Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè vµ øng dông cña gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt trong viÖc gi¶i

ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nhPhÇn I: Lý thuyÕt

1. §Þnh nghÜa : Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn D. Khi ®ã

+) M ®îc gäi lµ GTLN cña hµm sè trªn D. KH: tho¶ m·n

f(x) Tån t¹i sao cho M = f(x0)

+) m ®îc gäi lµ GTNN cña hµm sè trªn D. KH: tho¶ m·n

f(x) Tån t¹i sao cho M = f(x0)2. TÝnh chÊt :

a) TÝnh chÊt 1: Gi¶ sö f(x) x¸c ®Þnh trªn D vµ A, B lµ hai tËp con cña D (

). Gi¶ sö tån t¹i ,

, , . Khi ®ã, ta cã vµ

CM: Gi¶ sñ = f(x0) víi x0 . Do x0

Theo ®Þnh nghÜa ta cã, hay

b) TÝnh chÊt 2: Hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn D vµ tån t¹i vµ

Khi ®ã, ta cã: vµ

c) TÝnh chÊt 3: Gi¶ sö f(x) vµ g(x) lµ hai hµm sè x¸c ®Þnh trªn D vµ f(x) g(x) víi mäi x thuéc D

Khi ®ã,

d) TÝnh chÊt 4: Gi¶ sö f(x) x¸c ®Þnh trªn D vµ . Gi¶ thiÕt tån t¹i

vµ víi . Khi ®ã, và

e) TÝnh chÊt 5: Cho c¸c hµm sè f1(x), f2(x), … , fn(x) cïng x¸c ®Þnh trªn D. §Æt f(x) = f1(x) + f2(x) + …+ fn(x). Gi¶ thiÕt tån t¹i,

víi . Khi ®ã, ta cã

DÊu “ = ” x¶y khi vµ chØ khi tån t¹i x0 thuéc D sao cho

víi

DÊu “ = ” x¶y khi vµ chØ khi tån t¹i x0 thuéc D sao cho

víi f) TÝnh chÊt 6: Cho c¸c hµm sè f1(x), f2(x), … , fn(x) cïng x¸c ®Þnh trªn D vµ fi(x) > 0.

§Æt f(x) = f1(x). f2(x) …fn(x). Gi¶ thiÕt tån t¹i,

víi . Khi ®ã, ta cã

PhÇn II: Bµi tËpChuyªn ®Ò 1: Ph¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc

I/ Lý thuyÕt:BÊt ®¼ng thøc cosi: Cho lµ c¸c sè kh«ng ©m. Khi ®ã,

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = … = an.BÊt ®¼ng thøc bunhiacopski: Cho vµ lµ 2n sè bÊt k×. Khi ®ã,

(1)

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi .

II/ Bµi tËp:BÊt ®¼ng thøc cosiBµi 1: (1 – 24) Cho hµm sè . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè.Hµm sè cã TX§: Víi mäi , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi ta cã,

(1)

(2)

(3)

Céng vÕ víi vÕ 3 ®¼ng thøc trªn ta cã, (4) víi mäi DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi dÊu “ = ” ë (1), (2) vµ (3) cïng x¶y ra. Mµ dÊu

“ = ” ë (1), (2) vµ (3) x¶y ra khi vµ chØ khi x = 0.¸p dông bÊtt ®¼ng thøc cosi, víi mäi , ta cã:

(5)

(6)

Suy ra, (7)

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi dÊu “ = ” trong (5) vµ (6) x¶y ra. DÊu “ = ” trong (5) vµ (6) x¶y ra khi vµ chØ khi x = 0.

Tõ (4) vµ (7 suy ra, víi mäi mµ f(0) = 3 vµ nªn .

Bµi 2: (31 – 68) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè .

Hµm sè cã TX§:

Víi mäi , ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi, ta cã:

Khi ®ã, víi mäi

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

Suy ra,

Bµi 3: (30 – 66) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn

miÒn HD: (66)

LÊy (x, y) D. Khi ®ã,

¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi

Hay (4)

MÆt kh¸c (5)

Tõ (4) vµ (5) suy ra hay (6)

TiÕp tôc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi cho hai sè v× x + y

= 1 (7)

Tõ (7) suy ra,

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi hay

Mµ D

2

1;2

1 vµ . VËy

Bµi 4: (18 – 49) T×m c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x,y) trªn miÒn 0:),( yxyxD

a)

b)

c)

HD:a) LÊy tuú ý. Khi ®ã, theo bÊt ®¼ng thøc cosi ta cã:

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi y = x – y =

Cã vµ . VËy

b) LÊy tuú ý. Khi ®ã, theo bÊt ®¼ng thøc cosi ta cã:

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

Cã vµ . VËy

c) LÊy tuú ý. Khi ®ã, theo bÊt ®¼ng thøc cosi ta cã:

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

Cã vµ . VËy

Bµi 5: (2 – 25) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

trªn miÒn

HD:

Ta cã,

LÊy (x,y,z) tuú ý thuéc D. Khi ®ã, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi, ta cã:

Khi ®ã,

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

V× (1, 1, 1) thuéc D vµ f(1,1,1) = 6 nªn

Bài 6: (23 – 57) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè , trªn miÒn HD: (57)

a) LÊy (x,y,z) D tuú ý. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi ta cã:

Nh©n vÕ víi vÕ cña ba bÊt ®¼ng thøc ta cã, víi mäi (x,y,z) thuéc D

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

Mµ vµ . VËy

b) LÊy (x,y,z) víi x + y + z = 1 khi ®ã,

¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi ta cã, vµ

Khi ®ã,

DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi

Mµ vµ . VËy

BÊt ®¼ng thøc bunhia

Bµi 7: (15 – 45) T×m GTLN cña hµm sè trªn miÒn

HD: LÊy (x, y, z) thuéc D. Khi ®ã, ta cã

(1)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho hai cÆp sè vµ

cã

(2)

Mµ x + y + z = 1 tõ (2) suy ra (3)

KÕt hîp (1) vµ (3) suy ra cã vµ

VËy

Bµi 8: (34 – 74) T×m GTLN cña hµm sè trªn miÒn

HD: Ta cã f(x,y,z) = y(z – x) = z(2x + y) + (- x)(2z + y)¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho hai cÆp sè vµ ta cã

Mµ x2 + z2 = 1 vµ (2x + y)2 + (2z + y)2 = 2y2 + 4y(x + z) + 4(x2 + y2) = 16 v× y2 + 2y(x + z) = 6Khi ®ã, hay f(x, y, z)

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

Cã . VËy

Bµi 9 Bµi 36(77)

a) T×m GTNN cña hµm sè trªn miÒn

HD:Víi moi (x, y) thuéc D ta cã,

(1)

¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho hai cÆp sè vµ

Ta cã, (2)

Tõ (1) vµ (2) DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

Cã . VËy

Bµi8: Bµi 37(83) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

HD: LÊy (x, y, z) thuéc D. Khi ®ã,

¸p dông bÊt ®¼ng thø bunhia cho hai cÆp sè vµ ta cã:

Bµi 10: bµi 39(85) T×m GTNN vµ GTLN cña hµm sè vµ GTLN cña hµm sè trªn miÒn HD:

a) XÐt hµm sè trªn LÊy (x, y, z) thuéc D. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho hai cÆp sè vµ Ta cã, suy ra, (1) do x + y + z = 1¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho cÆp sè vµ

Ta cã, (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra

DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi

Cã . VËy

b) LÊy (x, y, z) thuéc D. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho hai cÆp sè vµ (1, 1, 1)

Ta cã, (1)

L¹i ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bunhia cho hai cÆp sè vµ (1, 1, 1)Ta cã, (2)Tõ (1) vµ (2) suy ra hay

DÊu “ = ” x¶y ra dÊu “ = ” ë (1) vµ (2) cïng x¶y ra hay

Cã . VËy

Chuyªn ®Ò 2: Ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ hµm sèPh¬ng ph¸p: XÐt bµi to¸n t×m GTLN, GTNN cña hµm sè f(x) trªn mét miÒn D cho tríc.B 1: Gäi y0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè f(x) trªn D.

B 2: Gi¶i ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh (Èn x):

B 3: BiÕn ®æi ®a hÖ ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: B 4: V× y0 lµ gi¸ trÞ bÊt k× trªn D. §a ra kÕt luËn.Bµi tËp:

Bµi 1: (96-185) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn toµn

trôc sè.TX§: R

Gäi y0 lµ mét gi¸ trÞ cña hµm sè. Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm

V× x2 + 2x + 10 nªn (1)

(2) cã nghiÖmTH 1: y0 = 2 ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh cã nghiÖmTH 2: y0 0, khi ®ã ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm khi vµ chØ khi

V× y0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè y = f(x), nªn

Bµi 2: (97 – 188) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè

§/S:

Bµi 3: (98 – 191) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè

§/ S:

Bµi 4: (100-193) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn mét miÒn HD: Gäi t0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè f(x,y) trªn D.

Khi ®ã, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

Tõ (2) thÕ (1) vµo ®îc ph¬ng tr×nh (3)

§Ó hÖ cè nghiÖm th× (3) cã nghiÖm

Khi ®ã, (3) cã nghiÖm thÕ vµo (2) tho¶ m·n cã nghiÖm

Mµ t0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña f(x,y) trª D nªn

vµ

Bµi 5: T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

HD: Gäi t0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè f(x,y) trªn D.

Khi ®ã, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

Tõ (2) cã x = 1 – y thÕ vµo (1) v× x2 + y2 + 7 > 0

(3)§Ó hÖ cã nghiÖm th× (3) cã nghiÖmTH 1: t0 = 0 khi ®ã, (3) trë thµnh – y – 2 = 0 , x = 3. ph¬ng tr×nh cã nghiÖmTH 2: t0 0 ®îc ph¬ng tr×nh bËc hai, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

KÕt hîp (3) cã nghiÖm khi

V× t0 lµ mét gi¸ trÞ bÊt k× cña f(x,y) trªn D nªn vµ

Bµi 6: (99 -192) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn

HD: XÐt vµ . Khi ®ã,

NÕu th× f(x,y) = 0. VËy

NÕu . Khi ®ã, ta cã

§Æt , ®îc hµm sè

Khi ®ã

Gäi lµ mét gi¸ trÞ bÊt k× cña hµm sè F(t).

Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm

TH 1: Víi = 0 ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm t =1.TH 2: Víi 0 ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm

KÕt hîp (1) cã nghiÖm khi

Suy ra, vµ

VËy

Bµi 7: (101-194) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè

HD: Gäi y0lµ mét gi¸ trÞ tuú ú cña f(x).

Khi ®ã, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

(1)§Ó (1) cã nghiÖm xÐt hai THTH 1: y0 = 3 khi ®ã (1) trë thµnh x2 = 0. VËy (1) cã nghiÖm.

TH 2: (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi hÖ

§Ó (1) cã nghiÖm (2) cã nghiÖm t 0 mµ (2) cã P = 1 > 0 (2) cã 2 nghiÖm cïng dÊu

Khi ®ã, (2) cã nghiÖm

KÕt hîp hai trêng hîp (1) cã nghiÖm khi

VËy…

Bµi 8: (105 – 201) Cho hµm sè . T×m p, q ®Ó

HD: Gäi y0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè f(x).

Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm

Ta cã, (1) (2)§Ó (1) cã nghiÖm th× (2) cã nghiÖm, xÐt 2 trêng hîpTH 1: y0 = 1 th× (2) cã nghiÖm khi hoÆc p = 0 vµ q = 1.

TH 2: y0 1 th× (2) cã nghiÖm khi

Ta cã v× víi y0 = 1 cã KÕt hîp hai trêng hîp ta cã ®Ó (1) cã nghiÖm lµ

Khi ®ã, tacã

Theo viÐt ta cã

VËy…

Bµi 9: (106 – 202) Cho hµm sè t×m a nguyªn kh¸c 0 sao cho ®¹i l-

îng còng lµ sè nguyªn.

HD: Gäi y0 lµ mét gi¸ trÞ tuú ý cña hµm sè f(x).

Khi ®ã, ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm

Tõ (1) ta cã §Ó (1) cã nghiÖm th× (2) cã nghiÖm. §Ó (2) cã nghiÖm xÐt hai trêng hîpTH 1: y0 = 12 cã (2) trë thµnh x = 0. VËy (2) cã nghiÖmTH 2: th× (2) cã nghiÖm

NhËn thÊy y0 = 0 th× do vËy

KÕt hîp hai trêng hîp ®Ó (1) cã nghiÖm th×

VËy . T×m a nguyªn kh¸c 0 ®Ó = k (3) nguyªn d¬ng.

NÕu a > 0 tho¶ m·n (3) th× - a còng tho¶ m·n 3, xÐt a > 0 khi ®ã, (3)

V× k + a > 0 suy ra k – a > 0 vµ k + a vµ k – a lµ sè nguyªn. Suy ra

VËy a = 8 vµ a = - 8 th× …Chuyªn ®Ò 3: Ph¬ng ph¸p sö dông ®¹o hµm cña hµm sè.Ph¬ng ph¸p: Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn [a; b]B 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh f’(x) = 0 ®Ó t×m c¸c nghiÖm x1, x2, x3, …,xn trong [a; b].B 2: TÝnh c¸c sè f(a), f(b), f(x1), f(x2),…, f(xn).B 3: KÕt luËn GTLN lµ sè lín nhÊt, GTNN lµ sè nhá nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ trªn.Bµi tËp:Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè

HD: Do hµm sè tuÇn hoµn víi chu

k× . Do vËy, ta chØ cÇn t×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn 1 chu k× .

Ta cã, . XÐt y’ = 0

B¶ng biÕn thiªn: x 0

y’ 0 - 0 + 0

1 1 y

KÕt luËn:

Bµi 2: T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè .

Bµi 3: Cho hµm sè . T×m p, q ®Ó

Chuyªn ®Ò 4: Ph¬ng ph¸p chiÒu biÕn thiªn cña hµm sèPh¬ng ph¸p: Dùa vµo tÝnh ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn cña hµm sè bËc nhÊt vµ bËc hai. LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm f(x) cÇn t×m GTLN, GTNN trªn D cho tríc.TÝnh chÊt 1

+) Hµm sè y = ax + b ®ång biÕn khi a > 0 vµ nghÞc biÕn khi a < 0.+) Hµm sè y = ax2 + bx + c:

NÕu a > 0: §ång biÕn khi , nghÞch biÕn khi

NÕu a < 0: §ång biÕn khi , nghÞch biÕn khi

TÝnh chÊt 2: +) NÕu f(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn D th× - f(x) lµ hµm nghÞch biÕn

trªn D.

+) NÕu f(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn D vµ f(x) > 0 th× hµm nghÞch

biÕn trªn D.TÝnh chÊt 3:

+) NÕu f(x) vµ g(x) lµ hai hµm ®ång biÕn trªn D th× hµm f(x) + g(x) còng ®ång biÕn trªn D.

+) NÕu f(x), g(x) lµ hai hµm ®ång biÕn trªn D vµ f(x) >0, g(x) > 0 trªn D th× hµm f(x).g(x) còng ®ång biÕn trªn D.Bµi tËpBµi 1: (107 – 206) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè xÐt trªn miÒn .HD: LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn DBµi 2: (108 – 207) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn Bµi 3: (110-210) T×m GTNN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

Bµi 4: (111 – 211) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

Bµi 5: (114 – 216) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

Bµi 6: (119 – 227) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

Bµi 7: (121 – 236) Cho hµm sè xÐt trªn miÒn .

T×m a ®Ó hµm sè cã .

Bµi 8: (123 – 234) Cho ph¬ng tr×nh . Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 xÐt ®¹i lîng A = x1 + x2 + 3x1x2. T×m GTLN vµ GTNN cña A.Bµi 9: (125 -240) T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn miÒn

. BiÖn luËn kÕt qu¶ theo m.

Bµi 10: (126 – 241) Cho hµm sè . T×m a ®Ó

Chuyªn ®Ò 5: øng dông cña GTLN vµ GTNN trong viÖc gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh.Ph¬ng ph¸p: BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = d(m). T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè trªn I vµ so s¸nh c¸c GTLN vµ GTNN víi a. Tõ ®ã suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.Bµi tËp: Bµi 1: (3-150-tuyÓn tËp…hµm sè)

a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.b) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh

HD: XÐt hµm sè

XÐt

B¶ng biÕn thiªn:

a) Ph¬ng tr×nh f(x) = m cã nghiÖm khi vµ chØ khi .

b) BÊt ph¬ng tr×nh f(x) > m cã nghiÖm víi mäi m khi

Bµi 2: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.Bµi 3: T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh .

HD: BÊt ph¬ng tr×nh .

Cã

B¶ng biÕn thiªn:

VËy ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh nghiÖm ®óng mäi x th×