Universitas Indonesia Asimetri Isospin Pada Materi Quark Skripsi Ali ...

Universitas Indonesia

Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Skripsi

Ali Ikhsanul Qauli

1006659123

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Program Studi Fisika

Depok

April 2014



Skripsi

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana

Ali Ikhsanul Qauli

1006659123

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Program Studi Fisika

Depok

April 2014

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri,

dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk

telah saya nyatakan dengan benar.

Nama : Ali Ikhsanul Qauli

NPM : 1006659123

Tanda tangan :

Tanggal : 21 April 2014

iii Universitas Indonesia

i

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh


NPM : 1006659123

Program Studi : S1 Reguler Fisika

Judul Skripsi : Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan di-

terima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk mempe-

roleh gelar sarjana Sains pada Program Studi S1 Reguler Fisika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas In-

donesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing I : Dr. Anto Sulaksono ( )

Penguji I : Prof. Dr. Terry Mart ( )

Penguji II : Dr. Agus Salam ( )

Ditetapkan di : Depok

Tanggal : 21 April 2014


v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di

bawah ini;


NPM : 1006659123


Departemen : Fisika

Peminatan : Fisika Nuklir dan Partikel

Fakultas : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul :


beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti

Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia-

/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat,

dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya

sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta.

Demikian Pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Depok, 21 April 2014

Ali Ikhsanul Qauli


ABSTRAK



Judul Skripsi : Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Pada skripsi ini, kebergantungan persamaan keadaan materi quark terhadap

parameter isospin dikaji secara teoritik. Model materi quark yang digunakan

adalah pengembangan dari model CDDM (Confined Density Dependent Mass)

dengan menambahkan suku interaksi isospin pada massa quark. Selanjutnya

model ini disebut CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Model

CIDDM diuji dengan membandingkan relasi massa-radius bintang yang diha-

silkan dengan observasi astrofisika dan hasil prediksi tekanan materi quark

pada daerah nilai rapat bilangan baryon yang besar berdasarkan perhitungan

pQCD. Hasil yang kami dapatkan menunjukkan bahwa model CIDDM tidak

bisa menjelaskan hasil perhitungan pQCD pada daerah nilai densitas baryon

yang besar tetapi cukup konsisten dengan observasi bintang kompak dengan

massa dua kali massa matahari untuk set parameter DI-2500.

Kata kunci:

Materi quark, isospin, densitas baryon, pQCD, CDDM, CIDDM, bag

vii Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name : Ali Ikhsanul Qauli

Program of Study : Undergraduate Program in Physics

Title : Isospin Asymmetry In Quark Matter

In this bachelor thesis, the isospin dependence in quark matter’s equation of

state have been studied theoretically. The quark matter model used in this

study is an extended version of CDDM model where the isospin term in quark’s

mass is included. Then this model is called CIDDM (Confined Isospin Density

Dependence Mass). CIDDM model has been tested by comparing mass-radius

relation which come from astrophysical observation and the equation of state

obtained from perturbative QCD (Quantum Chromo Dynamics) calculation.

We have found that CIDDM model cannot explain the equation of state from

pQCD in large baryon density region but it’s maximum mass prediction is quite

consistent with the one from compact stars observation. Namely the pulsar’s

mass is about two times larger than solar mass if we use the parameter set

DI-2500.

Keywords:

Quark matter, isospin, baryon density, perturbative QCD, CDDM, CIDDM,

bag

viii Universitas Indonesia

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan

rahmat, hidayah dan petunjuk-Nya kepada kita umat muslim. Shalawat dan

salam semoga senantiasa tercurahkan pada Nabi Muhammad SAW, keluarga,

para sahabat dan pengikutnya.

Berangkat dari waktu sekitar empat tahun lalu ketika penulis mengikuti

pelatnas TOFI (Tim Olimpiade Fisika Indonesia), banyak hal yang penulis

dapatkan dan pelajari terkait fisika. Selanjutnya keingintahuan akan suatu

topik fisika terkait benda angkasa menjadikan penulis melakuan penelitian

lebih lanjut di universitas. Skripsi ini terkait dengan peristiwa kenukliran

dalam suatu objek angkasa yang penulis telusuri lebih lanjut yang sebelumnya

pernah penulis temui dalam bentuk yang sederhana ketika mengikuti pelatnas.

Dalam penulisan skripsi ini, tak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai

pihak sehingga penulisan skripsi bisa selesai sesuai dengan apa yang penulis

rencanakan. Oleh karena itu, patut kiranya penulis mengucapkan terimakasih

kepada berbagai pihak yang sudah membantu selama ini.

Penulis mengucapkan banyak terimakasih pada kolega di TOFI, pengeta-

huan awal tentang benda angkasa yang diberikan sungguh sangat membantu

dalam penulisan skripsi ini. Juga kepada guru pembina yang dengan sabar

dan tekun membina penulis sedari sekolah menengah, Pak Purwedi Bambang

Rusdiyanto, terimakasih pak telah merelakan waktu, tenaga dan pikiran untuk

membina kami.

Dukungan teman-teman fisika terutama fisika angkatan 2010 juga sangat-

sangat berpengaruh dalam studi yang penulis lakukan. Kepada sahabat pe-

nulis; Ihsan dan Jaka, waktu empat tahun ini terasa cepat, tetapi juga terasa

hebat berkat anda. Semoga silaturrahim tetap terjalin dengan baik.

Kepada dosen, Pak Muhammad Hikam, terimakasih sudah menjadikan pe-

nulis sebagai asisten mengajar selama kurang lebih 2 tahun, hal tersebut juga

merupakan pembelajaran bagi penulis agar bisa menyampaikan gagasan atau

ide kepada orang lain dengan tepat. Juga kepada dosen fisika nuklir dan par-

tikel, Pak Terry, Pak Anto, Pak Handoko, Pak Imam, Pak Agus dan Pak

Handhika, terimakasih telah mengajarkan banyak hal terkait fisika nuklir dan

ix Universitas Indonesia

x

partikel sehingga penulis sadar bahwa banyak misteri di alam ini yang belum

terungkap dan perlu diungkap.

Kepada rekan-rekan asisten laboratorium fisika lanjutan, ’joke’ dan diskusi

yang rekan-rekan berikan sunggu luar biasa tetapi juga tetap scientific. Keep

up the good work buddies !

Untuk teman-teman perantauan dari Madura, kak Desy, kak Danang, kak

Qamqam, Ramadhan, Melly, Nur Atika, Dani, Mulya, Ghafiqi, Edwin, Afi-

fun, Kadir, dan semua adik-adik angkatan 2011, 2012, dan juga 2013 yang

tidak cukup jika saya sebutkan semua di sini, terimakasih sudah menunjukkan

bagaimana seharusnya orang Madura itu dengan baik, semoga akan semakin

banyak teman-teman kita dari Madura yang akan menyusul ke kampus ini.

Beberapa patah kata untuk meneruskan semangat pendahulu saya di kampus

ini, let’s dominate this university guys !.

Terimakasih juga penulis ucapkan untuk BATAN, yang telah memberikan

bantuan berupa beasiswa, pelatihan ,seminar dan berbagai kegiatan terkait

teknologi nuklir. Penulis menjadi paham betapa pentingnya pengembangan

teknologi nuklir di Indonesia, dan semoga kedepannya semua pihak bisa turut

serta mensukseskan pengembangan teknologi nuklir di Indonesia agar Indone-

sia bisa menjadi negara yang mandiri di sektor energi dan lingkungan.

Kepada keluarga di rumah, ayahanda Masdawi Dahlan, ibunda Indra Su-

listyawati, adinda Basri Qomari, Azizah Kusuma Dara, dan Cahya Imani Fitri

yang sudah mendukung dan menemani penulis selama studi di fisika UI, pe-

nulis selalu mendoakan kebaikan untuk kita semua.

Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini bisa membawa manfaat bukan

hanya untuk bagi pengembangan ilmu pengetahuan fisika secara umum tetapi

juga untuk pengembangan metode dan teknik perhitungan komputasi yang

lebih cepat dan efisien.

Depok, Mei 2014

Ali Ikhsanul Qauli


DAFTAR ISI

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS iii

HALAMAN PENGESAHAN i

HALAMAN PERNYATAAN PERSUTUJUAN PUBLIKASI v

ABSTRAK vii

KATA PENGANTAR ix

DAFTAR ISI xi

DAFTAR GAMBAR xiii

1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 MATERI QUARK 3

2.1 Materi Quark dengan model bag MIT . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM . . . 3

2.3 Persamaan keadaan Materi Quark . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Persamaan TOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 METODE PERHITUNGAN 9

3.1 Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark . . . . . . . . . 9

3.2 Metode Fixed-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS 13

4.1 CIDDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Prediksi pQCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

xi Universitas Indonesia

xii

5 KESIMPULAN 21

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

DAFTAR ACUAN 23

A Persamaan TOV 24

B Materi Quark dengan CIDDM 28


DAFTAR GAMBAR

2.1 Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8]. . 6

4.1 Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CI-

DDM dengan menggunakan set parameter DI-0. . . . . . . . . . 13

4.2 Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300. . . . . 13

4.3 Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500. . . . 14

4.4 Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan

model CIDDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5 Relasi massa dan radius bintang. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6 Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada

materi quark berdasarkan model CIDDM. . . . . . . . . . . . . 17

4.7 Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM de-

ngan nilai parameter yang bervariasi pada DI-300. . . . . . . . . 18

4.8 Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM de-

ngan variasi parameter pada DI-2500. . . . . . . . . . . . . . . . 19

xiii Universitas Indonesia

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Bintang neutron dipercaya sebagai hasil akhir dari ledakan supernova [1]

dan merupakan bintang dengan densitas massa yang sangat besar. Namun

ilmuwan percaya bahwa bintang neutron bukanlah satu-satunya hasil akhir

dari ledakan supernovae, melainkan ada jenis bintang lain yang lebih besar

densitas massanya yakni bintang quark.

Bintang quark bisa muncul dikarenakan densitas massa yang sangat besar

dapat memecah neutron menjadi quark-quark penyusunnya. Dari beberapa

penelitian menunjukkan bahwa materi quark, sebagai penyusun bintang quark,

memiliki kestabilan yang lebih baik dibandingkan dengan materi nuklir [2],

sehingga sangat dimungkinkan untuk terbentuk pada bintang quark.

Selanjutnya dengan model Bag MIT, ilmuwan mulai mempelajari struktur

dan dinamika bintang quark itu [3], [4], dan [5]. Selama beberapa waktu

model Bag MIT mengalami banyak pengembangan sampai dikenal suatu model

CDDM (Confined Density Dependent Mass) yang mengikut sertakan densitas

materi quark pada perumusannya.

Model CDDM awalnya digunakan untuk menganalisa materi quark yang

hanya terdiri dari quark up dan quark down saja [6], namun kemudian ju-

ga digunakan untuk materi quark yang terdiri dari tiga quark, yakni quark

up, down dan strange. Pada model CDDM massa quark diasumsikan dapat

berubah-ubah sesuai dengan densitas massa dari materi quark. Dalam hal ini

massa quark diparameterisasi dengan densitas bilangan baryon (nB). Mirip

dengan model Bag MIT, model CDDM ini juga menganggap quark bergerak

bebas pada suatu hadron. Hanya saja, pada model CDDM massa quark bi-

sa berubah-ubah sesuai dengan densitas massa disekitarnya sedangkan pada

model Bag MIT, massa quark diasumsikan tetap.

Dari semua model tersebut, terdapat suatu batasan, bahwa materi quark

yang terdiri dari 2 quark (u dan d) harus memiliki energi minimum per baryon

yang lebih besar dari pada 930 MeV, sedangkan untuk tiga quark (u, d dan s)

harus lebih rendah dari 930 MeV [2,3].

1 Universitas Indonesia

2

1.2 Perumusan masalah

Pada penelitian ini, penulis menggunakan model lanjutan dari model CDDM

yakni mengikutsertakan isospin pada suku massa quark yakni CIDDM (Confi-

ned Isospin Density Dependent Mass). Hal ini dilakukan agar bisa menjelaskan

bagaimana karakteristik keadaan materi quark pada temperatur rendah dan

densitas baryon rendah. Selanjutnya persamaan keadaan dari materi quark

akan bandingkan dengan persamaan keadaan berdasarkan perturbative QCD

pada daerah densitas baryon besar untuk mengetahui seberapa baik model ini

memberikan perkiraan pada persamaan keadaan quark pada daerah dengan

densitas baryon yang besar.

1.3 Metode Penelitian

Penelitian dilakukan dengan analitik dan numerik. Asimetri isospin dan

pengaruh densitas baryon pada materi quark dipelajari dengan menambah

beberapa suku pada massa quark. Penambahan suku tersebut dikendalikan

dengan menggunkan parameter pengali yang disesuaikan sehingga bisa mem-

peroleh limit massa dan radius bintang yang sesuai dengan pengamatan. Se-

lanjutnya dengan menggunakan metode numerik parameter yang didapat akan

dicocokkan dengan perhitungan pQCD.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari pengaruh isospin dan den-

sitas baryon pada bintang quark serta melakukan perbandingan dengan massa

maksimum bintang kompak dan mengkaji konsistensi model yang kami gunak-

an dengan perhitungan pQCD.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

Bab I berisi pendahuluan, Bab II membahs materi quark, Bab III mendis-

kusikan metode penelitian sedangkan hasil perhitungan dan analisa diberikan

di Bab IV. Bab V berisi penutup berupa kesimpulan dan saran.


BAB 2

MATERI QUARK

2.1 Materi Quark dengan model bag MIT

Materi quark pada model bag MIT dirumuskan dengan menggunakan pen-

dekatan, quark terkurung dalam sebuah bag dimana di dalam bag itu quark

bergerak bebas. Dalam penelitian ini, digunakan pendekatan pada suhu nol,

maka perumusan rapat energi untuk quark dalam bag menjadi

εi =gi

2π2

∫νi

√k2 +mi

2k2dk, (2.1)

dengan gi adalah faktok degenerasi untuk quark yang bernilai 6 , i = u, d, s.

Kemudian dengan menggunakan relasi termodinamika akan diperoleh [12]

Pi = ni∂εi∂ni− εi, (2.2)

dengan faktor ∂εi/∂ni yang dikenal dengan nama potensial kimia.

Selanjutnya untuk tekanan total dari materi quark [2]

P +B =∑i

Pi

= −(∑

i

εi +B

)+∑i

ni∂ε

∂ni, (2.3)

sehingga diperoleh rapat energi untuk materi quark adalah

ε =∑i

εi +B, (2.4)

dimana B adalah konstanta bag.

2.2 Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM

Pada model bag MIT, quark diasumsikan bermassa konstan dan bergerak

bebas dalam bag. Konstanta bag merupakan representasi interaksi dari quark


4

yang tidak dimasukkan ke dalam suku massa quark melainkan langsung dile-

takkan kedalam persamaan densitas energi quark. Pada model CDDM, massa

quark dengan densitas baryon nB didefinisikan sebagai:

mq = mq0 +mI = mq0 +D

nBz, (2.5)

dengan mI = DnB

z adalah suku interaksi quark dan bentuk ini adalah bentuk

fenomenologis. Parameter D ditentukan dari argumen kestabilan materi quark

strange (Strange Quark Matter). Parameter z merupakan parameter skala

quark, yang dibuktikan oleh [7] bahwa nilanya adalah z = 1/3. Pada penelitian

ini, penulis menggunakan bentuk massa quark dengan adanya kebergantungan

terhadap isospin sebagai

mq = mq0 +D

nB1/3− τqδDIn

αBe−βnB , (2.6)

dengan DI , α, β adalah parameter yang menentukan kebergantungan pada

isospin, δ adalah parameter asimetri isospin, τq adalah bilangan kuantum isos-

pin pada quark, τq = 1 untuk q = u (quark up), τq = −1 untuk q = d (quark

down) dan τq = 0 untuk q = s (quark strange).

Densitas baryon didefinisikan sebagai

nB =nu + nd + ns

3, (2.7)

yang mana setiap densitas baryon untuk quark didefiniskan sebagai

ni =νi

3

π2(2.8)

νi adalah momentum Fermi untuk tiap quark (i = u, d, s). Kemudian faktor

asimetri dari isospin didefinisikan sebagai:

δ = 3nd − nund + nu

, (2.9)

kemudian didapatkan

νu = (1− δ/3)13 ν, (2.10)

νd = (1 + δ/3)13 ν. (2.11)

2.3 Persamaan keadaan Materi Quark

Penelitian ini, kami fokus pada materi dengan kondisi temperatur nol

(T = 0), sehingga beberapa besaran yang dicari pada materi quark dengan


5

model CIDDM atau CDDM secara umum ditulis dalam bentuk

ε =∑i

gi2π2

∫νi

√k2 +mi

2k2dk, (2.12)

P = −ε+∑

i=u,d,s,e

niµi, (2.13)

µi =∂ε

∂ni. (2.14)

Dimana ε adalah densitas energi quark, P adalah tekanan dan µ adalah po-

tensial kimia. Untuk potensial kimia elektron dirumuskan sebagai

µe =√νe2 +me

2. (2.15)

Pada perumusan ini, persamaan keadaan untuk quark pada persamaan (2.12)

dan (2.13) tidak memasukkan konstanta bag B seperti pada model bag MIT.

Hal ini dikarenakan interaksi quark pada sudah dimasukkan kedalam massa

quark yang menjadi lebih berat dengan kenaikan kerapatan. Kemudian untuk

kondisi kesetimbangan potensial kimia yang terpenuhi adalah

µu + µe = µd = µs. (2.16)

Kemudian bintang quark diasumsikan netral sehingga

2

3nu =

1

3nd +

1

3ns + ne. (2.17)

Dari perumusan (2.16), (2.17) dan (2.7) akan diperoleh beberapa persama-

an yang nantinya akan digunakan untuk mendapatkan parameter momentum

Fermi untuk quark up, down dan strange yang digunakan untuk menghitung

persamaan keadaan dari bintang quark.

Dari hasil perhitungan peturbative QCD [8], dirumuskan suatu prediksi

tekanan materi quark pada kondisi nB sangat besar. Perumusan tekanan pada

kondisi tersebut adalah

PQCD (µB) = PSB (µB)

(c1 −

d1X−ν1

(µB/GeV )− d2X−ν2), (2.18)

dengan nilai konstanta-konstanta di atas adalah

c1 = 0.9008 (2.19)

d1 = 0.5034 (2.20)

d2 = 1.452 (2.21)

ν1 = 0.3553 (2.22)

ν2 = 0.9101 (2.23)


6

dan nilai X bisa divariasikan dari 1 sampai 4.

Diperkenalkan suatu besaran yakni tekanan oleh tiga quark bebas (non-

interacting) dan tak bermassa sebagai

PSB =3

4π2

(µB3

)4, (2.24)

µB = µu + µd + µs. (2.25)

Kemudian digunakan perbandingan tekanan pada materi quark P dengan

tekanan tiga quark bebas PSB yang kemudian diperoleh grafik sebagai berikut2

0 0.2 0.4 0.6 0.8T [GeV]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P/P SB

Free quarks and gluons

Bag model, B=(150MeV)4

pQCDLattice

Fig. 1.— Predictions for the pressure of the hot three-flavor QGPobtained from lattice QCD (black dots), the MIT bag model (bluedashed curve) and perturbative QCD (orange band). The errorbars in the first and the width of the band in the last result re-flect statistical and systematic uncertainties. The quantities arenormalized by the pressure of a system of free quarks and gluons(red line at 1).

J1614-2230, with M = 1.97 ± 0.04M⊙ (Demorest et al.2010), and PSR J0348+0432, with M = 2.01 ± 0.04M⊙(Antoniadis et al. 2013), have changed the situation in adramatic way.

In the letter at hand, our aim is to use the state-of-the-art perturbative QCD calculation of Kurkela et al.(2010) to construct a simple, easy-to-use EoS for coldquark matter in compact stars. Although the diagram-matic computation behind the original result is very in-volved, it is possible to condense the EoS into a simpleanalytic fitting function that provides an accurate de-scription of the pressure and its two first derivatives withrespect to the chemical potentials. As we will explicitlydemonstrate, this result is immediately amenable to adetermination of the structure of quarks stars, and canin addition be matched to low energy nuclear EoSs withconsiderable ease.

While being as convenient to use as the MIT bag modelEoS, the result we provide improves it in two importantways. First, as demonstrated in the case of high temper-ature and vanishing density in Section 2, the MIT bagmodel crudely underestimates the importance of inter-actions at large and intermediate energies, thus leadingto an inaccurate description of the EoS. Secondly — andperhaps more importantly — our perturbative EoS auto-matically includes an estimate of its inherent systematicuncertainties via a dependence on the renormalizationscale parameter. Thus, it replaces the fallaciously single-valued prediction of the MIT bag model EoS by a band,whose width correctly increases at low densities, wherethe uncertainty of any quark matter EoS is bound to besizable.

2. THE QUARK-GLUON PLASMA EQUATION OF STATE

To motivate our upcoming discussion of the EoS ofcold quark matter, we first briefly discuss the analo-gous problem at high temperature and vanishing baryondensity. Here, one is faced with the task of connect-ing a low-energy hadron resonance gas EoS to the high-temperature limit, where a perturbative description ofthe thermodynamics is expected to be feasible. At in-termediate temperatures, one has the possibilities of us-ing resummed perturbation theory, the MIT bag model,

0 1 2 3 4 5 6µB [GeV]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P/P SB

Free quarksBag model, B=(150MeV)4

pQCD

Fig. 2.— Same as in Fig. 1, but for the pressure of zero-temperature quark matter in β equilibrium as a function of thebaryon chemical potential.

or other, more elaborate model calculations to estimatethe behavior of the EoS. The matching of these EoSs tothe hadron resonance gas results can in addition be usedto determine the approximate location of the crossovertransition, where the degrees of freedom used to describethe system effectively change from hadronic to partonicones.

Despite the obvious similarities of the two systems,there is one crucial difference between the descriptionof QCD matter at high density and high temperature:for the hot and dilute QGP, lattice QCD provides a reli-able nonperturbative first principles method to evaluatebulk thermodynamic quantities, and thus check the ac-curacy of the perturbative and model predictions. Thisis illustrated in Fig. 1, where we plot the pressure of thehot QGP at vanishing baryon number density, normal-ized to that of a free system. The figure exhibits a per-turbative band obtained from the so-called ‘DimensionalReduction (DR) resummation’ (see Blaizot et al. (2003);Laine & Schroder (2006)) of the highest complete weak-

coupling result of order α5/2s (Zhai & Kastening 1995;

Kajantie et al. 2002),2 as well as a curve correspondingto the prediction of the MIT bag model, in which wehave used the typical value of (150 MeV)4 for the bagconstant. The two predictions are compared to state-of-the-art lattice data from Borsanyi et al. (2010), corre-sponding to two massless and one massive flavor of dy-namical quarks.

What one sees in Fig. 1 is quite striking: whereas theresummed perturbative EoS clearly provides a successfuldescription of the zero density EoS (and even more soat small but nonzero baryon number chemical potentialµB (Mogliacci et al. 2013)), the MIT bag model predic-tion badly fails in the same task. Inspecting the figure,one quickly sees that this can be attributed to the ex-tremely sharp rise of the bag curve towards the nonin-teracting Stefan-Boltzmann limit, proportional to 1/T 4.At the same time, the logarithmic dependence of the per-turbative EoS on the temperature, originating from therunning of the strong coupling constant, is in excellent

2 Note that at high temperatures the strong infrared (T/p)-tailof the gluonic Bose-Einstein distribution renders the EoS sensitive

to the dispersion relation of soft gluons (with p ∼ α1/2s T ), creating

a need for performing resummations. This complication is largelyabsent in the case of cold fermionic matter where there are nostrong infrared tails.

Gambar 2.1: Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8].

2.4 Persamaan TOV

Persamaan TOV menjelaskan bagaimana tekanan pada suatu benda yang

bermassa besar bergantung dengan posisi atau jarak dari pusat benda.

Persamaan TOV ditulis dalam bentuk persamaan differensial sebagai ber-

ikut

dp

dr= −G

(ρ+ p

c2

) (M + 4πr3 p

c2

)r(r − 2MG

c2

) , (2.26)

dM

dr= 4πr2ρ. (2.27)


7

Persamaan (2.26) dan (2.27) menggunakan satuan yang disesuaikan, yakni

h̄ = c = 1. Untuk menyelesaikan persamaan differensial tersebut, dibutuhkan

syarat batas sebagai berikut:

1. M (r = 0) = 0

2. p (r = R) = 0

3. Nilai ε (r = 0) dan p (r = 0) di pusat bintang bisa dipilih dari persamaan

keadaan untuk materi quark.

Untuk mendapatkan relasi massa dan jari-jari bintang dengan mengguna-

kan persamaan differensial pada (2.26) dan (2.27), penulis menggunakan me-

tode numerik Runge-Kutta orde 4.

Pada metode Runge-Kutta orde 4, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodi-

fikasi sedemikian hingga dalam proses perhitungan tidak muncul suatu nilai

yang sangat-sangat besar. Hal ini sangat penting mengingat pada penelitian

ini digabungkan antara dua skala yang sangat berbeda. Satu dari sektor nuklir

dimana interaksi quark terjadi pada skala Fermi, sedangkan satu lagi dari sek-

tor gravitas bintang dimana materi quark terbentuk dengan skala kilometer.

Algoritma metode Runge-Kutta orde 4 untuk sistem persamaan differensial

adalah sebagai berikut: Sistem persamaan differensial orde satu yang didefi-

nisikan sebagai

u′j =du

dt= fj (t, u1, u2, ..., um) , (2.28)

dimana m adalah jumlah persamaan differensial dalam sistem persamaannya

yang berada pada daerah a ≤ t ≤ b dengan kondisi awal uj (a) = αj. Kemu-

dian definisikan atau inisialisasi interval nilai t dalam setiap perhitungan, kita

sebut h

h =(b− a)

N, (2.29)

dengan N + 1 adalah jumlah titik yang akan dihitung dan terdapat N inte-

rval. Kita tentukan wj = αj, untuk kondisi mula-mula output yang dihasilkan

adalah (t, w1, w2, w3, ..., wm), sedangkan untuk langkah selanjutnya mengikuti

prosedur sebagai berikut:

Pada setiap langkah iterasi i = 1, 2, ..., N

1. Untuk tiap j = 1, 2, 3...,m


8

2. k1,j = hfj (t, w1, w2, w3, ..., wm)

3. k2,j = hfj ([t+ h/2] , [w1 + k1,1/2] , [w2 + k1,2/2] , ..., [wm + k1,m/2])

4. k3,j = hfj ([t+ h/2] , [w1 + k2,1/2] , [w2 + k2,2/2] , ..., [wm + k2,m/2])

5. k4,j = hfj ([t+ h] , [w1 + k3,1] , [w2 + k3,2] , [w3 + k3,3] , ..., [wm + k3,m])

6. wj = wj + (k1,j + 2k2,j + 2k3,j + k4,j) /6

7. Jadikan t = a+ ih

8. Output (t, w1, w2, w3, ..., wm) .

Kemudian dari metode Runge-Kutta di atas, persamaan (2.26) dan (2.27)

dimodifikasi sedemikian hingga bisa didefinisikan

f1 (p,M) =dp

dr

= −G (ε (p) + p) (M + 4πr3p)

r(r − 2GM

r

) . (2.30)

f2 (p) =dM

dr= 4πε (p) r2. (2.31)

Densitas energy ε(p) didapat dari hasil fitting data pada persamaan keadaan

materi quark yang didapat sebelumnya.


BAB 3

METODE PERHITUNGAN

3.1 Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark

Pada bab ini akan kami kompilasi hasil-hasil perhitungan analitik yang

kami dapat. Dari persamaan (2.12) dengan menggunakan proses integral∫ √k2 +m2k2dk =

1

8

[k√k2 +m2

(2k2 +m2

)−m4 ln

(k +√k2 +m2

)],

diperoleh

ε =∑i

gi2π2

1

8

[νi

√ν2i +m2

i

(2ν2i +m2

i

)−m4

i lnνi +

√ν2i +m2

i

mi

]. (3.1)

Kemudian dari persamaan potensial kimia (2.14) akan diperoleh :

potential kimia quark up sebagai

µu =√ν2u +m2

u +3

2π2

[muνu

√ν2u +m2

u −m3u ln

νu +√ν2u +m2

u

mu

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B

+ δDInα−1B e−βnB (βnB − α)

]+

6nd

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

}

+3

2π2

[mdνd

√ν2d +m2

d −m3d ln

νd +√ν2d +m2

d

md

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B

− δDInα−1B e−βnB (βnB − α)

]− 6nd

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

},

sedangkan untuk quark down adalah

µd =√ν2d +m2

d +3

2π2

[muνu

√ν2u +m2

u −m3u ln

νu +√ν2u +m2

u

mu

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B


]− 6nu

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

}

+3

2π2

[mdνd

√ν2d +m2

d −m3d ln

νd +√ν2d +m2

d

md

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B


]+

6nu

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

}.


10

Kemudian untuk quark strange adalah

µs =√ν2s +m2

s +3

2π2

[muνu

√ν2u +m2

u −m3u ln

νu +√ν2u +m2

u

mu

]

×1

3

[− D

3n4/3B


]

+3

2π2

[mdνd

√ν2d +m2

d −m3d ln

νd +√ν2d +m2

d

md

]

×1

3

[− D

3n4/3B


]

+3

2π2

[msνs

√ν2s +m2

s −m3s ln

νs +√ν2s +m2

s

ms

]{− D

3nB4/3

}1

3.

sehingga selisih keduanya adalah

µu − µd =√ν2u +m2

u −√ν2d +m2

d

+DInαBe−βnB

[f

(νumu

)6nu

nu + nd− f

(νdmd

)6nd

nu + nd

], (3.2)

dan

µu − µs =√νu2 +mu

2 −√νs2 +ms

2

+DInBe−βnB

6nd

(nd + nu)2

[f

(νumu

)nu − f

(νdmd

)nd

]+

D

9n4/3B

nsf

(νsms

). (3.3)

Di sini f(x) didefinisikan sebagai

f (x) =3

2x3

[x√x2 + 1− ln

(x+√x2 + 1

)].

Pada proses perhitungan, besaran yang menentukan persamaan keadaan ma-

teri quark adalah momentum Fermi untuk tiap konstituen (quark up, down,

strange dan electron). Selanjutnya dari momentum Fermi yang diperoleh nan-

tinya akan didapatkan persamaan keadaan (tekanan dan densitas energi) dari

materi quark strange. Hasil dari persamaan keadaan yang didapat akan digu-

nakan sebagai input untuk menghitung persamaan TOV.

Dari persamaan (2.16) dan (2.17) juga (3.2) dan (3.1) bisa diperoleh per-

umusan untuk perhitungan numerik. Pertama, dari (2.16) bisa diperoleh dua


11

persamaan sebagai berikut

Eu − Es +DInαBe−βnB

[nuf

(νumu

)− ndf

(νdmd

)]6nd

(nu + nd)2 + µe = 0 (3.4)

Ed − Es +DInαBe−βnB

[ndf

(νdmd

)− nuf

(νumu

)]6nu

(nu + nd)2 = 0 (3.5)

dengan

Ei =√ν2i +m2

i .

Dari tiga persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17) bisa dicari nilai momen-

tum Fermi untuk masing-masing konstituen pada nilai densitas baryon terten-

tu. Secara umum, momentum Fermi masing-masing konstituen bisa ditemuk-

an dengan cara mencari solusi untuk sistem persamaan non-linear. Metode

dalam perhitungan numerik yang dikerjakan dalam penelitian adalah metode

fixed-point.

3.2 Metode Fixed-Point

Pada metode fixed-point [10] sistem persamaan non-linear diselesaikan de-

ngan memberikan suatu nilai solusi tebakan. Kemudian dari solusi tebakan

di awal perhitungan tersebut, dicari solusi baru yang lebih akurat. Begitu

seterusnya sampai tercapai suatu keadaan konvergen, yakni ketika solusi yang

diperoleh pada setiap proses perhitungan sudah tidak mengalami perubahan

yang signifikan.

Tahap pertama adalah menentukan persamaan apa saja yang masuk dalam

sistem persamaan non-linear, dalam penelitian ini persamaan tersebut adalah

persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17). Ada 4 (empat) variable yang ingin

dicari, sehingga perlu ada 4 (empat) persamaan yang tersedia. Dalam hal ini

penulis menggunakan variable nB sebagai nilai input untuk menghitung νu,

νd, νs dan νe. Namun dari keempat persamaan tersebut, bisa disederhanakan

menjadi 2 persamaan saja. Berikutnya persamaan yang digunakan ke dalam

teknis komputasi adalah√ν2u +m2

u − F1 (νu, νd) = 0, (3.6)√ν2d +m2

d − F2 (νu, νd) = 0, (3.7)


12

sehingga dihasilkan

νu =√F 21 (νu, νd)−m2

u, (3.8)

νd =√F 22 (νu, νd)−m2

d.. (3.9)

Perumusan di atas menggunakan fungsi yang hanya bergantung dari νu dan

νd saja, karena variabel lain seperti νs dan νe sudah disubtitusi dari persamaan

(2.7) dan (2.17) ke persamaan (3.4) dan (3.5).

Selanjutnya dengan metode fixed-point, dari persamaan (3.8) dan (3.9)

menjadi

νi+1u = νiu − C

[νiu −

√F 21 (νiu, ν

id)−m2

u

], (3.10)

νi+1d = νid − C

[νid −

√F 22 (νiu, ν

id)−m2

d

], (3.11)

dengan i adalah iterasi perhitungan dan C adalah suatu konstanta tak berdi-

mensi yang nilainya cukup kecil. Konstanta ini berguna untuk menghindari

perubahan nilai solusi yang signifikan. Semakin kecil nilai C maka semakin

akurat dalam pencarian solusi.

Kemudian syarat agar solusi bisa didapatkan adalah nilai berhenti dari

perhitungan menunjukkan hasil yang konvergen. Pada penelitian ini, penulis

menggunakan syarat konvergen saat hasil dari persamaan berikut√ν2u +m2

u − F1 (νu, νd) ' 0, (3.12)√ν2d +m2

d − F2 (νu, νd) ' 0. (3.13)


BAB 4

HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS

4.1 CIDDM

Pada bab ini kami akan memberikan hasil-hasil perhitungan numerik ber-

dasarkan analisisnya. Dari hasil perhitungan, diperoleh beberapa hasil plot

yang kami tunjukkan pada Gambar 4.1 - 4.3.

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.5 1 1.5

Frac

tion

nB(fm-3)

(a) DI-0

udse

Gambar 4.1: Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CIDDM dengan

menggunakan set parameter DI-0.

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.5 1 1.5

Frac

tion

nB(fm-3)

(a) DI-300

udse

Gambar 4.2: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300.


14

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.5 1 1.5

Frac

tion

nB(fm-3)

(a) DI-2500

udse

Gambar 4.3: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500.

Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 untuk set parameter DI−0

kami menggunakan parameter DI = 0, α = 0, β = 0, D1/2 = 156 MeV pada

perhitungan, set parameter ini merupakan parameter yang biasa digunakan

pada model CDDM [11]. Untuk set parameter DI − 300 set parameter yang

digunakan adalah DI = 300 MeV.fm3α, α = 1, β = 0.1 fm3, D1/2 = 151

MeV dan untuk set parameter DI − 2500, parameter yang digunakan adalah

DI = 2500 MeV.fm3α, α = 0.8, β = 0.1 fm3 dan D1/2 = 144 MeV. Terlihat

bahwa fraksi quark up, down dan strange akan bernilai sama para kondisi rapat

bilangan baryon yang tinggi. Pada saat itu juga fraksi elektron bernilai sangat

kecil mendekati nol. Hal ini mengindikasikan bahwa pada kondisi nilai nB yang

besar untuk mencapai keadaan yang netral, lepton (dalam hal ini elektron)

tidak berperan penting. Sedangkan pada kondisi nB yang cukup kecil, terdapat

perbedaan nilai fraksi antara ketiga parameter isospin terutama pada fraksi

quark down, strange dan elektron. Pada parameter isospin yang lebih besar

kondisi keseimbangan dan netralitas tetap terpenuhi dimana efeknya dikontrol

oleh nilai dari parameter DI.

Dilihat dari persamaan keadaan yang dihasilkan dari model CIDDM, dari

Gambar 4.4 terlihat bahwa semua energi minimum materi quark strange ber-

ada di bawah nilai 930 MeV. Hal ini sesuai dengan prediksi dari referensi [3].

Dimana kestabilan materi quark membutuhkan energi minimum yang kurang

dari 930 MeV. Nilai dari tekanan pada daerah nilai nB → 0 menunjukkan nilai

negatif sedangkan pada rapat energi menunjukkan nilai positif. Hal ini sesuai

dengan kriteria model bag MIT yang mengindikasikan hal yang sama [7].

Plot relasi massa dan radius bintang pada Gambar 4.5. Terlihat bahwa


15

50

150

250

350

450

550

650

750

850

950

1050

1150

1250

0.4 0.8 1.2 1.6 2nB(fm-3)

(a) DI-0

P(MeV/fm-3)E(MeV)

0.4 0.8 1.2 1.6 2nB(fm-3)

(b) DI-300

0.4 0.8 1.2 1.6 2nB(fm-3)

(c) DI-2500

Gambar 4.4: Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan model

CIDDM.

pada persamaan keadaan yang kebergantungan pada isospinnya paling besar

memiliki massa maksimum paling besar. Pada hasil pengamatan massa pulsar

PSR J1614-2230 dengan massa 1.97 ± 0.04 massa solar menunjukkan bahwa

pada pulsar atau bintang quark yang memiliki massa maksimum lebih besar,

maka kebergantungan pada isospin juga semakin besar.

Selanjutnya dapat dilihat di Gambar 4.6, tekanan materi quark dengan te-

kanan quark bebas (free) menunjukkan nilai asimtotik yang berbeda dengan

hasil perhitungan pQCD (Gambar 2.1). Hasil dari model CIDDM memberi-

kan prediksi bahwa pada nilai densitas baryon nB yang besar, materi quark

menjadi quark yang tidak saling berinteraksi. Hal ini diindikasikan dengan

nilai perbandingan P/PSB yang bernilai 1 dinilai nB yang besar.

Namun pada kondisi nilai rapat bilangan baryon nB yang kecil, berdasarkan

Gambar 4.8, kondisi awal materi quark lebih ditentukan oleh besarnya nilai

parameter D. Dengan memperbesar nilai D pada suku massa quark, maka

diperoleh grafik prediksi yang mulai pada nilai nB yang lebih besar.


16

0.5

1

1.5

2

2 4 6 8 10 12

M/M

sun

Radius (km)

J1614-2230DI-0

DI-300DI-2500

B1/4=154.5 MeV

Gambar 4.5: Relasi massa dan radius bintang.

4.2 Prediksi pQCD

Dari kurva plot prediksi tekanan pada materi quark strange, bisa dilakukan

perumusan analitik bagaimana perilaku tekanan pada model CIDDM pada

kondisi rapat bilangan baryon (nB) yang sangat besar.

Pada kondisi nilai nB yang cukup besar, maka terjadi kondisi

1. νu = νd = νs = ν

2. nu = nd = ns = nB = ν3

π2

3. mu = md = m 6= ms = constant

juga pada perumusan potensial kimia pada materi quark menjadi

1. µu = µd '√ν2 +m2

2. µs '√ν2 +ms

2

3. µe ' 0

yang menyebabkan beberapa besaran seperti tekanan dan densitas energi bin-


17

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1000 1500 2000 2500 3000 3500

P/P S

B

µB(MeV)

DI-0DI-300

DI-2500

Gambar 4.6: Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada materi quark

berdasarkan model CIDDM.

tang perumusannya menjadi

P = −ε+∑

i=u,d,s,e

niµi,

' − 6

8π2

[ν√ν2 +m2

(2ν2 +m2

)−m4 ln

(ν

m+

√( νm

)2+ 1

)]

− 3

8π2

ν√ν2 +ms2(2ν2 +ms

2)−ms

4 ln

ν

ms

+

√(ν

ms

)2

+ 1

+2

ν3

π2

√ν2 +m2 +

ν3

π2

√ν2 +ms

2. (4.1)

Dengan menggunakan pendekatan matematis berupa

(1 + x)n ' 1 + nx,

untuk nilai x = m/ν << 1, sehingga persamaan (4.1) dengan menjaga orde

m/ν tidak lebih dari 2, menjadi

P ' −(

6

8π2

)2ν2

(ν2 +m2

)−(

3

8π2

)2ν2

(ν2 +ms

2)

+3ν4

π2+m2ν2

π2+ms

2ν2

π2. (4.2)

Kemudian pada perumusan pressure untuk tiga quark tak bermassa

PSB =3

4π2

(µB3

)4, (4.3)

µB = 3ν, (4.4)


18

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

P/P S

B

µB(MeV)

DI-300

_=1; `=0.1; D=0.58_=2; `=0.1; D=0.58

_=2.5; `=0.1; D=0.58_=3.0; `=0.1; D=0.58_=1.0; `=0.1; D=1.0_=1.0; `=0.1; D=1.5_=1.5; `=0.1; D=1.0

Gambar 4.7: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai

parameter yang bervariasi pada DI-300.

sehingga

PSB =3

4π2ν4. (4.5)

Selanjutnya, rasio dari pressure P pada materi quark CIDDM model de-

ngan PSB menjadi

P

PSB=−ε+

∑i=u,d,s,e niµi

34π2 (µB/3)4

,

' 1− 2

3

m2

ν2− 1

3

ms2

ν2, (4.6)

Dari perumusan dan hasil grafik bisa diperkirakan bahwa dari model CI-

DDM, pada kondisi rapat bilangan baryon nB yang sangat besar, quark cen-

derung bersifat bebas dan tak terikat satu sama lain. Hal itu ditunjukkan

pada persamaan (4.6) yang akan bernilai P/PSB ' 1 ketika nilai nB atau ν

menjadi sangat besar. Nilai 1 mengindikasikan bahwa tekanan pada materi

quark adalah sama dengan tekanan pada tiga quark yang saling bebas.

Hal ini disebabkan pada keadaan nilai nB yang besar, masing-masing quark

yang terkurung dalam suatu bag dengan suatu tekanan tertentu (konstan) bisa

menembus dinding bag yang menyebabkan quark menjadi bebas. Dalam hal

ini diambil analogi model bag MIT karena hasil yang sama juga terjadi pada

model ini. Dan kalau kita telusuri lebih lanjut, memang model CIDDM adalah

suatu model yang dikembangkan berdasarkan model bag MIT.


19

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

P/P S

B

µB(MeV)

DI-2500

_=0.8; `=0.1; D=0.53_=1.5; `=0.1; D=0.53_=2.0; `=0.1; D=0.53_=1.0; `=2.5; D=0.53

Gambar 4.8: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi

parameter pada DI-2500.

Jika dibandingkan dengan hasil pQCD, menunjukkan pada kondisi nilai nB

yang besar pun quark tetap berinteraksi dalam bag, tetapi kali ini nilai bag

tidak konstan namun berubah (membesar) seiring membesarnya nilai nB.

Pada tekanan materi quark yang bernilai nol yang berarti tekanan materi

quark sama besar dengan konstanta bag B. Konstanta bag diibaratkan sebagai

tekanan yang digunakan untuk membuat vakum bag.

Ketika melakukan variasi dengan menaikkan nilai D, terlihat pada plot

prediksi Gambar 4.8 bahwa tekanan pada nilai nol bergeser ke nilai nB yang

lebih besar. Hal ini disebabkan interaksi antar quark semakin kuat dengan

memperbesar nilai parameter D, interaksi yang terjadi adalah interaksi tarik-

menarik. Pada nilai nB tertentu, tekanan akibat interaksi tarik-menarik pada

materi quark bisa diimbangi dengan energi kinetiknya. Sehingga untuk nilai D

yang semakin besar, dibutuhkan energi kinetik yang lebih besar (dalam hal ini

energi kinetik berkaitan dengan nilai dari nB). Sedangkan dengan menaikkan

nilai parameter isospin, ternyata tidak terjadi pergeseran grafik yang meng-

indikasikan bahwa interaksi isospin tidak memegang peranan penting dalam

menentukan keadaan materi quark terutama pada nilai nB yang besar.

Melihat dari persamaan (4.6) dan dari Gambar 4.6 dan juga Gambar 4.8

dapat diperkirakan bahwa dibutuhkan suatu perumusan tekanan materi quark

yang tidak bernilai asimtotik 1 pada nilai nB yang besar. Penulis memperkirak-

an bahwa hal tersebut bisa saja diperoleh dengan menggunakan penambahan


20

suatu nilai bag tertentu yang nilainya bergantung pada nilai nB, semakin besar

nilai nB maka semakin besar nilai bag.

Melihat dari hasil perumusan (4.6), nilai bag yang dibutuhkan pada peru-

musan pressure agar konsisten dengan hasil pQCD perlu ditulis dalam bentuk

B = B0PSB (4.7)

dengan B0 adalah suatu parameter yang menunjukkan seberapa besar interaksi

rata-rata antar quark.


BAB 5

KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari basil perhitungan untuk model CIDDM dan perbandingan dengan

perhitungan perturbative QCD, bisa disimpulkan bahwa

1. Sebagai pengembangan dari model bag MIT, model CIDDM sesuai de-

ngan kriteria model bag MIT para nilai densitas baryon rendah.

2. Model CIDDM cukup akurat dalam menentukan relasi mass-radisu bin-

tang. Gambar 4.5 menunjukkan bahwa kebergantungan isospin berper-

an dalam menentukan harga massa maksimum pada relasi massa-radius

bintang.

3. Persamaan keadaan bintang pada densitas baryon yang rendah bisa dip-

rediksi dengan menggunakan CIDDM.

4. Pada daerah nilai densitas baryon yang besar, berdasarkan model CI-

DDM, quark cenderung bersifat bebas (free) terlihat dari Gambar 4.6.

Berbeda dengan prediksi perturbative QCD yang memprediksi bahwa qu-

ark pada daerah nilai densitas baryon besar quark cenderung memiliki

interaksi rata-rata yang bergantung densitas baryon. Hal ini terlihat dari

Gambar 2.1.

5. Untuk menghasilkan prediksi yang sesuai dengan perhitungan pertur-

bative QCD, dibutuhkan nilai tekanan yang sebanding dengan tekanan

materi quark bebas (free) pada nilai densitas baryon yang besar.

5.2 Saran

Dari hasil yang disajikan dalam skripsi ini, beberapa kesimpulan didapat

seperti dengan model CIDDM ternyata pada nilai densitas baryon besar quark

cenderung bersifat bebas dan bertentangan dengan prediksi perturbative QCD

yang mana quark cenderung berikatan. Dengan demikian, penelitian lebih

lanjut diperlukan untuk mendapatkan perumusan persamaan keadaan bintang


22

yang lebih baik berdasarkan model CIDDM. Persamaan keadaan tersebut ha-

rus sesuai dengan kriteria model bag MIT pada nilai densitas baryon rendah

dan sesuai dengan perhitungan perturbative QCD pada nilai densitas baryon

tinggi.


DAFTAR ACUAN

[1] Lattimer. J. M. (2005). Neutron Stars. SLAC Summer Institute on Par-

ticle Physics.

[2] Weber, F. (2004). Strange Quark Matter and Compact Stars. arXiv: astro-

ph/0407155v2.

[3] Farhi, E., Jaffe, R. L. (1984). Strange Matter. Phys. Rev. D, 30, 2379.

[4] Chodos, A., Jaffe, R. L., Johnson, K., Thorn, C. B., Weisskopf, V.

F.(1974). New Extended Model of Hadrons. Phys. Rev. D, 9, 3471.

[5] A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C. B. Thorn.(1974). Baryon Structure

in The Bag Theory. Phys. Rev. D 10, 2599.

[6] Fowler, G. N., Raha, S., Weiner, R. M.(1981). Z. Phys. C, 9, 271.

[7] Peng, G. X., Chiang, H. C., Yang, J. J., Li, L., Liu, B.(1999). Mass For-

mulas and Thermodynamic Treatment in The Mass-Density-Dependent

Model of Strange Quark Matter. Phys. Rev. C, 61, 015201.

[8] Fraga, E. S., Kurkela, A., Vourinen, A.(2013). Interacting Quark Matter

Equation of State for Compact Stars. arXiv:1311.5154v1 [nucl-th].

[9] Ryder, Lewis.(2009). Introduction to General Relativity, P.146-150, 243-

250, University of Kent, UK: Cambridge University Press.

[10] Richard, L. B., J. Douglas F(2010). Numerical Analysis (9th ed). Cengage

Learning

[11] Chu, P. C., Chen, L. W. (2012). Quark Matter Symmetry Energy and

Quark Stars. arXiv:1212.1388v1 [astro-ph.SR].

[12] Glendenning, N. K(2000). Compact Stars: Nuclear Physics, Particle

Physics, and General Relativity (2nd ed). Springer.


LAMPIRAN A

Persamaan TOV

Dari referensi [9], persamaan TOV mulai dari perumusan tensor energi-

momentum untuk fluida yang diam

T̃ µν =

ρ 0 0 0

0 pc2

0 0

0 0 pc2

0

0 0 0 pc2

, (A.1)

atau bisa ditulis dalam bentuk

T̃ 00 = ρ, (A.2)

T̃ ij =p

c2δij, (A.3)

dan

T̃ µν = 0, (A.4)

untuk nilai µ 6= ν.

Selanjutnya, bentuk kontravarian (agar tensor energi-momentum invariant

terhadap transformasi Lorentz) dari T̃ µν adalah

T ij = ΛiµΛj

νT̃µν , (A.5)

dengan

Λik = δik +

γ − 1

v2vivk, (A.6)

Λi0 = γ

vi

c, (A.7)

Λ00 = γ, (A.8)

adalah elemen-elemen matriks Lorentz.

Sehingga, perumusan tensor energi-momentum menjadi

T ij = ΛikΛ

jmT̃

km + Λi0Λ

j0T̃

00

=

(δik +

γ − 1

v2vivk

)(δjm +

γ − 1

v2vjvm

)p

c2δkm + γ2

vivj

c2ρ, (A.9)

T 00 = Λ0iΛ

0j T̃

ij +(Λ0

0

)2T̃ 00

=(γ2 − 1

) pc2

+ γ2ρ, (A.10)


25

atau bisa ditulis dalam bentuk yang lebih kompak

T µν =p

c2gµν +

(ρ+

p

c2

)uµuν , (A.11)

dengan

gµνuµuν = −1 = gµνuµuν . (A.12)

Untuk mendapatkan tensor metrik gµν , berawal dari ansatz yang sudah

umum digunakan [9]

gµν =

−e−2k 0 0 0

0 e−2m 0 0

0 0 1r2

0

0 0 0 1r2 sin2 θ

, (A.13)

gµν =

−e2k 0 0 0

0 e2m 0 0

0 0 r2 0

0 0 0 r2 sin2 θ

. (A.14)

Kemudian persamaan-persamaan di atas digunakan untuk menyelesaikan per-

samaan medan Einstein sebagai

Rµν −

1

2δµνR =

8πG

c2T µν , (A.15)

untuk mendapatkan perumusan metrik untuk interior bintang dengan suatu

jari-jari Rstar tertentu.

Dengan beberapa relasi berikut

T µν = T µαgαν , (A.16)

Rµν = gµαRαν , (A.17)

R = gµνRµν

= R00 +R1

1 +R22 +R3

3, (A.18)

dengan definisi Christoffel symbol

Γνµκ =1

2gνρ (gµρ,κ + gκρ,µ − gµκ,ρ) , (A.19)

dan tensor Ricci

Rµν = Γκµν,κ − Γκµκ,ν + ΓκρκΓρµν − ΓκρνΓ

ρµκ, (A.20)


26

akan diperoleh

R00 = e−2m

(−k′′ − (k′)

2+ k′m′ − 2k′

r

), (A.21)

R11 = e−2m

(−k′′ − (k′)

2+ k′m′ − 2m′

r

), (A.22)

R22 = R3

3 = e−2m(− 1

r2− k′

r+m′

r

)+

1

r2, (A.23)

R = e−2m(−2k′′ − 2 (k′)

2+ 2k′m′ − 4

r(k′ −m′)− 2

r2

)+

2

r2, (A.24)

dengan

a′ =da

dr, (A.25)

dan

T µν =

−ρ 0 0 0

0 pc2

0 0

0 0 pc2

0

0 0 0 pc2

. (A.26)

Subtitusi relasi (A.21), (A.22), (A.23), (A.24), dan (A.26) ke dalam persa-

maan medan Einstein (A.15), maka kita mendapatkan hasil sebagai berikut

e−2m(−2

rm′ +

1

r2

)− 1

r2= −8πGρ

c2(A.27)

e−2m(

2

rk′ +

1

r2

)− 1

r2= −8πG

c2p

c2, (A.28)

e−2m(k′′ + (k′)

2 − k′m′ + k′

r− m′

r

)=

8πG

c2p

c2. (A.29)

Dari persamaan (A.27) akan didapat bahwa

e−2m = 1− 8πGρ

3c2r2, (A.30)

juga dari persamaan (A.28) setelah didifferensialkan terhadap r lalu disubti-

tusikan ke persamaan (A.29) untuk mendapatkan

8πG

c4p′ = −2k′

r(k′ +m′) e−2m. (A.31)


27

Jumlahkan persamaan (A.27) dan (A.28) untuk mendapatkan

e−2m (k′ +m′)2

r=

8πG

c2

(ρ+

p

c2

). (A.32)

Kemudian bandingkan persamaan (A.31) dan (A.32) untuk mendapatkan

p′

c2= −k′

(ρ+

p

c2

). (A.33)

Dari persamaan (A.33) ini bisa didapatkan persamaan TOV, dengan mensub-

titusi k′ ke persamaan (A.28) untuk mendapatkan

dp

dr= − 4πG

r − 2MGc2

( pc2

+ρ

3

)( pc2

+ ρ)r2. (A.34)

Sejauh ini, dalam mendapatkan persamaan (A.34), masih digunakan asum-

si bahwa nilai ρ adalah konstan atau dengan kata lain massa bintang terdistri-

busi secara merata (uniform). Namun pada kenyataanya, persamaan tersebut

bisa digunakan untuk bintang dengan densitas massa yang tidak uniform [9],

dengan beberapa modifikasi menjadi

dp

dr= −G

(ρ+ p

c2

) (M + 4πr3 p

c2

)r(r − 2MG

c2

) , (A.35)

dengan

dM

dr= 4πρr2dr. (A.36)


LAMPIRAN B

Materi Quark dengan CIDDM

Materi quark pada CDDM dan CIDDM bermula dari perumusan yang

sama, dimulai dari perumusan massa, untuk CIDDM massa quark dirumsukan

sebagai

mq = mq0 +mI +miso

= mq0 +D

nB1/3− τqδDInB

αe−βnB , (B.1)

dengan beberapa variabel didefinisikan sebagai

δ = 3nd − nund + nu

, (B.2)

nB =nu + nd + ns

3, (B.3)

yang mana nilai dari τq bisa bernilai 0 untuk quark strange, 1 untuk quark

up, dan -1 untuk quark down. Kemudian rapat bilangan untuk masing-masing

quark adalah

n =ν3iπ2, (B.4)

dengan i adalah quark up, down dan strange. Kemudian momentum Fermi

untuk quark up dan down bisa diekspresikan dengan

νu = (1− δ/3)1/3 ν, (B.5)

νd = (1 + δ/3)1/3 ν. (B.6)

Kemudian, untuk persamaan keadaan materi quark, disini didefinisikan

densitas energi pada materi quark

ε =∑i

gi2π2

∫νi

√k2 +mi

2k2dk

=∑i

gi2π2

1

8

[νi

√ν2i +m2

i

(2ν2i +m2

i

)−m4

i lnνi +

√ν2i +m2

i

mi

],(B.7)

dan tekanan didapat dari relasi termodinamika dimana sistem bintang quark

diasumsikan sebagai sistem yang terisolir dan energi dari bintang ini adalah

kekal. Dari hukum pertama termodinamika

d′Q = dE + pdV, (B.8)


29

yang mana d′Q = 0 sehingga

p = −∂E∂V

. (B.9)

Jika persamaan (B.9) dimodifikasi dengan memperkenalkan suatu nilai N (dari

[12]) yakni jumlah partikel yang nilainya tetap sehingga didapat beberapa

besaran sebagai berikut

ε =E

V, (B.10)

n =N

V, (B.11)

sehingga tekanannya menjadi

p = −∂(εnN)

∂(Nn

)= n2∂ (ε/n)

∂n

= n∂ε

∂n− ε. (B.12)

atau lebih lengkapnya menjadi

p = −ε+∑i

ni∂ε

∂ni, (B.13)

yang mana faktor ∂ε/∂ni disebut potensial kimia.

Dari densitas energi pada persamaan (B.7) didapatkan perumusan poten-

sial kimia quark

µi =∑j

ν2j√ν2j +m2j

∂νj∂ni

+1

2

∂mj

∂ni

mjνj

√ν2j +m2

j −m3j ln

νj +√ν2j +m2

j

mj

.Potensial kimia quark up:

∂mu

∂nu=

1

3

[− D

3n4/3B


]

+6nd

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB , (B.14)

∂md

∂nu=

1

3

[− D

3n4/3B


]

− 6nd

(nd + nu)2DIn



30

∂νu∂nu

=π2

3ν2u, (B.16)

∂νd∂nu

= 0, (B.17)

didapatkan

µu =√ν2u +m2

u +3

2π2

[muνu

√ν2u +m2

u −m3u ln

νu +√ν2u +m2

u

mu

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B


]+

6nd

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

}

+3

2π2

[mdνd

√ν2d +m2

d −m3d ln

νd +√ν2d +m2

d

md

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B


]− 6nd

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

}.

Kemudian untuk quark down

∂mu

∂nd=

1

3

[− D

3n4/3B


]

− 6nu

(nd + nu)2DIn


∂md

∂nd=

1

3

[− D

3n4/3B


]

+6nu

(nd + nu)2DIn


∂νu∂nd

= 0, (B.20)

∂νd∂nu

=π2

3ν2d, (B.21)


31

didapatkan

µd =√ν2d +m2

d +3

2π2

[muνu

√ν2u +m2

u −m3u ln

νu +√ν2u +m2

u

mu

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B


]− 6nu

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

}

+3

2π2

[mdνd

√ν2d +m2

d −m3d ln

νd +√ν2d +m2

d

md

]

×{

1

3

[− D

3n4/3B


]+

6nu

(nd + nu)2DIn

αBe−βnB

},

dan untuk quark strange adalah

µs =√ν2s +m2

s +3

2π2

[muνu

√ν2u +m2

u −m3u ln

νu +√ν2u +m2

u

mu

]

×1

3

[− D

3n4/3B


]

+3

2π2

[mdνd

√ν2d +m2

d −m3d ln

νd +√ν2d +m2

d

md

]

×1

3

[− D

3n4/3B


]

+3

2π2

[msνs

√ν2s +m2

s −m3s ln

νs +√ν2s +m2

s

ms

]{− D

3nB4/3

}1

3.


Universitas Indonesia Asimetri Isospin Pada Materi Quark Skripsi Ali ...

Documents

Transcript of Universitas Indonesia Asimetri Isospin Pada Materi Quark Skripsi Ali ...