[]-Chuyen de Khao Sat Ham So

WWW.ToanCapBa.Net

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

Chương I

ĐẠO HÀM – VI PHÂN

I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM

NhómĐạo hàm của các hàm số hợp

(u = u(x))Đạo hàm của các hàm số sơ cấp

cơ bản

Đathức

Lượng giác

(sinu)’ = u’.cosu(cosu)’ = - u’.sinu

(tgu)’ =

(cotgu)’ = -

(sinx)’ = cosx(cosx)’ = - sinx

(tgx)’ =

(cotgx)’ = -

Mũ (eu)’ = u’.eu

(au)’ = u’.au.lna(ex)’ = ex

(ax)’ = ax.lna

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

WWW.ToanCapBa.Net

1

WWW.ToanCapBa.Net

Lôgarit

(ln|u|)’ = (ln|x|)’ =

II. VI PHÂN:1. Định nghĩa: df(x) = f ’(x).dx2. Qui tắc:

d(u v) = du dv d(uv) = udv + vdu

Chương II

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong (a ; b)

thì tồn tại điểm c (a ; b) sao cho: f ’(c) =

II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1. Hàm số không đổi: f ’(x) = 0 f(x) = c

2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) f ’(x) 0 x (a ; b)

b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) f ’(x) 0 x (a ; b)


WWW.ToanCapBa.Net

2

WWW.ToanCapBa.Net

3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b)

a) Nếu f ’(x) > 0 x (a ; b) f(x) tăng trong (a ; b)

b) Nếu f ’(x) < 0 x (a ; b) f(x) giảm trong (a ; b)

Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm

thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng.

III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x)

Qui tắc 1:

1) Tính đạo hàm y’ = f’(x)

2) Tìm các điểm tới hạn xi : Là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc

tại các điểm đó f ’(x) không xác định

3) Lập bảng xét dấu của f’(x)

4) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu:

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó

b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó

c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó

Qui tắc 2:

1) Tính f ’(x), f ’’(x)

2) Tìm các điểm xi tại đó f ’(x) = 0 (nghiệm của phương trình này)

3) Tính f ’’(xi):

a) Nếu f ’’(xi) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó

b) Nếu f ’’(xi) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó


WWW.ToanCapBa.Net

3

WWW.ToanCapBa.Net

CHÚ Ý:

Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1 và x2 , f’(x) luôn giữ nguyên một dấu

Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số:

- Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) là số vô tỉ thì:

1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ thì

2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

Ta chia f(x) cho f ’(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có:

f(x) = f’(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x0) = (mx0 + n) (vì f’(x0) = 0)

VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau:

1) 2) f(x) =

IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý:

+ Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x0 thì f(x0) = Min y

+ Nếu chỉ có một điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y

+ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn

của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp.

2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b]

- Giải phương trình f ’(x) = 0, tìm các nghiệm x1, x2, …, xn


WWW.ToanCapBa.Net

4

WWW.ToanCapBa.Net

(Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b])

- Tính f(a),f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)

- So sánh f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)

Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b],

KH: M =

Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b],

KH: m =

CHÚ Ý: Nếu giải phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm f(x) đơn điệu

trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và

số nhỏ là Min y.

Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau:

Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số

(xem chuyên đề bất đẳng thức)

Giải phương trình f(x) = y với x [a ; b] và tìm điều

kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b]

V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG

1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên

khoảng (a ; b) khi đó:

a) Nếu f ’’(x) < 0 với mọi x (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên

khoảng đó

b) Nếu f ’’(x) > 0 với mọi x (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên

khoảng đó CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

WWW.ToanCapBa.Net

5

WWW.ToanCapBa.Net

2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ;

b) khi đó:

a) Nếu f ’’(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì M0(x0 ; f(x0)) là một điểm

uốn của đồ thị

b) Nếu f ’’(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì điểm M0(x0 ; f(x0))

không phải là điểm uốn của đồ thị.

VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)

1. Tiệm cận đứng

Nếu thì đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của (C)

2. Tiệm cận ngang

Nếu yo thì đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của (C)

3. Tiệm cận xiên Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của

(C) [f(x) – (ax +b)] = 0

Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công

thức: a = , b = [f(x) – ax ]

4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x):

- Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó

- Tính giới hạn của hàm số tại các mút

+ Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang.


WWW.ToanCapBa.Net

6

WWW.ToanCapBa.Net

+ Nếu thì ta tính a = :

• Nếu a ≠ 0, thì ta tính b = [f(x) – ax ].

Nếu b ≠ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b.

VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Các bước khảo sát 1 hàm số:

B1: Tìm TXĐ

B2: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra

các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu)

B3: Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ)

Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ

B4: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức)

B5: Lập bảng biến thiên

B6: Đồ thị:

+ Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được)

+ Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…)

+ Vẽ đồ thị

+ Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị.

2. Khảo sát một số hàm số thường gặp

a) Hàm đa thức

y = ax2 + bx + c (a 0)

y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

y = ax4 + bx2 + c (a 0) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

WWW.ToanCapBa.Net

7

WWW.ToanCapBa.Net

b) Hàm phân thức hữu tỉ

y = (c 0, D = ad – bc 0)

B. CÁC DẠNG TOÁN

CHỦ ĐIỂM 1

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

1) 2) 3)

4) y = 5) y = 6) y =

VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

1) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (ĐH KA – 2006)

2) y = -x3 + 3x2 - 4 (ĐH KB – 2007)

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương sau:

1) y = x4 - 8x2 + 10 (ĐH KB – 2002)

2) (ĐH DB KA – 2006)

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau:


WWW.ToanCapBa.Net

8

WWW.ToanCapBa.Net

1) (ĐH KD – 2002)

2) (ĐH KB – 2007)

VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

PHƯƠNG PHÁP:

Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì:

Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta

bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định.

Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này.

Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|)

Hàm số dạng: y = |f(x)|

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox

- Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox.

Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C’) của y = |f(x)|

Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy)

- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C)

- Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x 0) ta có (C0)

- Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1)


WWW.ToanCapBa.Net

9

WWW.ToanCapBa.Net

Hợp hai phần (C0) và (C1) trên lại ta có đồ thị (C’) của y = f(|x|)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:

y = f(x) =

2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:

a) y = b) y =

c) y = d) y =

3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng)

CHỦ ĐIỂM 2

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý

WWW.ToanCapBa.Net

10

WWW.ToanCapBa.Net

A. Phương pháp:

Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả

mãn một số điều kiện cho sẵn:

1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0,y0) thuộc (C) có phương trình là:

y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): là hệ số góc)

Các dạng khác nhau của đề bài:

Cho x0: Tính y0 = f(x0) và f’(x0)

Cho y0: Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0)

Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0)

2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x1,y1) bất kỳ

( M(x1,y1) có thể thuộc hay không thuộc (C) )

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x1,y1) và có hệ

số góc k: y – y1 = k(x – x1) y = k(x – x1) + y1 (1)

(d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 x0 và k là nghiệm

của hệ pt: (I) k rồi thay vào (1).

Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là:

y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1)

Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1):

y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2)


WWW.ToanCapBa.Net

11

WWW.ToanCapBa.Net

Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x1; y1) kẻ được n tiếp tuyến

Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) có n nghiệm

f(x) = f ’(x)(x – x1) + y1 có n nghiệm

4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = (H)

Cho M (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):

Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:

+ M là trung điểm của AB

+ Tam giác AIB có diện tích không đổi

Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số

IA.IB = const

B. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho (C): y = x4 – 2x2 – 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các

giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS:

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 1 (C), và điểm A(0, -1).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A

b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A.

Bài 3: Cho hàm số y = (H).


WWW.ToanCapBa.Net

12

WWW.ToanCapBa.Net

Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với

đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4

biết tiếp tuyến qua P(1;0).

Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2.

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(

b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị

2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Bài 6: Cho (Cm): y =

Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì

song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ.

Bài 7: Cho hàm số y = 2x + (H)

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

2) Chứng minh rằng:

a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm

của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.

b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.

c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.


WWW.ToanCapBa.Net

13

WWW.ToanCapBa.Net

Bài 8: Cho hàm số y = (H)

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:1) M là trung điểm của PQ2) Tam giác AIB có diện tích không đổi3) IQ.IP không đổi.

VẤN ĐỀ 2

TÍNH DƠN ĐIỆU CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI ĐIỂM CỰC TIỂU

Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; 2). ĐS :

Bài 2: Tìm m để hàm số trên khoảng

Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2

Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS :

Bài 4: Cho hàm số

Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn m. (ĐS : m < -2)

Bài 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại các điểm có

hoành độ x > m.


WWW.ToanCapBa.Net

14

WWW.ToanCapBa.Net


Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1)Bài 7: Định m để hàm số có ba điểm cực trị.

ĐS :

Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến

trên ?

Bài 9: Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. (ĐS: m = 1)

Bài 10: Định m để hàm số có các điểm cực trị nằm về hai phía

của trục tung (ĐS: m > 0).

Bài 11: Định m để hàm số có độ dài khoảng nghịch

biến bằng . ĐS: .

Bài 12: Định m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị

cực tiểu trái dấu.

Bài 13: Cho hàm số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2

Bài 14: Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m.

Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn:


WWW.ToanCapBa.Net

15

WWW.ToanCapBa.Net

Bài 15: Tìm m để hàm số có hai cực trị thuộc

khoảng (-2, 3).

DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó

HD: a) . b) y = 2(3-m2)x + 6m – 5,

Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó

HD: a) m b) y = -8x + m - 3


a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT.


WWW.ToanCapBa.Net

16

WWW.ToanCapBa.Net

b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0 (ĐS: )

c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

(ĐS : y=2x+m+1)

Bài 4: Cho hàm số . Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu

thỏa mãn: |yCĐ – yCT| > 8 (ĐS: )


a) Tìm m để hàm số có cực trị

b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

c) Tìm m để ymax + ymin = 2

ĐS:

VẤN ĐỀ 3

TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC)

Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số

có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C( ,0))

Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3(m - 1)x2 + 3x – 5

a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số


WWW.ToanCapBa.Net

17

WWW.ToanCapBa.Net

b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5

ĐS: a) m 3, b) -1 < m < 4

Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0): Thì hệ số góc

của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ

nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác.

Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn.

ĐS: a =

Bài 5: Cho hàm số (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị

hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1.

VẤN ĐỀ 4

TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng

A. Phương pháp:

+ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng f(x) = f(-x)

(Hàm số chẵn đối với x)

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng


WWW.ToanCapBa.Net

18

WWW.ToanCapBa.Net

+ Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng f(x) = - f(x)

(Hàm số chẵn đối với y)


Bài 1: Cho (C): y = 2x3 + 3mx2 - 3m + 1

Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.

ĐS: m < 0 hoặc m>1/3

Bài 2: Cho (C):

Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O.

ĐS:

Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm)Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1)

(ĐH A.N HN K.D)Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x3 – 3x2 - (m-2)x + m + 1

đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4.

DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM

Cho (C): y = f(x)

2) Chứng tỏ (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng (1)

1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2)

A. Phương pháp:

- Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)


WWW.ToanCapBa.Net

19

WWW.ToanCapBa.Net

+ Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng (1)

+ Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x0, y0. (2)


Bài 1: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm

của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1))

Bài 2: Chứng tỏ (H): có tâm đối xứng là giao điểm

của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(-2, 2))

Bài 3: Cho (Cm):

Tìm m để (Cm) nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng. (ĐS: m = 1)

DẠNG 3: ĐỐI XỨNG TRỤC

Cho (C): y = f(x).

1) Chứng tỏ (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng (1’)

2) Chứng tỏ (C) có một trục đối xứng có phương Oy (2’)

A. Phương pháp: - Bài toán này chưa cho x0, y0 chưa được cho trước

+ Ta đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X)

+ Nếu Y = g(X) là hàm chẵn thì (C) nhận (d): x = x0 làm trục đối xứng (1’) + Buộc Y = g(X) là hàm chẵn ta tính được x0 (2’)


Bài 1: Chứng tỏ (C): y = x4 – 4x3 + 4x2 nhận đường thẳng x = 1 làm

trục đối xứng.


WWW.ToanCapBa.Net

20

WWW.ToanCapBa.Net

Bài 2: Cho (Cm):

1) Với m = 4, Chứng tỏ (C4) có trục đối xứng (ĐS: x = -1)

2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có trục đối xứng // Oy

ĐS : m = 4, x = -1

Bài 3: Cho hàm số y = x4 + 4ax3 – 2x2 – 12ax (Ca)

Tìm a để (Ca) có trục đối xứng song song với Oy.

ĐS : a = 0, x = 0 ; a = , x =

VẤN ĐỀ 5

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

(XEM CHUYÊN ĐỀ: BĐT – GTLN GTNN)

VẤN ĐỀ 6

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

A. Phương pháp:

Cho hai đường:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là: f(x) = g(x) (1) Nhận xét:


WWW.ToanCapBa.Net

21

WWW.ToanCapBa.Net

- Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của (C) và (C’). - Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C) và (C’). Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hay y0 = g(x0).

Biện luận:

(1) có n nghiệm đơn (C) và (C’) cắt nhau tại n điểm.

(1) có nghiệm bội k 2 (C) và (C’) tiếp xúc nhau

(1) vô nghiệm (C) và (C’) không có điểm chung.

CHÚ Ý:

Điều kiện tiếp xúc:

(C) tiếp xúc (C’) Hệ có nghiệm

Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục tung (Oy):

Cho x = 0 y

Tìm tọa độ giao điểm của y = f(x) và trục hoành (Ox):

Cho y = 0 x

Với (Cm): y = f(x, m), ta có thể biện luận được số điểm

chung của (Cm) với trục hoành nhờ vào dạng của (Cm) và

vị trí của (Cm) đối với hệ trục.

Đặc biệt chú ý đồ thị của hàm số bậc ba giao với Ox:


WWW.ToanCapBa.Net

22

x

y

0y

0x O

WWW.ToanCapBa.Net

Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm)

(C) cắt trục hoành tại 1 điểm

Dạng đồ thị của hàm trùng phương giao với Ox:

Bài giảng

Chú ý về bài toán “tìm tham số m để phương trình có n nghiệm”

Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng lý luận sau đây:

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).

Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm f(x) với đường

thẳng (d): y = g(m).


WWW.ToanCapBa.Net

23

WWW.ToanCapBa.Net


Bài 1: Xét sự tương giao của hai đường:

(C): y = x3 + 9x và (C’): y = 6x2 + 4

Bài 2: Cho (C): y = và đường thẳng (d): y = -2x + m + 1

Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Bài 3: Biện luận theo m sự tương giao của:

(C): y = x3 - 6x2 + 9x - 6 và (C’): y = mx – 2m – 4

Bài 4: Tìm m để (Cm) tiếp xúc với hoành, biết:

a) (Cm): y = x3 - mx + m – 1

b) (Cm): y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – 8

c) (Cm): y = 2x3 + 3mx2 - 2m + 1

Bài 5: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + 6

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau

Bài 6: Cho (Cm):

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương

Bài 7: Cho (Cm): y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m +1

Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1

cấp số cộng.

Bài 8: Cho (C): và (P): y = x2 + a


WWW.ToanCapBa.Net

24

WWW.ToanCapBa.Net

Tìm a để (C) tiếp xúc với (P)

Bài 9: Cho các đường (C):

(Δ1): y = - x + m và (Δ2): y = x + 3

Tìm m để (Δ1) cắt (C) tại hai điểm A và B đối xứng nhau qua (Δ2)

Bài 10: Chứng minh rằng, nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c

cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành.

Bài 11: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x – 6 (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt x1, x2, x3 sao cho 2x2 = x1 + x3. Tìm 3 nghiệm đó

Bài 12: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0

ĐS: -1< m < 1

Bài 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m

Bài 14: Cho phương trình:

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + 3 = m

Bài 16: Cho phương trình:

a) Giải phương trình với m = -

b) Tìm m để PT có nghiệm

Bài 17: Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 3

(Đại học Khối A – 2007)

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:


WWW.ToanCapBa.Net

25

WWW.ToanCapBa.Net

Bài 19: Tìm m để PT sau có nghiệm:

m( (ĐH K B – 2004)

Bài 20: CMR với m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

x2 + 2x - 8 = (ĐH K B – 2007)

Bài 21: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

(ĐH K B – 2006)

Bài 22: Tìm m để phương trình có nghiệm.

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH CT TỪ NĂM 2002 – 2009

(Với m là tham số)Bài 1: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 12) Tìm k để phương trình: – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt3) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C)

(ĐH KA – 2002)

Bài 2: Cho hàm số: y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 101) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 12) Tìm m để hàm số trên có 3 điểm cực trị. (ĐH KB – 2002)

Bài 3: Cho hàm số: (Cm) (ĐH KD – 2002)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1


WWW.ToanCapBa.Net

26

WWW.ToanCapBa.Net

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C-1) và hai trục tọa độ3) Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x

Bài 4: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + m (Cm) (ĐH KB – 2003)

1)Tìm m để đồ thị (C) có 2 điểm phân biết đối xứng nhau qua gốc tọa độ2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

Bài 5: Cho hàm số: (Cm) (ĐH KA – 2003)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -12) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 6: Cho hàm số: (C) (ĐH KD – 2003)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên2) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

Bài 7: Cho hàm số: y = - 2x2 + 3x (C) (ĐH KB – 2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng

Δ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.Bài 8: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (Cm) (ĐH KD – 2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 22) Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1

Bài 9: Cho hàm số: (C) (ĐH KA – 2004)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1

Bài 10: Cho hàm số: y = – x2 + (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2


WWW.ToanCapBa.Net

27

WWW.ToanCapBa.Net

2) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng: 5x – y = 0

(ĐH KD – 2005)

Bài 11: Cho hàm số: (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 12) CMR với mọi m, (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khoảng

cách giữa 2 điểm đó bằng . (ĐH KB – 2005)


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =

2) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm)

đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng . (ĐH K A – 2005)

Bài 13: Cho hàm số: (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). (ĐH KB – 2006)

Bài 14: Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. (ĐH KD – 2006)

Bài 15: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt (tương giao):

y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = m


WWW.ToanCapBa.Net

28

WWW.ToanCapBa.Net

Bài 16: Cho hàm số: (C) (ĐH KD – 2007)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục

Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

Bài 17: Cho hàm số: y = - x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 - 1 (Cm)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 12) Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của (Cm)

cách đều gốc tọa độ O. (ĐH KB – 2007)


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -12) Tìm m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị

của (Cm) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(ĐH KA – 2007)

Bài 19: Cho hàm số: (1) (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số (1) ứng với m = 1.

2) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450. (ĐH KA-2008)

Bài 20: Cho hàm số y = 4x3-6x2 +1 (1).1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M (-1;-9). (ĐH KB-2008)

Bài 21: Cho (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I(1;2) với hệ số góc k ( k >3)


WWW.ToanCapBa.Net

29

WWW.ToanCapBa.Net

đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB. (ĐH KD-2008)

Bài 22: Cho hàm số y = (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung laµn lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (ĐH KA-2009)

Bài 23: Cho hàm số (1)

1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số (1).

2) Với các giá trị nào của m, phương trình có đúng 6 nghiệm

thực phân biệt ? (ĐH KB-2009)

Bài 24: Cho hàm số có đồ thị là (Cm), m là tham số.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi m = 0.

2) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều

có hoành độ nhỏ hơn 2. (ĐH KD-2009)

GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH & CĐ KHÁC

Bài 25: Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m – 1 (Cm)1) Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp

tuyến đến (C1).2) Tìm những điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua. (ĐH QG TP HCM KD)

Bài 26: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 - 1)x – m3 (Cm)


WWW.ToanCapBa.Net

30

WWW.ToanCapBa.Net

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm (ĐH QG TP HCM KA)

Bài 27: Cho hàm số: (C) (ĐH QG TP HCM KD)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Từ (C) suy ra đồ thị (C1) của hàm số:

3) Dùng (C1) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2].

Bài 28: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm) (CĐ H.Q)

Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Bài 29: Cho hàm số: (C) (TT BD YT TP HCM)

Dùng (C) để biện luận theo m, số nghiệm t của phương trình:

cos2t – (1 + m)cost + 4 + m = 0Bài 30: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m (Cm) (CĐ SP TPHCM)

1) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 22) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua A(0, 6)

Bài 31: Cho hàm số: y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx - 8 (Cm)Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. (ĐH AN NINH P.H.TPHCM)

Bài 32: Vẽ đồ thị hàm số: (C) (ĐH CKN K.A+B)

Bài 33: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x4 – 6x2 + 5 (C) (ĐH ĐN KA)

2) Cho điểm M trên (C) có hoành độ xm = a. Tìm những giá trị của a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm khác M.

Bài 34: 1) Vẽ đồ thị hàm số: (ĐH KT QD HN)


WWW.ToanCapBa.Net

31

WWW.ToanCapBa.Net

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: = m

Bài 35: Cho hàm số: y = x + 1 + (C) (ĐH TS NHA TRANG)

Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyênBài 36: Cho hàm số: y = x3 – 3x (HV NH TP.HCM)

Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).

Bài 37: Cho hàm số: (ĐH QG HN)

Tìm các giá trị m để hàm số có cực trị. Tìm m để ycđ.yct đạt GTNN.

Bài 38: Cho hàm số: y = (C) (ĐH HÀNG HẢI)

Tìm 2 điểm A, B trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x - 1

Bài 39: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm)Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung.

(ĐH A.N HN K.D)


Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của đường thẳng: 9x – 7y – 1 = 0. (ĐH A.N HN K.A)

Bài 41: Cho hàm số: (Cm) (ĐH KT HN)

1) Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu2) Với m tìm được ở câu 1, hãy viết phương trình đường thẳng nối điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (Cm).


WWW.ToanCapBa.Net

32

WWW.ToanCapBa.Net

Bài 42: Cho hàm số: (C) (ĐH NN HN)

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của nó với Ox.

Bài 43: Cho hàm số: (C) (ĐH NGOẠI THƯƠNG TP.HCM)

1) Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục tọa độ2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(-6, 5)3) Tìm hai điểm trên đò

Bài 44: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 = m4 – 2m2

(ĐH MỎ - ĐỊA CHẤT)

Bài 45: Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x - 1 (Cm)1) Viết các phương trình tiếp tuyến của (C2) biết chúng đi qua A(0, -1)2) Tìm m để (Cm) có 2 cực trị và đường thẳng nối 2 điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = x. (CĐ KT ĐN)

Bài 46: Cho hàm số: y = f(x) = x3 + mx + 2 (Cm) (ĐH BK HA NỘI)

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Bài 47: Cho (Hm):

1) Tìm trên đồ thị (H1) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất2) Tìm trên (H1) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khách nhau mà có AB ngắn nhất. (Bổ sung)

Bài 48: Cho (C):

1) Tìm trên (H1) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khách nhau mà có AB ngắn nhất. 2) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:


WWW.ToanCapBa.Net

33

WWW.ToanCapBa.Net

a) M là trung điểm của PQb) Tam giác AIB có diện tích không đổic) IQ.IP không đổi.d) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.


WWW.ToanCapBa.Net

34

[]-Chuyen de Khao Sat Ham So

Documents

Transcript of []-Chuyen de Khao Sat Ham So