viskozity plynu je η = 1,75·10−5 Pa·s.
Riešenie Ak predpokladáme, že v kapiláre bude viskózne prúdenie plynu, potom pre časovú zmenu objemu
plynu môžeme písať
pl
dtV
Δπ
=ΔΔ
η128
4
Po číselnom výpočte dostaneme
=ΔΔ
tV 1,9923.10−6 m3·s−1
4.3. Vypočítajte vodivosť a vákuový odpor rúrky s priemerom 3 cm a dlhej 100 cm pri tlaku 133 Pa pre vzduch a pri laboratórnej teplote. Vypočítajte množstvo plynu v jednotkách Pa·l a jeho hmotnosť, ktoré pretečie cez túto rúrku za 1 min. pri rozdiele tlakov 10−3 Pa na koncoch rúrky.
Riešenie Najprv určíme typ prúdenia plynu určením veľkosti súčinu pd = 133×0,03 Pa·m = 3,99 Pa·m >
> 1,45 Pa·m. Prúdenie je teda viskózne. Pre vzduch je vodivosť dlhej rúrky pri 20 °C daná ako
C = 1356l
d 4
⟨p⟩ = 0,146 08 m3·s−1 = 146,1 l ·s−1
Odpor rúrky je rovný prevrátenej hodnote vodivosti, čiže
==C
Z 1 0,006 85 s· l−1 .
Množstvo plynu preprúdené rúrkou za 1 min. vypočítame podľa vzťahu
Q = C(p2 − p1)t = 8,765 Pa·l
Hmotnosť plynu dostaneme zo stavovej rovnice ideálneho plynu ako
==RTQMm 1,043·10−4 g
40
4.4. Vypočítajte vákuovú vodivosť a vákuový odpor rúrky s priemerom 3 cm a dlhej 100 cm pre vzduch pri tlaku 10 Pa a laboratórnej teplote 20 °C. Vypočítajte hmotnosť a množstvo vzduchu v jed-notkách Pa·l preprúdeného za 1 min cez rúrku pri rozdiele tlakov 10−3 Pa na koncoch rúrky.
Riešenie Najprv určíme typ prúdenia cez trubicu vypočítaním veľkosti súčinu tlaku a priemeru rúrky, t. j.
pd = 10−2×0,03 Pa·m = 3·10−4 Pa·m < 4,5·10−3 Pa·m
Prúdenie je molekulárne. Pretože dĺžka rúrky je väčšia ako 20-násobok jej priemeru, nebudeme uvažovať vplyv otvorov a pre vodivosť použijeme vzťah platný pre dlhú rúrku, t. j.
==l
dC3
5,121 3,28 l ·s−1
Vákuový odpor rúrky je ==
CZ 1 304,83 s· l−1
Za jednu minútu pod vplyvom rozdielu tlakov 10−3 Pa preprúdi nasledujúca množstvo plynu
Q = CΔpt = 1,968 3·10−1 Pa· l
Pre hmotnosť plynu zo stavovej rovnice ideálneho plynu dostaneme
==RTQMm 2,34·10−6 g
4.5. Vypočítajte vákuovú vodivosť a vákuový odpor rúrky s priemerom 3 cm a dlhej 100 cm pre vzduch pri tlaku 13,3 Pa a teplote 20 °C. Vypočítajte hmotnosť a množstvo vzduchu v jednotkách Pa·l, ktoré preprúdi cez rúrku za 1 min. pri rozdiele tlakov 10−3 Pa na koncoch rúrky.
Riešenie Preveríme najprv typ prúdenia vzduchu pomocou súčinu tlaku a priemeru rúrky, t.j.
pd = 13,3×0,03 Pa·m = 0,4 Pa·m
Táto hodnota spadá do intervalu
⟨4,5·10−3 Pa·m; 1,45 Pa·m⟩
ktorý prislúcha viskózno-molekulárnemu prúdeniu. Výraz pre vodivosť nekonečne dlhej rúrky je preň daná vzťahom
]sm[238119315,1213561 13
34−⋅
⟩⟨+⟩⟨+
+⟩⟨=dpdp
ldp
ldC
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
C = (0,014 6 + 0,003 28×0,812 9) m3·s−1 = 0,017 3 m3·s−1 = 17,3 l ·s−1
Vákuový odpor rúrky je
Z = 0,057 7 s· l−1
Množstvo preprúdeného vzduchu rúrkou za 1 min. je
Q = CΔpt = 1,038 Pa·l
Pre hmotnosť preprúdeného vzduchu rúrkou za jednu minútu zo stavovej rovnice ideálneho plynu dostaneme
==RTQMm 1,236·10−5 g
4.6. Určite vodivosť trubky s priemerom 2,4 mm a dĺžkou 10 cm pri tlakoch 1,66 kPa a 1,33 Pa pre vzduch pri teplote 20 °C.
Riešenie Určíme najprv typ prúdenia. Pri tlaku 1,66 kPa je súčin ⟨p⟩d = 4 Pa·m >1,45 Pa·m, z čoho vyplýva,
že prúdenie bude viskózne. Vodivosť trubky vypočítame podľa vzťahu
41
=⟩⟨= pl
dC4
3561 7,495·10−4 m3·s−1
Pri tlaku 1,33 Pa je súčin ⟨p⟩d = 3,2·10−3 Pa·m, a teda prúdenie je molekulárne. Ak predpokladáme, že rúrka je konečnej dĺžky, potom vodivosť vypočítame podľa vzťahu
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−12
43163,91dldC 1,637·10−5 m3·s−1
4.7. Rúrka dlhá 30 cm zaradená medzi vývevu a recipient má byť tak dimenzovaná, aby účinná čer-pacia rýchlosť na vstupe recipienta bola aspoň 75 % čerpacej rýchlosti 100 l ·s−1 použitej vývevy. Aký veľký musí byť priemer rúrky, ak predpokladáme molekulárne prúdenie vzduchu.
Riešenie Zo základnej rovnice vákuovej techniky vypočítame požadovanú vodivosť rúrky. Dostaneme
1
u
u sl300375,0
75,0 −⋅==−
⋅=
−= S
SSSS
SSSSC
Zo známej hodnoty vodivosti a z výrazu pre vodivosť dlhej rúrky pri molekulárnom prúdení pre vzduch pri 25 °C, vypočítame minimálny priemer rúrky, t. j.
=⋅
=⇒⋅= − 3133
1223,03,0sm3,0122 d
ld 0,090 36 m
Minimálny priemer rúrky musí teda byť 9 cm. Z výrazu pre vodivosť krátkej rúrky dostaneme
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−12
43165,91dldC 0,3 m3·s−1
Po úprave a dosadení za dĺžku rúrky dostaneme algebrickú rovnicu tretieho stupňa
366,6d3 − 1,2d − 0,27 = 0
Riešením uvedenej rovnice dostaneme pre priemer trubky približnú hodnotu
d = 0,102 327 m
4.8. Vypočítajte celkovú vákuovú vodivosť pre vzduch pri tlaku 13,3 Pa a teplote 20 °C vákuového potrubia s priemerom 6 cm a dĺžkou 4 m, ak je v tomto potrubí zaradený ventil, ktorý má v otvorenej polohe vodivosť Cv =80 l·s−1.
Riešenie j Určíme najprv druh prúdenia
⟨p⟩d = 0,799 Pa·m < 1,45 Pa·m
Prúdenie je viskózno molekulárne. Na výpočet vákuovej vodivosti použijeme vzťah pre dlhú valcovú trubicu
=⟩⟨+⟩⟨+
+⟩⟨=dpdp
ldp
ldC
238119315,1213561
34
T 0,0638 8 m3·s−1
Celkovú vodivosť potom vypočítame podľa vzťahu
=+
=vT
vTvýs CC
CCC 35,52 l·s−1
4.9. Vypočítajte vákuovú vodivosť potrubia uvedeného v predchádzajúcom príklade pre oxid uhli-čitý CO2.
Riešenie Ak poznáme vodivosť potrubia pre vzduch, potom ho môžeme ľahko spočítať aj pre iný plyn po-
mocou koeficientu kv = ηvzduch /ηplyn pre viskózne prúdenie a pomocou koeficientu kM = (Mvzd/Mplyn)1/2
42
pre molekulárne prúdenie. V našom prípade kv = 1,23 a kM = 0,81. Potom
CT, CO2 = kvCT, vzd + kMCT, vzd = (1,23×0,058 52 + 0,81×0,0053 55) m3·s−1= 0,076 3 m3·s−1
4.10. Vypočítajte vákuovú vodivosť pre vzduch vákuového potrubia s priemerom 40 mm, dĺžkou 1 m, pri teplote 293 K, ak na jeho koncoch sú tlaky 2 003 Pa a 2 000 Pa.
Riešenie Určíme najprv typ prúdenia vzduchu
⟨p⟩d =+
= 04,02
00020032 80,06 Pa·m > 1,45 Pa·m
Prúdenie vzduchu je viskózne. Na výpočet najprv použijeme vzťah platný pre dlhú rúrku valcového prierezu. Dostaneme
=⟩⟨= pl
dC4
3561 6,95 m3·s−1
Za uvedenej vákuovej vodivosti určíme tok vzduchu pri danom rozdiele tlakov, teda
q = C(p2 − p1) = 6,95×3 Pa·m3·s−1 = 20,84 Pa·m3·s−1
Oprávnenosť použitia uvedeného vzťahu pre vákuovú vodivosť dlhej rúrky je splnená vtedy, ak platí, že dĺžka rúrky l > 100d. V našom prípade je vhodné použiť potom upravený vzťah
]sm[4010,01256
13214
KT−⋅
π+
+=
lq
kTm
ppl
dC
ηη
ktorý platí pre dĺžku rúrky l vyhovujúcu vzťahu
0,029dRe < l < 100d
kde Re je Reynoldsovo číslo definované pri prúdení plynu vzťahom
dq
kTm
ηπ=
4Re
V našom prípade Re = 0,83dq = 434 < 1 200, a teda prúdenie je viskózne resp. laminárne. Pre uvedenú
nerovnosť platí 0,029d Re = 0,5 m < 1 m < 4 m
Ak použijeme upravený vzťah pre výpočet vákuovej vodivosti dostaneme hodnotu
CKT = 6.65 m3·s−1
Vypočítané hodnoty sa líšia o menej než 10 %. Z praktického hľadiska je však výhodnejšie použiť ako výslednú hodnotu tú, ktorá je menšia.
4.11. Vypočítajte vákuovú vodivosť vákuového potrubia s priemerom 150 mm a dĺžkou 200 mm, ktoré spája valcový recipient s priemerom dR = 600 mm a vstupný otvor vysokovákuového čerpacieho systému. Vypočítajte pre tlak plynu 10−2 Pa a vzduch pri teplote 20 °C.
Riešenie Zistíme najprv typ prúdenia
⟨p⟩d = 10−2 Pa×0,15 m = 1,5·10−3 Pa·m < 4,5·10−3 Pa·m
Prúdenie vzduchu bude v tomto potrubí molekulárne. Pretože dĺžka potrubia l je menšia ako 20d pôjde o prúdenie cez krátku rúrku. Vodivosť vypočítame dvoma spôsobmi:
a) Pre vodivosť krátkej trubky platí vzťah
]sm[3415,121 13
13
KT−
−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ld
ldC
43
Po numerickom výpočte dostaneme CKT = 1 025 l ·s−1. Ak vezmeme do úvahy aj efektívnu vodivosť otvoru, potom použijeme vzťah
]sm[13415,121 13
1
2T
2R
13
KT−
−−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
dd
ld
ldC
Numerickým výpočtom dostaneme hodnotu
CKT = 1 093 l ·s−1
b) Vodivosť krátkej rúrky je tiež určená ako výsledná vákuová vodivosť dvoch sériovo zapojených vákuových vodivostí a to vodivosti otvoru a vodivosti dlhej rúrky so zodpovedajúcou dĺžkou, t. j.
OT
OTKT CC
CCC+
=
kde
ldC
3T
T 5,121= a CO = 91,1 d2T
Po numerickom výpočte dostaneme hodnotu
CKT = 1 025 l ·s−1
ktorá je zhodná s hodnotou vypočítanou v prípade a). Ak uvážime účinnú vákuovú vodivosť otvoru, potom máme
11
2R
2T2
TOú sl186211,91 −−
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
dddC
Výsledná vodivosť potrubia je CKT = 1 058 l ·s−1. Táto vodivosť je približne o 3 % menšia ako hodnota vypočítaná v prípade a). Z praktických dôvo-
dov je výhodnejšie uvažovať s nižšou hodnotou vákuovej vodivosti.
4.12. Vypočítajte vákuovú vodivosť valcovej rúrky dlhej 5 m s priemerom 5 cm pri tlakoch 10−4 Pa, 6,7 Pa a 1,33 kPa a pri teplote 20 °C.
Riešenie Aplikovaním kritéria na určenie typu vákuovej vodivosti zistíme, že pri prvom tlaku je prúdenie mo-
lekulárne, pri druhom tlaku je prúdenie viskózno-molekulárne a pri treťom tlaku je prúdenie viskózne. Tomu zodpovedajú aj hodnoty vákuovej vodivosti počítané pre dlhú valcovú rúrku s nasledujúcimi hodnotami 3,037 5 l ·s−1, 13,77 l ·s−1 a 2 260 l ·s−1.
4.13. Vypočítajte a znázornite graficky závislosť vákuovej vodivosti vymrazovačky (obr. 4.5) od po-meru priemerov d1/d2 pre niektoré parametre l/d2 a určite optimálne rozmery pre maximálnu vodivosť.
Obr. 4.5 Tvar vymrazovačky
44
Riešenie Vákuová vodivosť potrubia medzi súosovými rúrkami pri molekulárnom prúdení sa môže vyjadriť
v tvare ]sm[))((
121 13
1221
22
aM
−⋅−−⟩⟨
π= ddddl
C v
Ak uvážime aj vplyv otvoru, ako odpor zaradený do série s vákuovým odporom medzikružia dostaneme pre výsledný vákuový odpor krátkeho medzikružia vzťah
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−⟩⟨π
==)(4
31)(
1161
1221
22aKM
KM ddl
ddCZ
v
Vákuový odpor vnútornej trubky, za predpokladu nekonečne tenkej steny, s uvážením odporu otvoru je daný vzťahom
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⟩⟨π==
21 1aKT
KT 431161dl
dCZ
v
kde ⟨va⟩ je stredná aritmetická rýchlosť molekúl uvažovaného plynu. Výsledný vákuový odpor vymrazovačky je rovný súčtu predchádzajúcich vákuových odporov, teda
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++
−−+
−⟩⟨π=+==+= 3
121
21
2212
21
22aKTKMV
KTKMV 431
))((43
)(116111
dl
dddddl
ddCCCZZZ
v
Na určenie optimálnej (maximálnej) vákuovej vodivosti vymrazovačky od pomeru d1/d2 si zavedieme nové premenné a to X = d1/d2 a Y = l/ d2. Potom poslednú rovnicu môžeme prepísať do tvaru
),(16
a22 YXfdCV
⟩⟨π=
v
kde
)]1)(1([43)1(
)1)(1(),(23
23
XXXYXX
XXXYXf−−++−
−−=
Pre vzduch pri 25 °C platí CV = 91,65d 2
2 f (X,Y) [m3·s−1]
Tento vzťah využijeme na zostrojenie grafických závislostí pomeru vodivosti k priemeru d2, t. j. CV/d 2
2 od X = d1/d2 ako je to ukázané na obr. 4.6, pre hodnoty Y = 2, 5, 10, 25, 50. Čiarkovaná priamka ukazuje hodnoty X pre maximálnu vodivosť vymrazovačky pre rôzne hodnoty Y. Ak je Y veľké, potom maximálna hodnota funkcie f (X,Y) sa získa vtedy, ak X 2 + X = 1, t. j. pre X = 0,618 (ako koreň kvadra-tickej rovnice). Potom pre maximálnu hodnotu vákuovej vodivosti pre d1 = 0,618 d2 dostaneme
]sm[41,1465,9166,0618,0382,064)1)(1(65,91 13
32
2222
2−⋅=×××=−−=
ld
Yd
YXXdCV
Obr. 4.6 Grafická závislosť vodivosti vymrazovačky CV/d 22 od pomeru
priemerov d1/d2 pre niektoré hodnoty parametra 1/d2.
45
Pre úplný výpočet vákuovej vodivosti vymrazovačky, treba k tomuto vákuovému odporu pripočítať ešte vákuový odpor bočnej rúrky a vákuový odpor pokračujúcej vnútornej rúrky. Taktiež treba uvážiť skutočnosť, že hrúbka steny vnútornej rúrky sa nerovná nule, ale má konečnú hrúbku.
4.14. Vypočítajte vákuový odpor a vákuovú vodivosť vymrazovačky pre vzduch pri teplote 25 °C v režime molekulárneho prúdenia s rozmermi d1 = 10 mm, d2 = 20 mm, dĺžka súosových rúrok l = 100 mm, priemer vnútornej aj bočnej rúrky pokladáme za rovnaký d = 10 mm, dĺžka pokračujúcej vnútornej rúrky (s nulovou hrúbkou steny) je 150 mm a dĺžka bočnej rúrky je 120 mm.
Riešenie Vodivosť súosovej rúrky vypočítame podľa vzťahu
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−=−− 1
221
12
21
22KM )01,002,0(4
1,031)01,002,0(65,91)(4
31)(65,91dd
lddC 0,003 234 7 m3·s−1
Odpor súosovej rúrky je
==KM
KM1
CZ 309,147 7 s·m−3
Vákuovú vodivosť vnútornej rúrky s uvážením vplyvu otvorov vypočítame podľa nasledujúceho vzťahu
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
VT 01,0415,03101,065,91
43165,91dldC 0,000 748 1 m3·s−1
Vákuový odpor vnútornej rúrky je
==VT
VT1
CZ 1 336,607 s·m−3
Ak by sme neuvážili vplyv otvorov a počítali vákuovú vodivosť rúrky ako vodivosť dlhej rúrky, dostali by sme nasledujúcu hodnotu
CVT = 122l
d 3
= 0,000 813 3 m3·s−1
Táto hodnota je asi o 9 % väčšia od predchádzajúcej. Vákuovú vodivosť bočnej rúrky vypočítame podobne ako vákuovú vodivosť vnútornej rúrky, t. j.
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
BT 01,0412,03101,065,91
43165,91dldC 0,000 916 5 m3·s−1
Vákuový odpor bočnej rúrky je
==BT
BT1
CZ 1 091,107 5 s·m−3
Výslednú vákuovú vodivosť vymrazovačky dostaneme ako prevrátenú hodnotu výsledného vákuo-vého odporu, ktorý je daný ako súčet vákuových odporov jednotlivých častí vymrazovačky. Teda
ZV = ZKM + ZVT + ZBT = 2 736,862 s·m−3 a vákuová vodivosť
CV = 0,000 365 3 m3·s−1
4.15. Vypočítajte vákuový odpor a vákuovú vodivosť vymrazovačky pre vzduch pri teplote 25 °C v režime molekulárneho prúdenia, ktorá má rozmery d1 = 2 cm, d2 = 4,5 cm, dĺžka súosových rúrok l = 14 cm, priemer vnútornej aj bočnej rúrky je 2 cm, dĺžka vnútornej rúrky je 19 cm a bočnej rúrky je 12 cm.
46
Riešenie Vákuovú vodivosť súosovej rúrky vypočítame podľa vzťahu
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−=−− 1
221
12
21
22M )02,0045,0(4
14,031)02,0045,0(65,91)(4
31)(65,91dd
lddC 0,028 641 m3·s−1
Vákuový odpor súosej rúrky je
==M
M1
CZ 34,915 45 s·m−3
Vákuovú vodivosť vnútornej rúrky s nulovou hrúbkou steny vypočítame podľa vzťahu
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
VT 02,0419,03102,065,91
43165,91dldC 0,004 512 m3·s−1
Vákuový odpor vnútornej rúrky je
==VT
VT1
CZ 221,631 s·m−3
Vákuovú vodivosť bočnej rúrky vypočítame podľa toho istého vzťahu, ako vákuovú vodivosť vnú-tornej rúrky, takže dostaneme
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=−1
2BT 02,04
12,03102,065,91C 0,006 665 4 m3·s−1
Vákuový odpor bočnej rúrky je
==BT
BT1
CZ 150,027 28 s·m−3
Celkový vákuový odpor vymrazovačky je rovný súčtu vákuových odporov jednotlivých častí, takže
ZV = ZM + ZVT + ZBT = 406,574 s·m−3
Celková vákuová vodivosť vymrazovačky
==V
V1
ZC 0,002 459 5 m3·s−1
4.16. Vypočítajte vákuovú vodivosť a vákuový odpor vymrazovačky pre vzduch pri teplote 25 °C v režime molekulárneho prúdenia ak jej rozmery sú d1 = 19 mm, d2 = 27 mm, dĺžka súosových rúrok l = 190,5 mm, priemer vnútornej aj bočnej rúrky je d = 15,9 mm, dĺžka vnútornej rúrky je 712 mm a dĺžka bočnej rúrky je 80 mm. Ako sa zmení celkové vákuová vodivosť vymrazovačky pri teplote kva-palného dusíka 77 K?
Riešenie Pre výpočet vákuovej vodivosti súosovej rúrky znovu využijeme už známy vzťah
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−=−− 1
221
12
21
22M )019,0027,0(4
5190,031)019,0027,0(65,91)(4
31)(65,91dd
lddC 0,001 788 m3·s−1
Vákuový odpor súosovej rúrky je daný
==KM
KM1
CZ 559,326 s·m−3
Vákuovú vodivosť vnútornej rúrky znovu vypočítame podľa známeho vzťahu
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××
+×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
VT 9015,04712,0319015,065,91
43165,91dldC 0,000 67 m3·s−1
47
alebo bez uváženia vplyvu otvoru, t. j.
==l
dC3
VT 122 0,000 687 3 m3·s−1
Vákuový odpor vnútornej rúrky je
==VT
VT1
CZ 1 492,656 s·m−3
alebo ZVT = 1 451,873 s·m−3
Vákuovú vodivosť bočnej rúrky znovu vypočítame podobne ako vodivosť vnútornej rúrky, t. j.
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×+×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
BT 9015,0408,0319015,065,91
43165,91dldC 0,004 854 m3·s−1
Vákuový odpor bočnej rúrky je
==BT
BT1
CZ 206,024 s·m−3
Výsledný vákuový odpor vymrazovačky je daný znovu ako súčet jednotlivých vákuových odporov, t. j.
ZV = ZKM + ZVT + ZBT = 2 258 s·m−3
Výsledná vákuová vodivosť vymrazovačky je
==V
V1
ZC 0,000 442 8 m3·s−1
Ak sa vymrazovačka ponorí do kvapalného dusíka, zmenší sa jej celková vákuová vodivosť v pomere odmocnín z teplôt ako =77/298 0,508-krát, t. j. výsledná vákuová vodivosť vymrazovačky bude iba
CV = 0,000 225 m3·s−1
4.17. Vypočítajte vákuovú vodivosť a vákuový odpor vymrazovačky pre vzduch pri teplote 25 °C ak má nasledujúce rozmery d1 = 31,8 mm, d2 = 47,6 mm, dĺžka súosových rúrok je l = 216 mm, priemer vnútornej aj bočnej rúrky d = 28 mm, dĺžka vnútornej rúrky je 241 mm a dĺžka bočnej rúrky je 25,4 mm. Ako sa zmení výsledná vákuová vodivosť vymrazovačky, ak vnútorná rúrka bude dlhá 724 mm?
Riešenie Pre výpočet vákuovej vodivosti súosovej rúrky použijeme znovu predchádzajúci vzťah, t. j.
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−=−− 1
221
12
21
22M )8031,06047,0(4
216,031)8031,06047,0(65,91)(4
31)(65,91dd
lddC 0,010 217 1 m3 ·s−1
Vákuový odpor súosovej rúrky je
ZM = 97,875 05 s·m−3
Vákuová vodivosť vnútornej rúrky podľa predchádzajúcich vzťahov je
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
VT 028,04241,031028,065,91
43165,91dldC 0,009 637 8 m3·s−1
Vákuový odpor vnútornej rúrky je
ZVT = 103,757 6 s·m−3
Vákuovú vodivosť bočnej rúrky vypočítame znovu podobne ako vákuovú vodivosť vnútornej rúrky t. j.
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×
×+×=
−12
BT 028,044025,031028,065,91C 0,042 761 m3·s−1
48
Vákuový odpor bočnej rúrky je
ZBT = 23,385 85 s·m−3
Výsledný vákuový odpor vymrazovačky je znovu daný ako súčet jednotlivých odporov, čiže
ZV = ZM + ZVT + ZBT = 225,018 5 s·m−3
Výsledné vákuová vodivosť vymrazovačky je
==V
V1
ZC 0,004 444 m3·s−1
Vákuová vodivosť vnútornej rúrky dlhej 724 mm je daná
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=′−1
2VT 028,04
724,031028,065,91C 0,003 523 4 m3·s−1
Ak budeme považovať vnútornú rúrku za dlhú, potom jej vákuová vodivosť vypočítaná podľa zjed-nodušeného vzťahu bude C'VT = 0,003 683 9 m3·s−1
Vákuový odpor takejto dlhej rúrky je Z'VT = 283,811 2 s·m−3 alebo Z'VT = 271,451 5 s·m−3
Celkový vákuový odpor vymrazovačky s dlhšou vnútornou rúrkou je Z'V = 405,077 67 s·m−3 alebo Z'V = 392,709 9 s·m−3
Celková vákuová vodivosť je C'V = 0,002 468 5 m3·s−1 alebo C'V = 0,002 546 m3·s−1
4.18. Aký veľký je vákuový odpor a aká veľká je vákuová vodivosť vymrazovačky pre vzduch pri teplote 25 °C v režime molekulárneho prúdenia, ak jej rozmery sú: d1 = 2,6 cm, d2 = 4,5 cm, dĺžka súosových valcov l = 20 cm, priemer vnútornej rúrky je 2 cm a jej dĺžka 35 cm, priemer bočnej rúrky je 2,4 cm a jej dĺžka 13 cm? Na akú hodnotu sa zmení efektívna čerpacia rýchlosť difúznej vývevy s čer-pacou rýchlosťou 600 l ·s−1 cez túto vymrazovačku?
Riešenie Vákuová vodivosť súosovej rúrky je znovu daná vzťahom
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
×+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−=−− 1
221
12
21
22KM )026,0046,0(4
2,031)026,0046,0(65,91)(4
31)(65,91dd
lddC 0,015 526 5 m3·s−1
Vákuový odpor súosovej rúrky je
==KM
KM1
CZ 64,405 65 s·m−3
Vákuová vodivosť vnútornej rúrky s uvážením vodivosti otvoru je
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−− 12
12
VT 02,0435,03102,065,91
43165,91dldC 0,002 595 3 m3·s−1
Vákuový odpor vnútornej rúrky je
==VT
VT1
CZ 385,297 33 s·m−3
49
Ak budeme predpokladať, že vnútorná rúrka je dlhá, potom pri použití zjednodušeného vzťahu pre vákuovú vodivosť dostaneme, že
==′l
dC3
122VT
0,002 788 5 m3·s−1
resp. vákuový odpor bude Z'VT = 358,616 s·m−3
Tieto hodnoty vákuových vodivostí pre vnútornú rúrku sa navzájom líšia asi o 10 %, čo by sa preja-vilo i v celkovej vákuovej vodivosti vymrazovačky.
Vákuová vodivosť bočnej rúrky s uvážením vákuovej vodivosti otvoru vypočítame podobne ako v prípade vnútornej rúrky. Bude teda
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
+×=−1
2BT 024,04
13,031024,065,91C 0,010 427 7 m3·s−1
Vákuový odpor bočnej rúrky je
==BT
BT1
CZ 95,898 12 s·m−3
Výsledný vákuový odpor vymrazovačky je rovný súčtu jednotlivých vákuových odporov, t. j.
ZV = ZKM + ZVT + ZBT = 545,601 1 s·m−3
Celková vákuová vodivoať vymrazovačky je
==V
V1
ZC 0,001 832 8 m3·s−1
Pre výpočet zmeny čerpacej rýchlosti difúznej vývevy cez vymrazovačku použijeme základnú rov-nicu vákuovej techniky. Pre účinnú čerpaciu rýchlosť platí
=+=Vú
111CSS
1,666 67 s·m−3 + 545,6011 s·m−3 = 547,267 78 s·m−3
Potom účinná čerpacia rýchlosť je
Sú = 0,001 827 2 m3·s−1 = 1,83 l ·s−1
4.19. Aká je účinná čerpacia rýchlosť na konci rúrky s vodivosťou 17,3 l ·s−1, ak je na jej druhom konci pripojená výveva s čerpacou rýchlosťou 60 l ·s−1?
Riešenie Pre účinnú čerpaciu rýchlosť po číselnom dosadení do známeho vzťahu dostaneme
=+
=CS
SCSú 13,43 l ·s−1
4.20. Difúzna výveva s čerpacou rýchlosťou 100 l ·s−1 je spojená cez rúrku s priemerom 2 cm a dĺž-kou 1 m s recipientom. Aká je účinná čerpacia rýchlosť na vstupe recipientu?
Riešenie Predpokladáme, že v rúrke je prúdenie plynu molekulárne. Vypočítame pre tento prípad najprv
vákuovú vodivosť rúrky
==l
dC3
5,121 9,72·10−1 l ·s−1
Pre účinnú čerpaciu rýchlosť zo základnej rovnice vákuovej techniky dostaneme
=+
=CS
SCSú 9,63·10−1 l ·s−1
4.21. Difúzna výveva s čerpacou rýchlosťou 100 l ·s−1 je spojená s vákuovou nádobou rúrkou s prie-merom 5 cm a dĺžkou 50 cm. Aká je účinná čerpacia rýchlosť vývevy na vstupe do vákuovej nádoby?
50
Riešenie Predpokladáme znovu, že v rúrke bude molekulárne prúdenie vzduchu. Pretože pomer dĺžky k prie-
meru l/d = 10, treba uvážiť vplyv otvoru, t. j. prúdenie cez krátku trubicu a vákuovú vodivosť počítať podľa vzťahu
== βl
dC3
KT 5,121 26,73·10−1 l ·s−1
ak sme za parameter β zvolili hodnotu β = 0,88. Pre účinnú čerpaciu rýchlosť dostaneme
=+
=CS
SCSú 21,1 l ·s−1
4.22. Vypočítajte najmenší potrebný priemer spojovacej rúrky medzi difúznou vývevou a recipien-tom, ak z konštrukčných dôvodov musí byť rúrka dlhá 100 cm, a ak účinná čerpacia rýchlosť vývevy nesmie poklesnúť pod hodnotu 3 300 l ·s−1, pričom jej efektívna čerpacia rýchlosť je 5 600 l ·s−1.
Riešenie Z požiadavky nutnej účinnej a efektívnej čerpacej rýchlosti vývevy použitím základnej rovnice
vákuovej techniky vypočítame maximálny možný vákuový odpor rúrky, resp. minimálnu vákuovú vodivosť. Teda
=−=−=60051
3003111
eúT SS
Z 0,000 124 4 s· l−1
resp. vákuová vodivosť je CT = 8 034,78 l ·s−1
Predpokladáme, že prúdenie vzduchu cez túto rúrku bude molekulárne. Potom nutný najmenší prie-mer rúrky dostaneme v prvom priblížení z výrazu pre vodivosť dlhej valcovej trubky, t. j.
== 354,12178034,8 ld 0,404 4 m.
Pre takto vypočítaný priemer je pomer dĺžky rúrky k jej priemeru rovný l/d = 2,47. Pri takomto po-mere treba uvažovať rúrku ako krátku, t. j. treba uvážiť vplyv otvorov na jej vákuovú vodivosť. Opravný faktor β = 0,576, Vákuová vodivosť s uvážením vplyvu otvorov potom bude
CKT = 8,034 8×0,576 = 4,628 m3·s−1
t. j. skutočná vákuová vodivosť rúrky s priemerom 40,44 cm je len 4 628 l/s, čo je podstatne menej ako je potrebná. Preto treba navrhnúť rúrku s väčším priemerom. Nech je jej priemer rovný 50 cm. Potom vákuová vodivosť dlhej rúrky je
==l
C3
T5,05,121 15,187 5 m3·s−1
Ak uvážime opravu na otvory rúrky, u ktorej je pomer dĺžky k jej priemeru l/d = 2, vtedy opravný faktor má hodnotu β = 0,54. V tomto prípade vákuová vodivosť takejto krátkej rúrky je
CKT = 15,187 5×0,54 = 8 201 l ·s−1
Z výpočtov vyplýva, že pre udržanie vákuovej vodivosti rúrky 8 053 l ·s−1 je vhodné voliť priemer rúrky cca 50 cm.
4.23. Určite hodnotu účinnej čerpacej rýchlosti a veľkosť jej strát v zariadení s vývevou s čerpacou rýchlosťou 30 m3·h−1 pri tlaku 13 Pa, ktorá je spojená s odčerpávaným recipientom rúrkou s priemerom 6 cm a dĺžkou 400 cm. Medzi vývevou a recipientom je zaradený ventil, ktorý v otvorenej polohe má vákuovú vodivosť 80 l ·s−1. Počítajte pre tlak 13 Pa a teplotu 20 °C.
Riešenie Najprv určíme typ prúdenia vzduchu pomocou súčinu stredného tlaku a priemeru rúrky, t. j.
⟨p⟩d =13 Pa×0,06 m = 0,78 Pa·m < 1,45 Pa·m
51
Prúdenie je viskózno-molekulárne. Vákuovú vodivosť vypočítame podľa vzťahu
=⟩⟨+⟩⟨+
+⟩⟨=dpdp
ldp
ldC
238119315,1213561
34
T 0,062 44 m3·s−1
Výsledná vákuová vodivosť trubky a ventilu je
=+
=VT
VTvýs CC
CCC 35,07 l ·s−1 = 126,25 m3·h−1
Účinnú čerpaciu rýchlosť vypočítame zo základnej rovnice vákuovej techniky ako
=+
=SC
SCS
výs
výsú 24,24 m3·h−1
Strata na efektívnej čerpacej rýchlosti je 5,76 m3·h−1, čo je 19,2 % z efektívnej čerpacej rýchlosti vývevy.
4.24. Difúzna výveva s čerpacou rýchlosťou 100 l ·s−1 čerpá vákuový systém cez lapač pár v trubke s priemerom 100 mm. Vypočítajte účinnú čerpaciu rýchlosť difúznej vývevy.
Riešenie Vákuovú vodivosť lapača pár môžeme vypočítať ako súčin mernej vodivosti lapača pár a veľkosti
plochy A vstupného otvoru lapača, t. j. Clap = AcmL
Merná vákuová vodivosť lapača pár je v intervale 3 – 4 l ·s−1·cm−2 . Zoberieme strednú hodnotu a dostaneme
=π
= 5,34102
lapC 274,89 l ·s−1 ≈ 275 l ·s−1
Účinná čerpacia rýchlosť difúznej vývevy je potom dané
=+×
=275100275100
úS 73,3 l ·s−1
4.25. Určite celkovú vákuovú vodivosť potrubia vo vyhrievanom technologickom zariadení spája-júceho difúznu vývevu s recipientom, ktorého rozmery sú na obr. 4.7, ak sa odčerpáva neón v režime molekulárneho prúdenia. Vstupná vákuová vodivosť ventilu na difúznej výveve je CDV = 3,5 m3·s−1.
Obr. 4.7 Schematický náčrt technologického zariadenia pre výpočet vodivosti potrubia k príkladu 4.25
52
Riešenie Celková vákuová vodivosť potrubia a sériovo zapojených jednotlivých vákuových vodivostí je daná
vzťahom
DVKTvýs
1111
21CCCCC AA
+++
=
Určíme najprv plochy jednotlivých prierezov vstupného otvoru potrubia a recipientu. Plocha recipientu
AR = 1075,2·10−4 m2 Plocha väčšieho prierezu je
A1 = 298·10−4 m2
Plocha menšieho vstupného prierezu je A2 = 92,7·10−4 m2
Pretože v zariadení je stály zdroj tepla, budeme za teplotu plynu brať strednú hodnotu medzi vyhrieva-ným telesom a stenami potrubia, teda
=+
=2
293653AT 473 K
Potom pre vákuovú vodivosť väčšieho otvoru pre neón dostaneme pri uvážení vplyvu otvoru reci-pientu
=−
=
R
1
A1
1
38,361
AA
MTA
CA 7,26 m3·s−1
alebo pre vzduch CA1 = 6,056 m3·s−1. Analogicky pre vákuovú vodivosť menšieho otvoru pre neón dostaneme
CA2 = 1,787 m3·s−1 alebo pre vzduch
CA2 = 1,49 m3·s−1
Vákuovú vodivosť potrubia medzi recipientom a vývevou budeme počítať ako krátku trubicu, avšak pri teplote danej aritmetickým priemerom už počítanej teploty a laboratórnej teploty, t. j.
=+
=2
293473KTT 383 K
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme pre neón
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π=
ldl
dMRTCKT
33,11
162 3
5,344 m3·s−1
a pre vzduch
CKT = 5,073 m3·s−1
Výsledná vákuová vodivosť celého potrubia pre neón je podľa už uvedeného vzťahu rovné
Cvýs = 1,714 m3·s−1 a pre vzduch
Cvýs = 1,43 m3·s−1
53
Obr. 4.8 Schéma vákuovej aparatúry k príkladu 4.26
4.26. Preverte prispôsobenie difúznej vývevy s maximálnym tlakom na výstupe pmax = 13,3 Pa a rotačnej olejovej vývevy spojených cez elektromagnetický ventil s vákuovou vodivosťou 0,023 m3·s−1 a dvakrát ohnuté potrubie s priemerom 32 mm a dĺžkou 800 mm, ak najväčší prietok plynov bude 2,82·10−2 Pa·m3·s−1 (obr. 4.8).
Obr. 4.9 Závislosť čerpacej rýchlosti rotačnej olejovej vývevy od tlaku
Riešenie Z grafickej závislosti čerpacej rýchlosti rotačnej olejovej vývevy od tlaku (obr. 4.9) určíme pri akom
tlaku bude odčerpávať požadované maximálne množstvo plynu 2,82·10−2 Pa·m3·s−1. Odhadom získame, že ak čerpacia rýchlosť SR je 4 l ·s−1, potom bude vstupný tlak pre rotačnú olejovú vývevu určený vzťahom
≈≈R
max2 Sqp 7,04 Pa
Tento tlak je menší ako (0,7 až 0,75) pmax = (9,31 až 10) Pa, aby difúzna olejová výveva mohla dobre pracovať.
Určíme teraz typ prúdenia vzduchu potrubím medzi difúznou a rotačnou olejovou vývevou. Zobe-rieme stredný tlak (p2 + pmax)/2 = 10,17 Pa. Súčin tlaku a priemeru potrubia je
⟨p⟩d = 0,325 4 Pa·m < 1,45 Pa·m
54
Prúdenie bude viskózno-molekulárne a budeme počítať vákuovú vodivosť potrubia pre maximálny tlak na vstupe rotačnej olejovej vývevy, t. j. 7,04 Pa. Ak rúrka medzi elektromagnetickým ventilom a rotač-nou vývevou bude dvakrát ohnutá do pravého uhla, prejaví sa to ako jej predĺženie o hodnotu
lvyp = 0,8 + 2×1,33×0,032 = 0,885 m
Pre vákuovú vodivosť trubky máme
=⟩⟨+⟩⟨+
+⟩⟨=dpdp
ldp
ldC
238119315,1213561
34
T (1,13·10−2 + 3,66·10−3) m3·s−1 = 1,496·10−2 m3·s−1
Výsledná vákuová vodivosť vákuového vedenia medzi difúznou vývevou a rotačnou vývevou je
=+
=VT
VTvýs CC
CCC 9,064·10−3 m3·s−1
Vákuovú vodivosť predvákuového recipientu považujeme za veľmi veľkú, takže nám neovplyvní výslednú vákuovú vodivosť.
Záverom si musíme overiť, či pri čerpaní najväčšieho prietoku plynu cez uvedené potrubie t. j. účin-nou čerpacou rýchlosťou Sú bude tlak na výstupe difúznej vývevy menší ako je prípustný. Platí
p2Sú = qmax
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
==ú
max2 S
qp 10,16 Pa < 13,3 Pa = pmax
Týmto sme dokázali, že dané usporiadanie je vyhovujúce. 4.27. Vypočítajte veľkosť objemu predvákuového recipientu potrebného pre udržanie tlaku v pred-
vákuu menšieho ako 13,3 Pa, počas doby predčerpávania pracovného priestoru technologického zariade-nia rotačnou olejovou vývevou, ktoré sa teoreticky vypočítala na 4 min. Vysokovákuový ventil, difúzna výveva, vákuové potrubie i recipient sú vyrobené z nerezovej ocele, z ktorej sa uvoľňuje po 6 hodinách čerpania množstvo plynu q'des = 4,12·10−5 (Pa·m3)·(m−2 ·s−1). Ich celková plocha je 2 m2.
Riešenie Pre lepšie zabezpečenie udržania tlaku v predvákuovom recipiente predpokladáme trojnásobne dlhšiu
dobu odstavenia rotačnej vývevy od difúznej vývevy, t. j. 12 min. Tok plynu desorbovaný z celej plochy je rovný
qdes = 8,24·10−5 Pa·m3·s−1 Objem predvákuového recipientu Vr určíme z podmienky, že množstvo plynov desorbovaných a na-
tečených netesnosťami počas odstavenia rotačnej vývevy, spôsobí vzrast tlaku z hodnoty pmin na hodnotu pmax, t. j.
qΣ tods =Vr (pmax − pmin)
Minimálny tlak, ktorý získame v predvákuovom recipiente určíme buď zo vzťahu
pmin Tr
Tr
CSCSq
Sq
ú
+== Σ
Σ
alebo ak desorbované a natečené množstvo plynu je zanedbateľné (ako je to v našom prípade), potom pmin sa približne rovná hraničnému tlaku rotačnej olejovej vývevy. Zoberieme minimálny hraničný tlak 4 Pa s určitou rezervou, napr. 6 Pa.
Za maximálne prípustnú hodnotu tlaku pri určovaní objemu predvákuového recipienta, sa odporúča zobrať hodnota
pmax = (0,3 až 0,8)pvýs DV
Zoberieme väčšiu hodnotu, čiže
pmax = 0,8×13,3 Pa ≈ 10,64 Pa
55
Po dosadení číselných hodnôt do vzťahu pre objem recipientu Vr dostaneme
=−×⋅
=−
=−
Σ
664,107201024,8 5
minmax
odsr pp
tqV 1,28·10−2 m3
Určíme geometrické rozmery predvákuového recipientu, ktoré by spĺňali uvedené požiadavky na objem. Obvykle sa volí výška recipientu menšia ako výška difúznej vývevy. Vyhovujúce rozmery môžu byť napríklad, priemer d = 0,25 m a výška h = 0,26 m alebo d = 0,2 m a výška h = 0,41 m a pod.
4.28. Vypočítajte vákuovú vodivosť elektromagnetického ventila (pozri obr. 4.10) s priemerom prie-chodného otvoru 32 mm a dĺžkou 120 mm, pri strednom tlaku 15 Pa. Počítajte pre vzduch.
Obr. 4.10 Zobrazenie vákuového elektromagnetického ventilu
Riešenie Vzhľadom na rovnaký vstupný i prechodový otvor ventilu, budeme postupovať dvoma spôsobmi. Najprv určíme režim prúdenia plynu. Platí
4,52·10−3 Pa·m < ⟨p⟩d = 0,48 Pa·m < 1,45 Pa·m
Ide o viskózno-molekulárne prúdenie. Môžeme využiť pre výpočet vákuovej vodivosti ventilu nasledu-júci vzťah
)( mimv
VmolVvisVmolVvismol pp
ppCCCC −
−−
+=
kde CVvis, CVmol sú vákuové vodivosti ventilu pre viskózne a pre molekulárne prúdenie, pi je tlak plynu, pri ktorom sa určí jeho vodivosť, pv, pm sú tlaky plynov pre hornú a dolnú hranicu viskózno-molekulár-neho prúdenia plynu, ktoré vypočítame z už uvedenej nerovnosti, t. j.
=⋅
= −2v 102,345,1p 45,3 Pa a =
⋅⋅
= −
−
2
3
m 102,31052,4p 0,141 Pa
Vákuová vodivosť ventilu pri molekulárnom prúdení sa počíta v praxi často ako 6 až 15 % z vákuo-vej vodivosti priechodného otvoru. V našom prípade zoberieme 10 %. Potom
CVmol = 0,1×91,1d2 = 9,33·10−3 m3·s−1 Vákuová vodivosť ventilu pri viskóznom prúdení plynu sa v praxi počíta ako 50 – 70 % z hodnoty
vákuovej vodivosti priechodného otvoru. Ak zoberieme 60 % dostaneme (za predpokladu, že p2/p1 ≤ 0,1)
CVvis =4⋅π
×=− 22 )102,3(2006,0 9,65·10−2 m3·s−1
Pre výslednú vákuovú vodivosť ventilu po číselných výpočtoch dostaneme
=−−
⋅−⋅+⋅=
−−− )141,015(
141,03,451033,91065,91033,9
323
VvismolC 3,8·10−2 m3·s−1
56
Pri druhom spôsobe výpočtu vákuovej vodivosti ventilu budeme predpokladať, že prúdenie sa reali-zuje cez sériové zapojenie vákuových vodivostí otvoru a vodivosti rúrky (krátkej rúrky) s dĺžkou 120 (resp. 60) mm.
Vákuové vodivosti otvorov sme už spočítali predtým. Vákuová vodivosť rúrky pri molekulárnom prúdení je CT(120) = 3,3·10−2 m3·s−1 (CT(60) = 6,636·10−2 m3·s−1)
Pre vákuovú vodivosť krátkej rúrky dostaneme
CKT(120) = 2,44·10−2 m3·s−1 (CKT(60) = 3,876·10−2 m3·s−1)
alebo s opravou podľa Clausinga
CKT(120) ≈ 2,32·10−2 m3·s−1 (CKT(60) = 3,58·10−2 m3·s−1)
Pre vákuovú vodivosť rúrky pri viskóznom prúdení vzduchu dostaneme nasledujúce hodnoty
CT(120) = 0,178 m3·s−1 (CT(60) = 0,3565 m3·s−1)
Pre vákuovú vodivosť krátkej rúrky dostaneme hodnoty
CKT(120) = 8,445 m3·s−1 (CKT(60) = 0,111 m3·s−1)
Pre výslednú vákuovú vodivosť pri viskozno-molekulárnoia prúdení vzduchu platí
Cvýs = CKTvis + 0,84CKTmol
Po dosadení vypočítaných číselných hodnôt máme
Cvýs(120) = 1,062·10−1 m3·s−1 (Cvýs(60) = 0,1435 m3·s−1)
alebo pri uvážení Clausingovej opravy
Cvýs(120) = 1,0394·10−1 m3·s−1 (Cvýs(60) = 0,1408 m3·s−1)
Porovnaním oboch spôsobov výpočtu vákuovej vodivosti ventilu vidíme, že pri druhom spôsobe vyšla hodnota vákuovej vodivosti ventilu väčšia asi 2,5-krát. Z praktických dôvodov je však výhodnejšie použiť menšiu hodnotu vákuovej vodivosti tiež hodnotu väčšiu.
4.29. Vypočítajte čas odčerpávania pracovného recipientu technologického zariadenia z atmosféric-kého tlaku na tlak 5,32 Pa. Rozmery recipientu a vákuového potrubia sú na obr. 4.11. Predvákuové odčerpávania sa robí rotačnou olejovou vývevou. Výsledné uvoľňovanie zo stien vákuovej aparatúry je v čase ustálené a rovné q' = 2,43·10−4 Pa·m3·s−1.
Riešenie Využijeme niektoré výsledky výpočtov z predchádzajúceho príkladu pre výpočet vákuovej vodivosti
elektromagnetického ventilu. Hranice medzi viskóznym a molekulárnym prúdením vzduchu v rúrke s prie-merom 32 mm sú
45,3 Pa ≥ p ≥ 0,141 Pa
Vypočítame najprv čas odčerpávania vákuového zariadenia z atmosférického tlaku na tlak 45,3 Pa, kedy je v rúrke viskózne prúdenie vzduchu. Odčerpávané technologické zariadenie pozostáva z recipientu, spojovacieho potrubia a telesa vysokovákuového ventila, čiže celkový odčerpávaný objem je
V4π
= [0,372×0,5 + 0,262×0,2 + 0,322×0,32] = 9,6·10−2 m3
Čerpacia rýchlosť rotačnej olejovej vývevy od tlaku je znázornená na obr. 4.9 graficky a v intervale tlakov od atmosférického tlaku po 45,3 Pa je skoro konštantná. Zoberieme preto akúsi „strednú hodnotu“ SR = 5,8 l ·s−1.
57
Za predpokladu exponenciálneho poklesu tlaku, pre dobu čerpania vývevou (vákuová vodivosť potrubia a ventilu je aspoň o 1 rád väčšia, takže je nemusíme uvažovať) potom dostaneme
s6,1273,451001,1ln
8,596ln
5a
R1 =
⋅==
pp
SVt
Ak by sme však predpokladali, že proces čerpania bude veľmi rýchly a bude prebiehať ako polytropický dej, t. j. p ·Vn = konšt. (n = 1,2 pre vzduch), potom pre čas čerpania dostaneme
s3,1063,451001,1ln
8,596ln
83,05/1a
R1 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′
n
pp
SVt
Ďalej vypočítame čas odčerpávania technologického za-riadenia od tlaku 45,3 Pa po tlak 5,32 Pa, kedy vo vákuovom potrubí prevláda viskózno-molekulárne prúdenie vzduchu a mení sa výrazne aj čerpacia rýchlosť rotačnej olejovej vý-vevy. Celý uvažovaný interval tlakov si môžeme ešte ďalej rozdeliť, aby sme mohli do príslušných výrazov pre výpočet doby čerpania dosadzovať akési stredné hodnoty, rozdelíme si ho napríklad na 3 časti:
a) od tlaku 45,3 Pa do 20 Pa, b) od tlaku 20 Pa do 100 Pa, c) od tlaku 100 Pa do tlaku 5,32 Pa. V intervale a) bude stredný tlak rovný
⟨p⟩ =+
=2
203,45 32,65 Pa
Pri výpočte vákuovej vodivosti potrubia dosadíme za jeho dĺžku hodnotu
l = 104 + 1,33×2×3,2 = 112,5 cm = 1,125 m
Po dosadení do vzťahu pre vákuovú vodivosť rúrky pri viskózno-molekulárnom prúdení dostaneme
=××+××+
+=032,065,322381032,065,321931
125,1032,012165,32
125,1032,03561
34
TC 4,41·10−2 m3·s−1
Vákuovú vodivosť elektromagnetického ventilu spočítame podľa postupu v príklade 4.28, kde sme určili nasledujúce hodnoty CVmol = 9,33·10−3 m3·s−1 a CVvis = 9,65·10−2 m3·s−1. Potom pri tlaku 32,65 Pa dostaneme pre výslednú vodivosť
=−−
⋅−⋅+⋅=
−−− )141,065,32(
141,03,451033,91065,91033,9
323
VvismolC 7,21·10−2 m3·s−1
Potom výsledná vákuová vodivosť potrubia aj s ventilom je
Cvýs = 2,737·10−2 m3·s−1
Za čerpaciu rýchlosť rotačnej olejovej vývevy zoberieme hodnotu približne 5,1 l ·s−1 zodpovedajúcu hodnote tlaku asi 32 Pa. Účinná čerpacia rýchlosť zariadenia bude
=+
=výsR
výsRú CS
CSS 4,3 l ·s−1
Obr. 4.11 Schéma vákuovej aparatúry pre výpočet doby čerpania v príklade 4.29
58
Čas čerpania technologického zariadenia z tlaku 45,3 Pa na tlak 20 Pa je
s25,1820
3,45ln3,4
96ln1
2
úa ===
pp
SVt
V tlakovom intervale b) je stredný tlak vzduchu 15 Pa. Vypočítame vákuovú vodivosť potrubia pre tento tlak. Platí
=××+××+
+=032,0152381032,0151931
125,1032,012115
125,1032,03561
34
TC 2,18·10−2 m3·s−1
Vákuová vodivosť elektromagnetického ventilu pri tlaku 15 Pa bude
=−−
⋅−⋅+⋅=
−−− )141,015(
141,03,451033,91065,91033,9
323
VvismolC 3,8·10−2 m3·s−1
Výsledná vákuová vodivosť vákuového vedenia je
Cvýs = 1,385·10−2 m3·s−1
Čerpacia rýchlosť rotačnej olejovej vývevy pri tlaku 15 Pa sa približne rovná SR ≈ 4,6 l ·s−1 a účinná čerpacia rýchlosť je
=+
=výsR
výsRú CS
CSS 3,45 l ·s−1
Čas čerpania zariadenia v tlakovom intervale b) je 96 20
==1020ln
45,396
bt 19,3 s
V tlakovom intervale c) je stredný tlak vzduchu 7,66 Pa. Vákuová vodivosť potrubia je
=××+××+
+=032,066,72381032,066,71931
125,1032,012166,7
125,1032,03561
34
TC 1,255·10−2 m3·s−1
Pre vákuovú vodivosť ventilu dostaneme
=−−
⋅−⋅+⋅=
−−− )141,066,7(
141,03,451033,91065,91033,9
323
VvismolC 2,38·10−2 m3·s−1
Potom výsledná vodivosť celého vákuového potrubia je Cvýs = 8,22·10−3 m3·s−1
Čerpacia rýchlosť rotačnej vývevy pri tlaku vzduchu 7,5 Pa je približne SR ≈ 4 ·10−2 l ·s−1, z čoho účinná čerpacia rýchlosť je
=+
=výsR
výsRú CS
CSS 2,69·10−3 m3·s−1
Pri výpočte času čerpania vákuového zariadenia v oblasti hraničného tlaku rotačnej vývevy, uvážime tento tlak a aj množstvo uvoľnených plynov, takže bude
Pa0,59 Pa0,5Pa09,0Pa5,0sPam1069,2sPam1043,2
133
134
hROVú
h =+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=+′
= −−
−−
pSqp
Potom pre čas čerpania dostaneme
=−
−⋅
⋅= −
−
59,032,559,010log
1069,210963,2 3
3
ct 24,55 s
Výsledný čas čerpania vákuového zariadenia z atmosférického tlaku na tlak 5,32 Pa je daný súčtom jednotlivých vypočítaných časov, t. j.
tΣ = (127,6 + 18,25 + 19,3 + 24,55) s = 189,4 s
59
5 METÓDY ZÍSKANIA A MERANIA VÁKUA NETESNOSTI VÁKUOVÝCH APARATÚR
5.1. Rotačná olejová výveva so šúpatkami v rotore má vnútorný priemer statora Ds = 10 cm, prie-mer rotora Dr = 6 cm, hrúbku šúpatiek d = 0,5 cm, dĺžku valca statora l = 5,5 cm a uhlovú rýchlosť 450 ot/min. Hraničný tlak vývevy je p∞ ≈ 1 Pa. Napíšte rovnicu teoretickej krivky čerpania recipientu s objemom V = 20 l a graficky znázornite priebeh časovej závislosti poklesu tlaku.
Riešenie Aby sme mohli napísať rovnicu krivky čerpania musíme najprv spočítať hodnotu konštrukčnej čer-
pacej rýchlosti. Objem čerpacieho priestoru vývevy vypočítame s uvážením objemu šúpatiek.
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−π=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−−π= 322
rs2r
2smax cm5,55,0)610()610(
41)()(
41 ldDDDDV 265 cm3 = 0,265 l
Teoretická resp. konštrukčná čerpacia rýchlosť sa vypočíta podľa vzťahu
265,060450
60 maxT == VnS l ·s−1 = 2 l ·s−1
Rovnica krivky čerpania je
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−+= ∞ Pa
202exp101exp 5T
a ttVSppp 1 + 105e−0,1t Pa
Teoretickú krivku čerpania môžeme narysovať v semilogaritmickej mierke. Bude to priamka s ta-kým záporným sklonom, aby času 100 s zodpovedalo 4,34 dekád logaritmickej stupnice. Táto priamka pôjde cez bod t = O, pa = 105 Pa a pretne priamku zodpovedajúcu tlaku p = 1 Pa .
5.2. a) Určite čerpaciu rýchlosť vývevy ako funkciu tlaku pre rotačnú olejovú vývevu s charakteris-tikou čerpania p = f(t) zobrazenou na obr. 5.1 pre odčerpávaný objem V1 = 50 litrov.
b) Vypočítajte čas odčerpávania nádoby s objemom 10 litrov rotačnou olejovou vývevou, začínajúc od atmosférického tlaku až po tlak 10 Pa, ak nádoba je priamo napojená na vývevu.
Obr. 5.1 Časová závislosť poklesu tlaku v 50 l nádobe čerpanej rotačnou vývevou
60
Riešenie a) Z krivky charakterizujúcej pokles tlaku v čase p = f(t) zobrazenej na obr. 5.1 nájdeme časové
okamžiky t zodpovedajúce tlakom p líšiacim sa o 1 rád, t. j. zodpovedajúce tlakom 104 Pa, 105 Pa,… atď. Výsledky sú v tabuľke 5.1.
Tabuľka 5.1 Hodnoty tlakov dosiahnuté v zodpovedajúcich časoch
p [Pa] 104 103 102 10 100 10−1 10−2 t [min] 3,5 7,5 12 17,8 25,1 35 55
Čerpaciu rýchlosť vypočítame podľa zjednodušeného vzťahu
1sl303,2 −⋅Δ
=tVS
ak je objem V v litroch. Zodpovedajúce hodnoty sú uvedené v tab. 5.2.
Tabuľka 5.2 Vypočítané hodnoty čerpacej rýchlosti
Δt [min] 4 4,5 5,8 7,3 9,9 20 Δt [s] 240 270 348 438 594 1 200 S [l ·s−1] 0,48 0,426 0,331 0,263 0,194 0,096
b) Na základe vypočítanej čerpacej rýchlosti v okolí atmosférického tlaku Sa =0,48 l·s−1 a v okolí tlaku
10 Pa S10 = 0,33 l ·s−1 predpokladáme strednú čerpaciu rýchlosť vývevy ⟨S⟩ = (0,48 + 0,33)/2 l ·s−1 = = 0,405 l ·s−1. Potom pre čas čerpania 10 litrovej nádoby dostaneme
=⟩⟨
=1010ln
5
SVt 227,4 s ≈ 3,8 min
5.3. Určite prípustný tlak vodných pár pre vývevu s balastným plynom s čerpacou rýchlosťou 6 l ·s−1 pri prietoku balastného plynu qbal = 40 m3·Pa·s−1, výstupnom tlaku pa = 1,2·105 Pa a teplotách oleja vývevy 60, 70 a 80 °C.
Riešenie Z fyzikálnych tabuliek určíme pre jednotlivé teploty oleja tlak nasýtených vodných pár, ktoré sú
postupne
p60 = 2·104 Pa; p70 = 3,2·104 Pa; p80 = 4,8·104 Pa
Pre tok balastného plynu, odčerpávaného vývevou platí
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≥ 1
n
abal 1 p
pSpq p
kde S je čerpacia rýchlosť rotačnej olejovej vývevy, pp1 je tlak pár odčerpávaných na vstupe vývevy a pn je tlak nasýtených pár. Pomocou uvedeného vzťahu numerickým výpočtom spočítame prípustné tlaky pár na vstupe vývevy pp1 pre zodpovedajúce teploty oleja.
pp1,60 ≤ 1,33·103 Pa
pp1,70 ≤ 2,42·103 Pa
pp1,80 ≤ 4,44·103 Pa
5.4. Vypočítajte maximálnu výkonnosť pre vodné pary rotačnej olejovej vývevy s balastným plynom (s preplachovaním) s čerpacou rýchlosťou 6 l ·s−1, pri prietoku balastného plynu qbal = 40 m3·Pa·s−1, výstupnom tlaku pa = 1,2·105 Pa a teplote oleja 60 °C.
61
Riešenie Výkonnosť vývevy pre vodné pary je vlastne daná ako maximálne množstvo pary, ktoré môže od-
čerpať rotačná olejová výveva a je dané vzťahom
RTSpM
m pmax,OH
6,32
=′ [kg·h−1]
kde M je molekulová hmotnosť pár (v našom prípade vody, M = 18), S čerpacia rýchlosť rotačnej ole-jovej vývevy v [l ·s−1] a pp je tlak pár na vstupe vývevy. V našom prípade určíme si najprv prípustný tlak pár na vstupe vývevy (pozri predchádzajúci príklad 5.3), ktorý je pp ≤ 1,33·103 Pa. Po dosadení číselných hodnôt do uvedeného vzťahu dostaneme
=′ max,OH2m 0,213 kg·h−1
5.5. Vo vákuovom sušiacom zariadení sa uvoľní za jednu hodinu 1 kg vodných pár pri tlaku 1,71 kPa, ktorý zodpovedá tlaku nasýtených vodných pár pri teplote 15 °C. Toto množstvo je potrebné stále od-čerpávať vývevou. Aká musí byť čerpacia rýchlosť vývevy?
Riešenie Využijeme stavovú rovnicu ideálneho plynu, pričom poznáme hmotnosť vodných pár, ktoré sa uvoľ-
nia za jednu hodinu. Z rovnice vyplýva
MpRT
tm
tV
=
a po dosadení dostaneme
==kPa71,1
28818h
1h
RV 78 m3·h−1
Sušiace zariadenie sa musí teda odčerpávať s efektívnou čerpacou rýchlosťou aspoň 78 m3·h−1pri tlaku 1,71 kPa.
5.6. Olejová difúzna výveva v intervale tlakov od 10−1 Pa až 10−4 Pa má čerpaciu rýchlosť 150 l ·s−1 a potrebuje tlak v predvákuu 46,66 Pa. Vypočítajte potrebnú čerpaciu rýchlosť predvákuovej vývevy (prepočítajte aj na jednotky m3·h−1).
Riešenie Budeme predpokladať, že maximálny tlak prípustný pre prácu difúznej vývevy resp. pre udanú
čerpaciu rýchlosť je 10−1 Pa. Pre tento tlak nájdeme čerpaciu rýchlosť predvákuovej vývevy pri tlaku 46,66 Pa z podmienky spojitosti prietoku plynu, t. j.
==−
15066,46
10 1
predvS 0,32 l ·s−1 = 1,16 m3·h−1
5.7. Vo vákuovej aparatúre treba udržiavať maximálny pracovný tlak p2 = 10−1 Pa pomocou difúz-nej vývevy s čerpacou rýchlosťou S2 = 2 000 l ·s−1. Akú minimálnu hodnotu čerpacej rýchlosti S1 musí mať predvákuová výveva, ak musí na výstupe difúznej vývevy udržiavať minimálny tlak p1 = 10 Pa?
Riešenie Tok plynu odčerpávaný predvákuovou vývevou musí byť väčší alebo rovný toku plynu odčerpáva-
nému difúznou vývevou, t. j.
p1S1 ≥ p2S2
Z tejto rovnosti vypočítame minimálnu hodnotu čerpacej rýchlosti S1, ako
Pa10Pa10 1
21
21
−
== SppS 2 000 l ·s−1 = 20 l ·s−1 = 72 m3·h−1
62
5.8. Vo vákuovej aparatúre sa nachádza ortuť s odkrytou plochou povrchu rovnou 10 cm2. Tlak nasý-tených pár ortuti pri laboratórnej teplote 20 °C je približne 10−1 Pa. Aparatúra je odčerpávaná vývevou s účinnou čerpacou rýchlosťou 250 l ·s−1. Určite aký najnižší tlak sa môže získať za takýchto podmienok vo vákuovej aparatúre.
Riešenie Z povrchu ortuti sa každú sekundu uvoľňuje tok plynu vyjadrený podľa vzťahu
1HgHga 1010
20129364,364,3
41 −⋅==⟩⟨= pA
MTpAq v Pa·l ·s−1= 4,4 Pa·l ·s−1
Tento tok uvoľňovaných pár ortuti bude ohraničovať získanie najnižšieho tlaku. Platí
=== −
−
1
1
Pa·l·s250Pa·l·s4,4
Sqp 1,76·10−2 Pa
5.9. Difúzna olejová výveva má vnútorný priemer príruby 40 cm a priemer dýzy posledného stupňa (zo strany vysokého vákua) 12,5 cm. Vypočítajte teoretickú maximálne možnú čerpaciu rýchlosť olejo-vej difúznej vývevy pre dusík pri teplote 20 °C, ak rýchlosť olejových pár je 39 m·s−1.
Riešenie Pre maximálnu čerpaciu rýchlosť difúznej olejovej vývevy podľa zjednodušenej teórie platí
1
pár
Na,Na,max
2
2 411
41
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⟩⟨+⟩⟨=
vv
v AS
kde A je vstupná plocha vývevy – medzikružia vytvoreného plášťom vývevy a dýzou a rovná sa 0,113 4 m2. Po dosadení zodpovedajúcich hodnôt dostaneme pre čerpaciu rýchlosť olejovej difúznej vývevy hodnotu 3 322 l ·s−1.
5.10. Určite teoretickú čerpaciu rýchlosť a hraničný tlak jednoduchej iónovej vývevy zobrazenej na obr. 5.2 pri teplote 20 °C.
Obr. 5.2 Schematický náčrt jednoduchej iónovej vývevy k príkladu 5.10
Riešenie K čerpaniu v iónovej výveve dochádza len vtedy, keď usmernený tok kladných iónov qi smerom ku
katóde prevláda nad spätným tokom neutrálnych častíc spôsobený tepelným pohybom a rozdielom tlakov (p1 – p), t. j. molekulárnym prúdením plynu s tokom qmol. V takomto prípade pre výsledný tok plynu q platí
q = qi − qmol = Sip
kde Si je čerpacia rýchlosť iónovej vývevy na jej vstupe, p je dosiahnutý tlak v odčerpávanom objeme V a p1 je tlak plynu na výstupe z iónovej vývevy.
63
Pre spätný tok vzduchu platí
qmol = )(5,121 1
3
ppL
D− [Pa·m3·s−1]
kde rozmery iónovej vývevy D, L sú dané v m a tlaky v Pa. Vypočítajme teraz tok iónov, ak predpokladáme len nárazovú ionizáciu elektrónmi, ktoré sú emito-
vané z katódy. Potom počet elektrónov prechádzajúcich cez ľubovoľnú plochu za jednotku času je
eIe
e =ν
kde Ie je emisný prúd katódy a e je náboj elektrónu. Predpokladáme, že každá zrážka elektrónu s neutrálnou časticou vedie k ionizácii. Môžeme potom
spočítať množstvo iónov dν i vznikajúcich za jednotku času pri zrážkach ν e elektrónov s atómami na dráhe dx
eei
ddλ
νν x=
kde λ e je stredná voľná dráha elektrónov pre vzduch, ktorá je daná výrazom (uvažujeme molekuly ideál-neho plynu)
p
2
vzde1066,324
−⋅== λλ m
Predpokladajme, že tlak v iónovej výveve smerom od anódy ku katóde narastá lineárne, takže v mieste x platí
pxL
pppx +−
= 1
Celkový počet vzniknutých iónov v iónovej výveve dostaneme integráciou
LppIxpeI L
x 2107,1d
1066,31 1
e20
02
ei
+⋅=
⋅= ∫−ν
Usmernený tok kladných iónov smerom ku katóde je
qi = ν ikT = 3,44·10−1 IeL(p1 + p)
Potom pre teoretickú čerpaciu rýchlosť iónovej vývevy dostaneme
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−= 15,1211344,0 1
31
emoli
i pp
LD
ppLI
pqqS [m3·s−1]
Čerpacia rýchlosť iónovej vývevy bude sa pri hraničnom tlaku rovnať nule, na základe čoho platí
32e
2e
3
1hran 5,121344,0344,05,121
DLILIDpp
+−
=
Z predchádzajúceho vzťahu vyplýva, že ak chceme dosiahnuť čo najnižší hraničný tlak, musí sa emisný prúd katódy rádovo rovnať hodnote
Ie ≈ 353,5 2
3
LD [A]
V skutočnosti nie každá zrážka elektrónu s neutrálnou časticou vedie k jej ionizácii. Ak predpokla-dáme 10 % ionizáciu, potom potrebný prúd pre získanie uvedených parametrov musí byť minimálne desaťkrát väčší.
64
5.11. Odhadnite účinnú plochu adsorbenta, ak je známe, že pri ohriatí nádoby s objemom 1 liter z teploty T1 = 80 K na teplotu T2 = 304 K sa tlak vodíka zvýšil z p1 = 26 Pa na tlak p2 = 26 kPa. Počas práce adsorbčnej vývevy bol rozprášený 1 g adsorbenta. Predpokladajte, že molekuly adsorbovaného plynu vytvoria na povrchu adsorbenta monomolekulárnu vrstvu. Hustota kvapalného vodíka je ρH2 = = 200 kg·m−3.
Riešenie Je zrejmé, že tlak v zohriatej nádobe na teplotu 304 K je spôsobený plynom, ktorý sa uvoľňuje
z adsorbenta pri ohrievaní. Ak by sme predpokladali, že tlak stúpa len v dôsledku zmeny teploty, potom by sme dostali:
===8030426
1
21 T
Tpp 98,8 Pa
Tento tlak je oveľa menší ako 26 kPa. Pre odhad účinnej plochy predpokladajme, že plyn sa pri ohreve z adsorbenta úplne uvoľnil. Potom
hmotnosť plynu určíme pomocou Mendelejevovej-Clapeyronovej rovnice
2
0
00
2H
2
2H 22 T
TVV
pp
RTVpm μμ ==
kde μH2 je molárna hmotnosť vodíka a pre plynovú konštantu sme využili kvôli zjednodušeniu výpočtu vzťah R = p0V0/T0, pričom p0 = 100,3 kPa, V0 = 22,4 l, T = 273 K. Po dosadení číselných hodnôt a vý-počte dostaneme
m = 0,02 g = 2·10−5 kg Predpokladajme, že monomolekulárnu vrstvu adsorbovaného vodíka si môžeme predstaviť ako vrstvu
kvapalného vodíka. Potom, ak poznáme hmotnosť adsorbovaného plynu m a hustotu kvapalného vodíka ρH2, môžeme nájsť objem adsorbovaného vodíka VH2, rozliateho do tenkej kvapalnej vrstvy na povrchu adsorbenta
==2
2H
H ρmV 10−7 m3
Hrúbku adsorbovanej vrstvy považujeme za rovnú strednej vzdialenosti dH2, medzi molekulami vo-díka v kvapalnom stave, ktorá sa určí pomocou vzťahu
3/1
AH
HH
2
2
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Nd
ρμ
kde NA je Avogadrovo číslo. Z predchádzajúcich vzťahov pre účinnú plochu Aúč adaorbenta dostaneme
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
3/1
H
HA
HH
Húč
2
2
22
2
μρ
ρNm
dV
A 4 ·105 m2·kg−1
5.12. Vo vákuovej aparatúre je zmes vzduchu a oxidu uhličitého v pomere 1:1 pri tlaku 10−3 Pa. Potom parciálny tlak oxidu uhličitého je 5·10−4 Pa. V aparatúre je vymrazovačka chladená kvapalným dusíkom na teplotu −195 °C. Tlak nasýtených pár oxidu uhličitého, ktorý kondenzuje pri teplote −78 °C, je pri teplote kvapalného dusíka približne 4·10−5 Pa. Vypočítajte mernú čerpaciu rýchlosť na 1 cm2 chladenej plochy.
Riešenie Čerpacia rýchlosť chladeného povrchu je určená vzťahom
App
MS ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
1
21296,11 [l ·s−1]
kde M je molekulová hmotnosť kondenzujúceho plynu, p1 je začiatočný tlak, p2 je tlak pri kondenzačnej teplote a A je veľkosť chladenej plochy v cm2.
65
Po dosadení do uvedeného vzťahu dostaneme
AM
S ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅
−= −
−
Pa105Pa1041296,11 4
5
l ·s−1
z čoho merná čerpacia rýchlosť je
==ASs 8,66 l ·s−1
5.13. Vypočítajte mernú čerpaciu rýchlosť pre vodné pary obsiahnuté vo vzduchu pre povrch chla-dený na teplotu −195 °C.
Riešenie Využijeme vzťah uvedený v predchádzajúcom príklade 5.12. ale s tým rozdielom, že pri teplote
−195 °C je tlak vodných pár p2 je približne rovný 10−20 Pa. Potom podiel tlakov p2/p1 môžeme voči jednotke zanedbať. Dostaneme
==18296,11s 14,7 l ·s−1
5.14. Vypočítajte tepelné straty a potrebu kvapalného hélia a dusíka v kryogénnej kondenzačnej výveve zobrazenej na obr. 5.3, ak jej čerpacia rýchlosť pre dusík je 2 000 l ·s−1. Pravdepodobnosť Pp preniknutia molekúl cez ochranné žalúzie nech je 0,29.
Obr. 5.3 Zjednodušená schéma kryokondenzačnej vývevy pre výpočet jej parametrov
Riešenie Najprv určíme veľkosť potrebnej plochy Ach zodpovedajúcej požadovanej čerpacej rýchlosti S so
zodpovedajúcou pravdepodobnosťou dopadu molekúl na chladený povrch cez ochranné žalúzie. Platí
=×⋅⋅
⋅== −
−
29,0cmsl6,11sl000221
1
pkch Ps
SA 594,5 cm2
kde sk je merná čerpacia rýchlosť chladenej jednotkovej plochy. Za predpokladu, že nádoba plnená
66
kvapalným héliom bude valcová a priemerom rovným jeho výške, potom z vypočítanej veľkosti plochy dostaneme pre priemer resp. výšku nádoby hodnotu
d = h = π1,5
chA = 11,23 cm
Ďalej určíme tepelnú záťaž kryopanelu a povrchov chladených kvapalným dusíkom. Z možných tepelných tokov budeme uvažovať len tepelný tok v dôsledku vyžarovania a tepelný tok odvedený prívodnými trubkami k nádobám a kvapalným dusíkom a kvapalným héliom.
Tepelný tok žiarenia dopadajúceho na kryopanel je určený vzťahom
Φž = σεpAch(T4ž − T4
ch) [W]
kde Tž je teplota tieniacich žalúzií rovnajúca sa teplote kvapalného dusíka 77 K, σ je Stefanova-Boltz-mannova konštanta a sa rovná 5,67·10−12 W·cm−2 ·K−4 a εp je vyžarovací činiteľ závislý od charakteru povrchu. V našom prípade volíme εp = 0,5. Potom pre tepelný tok žiarenia dostaneme hodnotu
Φžch = 5,925·10−2 W
Tepelný tok žiarenia na plochu tieniacich žalúzií Až vypočítame podobne. Za plochu vezmeme valec s priemerom a výškou rovnajúcou sa 13,5 cm, z čoho Až = 858,8 cm2. Za vyžarovací činiteľ vezmeme hodnotu εp = 0,9. Číselný výpočet tepelného toku vedie k hodnote
Φžž = 5,67·10−12 W·cm−2 ·K−4×0,9×858,5 cm2×[(300 K)4 − (77 K)4] = 35,344 W.
Ďalšie významné tepelné straty sú v trubkách, ktorými prúdi kvapalné hélium a kvapalný dusík. Všetky štyri trubky majú priemer 11 mm a hrúbku steny 0,2 mm. Trubky, ktorými prúdi hélium sú v dĺžke 30 cm udržované na teplote od 77 K do 4,2 K a v dĺžke 10 cm sú udržované na teplote od 300 K do 77 K spolu s trubkami s dĺžkou 20 cm na prívod kvapalného dusíka. Pre tepelný tok (straty) vedením tepla cez trubky platí
)(d 12TT
TT
T
2
1
TTl
ATl
AT
T
−⟩Λ⟨≈Λ=Φ ∫ [W]
kde AT je prierez trubky, l je jej dĺžka, ⟨ΛT⟩ je stredná hodnota koeficienta tepelnej vodivosti materiálu trubiek určená z tabuľkových hodnôt [14] pri teplote T1 a T2. Pre tepelné straty cez trubky, ktorými prúdi hélium dostaneme
3002,01,12
1Tch××π
=Φ 0,041 3×(77 − 4,2) W = 1,385 4·10−2 W
Pre zostávajúcu časť trubiek dostaneme
3002,01,12
žTch××π
=Φ 0,0115×(300 − 77) W = 3,55 ·10−1 W
Pre trubky, ktorými prúdi kvapalný dusík dostaneme
3002,01,12
žT××π
=Φ 0,115×(300 − 77) W = 1,77·10−1 W
Tepelné straty spôsobujúce ohrev hélia sú dané súčtom strát vyžarovaním a vedením trubkou, t. j.
Φžch + ΦTch1 = 5,925·10−2 W + 1,3854·10−2 W = 7,3104·10−2 W
Tepelné straty spôsobujúce ohrev dusíka sú dané súčtom strát vyžarovaním a vedením trubkami, t. j.
Φžž + ΦTchž + ΦTž = (35,344 + 3,55·10−1 + 1,77·10−1) W = 35,876 W
Posledná etapa výpočtu pozostáva z výpočtu spotreby chladiacich médií, t. j. kvapalného hélia a kva-palného dusíka. Z tabuliek [14] sa zistí, aké množstvo chladiaceho kvapalného média (dusíka, neónu, vodíka, hélia) sa vyparí pri dodaní tepla o veľkosti 1 W. V prípade kvapalného dusíka sa rýchlosť vypa-rovania na 1 W tepelného toku rovná 0,021 litra za hodinu a v prípade kvapalného hélia je 1,4 litra za
67
hodinu. Ak uvedené rýchlosti vynásobíme vypočítanými tepelnými tokmi dostaneme minimálnu spotrebu kvapalného dusíka rovnú
35,876×0,021 l ·h−1 = 0,753 4 l ·h−1
a pre minimálnu spotrebu kvapalného hélia hodnotu
7,310 4·10−2×1,4 l ·h−1 = 0,102 4 l ·h−1
5.15. Máme kryosorpčnú vývevu s kvapalným dusíkom zobrazenú na obr. 5.4 s nasledujúcimi roz-mermi: priemer valca pre kvapalný dusík d1 = 0,08 m; priemer perforovanej tepelne izolovanej clony d2 = 0,12 m; priemer telesa vývevy d3 = 0,2 m; priemer vstupného otvoru (príruby) dp = 0,1 m; výška telesa vývevy h3 = 0,4 m; výška adsorpčnej náplne h = 0,3 m; počet tepelných mostov n = 3; dĺžka tepel-ného mosta l = 0,02 m; hrúbka tepelného mosta dm = 0,003 m; hrúbka perforovanej clony dc = 0,003 m.
Obr. 5.4 Zjednodušená schéma kryosorbčej vývevy pre výpočet jej parametrov
Konštrukčné prvky majú nasledujúce tepelno-fyzikálne charakteristiky: vyžarovací koeficient vnú-torného povrchu telesa vývevy ε3 = 0,7; vyžarovací koeficient perforovanej clony ε3 = 0,3; koeficient tepelnej vodivosti perforovanej clony Λ2 = 20 W·m−1 ·K−1; koeficient tepelnej vodivosti tepelného mosta Λm = 400 W·m−1 ·K−1 [14].
Adsorbentom je zeolit a hustotou ρ = 650 kg·m−3 a s priemerom guľôčok 1,5 mm. Teplota okolitého prostredia T3 = 300 K. Začiatočný tlak vývevy p0 = 1 Pa. Koeficient regenerácie adsorbenta β r = 0,25 a koeficient jeho nasýtenia kn = 7.
Vypočítajte sorbčnú schopnosť vývevy pri pracovnom tlaku 10−2 Pa, jej čerpaciu rýchlosť a čas ne-pretržitej činnosti pri natekaní dusíka v množstve q = 5·10−4 Pa·m3·s−1.
Riešenie Vypočítame najprv vnútorný objem vývevy, ktorý je
3333322
322
3
23
v m102,9m104173,9m3,0412,04,0
42,0]m[
44−− ⋅≈⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−
π=
π−
π= hdhdV
Objem náplne adsorbenta vo výveve je
33322321
22a m10855,1m3,0)08,012,0(
4]m[)(
4−⋅=−
π=−
π= hddV
68
Hmotnosť adsorbenta – zeolitu je
ma = Vaρ = 1,855·10−3 m3×650 kg·m−3 = 1,225 kg
Účinný vyžarovací koeficient sústavy teleso vývevy a perforovaná clona vypočítame podľa vzťahu platného pre valcový systém, t. j. [14]
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
−− 11
33
2
2u 1
7,01
2,012,0
3,01111
εεε
dd 0,278 5 ≈ 0,28
Potom merný tepelný tok na clonu bude
Φ = εuσ(T43 − T4
2) [W·m−2] = 0,28×5,67·10−8(3004 − 774) W·m−2 = 128,04 W·m−2
Stredná teplota clony v prípade jej ochladzovania cez tepelné mosty sa počíta podľa vzťahu [14]
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××3×120,12)π
+××3
0,02×0,12π+=
ΛπΦ
+ΛπΦ
+=⟩⟨ 2
2
K003,020
(04,128003,0400
04,12878]K[12
)(
c22
22
mm
2K2 dn
ddn
ldTT 81,1 K
Stredná teplota adsorbenta je určená vzťahom
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−⟩⟨+=⟩⟨ K
),080/12,0ln(21
8,012,012,0)781,81(78K][
)/ln(21)( 22
2
1221
22
22
K2Ka dddddTTTT
=79,76 K ≈ 80 K
Kapacita adsorbenta pri pracovnom tlaku, ak predpokladáme, že stupeň pokrytia adsorbenta Θ je menší ako 0,1, sa určí pomocou Henryho rovnice
v = Bpexp {A/⟨Ta⟩}
kde A, B sú experimentálne určené konštanty. Mernú kapacitu adsorbenta dostaneme, ak uvedenú Henryho rovnicu vynásobíme koeficientom jeho regenerácie β r, čiže
v = β rBpexp {A/⟨Ta⟩} = 0,25×5·10−3×10−2exp {1 500/80} = 1 737,5 Pa·m3·kg−1
Celková adsorpčná schopnosť je určená súčinom mernej kapacity a hmotnosti adsorbenta, t. j.
Qa = mav = 1,225×1 737,5 = 2128,5 Pa·m3
Hraničný zvyškový tlak kryosorpčnej vývevy určíme podľa vzťahu
Pa1088,230080
805001exp105225,11017,9
3005001exp105225,11017,9
1exp
exp7
33
33
0
a
aav
0av
0hran−
−−
−−
⋅=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅×+⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅×+⋅
=⟩⟨
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⟩⟨+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⟩⟨+
=TT
TABmV
TABmV
pp
Čerpacia rýchlosť adsorpčnej vrstvy Sa za tieniacou clonou je daná vzťahom
]sm[exp
132
3
aef
a−⋅⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⟩⟨=
RkTABD
S
kde Def je efektívny koeficient difúzie s hodnotou 2·10−12 m2·s−1 pre dusík a kyslík v zeolite, k3 je koefi-cient formy adsorpčného zrna s hodnotou 1/15 pre guľôčky a R je charakteristický rozmer adsorpčného zrna. Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
{ } 131323
312
a sm27,9sm)105,1)(15/1(
80/5001exp105102 −−−
−−
⋅=⋅⋅
⋅×⋅=S
69
Vodivosť perforovanej clony je daná súčinom jej plochy a mernej vodivosti, ktorá sa mení v závis-losti od konštrukcie. V našom prípade vezmeme za mernú vodivosť strednú hodnotu perforovanej clony t .j. 1,5 m3·s−1·m−2. Potom platí
Cc = ccπd2h = 1,5π0,12×0,3 = 0,17 m3·s−1
Účinná čerpacia rýchlosť celej adsorpčnej náplne je daná vzťahom
=+×
=+
= −13
ca
caú sm
17,027,917,027,9
CSCSS 0,167 m3·s−1
Teoretická čerpacia rýchlosť adsorpčnej vrstvy je
Steor = 36,4πd2hMT3 [m3·s−1] = 13,48 m3·s−1
Koeficient zachytenia sa určí ako pomer účinnej čerpacej rýchlosti k teoretickej
kz ===48,13
167,0
teor
ú
SS 1,24·10−2
Teoretická vodivosť) vstupného otvoru adsorpčnej časti vývevy je daná vzťahom
=⋅−= − ]sm[)(4
4,36 13322
23 M
TddCvstπ 2,396 m3·s−1
Obr. 5.5 Závislosť pomeru čerpacej rýchlosti na vstupe jednostrannej kryosorpčnej vývevy Svst k vodivosti jej vstupného otvoru Cvst od pomeru výšky adsorpčnej náplne h k jej medzere Δ pre rôzne hodnoty parametra zachytenia kz
70
Čerpaciu rýchlosť na vstupe adsorpčnej náplne môžeme odhadnúť pomocou grafov na obr. 5.5 zobra-zujúcich závislosť pomeru čerpacej rýchlosti Svst k vodivosti vstupného otvoru Cvst od pomeru výšky adsorpčnej náplne h k jej medzere Δ pre rôzne hodnoty parametra zachytenia kz. V našom prípade h /Δ = 2h/(d3 – d2) = 7,5. Zo spomenutých kriviek odhadneme pre náš koeficient zachytenia kz = 0,012 4 hodnotu pomeru Svst /Cvst = 0,06. Z tejto hodnoty pre čerpaciu rýchlosť dostaneme
Svst = 0,06 Cvst = 0,06×2,396 = 0,144 m3·s−1
Vodivosť vstupnej príruby – otvoru vývevy je
=π
=π
=28
3001,04
4,364
4,36 232pp M
TdC 0,936 m3·s−1
Začiatočná čerpacia rýchlosť vývevy je daná vzťahom
=⋅+×
=⋅+
= −− 1313
pvst
pvst0 sm
936,0144,0936,0144,0]sm[
CSCS
S 0,125 m3·s−1
Čas nepretržitého čerpania vývevy pri tlaku 10−2 Pa a natekaní zadaného množstva dusíka je
=⋅
⋅×⋅
== −
−
− s105
10125,0ln7105
5,1282]s[ln 4
2
40
n
av q
pSqkQt 5,57·105 s ≈ 155 h
5.16. Vypočítajte stupnicu pre amatérsky zhotovený jednoduchý ortuťový kompresný vákuometer v tvare písmena U, ktorého uzavreté rameno má výšku H = 250 mm. Vypočítajte pre tlaky 104 Pa, 120 Pa, 10 Pa a 1,33 Pa.
Riešenie Využijeme Boyleov-Mariottov zákon
p1V1 = p2V2
kde
p2 = p1 + ρHggh V1 4π
= d2H V2 4π
= d2h
Po úprave dostaneme
p1H = (p1 + 133,32h)h
kde výšky h a H sú udané v mm a tlak p1 v Pa. Posledná hodnota je kvadratická pre neznámu hodnotu výšky h, ak poznáme jednotlivé tlaky p1. Jej
riešením dostaneme
64,26632,1334 1
211 Hppp
h++−
=
Pre jednotlivé hodnoty tlakov p1 dostaneme
p1 = 10 kPa je h = 104,5 mm
p1 = 120 Pa je h = 14,56 mm
p1 = 10 Pa je h = 4,29 mm
p1 = 1,33 Pa je h = 1,57 mm
5.17. Navrhnite a vypočítajte kompresný MacLeodov vákuometer s kvadratickou stupnicou pre interval tlakov p = 6,67·10−4 Pa až 1,5 Pa, ak priemer kapiláry je 0,6 mm a konštanta vákuometra je 1,666·10−4 Pa·mm−2 . Odhadnite potrebné množstvo ortuti a jeho hmotnosť.
71
Riešenie Ak poznáme konštantu vákuometra, potom môžeme pre kvadratickú stupnicu napísať
Pa4
32,13310666,1 22
2422 h
VdhhCp π
=⋅== −
Pretože poznáme konštantu C2 a priemer kapiláry, vypočítame ich porovnaním objem kompresného vákuometra
V = 2,262·105 mm3 = 226,2 cm3
Z rozsahu vákuometra resp. maximálnej hodnoty tlaku vypočítame dĺžku kapiláry t. j.
1,5 Pa = 1,666·10−4 Pa·mm−2×h2
Z uvedeného vzťahu potom dostaneme, že
h ≈ 95 mm
Pri dvíhaní ortuti zo zásobníka musíme počítať aj na zaplnenie paralelných spojovacích trubiek, prí-padne v zásobníku musí zostať určité množstvo ortuti. Volíme množstvo ortuti približne 300 cm3, čo zodpovedá hmotnosti asi 4 kg.
5.18. Nech kompresný vákuometer a objemom V = 250 cm3 je pripojený k odčerpávanému recipientu pomocou trubky s dĺžkou l = 125 cm a priemerom d = 5 mm. Tlak v recipiente sa rýchlo znížil z hodnoty p1 = 1,333 Pa na hodnotu p'0 = 1,333·10−2 Pa. Vypočítajte za akú dobu sa vo vákuometri ustáli tlak p2 = 2,666·10−2 Pa.
Riešenie Aby tlak vo vákuometri sa stotožnil s tlakom v recipiente rovnom p2, musí sa zodpovedajúce množstvo
plynu z vákuometra taktiež odčerpať v dôsledku rozdielu tlakov vo vákuometri a v recipiente. Na to je potrebný čas
02
01log303,2pppp
CVt
′−′−
=
kde C je vákuová vodivosť trubky, ktorou je vákuometer spojený s recipientom a vypočítame ju podľa známeho vzťahu platného pre molekulárne prúdenie, t. j.
=⋅⋅
=⋅= −−
− 1333
133
sm25,1
)105(5,121]sm[5,121l
dC 1,215·10−5 m3·s−1
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme pre ustálenie meraného tlaku hodnotu
=⋅⋅
⋅= −−
−
26
6
10333,1320,1log
1015,1210250303,2t 94,57 s
Ak by sme uvažovanú trubku nahradili trubkou s priemerom 10 mm, potom čas ustálenia sa zníži na cca 17 s.
5.19. Určite „elektrickú“ čerpaciu rýchlosť ionizačného vákuometra so žeravenou katódou, s citlivos-ťou 75 μA/(mA·Pa), pri elektrónovom prúde 10 mA a teplote 20 °C.
Riešenie Predpokladáme, že každý ión dopadajúci na kolektor je ním pohltený vďaka adsorpcii. Počet takýchto
iónov je spojený s iónovým prúdom vyjadrený vzťahom
+=+ ItNe
dd
Počet častíc si vyjadríme cez tlak plynu a potom pri T = konšt. môžeme pre zmenu tlaku napísať
eI
VkT
tN
VkT
tp +−==
dd
dd
72
Súčasne pre pokles tlaku plynu platí vzťah
pVSpp
VS
tp elel )(
dd
−=−−= ∞
ak platí, že p >> p∞. Porovnaním predchádzajúcich výrazov dostaneme
eI
pkTS +=el
Ak iónový prúd vyjadríme pomocou citlivosti ionizačného vákuometra, t. j.
I+ = CI−p
dostaneme
ekTS =el CI− = 1,895·10−5 m3·s−1 ≈ 0,02 l ·s−1
5.20. V hmotnostnom spektrometri so statickým magnetickým poľom s indukciou B = 0,1 V·s·m−1 sa pohybujú argónové ióny, ktoré sú na začiatku urýchlené napätím 100 V. Vypočítajte polomer ich dráhy.
Riešenie Polomer kruhovej dráhy iónu v magnetickom poli je určený výrazom
emU
Br 21
=
Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
=⋅
×⋅×⋅⋅
= −
−
−− C106,1V100kg102,662
msV101
19
27
21r 9,1·10−2 m
5.21. Určite rozlišovaciu schopnosť omegatrónu v oblasti hmotnostného čísla 44 (CO2), ak je známe, že pre M = 20 je rozlišovacia schopnosť prístroja ρ = 20.
Riešenie Pre omegatrón platí
vf
2
2ErB
mMe
MM
′=
Δ=ρ
kde m' je hmotnosť vodíkového atómu, r je vzdialenosť od osí mierky (resp. elektrónového zväzku) po iónový kolektor, Evf je amplitúda vysokofrekvenčného elektrického napätia a B je magnetická indukcia.
Z uvedeného vzťahu vyplýva, že pre istý zvolený typ omegatrónu platí
=′
=vf
2
2ErB
meMρ konšt. = 202
Pre rozlíšenie rozdielu hmotností v okolí hmotnosti rovnej 44 potom platí
===Δ 2
2
2044
.konštMM 4,84
z čoho pre rozlišovaciu schopnosť prístroja dostaneme v okolí hmotnosti 44
ρ = 9,09
Z výpočtu vidieť, že za prítomnosti oxidu uhličitého (CO2) sa s ťažkosťou sa bude rozlišovať argón, ktorého hmotnostné číslo je 40.
73
5.22. Určite parciálne tlaky vodných pár, dusíka a kyslíka vyhodnotením hmotnostného spektra zobrazeného na obr. 5.6 a analyzujte ich možný vznik.
Riešenie Parciálny tlak k-tej zložky pk v zmesi plynov určíme zo vzťahu
cKIp k
k
+
= [Pa]
kde I+k je meraný iónový prúd zložky k v jednotkách ampéroch, Kc je citlivosť hmotnostného spektro-
metra pre zodpovedajúcu zložku plynu v jednotkách A·Pa−1, určená výrobcom spektrometra a v našom prípade majú hodnoty
KcH2O = 2·10−6 A·Pa−1 KcN2 = 2·10−6 A·Pa−1 KcO2 = 1,4·10−6 A·Pa−1
Obr. 5.6 Zobrazenie hmotnostného spektra na účely jeho analýzy v príklade 5.22
Dosadením číselných hodnôt dostaneme
=⋅⋅
⋅= −−
−
16
11
OH PaA102A102,10
2p 5,1·10−5 Pa =
⋅⋅⋅
= −−
−
16
11
N PaA102A101,10
2p 5,05·10−5 Pa
=⋅⋅
⋅= −−
−
16
11
O PaA104,1A101,2
2p 1,5·10−5 Pa
Aby sme zistili, či prítomnosť pikov N2 a O2 príp. argónu, je zapríčinená existenciou netesnosti, ktorou prúdi vzduch, musíme spočítať percentuálny pomer parciálnych tlakov dusíka a kyslíka, čiže
pN2 + pO2 = 5,05·10−5 Pa + 1,5·10−5 Pa = 6,55·10−5 Pa
=⋅⋅
= −
−
100Pa1055,6Pa1005,5N% 5
5
2 77,1 % =⋅
⋅= −
−
100Pa1055,6
Pa105,1O% 5
5
2 22,9 %
74
Uvedený percentuálny pomer N2 ku O2 je vo veľmi dobrom súhlase s percentuálnym zložením du-síka a kyslíka vo vzduchu, a teda uvedené čiary potvrdzujú existenciu netesnosti.
Pomer medzi čiarami zodpovedajúcimi hodnotám parametra m/e rovným 18 a 17 je 3,77 a svedčí taktiež o tom, že tieto dva piky pochádzajú z rozkladu iónu H2O+, pre ktorý pomer uvedených pikov má mať hodnotu 3,85.
5.23. Do vákuovej aparatúry môžeme cez ihlový ventil napúšťať plyn s maximálnou veľkosťou toku q = 1,3 Pa·l ·s−1, pričom musíme v nej udržiavať tlak menší ako 10−3 Pa. Vypočítajte, aká musí byť minimálna efektívna čerpacia rýchlosť difúznej vývevy.
Riešenie Ak predpokladáme, že všetko napúšťané množstvo plynu musíme odčerpať pri udržiavanom tlaku
10−3 Pa Pa, potom z podmienky spojitosti toku platí
=⋅⋅
== −
−
Pa10slPa3,1
3
1
ef pqS 1 300 l ·s−1
5.24. V aparatúre na meranie čerpacej rýchlosti vývevy metódou konštantného tlaku, sa v kapiláre s priemerom 1 mm premiestnila kvapka ortuti za čas 30 s na vzdialenosť 6 cm. Podľa údajov vákuometra tlak v mernej nádobe bol 1,33·10−1 Pa. Určite čerpaciu rýchlosť vývevy.
Riešenie Čerpacia rýchlosť vývevy podľa definície je daná vzťahom
pqS =
pričom q je množstvo napusteného plynu a určíme ho z objemu, ktorý vymedzila svojím pohybom kvapka ortuti, t. j.
=π
=t
pld
qat
2
4 1,592·10−4 Pa·m3·s−1
Potom S = 1,194·10−3 m3·s−1
5.25. V aparatúre na dynamickú kalibráciu ionizačného vákuometra, zobrazenej na obr. 5.7 sa plocha prierezu mernej vajcovej nádoby rovná 500 cm2 a plocha otvoru clony 0,5 cm2. Vypočítajte tri hodnoty tlaku 1p1, 2p1 a 3p1 v hornej časti nádoby, ak pri ustálení tlakov na týchto hodnotách sa namerali hodnoty prietoku vzduchu ihlovým ventilom takéto
1q1 = 0,133 Pa·l·s−1 2q1 = 0,067 Pa·l·s−1 3q1 = 0,013 Pa·l·s−1
Obr. 5.7 Zjednodušená schéma aparatúry pre dyna-mickú kalibráciu vákuometrov. 1 – mierka kalibrovaného vákuometra, 2 – mierka pomocného indikačného vákuo-metra, 3 – clona v tvare tenkej prepážky, v ktorej je kru-hový otvor o známej vodivosti, 4 – ihlový ventil na napúš-ťanie plynu
75
Riešenie Najprv vypočítame vodivosť otvoru clony podľa vzťahu
C0 = 116A = 5,8 l ·s−1
V ustálenom stave platí pre tlaky v hornej nádobe vzťah
Cqp 1
1 =
Po dosadení zadaných hodnôt dostaneme pre jednotlivé hodnoty tlakov 1p1 = 2,3·10−2 Pa 2p1 = 1,15·10−2 Pa 3p1 = 2,3·10−3 Pa
5.26. Akú efektívnu čerpaciu rýchlosť musí mať vysokovákuové zariadenie použité na kalibráciu ionizačného vákuometra v predchádzajúcej úlohe 5.25, ak sa má dosiahnuť presnosť kalibrácie lepšia ako 1 %, t. j. ak má platiť, že p1 ≥ 100 p2, kde p2 je tlak na vstupe difúznej vývevy.
Riešenie Pri dosiahnutí ustálenej hodnoty tlakov p1 a p2 musia byť jednotlivé prietoky plynov cez ihlový
ventil q1 clonu q2 a vývevu q3 rovnaké, t. j.
q1 = q2 = q3
Pre tok q3 na vstupe difúznej vývevy platí
q3 = Sef p2
z čoho môžeme vypočítať požadovanú minimálnu efektívnu čerpaciu rýchlosť
1
1
2
1ef
100p
qpqS =≥
Potom napr. pre 1q1 = 0,133 Pa·l·s−1 a vypočítaný tlak 1p1 = 2,3·10−2 Pa dostaneme
=⋅
⋅⋅×≥ −
−
Pa103,2slPa133,0100
2
1
efS 5,8·102 l ·s−1
Rovnaké hodnoty by sme dostali aj pre 2q1 a 3q1. Získané výsledky sa môžu vhodne využiť pri návrhu aparatúry na kalibráciu vákuometrov. Veľkosť
otvoru clony v mernej nádobe treba voliť takú, aby jeho vodivosť bola minimálne stokrát menšia ako efektívne čerpacia rýchlosť použitého vysokovákuového čerpacieho systému. Prehľad vhodných prie-merov otvorov clony a priemerov merných valcových nádob pre rôzne efektívne čerpacie rýchlosti je uvedený v nasledujúcej tabuľke 5.3.
Tabuľka 5.3 Prehľad vhodných priemerov otvorov clony a mernej nádoby pri dynamickej kalibrácii vákuometrov
Sef [l ·s−1] 10 50 100 250 500 1 000 Priemer nádoby [mm] 100 100 100 100 250 250 Priemer otvoru [mm] 1 2,3 3,3 5,2 7,4 10,5 Vodivosť otvoru [l ·s−1] < 0,1 < 0,5 < 1 < 2,5 5 10
5.27. Vákuová aparatúra má objem 30 litrov. V nej stúpne tlak za 8 hodín z hodnoty 20 Pa na 26 Pa. Akú veľkú netesnosť obsahuje?
Riešenie Využitím definície pre veľkosť netesnosti dostaneme
=Δ
Δ=
tpVqn 6,25·10−3 Pa·l·s−1
76
To značí, že keď vo vákuovej aparatúre budeme udržovať konštantné tlaky napr. 10−3 Pa, 10−2 Pa, 10 Pa, tak natečie množstvo vzduchu 6,25 l·s−1; 0,625 l·s−1; 0,625 cm3·s−1.
5.28. V pracovnom objeme vákuového zariadenia je nutné udržiavať stály tlak 10−2 Pa. Čerpacia rýchlosť vývevy v intervale tlakov 10−1 až 10−3 Pa sa rovná 0,5 l·s−1. Vodivosť vákuového potrubia je 56 cm3·s−1. Určite hodnotu maximálne prípustnej netesnosti.
Riešenie Aby sa v systéme udržal tlak 10−2 Pa je potrebné, aby účinná čerpacia rýchlosť systému Sú pri tomto
tlaku zodpovedala nerovnosti
Sú p ≥ qn
kde qn je veľkosť netesnosti, resp. množstvo preprúdeného vzduchu (plynu) za sekundu cez netesnosť, čiže
=+
≤ pCS
CSq
pvýv
pvývn 5,04·10−4 Pa·l·s−1
5.29. Vyšetrovaný objem vákuovej aparatúry na tesnosť je naplnený zmesou freónu so vzduchom v pomere 1:1 (t. j. 50 % freónu so vzduchom). Akú najmenšiu netesnosť môžeme určiť halogénovým hľadačom netesnosti s citlivosťou detektora na prietok freónu vo vzduchu 3,2·10−7 N·m·s−1, ak celkový tlak zmesi je 3·105 Pa.
Riešenie Pri pretlakovej metóde hľadania netesnosti je najnižšia detegovaná netesnosť daná vzťahom
c
pp
qq 1
1vzd
zm2
a
minn ηη
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= [N·m·s−1]
kde η zm, ηvzd sú koeficienty viskozity zmesi a vzduchu. Ak η zm = η freon, potom η freon/ηvzd = 0,69. Konštanta c udáva pomer freónu ku vzduchu. V našom prípade c = 0,5. pa, p sú atmosférický tlak a tlak pretlakovej zmesi. Po dosadení číselných hodnôt dostaneme
=−⋅
=−
5,069,0
)19(102,3 7
minnq 5,52·10−8 N·m·s−1
Ak by sme za koeficient viskozity vzduchu a freónu dosadili rovnaké hodnoty, t. j. ich pomer by sa rovnal jednotke, dostali by sme potom vyššiu hodnotu minimálne zistiteľnej netesnosti o 30 %.
77
LITERATÚRA
[1] PÁTÝ, L.: Fyzika nízkych tlaků. Praha : Academia, 1968. [2] GROSZKOWSKI, J: Technika vysokého vákua. Praha : SNTL, 1981. [3] LUKÁČ, P., MARTIŠOVITŠ, V.: Netesnosti vákuových systémov. Bratislava : Alfa, 1981. [4] ZOBAČ, L.: Základy vákuové techniky. Praha : SNTL, 1954. [5] ZÁVIŠKA, F.: Kinetická teórie plynů. Praha : Vědecké vydavatelství, 1951. [6] BUŘIL, J.: Kurs základů vákuové techniky; Na pomoc technickým pracovníkum. In: Príloha časopisu
Jemná mechanika a optika 1966 – 1968. [7] KOROLEV, B. I.; Osnovy vakuumnoj techniki. Moskva : Energija, 1964. [8] KOROLEV, B. I. a kol.: Osnovy vakuumnoj techniki. Moskva : Energija, 1975. [9] GROSZKOWSKI, J.: Technologia wysokiej prózni. Warszawa : Panst. wydaw. techn., 1955,
Ruský preklad: Technologija vysokogo vakuuma, Moskva : IL, 1957. [10] DUSHMAN, S.: Scientific Foundations of Vacuum Technique. New York : J. Wiley, 1962,
Ruský preklad: Naučnije osnovy vakuumnoj techniki. Moskva : Mir, 1964. [11] CHAMPEIX, R.: Physique et technique des tubes electroniques. Tom I. Paris : Dunod, 1958,
Ruský preklad: Fizika i technika elektrovakuumnych priborov. Moskva : Gosenergoizdat, 1963. [12] WUTZ, M.: Theorie und Praxis der Vakuumtechnik. Braunschweig :Vieweg, 1965. [13] PIPKO, A. I. a kol.: Konstruirovanie i rasčot vakuumnych sistem. Moskva : Energija, 1965. [14] Vakuumnaja technika, Spravočnik. red. E. S. Frolova, V. E. Minajčeva. Moskva : Mašinostrojenije, 1985. [15] KUČERENKO, E. T.: Polučenije i izmerenije vakuuma. Kijev : Višča škola, 1973.
![KÓD TESTU 19 1447 - NUCEM 1447_2019.pdfsúradnice [4;7]. Vypočítajte súčet súradníc stredu jeho opísanej kružnice. 02 Ján a Alica majú dnes narodeniny. Ján má o 5 rokov](https://static.fdocument.pub/doc/165x107/5e3a23d772303b529d2b3fe4/kd-testu-19-1447-nucem-14472019pdf-sradnice-47-vypotajte-set.jpg)
