MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah...
Transcript of MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah...
![Page 1: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA II
Katedra aplikovanej matematiky a informatiky
SjF TU Košice
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 2: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/2.jpg)
Prednáška
Aplikácie určitéhointegrálu
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 3: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/3.jpg)
Obsah prednášky
Geometrické aplikácie určitého integrálu.Fyzikálne aplikácie určitého integrálu.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 4: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/4.jpg)
Geometrické aplikácie určitého integrálu
Geometrické aplikácie určitého integrálu:
Obsah časti roviny.Objem rotačného telesa.Dĺžka rovinnej krivky.Obsah rotačnej plochy.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 5: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/5.jpg)
Elementárna oblasť
Nech sú funkcie f a g spojité na 〈a, b〉 a nech na (a, b) jeg(x) < f (x). Množinu bodov [x , y ] roviny, pre ktoré platí
a ≤ x ≤ b,
g(x) ≤ y ≤ f (x)
nazývame elementárnou oblasťou určenou funkciami f , ga intervalom 〈a, b〉.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 6: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/6.jpg)
Obsah časti roviny
VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉. Potom pre plošný obsah PM tejto oblasti platí
PM =
b∫a
[f (x)− g(x)] dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 7: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/7.jpg)
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 8: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/8.jpg)
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 9: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/9.jpg)
Obsah časti roviny
Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkamiPríklad 1.
xy = 4, x + y = 5
Príklad 2.
y = x2 − x − 6, y = −x2 + 5x + 14
Príklad 3.y = x , y = 3x , x + y = 4
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 10: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/10.jpg)
Objem rotačného telesa
VetaNech M je elementárna oblasť určená funkciami f , g a intervalom〈a, b〉 a nech je g(x) ≥ 0 na 〈a, b〉. Potom pre objem VM telesa,ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okolo osi ox platí
VxM = π
b∫a
[f 2(x)− g2(x)
]dx ,
a pre objem VM telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto oblasti okoloosi oy , ak a ≥ 0, platí
VyM = 2π
b∫a
x [f (x)− g(x)] dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 11: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/11.jpg)
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 12: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/12.jpg)
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 13: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/13.jpg)
Objem rotačného telesa
Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblastiohraničenej danými krivkamiPríklad 1.
y = e−x , x = 0, x = a, , y = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 2.
y = −x2 + 3x , y = 1 + x , x = 0
okolo osi ox a oy .
Príklad 3.y = x3, y =
√x
okolo osi ox a oy .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 14: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/14.jpg)
Dĺžka rovinnej krivky
VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre dĺžku lK krivky K platí
lK =
b∫a
√1 + [f ′(x)]2 dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 15: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/15.jpg)
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 16: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/16.jpg)
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 17: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/17.jpg)
Dĺžka rovinnej krivky
Vypočítajme dĺžku krivkyPríklad 1.
y = (x − 1) ·√x − 1, 1 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y =
√9− x2, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 3.y = ln (1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 18: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/18.jpg)
Plošný obsah rotačnej plochy
VetaNech je krivka K grafom funkcie y = f (x) pre x ∈ 〈a, b〉. Nechf ′(x) je spojitá na 〈a, b〉. Potom pre obsah PK rotačnej plochy,ktorá vznikne rotáciou krivky K okolo osi ox platí
PK = 2π
b∫a
|f (x)|√
1 + [f ′(x)]2 dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 19: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/19.jpg)
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 20: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/20.jpg)
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 21: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/21.jpg)
Plošný obsah rotačnej plochy
Vypočítajme obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou danej krivkyokolo osi Ox :
Príklad 1.
y =x3
3, 0 ≤ x ≤ 2
Príklad 2.y = 3− x , 0 ≤ x ≤ 5
Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotácioukrivky y2 = 9 + x medzi jej priesečníkmi s priamkou y = x + 9.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 22: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/22.jpg)
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu:
Ťažisko hmotnej oblasti.Hmotnosť hmotnej oblasti.Statický moment hmotnej oblasti.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 23: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/23.jpg)
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Ťažisko hmotnej oblastiMajme hmotnú rovinnú oblasť M, ktorej tvar je určenýelementárnou oblasťou a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f (x), pričom funkcief a g sú spojité na intervale 〈a, b〉. Nech plošná hustota oblasti Mje h = h(x).Statický moment hmotnej oblasti M vzhľadom k osi ox , resp.osi oy je
Sox =12
b∫a
h(x)[f 2(x)− g2(x)
]dx ,
resp.
Soy =
b∫a
h(x)x [f (x)− g(x)] dx .
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 24: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/24.jpg)
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí
m =
b∫a
h(x) [f (x)− g (x)] dx
a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti
xT =Soym, yT =
Soxm.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 25: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/25.jpg)
Fyzikálne aplikácie určitého integrálu
Pre hmotnosť m hmotnej oblasti M platí
m =
b∫a
h(x) [f (x)− g (x)] dx
a pre ťažisko T = [xT , yT ] tejto oblasti
xT =Soym, yT =
Soxm.
KAMaI Aplikácie určitého integrálu
![Page 26: MATEMATIKA II · 2020. 3. 9. · ; 0 x 2 Príklad 2. y = 3 x; 0 x 5 Príklad 3. Vypočítajte obsah plochy, ktorá vznikne rotáciou krivky y2 = 9+x medzi jej priesečníkmi s priamkou](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022053107/6074d6aabb5fcc4fb4755466/html5/thumbnails/26.jpg)
Ďakujem za pozornosť
KAMaI Aplikácie určitého integrálu