Štatistika UVM 1

Vlastnosti kvantitatívnych dátUkazovatele (miery)

PolohaPoloha

Central Central Tendency Tendency (Location)(Location)

MenlivosťMenlivosť

Variation Variation (Dispersion)(Dispersion)

TvarTvar

ShapeShape

Štatistika UVM 2

Kvantitatívne dátaVlastnosti a ukazovatele

Priem erModusMedián

Miery polohy(Centrálna tendencia)

Variačné rozpätieKvartilové rozpätieŠtand. odchýlkaRozptylVariačný koeficientŠtandardná chyba

Miery variability(Menlivosť)

Š ikm osťŠpicatosť

Miery tvaru

Ukazovatele(Miery)

Štatistika UVM 3

Vlastnosti kvantitatívnych dátPoužívané symboly

Ukazovateľ

Measure

Populácia

Population

Výber

Sample

Rozsah (Size) N n

Priemer (Mean) µ x

Rozptyl (Variance)

2 s2

Štand.oddchýlka

(Stand.Deviation) s

Štatistika UVM 4

mm2211

m

1iii

n21

n

1ii

nx...nxnxn

1nx

n

1x

x...xxn

1x

n

1x

Aritmetický priemer(Mean)

• Miera polohy (často používaná)

• Bod „rovnováhy“• Citlivý na extrémne hodnoty

(„Outliers“)

• Vzorec (pre výber):– Jednoduchý:

– Vážený (z frekv. tabuľky):

Štatistika UVM 5

• Miera polohy (centrálnej tendencie)

• Najčastejšie sa vyskytujúca hodnota

• Nie je citlivý na extrémne hodnoty

• Súbor môže mať aj viac modusov, alebo aj žiadny

• Používa sa u číselných ale aj kategoriálnych dát

• Príklady:

1. Dáta: 10, 10, 11, 13, 9, 10, 10, 8 xMo=10 (1 modus)

2. Dáta: 10, 10, 11, 12, 12, 8, 9, 10, 12 xMo=10 a 12 (2 modusy)

3. Dáta: 10, 12, 8, 9, 11, 13, 7 - dáta bez modusu

Modus (Mode)

Štatistika UVM 6

• Miera polohy (centrál. tendencie)

• Necitlivý na extrémne hodnoty

• Stredná hodnota v usporiadanom súbore:– ak n = nepárne, tak je to hodnota v

strede usporiadaného súboru– ak n = párne, tak je to priemer 2-och

prostredných hodnôt usporiadaného súboru

• Pozícia mediánu v súbore:

Medián (Median)

2

1nr

Štatistika UVM 7

Dáta: 24.1 22.6 21.5 23.722.6

Usporiadané: 21.5 22.6 22.6 23.724.1

Pozícia: 1 2 3 45

Medián - príklad n = 5 (nepárne)

22,6x

32

15

2

1nr

Me

Štatistika UVM 8

Medián - príklad n = 6 (párne)

Dáta: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3 7.7

Uspor.:4.9 6.3 7.7 8.9 10.3 11.7

Pozícia:1 2 3 4 5 6

8,32

8,97,7x

3,52

16

2

1nr

Me

Štatistika UVM 9

Variačné rozpätie (Range)

• Miera variability (menlivosti, dispersie)

• Vzorec: R = xmax - xmin

• Ignoruje rozdelenie dát (ich výskyt)

Príklad:

1. Dáta: 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10 R = 10-7 = 3

2. Dáta: 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10 R = 10-7 = 3

77 88 99 1010 77 88 99 1010

Štatistika UVM 10

Rozptyl & štandardná odchýlka

Variance & Standard Deviation

• Miery variability najviac používané (menlivosti, disperzie)

• Posudzujú rozdelenie dát

• Ukazujú variabilitu okolo priemeru ( x alebo )

• Vzorec (výberový rozptyl):

– Jednoduchý:

– Vážený ( z frekv. tabuľky):

1-n

nxx...nxxnx-x

1-n

1s

1-n

xx...xxxxx-x

1-n

1s

m

2

m1

2

1i

2m

1ii

2

2

n

2

2

2

1

2n

1ii

2

Štatistika UVM 11

nn - 1 - 1 v menovateli!v menovateli!

PoužiPouži NN ak počítaš rozptyl ak počítaš rozptyl ppopulopulácie ácie namiestonamiesto n-1! n-1!

Štandardná odchýlkaSmerodajná odchýlka (Standard Deviation)

1-n

nxx...nxxnx-x

1-n

1s

vážený

1-n

xx...xxxxx-x

1-n

1s

jednoduchý

ss

m

2

m1

2

1i

2m

1ii

2

n

2

2

2

1

2n

1ii

2

Štatistika UVM 12

Rozptyl & štandardná odchýlkaPríklad

DDááta:17ta:17, , 1616, , 2121, , 1818, , 1313, , 1616, , 1212, , 1111

n = 8n = 8

3,343,33811,14 s

11,14s

1-8

15,511...15,51615,517s

x-x1-n

1s

15,511...16178

1x

n

1x

2

2222

2n

1ii

2

n

1ii

Štatistika UVM 13

Relatívne miery variability

• Variačný koeficient (Coefficient of Variation):

– vyjadruje sa v percentách

– porovnanie variability 2-och rôznorodých súborov

• Štandardná chyba (Standard Error):

n

sSE

100x

sVk

Štatistika UVM 14

Miery tvaruShape

• Popisujú ako sú dáta rozložené

• Miery tvaru sú:– Šikmosť (Skew = Skewness)– Špicatosť (Kurtosis)

Šikmosť:

MeanMean

Left-SkewedLeft-Skewed SymmetricSymmetricMeanMean = = MedianMedian = = ModeMode MedianMedian ModeMode

Right-SkewedRight-Skewed MedianMedian MeanMeanModeMode

Štatistika UVM 15

Miery tvaruShape

Špicatosť (Kurtosis):

NormálneNormálnerozdelenie rozdelenie

N(0,1)N(0,1)

ŠpicatejšieŠpicatejšieako N(0,1)ako N(0,1)

++

Plochejšie Plochejšie

ako N(0,1)ako N(0,1)

--

Štatistika UVM 16

Kvartily (Quartile)

• Miery alokácie (Measure of Noncentral Tendency)

• Rozdeľujú usporiadané dáta na 4 rovnako početné časti:

QQ11 QQ2 2 QQ33

• Pozícia i-ho kvartilu:

25% 25% 25% 25%

4

1nikQi

Štatistika UVM 17

Kvartily (Quartile)Príklad

Dáta: 10.3 4.9 8.9 11.7 6.37.7

Uspor.:4.9 6.3 7.7 8.9 10.311.7

Pozícia: 1 2 3 4 5 6

10,3Q55,25

4

163k

6,32

8,97,7Q3,5

4

162k

6,3Q21,754

161k

3Q3

2Q2

1Q1

Štatistika UVM 18

Kvartilové rozpätie Interquartile Range

• miera variability

• výskyt (rozšírenie, Midspread) javu u 50% jednotiek súboru

• necitlivá na extrémne hodnoty

• Vzorec: RQ = Q3 – Q1

DDááta:ta: 1717,,1616, , 2121,1,188, , 1313, , 1616,,11 22, , 1111Uspor.Uspor.::1111,,1212,,1313, , 1616, , 1616, , 1717, , 1818, , 2121PoPozíciazícia:: 11, , 22, , 33, , 44, , 55, , 66, , 77, , 88

n = 8

kQ3 = 6,75 kQ1 = 2,25

RQ = 18 – 12 = 6

Štatistika UVM 19

Krabicový grafBox Plot

• Grafické zobrazenie dát pomocou 5-tich popisných štatistík (ukazovateľov)

MedianMedian

44 66 88 1010 1212

QQ33

QQ11

XXlargestlargest

XXsmallestsmallest

Štatistika UVM 20

Right-SkewedRight-SkewedLeft-SkewedLeft-Skewed SymmetricSymmetric

QQ11 MedianMedian QQ

33

QQ11 MedianMedian QQ

33QQ

11 MedianMedian QQ

33

Tvar (Shape) & Box Plot

Štatistika UVM 21

Miery tvaruShape

• Koeficient šikmosti (Skew = Skewness), označenie 1

– zošikmenie doľava kladný– zošikmenie doprava záporný– symetria 0

• Koeficient špicatosti (Kurtosis) označenie 2

– normálne rozdelenie 0– špicatejšie kladný– plochejšie záporný

3

n

1i

3

i

1 s

xxn1

γ

3

s

xxn1

γ4

n

1i

4

i

2