TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM

CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội – Năm 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

TRẦN THỊ THƠM


TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM

CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 9440107

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên

2. PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành

Hà Nội - Năm 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả

được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ

công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Trần Thị Thơm

i

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn

Đình Kiên và PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến

các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.

Trong quá trình thực hiện Luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo

điều kiện của tập thể Lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Học viện

Khoa học và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; tập thể

Ban lãnh đạo, cán bộ Viện Cơ học. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về những

sự giúp đỡ đó.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn,

Viện Cơ học; anh chị em trong nhóm Seminar đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho

tôi trong quá trình thực hiện Luận án.

Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia

sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này.

Tác giả Luận án

Trần Thị Thơm

ii

MỤC LỤC

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2.1. Phương pháp CPVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2.2. Phương pháp PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Phân tích dầm 2D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Nghiên cứu dầm FGM trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Định hướng nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Điểm mới của Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Chương 2. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Lý thuyết dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Phương trình dựa trên FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.3. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

iii

iv

2.4. Phương trình dựa trên ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Ứng suất nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6. Thế năng của lực ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.1. Điều kiện biên về lực và mô-men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.2. Điều kiện biên về chuyển vị và góc quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Chương 3. Mô hình phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1. Mô hình phần tử dầm FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1. Mô hình phần tử FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2. Mô hình phần tử FBHi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Phương trình chuyển động rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Thuật toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.1. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5.2. Phương pháp gia tốc trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.3. Véc-tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5.4. Quy trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.3. So sánh các mô hình phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

v

4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1.4. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.1.5. Mode dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2. Dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.2.1. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.2.2. Ảnh hưởng của tham số thiết diện và dạng thon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3. Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.1. Ảnh hưởng của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Danh mục công trình liên quan tới Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Phụ lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Các kí hiệu thông thường

A0 Diện tích thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

A(x) Diện tích thiết diện ngang

A11 Độ cứng dọc trục

A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn

A22 Độ cứng chống uốn

A33 Độ cứng chống trượt (Dùng trong FSDT)

A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo

A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn

A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao

B11,B22,B44 Các độ cứng chống trượt (Dùng trong ITSDT)

b(x) Chiều rộng dầm thon

c Tham số thiết diện

Dd Tham số động lực học

EC1 Mô-đun đàn hồi của gốm 1

EC2 Mô-đun đàn hồi của gốm 2

EM1 Mô-đun đàn hồi của kim loại 1

EM2 Mô-đun đàn hồi của kim loại 2

E(x,z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng

GC1 Mô-đun trượt của gốm 1

GC2 Mô-đun trượt của gốm 2

GM1 Mô-đun trượt của kim loại 1

GM2 Mô-đun trượt của kim loại 2

G(x,z) Mô-đun trượt hiệu dụng

h Chiều cao dầm

h(x) Chiều cao dầm thon

vi

vii

I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I0 Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon)

I(x) Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang

I11 Mô-men khối lượng dọc trục

I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay

I22 Mô-men khối lượng xoay của thiết diện ngang

I34, I44, I66 Mô-men khối lượng bậc cao

l Chiều dài một phần tử

L Chiều dài dầm

n Tham số vật liệu của dầm 1D-FGM

nx Tham số vật liệu theo chiều dài

nz Tham số vật liệu theo chiều cao

nE Số lượng phần tử rời rạc của dầm

P Độ lớn lực di động

P Tính chất hiệu dụng

PC1 Tính chất vật liệu của gốm 1

PC2 Tính chất vật liệu của gốm 2

PM1 Tính chất vật liệu của kim loại 1

PM2 Tính chất vật liệu của kim loại 2

T Động năng

U Năng lượng biến dạng

UB Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm

UT Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt

V Thế năng của lực di động

L Phiếm hàm Lagrange

VC1 Tỷ phần thể tích của gốm 1

VC2 Tỷ phần thể tích của gốm 2

VM1 Tỷ phần thể tích của kim loại 1

viii

VM2 Tỷ phần thể tích của kim loại 2

s Quãng đường lực P đi được

T Nhiệt độ môi trường

T0 Nhiệt độ tham chiếu (300K ∼ 27◦C)

u(x,z, t) Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì

u0(x, t) Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt giữa

v Vận tốc lực di động

w(x,z, t) Chuyển vị ngang của điểm bất kì

w0(x, t) Chuyển vị ngang của điểm trên mặt giữa

wst Độ võng tĩnh tại giữa dầm

Véc-tơ và ma trận

d Véc-tơ chuyển vị nút phần tử

D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể

D Véc-tơ vận tốc nút tổng thể

D Véc-tơ gia tốc nút tổng thể

Fex Véc-tơ lực nút tổng thể

Fef Véc-tơ lực nút hiệu dụng

Nu Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục

Nw Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang

Nθ Ma trận các hàm nội suy cho góc quay θ

Nγ Ma trận các hàm nội suy cho góc trượt ngang γ0

K Ma trận độ cứng tổng thể

K ef Ma trận độ cứng hiệu dụng

M Ma trận khối lượng tổng thể

Chữ cái Hy Lạp

α Hệ số giãn nở nhiệt của dầm

αC1 Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 1

ix

αC2 Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 2

αM1 Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 1

αM2 Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 2

γ0 Góc trượt ngang

θ(x, t) Góc quay của thiết diện ngang

ψ Hệ số điều chỉnh trượt

ωi Tần số tự nhiên thứ i của dầm

ω1 Tần số tự nhiên cơ bản

µi Tham số tần số thứ i

µ1 Tham số tần số cơ bản

∆T Sự tăng của nhiệt độ

∆t Bước thời gian

∆T ∗ Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm

εxx Biến dạng dọc trục

γxz Biến dạng trượt

σxx Ứng suất dọc trục (ứng suất pháp)

σ Txx Ứng suất nhiệt ban đầu

τxz Ứng suất trượt (ứng suất tiếp)

ρ Mật độ khối (khối lượng riêng) hiệu dụng của dầm

ρC1 Mật độ khối của gốm 1

ρC2 Mật độ khối của gốm 2

ρM1 Mật độ khối của kim loại 1

ρM2 Mật độ khối của kim loại 2

νC1 Hệ số Poisson của gốm 1

νC2 Hệ số Poisson của gốm 2

νM1 Hệ số Poisson của kim loại 1

νM2 Hệ số Poisson của kim loại 2

Chữ viết tắt

x

CBT Lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory)

CPVP Cầu phương vi phân

FGM Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material)

FSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

(First-order Shear Deformation Theory)

ITSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến

(Improved Third-order Shear Deformation Theory)

FBHi Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy thứ bậc

(First-order Beam element using Hierarchical shape functions)

FBKo Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy Kosmatka

(First-order Beam element using Kosmatka interpolation)

PTHH Phần tử hữu hạn

TBSθ Mô hình phần tử ITSDT sử dụng θ là hàm độc lập

(Third-order Beam element based on Shi theory using θ )

TBSγ Mô hình phần tử ITSDT sử dụng γ0 là hàm độc lập

(Third-order Beam element based on Shi theory using γ0)

TSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba

(Third-order Shear Deformation Theory)

Danh sách hình vẽ

Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Hình 2.2 Sự thay đổi tỷ phần thể tích của C1 và C2 theo chiều cao và

chiều dài dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Hình 2.3 Biến thiên của mô-đun đàn hồi theo chiều cao và chiều dài dầm . . . 21

Hình 2.4 Biến thiên của mật độ khối theo chiều cao và chiều dài dầm . . . . . 22

Hình 2.5 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm 2D-FGM

với nx = nz = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Hình 2.6 Mô hình dầm thon 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Hình 3.1 (a) Các hàm dạng thứ bậc, (b) Các bậc tự do của phần tử dầm thứ bậc 48

Hình 3.2 Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong

môi trường nhiệt độ sử dụng mô hình TBSγ . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Hình 3.3 Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM chịu

lực di động sử dụng mô hình FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Hình 4.1 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên

của dầm S-S với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Hình 4.2 Sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa

giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


của dầm C-C với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Hình 4.4 Tham số tần số cơ bản của dầm C-C với các giá trị khác nhau

của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


của dầm C-F với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Hình 4.6 Tham số tần số cơ bản của dầm C-F với các giá trị khác nhau

của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá

trị L/h khác nhau (∆T = 50K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Hình 4.8 Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ0 của dầm S-S với

∆T = 0K: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0.5) . . . . . . . . . . 85

xi

xii


∆T = 50K: (a) (nx,nz) = (1,0.1), (b) (nx,nz) = (1,2) . . . . . . . . . . . 85


∆T = 50K: (a) (nx,nz) = (0.1,1), (b) (nx,nz) = (2,1) . . . . . . . . . . . 86

Hình 4.11 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-F

với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Hình 4.12 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon S-S


Hình 4.13 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-C


Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản

của dầm thon C-F: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c)

(nx,nz) = (2,0.5), (d) (nx,nz) = (0.5,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


của dầm thon S-S: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c)

(nx,nz) = (2,0.5), (d) (nx,nz) = (0.5,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92


của dầm thon C-C: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c)

(nx,nz) = (2,0.5), (d) (nx,nz) = (0.5,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Hình 4.17 Mối liên hệ của độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm theo

thời gian với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu: (a) (nx,nz) =

(1/3,1/3), (b) (nx,nz) = (3,3), (c) (nx,nz) = (0,3), (d) (nx,nz) = (3,0) . 97

Hình 4.18 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc lực di động:

(a) nz = 1/3, nx thay đổi; (b) nx = 1/3, nz thay đổi . . . . . . . . . . . . . 98

Hình 4.19 Sự thay đổi của tham số động lực học với các tham số vật liệu . . . . 98

Hình 4.20 Phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại

giữa dầm với v = 100m/s: (a) nz = 1/3, nx thay đổi, (b) nx = 1/3, nz

thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Hình 4.21 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc của lực di

động với các giá trị L/h khác nhau: (a) nx = nz = 1/3, (b) nx = nz = 3. . . 101

Danh sách bảng

Bảng 2.1 Tính chất các vật liệu thành phần của dầm 2D-FGM . . . . . . . . . 22

Bảng 2.2 Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của vật liệu thành phần . . . . . . 23

Bảng 4.1 Sự hội tụ của các mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần

số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bảng 4.2 Sự hội tụ của mô hình phần tử TBSθ trong đánh giá tham số

tần số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Bảng 4.3 Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ

bản của dầm thon 2D-FGM (Dạng thon C) . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và

Al2O3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bảng 4.5 So sánh tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm, max(Dd),

và vận tốc tương ứng của dầm 1D-FGM tạo bởi SUS304 và Al2O3 . . . . 68

Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM trong môi

trường nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bảng 4.7 So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm thon 1D-FGM với cơ

tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bảng 4.8 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm S-S 2D-FGM dựa trên

các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Bảng 4.9 So sánh tham số động lực học của dầm S-S 2D-FGM dựa trên

các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Bảng 4.10 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên tham số tần số cơ bản µ1

cho dầm S-S với ∆T = 0K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bảng 4.11 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 20K . . . . . . . . 76



Bảng 4.14 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 0K . . . . . . . . 78

Bảng 4.15 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 20K . . . . . . . 79



Bảng 4.18 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 0K . . . . . . . . 81

xiii

xiv

Bảng 4.19 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 20K . . . . . . . 81



Bảng 4.22 Tham số tần số µ1 của dầm thon C-F với các giá trị khác nhau

của (nx,nz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Bảng 4.23 Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị khác nhau

của (nx,nz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Bảng 4.24 Tham số tần số µ1 của dầm thon C-C với các giá trị khác nhau

của (nx,nz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Bảng 4.25 Ảnh hưởng của sự thay đổi tham số vật liệu tới tham số tần số

của dầm đều và dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Bảng 4.26 Tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F với các giá trị L/h0

khác nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Bảng 4.27 Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị L/h0 khác

nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Bảng 4.28 Tham số động lực học của dầm 2D-FGM với các giá trị khác

nhau của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Bảng 4.29 Tham số động lực học lớn nhất và tốc độ của lực di động với

các giá trị khác nhau của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài

Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM), một

loại composite thế hệ mới, được sử dụng ngày càng nhiều để chế tạo các phần tử kết

cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, có tính mài mòn và

ăn mòn lớn. Sự kết hợp giữa gốm có độ bền cao, tỷ trọng thấp với kim loại có độ

dai và khả năng chịu va đập tốt giúp FGM có nhiều ưu điểm so với các loại vật liệu

truyền thống. Đặc biệt, FGM không có các nhược điểm thường gặp trong các vật liệu

composite phân lớp như sự tách lớp và tập trung ứng suất. Các nghiên cứu gần đây chỉ

ra rằng các đáp ứng động lực học của dầm FGM được cải thiện đáng kể nhờ việc lựa

chọn hợp lý tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần.

Dao động của kết cấu là bài toán quan trọng trong lĩnh vực cơ học, được nhiều

nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều kết quả nghiên cứu về dao động của

dầm FGM, sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, đã được công bố

trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, phần lớn các công bố này liên quan tới dầm có cơ

tính biến đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài dầm. Trong nhiều tình huống

thực tế, kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có thể chịu các tải trọng cơ,

nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Tối ưu hóa độ bền và trọng lượng kết

cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của FGM theo nhiều

hướng không gian khác nhau là vấn đề có ý nghĩa thực tế, được các nhà khoa học trên

thế giới, đặc biệt ở Nhật Bản thực hiện trong những năm gần đây. Phân tích kết cấu có

cơ tính thay đổi theo nhiều phương khác nhau nói chung và dao động của dầm FGM

có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, vì

thế có ý nghĩa khoa học, được đặt ra từ nhu cầu thực tế.

Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong

phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ không gian dọc theo

trục dầm. Các phương pháp giải tích, vì thế thường gặp khó khăn trong phân tích dao

động của dầm 2D-FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh

trong phân tích kết cấu, là lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích

truyền thống trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH, tức là xây

1

2

dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích dao động của

dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng của vật

liệu FGM vào thực tế.

Từ những phân tích nêu trên, tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu

hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài

nghiên cứu cho Luận án của mình.

Mục tiêu của Luận án

Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động

của dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và sự thay đổi của thiết diện

ngang dọc theo trục dầm là các yếu tố thường xuất hiện trong thực tế được xem xét

trong mô hình PTHH phát triển trong Luận án. Các mô hình này cần có độ tin cậy

cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số hình

học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc

trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án được giới hạn cụ thể như sau:

1. Đối tượng:

Đối tượng nghiên cứu là các dầm FGM có cơ tính biến thiên theo hai chiều,

chiều cao và chiều dài dầm. Vật liệu FGM của dầm giả định được tạo từ bốn vật

liệu thành phần khác nhau, trong đó hai vật liệu là gốm và hai vật liệu là kim

loại. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm số lũy

thừa. Thiết diện ngang của dầm có dạng hình chữ nhật với chiều cao và chiều

rộng có thể thay đổi tuyến tính dọc theo chiều dài dầm.

2. Phạm vi nghiên cứu:

- Luận án chỉ nghiên cứu bài toán dao động tuyến tính của dầm 2D-FGM. Như

vậy, độ võng và góc quay của thiết diện ngang được giả thiết là nhỏ, cho phép

bỏ qua số hạng phi tuyến trong biểu thức của biến dạng dọc trục. Vật liệu dầm

được giả thiết là đàn hồi tuyến tính, tức là mối quan hệ giữa ứng suất và biến

dạng tuân theo định luật Hooke.

- Mặc dù phương pháp trình bày trong Luận án có thể sử dụng để phân tích dầm

3

chịu các tải trọng động khác nhau nhưng để tập trung vào nội dung chính là phát

triển mô hình PTHH, trong bài toán dao động cưỡng bức Luận án chỉ xét trường

hợp dầm chịu một lực di động với vận tốc không đổi. Như vậy, ảnh hưởng của

lực Coriolis và lực ly tâm sinh ra khi tính tới ảnh hưởng của khối lượng di động

được bỏ qua.

- Lời giải cho trường nhiệt độ phân bố không đồng nhất sinh ra từ sự chênh lệch

nhiệt độ giữa các mặt và hai đầu của dầm 2D-FGM, theo hiểu biết của tác giả,

là chưa có. Vì thế Luận án chỉ xem xét trường nhiệt độ tăng đều khi nghiên cứu

ảnh hưởng của nhiệt độ tới các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGM. Các tính

chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ được xét tới trong Luận án.

- Các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM được viết trên cơ sở coi trục dầm

nằm trên mặt giữa dầm làm trục quy chiếu, tức là ảnh hưởng của vị trí mặt trung

hòa không xét tới trong Luận án.

Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp giải tích truyền thống dùng trong Cơ học Vật rắn và Cơ học

Kết cấu được sử dụng trong Luận án để xây dựng các biểu thức năng lượng của dầm.

Nhằm kế thừa và phát huy các nghiên cứu trước đây của Phòng Cơ học Vật rắn, Viện

Cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Luận án sử dụng phương

pháp PTHH như là công cụ chính để xây dựng các phương trình chuyển động dưới

dạng rời rạc hóa. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, một phương pháp phổ

biến trong nghiên cứu động lực học kết cấu, được sử dụng để tính toán đáp ứng động

lực học của dầm.

Do tính phức tạp về mặt toán học khi nghiên cứu dầm 2D-FGM sử dụng lý

thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến, phần mềm tính toán symbolic Maple cũng

được sử dụng để hỗ trợ cho các biến đổi toán học cũng như việc xây dựng mô hình

PTHH và chương trình tính toán số.

Bố cục của Luận án

Ngoài phần Mở đầu, Luận án được chia làm Bốn Chương và phần Kết luận

cùng với các Tài liệu kham khảo. Các Công trình công bố của tác giả liên quan tới

Luận án được liệt kê ở cuối Luận án. Nội dung chính của các Chương như sau:

Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về

4

kết cấu dầm FGM. Một số kết quả liên quan tới dầm 2D-FGM nhận được bởi một số

tác giả trong thời gian gần đây được thảo luận chi tiết. Việc trình bày nhấn mạnh tới

phương pháp nghiên cứu để thấy rõ vì sao Luận án lựa chọn phương pháp PTHH để

phân tích dao động của dầm 2D-FGM.

Chương 2 trình bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm

2D-FGM. Các phương trình cho mô hình toán học được xây dựng dựa trên hai lý

thuyết biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order Shear

Deformation Theory - FSDT) và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (Improved

Third-order Shear Deformation Theory - ITSDT). Chương này cũng tiến hành

thiết lập các biểu thức năng lượng tương ứng với hai lý thuyết trên để làm cơ sở cho

việc xây dựng các mô hình PTHH. Đặc biệt, ngoài cách biểu diễn các phương trình

cơ bản theo góc quay của thiết diện ngang như trong phần lớn các nghiên cứu, các

phương trình cơ bản dựa trên ITSDT còn được xây dựng dựa trên cách biểu diễn theo

góc trượt ngang. Hệ phương trình vi phân chuyển động cho dầm dựa trên ITSDT với

cách biểu diễn các phương trình cơ bản theo γ0 được xây dựng từ nguyên lý biến phân

Hamilton. Ảnh hưởng của ứng suất nhiệt ban đầu và sự tăng nhiệt độ cũng được đề

cập trong Chương 2.

Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô hình PTHH trên cơ sở các lý thuyết

dầm và các hàm nội suy khác nhau. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai

mô hình dầm dựa trên FSDT sử dụng hàm dạng Kosmatka và các hàm dạng thứ bậc

được trình bày chi tiết. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai mô hình phần

tử dầm dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở các hàm dạng tuyến tính và các hàm

dạng Hermite.

Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ việc phân tích các bài toán

khác nhau. Chương này cũng đưa ra một số nhận xét về ưu, nhược điểm của các mô

hình PTHH xây dựng trong Luận án trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Ảnh

hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện ngang, nhiệt độ môi trường và tải

trọng ngoài tới các đặc trưng dao động cũng như các đáp ứng động lực học của dầm

cũng được trình bày chi tiết trong Chương 4.

Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo

được tóm lược trong Phần Kết luận của Luận án.

Chương 1

TỔNG QUAN

Chương này tóm lược các kết quả nghiên cứu trong phân tích dầm 1D-FGM

của các tác giả trên thế giới. Kết quả được thảo luận trên cơ sở hai phương pháp phân

tích, phương pháp giải tích và phương pháp số. Kết quả nghiên cứu liên quan tới dầm

2D-FGM, đối tượng nghiên cứu của Luận án, được thảo luận chi tiết. Các nghiên cứu

trong nước về dầm FGM cũng được đề cập. Cuối chương trình bày định hướng nghiên

cứu và một số điểm mới của Luận án.

1.1. Dầm FGM

Vật liệu có cơ tính biến đổi (FGM), do các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần

đầu tiên vào năm 1984 [1], có thể xem như là thế hệ vật liệu composite mới. FGM

được tạo bằng cách thay đổi liên tục tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần, thường

theo các tọa độ không gian. Vì thế FGM không có các nhược điểm thường gặp trong

các vật liệu composite phân lớp và gia cường sợi như sự tách lớp hay tập trung ứng

suất. Với các ưu điểm này cùng khả năng chịu nhiệt cao của gốm, độ dai và va đập tốt

của kim loại, FGM ngày càng được sử dụng nhiều để chế tạo các phần tử kết cấu và

chi tiết máy trong các lĩnh vực công nghệ cao như công nghiệp hạt nhân, hàng không,

vũ trụ, truyền thông, năng lượng,...

Luật thay đổi tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần đóng vai trò quan trọng

nhất tới tính chất hiệu dụng và ứng xử của kết cấu FGM. Dầm FGM phổ biến và được

quan tâm nhiều nhất được tạo từ hai vật liệu thành phần, gốm và kim loại, với tỷ phần

thể tích thay đổi theo chiều cao dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa [2]:

Vc =

(

zh+

12

)n

, Vm = 1−Vc , với−h2≤ z ≤

h2

(1.1)

trong đó Vc và Vm tương ứng là tỷ phần thể tích của gốm và kim loại; z là tọa độ theo

chiều cao dầm, tính từ mặt giữa; h là chiều cao dầm; số mũ n (không âm) là tham số

vật liệu, xác định sự phân bố của các vật liệu thành phần. Trong phương trình (1.1) và

dưới đây, các chỉ số dưới ‘c’ và ‘m’ được dùng để chỉ các pha gốm và kim loại.

Dầm với tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật (1.1)

5

6

được gọi là dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang (transverse FGM beam). Các tính

chất hiệu dụng của dầm này chỉ là hàm của tọa độ z.

Dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc (axially FGM beam) cũng được một số

tác giả quan tâm nghiên cứu. Dầm được thiết kế để tăng khả năng ổn định và cải thiện

ứng xử sau tới hạn, trong đó tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của dầm thay đổi

theo chiều dài dầm, chẳng hạn bằng quy luật hàm số lũy thừa:

Vc =(

1−xL

)n, Vm = 1−Vc, với 0≤ x ≤ L (1.2)

trong đó L là chiều dài dầm, x là tọa độ theo chiều dài dầm. Dao động của dầm FGM

với quy luật hàm số lũy thừa (1.1) và (1.2) đã được nhiều tác giả trong nước và trên

thế giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn Alshorbagy và cộng sự [3], Shahba và cộng

sự [4, 5], Gan và cộng sự [6, 7, 8], Lê Thị Hà [9], Wang và Wu [10], Nguyễn Ngọc

Huyên [11], Nguyễn Tiến Khiêm [12], Vũ Thị An Ninh [13], Bùi Văn Tuyển [14].

Ngoài quy luật hàm số lũy thừa, dầm với cơ tính biến đổi theo quy luật hàm số

mũ [15, 16], quy luật sigmoid [17, 18, 19] cũng được một số tác giả quan tâm nghiên

cứu. Phân tích dầm FGM với các tính chất vật liệu thay đổi theo hai quy luật này tương

tự như phân tích dầm có các tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa.

Dầm FGM với tính chất cơ-lý chỉ thay đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài,

được ký hiệu là "dầm 1D-FGM" trong Luận án này.

Ngoài dầm FGM hai pha với các tính chất cơ-lý của các vật liệu thành phần chỉ

thay đổi theo chiều cao hoặc chiều dài, một số tác giả còn nghiên cứu dầm FGM với cơ

tính biến đổi theo hai chiều (two-dimensional functionally graded material

beam - dầm 2D-FGM), chiều cao và chiều dài dầm. Chẳng hạn, Simsek [20] nghiên

cứu dầm 2D-FGM với tính chất vật liệu được giả sử thay đổi theo cả chiều cao và

chiều dài dầm bằng quy luật hàm số lũy thừa, trong đó tỷ phần thể tích của hai vật

liệu thành phần được cho bởi [20, 21]:

V2(x,z) =( x

L+

12

)ku( z

h+

12

)kw, V1(x,z)+V2(x,z) = 1 (1.3)

với ku và kw là các tham số vật liệu xác định sự thay đổi của các vật liệu thành phần

tương ứng theo chiều dài và chiều cao của dầm.

Quy luật hàm số mũ sử dụng cho sự thay đổi tính chất vật liệu của dầm 2D-

7

FGM cũng được Simsek khảo sát trong [22, 23]:

P(x,z) = PLBek1α(x)+k3β (z)

với α(x) =xL+

12, β (z) =

zh+

12

(1.4)

Trong (1.4), k1 và k3 là các tham số không thứ nguyên.

Tỷ phần thể tích của hai vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm số lũy thừa

tương tự như (1.3) được Shafiei và cộng sự sử dụng trong nghiên cứu dầm nano/micro

làm từ 2D-FGM [24]:

Vc(x,z) =(1

2+

zh

)nz( x

L

)nx, Vc +Vm = 1 (1.5)

trong đó nx và nz tương ứng là tham số vật liệu theo chiều dài và chiều cao dầm.

Trong các nghiên cứu về dầm 2D-FGM nói trên, dầm được giả định được tạo

từ hai vật liệu thành phần. Gần đây, một số tác giả nghiên cứu kết cấu FGM được tạo

từ hơn hai vật liệu thành phần [25, 26, 27, 28]. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành

phần trong phần lớn các nghiên cứu này được giả định tuân theo quy luật hàm số lũy

thừa theo hai hướng không gian. Theo hiểu biết của tác giả, trước Luận án chưa có

nghiên cứu nào về dầm 2D-FGM được tạo từ hơn hai vật liệu thành phần.

Số lượng các công trình công bố liên quan đến dầm FGM ngày càng tăng

nhanh. Dưới đây tóm lược một số kết quả liên quan trực tiếp đến hướng nghiên cứu

của Luận án.

1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới

Cả hai phương pháp, phương pháp giải tích và phương pháp số, được sử dụng

rộng rãi trong nghiên cứu ứng xử của dầm 1D-FGM. Với dầm có cơ tính biến đổi

ngang, các hệ số của phương trình vi phân cân bằng hay chuyển động của dầm FGM

với thiết diện ngang không đổi là các hằng số, vì thế phương pháp giải tích có thể phát

huy các ưu điểm như trong nghiên cứu dầm thuần nhất.

1.2.1. Phương pháp giải tích

Phương pháp biểu diễn nghiệm dạng Navier được Aydogdu và Taskin [29] sử

dụng để thu nhận tần số và mode dao động của dầm FGM tựa giản đơn với tính

chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa hoặc quy luật hàm số mũ. Lý

thuyết dầm Euler-Bernoulli và lý thuyết biến dạng trượt bậc cao được các tác giả sử

8

dụng để thiết lập phương trình chuyển động cho dầm. Benatta và cộng sự [30] xây

dựng nghiệm giải tích cho bài toán uốn của dầm Euller-Bernoulli và dầm Rayleigh

làm từ FGM có tính tới ảnh hưởng của sự oằn (warping effect). Trong [31], dao

động riêng, sự phân bố ứng suất và lan truyền sóng trong dầm FGM có tính chất vật

liệu thay đổi tùy ý theo chiều cao dầm được nghiên cứu bằng một phương pháp giải

tích mới. Phương pháp không gian trạng thái (State space method) được Ying và

cộng sự [16] sử dụng để thu nhận nghiệm của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng

cho bài toán uốn và dao động tự do của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi Winkler-

Pasternak. Sina cùng đồng nghiệp [32] thiết lập phương trình chuyển động cho dao

động tự do của dầm FGM trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt mới và sử dụng phương

pháp giải tích để thu nhận tần số dao động riêng. Nghiệm giải tích cho phương trình

chuyển động của bài toán dao động tự do của dầm FGM, thiết lập trên cơ sở mô hình

dầm thứ bậc (Hierarchical beam models), được Giunta và đồng nghiệp [33] xây

dựng. Mô hình dầm Euler-Bernoulli và dầm Timoshenko có thể nhận được như là

trường hợp riêng của mô hình dầm thứ bậc do các tác giả đề nghị. Wei và Liu [34]

sử dụng phương pháp Ritz–Galerkin để nghiên cứu bài toán uốn phi tuyến của dầm

Euler-Bernoulli FGM. Sử dụng phương pháp ma trận truyền, Wei và cộng sự [35] thu

nhận được phương trình tần số cho dầm FGM có vết nứt chịu lực dọc trục. Phương

pháp Galerkin được Lai và đồng nghiệp [36] sử dụng để nghiên cứu dao động phi

tuyến của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM. Ảnh hưởng của điều kiện biên và biên

độ dao động tới tần số dao động riêng của dầm được các tác giả khảo sát chi tiết.

Birsan và cộng sự [37] đưa ra biểu thức giải tích cho các hệ số hữu hiệu của dầm

sandwich FGM có lõi xốp. Ảnh hưởng của sự tách lớp được Liu và Shu [38] xét đến

trong nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM có tính chất cơ-lý thay đổi theo quy

luật hàm số lũy thừa sử dụng phương pháp giải tích.

Phương pháp giải tích cũng được một số tác giả sử dụng để nghiên cứu ảnh

hưởng của nhiệt độ tới ứng xử của dầm FGM. Trong [39], Kiani và Eslami xây dựng

nghiệm giải tích cho bài toán mất ổn định nhiệt của dầm Euler-Bernoulli FGM với

các điều kiện biên khác nhau. Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, Mahi cùng

cộng sự [18] trình bày phương pháp giải tích để đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt

độ tới tần số dao động riêng của dầm FGM. Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba mới do

Shi đề nghị [40] được Wattanasakulpong và đồng nghiệp [41] sử dụng để thiết lập các

9

phương trình cơ bản cho nghiên cứu mất ổn định nhiệt và dao động tự do của dầm

FGM trong môi trường nhiệt độ. Kết quả số của các tác giả chỉ ra rằng tần số dao động

cơ bản của dầm giảm dần về 0 khi nhiệt độ môi trường tăng dần tới nhiệt độ tới hạn.

Ma và Lee [42] đưa ra nghiệm giải tích cho bài toán ứng xử phi tuyến của dầm FGM

chịu tải trọng nhiệt. Phương pháp giải tích cũng được Eroglu sử dụng trong nghiên

cứu dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ [43]. Ảnh hưởng của

nhiệt độ được xem xét bởi một số tác giả trong nghiên cứu dao động tự do phi tuyến

của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi [44, 45]. Kiani và đồng nghiệp [46] khảo sát ảnh

hưởng của nhiệt độ môi trường tới đáp ứng va đập với vận tốc thấp của dầm FGM.

Mất ổn định tĩnh và động của dầm Euler-Bernoulli FGM chịu tải trọng nhiệt tăng đều

được Ghiasian và cộng sự [47] nghiên cứu bằng phương pháp Galerkin.

Đáp ứng động lực học của dầm FGM cũng được một số tác giả nghiên cứu

bằng phương pháp giải tích. Sử dụng phương pháp Galerkin, Apetre và cộng sự [48]

nghiên cứu đáp ứng động lực học của dầm sandwich có lõi là FGM chịu tác động của

tải trọng va đập với vận tốc thấp. Kết quả nhận được cho thấy kết cấu dầm sandwich

có lõi là FGM đem lại hiệu quả cao và có thể sử dụng một cách hữu hiệu để giảm bớt

hoặc tránh hoàn toàn các hư hỏng va đập của dầm. Sankar [15] đưa ra nghiệm đàn

hồi chính xác cho ứng suất và chuyển vị của dầm FGM chịu tải trọng ngang hình sin

tác động lên mặt dầm. Tác giả chỉ ra rằng sự tập trung ứng suất ở mặt chất tải của

dầm FGM cao hơn so với dầm thuần nhất nếu tải trọng tác dụng trên mặt cứng hơn và

ngược lại. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, Simsek và Kocaturk [49] nghiên

cứu dao động của dầm Euler-Bernoulli FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao, chịu

tải trọng điều hòa di động. Phương trình vi phân chuyển động của dầm được rời rạc

hóa và đưa về dạng ma trận nhờ xấp xỉ trường chuyển vị bằng các đa thức. Phương

pháp này được Simsek và cộng sự mở rộng cho nghiên cứu đáp ứng động lực học của

dầm FGM chịu khối lượng tập trung di động [50], dầm Timoshenko FGM phi tuyến

chịu lực điều hòa di động, dầm Euler-Bernoulli FGM với cơ tính thay đổi dọc chịu tác

dụng của lực điều hòa di động [51], dầm sandwich FGM dưới tác động của nhiều lực

di động [52]. Phương pháp giải tích được Yang và cộng sự [53] sử dụng để thu nhận

tần số dao động riêng và độ võng động lực học của dầm FGM có vết nứt với cơ tính

biến đổi theo quy luật hàm số mũ, chịu kích động bởi lực di động. Phương pháp Ritz

kết hợp với phương pháp cầu phương vi phân được Khalili và đồng nghiệp [54] sử

10

dụng để thu nhận đáp ứng động lực học của dầm FGM chịu kích động bởi khối lượng

di động. Phương pháp được đề nghị tỏ ra khá hữu hiệu, chẳng hạn so với phương pháp

Newmark hoặc phương pháp Wilson. Rajabi và cộng sự [55] sử dụng phương pháp

Petrov–Galerkin để chuyển hệ phương trình vi phân bậc bốn của bài toán dầm FGM

chịu hệ khối lượng-lò xo di động về hệ phương trình vi phân bậc hai và giải hệ phương

trình bằng phương pháp số Runge-Kutta. Sự phụ thuộc của độ võng động lực học, độ

võng cực đại ở giữa dầm vào tham số vật liệu và vận tốc của tải trọng được khảo

sát chi tiết. Wang và Wu [56] sử dụng phương pháp Lagrange trong nghiên cứu ảnh

hưởng của sự tăng nhiệt độ đồng nhất tới ứng xử động lực học của dầm Timoshenko

làm từ FGM với cơ tính biến đổi dọc theo chiều dài dầm chịu lực điều hòa di động.

Các tác giả chỉ ra rằng độ võng động học của dầm tăng nhanh khi nhiệt độ tiến gần

tới nhiệt độ tới hạn.

Phương pháp giải tích cũng được một số tác giả phát triển để nghiên cứu ứng

xử cơ học của dầm FGM có thiết diện ngang thay đổi. Bằng cách chuyển phương trình

chuyển động với các hệ số thay đổi về phương trình tích phân Fredom, Huang và Li

[57, 58] thu nhận được các tần số dao động riêng và lực tới hạn của dầm FGM có

thiết diện ngang và tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật tùy ý dọc theo trục dầm.

Nhờ việc đưa vào hàm phụ để chuyển hệ phương trình vi phân tương hỗ với các hệ

số biến thiên về một phương trình duy nhất, Huang và cộng sự [59] nghiên cứu dao

động tự do của dầm Timoshenko có thiết diện và cơ tính biến đổi theo trục dầm. Li

và đồng nghiệp [60] đề nghị một phương pháp giải tích để nghiên cứu dao động tự do

của dầm FGM có thiết diện và tính chất vật liệu thay đổi theo trục dầm. Các phương

trình để xác định chính xác tần số dao động tự do của dầm Timoshenko FGM với độ

cứng chống uốn và mật độ khối thay đổi theo chiều dài dầm bằng quy luật hàm số mũ

được Tang và cộng sự đưa ra trong [61].

1.2.2. Phương pháp số

Hai phương pháp số được sử dụng rộng rãi nhất trong phân tích dầm FGM là

phương pháp cầu phương vi phân (Differential Quadrature Method, dưới đây

viết tắt là "CPVP") và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method,

viết tắt là "PTHH"). Một số kết quả chính trong phân tích dầm 1D-FGM sử dụng hai

phương pháp số này được tóm lược dưới đây.

11

1.2.2.1. Phương pháp CPVP

Phương pháp CPVP, một trong các phương pháp số do Bert và cộng sự phát

triển vào những năm 1970 [62] để giải các bài toán biên và bài toán giá trị ban đầu,

được nhiều tác giả sử dụng và mở rộng trong phân tích dầm 1D-FGM. Sử dụng phương

pháp này, Komijani cùng cộng sự [63] rời rạc hóa các phương trình cơ bản của bài

toán ổn định và dao động phi tuyến của dầm Timoshenko micro làm từ FGM. Ảnh

hưởng của nhiệt độ và nền đàn hồi tới lực tới hạn và tần số dao động riêng được kể

đến khi xây dựng mô hình toán học của dầm. Jin and Wang [64] cũng sử dụng phương

pháp CPVP để xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho nghiên cứu dao

động tự do của dầm FGM. Ebrahimi và cộng sự [65] thiết lập phương trình chuyển

động cho bài toán dao động tự do của dầm Euler-Bernoulli FGM có lỗ rỗng vi mô

trong môi trường nhiệt độ, và giải bằng phương pháp CPVP. Các tác giả chỉ ra rằng

tỷ lệ thể tích của lỗ rỗng và trường nhiệt độ phân bố ảnh hưởng đáng kể tới tần số

dao động riêng của dầm. Phương pháp CPVP cũng được Xiang và Yang [66] sử dụng

trong nghiên cứu dao động tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko dự ứng lực do

nhiệt độ, làm từ vật liệu FGM phân lớp có độ dày thay đổi. Trên cơ sở lý thuyết dầm

Euller-Bernoulli, Pradhan và Murmu [67] đã thiết lập phương trình chuyển động để

nghiên cứu dao động tự do của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi. Phương

trình chuyển động tính tới ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường được giải bằng phương

pháp CPVP để nhận được tần số dao động riêng. Malekzadeh [68], Malekzadeh và

cộng sự [69] nghiên cứu dao động tự do của vòm và dầm cong FGM, đặt trong môi

trường nhiệt độ cao với sự trợ giúp của phương pháp CPVP. Trong các nghiên cứu

này, trường nhiệt độ phân bố phi tuyến do Kim [70] xây dựng được sử dụng để tính

toán các hệ số đàn hồi hiệu dụng, phụ thuộc vào nhiệt độ. Trên cơ sở phương pháp

CPVP tổng quát, Esfahani và đồng nghiệp [71] khảo sát ảnh hưởng của nền đàn hồi

và sự tăng nhiệt độ môi trường tới mất ổn định phi tuyến của dầm Timoshenko FGM.

Tần số dao động phi tuyến và đường cân bằng sau mất ổn định của dầm FGM

nhiều lớp có thiết diện thay đổi theo bề rộng, nằm trên nền đàn hồi phi tuyến được

Asadi và Aghdam [72] thu nhận bằng phương pháp CPVP tổng quát. Phương pháp

Galerkin được Niknam và cộng sự [73] kết hợp với phương pháp CPVP để nghiên cứu

bài toán uốn phi tuyến của dầm thon FGM chịu các tải trọng cơ-nhiệt. Kết hợp phương

pháp biến đổi vi phân với phương pháp CPVP bậc thấp, Shahba và Rajasekaran [74]

12

xác định lực tới hạn và tần số dao động của dầm Euler-Bernoulli FGM có thiết diện

thay đổi theo trục của dầm. Rajasekaran [75], Rajasekaran và Tochaei [76] sử dụng

phương pháp CPVP để nghiên cứu mất ổn định và dao động của dầm thon FGM với

thiết diện thay đổi. Các tác giả đã chỉ ra ảnh hưởng của tham số thiết diện, lực li tâm, sự

không đồng nhất vật liệu lên các tần số tự nhiên của dầm. Nghiên cứu ứng xử chuyển

vị lớn của dầm thon FGM với các tính chất vật liệu thay đổi theo chiều dài và chiều

cao của dầm được Niknam và cộng sự thực hiện trong [73] nhờ phương pháp CPVP

tổng quát. Phương pháp CPVP kết hợp với kỹ thuật phân tách miền được Bambill

và cộng sự [77] sử dụng trong nghiên cứu dao động tự do của dầm bậc Timoshenko

FGM. Cũng sử dụng phương pháp CPVP, Ghazaryan và cộng sự [78] phân tích dao

động tự do của dầm FGM với mặt cắt ngang thay đổi.

1.2.2.2. Phương pháp PTHH

Phương pháp PTHH với thế mạnh vượt trội trong việc rời rạc hóa các miền

không gian, được nhiều tác giả sử dụng trong phân tích dầm FGM. Trên cơ sở phương

pháp Lagrange toàn phần, Agarwal và cộng sự [79] xây dựng phần tử dầm để nghiên

cứu ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến hình học tới ứng xử của dầm composite và dầm

FGM. Phần tử sử dụng nghiệm của phương trình vi phân cân bằng tĩnh để nội suy

trường chuyển vị không bị nghẽn trượt (shear locking), có tốc độ hội tụ nhanh.

Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, Kadoli và cộng sự [82] coi góc quay của

pháp tuyến và góc trượt như là các tham biến độc lập để xây dựng hai ma trận độ cứng

dùng trong phân tích ứng xử tĩnh của dầm FGM. Kết quả số chỉ ra rằng độ võng và

ứng suất của dầm FGM nhận được cho các trường hợp tải trọng tác dụng trên bề mặt

gốm và bề mặt kim loại là khác nhau. Alshorbagy và cộng sự [3] tính toán tần số riêng

và mode dao động của dầm Euler-Bernoulli có tính chất vật liệu thay đổi theo chiều

cao hoặc chiều dọc dầm bằng mô hình PTHH hai nút giản đơn. Mohanty và đồng

nghiệp xây dựng phần tử dầm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất để đánh giá

ảnh hưởng của nền đàn hồi Winkler tới sự mất ổn định của dầm sandwich FGM [85],

mất ổn định và dao động tự do của dầm sandwich có lõi là FGM [86]. De Pietro và

cộng sự [91] xây dựng mô hình PTHH cho phân tích dầm không gian FGM. Phần tử

xây dựng dựa trên mô hình dầm thứ bậc và các hàm nội suy Lagrange có độ chính xác

cao. Trong [92], Frikha và đồng nghiệp đề nghị mô hình phần tử dầm hỗn hợp dựa

trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao dùng trong phân tích uốn của dầm làm từ FGM.

13

Dao động tự do của dầm FGM có chuyển vị lớn được Hemmatnezhada cùng

đồng nghiệp [87] phân tích bằng phương pháp PTHH. Sử dụng phương pháp Lagrange

toàn phần, Gan và Nguyễn Đình Kiên [88] phát triển phần tử dầm phi tuyến cho phân

tích chuyển vị lớn của dầm FGM nằm trên nền đàn hồi hai tham số. Công thức phần

tử dựa trên các hàm nội suy tuyến tính, xét tới ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa có

dạng toán học giản đơn. Phương pháp PTHH cũng được Gan và cộng sự [89, 90] sử

dụng trong nghiên cứu ứng xử sau tới hạn của dầm và khung phẳng FGM với cơ tính

biến đổi dọc theo trục dầm. Kết quả số chỉ ra rằng quy luật phân bố vật liệu và tính

chất của gối tựa đóng vai trò quan trọng tới ứng xử sau tới hạn của dầm và khung

FGM.

Phương pháp PTHH cũng được một số tác giả sử dụng để nghiên cứu ảnh

hưởng của nhiệt độ tới ứng xử cơ học và dao động cưỡng bức của dầm FGM. Trong

[93], Chakraborty và cộng sự nội suy trường chuyển vị của dầm Timoshenko bằng

nghiệm của phương trình vi phân cân bằng tĩnh khi xây dựng ma trận độ cứng và ma

trận khối lượng để nghiên cứu bài toán truyền sóng trong dầm sandwich có lõi FGM.

Sự phụ thuộc của trường nhiệt độ tăng đều tới tính chất vật liệu không được xét tới

trong [93]. Bhangale và Ganesan [94] nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới tần số

dao động riêng và hệ số hao tán của dầm sandwich FGM với lõi là vật liệu đàn nhớt

bằng phương pháp PTHH. Các tác giả chỉ ra rằng hệ số hao tán của dầm tăng lên khi

tỷ số giữa độ dày lớp lõi và chiều cao dầm lớn hơn.

Sử dụng lý thuyết chữ chi bậc ba, Kapuria và cộng sự [80] trình bày mô hình

PTHH cho phân tích động lực học của dầm FGM nhiều lớp. Chakraborty và Gopalakr-

ishman [81] sử dụng phương pháp PTHH phổ (Spectral finite element method)

để nghiên cứu sự lan truyền sóng trong dầm FGM chịu tác động của xung lực có tần

số cao. Gan và Nguyễn Đình Kiên [6] xây dựng phần tử dầm Timoshenko có tính tới

ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa và ứng dụng trong phân tích động lực học của dầm

liên tục FGM chịu tải trọng di động. Ảnh hưởng của chuyển động không đều (tăng

tốc và giảm tốc) của tải trọng di động tới độ võng động và phân bố ứng suất theo

chiều cao dầm được khảo sát chi tiết. Mô hình PTHH cũng được Gan và đồng nghiệp

[7] sử dụng để nghiên cứu dao động của dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc và thiết

diện ngang thay đổi chịu lực di động. Ảnh hưởng của gối tựa đàn hồi tới ứng xử động

lực học của dầm FGM chịu tải trọng di động cũng được Gan và cộng sự [8] nghiên

14

cứu bằng phương pháp PTHH. Mô hình dầm hai nút được Shahba và cộng sự [4, 5],

Eltaher và cộng sự [83, 84] sử dụng để tính các đặc trưng dao động tự do của dầm

thon FGM. Đặc biệt, mô hình PTHH trong [83] được xây dựng có xét tới vị trí thực

của mặt trung hòa, và kết quả số chỉ ra rằng bỏ qua ảnh hưởng vị trí mặt trung hòa

dẫn tới tần số dao động riêng cao hơn.

1.3. Phân tích dầm 2D-FGM trên thế giới

Kết cấu dầm được xét đến trong các thảo luận ở trên được làm từ FGM đơn

hướng, tức là các tính chất vật liệu chỉ thay đổi theo một hướng không gian, chiều cao

hoặc chiều dài của dầm. Trong thực tế, kết cấu FGM đơn hướng không tối ưu khi chịu

tác động đồng thời của các tải trọng cơ, nhiệt theo các hướng khác nhau. Ví dụ, nhiệt

độ tại mặt ngoài vỏ của các tàu vũ trụ hiện đại là 1033K dọc theo thân tàu và có thể

sẽ lên tới 2066K tại mũi tàu [25], trong khi nhiệt độ này cũng thay đổi theo chiều dày

vỏ tàu. Việc phát triển các vật liệu có cơ tính biến đổi theo nhiều hướng khác nhau,

vì thế là nhu cầu thực tế và có ý nghĩa khoa học. Nghiên cứu ứng xử cơ học của dầm

2D-FGM đã được một số tác giả quan tâm trong thời gian gần đây.

Sử dụng các đa thức để xấp xỉ trường chuyển vị, Simsek [23] nghiên cứu dao

động cưỡng bức của dầm 2D-FGM chịu tải trọng di động với tính chất vật liệu biến

thiên theo quy luật hàm số mũ. Tác giả chỉ ra rằng sự phân bố ứng suất trong dầm

2D-FGM khác xa so với dầm 1D-FGM hay dầm thuần nhất. Sử dụng phương pháp

Ritz, Simsek [20] thu nhận được lực tới hạn cho dầm Timoshenko 2D-FGM có cơ

tính biến đổi theo quy luật hàm số lũy thừa. Sử dụng phương trình vi phân không gian

trạng thái, Hao và Wei [95] thiết lập ma trận độ cứng động lực học để nghiên cứu dao

động tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko FGM với tính chất vật liệu thay đổi

theo quy luật hàm số mũ theo cả chiều cao và chiều dài dầm. Ảnh hưởng của các tham

số vật liệu tới đáp ứng động lực học của dầm chịu lực điều hòa di động được các tác

giả khảo sát chi tiết. Cách tiếp cận PTHH hình học đẳng hướng (NURBS) được một

số tác giả áp dụng trong nghiên cứu ứng xử cơ-nhiệt và dao động của dầm 2D-FGM.

Lezgy-Nazargah [96] xấp xỉ các tham biến hình học và cơ học bằng các hàm cơ sở

NURBS để tính toán sự phân bố của trường ứng suất nhiệt trong dầm 2D-FGM với

mô-đun đàn hồi hiệu dụng thay đổi theo quy luật hàm số mũ. Huynh và cộng sự [97]

cũng xấp xỉ hình học dầm và trường chuyển vị bằng các hàm NURBS để xác định tần

số dao động riêng và mode dao động của dầm Timoshenko 2D-FGM. Các tính chất

15

vật liệu được giả định thay đổi theo chiều cao và chiều dài dầm theo một số dạng khác

nhau của hàm số mũ và hàm số lũy thừa.

Wang và cộng sự [56] đề nghị một phương pháp giải tích để nghiên cứu dao

động tự do của dầm 2D-FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao bằng quy luật hàm

số lũy thừa và theo chiều dài bằng quy luật hàm số mũ. Các tác giả chỉ ra sự tồn tại

của tần số tới hạn phụ thuộc vào tham số vật liệu, đồng thời các tần số tự nhiên sẽ có

bước nhảy khi vượt qua tần số tới hạn này. Phương pháp giải tích cũng được Pydah

và Sabale [98] sử dụng trong phân tích uốn của dầm FGM tròn với các tính chất vật

liệu thay đổi theo quy luật hàm số mũ theo hướng tiếp tuyến và quy luật hàm số lũy

thừa theo hướng bán kính của dầm. Karamanli [99] kết hợp lý thuyết biết dạng trượt

tựa 3D (Quasi-3D shear deformation theory) với phương pháp thủy động lực

học các hạt trơn đối xứng (Symmetric smoothed particle hydrodynamics) để

nghiên cứu ứng xử uốn của dầm sandwich 2D-FGM với các giá trị khác nhau của tỷ số

giữa chiều dài và chiều cao dầm. Mất ổn định và dao động tự do của dầm nano-/micro

2D-FGM có lỗ rỗng vi mô được Shafiei và Kazemi [100], Shafiei và cộng sự [24]

nghiên cứu bằng phương pháp CPVP tổng quát. Trong [101], Yang và cộng sự xây

dựng các phương trình cơ bản cho bài toán phân tích uốn phi tuyến, mất ổn định và

dao động tự do của dầm Euler-Bernoulli 2D-FGM với tính chất vật liệu thay đổi theo

quy luật hàm số mũ. Tác giả chỉ ra rằng phương pháp giải tích truyền thống không

thể sử dụng để giải các phương trình vi phân phi tuyến của dầm 2D-FGM, và vì thế

phương pháp CPVP được sử dụng để thay thế. Phương pháp CPVP cũng được Tang

và cộng sự [102] dùng trong nghiên cứu dao động tự do phi tuyến của dầm 2D-FGM

với cơ tính biến đổi theo chiều cao bằng quy luật hàm số lũy thừa, theo chiều dài bằng

quy luật hàm số mũ.

1.4. Nghiên cứu dầm FGM trong nước

Một số kết quả, kể cả các Luận án Tiến sĩ [9, 11, 13, 14], về phân tích dầm

1D-FGM được các tác giả trong nước công bố trong những năm gần đây. Các kết quả

này nhận được bằng cả phương pháp giải tích và phương pháp số. Một số nghiên cứu

liên quan tới kết cấu dầm FGM được thảo luận dưới đây.

Nguyễn Trung Kiên và cộng sự [103] trình bày phương pháp giải tích để nghiên

cứu bài toán uốn và dao động của dầm Timoshenko FGM với cơ tính biến đổi ngang

16

theo quy luật hàm số lũy thừa chịu lực dọc trục. Bài toán này cũng được Thái Hữu

Tài và Võ Phương Thức [104] nghiên cứu bằng các lý thuyết dầm bậc cao khác nhau.

Trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, Võ Phương Thức và cộng sự [105] xây

dựng phương trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu thuần nhất,

sau đó dùng phương pháp PTHH để tính tần số dao động riêng và các mode dao động.

Võ Phương Thức và đồng nghiệp [106] phát triển mô hình PTHH dựa trên lý thuyết

dầm cải biên cho phân tích uốn và dao động tự do của dầm sandwich. Nghiên cứu

dao động và mất ổn định của dầm FGM chịu tải trọng cơ-nhiệt được Trinh và cộng sự

[107] trình bày bằng phương pháp giải tích. Phương pháp ma trận truyền và phương

pháp độ cứng động lực học do nhóm tác giả Nguyễn Tiến Khiêm và cộng sự sử dụng

trong phân tích dầm thuần nhất có vết nứt [108, 109, 110] được mở rộng cho nghiên

cứu dao động và chẩn đoán dầm FGM có vết nứt [111, 112] với tính chất vật liệu dầm

thay đổi theo chiều cao bằng quy luật hàm số lũy thừa.

Mô hình PTHH dựa trên phương pháp hệ tọa độ đồng hành được Nguyễn Đình

Kiên và cộng sự [113, 114, 115] phát triển để phân tích chuyển vị lớn của các dầm

thon làm từ FGM. Tính chất vật liệu được giả thiết thay đổi theo chiều cao hoặc chiều

dài dầm. Mô hình phần tử dầm này cũng được Nguyễn Đình Kiên và đồng nghiệp

mở rộng phân tích chuyển vị lớn của khung FGM [116], khung sandwich FGM [117].

Gần đây, Trịnh Thanh Hương và cộng sự [118], Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [119]

phát triển mô hình PTHH để nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng dẻo tới ứng xử mất

ổn định và uốn phi tuyến của dầm FGM có cơ tính biến đổi ngang.

Phương pháp PTHH cũng được một số tác giả sử dụng trong nghiên cứu đáp

ứng động lực học của dầm FGM chịu tác động của tải trọng di động. Trong [9], Lê

Thị Hà xây dựng một số mô hình PTHH dựa trên lý thuyết dầm cổ điển và lý thuyết

biến dạng trượt bậc nhất để nghiên cứu dao động của dầm FGM dưới tác động của

các lực điều hòa di động. Tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của vị trí trục trung hòa tới

dao động của dầm và chỉ ra rằng bỏ qua ảnh hưởng này dẫn tới tần số dao động riêng

bị đánh giá cao hơn nhưng có thể bỏ qua khi tính toán độ võng động lực học. Bùi Văn

Tuyển [14], Nguyễn Đình Kiên và Bùi Văn Tuyển [120] sử dụng các hàm thứ bậc để

nghiên cứu dao động tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko có lỗ rỗng vi mô trong

môi trường nhiệt độ. Mô hình PTHH được cải tiến để tăng tính hiệu quả nhờ việc đưa

vào ràng buộc không đổi cho biến dạng trượt. Phương pháp PTHH được một số tác

17

giả sử dụng cùng với phương pháp tích phân trực tiếp Newmark để tính toán đáp ứng

động lực học của dầm FGM chịu các tải trọng khác nhau [121, 122, 123].

Công bố liên quan tới phân tích kết cấu 2D-FGM trong nước còn rất ít. Gần

đây, Đỗ Văn Thơm và cộng sự [28] sử dụng phương pháp PTHH để nghiên cứu mất

ổn định và uốn của tấm 2D-FGM tạo từ ba vật liệu thành phần với tỷ phần thể tích

thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa. Mô hình PTHH được các tác giả xây dựng

trên cơ sở lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến do Shi đề xuất [40] cho phép

đánh giá khá chính xác tải trọng tới hạn và sự phân bố của ứng suất trong tấm 2D-

FGM với các tỷ lệ khác nhau giữa chiều dài các cạnh tấm và chiều cao tấm. Trên cơ

sở nguyên lý Hamilton và lý thuyết ứng suất tương hỗ sửa đổi (Modified couple

stress theory), Trinh và cộng sự [124] nghiên cứu dao động tự do của dầm micro

2D-FGM với các tính chất vật liệu thay đổi theo chiều cao và chiều dài dầm bằng quy

luật hàm số mũ. Các tác giả chỉ ra rằng cả tần số dao động riêng và mode dao động

của dầm micro khác xa so với dầm macro.

1.5. Định hướng nghiên cứu

Đã có nhiều kết quả liên quan tới phân tích dầm FGM với tính chất vật liệu

biến đổi theo một chiều, nhưng công bố với dầm 2D-FGM còn rất hạn chế. Với dầm

2D-FGM, ngoại trừ trường hợp các tính chất vật liệu thay đổi theo quy luật hàm số mũ

(cho phép thu nhận được các hệ số độ cứng và mô-men khối lượng dưới dạng tường

minh), như đã nói ở trên, các phương pháp giải tích gặp nhiều khó khăn trong phân

tích kết cấu dầm 2D-FGM. Phần phân tích tổng quan cho thấy rằng phương pháp số

trong đó có phương pháp PTHH, đã được một số tác giả sử dụng thành công trong

phân tích dầm và tấm 2D-FGM. Vì lý do này, Luận án lựa chọn đề tài "Mô hình PTHH

trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM" để nghiên cứu. Với đề tài này, Luận án

đặt ra một số vấn đề nghiên cứu cụ thể như sau:

• Sử dụng các lý thuyết biến dạng trượt khác nhau và nguyên lý năng lượng để xây

dựng các mô hình PTHH, tức là thiết lập các ma trận độ cứng và ma trận khối

lượng, cho phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Để tăng tính mới và cải tiến

sự hội tụ của mô hình PTHH, các hàm dạng khác nhau được sử dụng để nội suy

trường chuyển vị. Ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang,

các yếu tố thường xuất hiện trong thực tế, được xem xét trong việc phát triển mô

hình.

18

• Trên cơ sở các mô hình PTHH nhận được, tiến hành xây dựng chương trình tính

toán số cho phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM.

Thực hiện việc kiểm chứng độ tin cậy và hiệu quả của các mô hình PTHH thông

qua việc so sánh kết quả nhận được với các kết quả đã công bố.

• Sử dụng chương trình tính toán số xây dựng được để tính toán và phân tích các

bài toán cụ thể. Trên cơ sở kết quả số nhận được, đưa ra các nhận xét về ảnh

hưởng của tham số vật liệu, nhiệt độ, tham số hình học và tải trọng tới các đặc

trưng dao động và đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM.

1.6. Điểm mới của Luận án

Luận án có một số điểm mới sau đây:

1. Mô hình dầm 2D-FGM: Dầm 2D-FGM tạo từ bốn vật liệu thành phần, hai gốm

và hai kim loại, với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa theo

cả chiều cao và chiều dài dầm được đề xuất và nghiên cứu lần đầu tiên trong

Luận án.

2. Mô hình PTHH: Các mô hình PTHH cho dầm 2D-FGM phát triển lần đầu trên

cơ sở FSDT sử dụng các hàm dạng Kosmatka và thứ bậc. Đặc biệt, mô hình

PTHH trên cơ sở ITSDT đã sử dụng góc trượt ngang làm hàm độc lập nhằm cải

thiện tính hội tụ của công thức PTHH.

Kết luận Chương 1

Chương 1 đã trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu về phân tích dầm FGM

trên thế giới và trong nước. Các kết quả phân tích được thảo luận trên cơ sở hai

phương pháp nghiên cứu là phương pháp giải tích và phương pháp số. Phần phân tích

tổng quan cho thấy phương pháp số trong đó có phương pháp PTHH là lựa chọn cần

thiết để thay thế các phương pháp giải tích truyền thống trong việc phân tích kết cấu

2D-FGM nói chung và dao động của dầm 2D-FGM nói riêng. Trên cơ sở đánh giá

tổng quan, Luận án đã lựa chọn đề tài nghiên cứu và đề ra các vấn đề nghiên cứu cụ

thể cho Luận án.

Trong Chương 2, Luận án sẽ tiến hành xây dựng các phương trình cơ bản cho

dầm 2D-FGM dựa trên một số lý thuyết biến dạng trượt khác nhau.

Chương 2

CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Chương này trình bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm 2D-

FGM. Các phương trình cơ bản của dầm được viết dựa trên hai lý thuyết biến dạng

trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba

cải tiến (ITSDT) do Shi [40] đề nghị. Đặc biệt, theo ITSDT, các phương trình cơ bản

được xây dựng dựa trên hai cách biểu diễn, sử dụng góc quay của thiết diện ngang θ

hoặc góc trượt ngang γ0 làm hàm độc lập. Ảnh hưởng của nhiệt và sự thay đổi của

thiết diện ngang cũng được xét tới trong các phương trình. Biểu thức cho thế năng

của lực di động dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM được đề cập ở cuối

chương.

2.1. Mô hình dầm 2D-FGM

Hình 2.1 minh họa dầm 2D-FGM trong hệ tọa độ Đề-các (Oxyz), với gốc tọa

độ O nằm ở đầu trái dầm và trục x được chọn trùng với mặt giữa dầm, trục z vuông

góc với mặt giữa của dầm và hướng lên trên. Dầm với chiều dài L, thiết diện ngang

của dầm là hình chữ nhật với chiều rộng b và chiều cao h. Hình 2.1 minh họa cho dầm

tựa giản đơn nhưng các công thức trình bày dưới đây cũng được sử dụng cho dầm có

các điều kiện biên khác.

C1

0

M1

L, b, h

Z

C2

M2X

h

b

y

z

Hình 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM

Giả sử dầm được tạo bởi bốn vật liệu thành phần khác nhau, hai gốm - ký hiệu

là C1 và C2 và hai loại kim loại - ký hiệu là M1 và M2. Tỷ phần thể tích của các vật

19

20

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

0.5

1

x/Lz/h

VC

2

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

0.5

1

x/Lz/h

VC

1

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

0.5

1

x/Lz/h

VC

2

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

0.5

1

x/Lz/h

VC

1

(a) nz=n

x=1/2 (b) n

z=n

x=1/2

(d) nz=n

x=2(c) n

z=n

x=2

Hình 2.2. Sự thay đổi tỷ phần thể tích của C1 và C2 theo chiều cao và chiều dài dầm

liệu thành phần được giả định thay đổi theo chiều cao và chiều dài dầm như sau:

VC1 =

(

zh+

12

)nz [

1−( x

L

)nx]

VC2 =

(

zh+

12

)nz ( xL

)nx

VM1 =

[

1−

(

zh+

12

)nz]

[

1−( x

L

)nx]

VM2 =

[

1−

(

zh+

12

)nz]

( xL

)nx

(2.1)

trong đó nz và nx (không âm) tương ứng là các tham số vật liệu, xác định sự thay đổi

của các vật liệu thành phần theo chiều cao và chiều dài của dầm; VC1,VC2,VM1 và VM2

tương ứng là tỷ phần thể tích của C1, C2, M1 và M2. Từ hệ phương trình (2.1) ta có

thể thấy rằng các góc trái và phải của mặt đáy dầm chỉ thuần túy là M1 và M2, trong

khi các góc tương ứng của mặt trên dầm thuần túy là C1 và C2. Hình 2.2 minh họa sự

thay đổi tỷ phần thể tích của C1 và C2 theo chiều cao và chiều dài dầm với một số giá

trị khác nhau của hai tham số vật liệu nz và nx.

Các tính chất hiệu dụng P (chẳng hạn mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt, mật độ

21

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

100

200

300

400

x/Lz/h

E (

GP

a)

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

100

200

300

400

x/Lz/h

E (

GP

a)

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

100

200

300

400

x/Lz/h

E (

GP

a)

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.50

100

200

300

400

x/Lz/h

E (

GP

a)

(b) nz=n

x=2

(c) nz=0, n

x=1/2 (d) n

z=2, n

x=0

(a) nz=n

x=1/2

Hình 2.3. Biến thiên của mô-đun đàn hồi theo chiều cao và chiều dài dầm

khối,...) của dầm 2D-FGM trong Luận án được đánh giá theo mô hình Voigt:

P =VC1PC1+VC2PC2+VM1PM1+VM2PM2 (2.2)

trong đó PC1,PC2,PM1 và PM2 tương ứng là các tính chất vật liệu của C1, C2, M1

và M2. Thế phương trình (2.1) vào (2.2) ta được:

P(x,z) =

[

(PC1−PM1)

(

zh+

12

)nz

+PM1

]

[

1−( x

L

)nx]

+

[

(PC2−PM2)

(

zh+

12

)nz

+PM2

]

( xL

)nx

(2.3)

Hình 2.3 và Hình 2.4 minh họa sự thay đổi của mô-đun đàn hồi và mật độ

khối theo chiều cao và chiều dài dầm 2D-FGM được tạo từ alumina (Al2O3), zirconia

(ZrO2) (tương ứng là C1 và C2) và thép không gỉ (SUS304), nhôm (Al) (tương ứng là

M1 và M2). Mô-đun đàn hồi và mật độ khối của các vật liệu thành phần này được liệt

kê trong Bảng 2.1.

Khi dầm đặt trong môi trường nhiệt độ, nhiệt độ không chỉ tác động lên dầm

dưới dạng tải trọng nhiệt mà còn làm thay đổi tính chất của các vật liệu thành phần.

Như vậy, các tính chất hiệu dụng của dầm không chỉ phụ thuộc vào tính chất của các

22

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.52

4

6

8

x/Lz/h

ρ (k

g/dm

3 )

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.52

4

6

8

x/Lz/h

ρ (k

g/dm

3 )0

0.250.5

0.751

−0.5−0.25

00.25

0.53

4

5

6

x/Lz/h

ρ (k

g/dm

3 )

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.25

00.25

0.52

3

4

5

6

x/Lz/h

ρ (k

g/dm

3 )

(b) nz=n

x=2(a) n

z=n

x=1/2

(d) nz=2, n

x=0(c) n

z=0, n

x=1/2

Hình 2.4. Biến thiên của mật độ khối theo chiều cao và chiều dài dầm

Bảng 2.1. Tính chất các vật liệu thành phần của dầm 2D-FGM

Vật liệu Pha E (GPa) ρ (kg/m3) ν

SUS304 M1 210 7800 0.3

Al M2 70 2702 0.23

Al2O3 C1 390 3960 0.3

ZrO2 C2 200 5700 0.3

vật liệu thành phần mà còn phụ thuộc vào nhiệt độ môi trường. Khi đó, phương trình

(2.3) cần được viết chính xác dưới dạng sau:

P(x,z,T ) =

{

[

PC1(T )−PM1(T )]

(

zh+

12

)nz

+PM1(T )

}

[

1−( x

L

)nx]

+

{

[

PC2(T )−PM2(T )]

(

zh+

12

)nz

+PM2(T )

}

( xL

)nx

(2.4)

với T là nhiệt độ môi trường.

Có thể thấy rằng, nếu nx = 0, phương trình (2.4) thu gọn về biểu thức đã biết

cho các tính chất hiệu dụng của dầm 1D-FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao, tạo

23

bởi C2 và M2:

P(z,T ) =[

PC2(T )−PM2(T )]

(

zh+

12

)nz

+PM2(T ) (2.5)

Nếu C1 giống C2 và M1 giống M2, phương trình (2.4) cũng quay về biểu thức

tính chất hiệu dụng của dầm 1D-FGM hai pha với cơ tính biến đổi ngang. Thêm vào

đó, khi nz = 0, phương trình (2.4) biểu diễn tính chất hiệu dụng của dầm 1D-FGM với

cơ tính biến đổi theo chiều dài, tạo bởi C1 và C2 [113]:

P(x,T ) =[

PC2(T )−PC1(T )]( x

L

)nx+PC1(T ) (2.6)

Như vậy, với một số trường hợp riêng, mô hình dầm trong Luận án quay về mô

hình dầm 1D-FGM, và như vậy cho phép ta kiểm nghiệm mô hình PTHH của Luận

án bằng cách so sánh với kết quả phân tích dầm 1D-FGM khi không có kết quả số của

dầm 2D-FGM. Lưu ý rằng mật độ khối ít bị thay đổi bởi nhiệt độ và có thể giả thiết

đại lượng này không phụ thuộc vào nhiệt độ [41].

Bảng 2.2. Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của vật liệu thành phần

Vật liệu Tính chất P0 P−1 P1 P2 P3

Al2O3 E(Pa) 349.55e+9 0 -3.853e-4 4.027e-7 -1.673e-10

α(K−1) 6.8269e-6 0 1.838e-4 0 0

ρ(kg/m3) 3800 0 0 0 0

SUS304 E(Pa) 201.04e+9 0 3.079e-4 -6.534e-7 0

α(K−1) 12.33e-6 0 8.086e-4 0 0

ρ(kg/m3) 8166 0 0 0 0

ZrO2 E(Pa) 132.2e+9 0 -3.805e-4 -6.127e-8 0

α(K−1) 13.3e-6 0 -1.421e-3 9.549e-7 0

ρ(kg/m3) 4420 0 0 0 0

Ti-6Al-4V E(Pa) 122.7e+9 0 -4.605e-4 0 0

α(K−1) 7.43e-6 0 7.483e-4 -3.621e-7 0

ρ(kg/m3) 3657 0 0 0 0

Tính chất của các vật liệu thành phần phụ thuộc vào nhiệt độ dưới dạng hàm

24

phi tuyến của nhiệt độ [125]:

P = P0(P−1T−1+1+P1T +P2T 2+P3T 3) (2.7)

trong đó P0,P−1,P1,P2 và P3 là các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ (temperature

dependent coefficients) và là duy nhất đối với mỗi vật liệu. Bảng 2.2 liệt kê các

hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của các vật liệu thành phần của dầm 2D-FGM [65, 70]

mà Luận án sử dụng.

Sự phụ thuộc của tính chất các vật liệu thành phần vào nhiệt độ theo phương

trình (2.7) có thể viết cụ thể hơn cho mô-đun đàn hồi (E) và hệ số giãn nở nhiệt (α)

dưới dạng sau đây:

EC1(T ) = E0C1(E−1C1T−1+1+E1C1T +E2C1T 2+E3C1T 3)

EM1(T ) = E0M1(E−1M1T−1+1+E1M1T +E2M1T 2+E3M1T 3)

EC2(T ) = E0C2(E−1C2T−1+1+E1C2T +E2C2T 2+E3C2T 3)

EM2(T ) = E0M2(E−1M2T−1+1+E1M2T +E2M2T 2+E3M2T 3)

αC1(T ) = α0C1(α−1C1T−1+1+α1C1T +α2C1T 2+α3C1T 3)

αM1(T ) = α0M1(α−1M1T−1+1+α1M1T +α2M1T 2+α3M1T 3)

αC2(T ) = α0C2(α−1C2T−1+1+α1C2T +α2C2T 2+α3C2T 3)

αM2(T ) = α0M2(α−1M2T−1+1+α1M2T +α2M2T 2+α3M2T 3)

(2.8)

Thế (2.7) vào biểu thức (2.4), ta thu được biểu thức cho các tính chất hiệu dụng

của dầm ở dạng cụ thể hơn. Trong các nghiên cứu của Luận án, tác giả chỉ xét trường

hợp dầm đặt trong trường nhiệt độ tăng đều, khi đó trường nhiệt độ trong dầm được

tính là T = T0+∆T , với ∆T là sự tăng của nhiệt độ, T0 là nhiệt độ phòng (T0 = 300K

hay 27◦C). Như vậy, tính chất của các vật liệu thành phần chỉ là hàm của nhiệt độ,

không phụ thuộc vào biến không gian.

Hình 2.5 minh họa ảnh hưởng của nhiệt độ tới mô-đun đàn hồi của dầm 2D-

FGM được tạo từ alumina (Al2O3), zirconia (ZrO2) (tương ứng là C1 và C2) và thép

không gỉ (SUS304), titanium (Ti-6Al-4V) (tương ứng là M1 và M2) cho trường hợp

nx = nz = 1/2. Tính chất của các vật liệu thành phần được cho trong Bảng 2.2. Hình

2.5 cho thấy mô-đun đàn hồi của dầm giảm đáng kể khi dầm đặt trong môi trường

25

00.25

0.50.75

1

−0.5

−0.25

0

0.25

0.550

100

150

200

250

300

350

E (

GP

a)

00.25

0.50.75

1

−0.5−0.250

0.250.550

100

150

200

250

300

350

E (

GP

a)

z/hx/L x/L

z/h

(a) ∆T=0K (b) ∆T=500K

Hình 2.5. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm 2D-FGM với

nx = nz = 1/2

nhiệt độ cao. Khảo sát Hình 2.5 kỹ lưỡng hơn ta có thể nhận thấy mô-đun đàn hồi ở

dưới dầm giảm nhiều hơn so với phần trên dầm. Điều này có thể lý giải bởi mô-đun

đàn hồi của kim loại nhạy cảm với nhiệt độ hơn so với mô-đun đàn hồi của gốm.

Trong trường hợp mặt cắt ngang của dầm thay đổi, diện tích thiết diện ngang

và mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang là các hàm của tọa độ x, A = A(x)

và I = I(x). Luận án này nghiên cứu dầm 2D-FGM với chiều rộng và chiều cao thay

đổi tuyến tính theo trục dầm, tức là các dầm thon, với ba dạng thon dưới đây [138]:

Dạng thon A : A(x) = A0

(

1− cxL

)

, I(x) = I0(

1− cxL

)

Dạng thon B : A(x) = A0

(

1− cxL

)

, I(x) = I0(

1− cxL

)3

Dạng thon C : A(x) = A0

(

1− cxL

)2, I(x) = I0

(

1− cxL

)4

(2.9)

trong đó A0 và I0 tương ứng là diện tích và mô-men quán tính bậc hai của thiết diện

ngang tại đầu trái của dầm (x = 0), c (0≤ c < 1) là tỷ số thon (taper ratio), xác

định sự thay đổi thiết diện ngang và trong Luận án, hệ số này được gọi là tham số

thiết diện của dầm. Khi c = 0, dầm quay về trường hợp thiết diện ngang không đổi.

Chú ý rằng với dầm được xét đến trong Mục này thì tại vị trí bất kì theo chiều dài dầm

thiết diện ngang đều là hình chữ nhật. Hình 2.6 minh họa ba dạng thon của dầm theo

phương trình (2.9).

26

A0, I0

M1

C1

M1

C1

M2

C2

C2

M2X

y

z

L

Dạng thon A

L

X

y

M1

C1

M2

C2

M2

C2

Dạng thon B

Dạng thon C

M1

C1

z

A0, I0

XL

A0, I0

zy

M1

C1

M1

C1

M2

C2

M2

C2

Hình 2.6. Mô hình dầm thon 2D-FGM

2.2. Lý thuyết dầm

Ba lý thuyết phổ biến nhất được sử dụng trong phân tích kết cấu dầm là lý

thuyết dầm Euler-Bernoulli (còn được gọi là lý thuyết dầm cổ điển - CBT), lý thuyết

dầm Timoshenko (còn được gọi là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất - FSDT) và lý

thuyết biến dạng trượt bậc cao.

Lý thuyết dầm cổ điển do Leonhard Euler và Daniel Bernoulli đề xuất vào

khoảng năm 1750 [126], được sử dụng rộng rãi trong tính toán và thiết kế công trình

và kết cấu cầu, đặc biệt từ sau khi xây dựng tháp Eiffel. Lý thuyết này dựa trên giả thiết

cơ bản, giả thiết Euler-Bernoulli: "một thiết diện trước biến dạng phẳng và vuông góc

với trục dầm, sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm". Với giả thiết này,

chuyển vị dọc trục, u(x,z, t), và chuyển vị ngang, w(x,z, t), tại điểm bất kỳ của dầm

có dạng [126]:

u(x,z, t) = u0(x, t)− zw0,x(x, t)

w(x,z, t) = w0(x, t)(2.10)

trong đó u0(x, t) và w0(x, t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương

27

ngang của điểm nằm trên mặt giữa của dầm; z là tọa độ theo chiều cao dầm, tính

từ mặt giữa; t là biến thời gian. Như vậy, lý thuyết dầm Euler-Bernoulli bỏ qua ảnh

hưởng của biến dạng trượt, vì thế lý thuyết này chỉ áp dụng cho các dầm có độ mảnh

cao.

Để xét tới ảnh hưởng của biến dạng trượt trong các dầm có độ mảnh thấp,

Timoshenko nới lỏng giả thiết Euler-Bernoulli, cụ thể, vẫn yêu cầu thiết diện trước

biến dạng phẳng thì sau biến dạng vẫn phẳng nhưng không cần vuông góc với trục

dầm. Trường chuyển vị theo lý thuyết Timoshenko có dạng [127]:

u(x,z, t) = u0(x, t)− zθ(x, t)

w(x,z, t) = w0(x, t)(2.11)

với θ là góc quay của thiết diện ngang và là hàm độc lập, θ 6= w0,x.

Chuyển vị dọc trục trong lý thuyết dầm Timoshenko là hàm bậc nhất của tọa

độ theo chiều cao dầm và vì thế biến dạng trượt không là hàm của z. Điều này dẫn

tới nghịch lý là ứng suất trượt không triệt tiêu trên các mặt trên và dưới của dầm. Hệ

số điều chỉnh trượt (shear correction factor), giá trị của nó phụ thuộc vào dạng

hình học của thiết diện ngang, được Timoshenko đưa vào trong lý thuyết của mình để

hiệu chỉnh sai lệch này [127]. Cần lưu ý rằng với kết cấu FGM có cơ tính biến đổi

ngang, hệ số điều chỉnh trượt không phải là hằng số [128], vì thế việc lựa chọn hệ số

điều chỉnh trượt trong phân tích dầm FGM vẫn còn là vấn đề tranh cãi.

Cả lý thuyết CBT và lý thuyết FSDT đều không xét tới ảnh hưởng của sự cong

vênh của mặt cắt ngang (cross-sectional warping). Levinson [129, 130] đề xuất

lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cho dầm và tấm có thiết diện ngang hình chữ nhật,

thỏa mãn điều kiện triệt tiêu của ứng suất trượt trên các mặt dầm và tính tới ảnh hưởng

sự cong vênh của mặt cắt ngang. Biến dạng dọc trục trong lý thuyết Levinson là hàm

bậc ba của tọa độ theo chiều cao dầm [130]:

u(x,z, t) = u0(x, t)+ zθ(x, t)−4

3h2z3 [θ(x, t)+w0,x(x, t)]

w(x,z, t) = w0(x, t)

(2.12)

Dễ dàng kiểm chứng rằng ứng suất trượt nhận được từ trường chuyển vị (2.12)

phân bố theo quy luật parabol theo chiều cao dầm, triệt tiêu tại mặt trên và mặt dưới

dầm. Lý thuyết Levinson, vì thế không cần hệ số điều chỉnh trượt. Levinson chỉ ra

28

rằng độ võng của dầm công-xôn chịu tải ở đầu tự do nhận được từ lý thuyết do mình

đề xuất có cùng giá trị với lời giải của lý thuyết đàn hồi, trong khi giá trị tính toán

theo FSDT thấp hơn đáng kể [130]. Lý thuyết Levinson được một số tác giả mở rộng

và sử dụng cho phân tích tấm, đặc biệt là Reddy [131, 132]. Lý thuyết Levinson và

các lý thuyết mở rộng thường được biết tới dưới tên lý thuyết biến dạng trượt bậc

ba (Third-order Shear Deformation Theory - TSDT) hoặc lý thuyết biến dạng

trượt bậc cao (Higher-order Shear Deformation Theory - HSDT).

Trường chuyển vị trong lý thuyết biến dạng trượt bậc cao là các trường giả định,

tức là được đề nghị (tương đối tùy ý) để thỏa mãn một số tính chất nào đó. Shi [40]

chỉ ra rằng năng lượng biến dạng trượt ngang theo TSDT có sai số khi sự trượt ngang

đóng vai trò quan trọng. Thêm vào đó, bốn điều kiện biên tại mỗi cạnh của tấm uốn

theo lý thuyết TSDT không nhất quán với phương trình vi phân bậc 10. Vì lý do này,

Shi đề nghị lý thuyết biến dạng trượt bậc ba mới, thường được gọi là lý thuyết biến

dạng trượt bậc ba cải tiến (Improved Third-order Shear Deformation Theory

- ITSDT), trong đó trường chuyển vị nhận được từ lời giải bài toán đàn hồi của tấm

[40]. Chuyển vị dọc trục và chuyển vị theo phương ngang tại điểm bất kì của dầm,

tương ứng là u(x,z, t) và w(x,z, t), trong lý thuyết của Shi có dạng [40]:

u(x,z, t) = u0(x, t)+14

z(5θ +w0,x)−5

3h2z3(θ +w0,x)

w(x,z, t) = w0(x, t)

(2.13)

Chuyển vị dọc trục, như thấy từ phương trình (2.13) vẫn là hàm bậc ba của z

nhưng các hệ số tương ứng với các số hạng bậc nhất và bậc ba của z khác với các hệ

số trong lý thuyết dầm Levinson (2.12). Luận án này sẽ sử dụng lý thuyết biến dạng

trượt bậc nhất (FSDT) của Timoshenko và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến do

Shi đề nghị (ITSDT) để xây dựng các mô hình PTHH.

2.3. Phương trình dựa trên FSDT

2.3.1. Biến dạng và ứng suất

Biến dạng dọc trục, εxx, và biến dạng trượt, γxz, nhận được từ trường chuyển vị

(2.11) có dạng:

εxx = u0,x − zθ,x

γxz = w0,x −θ(2.14)

29

Trong phương trình (2.14) và dưới đây, chỉ số dưới dấu phẩy được sử dụng để ký

hiệu đạo hàm riêng theo biến tương ứng với tọa độ không gian, tức là (.),x = ∂ (.)/∂x.

Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, ứng suất pháp (ứng suất dọc trục), σxx, và ứng

suất trượt, τxz, tương ứng với trường biến dạng (2.14) nhận được theo định luật Hooke

như sau:

σxx = E(x,z,T )εxx

τxz = ψG(x,z,T )γxz

(2.15)

trong đó E(x,z,T ) và G(x,z,T ) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt hiệu

dụng của dầm, là hàm của các tọa độ không gian x, z và nhiệt độ T. Khi không xét

đến ảnh hưởng của nhiệt độ thì các đại lượng này chỉ là hàm của các biến không gian;

ψ là hệ số điều chỉnh trượt, được chọn bằng 5/6 cho dầm có thiết diện ngang là hình

chữ nhật xét trong Luận án.

2.3.2. Năng lượng biến dạng đàn hồi

Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm, UB, nhận được từ trường biến dạng

(2.14) và trường ứng suất (2.15) có dạng:

UB =12

∫

V

(σxxεxx + τxzγxz)dV

=12

L∫

0

[

A11u20,x −2A12u0,xθ,x +A22θ2

,x +ψA33(w0,x −θ )2]

dx

(2.16)

Trong phương trình (2.16), V là thể tích dầm; A11,A12,A22 và A33 tương ứng là

độ cứng dọc trục, độ cứng tương hỗ giữa dọc trục và uốn, độ cứng chống uốn và độ

cứng chống trượt của dầm, được định nghĩa như sau:

(A11,A12,A22)(x,T ) =∫

A(x)

E (x,z,T )(

1,z,z2)dA

A33(x,T ) =∫

A(x)

G(x,z,T )dA(2.17)

trong đó A(x) là diện tích thiết diện ngang, trong trường hợp dầm thon, A(x) thay đổi

theo chiều dài dầm.

Thế phương trình (2.4) vào phương trình (2.17), ta có thể viết lại biểu thức cho

30

độ cứng của dầm 2D-FGM dưới dạng sau:

A11 = AC1M111 −

(

AC1M111 −AC2M2

11

)( xL

)nx

A12 = AC1M112 −

(

AC1M112 −AC2M2

12

)( xL

)nx

A22 = AC1M122 −

(

AC1M122 −AC2M2

22

)( xL

)nx

A33 = AC1M133 −

(

AC1M133 −AC2M2

33

)( xL

)nx

(2.18)

trong đó AC1M111 , AC1M1

12 , AC1M122 , AC1M1

33 là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C1

và M1; AC2M211 , AC2M2

12 , AC2M222 , AC2M2

33 là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C2 và

M2. Các đại lượng này được viết cụ thể hơn thông qua mô-đun đàn hồi và mô-đun

trượt của dầm 1D-FGM như sau:

AC1M111 =

∫

A(x)

[(

EC1−EM1

)

(

zh+

12

)nz

+EM1

]

dA

AC1M112 =

∫

A(x)

[(

EC1−EM1

)

(

zh+

12

)nz

+EM1

]

zdA

AC1M122 =

∫

A(x)

[(

EC1−EM1

)

(

zh+

12

)nz

+EM1

]

z2dA

AC1M133 =

∫

A(x)

[(

GC1−GM1

)

(

zh+

12

)nz

+GM1

]

dA

(2.19)

Có thể thấy rằng các biểu thức dưới dấu tích phân trong phương trình trên chỉ

là hàm của z, do đó ta có thể viết phương trình (2.19) dưới dạng tường minh như sau:

AC1M111 =

b(x)h(x)[

EC1(T )+nzEM1(T )]

nz +1

AC1M112 =

b(x)h2(x)nz

[

EC1(T )−EM1(T )]

2(nz +1)(nz+2)

AC1M122 =

b(x)h3(x)(n2z +nz +2)

[

EC1(T )−EM1(T )]

4(nz +1)(nz +2)(nz+3)+

b(x)h3(x)12

EM1(T )

AC1M133 =

b(x)h(x)[

GC1(T )+nzGM1(T )]

nz +1

(2.20)

Tương tự, các đại lượng AC2M211 , AC2M2

12 , AC2M222 , AC2M2

33 cũng có dạng như (2.19)

31

và cũng có thể thu được dạng hiển như công thức (2.20) bằng cách thay EC1, EM1 bằng

EC2, EM2 .

Trong biểu thức (2.19) và (2.20), GC1 =EC1

2(1+νC1), GM1 =

EM1

2(1+νM1)tương

ứng là mô-đun trượt của C1 và M1; νC1 và νM1 tương ứng là hệ số Poisson của C1 và

M1. Do hệ số Poisson ít bị thay đổi bởi nhiệt độ nên được giả thiết là hằng số trong

Luận án này. Chú ý rằng trong trường hợp dầm thon, chiều rộng và chiều cao dầm

trong (2.20) là hàm tuyến tính của x. Từ phương trình (2.18) có thể thấy rằng, tham

số vật liệu theo chiều dài dầm, nx, chỉ ảnh hưởng đến số hạng thứ 2, đồng thời trong

trường hợp(

AC1M1i j −AC2M2

i j

)

> 0, độ cứng của dầm tăng khi nx tăng. Ngoài ra, ta

cũng thu được biểu thức cho độ cứng của dầm 1D-FGM từ (2.18) trong trường hợp

nx = 0 hoặc hai kim loại và hai gốm là giống nhau.

2.3.3. Động năng

Động năng của dầm, T , trong FSDT nhận được từ trường chuyển vị (2.11) có

dạng:

T =12

∫

V

ρ(x,z)(

u2+ w2)

dV

=12

L∫

0

(

I11u20+ I11w2

0−2I12u0θ + I22θ2)dx

(2.21)

Trong phương trình (2.21) và dưới đây, dấu chấm trên một đại lượng được dùng

để ký hiệu đạo hàm theo thời gian, chẳng hạn u0 = ∂u0/∂ t; I11, I12, I22 là các mô-men

khối lượng, được định nghĩa như sau:

(I11, I12, I22)(x) =∫

A(x)

ρ (x,z)(

1,z,z2)dA (2.22)

trong đó ρ (x,z) là mật độ khối hiệu dụng của dầm. Chú ý rằng, mật độ khối được giả

sử không phụ thuộc vào nhiệt độ nên các mô-men khối lượng chỉ là hàm của các biến

không gian.

Tương tự (2.18), các mô-men khối lượng cũng có thể được viết dưới dạng:

I11 = IC1M111 −

(

IC1M111 − IC2M2

11

)( xL

)nx

I12 = IC1M112 −

(

IC1M112 − IC2M2

12

)( xL

)nx

I22 = IC1M122 −

(

IC1M122 − IC2M2

22

)( xL

)nx

(2.23)

32

trong đó IC1M1i j và IC2M2

i j tương ứng là các mô-men khối lượng của dầm tạo bởi C1-M1

và dầm tạo bởi C2-M2. Biểu thức hiển của IC1M1i j và IC2M2

i j nhận được tương tự (2.20).

2.4. Phương trình dựa trên ITSDT

Các phương trình cho dầm 2D-FGM dựa trên lý thuyết ITSDT có thể xây dựng

trên cơ sở sử dụng góc quay của thiết diện ngang θ hoặc góc trượt ngang γ0 làm hàm

độc lập. Dưới đây trình bày các phương trình cơ bản biểu diễn theo hai hàm độc lập

này.

2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ

Trường chuyển vị tại một điểm của dầm theo ITSDT do Shi đề xuất trong đó

coi góc quay θ là hàm độc lập cho bởi phương trình (2.13). Biến dạng dọc trục và

biến dạng trượt nhận được từ (2.13) có dạng:

εxx = εm + zεb − z3εhs

γxz = 5(1

4−

1h2z2

)

γ0

(2.24)

trong đó εm là biến dạng màng, εb là biến dạng uốn, γ0 là góc trượt ngang và εhs là

biến dạng trượt ngang bậc cao được định nghĩa như sau:

εm = u0,x, εb =14(5θ,x +w0,xx)

γ0 = θ +w0,x

εhs =5

3h2(θ,x +w0,xx)

(2.25)

Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, trong đó ứng xử vật liệu tuân theo định luật

Hooke, ứng suất pháp và ứng suất trượt của dầm tương ứng với trường biến dạng

(2.24) có dạng:

σxx(x,z,T ) = E(x,z,T )εxx = E(x,z,T )(εm + zεb − z3εhs)

τxz(x,z,T ) = G(x,z,T )γxz = 5G(x,z,T )(1

4−

1h2z2

)

γ0

(2.26)

Năng lượng biến dạng đàn hồi cho dầm, UB, nhận được từ các phương trình

33

(2.24), (2.25) và (2.26) có dạng:

UB =12

∫

V

(σxxεxx + τxzγxz)dV

=12

L∫

0

[

A11ε2m +2A12εmεb +A22ε2

b −2A34εmεhs −2A44εbεhs

+A66ε2hs +25

( 116

B11−1

2h2B22+1h4B44

)

γ20

]

dx

(2.27)

Các đại lượng A11, A12, A22, A34, A44, A66 và B11, B22, B44 trong phương trình

trên là các độ cứng của dầm, được định nghĩa như sau:

(A11, A12, A22, A34, A44, A66)(x,T ) =∫

A(x)

E(x,z,T )(1, z, z2, z3, z4, z6)dA

(B11, B22, B44)(x,T ) =∫

A(x)

G(x,z,T )(1, z2, z4)dA(2.28)

Từ trường chuyển vị (2.13), ta có thể viết biểu thức động năng của dầm dưới

dạng:

T =12

∫

V

ρ(x,z)(

u2+ w2)dV

=12

L∫

0

[

I11(u20+ w2

0)+12

I12u0(w0,x +5θ )+116

I22(w0,x +5θ )2

−103h2I34u0(w0,x + θ)−

56h2I44(w0+ θ )(w0+5θ )+

259h4I66(w0,x + θ)2

]

dx

(2.29)

trong đó

(I11, I12, I22, I34, I44, I66)(x) =∫

A(x)

ρ(x,z)(

1, z, z2, z3, z4, z6)

dA (2.30)

là các mô-men khối lượng.

Tương tự như trường hợp sử dụng FSDT, độ cứng và mô-men khối lượng cho

dầm dựa trên ITSDT có thể biểu diễn dưới dạng:

Ai j = AC1M1i j −

(

AC1M1i j −AC2M2

i j

)( xL

)nx

Bi j = BC1M1i j −

(

BC1M1i j −BC2M2

i j

)( xL

)nx(2.31)

34

với AC1M1i j , BC1M1

i j là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C1 và M1; AC2M2i j , BC2M2

i j

là các độ cứng của dầm 1D-FGM tạo bởi C2 và M2. Các độ cứng của dầm 1D-FGM

cũng có thể viết được dưới dạng tường minh, chẳng hạn AC1M1i j , BC1M1

i j có dạng:

AC1M111 =

b(x)h(x)(EC1+nzEM1)

nz +1

AC1M112 =

b(x)h2(x)nz(EC1−EM1)

2(nz +1)(nz +2)

AC1M122 =

b(x)h3(x)(n2z +nz +2)(EC1−EM1)

4(nz +1)(nz+2)(nz +3)+

b(x)h3(x)12

EM1

BC1M111 =

b(x)h(x)(GC1+nzGM1)

nz +1

BC1M122 =

b(x)h3(x)(GC1−GM1)(n2z +nz +2)

4(nz +1)(nz+2)(nz +3)+

b(x)h3(x)12

GM1

(2.32)

và các số hạng bậc cao:

AC1M134 =

b(x)h4(x)(n3z +3n2

z +8nz)(EC1−EM1)

8(nz +1)(nz+2)(nz +3)(nz +4)

AC1M144 =

b(x)h5(x)(n4z +6n3

z +23n2z +18nz +24)(EC1−EM1)

16(nz +1)(nz +2)(nz+3)(nz +4)(nz +5)+

b(x)h5(x)80

EM1

AC1M166 =

b(x)h7(x)(n6z +15n5

z +115n4z +405n3

z +964n2z +660nz +720)(EC1−EM1)

64(nz +1)(nz +2)(nz+3)(nz +4)(nz +5)(nz +6)(nz+7)

+b(x)h7(x)

448EM1

BC1M144 =

b(x)h5(x)(GC1−GM1)(n4z +6n3

z +23n2z +18nz +24)

16(nz +1)(nz +2)(nz+3)(nz +4)(nz +5)+

b(x)h5(x)80

GM1

(2.33)

Trong (2.32) và (2.33), mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt của các vật liệu thành

phần là hàm của nhiệt độ khi xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường. Biểu thức

cho AC2M2i j , BC2M2

i j thu được bằng cách thay thế mô-đun đàn hồi, mô-đun trượt của C1

và M1 bằng mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt của C2 và M2 trong các phương trình

(2.32) và (2.33).

Tương tự, mô-men khối lượng cũng được viết dưới dạng:

Ii j = IC1M1i j −

(

IC1M1i j − IC2M2

i j

)( xL

)nx(2.34)

với IC1M1i j , IC2M2

i j có dạng tương tự như trong (2.32) và (2.33).

35

2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0

Bằng cách sử dụng góc trượt ngang (hay còn gọi là biến dạng trượt cổ điển),

γ0 = w0,x+θ , như là hàm độc lập, ta có thể viết chuyển vị dọc trục và chuyển vị ngang

trong phương trình (2.13) dưới dạng:

u(x,z, t) = u0(x, t)+14

z(

5γ0−4w0,x

)

−5

3h2z3γ0

w(x,z, t) = w0(x, t)

(2.35)

Biến dạng dọc trục và biến dạng trượt nhận được từ phương trình (2.35) có

dạng dưới đây:

εxx = εm + zεb − z3εhs,

γxz = 5(1

4−

1h2z2

)

γ0

(2.36)

trong đó

εb =14(5γ0,x −4w0,xx),

εhs =5

3h2 γ0,x

(2.37)

tương ứng là biến dạng uốn và biến dạng trượt ngang bậc cao mới.

Ứng suất pháp và ứng suất trượt của dầm dựa trên trường biến dạng (2.36) được

tính như sau:

σxx(x,z,T ) = E(x,z,T )(

εm + zεb − z3εhs)

τxz(x,z,T ) = 5G(x,z,T )(1

4−

1h2z2

)

γ0

(2.38)

Năng lượng biến dạng đàn hồi nhận được từ trường biến dạng (2.36), (2.37) và

trường ứng suất (2.38) có dạng:

UB =12

L∫

0

[

A11ε2m +2A12εmεb +A22ε2

b −2A34εmεhs −2A44εbεhs

+A66ε2hs +25

( 116

B11−1

2h2B22+1h4B44

)

γ20

]

dx

(2.39)

36

Động năng của dầm nhận được từ phương trình (2.35) có dạng:

T =12

L∫

0

[

I11(u20+ w2

0)+12

I12u0(5γ0−4w0,x)+116

I22(5γ0−4w0,x)2

−103h2I34u0γ0−

56h2I44γ0(5γ0−4w0,x)+

259h4I66γ0

2

]

dx

(2.40)

2.5. Ứng suất nhiệt

Giả sử dầm không có ứng suất nhiệt khi nhiệt độ bằng nhiệt độ quy chiếu T0 và

chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất nhiệt sinh ra do tăng một lượng

nhiệt ∆T cho bởi [18, 70]:

σ Txx =−E(x,z,T )α(x,z,T )∆T (2.41)

trong đó mô-đun đàn hồi E(x,z,T ) và hệ số giãn nở nhiệt α(x,z,T ) được tính từ

phương trình (2.4).

Năng lượng biến dạng sinh ra do σ Txx có dạng [18, 65]:

UT =−12

∫

V

E(x,z,T )α(x,z,T )∆Tw20,xdV

=12

L∫

0

NTw20,xdx

(2.42)

trong đó NT là tổng lực dọc trục, sinh ra do ứng suất nhiệt σ Txx:

NT =

∫

A(x)

σ TxxdA =−

∫

A(x)

E(x,z,T )α(x,z,T )∆T dA (2.43)

Năng lượng biến dạng tổng thể là tổng của năng lượng biến dạng đàn hồi UB

và năng lượng sinh ra do sự tăng của nhiệt độ UT [70].

2.6. Thế năng của lực ngoài

Trường hợp dầm chịu tác động của một lực P không đổi (lực được giả sử chỉ

gây uốn cho dầm), di động với vận tốc không đổi v như xét trong Luận án, thế năng

của lực di động, V , cho bởi:

V =−Pw0(x, t)δ[

x− s(t)]

(2.44)

37

trong đó δ (.) là hàm delta Dirac; x là hoành độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí lực; t là

thời gian tính từ thời điểm lực P đi vào nút trái của dầm, và s(t) = vt là quãng đường

lực P đi được.

2.7. Phương trình chuyển động

Mục này xây dựng phương trình chuyển động cho dầm 2D-FGM. Việc xây

dựng được thực hiện cho trường hợp ITSDT với γ0 là hàm độc lập. Phương trình

chuyển động cho dầm dựa trên FSDT và ITSDT với θ là hàm độc lập có thể nhận được

bằng cách tương tự. Phương trình chuyển động cho dầm được xây dựng từ nguyên lý

biến phân Hamilton [137]. Với hệ cơ học bảo toàn, nguyên lý biến phân Hamilton có

thể viết dưới dạng:

δt2∫

t1

L dt = δt2∫

t1

[T − (U +V )]dt = 0 (2.45)

với các ràng buộc ở hai thời điểm t1 và t2 như sau:

δu|t1 = δu|t2 = 0

δw|t1 = δw|t2 = 0

δγ0|t1 = δγ0|t2 = 0

(2.46)

Trong phương trình (2.45), L là phiếm hàm Lagrange; T ,U lần lượt là động

năng và năng lượng biến dạng của dầm, V là thế năng của các lực ngoài. Trong trường

hợp dầm FGM dao động tự do thì V = 0.

Năng lượng biến dạng tổng thể của dầm là tổ hợp của năng lượng biến dạng

đàn hồi và năng lượng sinh ra từ sự tăng nhiệt độ, nhận được từ (2.39) và (2.42), được

viết lại thông qua các chuyển vị và góc trượt ngang như sau:

U =

L∫

0

[

12

A11u20,x +

14

A12u0,x

(

5γ0,x −4w0,xx

)

+132

A22

(

5γ0,x −4w0,xx

)2

−5

3h2A34u0,xγ0,x −5

12h2A44

(

5γ0,x −4w0,xx

)

γ0,x +25

18h4A66γ20,x

+252

( 116

B11−1

2h2B22+1h4B44

)

γ20 +

12

NTw20,x

]

dx

(2.47)

38

Từ đây ta tính được:

δt2∫

t1

U dt =

t2∫

t1

L∫

0

{[

A11u0,x +14

A12u0,x

(

5γ0,x −4w0,xx

)

−5

3h2A34γ0,x

]

δu0,x

+

[

54

A12u0,x +516

A22

(

5γ0,x −4w0,xx

)

−5

3h2A34u0,x

−5

12h2A44

(

5γ0,x −4w0,xx

)

−25

12h2A44γ0,x +259h4A66γ0,x

]

δγ0,x

+25( 1

16B11−

12h2B22+

1h4B44

)

γ0δγ0+NTw0,xδw0,x

+

[

−A12u0,x −14

A22

(

5γ0,x −4w0,xx

)

+5

3h2A44γ0,x

]

δw0,xx

}

dxdt

(2.48)

Biến phân của động năng của dầm nhận được từ phương trình (2.40) có dạng:

δt2∫

t1

T dt =

t2∫

t1

L∫

0

{[

I11u0+14

(

5γ0−4w0,x

)

−5

3h2I34γ0

]

δ u0

+

[

54

I12u0+516

I22

(

5γ0−4w0,x

)

−5

3h2I34u0

−5

12h2I44

(

5γ0−4w0,x

)

−25

12h2I44γ0+259h4I66γ0

]

δ γ0

+ I11w0δ w0+

[

− I12u0−14

I12

(

5γ0−4w0,x

)

+5

3h2I44γ0

]

δ w0,x

}

dxdt

(2.49)

Tương tự, từ (2.44) ta tính được:

δt2∫

t1

V dt =−P

t2∫

t1

δ[

x− s(t)]

δw0dt (2.50)

Với các ràng buộc ở hai thời điểm t1 và t2 trong (2.46), và các chuyển vị

δu0, δw0 và δγ0 là tùy ý, áp dụng nguyên lý biến phân Hamilton cho các phương

trình (2.48), (2.49) và (2.50), ta thu được hệ phương trình chuyển động cho dầm 2D-

39

FGM đặt trong trường nhiệt độ chịu một lực di động như sau:

I11u0+14

(

5γ0−4w0,x

)

I12−5

3h2I34γ0−

[

A11u0,x

+14

A12

(

5γ0,x −4w0,xx

)

−5

3h2A34γ0,x

]

,x

= 0

(2.51)

I11w0+

[

I12u0+14

(

5γ0−4w0,x

)

I22−5

3h2I44γ0

]

,x

−

[

A12u0,x

+14

A22

(

5γ0,x −4w0,xx

)

−5

3h2A44γ0,x

]

,xx

=(

NTw0,x

)

,x−Pδ

[

x− s(t)]

(2.52)

14

I12u0+116

I22

(

5γ0−4w0,x

)

−1

3h2I34u0−1

3h2I44

(52

γ0− w0,x

)

+5

9h4I66γ0−

[

14

A12u0,x +116

A22

(

5γ0,x −4w0,xx

)

−1

3h2A34u0,x

−1

3h2A44

(52

γ0,x −w0,xx

)

−5

9h4A66γ0,x

]

,x

+5( 1

16B11−

12h2B22+

1h4B44

)

γ0 = 0

(2.53)

Để ý thấy rằng các hệ số trong hệ phương trình vi phân chuyển động là các

độ cứng và mô-men khối lượng của dầm, các đại lượng này là hàm của biến không

gian theo chiều dài dầm và nhiệt độ, do đó việc giải hệ bằng phương pháp giải tích

gặp nhiều khó khăn. Phương pháp PTHH được Luận án lựa chọn để tính toán các đặc

trưng dao động của dầm.

40

2.8. Điều kiện biên

2.8.1. Điều kiện biên về lực và mô-men

Nguyên lý biến phân Hamilton cho ta các điều kiện biên về lực và mô-men như

sau:

A11u0,x +14

A12(5γ0,x −4w0,xx)−5

3h2A34γ0,x = N

A12u0,x +14

A22(5γ0,x −4w0,xx)−5

3h2A44γ0,x = M

A34u0,x +14

A44(5γ0,x −4w0,xx)−5

3h2A66γ0,x = P

5γ0

(

14

B11−1h2B22

)

= Q

5γ0

(

14

B22−1h2B44

)

= R

(2.54)

tại x = 0 và x = L. Trong đó, N, M và Q tương ứng là lực dọc trục, mô men và lực cắt

cho trước tại hai đầu dầm, P, R tương ứng là mô men bậc cao và lực cắt bậc cao cho

trước tại hai đầu dầm.

2.8.2. Điều kiện biên về chuyển vị và góc quay

Các điều kiện biên cơ bản về chuyển vị và góc quay được cho như sau:

- Dầm tựa giản đơn (S-S):

u0 = w0 = 0 tại x = 0

w0 = 0 tại x = L(2.55)

- Dầm có hai đầu ngàm (C-C):

u0 = w0 = θ = 0 tại x = 0

u0 = w0 = θ = 0 tại x = L(2.56)

- Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do (C-F):

u0 = w0 = θ = 0 tại x = 0 (2.57)

Ngoài các điều kiện nói trên, điều kiện biên ngàm cho mô hình PTHH sử dụng

ITSDT còn yêu cầu góc quay θ hoặc góc trượt γ0 triệt tiêu tại các biên ngàm.

41


Chương 2 đã xây dựng các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM. Các phương

trình được thiết lập trên cơ sở hai lý thuyết biến dạng trượt là FSDT và ITSDT. Ảnh

hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang được xem xét trong việc thiết

lập các phương trình cơ bản.

Các biểu thức năng lượng được trình bày chi tiết cho cả FSDT và ITSDT trong

Chương 2. Đặc biệt, với ITSDT, các phương trình cơ bản và biểu thức năng lượng

được xây dựng trên cơ sở coi góc quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là

các hàm độc lập. Biểu thức cho năng lượng biến dạng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và

biểu thức thế năng của lực di động cũng được đề cập trong Chương 2. Hệ phương

trình chuyển động cho dầm 2D-FGM cũng được xây dựng cho trường hợp ITSDT với

γ0 là hàm độc lập. Các biểu thức năng lượng này được sử dụng để thiết lập các ma

trận độ cứng và ma trận khối lượng dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM

ở Chương 3.

Các phương trình cơ bản dựa trên FSDT được trình bày trong các bài báo [1],

[3], [4] và [7], trong khi các phương trình dựa trên ITSDT được công bố trong các bài

số [2], [5] và [6] trong phần "Danh mục công trình liên quan tới Luận án", trang 106.

Chương 3


Chương này xây dựng các mô hình PTHH, tức là thiết lập biểu thức cho ma

trận độ cứng và ma trận khối lượng cho một phần tử đặc trưng của dầm 2D-FGM. Mô

hình PTHH được xây dựng từ các biểu thức năng lượng nhận được cho hai lý thuyết

dầm trong Chương 2. Các hàm dạng khác nhau được lựa chọn thích hợp để phần tử

dầm nhận được có độ tin cậy cao và tốc độ hội tụ tốt. Véc-tơ lực nút và thuật toán số

dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM được đề cập ở cuối chương.

3.1. Mô hình phần tử dầm FSDT

Chuyển vị ngang, w0(x, t), và góc quay của thiết diện ngang, θ(x, t), trong

FSDT là các hàm độc lập nên có thể sử dụng các hàm nội suy tuyến tính để nội suy

cho cả chuyển vị và góc quay. Tuy nhiên, mô hình PTHH sử dụng các hàm nội suy

tuyến tính có tốc độ hội tụ thấp và gặp phải hiện tượng nghẽn trượt (shear locking)

[133]. Nguyên nhân chính của hiện tượng nghẽn trượt là do trường nội suy tuyến tính

cho chuyển vị ngang không thể đặc trưng cho cấu hình biến dạng của dầm và vì thế

mô hình phần tử FSDT sử dụng các hàm nội suy này không mô phỏng được các dầm

có độ mảnh cao. Một số giải pháp được đề nghị để khắc phục hiện tượng nghẽn trượt

của phần tử dầm FSDT, trong đó luật cầu phương bậc thấp dùng để đánh giá năng

lượng biến dạng trượt là giải pháp được nhiều nhà khoa học và chương trình phân tích

PTHH sử dụng.

Thay cho việc sử dụng luật cầu phương bậc thấp, Kosmatka [134] sử dụng

nghiệm của phương trình vi phân cân bằng tĩnh cho một phần tử dầm Timoshenko

thuần nhất để nội suy chuyển vị ngang và góc quay. Các hàm nội suy Kosmatka là các

đa thức bậc ba cho w0(x, t) và bậc hai cho θ(x, t), chứa tham số biến dạng trượt là tỷ

số của độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt của dầm. Với dầm có độ mảnh cao,

ảnh hưởng của biến dạng trượt có thể bỏ qua và các đa thức Kosmatka quay về các đa

thức Hermite. Mô hình PTHH xây dựng từ các đa thức Kosmatka, trong Luận án gọi là

mô hình FBKo (First-oder Beam element using Kosmatka interpolation),

vì thế tránh được hiện tượng nghẽn trượt. Thêm vào đó, mô hình này có tốc độ hội

42

43

tụ và độ tin cậy cao trong tính toán tần số dao động riêng của dầm [134]. Vì các ưu

điểm này, các đa thức Kosmatka là lựa chọn đầu tiên của Luận án để xây dựng mô

hình PTHH theo FSDT.

3.1.1. Mô hình phần tử FBKo

Giả sử dầm được chia làm nhiều phần tử dầm hai nút, (i, j), với chiều dài phần

tử là l. Tại mỗi nút của phần tử có ba bậc tự do là chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang

và góc quay. Véc-tơ chuyển vị nút, dK , cho phần tử gồm sáu thành phần như sau:

dK = {ui wi θi u j w j θ j}T (3.1)

Trong phương trình (3.1) và dưới đây, chỉ số trên ‘T ’ được sử dụng để biểu thị

chuyển vị của một véc-tơ hay một ma trận; chỉ số trên ‘K’ dùng để chỉ mô hình PTHH

sử dụng các đa thức Kosmatka làm hàm dạng cho trường chuyển vị; ui,wi và θi tương

ứng là chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương ngang và góc quay tại nút i; u j,w j

và θ j là các giá trị tương ứng tại nút j. Các chuyển vị và góc quay được nội suy từ các

chuyển vị nút theo công thức:

u0 = Nu dK, w0 = Nw dK, θ = Nθ dK (3.2)

trong đó Nu,Nw và Nθ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0,w0 và θ . Như đã

nói ở trên, hàm đa thức Kosmatka được sử dụng để nội suy cho chuyển vị ngang w0

và góc quay θ , trong khi chuyển vị dọc trục u0 được nội suy bằng các hàm dạng tuyến

tính. Cụ thể:

- Hàm dạng cho u0:

Nu1 = 1−xl, Nu4 =

xl, Nu2 = Nu3 = Nu5 = Nu6 = 0 (3.3)

- Hàm dạng cho w0:

Nw1 = Nw4 = 0

Nw2 =1

1+φ

[

2(x

l

)3−3

(xl

)2−φ

xl+(1+φ)

]

Nw3 =l

1+φ

[(xl

)3−(

2+φ2

)(xl

)2+(

1+φ2

)xl

]

Nw5 =−1

1+φ

[

2(x

l

)3−3

(xl

)2−φ

xl

]

Nw6 =l

1+φ

[(xl

)3−(

1−φ2

)(xl

)2−

φ2

xl

]

(3.4)

44

- Hàm dạng cho θ :

Nθ1 = Nθ4 = 0

Nθ2 =6

l(1+φ)

[(xl

)2−

xl

]

Nθ3 =l

1+φ

[

3(x

l

)2− (4+φ)

xl+(1+φ)

]

Nθ5 =−6

l(1+φ)

[(xl

)2−

xl

]

Nθ6 =l

1+φ

[

3(x

l

)2− (2−φ)

xl

]

(3.5)

Trong các phương trình (3.3)-(3.5), φ là tham số biến dạng trượt (shear deformation

parameter) được định nghĩa như sau:

φ =12EeI

l2ψGeA(3.6)

với I là mô-men quán tính của mặt cắt ngang; chỉ số dưới e trong (3.6) dùng để biểu

thị giá trị của tham số đối với dầm thuần nhất. Trong Luận án này, các giá trị Ee và

Ge được chọn tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun trượt tại góc trái của mặt dưới

của mỗi phần tử. Dễ dàng kiểm chứng rằng khi ảnh hưởng của biến dạng trượt không

đáng kể (độ cứng chống trượt lớn), tham số biến dạng trượt có thể bỏ qua, φ ≈ 0, khi

đó các hàm dạng Kosmatka trở về hàm dạng Hermite quen thuộc. Hơn nữa, ta cũng

dễ dàng kiểm chứng rằng các hàm nội suy cho góc quay chính bằng đạo hàm các hàm

dạng của chuyển vị ngang.

Sử dụng các hàm nội suy tuyến tính và Kosmatka (3.3)-(3.5), ta có thể biểu

diễn được các biến dạng thành phần qua véc-tơ chuyển vị nút dưới dạng ma trận như

sau:

εKm = u0,x = BK

m dK

εKb = θ,x = BK

b dK

εKs = w0,x −θ = BK

s dK

(3.7)

với εKm , εK

b và εKs tương ứng là biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng trượt. Các

45

ma trận biến dạng-chuyển vị BKm, BK

b và BKs trong phương trình (3.7) có dạng sau đây:

BKm =

1l

{

−1 0 0 1 0 0}

BKb =

1l(1+φ)

{

06l

(2xl−1

) 6xl− (4+φ) 0 −

6l

(2xl−1

) 6xl− (2−φ)

}

BKs =

φ1+φ

{

0 −1l

−12

01l

−12

}

(3.8)

Với lược đồ nội suy (3.2)-(3.5), ta có thể viết năng lượng biến dạng đàn hồi

(2.16) dưới dạng:

UB =12

nE

∑(dK)T kK dK (3.9)

trong đó nE là tổng số phần tử dùng để rời rạc dầm, kK là ma trận độ cứng phần tử,

được cho như sau:

kK = kKm +kK

c +kKb +kK

s (3.10)

với kKm, kK

c , kKb và kK

s tương ứng là các ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng

dọc trục, tương hỗ giữa biến dạng dọc trục và uốn, biến dạng uốn và biến dạng trượt.

Các đại lượng này có dạng cụ thể sau:

kKm =

l∫

0

(

BKm

)TA11BK

m dx

kKc =−

l∫

0

(

BKm

)TA12BK

b dx

kKb =

l∫

0

(

BKb

)TA22BK

b dx

kKs =

l∫

0

(

BKs

)TψA33BK

s dx

(3.11)

Để tiện tính toán số, các ma trận độ cứng trong (3.11) được viết theo độ cứng của dầm

46

1D-FGM như sau:

kKm =

l∫

0

(

BKm

)T[

AC1M111 −AC12M12

11

(xl

)nx

]

BKm dx

kKc =−

l∫

0

(

BKm

)T[

AC1M112 −AC12M12

12

(xl

)nx

]

BKb dx

kKb =

l∫

0

(

BKb

)T[

AC1M122 −AC12M12

22

(xl

)nx

]

BKb dx

kKs =

l∫

0

(

BKs

)T[

ψAC1M133 −ψAC12M12

33

(xl

)nx

]

BKs dx

(3.12)

với AC12M12i j = AC1M1

i j −AC2M2i j (i, j = 1..3).

Bằng cách thế trường nội suy (3.2) vào biểu thức (2.21) ta có thể biểu diễn

động năng của dầm theo véc-tơ vận tốc nút phần tử như sau:

T =12

nE

∑(dK)T mdK

(3.13)

trong đó

m = muu +muθ +mθθ +mww (3.14)

là các ma trận khối lượng phần tử, có dạng sau đây:

muu =

l∫

0

NTu I11Nu dx, mww =

l∫

0

NTw I11Nw dx

muθ =−

l∫

0

NTu I12Nθ dx, mθθ =

l∫

0

NTθ I22Nθ dx

(3.15)

Trong phương trình (3.15), muu, mww, muθ và mθθ tương ứng là các ma trận

khối lượng phần tử sinh ra từ chuyển vị dọc trục, chuyển vị theo phương ngang, tương

hỗ giữa chuyển vị dọc trục và sự quay của thiết diện ngang, và do sự quay của thiết

diện ngang. Chú ý rằng, do các ma trận trong (3.15) nhận được nhờ sử dụng cùng các

hàm dạng với trường chuyển vị nên được gọi là ma trận khối lượng phần tử nhất quán.

Các ma trận khối lượng phần tử (3.15) cũng có thể viết theo mô-men khối

47

lượng của dầm 1D-FGM như sau:

muu =

l∫

0

NTu

[

IC1M111 − IC12M12

11

(xl

)nx

]

Nu dx

mww =

l∫

0

NTw

[

IC1M111 − IC12M12

11

(xl

)nx

]

Nw dx

muθ =−

l∫

0

NTu

[

IC1M112 − IC12M12

12

(xl

)nx

]

Nθ dx

mθθ =

l∫

0

NTθ

[

IC1M122 − IC12M12

22

(xl

)nx

]

Nθ dx

(3.16)

với IC12M12i j = IC1M1

i j − IC2M2i j (i, j = 1..3).

3.1.2. Mô hình phần tử FBHi

Mặc dù có tốc độ hội tụ và độ tin cậy cao, mô hình FBKo với 6 bậc tự do

có nhược điểm là các đa thức Kosmatka phải tính toán lại mỗi khi thay đổi lưới

phần tử, vì thế tốn thời gian tính toán. Mô hình PTHH sử dụng các hàm dạng thứ

bậc (hierarchical shape functions) [135, 136], trong Luận án gọi là mô hình

FBHi (First-order Beam element using Hierarchical shape functions),

là một trong các lựa chọn để khắc phục nhược điểm trên. Các hàm dạng thứ bậc

gần đây được sử dụng để phát triển mô hình PTHH trong phân tích dầm 1D-FGM

[14, 120], và được sử dụng trong Luận án này để xây dựng mô hình PTHH cho dầm

2D-FGM.

Điểm chính của các đa thức thứ bậc là các đa thức bậc cao luôn chứa tất cả

các số hạng của đa thức bậc thấp hơn. Cần nhấn mạnh rằng số bậc tự do của mô hình

PTHH hai nút FBHi thường cao hơn 6, và không phải tất cả các bậc tự do đều là các

chuyển vị hay góc quay tại nút phần tử. Sử dụng các hàm nội suy thứ bậc, chuyển vị

dọc trục, chuyển vị theo phương ngang và góc quay của phần tử dầm hai nút (1,2)

được nội suy qua các hàm dạng:

u0 =N1u1+N2u2

θ =N1θ1+N2θ2+N3θ3

w0 =N1w1+N2w2+N3w3+N4w4

(3.17)

48

N1

N2

N3

N4

(a) (b)

w134

w214

w334

w438

w114

w234

w334

w438

w1 w2

u1 u2

θ2

θ1 θ2 θ31

2( )

x=0

x=0

x=0

x=0

x=l/2

x=l/2

x=l

x=l

x=l

x=l

x=0

x=0

x=0

x=l/2

x=l

x=l

x=1x=l/4 x=3l/4

θ1

Hình 3.1. (a) Các hàm dạng thứ bậc, (b) Các bậc tự do của phần tử dầm thứ bậc

với N1,N2,N3,N4 được cho như sau:

N1 = 1−xl, N2 =

xl,

N3 =4x(l− x)

l2 , N4 =−4(−2x+ l)x(l− x)

l3

(3.18)

Hình 3.1 minh họa các bậc tự do trong phương trình (3.17) và các hàm dạng

thứ bậc trong phương trình (3.18) [120].

Với sơ đồ nội suy (3.17), véc-tơ chuyển vị nút cho một phần tử không phải chỉ

có 6 mà là 9 bậc tự do: hai chuyển vị dọc trục, bốn chuyển vị ngang và ba góc quay.

Trong số các bậc tự do này chỉ có các giá trị tương ứng với chỉ số dưới ‘1’ và ‘2’ là

các chuyển vị hoặc góc quay tại nút. Ta hoàn toàn có thể xây dựng mô hình PTHH từ

9 bậc tự do nói trên, tuy nhiên, mô hình phần tử sẽ hiệu quả hơn khi số bậc tự do ít

hơn. Việc này có thể thực hiện được bằng cách ràng buộc biến dạng trượt là hằng số

[136], tức là:

γxz = w0,x −θ =(

−6l

w4+θ3

)(

2xl−1

)2−(4

lw3−

12

θ1+12

θ2

)(

2xl−1

)

+[1

l

(

w2−w1+2w4

)

−12

(

θ1+θ2+2θ3

)]

= const

(3.19)

49

Phương trình (3.19) cho:

w3 =l8(θ1−θ2)

w4 =l6

θ3

(3.20)

tức là w3 và w4 được biểu diễn qua các bậc tự do là góc quay tại hai nút và ở giữa phần

tử. Số bậc tự do, vì thế giảm từ 9 xuống còn 7 bậc tự do.

Sử dụng (3.20), ta có thể viết lại trường nội suy (3.17) dưới dạng sau:

u0 =(

1−xl

)

u1+xlu2

θ =(

1−xl

)

θ1+xlθ2+

4x(l− x)l2 θ3

w0 =(

1−xl

)

w1+xlw2+

l8

4x(l − x)l2 (θ1−θ2)−

l6

4(−2x+ l)x(l− x)l3 θ3

(3.21)

Biến dạng trượt có dạng giản đơn hơn:

γxz =1l(w2−w1)−

12(θ1+θ2)−

23

θ3 (3.22)

Với ràng buộc cho biến dạng trượt, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử dầm sử

dụng các hàm dạng thứ bậc trong Luận án gồm 7 thành phần sau:

dH = {u1 w1 θ1 θ3 u2 w2 θ2}T (3.23)

trong đó ui, wi và θi (i=1, 2) tương ứng là các chuyển vị và góc quay tại nút 1 và nút

2, còn θ3 không phải là góc quay tại nút mà là góc quay tại giữa phần tử. Chỉ số trên

‘H’ được dùng để chỉ ‘Hierarchical’.

Trường nội suy có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:

u0 = Nu dH , w0 = Nw dH , θ = Nθ dH (3.24)

với

Nu = {N1 0 0 0 N2 0 0}

Nθ = {0 0 N1 N3 0 0 N2}

Nw = {0 N1l8

N3l6

N4 0 N2 −l8

N3}

(3.25)

tương ứng là các ma trận hàm dạng của u0, θ và w0; N1, N2, N3, N4 cho bởi (3.18).

50

Các biến dạng thành phần được biểu diễn dưới dạng ma trận thông qua véc-tơ

chuyển vị nút (3.24) như sau:

εHm = u0,x = BH

m dH

εHb = θ,x = BH

b dH

εHs = w0,x −θ = BH

s dH

(3.26)

Trong (3.26), các ma trận biến dạng-chuyển vị BHm , BH

b và BHs được định nghĩa như

sau:

BHm =

1l

{

−1 0 0 0 1 0 0}

BHb =

1l

{

0 0 −14(−2x+ l)

l0 0 1

}

BHs =

{

0 −1l

−12

−23

01l

−12

}

(3.27)

Với trường nội suy (3.24) và các hàm nội suy (3.18), (3.25) ta cũng có thể viết

biểu thức cho năng lượng biến dạng đàn hồi và động năng của dầm theo ngôn ngữ

PTHH như các phương trình (3.9) và (3.13). Các ma trận độ cứng cho mô hình phần

tử dầm dựa trên các hàm dạng thứ bậc có dạng tương tự như các phương trình (3.10)-

(3.12) nhưng với ma trận biến dạng-chuyển vị cho bởi phương trình (3.27). Ma trận

khối lượng có dạng tương tự như các phương trình (3.14)-(3.16) nhưng với các ma

trận hàm dạng nội suy biểu diễn bởi phương trình (3.25) và các hàm dạng (3.18).

3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT

Với hai cách biểu diễn của trường chuyển vị, theo θ , phương trình (2.13), và

theo γ0, phương trình (2.35), hai mô hình PTHH tương ứng với hai cách biểu diễn này

sẽ được xây dựng dưới đây. Để tiện lợi, mô hình PTHH sử dụng góc quay θ là hàm độc

lập, trong Luận án gọi là mô hình TBSθ (Third-order Beam element based on

Shi theory using θ ), còn mô hình PTHH sử dụng γ0 là hàm độc lập trong Luận

án gọi là mô hình TBSγ (Third-order Beam based on Shi theory using γ0).

3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ

Khác với mô hình PTHH dựa trên FSDT, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử dầm

hai nút, (i, j), sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba nói chung và ITSDT nói riêng

51

gồm tám thành phần:

dSθ = {ui wi wi,x θi u j w j w j,x θ j}T (3.28)

trong đó ui,wi,wi,x,θi và u j,w j,w j,x,θ j tương ứng là các giá trị của u0,w0,w0,x và θ

tại các nút i và j. Trong phương trình (3.28) và dưới đây, chỉ số trên ‘Sθ ’ được dùng

để chỉ mô hình PTHH theo lý thuyết Shi với θ là hàm độc lập.

Các chuyển vị u0, w0 và góc quay θ được nội suy từ các chuyển vị nút qua các

hàm dạng theo phương trình:

u0 = NudSθ , w0 = NwdSθ , θ = Nθ dSθ (3.29)

trong đó Nu, Nw và Nθ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0, w0 và θ . Ở đây,

các hàm dạng tuyến tính được sử dụng để nội suy cho chuyển vị dọc trục u0(x, t) và

góc quay của thiết diện ngang θ(x, t), các đa thức Hermite được sử dụng để nội suy

cho chuyển vị ngang w0(x, t). Cụ thể:

- Hàm dạng cho u0:

Nu1 =l − x

l, Nu5 =

xl,

Nu2 = Nu3 = Nu4 = Nu6 = Nu7 = Nu8 = 0

(3.30)

- Hàm dạng cho w0:

Nw1 = Nw4 = Nw5 = Nw8 = 0,

Nw2 = 1−3(x

l

)2+2

(xl

)3, Nw3 = x−2

x2

l+

x3

l2 ,

Nw6 = 3(x

l

)2−2

(xl

)3, Nw7 =−

x2

l+

x3

l2 .

(3.31)

- Hàm dạng cho θ

Nθ4 =l − x

l, Nθ8 =

xl,

Nθ1 = Nθ2 = Nθ3 = Nθ5 = Nθ6 = Nθ7 = 0

(3.32)

Với phép nội suy (3.29)-(3.31), ta có thể viết được biểu thức cho các thành

52

phần biến dạng dưới dạng ma trận thông qua véc-tơ chuyển vị nút (3.28) như sau:

εSθm = u0,x = BSθ

m dSθ

εSθb =

14(5θ,x +w0,xx) = BSθ

b dSθ

εSθhs =

53h2(θ,x +w0,xx) = BSθ

hs dSθ

εSθs = θ +w0,x = BSθ

m dSθ

(3.33)

Trong (3.33), các ma trận biến dạng-chuyển vị BSθm , BSθ

b , BSθhs và BSθ

s có dạng sau:

BSθm =

{

−1l

0 0 01l

0 0 0}

BSθb =

14

{

0 −6l2 +

12xl3 −

4l+

6xl2 −

5l

06l2 −

12xl3 −

2l+

6xl2

5l

}

BSθhs =

53h2

{

0 −6l2 +

12xl3 −

4l+

6xl2 −

1l

06l2 −

12xl3 −

2l+

6xl2

1l

}

BSθs =

{

0 −6xl2 +

6x2

l3 1−4xl+

3x2

l2

l − xl

06xl2 −

6x2

l3 −2xl+

3x2

l2

xl

}

(3.34)

Biểu thức năng lượng biến dạng đàn hồi UB trong phương trình (2.27) có thể

viết dưới dạng (3.9), nhưng với ma trận độ cứng phần tử kSθ được định nghĩa như sau:

kSθ = kSθm +kSθ

b +kSθs +kSθ

hs +kSθc (3.35)

trong đó:

kSθm =

l∫

0

(

BSθm

)TA11BSθ

m dx

kSθb =

l∫

0

(

BSθb

)TA22BSθ

b dx

kSθs = 25

l∫

0

(

BSθs

)T( 116

B11−1

2h2B22+1h4B44

)

BSθs dx

kSθhs =

l∫

0

(

BSθhs

)TA66BSθ

hs dx

kSθc =

l∫

0

[

(

BSθm

)TA12BSθ

b −(

BSθm

)TA34BSθ

hs −(

BSθb

)TA44BSθ

hs

]

dx

(3.36)

53

tương ứng là ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng dọc trục, biến dạng uốn, biến dạng

trượt, biến dạng trượt ngang bậc cao và các biến dạng tương hỗ.

Như ta thấy từ phương trình (3.36), bên cạnh các ma trận độ cứng sinh ta từ

biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng trượt như trong FSDT, ma trận độ cứng

phần tử trong lý thuyết biến dạng trượt bậc ba còn có thêm các thừa số sinh ra từ biến

dạng trượt bậc cao. Tất nhiên, biểu thức cho ma trận độ cứng tương hỗ trong (3.36)

cũng khác với trường hợp mô hình FBKo và mô hình FBHi.

Động năng của dầm cũng có thể viết dưới dạng (3.13) với ma trận khối lượng

phần tử nhất quán cho bởi:

m = m11uu +m12

uθ +m22θθ +m34

uγ +m44θγ +m66

γγ +m11ww (3.37)

trong đó

m11uu =

l∫

0

NTu I11Nudx

m12uθ =

14

l∫

0

NTu I12(Nw,x +5Nθ )dx

m22θθ =

l∫

0

116

(NTw,x +5NT

θ )I22(Nw,x +5Nθ )dx

m34uγ =−

53h2

l∫

0

NTu I34(Nw,x +Nθ )dx

m44θγ =−

512h2

l∫

0

(NTw,x +5NT

θ )I44(Nw,x +Nθ)dx

m66γγ =

259h4

l∫

0

(NTw,x +NT

θ )I66(Nw,x +Nθ )dx

m11ww =

l∫

0

NTwI11Nwdx

(3.38)

là các ma trận khối lượng phần tử nhất quán thành phần.

54

3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ

Với γ0 là hàm độc lập, véc-tơ chuyển vị nút cho phần tử hai nút điển hình, (i, j),

gồm các thành phần:

dSγ = {ui wi wi,x γi u j w j w j,x γ j}T (3.39)

trong đó γi và γ j tương ứng là các giá trị của góc trượt ngang γ0 tại nút i và j. Chỉ số

trên ‘Sγ’ trong phương trình (3.39) dùng chỉ mô hình PTHH sử dụng γ0 làm hàm độc

lập.

Chuyển vị dọc trục, chuyển vị ngang và góc trượt ngang được nội suy từ các

chuyển vị nút bởi:

u0 = Nu dSγ , w0 = Nw dSγ , γ0 = Nγ dSγ (3.40)

với Nu,Nw và Nγ tương ứng là các ma trận hàm dạng cho u0,w0 và γ0. Ở đây hàm

dạng tuyến tính (3.30) được dùng để nội suy cho chuyển vị dọc trục u0(x, t) và góc

trượt ngang γ0, các hàm Hermite (3.31) được sử dụng cho chuyển vị ngang w0(x, t).

Sử dụng sơ đồ nội suy (3.40), các biến dạng được biểu diễn dưới dạng ma trận

như sau:

εSγm = u0,x = BSγ

m dSγ

εSγb =

14(5γ0,x −4w0,xx) = BSγ

b dSγ

εSγhs =

53h2γ0,x = BSγ

hs dSγ

εSγs = γ0 = BSγ

s dSγ

(3.41)

Trong (3.33), các ma trận biến dạng-chuyển vị BSγm , BSγ

b , BSγhs và BSγ

s được định

nghĩa như sau:

BSγm =

{

−1l

0 0 01l

0 0 0}

BSγb =

14

{

024l2 −

48xl3

16l−

24xl2 −

5l

0 −24l2 +

48xl3

8l−

24xl2

5l

}

BSθhs =

53h2

{

0 0 0 −1l

0 0 01l

}

BSθs =

{

0 0 0l − x

l0 0 0

xl

}

(3.42)

55

Ma trận độ cứng phần tử thành phần cho mô hình TBSγ cũng có dạng tương

tự như trong phương trình (3.36) nhưng với các ma trận biến dạng- chuyển vị cho bởi

công thức (3.42).

Tương tự, ma trận khối lượng phần tử nhất quán thành phần nhận được từ biểu

thức động năng (2.40) có dạng:

m11uu =

l∫

0

NTu I11Nudx , m11

ww =

l∫

0

NTwI11Nwdx

m12uγ =

14

l∫

0

NTu I12(5Nγ −4Nw,x)dx

m22γγ =

116

l∫

0

(5NTγ −4NT

w,x)I22(5Nγ −4Nw,x)dx

m34uγ =−

53h2

l∫

0

NTu I34Nγdx

m44γγ =−

512h2

l∫

0

(5NTγ −4NT

w,x)I44Nγdx

m66γγ =

259h4

l∫

0

NTγ I66Nγdx

(3.43)

3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ

Sử dụng các hàm nội suy cho chuyển vị ngang w0(x, t) ta có thể viết biểu thức

cho năng lượng biến dạng sinh ra do nhiệt độ (2.42) dưới dạng ma trận như sau:

UT =12

nE

∑dT kTd (3.44)

trong đó

kT =

l∫

0

BTt NTBtdx (3.45)

là ma trận độ cứng phần tử sinh ra do sự tăng của nhiệt độ. Với các lý thuyết dầm khác

nhau, ma trận độ cứng phần tử do nhiệt độ đều có dạng (3.45). Điểm khác nhau duy

nhất là sự khác nhau của các hàm dạng Nw được lựa chọn cho w0(x, t) dẫn tới sự khác

nhau của ma trận biến dạng-chuyển vị Bt = (Nw),x trong (3.45). Cụ thể:

56

- Với FBKo, ma trận biến dạng-chuyển vị Bt có dạng:

BKt =

11+φ

{

06x2

l3 −6xl2 −

φl

3x2

l2 − (4+φ)xl+1+

φ2

0 −6x2

l3 +6xl2 +

φl

3x2

l2 − (2−φ)xl−

φ2

}

(3.46)

- Với FBHi, ma trận biến dạng-chuyển vị Bt có dạng:

BHt =

{

0 −1l

−2x+ l2l

−2(l2−6lx+6x2)

3l2 01l

2x− l2l

}

(3.47)

- Với TBSθ , ma trận biến dạng-chuyển vị Bt có dạng:

BSθt =

{

0 −6xl2 +

6x2

l3 1−4xl+

3x2

l2 0 06xl2 −

6x2

l3 −2xl+

3x2

l2 0}

(3.48)

- Với TBSγ , Bt có dạng giống như phương trình (3.48).

3.4. Phương trình chuyển động rời rạc

Với các biểu thức của ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử xây dựng

được ta có thể nối ghép để tạo thành các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng

thể cho dầm. Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển động cho

dầm 2D-FGM sau khi rời rác hóa có thể viết dưới dạng ngôn ngữ PTHH như sau

[133]:

MD+KD = Fex (3.49)

trong đó

D =nE

∑e=1

de , D =nE

∑e=1

de (3.50)

tương ứng là các véc-tơ chuyển vị và gia tốc tổng thể tại các điểm nút của dầm,

K =nE

∑e=1

ke , M =nE

∑e=1

me , Fex =nE

∑e=1

fe (3.51)

tương ứng là các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ tải trọng nút tổng

thể. Trong các phương trình (3.50) và (3.51), nE là tổng số phần tử được sử dụng để

rời rạc dầm; ký hiệunE∑

e=1được hiểu theo nghĩa ghép nối các ma trận và véc-tơ lực nút

phần tử thành các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ lực nút tổng thể theo

phương pháp chuẩn của lý thuyết PTHH.

Cùng với các điều kiện biên cơ bản trình bày trong Chương 2, cần đưa vào các

điều kiện ban đầu cho phương trình (3.49) để tạo thành bài toán giá trị ban đầu hoàn

57

chỉnh. Phần lớn các bài toán trong thực tế thường có điều kiện ban đầu là dừng, tức là

véc-tơ chuyển vị và vận tốc tại thời điểm ban đầu bằng 0:

D|t=0 = D|t=0 = 0 (3.52)

Hệ các phương trình đạo hàm riêng (3.49) cùng với điều kiện ban đầu (3.52)

tạo thành bài toán giá trị ban đầu, cho phép xác định đáp ứng động lực học của dầm.

Luận án này sử dụng phương pháp gia tốc trung bình không đổi trong họ các phương

pháp Newmark để giải hệ phương trình vi phân (3.49) và (3.52). Trong trường hợp

dao động tự do, vế phải của phương trình (3.49) được gán bằng 0:

MD+KD = 0 (3.53)

3.5. Thuật toán số

3.5.1. Dao động tự do

Một kết cấu không có cản và không chịu tác động của lực ngoài sẽ dao động

điều hòa (có thể được gây ra bởi điều kiện ban đầu). Như vậy véc-tơ chuyển vị và gia

tốc nút có thể biểu diễn dưới dạng:

D = Vsinωt

D =−ω2Vsinωt(3.54)

trong đó V là biên độ dao động, ω là tần số góc (rad/s). Thế (3.54) vào phương trình

dao động (3.53) ta có:

(K−λM)V = 0 (3.55)

trong đó λ = ω2. Phương trình (3.55) là bài toán giá trị riêng. Khi ma trận (K−λM)

không suy biến, phương trình (3.55) chỉ có nghiệm tầm thường V = 0. Trường hợp

nghiệm không tầm thường ta có phương trình để xác định các giá trị riêng λi, đó là

det (K−λM) = 0 (3.56)

Cùng với các giá trị riêng λi là các véc-tơ riêng Vi (còn gọi là các mode trực

giao). Tần số thấp nhất khác không, ω1, được gọi là tần số dao động cơ bản, chú ý

rằng các véc-tơ riêng là trực giao và độc lập tuyến tính.

Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt

độ sử dụng mô hình TBSγ được minh họa trên Hình 3.2, với bài toán dao động tự do

58

Hình 3.2. Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường

nhiệt độ sử dụng mô hình TBSγ

của dầm thon 2D-FGM ta cũng có quy trình tính toán tương tự. Chú ý rằng trong sơ

đồ khối ở Hình 3.2 thì kSγ là ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng đàn hồi

của dầm dựa trên mô hình TBSγ , ma trận này nhận được tương tự (3.36). Ma trận độ

cứng phần tử của dầm nhận được là tổng của ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến

59

dạng đàn hồi và ma trận độ cứng phần tử sinh ra do sự tăng của nhiệt độ.

3.5.2. Phương pháp gia tốc trung bình

Các phương pháp tích phân trực tiếp khác nhau được biết tới trong lĩnh vực

động lực học kết cấu dưới tên gọi họ các phương pháp Newmark (Newmark family

of methods). Một số phương pháp tích phân trực tiếp thông dụng được kể đến là:

phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp gia tốc tuyến tính, phương pháp gia

tốc trung bình và phương pháp Fox-Goodwin. Một đặc tính quan trọng trong việc lựa

chọn phương pháp tích phân trực tiếp là tính ổn định của phương pháp trên quan điểm

số. Trong bốn phương pháp trên chỉ có phương pháp gia tốc trung bình là phương

pháp ổn định không điều kiện, tức là thuật toán số luôn ổn định với mọi bước thời

gian [137]. Các phương pháp còn lại là phương pháp ổn định có điều kiện, trong

đó bước thời gian ∆t cần chịu các ràng buộc cụ thể tùy theo phương pháp lựa chọn.

Phương pháp gia tốc trung bình được sử dụng trong Luận án để tính véc-tơ chuyển

vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc tại các nút. Vì là phương pháp ổn định không điều

kiện nên yêu cầu duy nhất của phương pháp gia tốc trung bình là tính chính xác của

lời giải số.

Giả sử tổng thời gian cần cho tải trọng đi hết dầm được chia làm nSTEP phần

với độ lớn ∆t như nhau, véc-tơ chuyển vị và vận tốc tại các điểm nút trong phương

pháp gia tốc trung bình có thể nhận được từ khai triển Taylor của véc-tơ chuyển vị nút

quanh thời điểm i∆t và (i+1)∆t. Cụ thể [137]:

Di+1 = Di +∆tDi +∆t2

2Di

Di = Di+1−∆tDi+1+∆t2

2Di+1

(3.57)

Cộng và trừ các phương trình trong (3.57) cho nhau và bỏ qua các số hạng bé

bậc cao ta nhận được:

Di+1 = Di +∆t2(Di + Di+1)

Di+1 = Di +∆t2(Di + Di+1)

(3.58)

Từ phương trình (3.58) ta có thể tìm các véc-tơ vận tốc và gia tốc nút tại thời

60

điểm (i+1)∆t như sau:

Di+1 =2∆t

(Di+1−Di)− Di

Di+1 =4

∆t2(Di+1−Di)−4∆t

Di − Di

(3.59)

Kết hợp phương trình (3.59) với phương trình chuyển động viết tại thời điểm

(i+1)∆t:

MDi+1+KD i+1 = Fi+1, (3.60)

ta nhận được phương trình để xác định véc-tơ chuyển vị nút tại thời điểm mới (i+1)∆t

như sau:

K efDi+1 = Fefi+1, (3.61)

trong đó K ef và Fef tương ứng là các ma trận độ cứng và véc-tơ lực nút hiệu dụng

(effective stiffness matrix and effective load vector) với biểu thức cụ

thể như sau:

K ef =4

∆t2M +K

Fefi+1 = Fi+1+M

(

4∆t2Di +

4∆t

Di + Di

) (3.62)

Như vậy từ các phương trình (3.59), (3.61) và (3.62), ta hoàn toàn có thể xác

định được các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm mới (i+1)∆t.

3.5.3. Véc-tơ lực nút

Với dầm chịu một lực di động P, véc-tơ lực nút tổng thể Fex trong phương trình

(3.49) gồm các số hạng bằng không ngoại trừ các số hạng liên quan tới phần tử trên

đó có lực di động:

Fex = {0 0 ... 0 0 ... PNw|xe ...0 0 ... 0 0}T (3.63)

trong đó Nw|xe là ma trận các hàm dạng Nw của chuyển vị ngang w0(x, t), được đánh

giá tại vị trí xe - vị trí hiện tại của lực P tính từ nút trái của phần tử chịu lực. Như vậy,

véc-tơ lực nút nhận được từ các lý thuyết dầm khác nhau sẽ khác nhau vì các hàm nội

suy cho w0(x, t) là khác nhau. Hơn nữa, để xác định véc-tơ Fex ta cần biết hoành độ

xe. Hoành độ này dễ dàng xác định được khi biết quãng đường mà lực di động đi được

kể từ khi lực này tiến vào nút trái dầm tới thời điểm hiện tại.

61

Giả sử s là khoảng cách hiện tại từ lực P tới đầu trái của dầm. Thuật toán để

tính véc-tơ lực nút tổng thể Fex cho dầm chịu một lực di động với vận tốc không đổi

gồm các bước sau:

Bước 1: Tính quãng đường mà lực P đã đi được từ đầu trái dầm, s = vt

Bước 2: Xác định số thứ tự của phần tử mà trên đó lực P đang tác dụng, chẳng

hạn lấy phần nguyên của tỷ số s/l, trong đó l là chiều dài phần tử. Với MATLAB, ta

có thể dùng lệnh "fix" để lấy phần nguyên: ne = fix(s/l), số thứ tự phần tử trên đó

có chứa lực P là ne +1

Bước 3: Xác định hoành độ của lực P so với nút trái của phần tử ne + 1:

xe = s−nel

Bước 4: Đánh giá ma trận hàm dạng Nw tại hoành độ xe nhận được từ bước 3

Bước 5: Tính toán véc-tơ lực nút cho phần tử này: f = PNTw

Bước 6: Ghép nối véc-tơ f vào véc-tơ lực nút tổng thể

3.5.4. Quy trình tính toán

Để giải bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp gia tốc trung bình, ngoài

các điều kiện biên hình học, vật liệu dầm và các thông số về lực di động, ta cần đưa

vào các giá trị ban đầu là các véc-tơ chuyển vị nút D và vận tốc nút D tại thời điểm

ban đầu t = 0, theo (3.52). Gia tốc tại thời điểm ban đầu t = 0 là đại lượng chưa biết

nhưng có thể tính được từ phương trình chuyển động viết tại thời điểm t = 0:

MD0+KD0 = F0 (3.64)

Từ đó

D0 = (M)−1(F0−KD0) (3.65)

Sơ đồ khối để tính toán đáp ứng động lực học của dầm chịu tác động của lực

di động theo phương pháp gia tốc trung bình sử dụng mô hình FBKo được minh họa

trên Hình 3.3. Các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ lực nút tổng thể

trong sơ đồ nhận được bằng cách sử dụng hàm dạng Kosmatka để nội suy trường

chuyển vị. Trên Hình 3.3, "nSTEP" là tổng số bước dùng trong thuật toán Newmark;

D, D, D là véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc nút tại thời điểm mới

(i+ 1)∆t; D0, D0, D0 là véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc nút tại

62

Hình 3.3. Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM chịu lực di động

sử dụng mô hình FBKo

thời điểm cũ i∆t, chú ý rằng vị trí hiện tại của lực di động và véc-tơ tải trọng nút

được tính ở mỗi bước thời gian. Các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc mới được

gán thành các véc-tơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc cũ ở đầu vòng lặp bằng các lệnh:

D0 = D, D0 = D, D0 = D.


Chương 3 xây dựng mô hình PTHH cho một phần tử dầm hai nút dựa trên hai

lý thuyết biến dạng trượt. Với phần tử dầm FSDT, mô hình PTHH được xây dựng dựa

trên hai hàm dạng khác nhau, hàm dạng Kosmatka và hàm dạng thứ bậc. Mô hình

PTHH sử dụng ITSDT được xây dựng từ các hàm tuyến tính và hàm dạng Hermite,

63

trong đó hàm Hermite được dùng để nội suy chuyển vị ngang. Biểu thức cho ma trận

độ cứng và ma trận khối lượng cho mô hình dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ

sở coi góc quay của thiết diện ngang hoặc góc trượt ngang là các hàm độc lập. Biểu

thức cho ma trận độ cứng sinh ra do sự tăng nhiệt độ và véc-tơ lực nút cho trường hợp

dầm chịu lực di động cũng được xây dựng trong Chương 3. Ngoài ra trong Chương

3 cũng trình bày thuật toán số theo phương pháp gia tốc trung bình để tính toán đáp

ứng động lực học cho dầm 2D-FGM chịu tác động của tải trọng di động. Sơ đồ khối

để tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM, dao động tự do của dầm 2D-FGM

trong môi trường nhiệt độ được minh họa cho hai mô hình PTHH cụ thể. Quy trình

tính toán bài toán dao động tự do của dầm thon 2D-FGM có thể nhận được tương tự

như dầm 2D-FGM có thiết diện không đổi.

Mô hình PTHH dựa trên FSDT với các hàm dạng Kosmatka được trình bày

trong bài báo số [4], mô hình FSDT sử dụng các hàm thứ bậc được công bố trong bài

báo số [1], [3], trong khi mô hình dựa trên ITSDT được trình bày trong bài báo số [2],

[5], [6] trong Mục “Danh mục công trình liên quan tới Luận án”, trang 106.

Chương 4

KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN

Mô hình PTHH và thuật toán số xây dựng trong Chương 3 được sử dụng để

phát triển chương trình tính toán số viết trên ngôn ngữ MATLAB và ứng dụng để

phân tích các bài toán cụ thể. Một số kết quả phân tích số sử dụng chương trình tính

toán phát triển trong Luận án được trình bày trong Chương này. Kết quả số được trình

bày trên cơ sở phân tích ba bài toán: (1) Dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi

trường nhiệt độ; (2) Dao động tự do của dầm thon 2D-FGM; (3) Dao động cưỡng bức

của dầm 2D-FGM chịu tác động của lực di động. Từ kết quả số nhận được, một số kết

luận liên quan tới ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số thiết diện, nhiệt độ môi

trường và độ mảnh dầm tới tần số dao động riêng và mode dao động được rút ra. Ứng

xử động lực học của dầm 2D-FDM dưới tác dụng của lực di động cũng được thảo luận

trong Chương. Sự hội tụ và độ tin cậy của các mô hình PTHH trong đánh giá các đặc

trưng dao động của dầm 2D-FGM cũng được đề cập trong Chương này.

4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH

4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH

Dầm 2D-FGM với tỉ số giữa chiều dài và chiều cao L/h = 20, làm từ thép

không gỉ (SUS304), nhôm (Al), nhôm ô-xit (Al2O3), zirconia (ZrO2) được sử dụng

để nghiên cứu trong Mục này. Tính chất của các vật liệu này được cho trong Bảng 2.1.

Để thuận lợi cho việc thảo luận, ta đưa vào ký hiệu cho tham số tần số dao động cơ

bản, được định nghĩa như sau:

µ = ω1L2

h

√

ρAl

EAl(4.1)

với ω1 là tần số cơ bản của dầm.

Bảng 4.1 và Bảng 4.2 minh họa sự hội tụ của bốn mô hình PTHH phát triển

trong Luận án trong đánh giá tham số tần số dao động cơ bản µ của dầm 2D-FGM có

thiết diện ngang không đổi (c = 0), tựa giản đơn, không tính tới ảnh hưởng của nhiệt

độ (∆T = 0K). Tham số tần số dao động cơ bản được tính toán cho các giá trị khác

nhau của cặp tham số vật liệu (nx,nz) theo chiều cao và chiều dài dầm.

64

65

Bảng 4.1. Sự hội tụ của các mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần số cơ bản

nz = nx Mô hình nE=10 nE=12 nE=14 nE=16 nE=18 nE=20

1/3 FBKo 3.5054 3.5052 3.5051 3.5051 3.5050 3.5050

FBHi 3.5053 3.5051 3.5051 3.5050 3.5050 3.5050

TBSγ 3.5053 3.5052 3.5051 3.5051 3.5051 3.5051

TBSθ 3.5201 3.5155 3.5127 3.5109 3.5096 3.5087

1/2 FBKo 3.5403 3.5401 3.5399 3.5398 3.5398 3.5397

FBHi 3.5401 3.5399 3.5398 3.5397 3.5397 3.5397

TBSγ 3.5401 3.5400 3.5399 3.5398 3.5398 3.5398

TBSθ 3.5548 3.5501 3.5474 3.5455 3.5443 3.5434

1 FBKo 3.5303 3.5500 3.5498 3.5497 3.5495 3.5495

FBHi 3.5500 3.5498 3.5496 3.5495 3.5495 3.5494

TBSγ 3.5499 3.5497 3.5496 3.5495 3.5494 3.5494

TBSθ 3.5637 3.5592 3.5566 3.5549 3.5537 3.5528

3 FBKo 3.4131 3.4128 3.4126 3.4124 3.4123 3.4122

FBHi 3.4127 3.4125 3.4123 3.4123 3.4122 3.4122

TBSγ 3.4119 3.4117 3.4116 3.4115 3.4115 3.4115

TBSθ 3.4234 3.4198 3.4176 3.4161 3.4151 3.4144

Bảng 4.2. Sự hội tụ của mô hình phần tử TBSθ trong đánh giá tham số tần số cơ bản

nE=30 nE=40 nE=50 nE=60 nE=70

nz = nx = 1/3 3.5067 3.5059 3.5056 3.5055 3.5053

nz = nx = 1/2 3.5413 3.5406 3.5403 3.5401 3.5401

nz = nx = 1 3.5508 3.5501 3.5498 3.5496 3.5495

nz = nx = 3 3.4127 3.4121 3.4118 3.4117 3.4116

Từ Bảng 4.1 và Bảng 4.2 ta có thể rút ra các nhận xét sau đây:

• Tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM nhận được từ bốn mô hình PTHH phát

triển trong Luận án rất sát nhau. Ba trong số bốn mô hình PTHH, cụ thể là mô

hình FBKo, mô hình FBHi và mô hình TBSγ , có tốc độ hội tụ cao. Khi sử dụng

66

ba mô hình này để tính toán, tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGM hội tụ

tới giá trị không thay đổi chỉ với 16 hoặc 18 phần tử.

• Mô hình phần tử TBSθ hội tụ rất chậm, cần tới 70 phần tử để tính toán tần số

dao động cơ bản của dầm. Điều này có thể giải thích bởi trường nội suy tuyến

tính sử dụng cho góc quay không đặc trưng tốt cho góc quay của thiết diện ngang

θ(x, t). Theo lý thuyết dầm, θ(x, t) là đạo hàm của độ võng dầm w0(x, t). Với các

hàm nội suy Hermite sử dụng cho w0(x, t), góc quay của thiết diện ngang, như

vậy cần các hàm bậc hai để nội suy. Khi sử dụng γ0 làm hàm độc lập và nội suy

tuyến tính tham biến này, góc quay được tính qua chuyển vị ngang, θ =w0,x−γ0,

và vì thế là hàm bậc hai của x. Điều này lý giải cho sự hội tụ tốt của mô hình

TBSγ .

• Giá trị của cặp tham số vật liệu (nx,nz) không ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của

các mô hình PTHH. Mô hình FBHi có tốc độ hội tụ tương đương với mô hình

FBKo. Như đã nói trong Chương 3, do không phải thiết lập lại các hàm dạng,

mô hình FBHi, như vậy có ưu điểm hơn trong nghiên cứu dao động của dầm

2D-FGM. Tuy nhiên, mô hình này vẫn cần sử dụng hệ số điều chỉnh trượt mà sự

lựa chọn giá trị của nó vẫn còn là điều tranh cãi.

Từ sự hội tụ của các mô hình PTHH phân tích trên đây, Luận án sẽ chỉ sử dụng

các mô hình có sự hội tụ tốt để tính toán và so sánh kết quả số. Cụ thể, Luận án sẽ

sử dụng mô hình phần tử TBSγ để nghiên cứu dao động tự do của dầm 2D-FGM

trong môi trường nhiệt độ, mô hình FBHi để phân tích dao động tự do của dầm thon

2D-FGM và mô hình phần tử FBKo dùng để nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm

chịu lực di động.

Bảng 4.3 minh họa sự hội tụ của mô hình phần tử FBHi trong đánh giá tham

số tần số cơ bản của dầm thon 2D-FGM tựa giản đơn, với dạng thon C, cho các giá trị

khác nhau của tham số vật liệu (nx,nz) và tham số thiết diện c. Do các mô hình FBKo

và TBSγ có tốc độ hội tụ tương tự như mô hình FBHi nên sự hội của các mô hình

này trong đánh giá tần số dao động cơ bản không minh họa trong Bảng. Bảng 4.3 cho

thấy tốc độ hội tụ của mô hình PTHH trong tính toán tần số dao động cơ bản của dầm

thon chậm hơn khi tính toán tần số dao động của dầm có thiết diện không đổi. Mô

hình FBHi cần tới 30 phần tử để đạt được tốc độ hội tụ trong đánh giá tần số của dầm.

Sự hội tụ của mô hình FBHi phát triển trong Luận án trong đánh giá tham số tần số

67

dao động cơ bản của dầm thon tương đương với mô hình PTHH do Shahba và cộng sự

[138] xây dựng dựa trên các hàm dạng Kosmatka để nghiên cứu dao động tự do của

dầm thon 1D-FGM với cơ tính biến đổi dọc. Như vậy, sự biến thiên của cơ tính theo

chiều cao dường như không ảnh hưởng tới tốc độ hội tụ của mô hình PTHH. Với kết

quả hội tụ này, lưới gồm 30 phần tử sẽ được sử dụng để tính toán các đặc trưng dao

động của dầm thon 2D-FGM trong phần dưới đây.

Bảng 4.3. Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ bản của dầm

thon 2D-FGM (Dạng thon C)

c (nx,nx) nE=10 nE=15 nE=20 nE=25 nE=30 nE=35 nE=40

0.2 (1/2, 1/2) 3.1423 3.1420 3.1419 3.1418 3.1418 3.1418 3.1418

(5/6, 5/6) 3.1491 3.1487 3.1486 3.1485 3.1484 3.1484 3.1484

(1, 1) 3.1428 3.1423 3.1422 3.1421 3.1420 3.1420 3.1420

0.6 (1/2, 1/2) 2.1602 2.1597 2.1596 2.1596 2.1596 2.1596 2.1596

(5/6, 5/6) 2.1482 2.1476 2.1474 2.1473 2.1472 2.1472 2.1472

(1,1) 2.1389 2.1383 2.1381 2.1380 2.1379 2.1379 2.1379

0.9 (1/2, 1/2) 1.0178 1.0162 1.0154 1.0151 1.0149 1.0149 1.0149

(5/6, 5/6) 0.9930 0.9912 0.9904 0.9900 0.9898 0.9898 0.9898

(1, 1) 0.9818 0.9800 0.9791 0.9787 0.9785 0.9785 0.9785

4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH

Để đảm bảo độ tin cậy của các mô hình PTHH phát triển trong Chương 3, trước

khi đi vào tính toán cụ thể, Luận án tiến hành so sánh một số kết quả số nhận được từ

các mô hình với các số liệu đã công bố của các tác giả khác.

Do chưa có kết quả công bố về dao động của dầm 2D-FGM tạo từ bốn vật liệu

thành phần với tỷ phần thể tích thay đổi theo quy luật hàm số lũy thừa như nghiên cứu

trong Luận án, việc so sánh, vì thế, sẽ được thực hiện cho dầm 1D-FGM, trường hợp

riêng của dầm 2D-FGM. Việc tính toán được thực hiện bằng cách gán nx = 0 trong

chương trình tính toán và kết quả nhận được sẽ là của dầm 1D-FGM.

Trong Bảng 4.4, tham số tần số cơ bản µ của dầm 1D-FGM tạo bởi Al và Al2O3

được so sánh với kết quả của Sina và cộng sự trong Tài liệu [32] sử dụng phương pháp

68

Bảng 4.4. So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và Al2O3.

nz Nguồn L/h = 10 L/h = 30 L/h = 100

0 Luận án, FBKo 2.8042 2.8439 2.8486

Tài liệu [32] 2.7970 2.8430 2.8480

Tài liệu [50] 2.8040 2.8430 2.8480

0.3 Luận án, FBKo 2.7019 2.7381 2.7423

Tài liệu [32] 2.6950 2.7370 2.7420

Tài liệu [50] 2.7010 2.7380 2.7420

Bảng 4.5. So sánh tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm, max(Dd), và vận tốc

tương ứng của dầm 1D-FGM tạo bởi SUS304 và Al2O3

Nguồn n = 0.2 n = 0.5 n = 1 n = 2 SUS304 Al2O3

max(Dd) Luận án, FBKo 1.0402 1.1505 1.2566 1.3446 1.7420 0.9380

Tài liệu [49] 1.0344 1.1444 1.2503 1.3376 1.7324 0.9328

v (m/s) Luận án, FBKo 222 197 178 163 131 251

Tài liệu [49] 222 198 179 164 132 252

giải tích và kết quả của Simsek [50] sử dụng phương pháp bán giải tích. Tham số tần

số cơ bản (µ) trong Bảng 4.4 được định nghĩa theo [32], tức là µ = ωLh

√

I11

A11, trong

đó ω là tần số cơ bản của dầm.

Bảng 4.5 so sánh tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm (maximum

dynamic magnification factor), max(Dd), và vận tốc tương ứng của dầm 1D-

FGM tựa giản đơn tạo bởi SUS304 và Al2O3 với kết quả của Simsek và Kocaturk

[49]. Tham số động lực học (Dd) trong Bảng 4.5 được định nghĩa như sau:

Dd = max

(

w0(L/2, t)wst

)

(4.2)

trong đó wst = PL3/48EmI là độ võng tĩnh của dầm thép thuần nhất tựa giản đơn chịu

tải trọng P đặt tại giữa dầm. Để xác định được max(Dd), vận tốc được cho tăng từ 1

m/s đến 300 m/s với bước thay đổi là 1 m/s. Giá trị lớn nhất của tham số động lực học

được xác định trên cơ sở lấy giá trị lớn nhất của tập hợp các giá trị tham số động lực

69

học nhận được. Tham số tần số cơ bản và tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm

trong các Bảng 4.4 và 4.5 nhận được bằng cách cho nx = 0 trên cơ sở sử dụng các

tham số hình học và vật liệu trong các tài liệu tham khảo tương ứng.

Kết quả trong Bảng 4.4 và Bảng 4.5 nhận được từ mô hình phần tử FBKo. Các

mô hình FBHi và TBSγ cho kết quả tương tự và để Luận án không quá dài, các kết

quả này không đưa vào các bảng trên. Bảng 4.4 và Bảng 4.5 cho thấy với mọi giá trị

của tham số vật liệu và giá trị của tỷ số giữa chiều dài và chiều cao dầm, tham số tần

số cơ bản và tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm nhận được trong Luận án rất

sát với kết quả của các Tài liệu tham khảo được so sánh.

Tiếp theo, Luận án tiến hành kiểm chứng chương trình tính toán cho bài toán

dầm đặt trong trường nhiệt độ. Do kết quả tính toán nhận được từ các mô hình phần tử

sát nhau và mô hình phần tử TBSγ có sự hội tụ tốt nên mô hình TBSγ được sử dụng

để tính tần số dao động riêng của dầm 1D-FGM trong trường nhiệt độ.

Bảng 4.6. So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM trong môi trường nhiệt độ

∆T (K) Nguồn n = 0.1 n = 0.2 n = 0.5 n = 1

20 Luận án, TBSγ 4.6080 4.3456 3.8645 3.4923

Tài liệu [65] 4.6536 4.3867 3.8974 3.5193

40 Luận án, TBSγ 4.3966 4.1286 3.6380 3.2595

Tài liệu [65] 4.4516 4.1782 3.6779 3.2925

80 Luận án, TBSγ 3.9388 3.6530 3.1290 2.7242

Tài liệu [65] 4.0148 3.7212 3.1834 2.7693

Bảng 4.6 so sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM đặt trong trường

nhiệt độ với kết quả của Ebrahimi và cộng sự [65] sử dụng lý thuyết dầm Euler-

Bernoulli và phương pháp biến đổi vi phân. Tham số tần số cơ bản được định nghĩa

trong [65], ω = ωL2

h

√

ρm

Em, trong đó ω là tần số dao động cơ bản; ρm và Em tương

ứng là mật độ khối và mô-đun đàn hồi của SUS304ở nhiệt độ phòng. Bảng 4.6 cho

thấy kết quả nhận được trong Luận án sử dụng TBSγ khá sát với kết quả của Ebrahimi

và cộng sự [65]. Lưu ý rằng kết quả trong Bảng 4.6 nhận được cho dầm có tỷ số giữa

chiều dài và chiều cao L/h = 20.

70

Bảng 4.7. So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm thon 1D-FGM với cơ tính biến

đổi dọc

ĐKB∗ Dạng Nguồn α=0.2 α=0.4 α=0.5 α=0.6 α=0.8

C-F B Luận án, FBHi 3.9955 4.1434 4.2386 4.3560 4.7154

Tài liệu [138] 3.9956 4.1438 4.2393 4.3571 4.7180

C Luận án, FBHi 4.2382 4.7113 5.0164 5.3909 6.4952

Tài liệu [138] 4.2384 4.7121 5.0178 5.3931 6.5009

S-S B Luận án, FBHi 7.2913 6.4635 5.9854 5.4503 4.1159

Tài liệu [138] 7.2921 6.4653 5.9879 5.4540 4.1244

C Luận án, FBHi 7.2235 6.2730 5.7082 5.0655 3.4326

Tài liệu [138] 7.2245 6.2755 5.7118 5.0709 3.4452

C-C B Luận án, FBHi 12.2114 11.5715 11.1670 10.6843 9.3483

Tài liệu [138] 12.2126 11.5739 11.1706 10.6896 9.3634

C Luận án, FBHi 12.2416 11.6653 11.3153 10.9129 9.9015

Tài liệu [138] 12.2429 11.6683 11.3199 10.9200 9.9207

∗: Điều kiện biên

Bảng 4.7 so sánh tham số tần số cơ bản của dầm thon 1D-FGM với cơ tính biến

đổi dọc, tựa giản đơn với kết quả của Shahba và cộng sự [138]. Kết quả trong Bảng

4.7 được tính bằng mô hình FBHi cho dầm với hai dạng thon B và C, làm từ Al và

ZrO2. Chiều dài dầm được chọn theo [138], L =

√

I00.01A0

, trong đó A0 và I0 tương

ứng là diện tích và mô-men quán tính của thiết diện ngang ở đầu dầm. Tham số tần số

cơ bản trong Bảng 4.7 được định nghĩa như sau [138]:

µ =

√

ρzL4A0

EzI0(4.3)

trong đó ρz và Ez tương ứng là mật độ khối và mô-đun đàn hồi của ZrO2. Bảng 4.7

cũng cho thấy kết quả nhận được từ Luận án và Tài liệu [138] rất sát nhau.

Kết quả so sánh trên đây cho thấy các tần số dao động riêng có tính tới ảnh

hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang cũng như đáp ứng động lực

học nhận được từ các mô hình PTHH phát triển trong Luận án là đáng tin cậy. Kết

quả này cho phép khẳng định độ tin cậy của các mô hình PTHH và chương trình tính

71

toán số của Luận án và có thể dùng để nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM.

4.1.3. So sánh các mô hình phần tử

Trong Mục này Luận án tiến hành so sánh tham số tần số cơ bản và tham số

động lực học của dầm nhận được từ các mô hình phần tử FBKo, FBHi và TBSγ với

các giá trị khác nhau của tham số vật liệu. Các mô hình này như đã được chỉ ra trong

Mục 4.1.1 và 4.1.2 cho sự hội tụ nhanh và kết quả đáng tin cậy. Vật liệu của dầm được

chọn trong Mục này là thép không gỉ (SUS304), nhôm (Al), nhôm ô-xit (Al2O3) và

zirconia (ZrO2); tỉ số giữa chiều dài và chiều cao dầm được lấy là L/h0=20. Vận tốc

của lực di động sử dụng để tính tham số động lực học của dầm được lấy là 30 m/s.

Dầm được xét đến trong Mục 4.1.3 là dầm có thiết diện không đổi.

Bảng 4.8. So sánh tham số tần số cơ bản của dầm S-S 2D-FGM dựa trên các mô hình

phần tử khác nhau

nz Mô hình nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

FBKo 3.3018 3.5854 3.9148 4.3139 4.4379 4.5956 4.8005

0 FBHi 3.3018 3.5853 3.9147 4.3138 4.4377 4.5954 4.8003

TBSγ 3.3018 3.5853 3.9146 4.3137 4.4377 4.5954 4.8003

FBKo 3.1069 3.3204 3.5398 3.7746 3.8417 3.9236 4.0245

0.5 FBHi 3.1069 3.3203 3.5397 3.7744 3.8416 3.9234 4.0244

TBSγ 3.1070 3.3204 3.5398 3.7745 3.8416 3.9235 4.0245

FBKo 3.0361 3.2141 3.3820 3.5496 3.5957 3.6510 3.7178

1 FBHi 3.0361 3.2140 3.3819 3.5494 3.5955 3.6508 3.7176

TBSγ 3.0360 3.2140 3.3819 3.5494 3.5954 3.6507 3.7176

FBKo 3.0234 3.1763 3.3117 3.4409 3.4757 3.5172 3.5671

1.5 FBHi 3.0234 3.1763 3.3116 3.4407 3.4755 3.5170 3.5669

TBSγ 3.0233 3.1761 3.3114 3.4405 3.4753 3.5168 3.5667

FBKo 3.0330 3.1654 3.2768 3.3801 3.4076 3.4404 3.4798

2 FBHi 3.0330 3.1653 3.2767 3.3799 3.4074 3.4402 3.4795

TBSγ 3.0326 3.1650 3.2763 3.3795 3.4070 3.4398 3.4791

Từ Bảng 4.8 ta có thể thấy rằng với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu,

tham số tần số cơ bản của dầm nhận được từ các mô hình rất sát nhau. Để ý kĩ hơn

72

Bảng 4.9. So sánh tham số động lực học của dầm S-S 2D-FGM dựa trên các mô hình

phần tử khác nhau

nz Mô hình nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

FBKo 0.3759 0.3407 0.3028 0.2607 0.2490 0.2352 0.2225

0 FBHi 0.3759 0.3407 0.3028 0.2607 0.2490 0.2352 0.2226

TBSγ 0.3759 0.3407 0.3028 0.2607 0.2490 0.2352 0.2226

FBKo 0.5304 0.4429 0.3915 0.3387 0.3246 0.3081 0.2890

0.5 FBHi 0.5304 0.4429 0.3915 0.3388 0.3247 0.3082 0.2890

TBSγ 0.5304 0.4429 0.3915 0.3388 0.3247 0.3081 0.2890

FBKo 0.6277 0.5107 0.4378 0.3764 0.3604 0.3417 0.3203

1 FBHi 0.6277 0.5108 0.4378 0.3765 0.3604 0.3418 0.3203

TBSγ 0.6279 0.5108 0.4379 0.3765 0.3604 0.3418 0.3203

FBKo 0.6828 0.5515 0.4625 0.3952 0.3778 0.3578 0.3349

1.5 FBHi 0.6828 0.5515 0.4625 0.3952 0.3779 0.3579 0.3349

TBSγ 0.6830 0.5517 0.4626 0.3953 0.3779 0.3579 0.3350

FBKo 0.7141 0.5748 0.4769 0.4055 0.3874 0.3665 0.3427

2 FBHi 0.7141 0.5748 0.4769 0.4056 0.3874 0.3666 0.3427

TBSγ 0.7145 0.5751 0.4770 0.4057 0.3876 0.3666 0.3428

từ Bảng 4.8 ta thấy rằng tham số tần số cơ bản của dầm nhận được từ mô hình FBKo

cho giá trị cao nhất và kết quả nhận được từ mô hình TBSγ cho giá trị thấp nhất, điều

này thấy rõ hơn với giá trị của nz lớn hơn.

Bảng 4.9 đưa ra tham số động lực học của dầm nhận được từ các mô hình. Với

mọi giá trị của tham số vật liệu, tham số động lực học nhận được từ các mô hình là

sát nhau, sự sai khác là không đáng kể.

Do kết quả nhận được từ ba mô hình cho tham số tần số cơ bản và tham số

động lực học của dầm rất sát nhau nên Luận án sẽ lựa chọn từng mô hình cho từng

bài toán cụ thể được đưa ra trong các Mục dưới đây.

73

4.2. Dao động tự do

4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi

Mục này nghiên cứu dao động tự do của dầm 2D-FGM có thiết diện không đổi,

chịu ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng đều. Kết quả số trong Mục này nhận được

trên cơ sở tính toán cho dầm tạo bởi ôxít nhôm (Al2O3), zirconia (ZrO2) tương ứng là

C1 và C2 và thép không gỉ (SUS304), titanium (Ti-6Al-4V) tương ứng là M1 và M2.

Tỷ số giữa chiều dài và chiều cao dầm, nếu không có lưu ý gì, được chọn là L/h = 20.

Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của các vật liệu thành phần được cho trong Bảng

2.2. Để thuận tiện cho việc thảo luận, ta đưa vào các tham số tần số không thứ nguyên

µi, được định nghĩa như sau:

µi = ωiL2

h

√

ρ0

E0, i = 1..4 (4.4)

trong đó ωi là tần số dao động thứ i của dầm; ρ0 và E0 tương ứng là mật độ khối và mô-

đun đàn hồi của SUS304ở nhiệt độ phòng, tức là ρ0=8166 kg/m3 và E0=207.79 x109

N/m2. Kết quả số trong Mục 4.2.1 này nhận được trên cơ sở sử dụng mô hình PTHH

bậc ba cải tiến, TBSγ .

4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu

Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu thông qua các tham số vật liệu nx,nz lên

tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM tựa giản đơn (S-S) được minh họa trong Bảng

4.10 cho trường hợp ∆T =0K. Bảng 4.10 cho thấy tham số vật liệu của dầm 2D-FGM

ảnh hưởng rõ nét tới tham số tần số cơ bản của dầm. Một số nhận xét cụ thể từ Bảng

4.10 có thể tóm lược như sau:

• Với một giá trị cho trước của nx, tham số tần số cơ bản µ1 có xu hướng giảm khi

nz tăng. Đồng thời, sự giảm này rõ nét hơn khi giá trị của nx lớn. Chẳng hạn, khi

nz tăng từ 0 đến 2, tham số tần số cơ bản của dầm giảm 16.99% với nx = 0.2,

nhưng giảm tới 32.09% và 40.42% tương ứng với các trường hợp nx = 1 và

nx = 2. Để giải thích cho sự giảm của tham số tần số µ1 khi nz tăng, ta có thể

nhìn vào công thức (2.4): khi nz tăng sẽ dẫn tới sự suy giảm của mô-đun đàn

hồi, và điều này dẫn tới sự suy giảm độ cứng của dầm. Chú ý rằng, ma trận khối

lượng cũng giảm khi nz tăng, tuy nhiên với các vật liệu thành phần sử dụng trong

bài toán này ta có thể kiểm chứng được rằng độ cứng của dầm suy giảm nhanh

hơn so với mô-men khối lượng khi nz tăng.

74

Bảng 4.10. Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên tham số tần số cơ bản µ1 cho dầm S-S

với ∆T = 0K

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 3.1729 3.5145 3.8612 4.2347 4.4746 4.6386

nz = 0.2 3.0896 3.3592 3.6248 3.9015 4.0743 4.1903

nz = 0.5 3.0148 3.2228 3.4217 3.6227 3.7455 3.8270

nz = 1.0 2.9484 3.1053 3.2505 3.3934 3.4792 3.5356

nz = 1.5 2.9121 3.0431 3.1617 3.2768 3.3454 3.3904

nz = 2.0 2.8890 3.0041 3.1070 3.2059 3.2648 3.3034

• Ảnh hưởng của tham số vật liệu theo chiều dài dầm, nx, tới tham số tần số cơ

bản của dầm ngược với ảnh hưởng của nz. Cụ thể, khi nx tăng, tham số tần số cơ

bản của dầm cũng tăng. Thêm vào đó, sự tăng của tham số tần số µ1 nhanh hơn

khi giá trị của nz nhỏ hơn. Chẳng hạn, khi nx tăng từ 0 đến 2, tham số tần số cơ

bản của dầm tăng 35.62% với nz = 0.2, nhưng chỉ tăng 19.92% và 14.34% với

nz = 1 và nz = 2. Sự tăng của tham số tần số cơ bản do nx tăng có thể giải thích

bởi sự tăng độ cứng của dầm.

• Tham số tần số cơ bản của dầm trong Bảng 4.10 đạt giá trị lớn nhất khi nx = 2

và nz = 0, trường hợp này ứng với dầm 1D-FGM có cơ tính biến đổi dọc trục

tạo bởi 2 gốm. Trong trường hợp này mô-đun đàn hồi của gốm cao và vì thế độ

cứng của dầm lớn. Kết quả là, tham số tần số cơ bản của dầm tạo từ hai gốm cao

hơn. Tham số tần số µ1 đạt giá trị nhỏ nhất với nx = 0 và nz = 2, tương ứng với

dầm được tạo bởi titanium (Ti-6Al-4V) và Zirconia (ZrO2).

Để nghiên cứu sự phụ thuộc của các tham số tần số dao động bậc cao hơn

vào sự phân bố của vật liệu, Hình 4.1 minh họa ảnh hưởng của tham số vật liệu lên

bốn tham số đầu tiên của dầm 2D-FGM tựa giản đơn với giá trị sự tăng của nhiệt độ

∆T =50K. Như thấy từ Hình 4.1, quy luật phụ thuộc của các tham số tần số cao hơn

vào tham số vật liệu tương tự như quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào

tham số vật liệu, tức là các tham số tần số tăng lên khi nx tăng và giảm đi khi nz tăng.

Quy luật này không phụ thuộc vào giá trị của ∆T .

75

00.5

11.5

2

00.5

11.5

22

3

4

5

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

210

15

20

nz

nx

µ 20

0.51

1.52

00.5

11.5

220

30

40

nz

nx

µ 3

00.5

11.5

2

00.5

11.5

230

40

50

60

nz

nx

µ 4

Hình 4.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm

S-S với ∆T = 50K

Sự phụ thuộc của các tham số tần số vào tham số vật liệu có thể được giải thích

bởi sự thay đổi tỷ phần của các vật liệu thành phần của dầm 2D-FGM. Ứng với giá

trị nx cao hơn, tỷ phần của M1 và C1 nhiều hơn, và như vậy dầm cứng và nặng hơn.

Từ lý thuyết dao động của kết cấu ta biết rằng tần số dao động riêng của kết cấu tỷ lệ

thuận với độ cứng của dầm và tỉ lệ nghịch với khối lượng của dầm. Với các vật liệu

được chọn trong nghiên cứu ở đây, khi nx tăng lên, mô-đun đàn hồi của M1 và C1 tăng

nhanh hơn mật độ khối của chúng và điều này giải thích cho sự tăng của các tham số

tần số của dầm khi tăng giá trị của nx. Ta cũng có sự giải thích tương tự cho sự giảm

của các tham số tần số khi tăng giá trị của nz.

4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ

Ảnh hưởng của nhiệt độ lên tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGM được

minh họa trong các Bảng 4.11-4.13, trong đó tham số tần số của dầm tựa giản đơn

được liệt kê cho các giá trị khác nhau của các tham số vật liệu. Giá trị sự tăng nhiệt

độ trong các Bảng tương ứng là ∆T = 20K, 40K và 80K .

Một số nhận xét có thể rút ra từ các Bảng 4.11-4.13 được tóm lược như sau:

• Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu không thay

76

Bảng 4.11. Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 20K

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 3.0227 3.3456 3.6853 4.0587 4.3004 4.4657

nz = 0.2 2.9415 3.1905 3.4464 3.7213 3.8955 4.0129

nz = 0.5 2.869 3.0551 3.2422 3.4402 3.5643 3.6472

nz = 1 2.8051 2.9394 3.0714 3.2103 3.2972 3.3551

nz = 1.5 2.7704 2.8785 2.9833 3.0940 3.1637 3.2102

nz = 2 2.7483 2.8406 2.9293 3.0236 3.0835 3.1236


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 2.8744 3.1765 3.5077 3.8801 4.1234 4.2899

nz = 0.2 2.7937 3.0193 3.2634 3.5354 3.7109 3.8297

nz = 0.5 2.7219 2.8829 3.0557 3.2494 3.3746 3.4589

nz = 1 2.6590 2.7672 2.8830 3.0165 3.1045 3.1638

nz = 1.5 2.6251 2.7066 2.7946 2.8994 2.9700 3.0181

nz = 2 2.6035 2.6690 2.7404 2.8287 2.8895 2.9312

đổi khi giá trị của ∆T tăng lên. Tuy nhiên, sự tăng của tham số tần số cơ bản khi

nx tăng và sự giảm của tham số tần số cơ bản khi nz tăng chịu ảnh hưởng bởi sự

tăng nhiệt độ. Đặc biệt, khi nhìn vào Bảng 4.13 ta có thể thấy rằng khi nz tăng

từ 0 đến 2, tham số tần số cơ bản của dầm giảm mạnh hơn rất nhiều, đặc biệt là

khi nx lớn. Cụ thể, tham số tần số cơ bản của dầm chỉ giảm 23.56% với nx = 0.2,

nhưng giảm tới 47% với nx = 1 và 57.28% với nx = 2.

• Tham số tần số cơ bản của dầm giảm rõ rệt khi giá trị của ∆T tăng lên. Điều

này hoàn toàn phù hợp với bản chất vật lý, trong đó mô-đun của vật liệu giảm đi

khi nhiệt độ môi trường tăng lên. Do sự suy giảm của mô-đun đàn hồi của vật

liệu thành phần, độ cứng của dầm bị suy giảm. Mật độ khối của vật liệu, như

ta biết, ít thay đổi bởi nhiệt độ và như trong Luận án này, được giả thiết không

phụ thuộc vào nhiệt độ. Như vậy, tần số dao động riêng của dầm sẽ suy giảm

77


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 2.5819 2.8348 3.1434 3.5116 3.7577 3.9267

nz = 0.2 2.4967 2.6653 2.8781 3.1411 3.3191 3.4406

nz = 0.5 2.4212 2.5195 2.6540 2.8035 2.9623 3.0496

nz = 1 2.3555 2.3969 2.4691 2.5870 2.6767 2.7394

nz = 1.5 2.3202 2.3335 2.3753 2.4631 2.5355 2.5871

nz = 2 2.2979 2.2943 2.3182 2.3887 2.4513 2.4966

khi nhiệt độ môi trường tăng lên. Đặc biệt, tham số tần số dao động cơ bản của

dầm giảm nhiều hơn khi dầm có giá trị nz lớn hơn. Kết quả này có thể lý giải

như sau: khi nz tăng, hàm lượng kim loại trong dầm cao hơn và hàm lượng gốm

giảm đi. Như ta đã biết, kim loại là vật liệu nhạy cảm với nhiệt độ hơn gốm và

vì thế mô-đun đàn hồi của kim loại giảm mạnh khi tăng giá trị của nhiệt độ.

Kết quả là mô-đun đàn hồi hiệu dụng của dầm giảm nhiều hơn. Chẳng hạn, với

nx = 2, khi giá trị của sự tăng nhiệt độ ∆T tăng từ 0K lên 80K, tham số tần số

cơ bản của dầm giảm 18.13% cho dầm với nz = 0, trong khi giá trị suy giảm này

là 32.31% với nz = 2.

Để có bức tranh trực quan hơn về ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ tới tần số dao

động cơ bản của dầm, Hình 4.2 minh họa sự phụ thuộc của tham số tần số dao động

cơ bản µ1 vào các tham số vật liệu của dầm tựa giản đơn với bốn giá trị khác nhau

của sự tăng nhiệt độ, ∆T = 0K, 20K, 40K và 80K. Với mọi giá trị của nx và nz, tham

số tần số dao động cơ bản, như thấy từ Hình 4.2, giảm đi khi giá trị ∆T tăng lên. Tuy

nhiên, sự tăng nhiệt độ không làm thay đổi quy luật phụ thuộc của tham số µ1 vào nx

và nz.

4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau

Các Bảng 4.14-4.17 và các Hình 4.3, 4.4 minh họa sự phụ thuộc của các tham

số tần số của dầm ngàm hai đầu (C-C) vào các tham số vật liệu dầm nx,nz với các giá

trị khác nhau của sự tăng nhiệt độ ∆T . Kết quả số tương ứng cho dầm công-xôn (C-F)

được minh họa trong các Bảng 4.18- 4.21 và trên các Hình 4.5, 4.6. Cùng với kết quả

78

00.5

11.5

2

00.5

11.5

22

3

4

5

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

22

3

4

5

nz

nx

µ 10

0.5 11.5

2

00.5

11.5

22

3

4

5

nz

nx

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

22

3

4

5

nz

nx

µ 1

(c) ∆T=40 K (d) ∆T=80 K

(a) ∆T=0 K (a) ∆T=20 K

Hình 4.2. Sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa giản đơn với

các giá trị khác nhau của ∆T

số cho dầm S-S trình bày trong Mục trên, một số nhận xét liên quan tới các Bảng và

Hình vẽ này có thể tóm lược như sau:

Bảng 4.14. Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 0K

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 7.1065 8.0918 8.7886 9.3599 9.6750 9.8833

nz = 0.2 6.9205 7.7285 8.2571 8.6437 8.8363 8.9581

nz = 0.5 6.7529 7.4078 7.7968 8.0402 8.1437 8.2052

nz = 1 6.6038 7.1301 7.4067 7.5399 7.5783 7.5973

nz = 1.5 6.5223 6.9845 7.2036 7.2839 7.2921 7.2918

nz = 2 6.4702 6.8930 7.0785 7.1279 7.1189 7.1078

• Cũng như dầm thuần nhất và dầm 1D-FGM, trong ba điều kiện biên cổ điển

xem xét ở đây, với mỗi cặp tham số vật liệu và giá trị của nhiệt độ, tham số tần

số dao động của dầm 2D-FGM với biên C-C là cao nhất, trong khi dầm với biên

C-F có tham số tần số dao động thấp nhất.

79


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 6.9993 7.9808 8.6735 9.2413 9.5547 9.7619

nz = 0.2 6.8145 7.6189 8.1432 8.5258 8.7163 8.8370

nz = 0.5 6.6483 7.3000 7.6845 7.9235 8.0248 8.0852

nz = 1 6.5007 7.0251 7.2962 7.4249 7.4611 7.4789

nz = 1.5 6.4201 6.8798 7.0945 7.1701 7.1761 7.1746

nz = 2 6.3687 6.7892 6.9702 7.0149 7.0037 6.9914


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 6.8952 7.8728 8.5610 9.1246 9.4358 9.6417

nz = 0.2 6.7108 7.5114 8.0306 8.4083 8.5964 8.7157

nz = 0.5 6.5451 7.1932 7.5724 7.8062 7.9048 7.9637

nz = 1 6.3984 6.9193 7.1851 7.3083 7.3417 7.3580

nz = 1.5 6.3183 6.7747 6.9841 7.0541 7.1023 7.1022

nz = 2 6.2672 6.6846 6.8604 6.8995 6.8855 6.8716


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 6.6956 7.6654 8.3431 8.8962 9.2018 9.4043

nz = 0.2 6.5096 7.3017 7.8091 8.1746 8.3562 8.4717

nz = 0.5 6.3429 6.9821 7.3486 7.5692 7.6609 7.7158

nz = 1 6.1955 6.7076 6.9603 7.0697 7.0959 7.1081

nz = 1.5 6.1152 6.5631 6.7593 6.8153 6.8113 6.8042

nz = 2 6.0640 6.4731 6.6357 6.6608 6.6395 6.6216

• Các Bảng 4.14 và 4.18 chỉ ra rằng, ở nhiệt độ phòng (∆T = 0K) quy luật phụ

thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham số vật liệu nhận được cho dầm C-C

80

00.5

11.5

2

00.5

11.5

26

8

10

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

215

20

25

30

nz

nx

µ 2

00.5

11.5

2

00.5

11.5

230

40

50

60

nz

nx

µ 3

00.5

11.5

2

00.5

11.5

240

60

80

100

nz

nx

µ 4


C-C với ∆T = 50K

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

26

8

10

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

26

8

10

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

26

8

10

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

26

8

10

µ 1

nz

nx

(a) ∆T=0 K (b) ∆T=20 K

nx

nz

nz

nx

(c) ∆T=40 K (d) ∆T=80 K

nx n

z

Hình 4.4. Tham số tần số cơ bản của dầm C-C với các giá trị khác nhau của sự tăng

nhiệt độ

và C-F tương tự như với dầm S-S. Cụ thể là, tham số tần số cơ bản của dầm tăng

81

Bảng 4.18. Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 0K

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 1.1329 1.4026 1.5969 1.7395 1.7987 1.8263

nz = 0.2 1.1031 1.3410 1.5094 1.6269 1.6707 1.6875

nz = 0.5 1.0764 1.2867 1.4325 1.5287 1.5600 1.5686

nz = 1 1.0527 1.2405 1.3677 1.4466 1.4680 1.4701

nz = 1.5 1.0398 1.2165 1.3346 1.4050 1.4216 1.4206

nz = 2 1.0315 1.2018 1.3144 1.3799 1.3936 1.3909


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 0.9324 1.2125 1.4078 1.5453 1.5979 1.6193

nz = 0.2 0.9054 1.1511 1.3183 1.4275 1.4622 1.4709

nz = 0.5 0.8818 1.0977 1.2403 1.3257 1.3460 1.3448

nz = 1 0.8615 1.0532 1.1755 1.2417 1.2506 1.2418

nz = 1.5 0.8508 1.0306 1.1431 1.1998 1.2032 1.1908

nz = 2 0.8440 1.0168 1.1236 1.1748 1.1749 1.1604


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 0.6810 0.9929 1.1952 1.3279 1.3717 1.3842

nz = 0.2 0.6528 0.9264 1.0975 1.1974 1.2193 1.2156

nz = 0.5 0.6287 0.8690 1.0127 1.0847 1.0886 1.0717

nz = 1 0.6091 0.8219 0.9429 0.9921 0.9811 0.9536

nz = 1.5 0.5992 0.7986 0.9084 0.9464 0.9282 0.8954

nz = 2 0.5931 0.7845 0.8879 0.9192 0.8968 0.8608

lên khi nx tăng và sự tăng này giảm đi cho dầm có tham số nz lớn hơn. Chẳng

hạn, khi nx tăng từ 0 đến 2, tham số tần số µ1 của dầm C-C tăng 29.44% ứng với

82


nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1.0 nx = 1.5 nx = 2.0

nz = 0 0.5134 0.8649 1.0756 1.2064 1.2447 1.2511

nz = 0.2 0.4794 0.7917 0.9696 1.0647 1.0778 1.0648

nz = 0.5 0.4506 0.7280 0.8769 0.9409 0.9324 0.9028

nz = 1 0.4274 0.6757 0.8003 0.8381 0.8110 0.7665

nz = 1.5 0.4160 0.6499 0.7625 0.7871 0.7504 0.6978

nz = 2 0.4090 0.6344 0.7400 0.7568 0.7143 0.6566

00.5

11.5

2

00.5

11.5

20

1

2

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

2

6

8

10

µ 2

00.5

11.5

2

00.5

11.5

215

20

25

30

µ 3

00.5

11.5

2

00.5

11.5

230

40

50

60

µ 4

nz

nx

nz

nz

nx

nx n

z

nx


C-F với ∆T = 50K

nz = 0.2, 15.04% ứng với nz = 1 và 9.85% ứng với nz = 2. Các giá trị tương ứng

với dầm C-F là 52.98%, 39.65% và 34.84%. Như vậy, tham số tần số cơ bản của

dầm C-F rất nhạy cảm với sự thay đổi của tham số vật liệu theo chiều dài, đặc

biệt là khi nz nhỏ. Ngược lại, tham số tần số µ1 của dầm giảm khi nz tăng, và

sự tăng rõ nét hơn khi nx lớn. Chẳng hạn, khi nz tăng từ 0 đến 2, tham số tần số

µ1 của dầm C-C giảm 17.39%, 31.31% và 39.0% tương ứng với giá trị của nx là

0.2, 1 và 2. Các giá trị tương ứng của dầm C-F là 16.71%, 26.05% và 31.3%.

83

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

20

0.5

1

1.5

2

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

20

0.5

1

1.5

2

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

20

0.5

1

1.5

2

µ 1

0 0.5 1 1.5 2

00.5

11.5

20

0.5

1

1.5

2

µ 1

(a) ∆T=0 K

nz

nx

(b) ∆T=20 K

nx n

z

(c) ∆T=40 K (d) ∆T=50 K

nx n

z

nx

nz

Hình 4.6. Tham số tần số cơ bản của dầm C-F với các giá trị khác nhau của sự tăng

nhiệt độ

• Sự phụ thuộc của các tham số tần số lớn hơn, µ2, µ3 và µ4 của dầm C-C và C-F

vào tham số vật liệu cũng tương tự như của dầm S-S.

• Nhiệt độ môi trường, như trường hợp dầm S-S, cũng làm giảm tham số tần số cơ

bản của dầm C-C và C-F. Tuy nhiên, sự suy giảm này chịu ảnh hưởng rõ nét bởi

tham số vật liệu và điều kiện biên. Cụ thể, từ Bảng 4.17 ta thấy với ∆T = 80K,

khi nx tăng từ 0 đến 2, tham số µ1 của dầm C-C tăng 30.14% với nz = 0.2, tăng

14.73% với nz = 1, và 9.19% với nz = 2. Khi tăng nz từ 0 đến 2, tham số µ1 của

dầm C-C này giảm 18.42% với nx = 0.2, 33.56% với nx = 1 và 42% với nx = 2.

Như vậy dầm C-C ít bị ảnh hưởng bởi sự tăng nhiệt độ. Ngược lại, dầm C-F rất

nhạy cảm với sự tăng của nhiệt độ. Bảng 4.21 cho thấy với ∆T = 50K, khi nx

tăng từ 0 đến 2, tham số tần số µ1 của dầm C-F tăng 122.11% ứng với nz = 0.2,

tăng 79.34% ứng với nz = 1 và tăng 60.54% ứng với nz = 2. Khi nz tăng từ 0

đến 2, tham số tần số µ1 của dầm giảm 36.33% ứng với nx = 0.2, giảm 59.40%

ứng với nx = 1 và giảm 90.54% ứng với nx = 2. Như vậy, khi dầm đặt trong môi

trường nhiệt độ, tham số tần số cơ bản của dầm C-F chịu ảnh hưởng mạnh bởi

tham số vật liệu, đặc biệt là tham số vật liệu theo chiều dài dầm.

84

4.2.1.4. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

Với dầm có thiết diện ngang là hình chữ nhật, độ mảnh dầm được xác định qua

tỷ số giữa chiều dài và chiều cao dầm, L/h. Giá trị của tỷ số L/h ảnh hưởng đáng

kể tới tần số dao động của dầm như minh họa trên Hình 4.7 cho dầm S-S trong môi

trường nhiệt độ với ∆T = 50K. Quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản vào tham

số vật liệu của dầm với L/h = 10 và L/h = 30, như ta thấy từ Hình 4.7, là như nhau.

Tuy nhiên, có thể thấy rằng khi tỷ số L/h tăng, tham số tần số của dầm giảm đáng kể.

Cần lưu ý rằng, các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng với dầm ở nhiệt độ phòng, khi

độ mảnh của dầm tăng lên thì tham số tần số của dầm cũng tăng. Tuy nhiên, như thấy

từ Hình 4.7, điều này không còn đúng khi ảnh hưởng của nhiệt độ được xét tới. Điều

này có thể giải thích bởi độ cứng của dầm có độ mảnh lớn giảm mạnh hơn nhiều so

với dầm có độ mảnh thấp khi dầm đặt trong môi trường nhiệt độ cao.

00.5

11.5

2

00.5

11.5

21.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

21.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

nz

nx

µ 1

(b) ∆T=50 K, L/h=30(a) ∆T=50 K, L/h=10

Hình 4.7. Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá trị L/h

khác nhau (∆T = 50K)

4.2.1.5. Mode dao động

Hình 4.8 minh họa ba mode dao động đầu tiên w0,u0 và γ0 của dầm S-S với

hai cặp tham số vật liệu (nx,nz) = (0.0,0.5) và (nx,nz) = (0.5,0.5), trong môi trường

nhiệt độ phòng (∆T = 0). Các mode dao động tương ứng của dầm trong môi trường

nhiệt độ với ∆T = 50K được minh họa trên các Hình 4.9 và Hình 4.10 cho các giá

trị khác nhau của cặp tham số vật liệu (nx,nz). Chú ý rằng, khi nx = 0, dầm quay về

dầm 1D-FGM với cơ tính biến đổi ngang, như vậy Hình 4.8(a) biểu diễn các mode

dao động của dầm 1D-FGM làm từ zirconia và titanium.

85

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

(a) (b)

mode 1

mode 2 mode 2

mode 3 mode 3

mode 1

nx=0, n

z=0.5 n

x=0.5, n

z=0.5

w0

u0

γ0

Hình 4.8. Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 0K: (a)

(nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0.5)

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

mode 1

mode 2

mode 3

(b)(a)

mode 3

mode 1

mode 2

nz = 0.1 n

z = 2

w0

u0

γ0

Hình 4.9. Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 50K:

(a) (nx,nz) = (1,0.1), (b) (nx,nz) = (1,2)

86

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.25 0.5 0.75 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

nx = 0.1

mode 3 mode 3

(a) (b)

mode 1 mode 1

mode 2mode 2

nx = 2

w0

u0

γ0

Hình 4.10. Ba mode dao động đầu tiên cho u0, w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 50K:

(a) (nx,nz) = (0.1,1), (b) (nx,nz) = (2,1)

Như ta thấy từ Hình 4.8, các mode dao động của dầm 2D-FGM, Hình 4.8(b),

rất khác so với các mode dao động của dầm 1D-FGM trên Hình 4.8(a). Trong khi

mode dao động thứ nhất và thứ 3 cho chuyển vị ngang w0 của dầm 1D-FGM đối xứng

qua trục đi qua điểm giữa của dầm thì với dầm 2D-FGM mode dao động không còn

đối xứng. Ta cũng thấy rõ sự khác nhau trong các mode dao động của u0 và γ0 từ Hình

4.8(a) và Hình 4.8(b). Ở mode dao động thứ hai, với dầm 1D-FGM, mode dao động

cho γ0 đối xứng với trục đi qua điểm giữa của dầm nhưng tính đối xứng này không

còn cho dầm 2D-FGM. Như vậy, sự thay đổi của tính chất vật liệu theo chiều dài trong

dầm 2D-FGM ảnh hưởng đáng kể tới mode dao động của dầm FGM. Ảnh hưởng của

nhiệt độ và giá trị của cặp tham số vật liệu tới mode dao động của dầm, như thấy từ

Hình 4.9 và Hình 4.10, không chỉ làm thay đổi biên độ dao động lớn nhất mà cả tính

đối xứng của các mode này.

4.2.2. Dầm thon

Dao động tự do của dầm thon 2D-FGM ở nhiệt độ phòng được khảo sát trong

Mục này. Dầm với ba dạng thon, A, B, C như trong phương trình (2.9), vẫn được

giả định tạo từ bốn vật liệu thành phần là thép không gỉ (SUS304), nhôm (Al), ôxít

nhôm (Al2O3), zirconia (ZrO2). Tính toán dưới đây được thực hiện cho dầm có tỷ số

87

L/h0 = 20, với h0 là chiều cao dầm ở đầu trái, x = 0. Tham số tần số cho dầm thon

trong Mục này được định nghĩa như sau:

µi = ωiL2

h0

√

ρ0

E0, i = 1..4 (4.5)

với ωi là tần số dao động thứ i của dầm; ρ0 và E0 tương ứng là mật độ khối và mô-đun

đàn hồi của Al. Kết quả số trong Mục 4.2.2 này được tính toán trên cơ sở sử dụng mô

hình PTHH bậc nhất sử dụng các hàm dạng thứ bậc, FBHi.

4.2.2.1. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu

Mục 4.2.2.1 này nghiên cứu dầm 2D-FGM với dạng thon B và tham số thiết

diện c = 0.5. Tham số tần số cơ bản µ1 của các dầm C-F, S-S và C-C được liệt kê

tương ứng trong các Bảng 4.22-4.24 với các giá trị khác nhau của cặp tham số vật

liệu. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, tức là giá trị của cặp tham số vật liệu (nx,nz),

tới tham số tần số cơ bản µ1 của dầm thon có thể thấy rõ từ các Bảng này. Sự tương

tự như dầm có thiết diện ngang đồng nhất có thể nhận thấy từ các Bảng, trong đó với

mỗi giá trị của nz, tham số µ1 của dầm thon cũng tăng lên khi nx tăng và sự tăng này

rõ nét hơn khi nz nhỏ hơn. Thêm vào đó, tham số µ1 giảm đi khi tăng nz và sự suy

giảm này rõ rệt hơn cho dầm với nx lớn hơn. Nhận xét này đúng cho cả ba điều kiện

biên của dầm thon xét trong Luận án này.

Bảng 4.22. Tham số tần số µ1 của dầm thon C-F với các giá trị khác nhau của (nx,nz)

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

nz = 0 1.2825 1.4527 1.5965 1.7253 1.7582 1.7966 1.8422

nz = 0.2 1.2445 1.4181 1.5587 1.6767 1.7048 1.7358 1.7695

nz = 0.5 1.2066 1.3868 1.5255 1.6331 1.6562 1.6799 1.7021

nz = 1 1.1792 1.3689 1.5064 1.6030 1.6210 1.6372 1.6478

nz = 1.2 1.1756 1.3681 1.5051 1.5983 1.6149 1.6289 1.6363

nz = 1.5 1.1743 1.3701 1.5062 1.5951 1.6098 1.6211 1.6246

nz = 2 1.1781 1.3772 1.5116 1.5945 1.6067 1.6145 1.6130

Trên cơ sở khảo sát các Bảng 4.22-4.24 chi tiết hơn và so sánh với ảnh hưởng

của tham số vật liệu tới tham số tần số µ1 của dầm có thiết diện không đổi (hay dầm

88

Bảng 4.23. Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị khác nhau của (nx,nz)

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

nz = 0 2.3869 2.5653 2.7789 3.0465 3.1319 3.2426 3.3901

nz = 0.2 2.3161 2.4686 2.6424 2.8493 2.9131 2.9943 3.1005

nz = 0.5 2.2457 2.3725 2.5085 2.6623 2.7084 2.7664 2.8412

nz = 1 2.1945 2.2945 2.3940 2.5011 2.5326 2.5721 2.6230

nz = 1.2 2.1877 2.2795 2.3688 2.4638 2.4917 2.5267 2.5720

nz = 1.5 2.1855 2.2665 2.3429 2.4234 2.4471 2.4770 2.5159

nz = 2 2.1925 2.2583 2.3177 2.3801 2.3988 2.4226 2.4541

Bảng 4.24. Tham số tần số µ1 của dầm thon C-C với các giá trị khác nhau của (nx,nz)

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

nz = 0 5.4376 6.0099 6.5160 7.0321 7.1834 7.3750 7.6277

nz = 0.2 5.2779 5.8078 6.2309 6.6122 6.7145 6.8391 6.9964

nz = 0.5 5.1191 5.6104 5.9531 6.2119 6.2726 6.3422 6.4251

nz = 1 5.0034 5.4571 5.7196 5.8663 5.8913 5.9157 5.9406

nz = 1.2 4.9880 5.4301 5.6697 5.7865 5.8026 5.8159 5.8271

nz = 1.5 4.9826 5.4087 5.6194 5.7004 5.7060 5.7064 5.7020

nz = 2 4.9979 5.4000 5.5725 5.6088 5.6016 5.5870 5.5644

đều) S-S, C-C và C-F, Bảng 4.10, 4.14 và 4.18, Mục 4.2.1.1, cho trường hợp dầm ở

nhiệt độ phòng, ta có thể nhận được sự khác nhau về ảnh hưởng của tham số vật liệu

tới tham số tần số µ1 của dầm đều và dầm thon với các điều kiện biên khác nhau như

tóm lược trong Bảng 4.25. Từ Bảng 4.25 ta có thể thấy tham số vật liệu theo chiều cao

dầm ảnh hưởng ít hơn tới tần số dao động cơ bản của dầm thon so với dầm có thiết

diện ngang không đổi, đặc biệt với dầm thon có điều kiện biên C-F, trong đó tham số

µ1 chỉ giảm 5.48% cho dầm với nx = 0.2 khi tăng nz từ 0 đến 2.

Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới các tần số dao động cao hơn của dầm

thon được chỉ ra trên các Hình 4.11-4.13, trong đó sự thay đổi của bốn tham số tần số

đầu tiên theo các tham số vật liệu nx và nz của dầm thon được minh họa cho các điều

89

Bảng 4.25. Ảnh hưởng của sự thay đổi tham số vật liệu tới tham số tần số của dầm

đều và dầm thon

C-F đều C-F thon S-S đều S-S thon C-C đều C-C thon

nz : 0→ 2 nx = 0.2 16.71 5.48 16.99 13.59 17.39 11.29

(µ1 giảm, %) nx = 1 26.05 8.20 32.09 28 31.31 25.37

nx = 2 31.30 14.20 40.42 38.14 39 37.08

nx : 0→ 2 nz = 0.2 52.98 42.19 35.62 33.86 29.44 32.56

(µ1 tăng, %) nz = 1 39.65 39.74 19.92 19.53 15.04 18.73

nz = 2 34.84 36.92 14.34 11.93 9.85 11.33

00.5

11.5

2

00.5

11.5

21

1.5

2

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

24

6

8

10

nz

nx

µ 2

00.5

11.5

2

00.5

11.5

210

15

20

25

nz

nx

µ 3

00.5

11.5

2

00.5

11.5

220

30

40

50

nz

nx

µ 4

Hình 4.11. Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-F với các

tham số vật liệu

kiện biên C-F, S-S và C-C. Giống như trường hợp dầm có thiết diện ngang không đổi,

quy luật thay đổi của các tham số tần số µ2, µ3 và µ4 với các tham số vật liệu nx và nz

trên các Hình 4.11- 4.13 giống như tham số tần số cơ bản. Tức là, các tham số tần số

này tăng khi nx tăng và giảm khi nz tăng và điều này đúng với cả 3 điều kiện biên.

90

00.5

11.5

2

00.5

11.5

22

2.5

3

3.5

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

28

10

12

14

nz

nx

µ 2

00.5

11.5

2

00.5

11.5

215

20

25

30

nz

nx

µ 3

00.5

11.5

2

00.5

11.5

230

40

50

60

nz

nx

µ 4Hình 4.12. Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon S-S với các tham

số vật liệu

00.5

11.5

2

00.5

11.5

24

6

8

nz

nx

µ 1

00.5

11.5

2

00.5

11.5

210

15

20

25

nz

nx

µ 2

00.5 1

1.52

00.5

11.5

220

30

40

nz

nx

µ 3

00.5

11.5

2

00.5

11.5

240

60

80

nz

nx

µ 4

Hình 4.13. Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-C với các

tham số vật liệu

4.2.2.2. Ảnh hưởng của tham số thiết diện và dạng thon

Ảnh hưởng của tham số thiết diện c tới tham số tần số cơ bản của dầm thon

2D-FGM với các giá trị khác nhau của (nx,nz) được minh họa trên các Hình 4.14-4.16

91

tương ứng cho các điều kiện biên C-F, S-S và C-C. Như có thể thấy từ các Hình vẽ, sự

thay đổi của tham số tần số cơ bản khi tham số thiết diện c thay đổi chịu ảnh hưởng

mạnh bởi điều kiện biên và dạng thon. Trong khi tham số tần số cơ bản µ1 của dầm

C-F tăng khi tăng tham số thiết diện thì tham số µ1 của các dầm S-S và C-C giảm.

Nhận xét này đúng cho cả ba dạng thon A, B và C. Với mỗi điều kiện biên cho trước,

sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 vào tham số thiết diện chịu sự ảnh hưởng bởi dạng

thon. Tốc độ thay đổi của tham số tần số µ1 vào tham số thiết diện c là mạnh nhất cho

các dầm C-F và S-S với dạng thon C. Tuy nhiên, với dầm C-C điều này lại xảy ra với

dạng thon B.

0 0.3 0.6 0.91

1.5

2

2.5

3

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.91

1.5

2

2.5

3

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.91

1.5

2

2.5

3

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.91

1.5

2

2.5

3

c

µ 1

Case ACase BCase C

Case ACase BCase C

Case ACase BCase C

Case ACase BCase C

(a) nx=0, n

z=0.5 (b) n

x=0.5, n

z=0

(c) nx=2, n

z=0.5 (d) n

x=0.5, n

z=2

Hình 4.14. Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm

thon C-F: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c) (nx,nz) = (2,0.5), (d)

(nx,nz) = (0.5,2)

4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

Để đánh giá ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới tham số tần số của dầm thon

2D-FGM, Bảng 4.26 và 4.27 liệt kê tham số tần số cơ bản của các dầm C-F và S-S với

các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và tỷ số L/h0. Như ta thấy từ các Bảng 4.26

và 4.27, tham số µ1 tăng lên khi tỷ số L/h0 lớn hơn, tức là khi dầm có độ mảnh cao

hơn. Nhận xét này đúng cho mọi cặp tham số vật liệu và cả hai điều kiện biên xem

92

0 0.3 0.6 0.91

2

3

4

5

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.91

2

3

4

5

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.91

2

3

4

5

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.91

2

3

4

5

c

µ 1

Case A

Case B

Case C

Case A

Case B

Case C

Case A

Case B

Case C

Case A

Case B

Case C

(a) nx=0, n

z=0.5 (b) n

x=0.5, n

z=0

(d) nx=0.5, n

z=2(c) n

x=2, n

z=0.5


thon S-S: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c) (nx,nz) = (2,0.5), (d)

(nx,nz) = (0.5,2)

xét. Khảo sát Bảng 4.26 và 4.27 kỹ lưỡng hơn và so sánh với trường hợp dầm có thiết

diện ngang không đổi ta có thể thấy rằng:

• Ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới tần số dao động của dầm thon ít hơn so với

dầm có thiết diện ngang không đổi. Ví dụ, khi nx = nz = 1, tham số tần số cơ

bản µ1 của dầm C-F với thiết diện ngang không đổi tăng 3.01% khi độ mảnh

của dầm tăng từ 5 lên 15, trong khi cũng với giá trị tăng này của độ mảnh dầm,

tham số tần số µ1 của dầm thon C-F với c = 0.5 chỉ tăng 2.44%.

• Điều kiện biên đóng vai trò quan trọng tới ảnh hưởng của độ mảnh dầm lên tham

số tần số cơ bản của dầm. Sự tăng của tham số tần số cơ bản của dầm S-S khi

L/h0 tăng nhiều hơn đáng kể so với trường hợp dầm C-F và điều này đúng với

mọi cặp các giá trị của tham số vật liệu và tham số thiết diện.

Kết quả số liên quan tới ảnh hưởng của độ mảnh dầm tới tham số tần số cơ bản thu

được trong Mục 4.2.1.4 và Mục này cho thấy khả năng của mô hình PTHH phát triển

trong Luận án trong việc mô phỏng ảnh hưởng của biến dạng trượt tới tần số dao động

riêng của dầm.

93

0 0.3 0.6 0.93

5

7

9

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.93

5

7

9

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.93

5

7

9

c

µ 1

0 0.3 0.6 0.93

5

7

9

c

µ 1

Case A

Case B

Case C

Case A

Case B

Case C

Case A

Case B

Case C

Case A

Case B

Case C

(a) nx=0, n

z=0.5 (b) n

x=0.5, n

z=0

(d) nx=0.5, n

z=2(c) n

x=2, n

z=0.5


thon C-C: (a) (nx,nz) = (0,0.5), (b) (nx,nz) = (0.5,0), (c) (nx,nz) = (2,0.5), (d)

(nx,nz) = (0.5,2)

4.3. Dao động cưỡng bức

Để nghiên cứu dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM, Mục này nghiên cứu

dầm với điều kiện biên S-S và thiết diện ngang không đổi, làm từ thép không gỉ

(SUS304), nhôm (Al), ôxít nhôm (Al2O3), zirconia (ZrO2) với các tính chất vật liệu

được cho trong Bảng 2.1, chịu lực di động P. Lực P được giả định di động từ đầu trái

sang đầu phải dầm với vận tốc không đổi v và luôn tiếp xúc với dầm trong suốt quá

trình chuyển động. Ảnh hưởng của nhiệt độ không được xét đến trong nghiên cứu ứng

xử động lực học của dầm ở Mục này. Kết quả số trình bày dưới đây, nếu không có lưu

ý gì, được tính toán cho dầm có tỷ số L/h = 20, và tất cả các tính toán được thực hiện

từ mô hình PTHH bậc nhất FBKo. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và vận tốc của

lực di động tới các đặc trưng dao động của dầm được khảo sát chi tiết.

Sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark với thuật toán gia số trung

bình không đổi ta có thể tính toán được đáp ứng động lực học của dầm. Trong Luận án

này, thời gian cho phương pháp Newmark được lựa chọn đồng nhất, ∆t = ∆T ∗/500,

94

Bảng 4.26. Tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F với các giá trị L/h0 khác nhau

(Dạng thon B)

L/h0 c nz nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

0 1.1455 1.3118 1.4461 1.5596 1.5875 1.6193 1.6564

0.5 1.0798 1.2565 1.3858 1.4789 1.4975 1.5157 1.5315

0 1 1.0555 1.2417 1.3695 1.4519 1.4658 1.4770 1.4823

1.5 1.0508 1.2429 1.3692 1.4442 1.4550 1.4618 1.4606

2 1.0535 1.2489 1.3735 1.4429 1.4513 1.4550 1.4494

5 0 1.2526 1.4177 1.5577 1.6838 1.7162 1.7541 1.7992

0.5 1.1804 1.3546 1.4888 1.5933 1.6159 1.6391 1.6610

0.5 1 1.1537 1.3367 1.4693 1.5626 1.5801 1.5958 1.6063

1.5 1.1486 1.3371 1.4679 1.5535 1.5677 1.5787 1.5821

2 1.1517 1.3431 1.4721 1.5517 1.5635 1.5710 1.5696

0 1.1719 1.3435 1.4815 1.5973 1.6255 1.6576 1.6950

0.5 1.1031 1.2859 1.4194 1.5150 1.5340 1.5524 1.5682

0 1 1.0780 1.2711 1.4035 1.4885 1.5027 1.5140 1.5192

1.5 1.0735 1.2731 1.4043 1.4818 1.4928 1.4997 1.4982

2 1.0768 1.2801 1.4097 1.4815 1.4901 1.4937 1.4877

10 0 1.2764 1.4455 1.5885 1.7167 1.7495 1.7878 1.8333

0.5 1.2012 1.3802 1.5180 1.6249 1.6479 1.6715 1.6936

0.5 1 1.1739 1.3623 1.4987 1.5946 1.6126 1.6286 .6392

1.5 1.1690 1.3633 1.4983 1.5865 1.6011 1.6123 1.6158

2 1.1727 1.3702 1.5034 1.5856 1.5978 1.6055 1.6040

0 1.1771 1.3497 1.4884 1.6047 1.6329 1.6651 1.7025

0.5 1.1076 1.2916 1.4260 1.5220 1.5411 1.5596 1.5754

0 1 1.0824 1.2768 1.4102 1.4956 1.5099 1.5213 1.5264

1.5 1.0779 1.2790 1.4111 1.4892 1.5002 1.5071 1.5055

2 1.0813 1.2861 1.4167 1.4890 1.4977 1.5013 1.4952

15 0 1.2809 1.4509 1.5944 1.7231 1.7559 1.7943 1.8399

0.5 1.2052 1.3851 1.5236 1.6309 1.6541 1.6777 1.6999

0.5 1 1.1778 1.3672 1.5044 1.6008 1.6188 1.6350 1.6456

1.5 1.1730 1.3684 1.5041 1.5929 1.6076 1.6188 1.6223

2 1.1767 1.3754 1.5095 1.5922 1.6044 1.6122 1.6106

95

Bảng 4.27. Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị L/h0 khác nhau (Dạng

thon B)

L/h0 c nz nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

0 3.1157 3.3872 3.6942 4.0608 4.1740 4.3179 4.5048

0.5 2.9395 3.1436 3.3465 3.5597 3.6201 3.6937 3.7843

0 1 2.8706 3.0413 3.1957 3.3460 3.3868 3.4356 3.4946

1.5 2.8545 3.0020 3.1259 3.2402 3.2705 3.3065 3.3496

2 2.8592 2.9880 3.0896 3.1796 3.2031 3.2310 3.2643

5 0 2.3076 2.4821 2.6876 2.9429 3.0240 3.1290 3.2688

0.5 2.1747 2.2978 2.4274 2.5726 2.6159 2.6704 2.7406

0.5 1 2.1246 2.2213 2.3154 2.4156 2.4449 2.4817 2.5291

1.5 2.1142 2.1925 2.2643 2.3388 2.3607 2.3882 2.4242

2 2.1191 2.1828 2.2382 2.2954 2.3124 2.3341 2.3630

0 3.2613 3.5422 3.8666 4.2585 4.3800 4.5346 4.7355

0.5 3.0705 3.2820 3.4977 3.7276 3.7932 3.8733 3.9718

0 1 3.0001 3.1765 3.3414 3.5050 3.5499 3.6037 3.6688

1.5 2.9866 3.1383 3.2711 3.3969 3.4307 3.4709 3.5193

2 2.9950 3.1266 3.2358 3.3360 3.3627 3.3943 3.4323

10 0 2.3702 2.5479 2.7597 3.0248 3.1093 3.2187 3.3646

0.5 2.2308 2.3569 2.4916 2.6435 2.6890 2.7463 2.8200

0.5 1 2.1799 2.2792 2.3775 2.4832 2.5142 2.5531 2.6033

1.5 2.1705 2.2510 2.3264 2.4057 2.4290 2.4583 2.4966

2 2.1771 2.2425 2.3011 2.3624 2.3807 2.4040 2.4349

0 3.2911 3.5740 3.9020 4.2992 4.4224 4.5794 4.7832

0.5 3.0972 3.3102 3.5285 3.7620 3.8287 3.9101 4.0104

0 1 3.0264 3.2040 3.3711 3.5376 3.5834 3.6383 3.7047

1.5 3.0136 3.1661 3.3008 3.4290 3.4636 3.5048 3.5542

2 3.0228 3.1550 3.2658 3.3682 3.3955 3.4280 3.4670

15 0 2.3825 2.5608 2.7739 3.0408 3.1260 3.2363 3.3835

0.5 2.2418 2.3684 2.5041 2.6574 2.7034 2.7611 2.8356

0.5 1 2.1907 2.2905 2.3897 2.4964 2.5278 2.5671 2.6178

1.5 2.1816 2.2625 2.3386 2.4187 2.4424 2.4721 2.5108

2 2.1885 2.2541 2.3134 2.3755 2.3940 2.4177 2.4491

96

trong đó ∆T ∗ = L/v là tổng thời gian cần thiết cho lực chạy hết dầm. Để thuận tiện

cho thảo luận ta đưa vào tham số động lực học, Dd, được định nghĩa như sau:

Dd = max

(

w0(L/2, t)wst

)

(4.6)

trong đó wst = PL3/48EmI là độ võng tĩnh của dầm nhôm (Al) thuần nhất tựa giản

đơn chịu tải trọng tĩnh P đặt tại giữa dầm.

4.3.1. Ảnh hưởng của vận tốc lực di động

Hình 4.17 minh họa mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng tại

giữa dầm, w0(L/2, t)/wst , với giá trị không thứ nguyên của thời gian, t/∆T ∗, của dầm

2D-FGM với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và vận tốc của lực di động.

Ảnh hưởng của tốc độ của lực di động tới đáp ứng động lực học của dầm có thể thấy

rõ từ Hình 4.17. Với mỗi giá trị của tham số vật liệu cho trước, dầm thực hiện ít chu

trình dao động hơn khi vận tốc của lực di động lớn hơn. Điều này có thể giải thích bởi

sự tăng của tỷ số giữa vận tốc của lực di động với vận tốc tới hạn, v/vcr, khi vận tốc

của lực di động lớn hơn. Olsson [139] đã chỉ ra rằng khi tỷ số v/vcr lớn hơn, số chu

trình dao động mà dầm thực hiện sẽ ít đi. Tham số vật liệu cũng ảnh hưởng đáng kể

đến tham số động lực học của dầm, tuy nhiên nó ít làm thay đổi dáng điệu của đường

cong biểu diễn mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian.

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu

Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc của lực di động được minh

họa trong Hình 4.18 cho các giá trị khác nhau của tham số vật liệu nz và nx. Ta có thể

thấy từ Hình 4.18 rằng đường cong biểu thị mối liên hệ giữa tham số động lực học Dd

và vận tốc của lực di động v của dầm 2D-FGM có dạng tương tự như với dầm thuần

nhất chịu lực di động. Tức là, khi vận tốc của lực di động lớn hơn một giá trị nào đó,

giá trị này phụ thuộc vào tham số vật liệu, thì tham số Dd đơn điệu tăng và đạt giá trị

cực trị. Sự thay đổi liên tục giữa tăng và giảm của tham số Dd khi vận tốc nhỏ được

giải thích bởi số chu trình dao động dầm thực hiện nhiều hơn khi vận tốc của lực di

động thấp [139]. Hình 4.18 cũng cho thấy sự ảnh hưởng khác nhau của tham số vật

liệu theo chiều dài dầm, nx, và tham số vật liệu theo chiều cao dầm, nz, tới tham số

động lực học Dd của dầm 2D-FGM. Tham số động lực học của dầm 2D-FGM giảm

dần khi nx tăng lên, trong khi tham số này tăng khi nz tăng. Ảnh hưởng của hai tham

số vật liệu này lên tham số động lực học Dd có thể được giải thích bởi sự thay đổi của

97

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.1

0

0.2

0.4

0.6

t/∆T*

w0(L

/2,t)

/wst

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.1

0

0.2

0.4

0.6

t/∆T*

w0(L

/2,t)

/wst

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

0

0.4

0.8

1.2

t/∆T*

w0(L

/2,t)

/wst

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

0

0.1

0.2

0.3

t/∆T*

w0(L

/2,t)

/wst

v=20 m/sv=50 m/sv=100 m/s

v=20 m/sv=50 m/sv=100 m/s

v=20 m/sv=50 m/sv=100 m/s

v=20 m/sv=50 m/sv=100 m/s

(a) (b)

(c) (d)

Hình 4.17. Mối liên hệ của độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm theo thời gian

với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu: (a) (nx,nz) = (1/3,1/3), (b) (nx,nz) =

(3,3), (c) (nx,nz) = (0,3), (d) (nx,nz) = (3,0)

độ cứng dầm khi các tham số vật liệu thay đổi như nói tới trong phân tích dao động tự

do của dầm 2D-FGM.

Bảng 4.28 liệt kê tham số động lực học của dầm 2D-FGM với các giá trị khác

nhau của vận tốc lực di động và các tham số vật liệu. Ảnh hưởng của sự phân bố vật

liệu tới tham số động lực học của dầm 2D-FGM có thể thấy rõ từ Bảng 4.28. Với cùng

một vận tốc lực di động, sự tăng của tham số nx luôn dẫn tới sự suy giảm của tham

số động lực học. Ngược lại, tham số động lực học tăng lên khi tham số vật liệu theo

chiều cao dầm lớn hơn.

Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới tham số động lực học lớn nhất cũng có thể

thấy rõ từ Bảng 4.29, trong đó giá trị lớn nhất của tham số động lực học, max (Dd),

và vận tốc tương ứng được liệt kê cho các giá trị khác nhau của cặp tham số vật liệu

(nx,nz). Các kết quả số được cho trong Bảng 4.29 thu được bằng cách tăng dần vận

tốc của lực di động với gia số là 1 m/s, như Simsek và Kocaturk [49] đề xuất.

98

0 50 100 150 200 250 300 3500.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

v (m/s)

Dd

0 50 100 150 200 250 300 3500.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

v (m/s)

Dd

nx=0

nx=1/3

nx=1

nx=3

nz=0

nz=1/3

nz=1

nz=3 (a) (b)

nz=1/3 n

x=1/3

Hình 4.18. Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc lực di động: (a) nz = 1/3,

nx thay đổi; (b) nx = 1/3, nz thay đổi

0

0.5

1

1.5

2 00.5

11.5

2

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

nz

(a) v=20 m/s

nx

Dd

0

0.5

1

1.5

2 0

0.5

1

1.5

20.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

nz

(b) v=100 m/s

nx

Dd

Hình 4.19. Sự thay đổi của tham số động lực học với các tham số vật liệu

Để có bức tranh trực quan hơn về sự phụ thuộc của tham số động lực học vào

sự phân bố của vật liệu, Hình 4.19 minh họa sự thay đổi của tham số Dd theo hai tham

số vật liệu nz và nx cho 2 giá trị của vận tốc lực di động, v = 20 m/s và v = 100m/s.

Như ta thấy từ Hình 4.19, tham số động lực học Dd tăng lên khi nz tăng nhưng lại

giảm khi tăng nx. Nhận xét này đúng cho cả hai giá trị của vận tốc lực di động. Với

các giá trị của tham số vật liệu khảo sát ở đây, tham số động lực học đạt giá trị lớn

nhất khi nz=2 và nx=0, tức là khi dầm 2D-FGM quay về dầm 1D-FGM tạo bởi Al và

99

Bảng 4.28. Tham số động lực học của dầm 2D-FGM với các giá trị khác nhau của

vận tốc lực di động

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

nz = 0 0.3736 0.3345 0.2912 0.2542 0.2454 0.2344 0.2210

nz = 0.5 0.5137 0.4429 0.3845 0.3275 0.3126 0.2954 0.2759

v=20 m/s nz = 1 0.6066 0.5052 0.4345 0.3686 0.3518 0.3325 0.3106

nz = 1.5 0.6595 0.5405 0.4613 0.3897 0.3716 0.3510 0.3276

nz = 2 0.6900 0.5619 0.4770 0.4017 0.3828 0.3613 0.3371

nz = 0 0.4127 0.3592 0.3059 0.2549 0.2489 0.2409 0.2304

nz = 0.5 0.5647 0.4856 0.4126 0.3460 0.3293 0.3103 0.2890

v=40 m/s nz = 1 0.6598 0.5595 0.4718 0.3948 0.3756 0.3540 0.3297

nz = 1.5 0.7159 0.6008 0.5039 0.4205 0.4001 0.3769 0.3510

nz = 2 0.7501 0.6252 0.5225 0.4355 0.4142 0.3902 0.3633

nz = 0 0.4099 0.3347 0.3070 0.2796 0.2708 0.2598 0.2461

nz = 0.5 0.5866 0.4726 0.3827 0.3382 0.3279 0.3152 0.2997

v=60 m/s nz = 1 0.6984 0.5561 0.4485 0.3641 0.3491 0.3348 0.3175

nz = 1.5 0.7604 0.6019 0.4849 0.3941 0.3731 0.3499 0.3247

nz = 2 0.7946 0.6278 0.5062 0.4123 0.3905 0.3665 0.3405

ZrO2. Ngoài ra ta cũng có thể nhận thấy rằng tham số động lực học nhận được giá trị

thấp nhất khi nx=2 và nz=0. Các giá trị này của tham số vật liệu tương ứng với dầm

1D-FGM được tạo bởi 2 gốm, có cơ tính biến đổi theo chiều dài. Vì mô-đun của gốm

cao nên độ cứng của dầm lớn, vì thế tham số động lực học của dầm thấp là điều có

thể hiểu được. Hình 4.18 và Hình 4.19 gợi ý cho ta khả năng thiết kế dầm 2D-FGM

để có tham số động lực học thấp trên cơ sở lựa chọn các giá trị của tham số vật liệu

một cách phù hợp.

Sự phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại thiết diện

ngang ở giữa dầm 2D-FGM được minh họa trên Hình 4.20 cho trường hợp vận tốc

của lực di động v=100 m/s và các giá trị khác nhau của tham số vật liệu. Ứng suất

trên Hình 4.20 được tính tại thời điểm lực di động đi tới giữa dầm và được trực chuẩn

100

Bảng 4.29. Tham số động lực học lớn nhất và tốc độ của lực di động với các giá trị

khác nhau của tham số vật liệu

nx = 0 nx = 0.2 nx = 0.5 nx = 1 nx = 1.2 nx = 1.5 nx = 2

nz = 0 max(Dd) 0.6107 0.5378 0.4725 0.4130 0.3979 0.3804 0.3605

v (m/s) 163 180 199 222 226 234 243

nz = 0.5 max(Dd) 0.8363 0.7176 0.6171 0.5291 0.5071 0.4821 0.4537

v (m/s) 155 167 179 195 197 200 205

nz = 1 max(Dd) 0.9798 0.8254 0.6996 0.5924 0.5660 0.5360 0.5023

v (m/s) 152 164 173 182 185 187 190

nz = 1.5 max(Dd) 1.0638 0.8865 0.7453 0.6268 0.5978 0.5650 0.5281

v (m/s) 147 161 170 177 180 182 185

nz = 2 max(Dd) 1.1142 0.9229 0.7724 0.6471 0.6166 0.5821 0.5434

v (m/s) 146 160 167 176 178 180 181

theo công thức σ∗ = σxx/σ0, trong đó σ0 = PLh/8I. Sự phân bố theo chiều cao của

ứng suất pháp của dầm 2D-FGM, như ta thấy từ Hình 4.20, khác xa so với sự phân bố

ứng suất pháp trong dầm thuần nhất. Ứng suất không bị triệt tiêu tại mặt giữa dầm,

trừ trường hợp nz = 0, khi đó dầm quay về dầm 1D-FGM tạo bởi 2 gốm, với cơ tính

biến đổi theo chiều dài. Ảnh hưởng của tham số nz lên sự phân bố ứng suất pháp cũng

rất khác so với tham số nx. Cường độ cực đại của cả ứng suất nén và ứng suất kéo đều

giảm khi nx tăng, và ngược lại, tăng khi nz tăng. Như vậy, bằng cách tăng tham số nx

ta có thể làm giảm tham số động lực học Dd và đồng thời làm giảm cường độ cực đại

của ứng suất pháp.

4.3.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm

Để nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng trượt tới dao động cưỡng bức của dầm

2D-FGM, đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của tham số động lực học Dd vào vận

tốc của lực di động v được xác định cho các giá trị khác nhau của tỷ số L/h, cụ thể

L/h=5, 10, 15 và 20. Kết quả tính toán được minh họa trên Hình 4.21 cho hai trường

hợp của tham số vật liệu, nx = nz = 1/3 và nx = nz = 3. Từ Hình 4.21 ta thấy rằng tỷ

số L/h, đặc trưng cho độ mảnh của dầm, ảnh hưởng rõ nét tới đường cong biểu diễn

101

−2 −1 0 1 2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

σ*

z/h

−2 −1 0 1 2−0.5

−0.25

0

0.25

0.5

σ*

z/h

n

x=0

nx=1/3

nx=1

nx=3

nz=0

nz=1/3

nz=1

nz=3

(a) nz=1/3 (b) n

x=1/3

Hình 4.20. Phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại giữa dầm

với v = 100m/s: (a) nz = 1/3, nx thay đổi, (b) nx = 1/3, nz thay đổi

quan hệ giữa tham số động lực học và vận tốc của lực di động. Tham số động lực

học đạt giá trị cực đại ở vận tốc lớn hơn khi dầm có độ mảnh thấp hơn. Nhận xét này

không phụ thuộc vào giá trị của tham số vật liệu.

0 100 200 300 3500.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

v (m/s)

Dd

0 100 200 300 3500.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

v (m/s)

Dd

L/h=20L/h=15L/h=10L/h=5

L/h=20L/h=15L/h=10L/h=5

(a) (b)

Hình 4.21. Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc của lực di động với các

giá trị L/h khác nhau: (a) nx = nz = 1/3, (b) nx = nz = 3.


Trên cơ sở so sánh kết quả số nhận được trong Luận án và kết quả đã công

bố, Chương 4 đã chứng tỏ cả 4 mô hình PTHH phát triển trong Luận án đáng tin cậy

102

trong việc đánh giá các đặc trưng dao động của dầm FGM. Ba mô hình PTHH, mô

hình FBKo, FBHi và mô hình TBSγ , được khẳng định có tốc độ hội tụ cao trong khi

mô hình TBSθ có tốc độ hội tụ chậm hơn nhiều.

Sử dụng các mô hình PTHH và chương trình tính toán số xây dựng được,

Chương 4 đã tiến hành phân tích các bài toán dao động tự do và dao động cưỡng bức

của dầm 2D-FGM. Các kết quả số nhận được trong Chương 4 được minh họa bằng

các bảng biểu và đồ thị. Trên cơ sở kết quả số nhận được, Chương 4 đã đưa ra một số

nhận xét liên quan tới ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, tham số hình học tới các đặc

trưng dao động của dầm 2D-FGM. Các kết quả số nhận được trong Chương 4 giúp

cho việc thiết kế và tối ưu hóa kết cấu dầm 2D-FGM chịu tải trọng động.

Kết quả số trình bày trong Mục 4.2.1 về dao động tự do của dầm 2D-FGM đặt

trong môi trường nhiệt độ được trình bày trong bài báo số [2], kết quả của Mục 4.2.2

về dao động của dầm thon 2D-FGM được trình bày trong bài số [1], trong khi kết quả

về dao động cưỡng bức trong Mục 4.3 là nội dung chính của bài báo số [4] trong Mục

“Danh mục công trình liên quan tới Luận án”, trang 106.

KẾT LUẬN

Một số kết luận chính của luận án có thể tóm lược dưới đây:

• Luận án đã xây dựng được bốn mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động

của dầm 2D-FGM, trong đó có hai mô hình dựa trên lý thuyết biến dạng trượt

bậc nhất (FSDT): mô hình FBKo và mô hình FBHi; hai mô hình dựa trên lý

thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (ITSDT): mô hình TBSθ và mô hình

TBSγ . Ảnh hưởng của nhiệt độ và sự thay đổi của thiết diện ngang cũng được

xét tới trong việc xây dựng mô hình PTHH. Biểu thức cho ma trận độ cứng và

ma trận khối lượng của mô hình FBHi, sử dụng FSDT và các hàm dạng thứ bậc

có dạng giản đơn hơn so với mô hình FBKo và các mô hình TBSθ và TBSγ .

Tuy nhiên, giống như mô hình FBKo, mô hình FBHi vẫn phải sử dụng hệ số

điều chỉnh trượt, trong đó việc lựa chọn giá trị cho hệ số này vẫn là vấn đề còn

tranh cãi.

• Các mô hình FBKo, FBHi và TBSγ có tốc độ hội tụ nhanh và được sử dụng để

tính toán các bài toán cụ thể. Tuy nhiên tốc độ hội tụ của mô hình PTHH trong

tính toán các đặc trưng dao động tự do của dầm thon chậm hơn nhiều. Độ tin cậy

của các mô hình PTHH và chương trình tính toán số được kiểm tra bằng cách so

sánh với các kết quả đã công bố.

• Trên cơ sở phân tích các bài toán cụ thể về dao động tự do và dao động cưỡng

bức bằng các mô hình PTHH và chương trình tính toán số xây dựng trong Luận

án, một số kết luận liên quan tới ứng xử của dầm 2D-FGM có thể tóm lược dưới

đây:

- Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu theo chiều cao tới tần số dao động riêng

của dầm 2D-FGM tương tự như dầm 1D-FGM có cơ tính biến đổi ngang. Sự

thay đổi tính chất vật liệu theo chiều dài trong dầm 2D-FGM ảnh hưởng rõ nét

tới tần số dao động cơ bản của dầm. Tần số dao động của dầm cao hơn khi tham

số xác định sự thay đổi tính chất vật liệu theo chiều dài dầm lớn hơn.

- Nhiệt độ môi trường tăng làm giảm tần số dao động riêng của dầm 2D-FGM.

Tuy nhiên, ảnh hưởng của nhiệt độ tới tần số dao động riêng phụ thuộc vào giá

trị của tham số vật liệu, trong khi quy luật phụ thuộc của tham số tần số cơ bản

103

104

vào tham số vật liệu không bị ảnh hưởng bởi sự tăng của nhiệt độ. Trong ba điều

kiện biên xét trong Luận án, tần số dao động của dầm công-xôn nhạy cảm hơn

với sự thay đổi của tham số vật liệu và nhiệt độ so với dầm tựa giản đơn và dầm

ngàm hai đầu. Các mode dao động của dầm 2D-FGM khác xa so với mode dao

động của dầm 1D-FGM và các mode dao động cũng chịu ảnh hưởng bởi sự phân

bố vật liệu và nhiệt độ môi trường. Đặc biệt, khi dầm đặt trong môi trường nhiệt

độ, dầm càng mảnh thì tham số tần số cơ bản của dầm càng giảm. Điều này chỉ

ra rằng dầm càng mảnh sẽ càng chịu nhiệt kém hơn.

- Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu tới tần số dao động riêng của dầm thon

không chỉ phụ thuộc vào giá trị của tham số thiết diện, tức là độ thon mà còn

phụ thuộc cả vào điều kiện biên của dầm. Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới

tần số dao động riêng cũng phụ thuộc vào dạng thon.

- Các tham số vật liệu ảnh hưởng trái ngược nhau tới tham số động lực học của

dầm 2D-FGM. Tham số động lực học của dầm lớn hơn khi tham số đặc trưng

cho sự phân bố vật liệu theo chiều cao lớn hơn nhưng nhỏ đi khi tham số đặc

trưng cho sự phân bố vật liệu theo chiều dài lớn hơn. Kết luận này đúng cho mọi

giá trị của vận tốc lực di động. Tham số động lực học của dầm 2D-FGM lớn hơn

khi dầm có tỷ số L/h nhỏ hơn, tức là có độ mảnh thấp hơn.

Hướng nghiên cứu tiếp theo

Các mô hình PTHH trong Luận án được xây dựng dựa trên một số giả thiết và

sử dụng cho nghiên cứu dao động của dầm 2D-FGM. Những vấn đề trình bày trong

Luận án mới chỉ là các kết quả ban đầu của tác giả trong lĩnh vực này. Nhiều vấn đề

liên quan tới đề tài cần được nghiên cứu, mở rộng để có thể mô phỏng tốt hơn các

yếu tố thực tế của bài toán dao động của dầm 2D-FGM nói riêng, kết cấu FGM nói

chung. Thêm vào đó, với các ưu điểm của vật liệu mới, kết cấu có thể được thiết kế

mảnh hơn và có thể trải qua biến dạng dẻo trong quá trình làm việc và vì thế yếu tố

phi tuyến cần được tính tới trong việc xây dựng các mô hình PTHH. Một số vật liệu

mới, chẳng hạn vật liệu nano gia cường ống carbon, được khởi tạo trong thời gian gần

đây, đặt ra các vấn đề thực tế về phát triển phương pháp phân tích kết cấu làm từ vật

liệu này. Một số bài toán liên quan tới dao động của kết cấu dầm dưới đây có thể mở

rộng và tiếp tục phát triển trực tiếp từ Luận án:

105

(1) Dao động phi tuyến của dầm FGM

Dao động phi tuyến của kết cấu là bài toán phức tạp, trong đó phương pháp số

thường được sử dụng như là công cụ chính để nghiên cứu. Mô hình PTHH dùng

trong phân tích dao động phi tuyến của kết cấu FGM nói chung, dầm FGM nói

riêng, theo hiểu biết của tác giả, hiện chưa có công bố. Hướng nghiên cứu này,

vì thế có nhiều triển vọng, đặc biệt về mặt học thuật. Xây dựng mô hình PTHH

để phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGM với độ

võng lớn là vấn đề có thể phát triển trực tiếp từ các mô hình trong Luận án.

(2) Dao động cưỡng bức của dầm nghiêng 2D-FGM chịu khối lượng hoặc hệ di

động

Các công bố liên quan tới dao động của dầm làm từ FGM chịu tải trọng di động

hiện mới chỉ xét trường hợp dầm nằm ngang. Trên thực tế, các dầm có thể nằm

nghiêng và vì thế, ảnh hưởng của góc nghiêng tới đáp ứng động lực học của dầm

là bài toán quan trọng, có ý nghĩa thực tế. Bài toán này có thể giải quyết bằng

cách cải biên các mô hình PTHH và thuật toán trình bày trong Luận án.

(3) Dao động của dầm FGM gia cường bởi ống nano carbon

Một số nghiên cứu liên quan tới kết cấu FGM gia cường bởi ống nano carbon

đã được các tác giả trong và ngoài nước công bố trong thời gian gần đây. Với ưu

điểm về khả năng mô phỏng kết cấu có dạng hình học phức tạp, phương pháp

PTHH có thể sử dụng để phân tích các dầm có thiết diện ngang không đồng nhất

hoặc các dầm cong. Xây dựng mô hình PTHH để phân tích dao động của dầm

FGM gia cường bởi ống nano carbon có tính tới yếu tố thay đổi của thiết diện

ngang và nhiệt độ môi trường là vấn đề có thể phát triển trực tiếp từ Luận án.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN

Kết quả của Luận án đã được công bố trên một số Tạp chí Quốc tế, Tạp chí

Quốc gia và Tuyển tập các Hội nghị Khoa học chuyên ngành, cụ thể:

1. NGUYEN DINH KIEN and TRAN THI THOM, Free vibration of tapered BFGM

beams using an efficient shear deformable finite element model, Steel and Com-

posite Structures, 2018, 29(3), 363-377 (ISI Journal).

2. TRAN THI THOM and NGUYEN DINH KIEN, Free vibration analysis of 2-D

FGM beams in thermal environment based on a new third-order shear deforma-

tion theory, Vietnam Journal of Mechanics, 2018, 40(2), 121-140.

3. TRAN THI THOM and NGUYEN DINH KIEN, Free vibration of two-directional

FGM beams using a higher-order Timoshenko beam element, Journal of Sci-

ence and Technology, 2018, 56(3), 380-396.

4. NGUYEN DINH KIEN, NGUYEN QUANG HUAN, TRAN THI THOM and BUI

VAN TUYEN, Vibration of bi-dimensional functionally graded Timoshenko beams

excited by a moving load, Acta Mechanica, 2017, 228, 141–155 (ISI Journal).

5. TRAN THI THOM, NGUYEN DINH KIEN and NGUYEN DUC HIEU, Beam ele-

ment based on a new third-order shear deformation theory for vibration analysis

of 2-D FGM beams, Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội,

2017, 1165-1172.

6. TRAN THI THOM, NGUYEN QUANG HUAN, NGUYEN DINH KIEN and BUI

VAN TUYEN, Fundamental frequency analysis of FG porous beams in thermal

environment using the improved third-order shear deformation theory, Proceed-

ings of 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation

(ICEMA4), Hanoi, 2016, 393-400.

7. TRAN THI THOM, BUI VAN TUYEN and NGUYEN DINH KIEN, Vibration of

functionally graded sandwich beams in high temperature environment, Tuyển

tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đại học

Duy Tân, Đà Nẵng, 2015, 1388-1395.

106

Tài liệu tham khảo

[1] M. Koizumi, FGM activities in Japan, Composites Part B: Engineering, 1997,

28(1-2), 1–4.

[2] K. Wakashima, T. Hirano, and M. Niino, Space applications of advanced

structural materials: Proceedings of an international symposium (ESA SP),

European Space Agency, Noordwijk, The Netherlands, 1990.

[3] A.E. Alshorbagy, M.A. Eltaher, and F.F. Mahmoud, Free vibration character-

istics of a functionally graded beam by finite element method, Applied Math-

ematical Modelling, 2011, 35(1), 412–425.

[4] A. Shahba, R. Attarnejad, M.T. Marvi, and S. Hajilar, Free vibration and sta-

bility of axially functionally graded tapered Euler-Bernoulli beams, Shock and

Vibration, 2011, 18(5), 683–696.

[5] A. Shahba, R. Attarnejad, M.T. Marvi, and S. Hajilar, Free vibration and sta-

bility analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with

classical and non-classical boundary conditions, Composites Part B: Engi-

neering, 2011, 42(4), 801–808.

[6] B.S. Gan and Nguyen Dinh Kien, Dynamic analysis of multi-span function-

ally graded beams subjected to a variable speed moving load, Proceedings of

the 9th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2014,

Porto, Portugal, June 2014, 2014, 3879–3886.

[7] B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, Le Thi Ha, and Nguyen Dinh Kien, Dynamic

response of non-uniform Timoshenko beams made of axially FGM subjected

to multiple moving point loads, Structural Engineering and Mechanics, 2015,

53(5), 981–995.

[8] B.S. Gan, Nguyen Dinh Kien, and Le Thi Ha, Effect of intermediate elastic

support on vibration of functionally graded Euler-Bernoulli beams excited by

a moving point load, Journal of Asian Architecture and Building Engineering,

2017, 16(2), 363–369.

107

108

[9] Lê Thị Hà, Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu tải trọng di

động, Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật, Học viện Khoa học và Công nghệ, VAST,

Hà Nội, 2016.

[10] Y. Wang and D. Wu, Thermal effect on the dynamic response of axially func-

tionally graded beam subjected to a moving harmonic load, Acta Astronau-

tica, 2016, 127, 171–181.

[11] Nguyễn Ngọc Huyên, Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt dầm FGM,

Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật, Học viện Khoa học và Công nghệ, VAST, Hà

Nội, 2017.

[12] Nguyen Tien Khiem and Nguyen Ngoc Huyen, A method for crack identifi-

cation in functionally graded Timoshenko beam, Journal of Nondestructive

Testing and Evaluation, 2017, 32(3), 319–341.

[13] Vũ Thị An Ninh, Dao động và chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc, Luận án Tiến

sĩ Cơ Kỹ thuật, Học Viện Khoa học và Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2018.

[14] Bùi Văn Tuyển, Dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường

nhiệt độ chịu tải trọng di động, Luận án Tiến sĩ Cơ Kỹ thuật, Học Viện Khoa

học và Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2018.

[15] B.V. Sankar, An elasticity solution for functionally graded beams, Composites

Science and Technology, 2001, 61(5), 689–696.

[16] J. Ying, C.F. Lu, and W.Q. Chen, Two-dimensional elasticity solutions for

functionally graded beams resting on elastic foundations, Composite Struc-

tures, 2008, 84(3), 209–219.

[17] S. Ben-Oumrane, T. Abedlouahed, M. Ismail, B.B. Mohamed, M. Mustapha,

and A.B. El Abbas, A theoretical analysis of flexional bending of

Al/Al2O3 S-FGM thick beams, Computational Materials Science, 2009,

44(4), 1344–1350.

[18] A. Mahi, E.A. Adda Bedia, A. Tounsi, and I. Mechab, An analytical method

for temperature-dependent free vibration analysis of functionally graded

109

beams with general boundary conditions, Composite Structures, 2010, 92(8),

1877–1887.

[19] W.-Y. Jung, W.-T. Park, and S.-C. Han, Bending and vibration analysis of S-

FGM microplates embedded in Pasternak elastic medium using the modified

couple stress theory, International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 37,

150–162.

[20] M. Simsek, Buckling of Timoshenko beams composed of two-dimensional

functionally graded material (2D-FGM) having different boundary condi-

tions, Composite Structures, 2016, 149, 304–314.

[21] L.F. Qian and R.C. Batra, Design of bidirectional functionally graded plate

for optimal natural frequency, Journal of Sound and Vibration, 2005, 280(1),

415–424.

[22] C.F. Lu, W.Q. Chen, R.Q. Xu, and C.W. Lim, Semi-analytical elasticity so-

lutions for bi-directional functionally graded beams, International Journal of

Solids and Structures, 2008, 45, 258–275.

[23] M. Simsek, Bi-directional functionally graded materials (BDFGMs) for free

and forced vibration of Timoshenko beams with various boundary conditions,

Composite Structures, 2015, 133, 968–978.

[24] N. Shafiei, S.S. Mirjavadi, B.M. Afshari, S. Rabby, and M. Kazemi, Vibra-

tion of two-dimensional imperfect functionally graded (2D-FG) porous nano-

/micro-beams, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,

2017, 322, 615–632.

[25] M. Nemat-Alla and N. Noda, Edge crack problem in a semi-infinite FGM

plate with a bi-directional coefficient of thermal expansion under two-

dimensional thermal loading, Acta Mechanica, 2000, 144(3-4), 211–229.

[26] M. Nemat-Alla, Reduction of thermal stresses by developing two-dimensional

functionally graded materials, International Journal of Solids and Structures,

2003, 40, 7339–7356.

110

[27] M. Asgari and M. Akhlaghi, Natural frequency analysis of 2D-FGM thick

hollow cylinder based on three-dimensional elasticity equations, European

Journal of Mechanics - A/Solids, 2011, 30(2),72–81.

[28] Thom Van Do, Dinh Kien Nguyen, Nguyen Dinh Duc, Duc Hong Doan, and

Tinh Quoc Bui, Analysis of bi-directional functionally graded plates by FEM

and a new third-order shear deformation plate theory, Thin-Walled Structures,

2017, 119, 687–699.

[29] M. Aydogdu and V. Taskin, Free vibration analysis of functionally graded

beams with simply supported edges, Materials & Design, 2007, 28(5),

1651–1656.

[30] M.A. Benatta, I. Mechab, A. Tounsi, and E.A. Adda Bedia, Static analysis

of functionally graded short beams including warping and shear deformation

effects, Computational Materials Science, 2008, 44(2), 765–773.

[31] X.-F. Li, A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors

of functionally graded Timoshenko and Euler–Bernoulli beams, Journal of

Sound and Vibration, 2008, 318(4-5), 1210–1229.

[32] S.A. Sina, H.M. Navazi, and H. Haddadpour, An analytical method for free

vibration analysis of functionally graded beams, Materials & Design, 2009,

30(3), 741–747.

[33] G. Giunta, D. Crisafulli, S. Belouettar, and E. Carrera, Hierarchical theories

for the free vibration analysis of functionally graded beams, Composite Struc-

tures, 2011, 94(1), 68–74.

[34] D. Wei and Y. Liu, Analytic and finite element solutions of the power-law

Euler–Bernoulli beams, Finite Elements in Analysis and Design, 2012, 52,

31–40.

[35] D. Wei, Y. Liu, and Z. Xiang, An analytical method for free vibration anal-

ysis of functionally graded beams with edge cracks, Journal of Sound and

Vibration, 2012, 331(7), 1686–1700.

111

[36] S.K. Lai, J. Harrington, Y. Xiang, and K.W. Chow, Accurate analytical pertur-

bation approach for large amplitude vibration of functionally graded beams,

International Journal of Non-Linear Mechanics, 2012, 47(5), 473–480.

[37] M. Birsan, T. Sadowski, L. Marsavina, E. Linul, and D. Pietras, Mechani-

cal behavior of sandwich composite beams made of foams and functionally

graded materials, International Journal of Solids and Structures, 2013, 50(3-

4), 519–530.

[38] Y. Liu and D.W. Shu, Free vibration analysis of exponential functionally

graded beams with a single delamination, Composites Part B: Engineering,

2014, 59, 166–172.

[39] Y. Kiani and M.R. Eslami, Thermal buckling analysis of functionally graded

material beams, International Journal of Mechanics and Materials in Design,

2010, 6(3), 229–238.

[40] G. Shi, A new simple third-order shear deformation theory of plates, Interna-

tional Journal of Solids and Structures, 2007, 44(13), 4399–4417.

[41] N. Wattanasakulpong, B.G. Gangadhara, and D.W. Kelly, Thermal buck-

ling and elastic vibration of third-order shear deformable functionally graded

beams, International Journal of Mechanical Sciences, 2011, 53(9), 734–743.

[42] L.S. Ma and D.W. Lee, Exact solutions for nonlinear static responses of a

shear deformable FGM beam under an in-plane thermal loading, European

Journal of Mechanics A/Solids, 2012, 31(1), 13–20.

[43] U. Eroglu, In-plane free vibrations of circular beams made of functionally

graded material in thermal environment: Beam theory approach, Composite

Structures, 2015, 122, 217–228.

[44] H. Shen and Z.X. Wang, Nonlinear analysis of shear deformable FGM beams

resting on elastic foundations in thermal environments, International Journal

of Mechanical Sciences, 2014, 81, 195–206.

112

[45] A. Fallah and M.M. Aghdam, Nonlinear free vibration and post-buckling anal-

ysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European

Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30(4), 571-583.

[46] Y. Kiani, M. Sadighi, S. Jedari Salami, and M.R. Eslami, Low velocity impact

response of thick FGM beams with general boundary conditions in thermal

field, Composite Structures, 2013, 104, 293-303.

[47] S.E. Ghiasian, Y. Kiani, and M.R. Eslami, Dynamic buckling of suddenly

heated or compressed FGM beams resting on nonlinear elastic foundation,

Composite Structures, 2013, 106, 225-234.

[48] N.A. Apetre, B.V. Sankar, and D.R. Ambur, Low-velocity impact response

of sandwich beams with functionally graded core, International Journal of

Solids and Structures, 2006, 43(9), 2479–2496.

[49] M. Simsek and T. Kocaturk, Free and forced vibration of a functionally graded

beam subjected to a concentrated moving harmonic load, Composite Struc-

tures, 2009, 90(4), 465-473.

[50] M. Simsek, Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving

mass by using different beam theories, Composite Structures, 2010, 92(4),

904-917.

[51] M. Simsek, T. Kocaturk, and S.D. Akbas, Dynamic behavior of an axially

functionally graded beam under action of a moving harmonic load, Composite

Structures, 2012, 94(8), 2358-2364.

[52] M. Simsek and M. Al-shujairi, Static, free and forced vibration of functionally

graded (FG) sandwich beams excited by two successive moving harmonic

loads, Composites Part B: Engineering, 2017, 108, 18-34.

[53] J. Yang, Y. Chena, Y. Xiang, and X.L. Jia, Free and forced vibration of cracked

inhomogeneous beams under an axial force and a moving load, Journal of

Sound and Vibration, 2008, 312(1-2), 166–181.

113

[54] S.M.R. Khalili, A.A. Jafari, and S.A. Eftekhari, A mixed Ritz-DQ method for

forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads, Com-

posite Structures, 2010, 92(10), 2497–2511.

[55] K. Rajabi, M.H. Kargarnovin, and M. Gharini, Dynamic analysis of a func-

tionally graded simply supported Euler–Bernoulli beam subjected to a moving

oscillator, Acta Mechanica, 2013, 224(2), 425–446.

[56] Z.-H. Wang, X.-H. Wang, G.-D. Xu, S. Cheng, and T. Zeng, Free vibration of

two-directional functionally graded beams, Composite Structures, 2016, 135,

191–198.

[57] Y. Huang and X.-F. Li, A new approach for free vibration of axially func-

tionally graded beams with non-uniform cross-section, Journal of Sound and

Vibration, 2010, 329(11), 2291–2303.

[58] Y. Huang and X.-F. Li, Buckling analysis of non-uniform and axially graded

columns with varying flexural rigidity, Journal of Engineering Mechanics,

ASCE, 2011, 137(1), 73–81.

[59] Y. Huang, L.-E. Yang, and Q.-Z. Luo, Free vibration of axially functionally

graded Timoshenko beams with non-uniform cross-section, Composites Part

B: Engineering, 2013, 45(1), 1493–1498.

[60] X.-F. Li, Y.-A. Kang, and J.-X. Wu, Exact frequency equations of free vi-

bration of exponentially functionally graded beams, Applied Acoustics, 2013,

74(3), 413–420.

[61] A.-Y. Tang, J.-X. Wu, X.-F. Li, and K.Y. Lee, Exact frequency equations of

free vibration of exponentially non-uniform functionally graded Timoshenko

beams, International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 89, 1–11.

[62] C.W. Bert and M. Malik, Differential quadrature method in computational

mechanics: A review, Applied Mechanics Reviews, 1996, 49(1), 1–28.

[63] M. Komijani, S.E. Esfahani, J.N. Reddy, Y.P. Liu, and M.R. Eslami, Non-

linear thermal stability and vibration of pre/post-buckled temperature- and

114

microstructure-dependent functionally graded beams resting on elastic foun-

dation, Composite Structures, 2014, 112, 292–307.

[64] C. Jin and X. Wang, Accurate free vibration analysis of Euler functionally

graded beams by the weak form quadrature element method, Composite Struc-

tures, 2015, 125, 41–50.

[65] F. Ebrahimi, F. Ghasemi, and E. Salari, Investigating thermal effects on vibra-

tion behavior of temperature-dependent compositionally graded Euler beams

with porosities, Meccanica, 2016, 51(1), 223-249.

[66] H.J. Xiang and J. Yang, Free and forced vibration of a laminated FGM Tim-

oshenko beam of variable thickness under heat conduction, Composites Part

B: Engineering, 2009, 39(2), 292–303.

[67] S.C. Pradhan and T. Murmu, Thermo-mechanical vibration of FGM sandwich

beam under variable elastic foundations using differential quadrature method,

Journal of Sound and Vibration, 2009, 321(1), 342–362.

[68] P. Malekzadeh, Two-dimensional in-plane free vibrations of functionally

graded circular arches with temperature-dependent properties, Composite

Structures, 2009, 91(1), 38–47.

[69] P. Malekzadeh, M.R. Golbahar Haghighi, and M.M. Atashi, Out-of-plane free

vibration of functionally graded circular curved beams in thermal environ-

ment, Composite Structures, 2010, 92(2), 541–552.

[70] Y.-W. Kim, Temperature dependent vibration analysis of functionally graded

rectangular plates, Journal of Sound and Vibration, 2005, 284(3-5), 531–549.

[71] S.E. Esfahani, Y. Kiani, and M.R. Eslami, Non-linear thermal stability analy-

sis of temperature dependent FGM beams supported on non-linear hardening

elastic foundations, International Journal of Mechanical Sciences, 2013, 69,

10–20.

[72] H. Asadi and M.M. Aghdam, Large amplitude vibration and post-buckling

analysis of variable cross-section composite beams on nonlinear elastic foun-

dation, International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 79, 47–55.

115

[73] H. Niknam, A. Fallah, and M.M. Aghdam, Nonlinear bending of functionally

graded tapered beams subjected to thermal and mechanical loading, Interna-

tional Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65, 141–147.

[74] A. Shahba and S. Rajasekaran, Free vibration and stability of tapered Eu-

ler–Bernoulli beams made of axially functionally graded materials, Applied

Mathematical Modelling, 2012, 36(7), 3094–3111.

[75] S. Rajasekaran, Buckling and vibration of axially functionally graded nonuni-

form beams using differential transformation based dynamic stiffness ap-

proach, Meccanica, 2013, 48(5), 1053–1070.

[76] S. Rajasekaran and E.N. Tochaei, Free vibration analysis of axially function-

ally graded tapered Timoshenko beams using differential transformation el-

ement method and differential quadrature element method of lowest-order,

Meccanica, 2014, 49(4), 995–1009.

[77] D.V. Bambill, C.A. Rossit, and D.H. Felix, Free vibrations of stepped axially

functionally graded Timoshenko beams, Meccanica, 2015, 50(4), 1073–1087.

[78] D. Ghazaryan, V.N. Burlayenko, A. Avetisyan, and A. Bhaskar, Free vibration

analysis of functionally graded beams with non-uniform cross-section using

the differential transform method, Journal of Engineering Mathematics, 2018,

110(1), 97–121.

[79] S. Agarwal, A. Chakraborty, and S. Gopalakrishnan, Large deformation anal-

ysis for anisotropic and inhomogeneous beams using exact linear static solu-

tions, Composite Structures, 2006, 72(1), 91–104.

[80] S. Kapuria, M. Bhattacharyya, and A.N. Kumar, Bending and free vibration

response of layered functionally graded beams: A theoretical model and its

experimental validation, Composite Structures, 2008, 82(3), 390–402.

[81] A. Chakraborty and S. Gopalakrishnan, A spectrally formulated finite ele-

ment for wave propagation analysis in functionally graded beams, Interna-

tional Journal of Solids and Structures, 2003, 40(10), 2421–2448.

116

[82] R. Kadoli, K. Akhtar, and N. Ganesan, Static analysis of functionally graded

beams using higher order shear deformation theory, Applied Mathematical

Modelling, 2008, 32(12), 2509–2525.

[83] M.A. Eltaher, A.E. Alshorbagy, and F.F. Mahmoud, Determination of neu-

tral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded

macro/nanobeams, Composite Structures, 2013, 99, 193–201.

[84] M.A. Eltaher, A.A. Abdelrahman, A. Al-Nabawy, M. Khater, and A. Man-

sour, Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam consider-

ing the neutral axis position, Applied Mathematics and Computation, 2014,

235, 512–529.

[85] S.C. Mohanty, R.R. Dash, and T. Rout, Parametric instability of a functionally

graded Timoshenko beam on Winkler’s elastic foundation, Nuclear Engineer-

ing and Design, 2011, 241(8), 2698–2715.

[86] S.C. Mohanty, R.R. Dash, and T. Rout, Static and dynamic stability

analysis of a functionally graded Timoshenko beam, International Jour-

nal of Structural Stability and Dynamics, 2012, 12(4), (33 pages), DOI:

10.1142/S0219455412500253.

[87] M. Hemmatnezhad, R. Ansari, and G.H. Rahimi, Large-amplitude free vibra-

tions of functionally graded beams by means of a finite element formulation,

Applied Mathematical Modelling, 2013, 37(18-19), 8495–8504.

[88] B.S. Gan and Nguyen Dinh Kien, Large deflection analysis of functionally

graded beams resting on a two-parameter elastic foundation, Journal of Asian

Architecture and Building Engineering, 2014, 13(3), 649–656.

[89] B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, Nguyen Dinh Kien, T. Hara, and Tran Thi

Thom, Effects of support conditions to the post-buckling behaviors of axi-

ally functionally graded material rods, Key Engineering Materials, 2017, 730,

502–509.

[90] B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling be-

haviour of axially FGM planar beams and frames, Procedia Engineering,

2017, 117, 147–158.

117

[91] G. De Pietro, Y. Hui, G. Giunta, S. Belouettar, E. Carrera, and H. Hu, Hi-

erarchical one-dimensional finite elements for the thermal stress analysis of

three-dimensional functionally graded beams, Composite Structures, 2016,

153, 514–528.

[92] A. Frikha, A. Hajlaoui, M. Wali, and F. Dammak, A new higher order C0

mixed beam element for FGM beams analysis, Composites Part B: Engineer-

ing, 2016, 106, 181–189.

[93] A. Chakraborty, S. Gopalakrishman, and J.N. Reddy, A new beam finite ele-

ment for the analysis of functionally graded materials, International Journal

of Mechanical Sciences, 2003, 45(3), 519–539.

[94] R.K. Bhangale and N. Ganesan, Thermoelastic buckling and vibration behav-

ior of a functionally graded sandwich beam with constrained viscoelastic core,

Journal of Sound and Vibration, 2006, 295(1-2), 294–316.

[95] D. Hao and C. Wei, Dynamic characteristics analysis of bi-directional

functionally graded Timoshenko beams, Composite Structures, 2016, 141,

253–263.

[96] M. Lezgy-Nazargah, Fully coupled thermo-mechanical analysis of bi-

directional FGM beams using NURBS isogeometric finite element approach,

Aerospace Science and Technology, 2015, 45, 154–164.

[97] T.A. Huynh, X.Q. Lieu, and J. Lee, NURBS-based modeling of bidirectional

functionally graded Timoshenko beams for free vibration problem, Composite

Structures, 2017, 160, 1178–1190.

[98] A. Pydah and A. Sabale, Static analysis of bi-directional functionally graded

curved beams, Composite Structures, 2017, 160, 867–876.

[99] A. Karamanli, Bending behaviour of two directional functionally graded sand-

wich beams by using a quasi-3d shear deformation theory, Composite Struc-

tures, 2017, 174, 70–86.

118

[100] N. Shafiei and M. Kazemi, Buckling analysis on the bi-dimensional function-

ally graded porous tapered nano-/micro-scale beams, Aerospace Science and

Technology, 2017, 66, 1–11.

[101] T. Yang, Y. Tang, Q. Li, and X.-D. Yang, Nonlinear bending, buckling and

vibration of bi-directional functionally graded nanobeams, Composite Struc-

tures, 2018, 204, 313–319.

[102] Y. Tang, X. Lv, and T. Yang, Bi-directional functionally graded beams: asym-

metric modes and nonlinear free vibration, Composites Part B: Engineering,

2019, 156, 319–331.

[103] Trung-Kien Nguyen, Thuc P. Vo, and Huu-Tai Thai, Static and free vibration

of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear

deformation theory, Composites Part B: Engineering, 2013, 55, 147–157.

[104] Huu-Tai Thai and Thuc P. Vo, Bending and free vibration of functionally

graded beams using various higher-order shear deformation beam theories,

International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 62(1), 57–66.

[105] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, A. Maheri, and J. Lee, Finite

element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich

beams based on a refined shear deformation theory, Engineering Structures,

2014, 64, 12–22.

[106] Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, F. Inam, and J. Lee, A quasi-

3D theory for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams,

Composite Structures, 2015, 119, 1–12.

[107] Luan C. Trinh, Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai and Trung-Kien Nguyen, An an-

alytical method for the vibration and buckling of functionally graded beams

under mechanical and thermal loads, Composites Part B: Engineering, 2016,

100, 152–163.

[108] Nguyen Tien Khiem and Tran Van Lien, A simplified method for natural fre-

quency analysis of multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration,

2001, 245(4), 737–751.

119

[109] Nguyen Tien Khiem and Tran Van Lien, The dynamic stiffness matrix method

in forced vibration analysis of multiple-cracked beam, Journal of Sound and

Vibration, 2002, 254(3), 541–555.

[110] Nguyen Tien Khiem and Tran Van Lien, Multi-crack detection for beam by

the natural frequencies, Journal of Sound and Vibration, 2004, 273(1-2),

175–184.

[111] Tran Van Lien, Ngo Trong Duc and Nguyen Tien Khiem, Mode shape analysis

of multiple cracked functionally graded Timoshenko beams, Latin American

Journal of Solids and Structures, 2017, 14(7), 1327–1344.

[112] Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, and Nguyen Tien Khiem, Free vibration anal-

ysis of multiple cracked functionally graded Timoshenko beams, Latin Amer-

ican Journal of Solids and Structures, 2017, 14(9), 1752–1766.

[113] Nguyen Dinh Kien, Large displacement response of tapered cantilever beams

made of axially functionally graded material, Composites Part B: Engineer-

ing, 2013, 55, 298–305.

[114] Nguyen Dinh Kien, Large displacement behaviour of tapered cantilever Eu-

ler–Bernoulli beams made of functionally graded material, Applied Mathe-

matics and Computation, 2014, 237, 340–355.

[115] Nguyen Dinh Kien and B.S. Gan, Large deflections of tapered function-

ally graded beams subjected to end forces, Applied Mathematical Modelling,

2014, 38(11-12), 3054–3066.

[116] Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, and Trinh Thanh Huong, Geometrically nonlin-

ear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded

material, Structural Engineering and Mechanics, 2014, 49(6), 727–743.

[117] Nguyen Dinh Kien and Tran Thi Thom, A corotational formulation for large

displacement analysis of functionally graded sandwich beam and frame struc-

tures, Mathematical Problems in Engineering, 2016, 2016(1-2), 1-12.

120

[118] Trinh Thanh Huong, B.S. Gan, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling re-

sponses of elastoplastic FGM beams on nonlinear elastic foundation, Struc-

tural Engineering & Mechanics, 2015, 58(3), 515–532.

[119] Nguyen Dinh Kien, Tran Thi Thom, S. Alexandrov, and Le Thi Ha, Elasto-

plastic analysis of functionally graded metal-ceramic beams under mechanical

loading, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 39(1), 13–29.

[120] Nguyen Dinh Kien and Bui Van Tuyen, Dynamic analysis of functionally

graded Timoshenko beams in thermal environment using a higher-order hier-

archical beam element, Mathematical Problems in Engineering, 2017, 2017,

1-12.

[121] Nguyen Dinh Kien, B.S. Gan, and Le Thi Ha, Dynamic response of nonuni-

form functionally graded beams subjected to a variable speed moving load,

Journal of Computational Science and Technology, 2013, 7, 12–27.

[122] Le Thi Ha, B.S. Gan, Trinh Thanh Huong, and Nguyen Dinh Kien, Finite

element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving

harmonic load, Mechanical Engineering Journal, 2014, 1(3), 1–13.

[123] Phạm Đình Trung, Phân tích động lực học dầm phân lớp chức năng trên nền

đàn hồi chịu khối lượng di động, Tạp chí của Bộ Xây Dựng, 2014, 551, 105-

109.

[124] Luan C. Trinh, Thuc P. Vo, Huu-Tai Thai, and Trung-Kien Nguyen, Size-

dependent vibration of bi-directional functionally graded microbeams with

arbitrary boundary conditions, Composites Part B: Engineering, 2018, 134,

225–245.

[125] Y.S. Touloukian, Thermophysical properties of hightemperature solid mate-

rials. Volume 4. Oxides and their solutions and mixtures, Macmillan, New

York, 1966.

[126] S.P. Timoshenko, History of strength of materials, McGraw-Hill, New York,

1953.

121

[127] S.P. Timoshenko, On the correction factor for shear of the differential equa-

tion for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical

Magazine,1921, 41, 744–746.

[128] Trung-Kien Nguyen, K. Sab, and G. Bonnet, First-order shear deformation

plate models for functionally graded materials, Composite Structures, 2008,

83(1), 25–36.

[129] M. Levinson, An accurate, simple theory of the statics and dynamics of elastic

plates, Mechanics Research Communications, 1980, 7(6), 343–350.

[130] M. Levinson, A new rectangular beam theory, Journal of Sound and Vibra-

tion, 1981, 74(1), 81–87.

[131] J.N. Reddy, A refined nonlinear theory of plates with transverse shear de-

formation, International Journal of Solids and Structures, 1984, 20(9-10),

881–896.

[132] J.N. Reddy, A simple higher-order theory for laminated composite plates,

Journal of Applied Mechanics, 1984, 51(4), 745–752.

[133] R.D. Cook, D.S. Malkus, and M.E. Plesha, Concepts and applications of finite

element analysis, 4rd, John Wiley & Sons, New York, 2002.

[134] J.B. Kosmatka, An improved two-node finite element for stability and natu-

ral frequencies of axial-loaded Timoshenko beams, Computers & Structures,

1995, 57(1), 141-149.

[135] O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor, The finite element method, 4th edition,

Volum1: Basic formulation and Linear problems, Mc Graw-Hill Book com-

pany, Lon don, 1997.

[136] A. Tessler and S.B. Dong, On a hierarchy of conforming Timoshenko beam

elements, Computers & Structures, 1981, 14(3-4), 335–344.

[137] M. Géradin and R. Rixen, Mechanical vibrations. Theory and application to

structural dynamics, 2nd edition, John Wiley & Sons, Chichester, 1997.

122

[138] A. Shahba and S. Rajasekaran, Free vibration and stability of tapered Eu-

ler–Bernoulli beams made of axially functionally graded materials, Applied

Mathematical Modelling, 2012, 36(7), 3094-3111.

[139] M. Olsson, On the fundamental moving load problem, Journal of Sound and

Vibration, 1991, 145(2), 299–307.

PHỤ LỤC

Phụ lục này liệt kê Matlab function tính ma trận độ cứng phần tử sinh ra dobiến dạng của dầm, ma trận độ cứng phần tử sinh ra do ứng suất nhiệt ban đầu và matrận khối lượng phần tử sinh ra do các chuyển vị. Các ma trận nhận được được tínhvới nx = 1, mô hình TBSγ được áp dụng ở đây.

f u n c t i o n [ ke ]= gamatangKe2D1 ( LT , L , A11c1m1 , A12c1m1 , A22c1m1 , . . .A34c1m1 , A44c1m1 , A66c1m1 , B11c1m1 , B22c1m1 , B44c1m1 , A11c2m2 , A12c2m2 , . . .A22c2m2 , A34c2m2 , A44c2m2 , A66c2m2 , B11c2m2 , B22c2m2 , B44c2m2 , xE , h )

t 1 = A11c1m1−A11c2m2 ;t 2 = 1 / LT ;t 8 = 1 / L ;t 1 0 = − t 1 ∗ t 2 /2+(− t 1 ∗xE∗ t 2 +A11c1m1 )∗ t 8 ;t 1 1 = A12c1m1−A12c2m2 ;t 1 2 = t 1 1 ∗ t 2 ;t 1 4 = 4∗ t 1 2 ∗ t 8 ;t 1 7 = −t 1 1 ∗xE∗ t 2 +A12c1m1 ;t 1 8 = L ^ 2 ;t 1 9 = t 1 8 ^ 2 ;t 2 0 = 1 / t 1 9 ;t 2 3 = t 1 8 ∗L ;t 2 4 = 1 / t 2 3 ;t 2 7 = 24∗ t 1 2 ∗ t 2 4 +48∗ t 1 7 ∗ t 2 0 ;t 3 0 = 1 / t 1 8 ;t 3 2 = 6∗ t 1 7 ∗ t 3 0 ;t 3 3 = −t 1 4 + t 2 7 ∗ t 1 8 /8− t 3 2 ;t 3 4 = 2∗ t 1 2 ;t 3 6 = 24∗ t 1 7 ∗ t 2 4 ;t 3 7 = t 1 2 ∗ t 3 0 ;t 3 9 = −t36 −16∗ t 3 7 ;t 4 2 = t 1 7 ∗ t 8 ;t 4 3 = 4∗ t 4 2 ;t 4 4 = t 3 4 + t 3 9 ∗ t 1 8 /8+ t 4 3 ;t 5 7 = h ^ 2 ;t 5 9 = t 2 / t 5 7 ;t 6 2 = −5.D0 / 8 . D0∗ t 1 2 +5 .D0 / 4 . D0∗ t 4 2 +5 .D0 / 6 . D0∗ t 8 ∗ ( A34c1m1∗L . . .−2∗A34c1m1∗LT+2∗A34c1m1∗xE−A34c2m2∗L−2∗A34c2m2∗xE )∗ t 5 9 ;t 6 5 = t14−t 2 7 ∗ t 1 8 /8+ t 3 2 ;t 6 7 = −t36 −8∗ t 3 7 ;t 7 0 = 2∗ t 4 2 ;t 7 1 = t 3 4 + t 6 7 ∗ t 1 8 /8+ t 7 0 ;t 7 2 = A22c1m1−A22c2m2 ;t 7 3 = t 7 2 ∗ t 2 ;t 7 4 = t 7 3 ∗ t 3 0 ;t 7 5 = 36∗ t 7 4 ;t 7 8 = −t 7 2 ∗xE∗ t 2 +A22c1m1 ;t 8 3 = 1 / t 1 9 / L ;t 8 5 = t 7 8 / t 1 9 / t 1 8 + t 7 3 ∗ t 8 3 ;

123

124

t 8 8 = t 7 8 ∗ t 8 3 ;t 9 0 = t 7 3 ∗ t 2 0 ;t 9 2 = −4608∗ t88 −1152∗ t 9 0 ;t 9 5 = t 7 8 ∗ t 2 4 ;t 9 6 = 36∗ t 9 5 ;t 9 7 = −t 7 5 +48∗ t 8 5 ∗ t 2 3 + t 9 2 ∗ t 1 8 /64+ t 9 6 ;t 9 8 = t 7 3 ∗ t 8 ;t 9 9 = 18∗ t 9 8 ;t 100 = 2304∗ t 8 8 ;t 102 = −t100 −2688∗ t 9 0 ;t 105 = t 7 8 ∗ t 2 0 ;t 107 = t 7 3 ∗ t 2 4 ;t 108 = 768∗ t 107 ;t109 = 2688∗ t 105 + t108 ;t112 = t 7 8 ∗ t 3 0 ;t 113 = 24∗ t 112 ;t114 = t 9 9 + t102 ∗ t 2 3 /96+ t109 ∗ t 1 8 /64− t 113 ;t115 = 5∗ t 9 8 ;t 118 = 480∗ t 105 +240∗ t 107 ;t120 = t118 ∗ t 1 8 / 6 4 ;t121 = 1 5 .D0 / 2 . D0∗ t 112 ;t122 = A44c1m1−A44c2m2 ;t125 = 5 . D0 / 3 . D0∗ t 8 ∗ t 122 ∗ t 5 9 ;t 126 = −t 115 +t120−t 121 + t125 ;t131 = t75 −48∗ t 8 5 ∗ t23−t 9 2 ∗ t 1 8 /64− t 9 6 ;t 133 = −t100 −1920∗ t 9 0 ;t 138 = 1920∗ t 105 +384∗ t 107 ;t141 = 12∗ t 112 ;t142 = t 9 9 + t133 ∗ t 2 3 /96+ t138 ∗ t 1 8 /64− t 141 ;t144 = −t 118 ∗ t 1 8 / 6 4 ;t145 = t115 + t144 +t121−t 125 ;t146 = 9∗ t 7 3 ;t 147 = 1152∗ t 105 ;t157 = t 7 8 ∗ t 8 ;t 160 = 5 . D0 / 2 . D0∗ t 7 3 ;t 161 = 240∗ t 9 5 ;t 163 = −t161 −160∗ t 7 4 ;t 166 = 5∗ t 157 ;t167 = A44c1m1∗LT ;t168 = A44c1m1∗xE ;t169 = A44c2m2∗xE ;t173 = 5 . D0 / 3 . D0∗ t 8 ∗(− t 167 + t168−t 169 )∗ t 5 9 ;t 174 = t160 + t163 ∗ t 1 8 /64+ t166 + t173 ;t177 = −t34−t 3 9 ∗ t 1 8 /8− t 4 3 ;t 182 = −t99−t 102 ∗ t 2 3 /96− t 109 ∗ t 1 8 /64+ t113 ;t192 = −t 146 +12∗ ( t 105 + t107 )∗ t 2 3 +(−1152∗ t95 −256∗ t 7 4 )∗ t 1 8 / 6 4 . . .+8∗ t 157 ;t195 = −t160−t 163 ∗ t 1 8 /64− t166−t 173 ;t196 = 2 5 .D0 / 3 2 . D0∗ t 7 3 ;t 197 = 2 5 .D0 / 1 6 . D0∗ t 157 ;

125

t198 = A44c1m1∗L ;t202 = A44c2m2∗L ;t205 = 5∗ t198 −10∗ t 167 +10∗ t168 −5∗ t202 −10∗ t 169 ;t207 = t 8 ∗ t 205 ∗ t 5 9 ;t 219 = t 5 7 ^ 2 ;t221 = t 2 / t 219 ;t223 = 2 5 .D0 / 1 8 . D0∗ t 8 ∗ (L∗A66c1m1−2∗A66c1m1∗LT + . . .2∗xE∗A66c1m1−L∗A66c2m2−2∗xE∗A66c2m2 )∗ t 221 ;t225 = B11c1m1∗L∗ t 219 ;t226 = 2∗ t 225 ;t228 = B11c1m1∗ t 219 ∗LT ;t229 = 8∗ t 228 ;t230 = xE∗ t 219 ;t231 = t230 ∗B11c1m1 ;t232 = 8∗ t 231 ;t234 = B11c2m2∗L∗ t 219 ;t235 = 2∗ t 234 ;t236 = t230 ∗B11c2m2 ;t237 = 8∗ t 236 ;t239 = B22c1m1∗L∗ t 5 7 ;t 240 = 16∗ t 239 ;t242 = B22c1m1∗LT∗ t 5 7 ;t 243 = 64∗ t 242 ;t245 = B22c1m1∗ t 5 7 ∗xE ;t246 = 64∗ t 245 ;t248 = B22c2m2∗L∗ t 5 7 ;t 249 = 16∗ t 248 ;t251 = B22c2m2∗ t 5 7 ∗xE ;t252 = 64∗ t 251 ;t253 = B44c1m1∗L ;t254 = 32∗ t 253 ;t255 = B44c1m1∗LT ;t256 = 128∗ t 255 ;t257 = xE∗B44c1m1 ;t258 = 128∗ t 257 ;t259 = B44c2m2∗L ;t260 = 32∗ t 259 ;t261 = xE∗B44c2m2 ;t262 = 128∗ t 261 ;t263 = t226−t 229 +t232−t235−t237−t 240 +t243−t 246 + t249 + t252 + . . .t254−t 256 + t258−t260−t 262 ;t270 = −5.D0 / 3 . D0∗ t 8 ∗ t 122 ∗ t 5 9 ;t 271 = t115 + t144 + t121 + t270 ;t273 = −t161 −80∗ t 7 4 ;t 276 = 5 . D0 / 2 . D0∗ t 157 ;t280 = 5 . D0 / 3 . D0∗ t 8 ∗(− t 198 + t167−t 168 + t202 + t169 )∗ t 5 9 ;t 281 = t160 + t273 ∗ t 1 8 /64+ t276 + t280 ;t284 = − t 8 ∗ t 205 ∗ t 5 9 ;t 295 = t226 −4∗ t 228 +4∗ t231−t235 −4∗ t236−t 240 +32∗ t242 −32∗ t 245 + . . .t 249 +32∗ t 251 +t254 −64∗ t 255 +64∗ t257−t260 −64∗ t 261 ;

126

t299 = t196−t197 −5.D0 / 2 4 . D0∗ t 207 +5 .D0 / 2 4 . D0∗ t 284 + t223 − . . .2 5 .D0 / 3 8 4 . D0∗L∗ t 295 ∗ t 221 ;t302 = −t34−t 6 7 ∗ t 1 8 /8− t 7 0 ;t 307 = −t99−t 133 ∗ t 2 3 /96− t 138 ∗ t 1 8 /64+ t141 ;t308 = −t 115 +t120−t121−t 270 ;t321 = −t160−t 273 ∗ t 1 8 /64− t276−t 280 ;t329 = 6∗ t225−t 229 + t232 −6∗ t234−t237 −48∗ t 239 +t243−t 246 + . . .48∗ t 248 + t252 +96∗ t253−t 256 +t258 −96∗ t259−t 262 ;ke ( 1 , 1 ) = t 1 0 ;ke ( 1 , 2 ) = t 3 3 ;ke ( 1 , 3 ) = t 4 4 ;ke ( 1 , 4 ) = t 6 2 ;ke ( 1 , 5 ) = −t 1 0 ;ke ( 1 , 6 ) = t 6 5 ;ke ( 1 , 7 ) = t 7 1 ;ke ( 1 , 8 ) = −t 6 2 ;ke ( 2 , 1 ) = t 3 3 ;ke ( 2 , 2 ) = t 9 7 ;ke ( 2 , 3 ) = t114 ;ke ( 2 , 4 ) = t126 ;ke ( 2 , 5 ) = t 6 5 ;ke ( 2 , 6 ) = t131 ;ke ( 2 , 7 ) = t142 ;ke ( 2 , 8 ) = t145 ;ke ( 3 , 1 ) = t 4 4 ;ke ( 3 , 2 ) = t114 ;ke ( 3 , 3 ) = −t 146 +( t147 +1536∗ t 107 )∗ t 2 3 / 9 6 + . . .(−1536∗ t95 −512∗ t 7 4 )∗ t 1 8 /64+16∗ t 157 ;ke ( 3 , 4 ) = t174 ;ke ( 3 , 5 ) = t177 ;ke ( 3 , 6 ) = t182 ;ke ( 3 , 7 ) = t192 ;ke ( 3 , 8 ) = t195 ;ke ( 4 , 1 ) = t 6 2 ;ke ( 4 , 2 ) = t126 ;ke ( 4 , 3 ) = t174 ;ke ( 4 , 4 ) = −t 196 + t197 +5 .D0 / 1 2 . D0∗ t207−t223 − . . .2 5 .D0 / 3 8 4 . D0∗L∗ t 263 ∗ t 221 ;ke ( 4 , 5 ) = −t 6 2 ;ke ( 4 , 6 ) = t271 ;ke ( 4 , 7 ) = t281 ;ke ( 4 , 8 ) = t299 ;ke ( 5 , 1 ) = −t 1 0 ;ke ( 5 , 2 ) = t 6 5 ;ke ( 5 , 3 ) = t177 ;ke ( 5 , 4 ) = −t 6 2 ;ke ( 5 , 5 ) = t 1 0 ;ke ( 5 , 6 ) = t 3 3 ;ke ( 5 , 7 ) = t302 ;ke ( 5 , 8 ) = t 6 2 ;

127

ke ( 6 , 1 ) = t 6 5 ;ke ( 6 , 2 ) = t131 ;ke ( 6 , 3 ) = t182 ;ke ( 6 , 4 ) = t271 ;ke ( 6 , 5 ) = t 3 3 ;ke ( 6 , 6 ) = t 9 7 ;ke ( 6 , 7 ) = t307 ;ke ( 6 , 8 ) = t308 ;ke ( 7 , 1 ) = t 7 1 ;ke ( 7 , 2 ) = t142 ;ke ( 7 , 3 ) = t192 ;ke ( 7 , 4 ) = t281 ;ke ( 7 , 5 ) = t302 ;ke ( 7 , 6 ) = t307 ;ke ( 7 , 7 ) = −t 146 +( t147 + t108 )∗ t 2 3 / 9 6 + . . .(−768∗ t95 −128∗ t 7 4 )∗ t 1 8 /64+4∗ t 157 ;ke ( 7 , 8 ) = t321 ;ke ( 8 , 1 ) = −t 6 2 ;ke ( 8 , 2 ) = t145 ;ke ( 8 , 3 ) = t195 ;ke ( 8 , 4 ) = t299 ;ke ( 8 , 5 ) = t 6 2 ;ke ( 8 , 6 ) = t308 ;ke ( 8 , 7 ) = t321 ;ke ( 8 , 8 ) = −t 196 +t197 −5.D0 / 1 2 . D0∗ t284−t223 − . . .2 5 .D0 / 3 8 4 . D0∗L∗ t 329 ∗ t 221 ;

f u n c t i o n [ kT ]= gamatangKeT2D1 ( LT , L ,M, N, Q, xE , P )t 1 = LT ^ 2 ;t 2 = 1 / t 1 ;t 3 = t 2 ∗Q;t 5 = 7 2 .D0 / 7 . D0∗ t 3 ∗L ;t 6 = 1 / LT ;t 7 = t 6 ∗N;t 9 = xE∗ t 2 ∗Q;t 1 1 = − t 7 +2∗ t 9 ;t 1 2 = L ^ 2 ;t 1 3 = t 1 2 ^ 2 ;t 1 4 = t 1 3 ∗ t 1 2 ;t 1 5 = 1 / t 1 4 ;t 1 8 = t 1 3 ∗L ;t 1 9 = 1 / t 1 8 ;t 2 2 = 72∗ t 1 1 ∗ t15 −144∗ t 3 ∗ t 1 9 ;t 2 6 = xE∗ t 6 ∗N;t 2 7 = xE ^ 2 ;t 2 9 = t 2 7 ∗ t 2 ∗Q;t 3 0 = M−t 2 6 + t 2 9 ;t 3 3 = t 1 1 ∗ t 1 9 ;t 3 5 = 1 / t 1 3 ;

128

t 3 6 = t 3 ∗ t 3 5 ;t 3 8 = 72∗ t 3 0 ∗ t15 −144∗ t 3 3 +72∗ t 3 6 ;t 4 1 = t 3 0 ∗ t 1 9 ;t 4 3 = t 1 1 ∗ t 3 5 ;t 4 5 = −144∗ t 4 1 +72∗ t 4 3 ;t 4 8 = 1 / L ;t 4 9 = t 3 0 ∗ t 4 8 ;t 5 0 = 24∗ t 4 9 ;t 5 3 = P∗ ( t 5 + t 2 2 ∗ t 1 4 /6+ t 3 8 ∗ t 1 8 /5+ t 4 5 ∗ t 1 3 /4+ t 5 0 ) / 2 ;t 5 5 = 3 6 .D0 / 7 . D0∗ t 3 ∗ t 1 2 ;t 5 6 = 36∗ t 3 3 ;t 5 8 = −t 5 6 +84∗ t 3 6 ;t 6 1 = 36∗ t 4 1 ;t 6 3 = t 1 2 ∗L ;t 6 4 = 1 / t 6 3 ;t 6 5 = t 3 ∗ t 6 4 ;t 6 7 = −t 6 1 +84∗ t43 −60∗ t 6 5 ;t 7 0 = t 3 0 ∗ t 3 5 ;t 7 2 = t 1 1 ∗ t 6 4 ;t 7 4 = 1 / t 1 2 ;t 7 5 = t 3 ∗ t 7 4 ;t 7 7 = 84∗ t70 −60∗ t 7 2 +12∗ t 7 5 ;t 8 0 = t 3 0 ∗ t 6 4 ;t 8 2 = t 1 1 ∗ t 7 4 ;t 8 4 = −60∗ t 8 0 +12∗ t 8 2 ;t 8 7 = 6∗M;t 8 8 = 6∗ t 2 6 ;t 8 9 = 6∗ t 2 9 ;t 9 2 = P∗(− t 5 5 + t 5 8 ∗ t 1 4 /6+ t 6 7 ∗ t 1 8 /5+ t 7 7 ∗ t 1 3 /4+ t 8 4 ∗ t 6 3 / 3 + . . .t87−t 8 8 + t 8 9 ) / 2 ;t 101 = P∗(− t5−t 2 2 ∗ t 1 4 /6− t 3 8 ∗ t 1 8 /5− t 4 5 ∗ t 1 3 /4− t 5 0 ) / 2 ;t 103 = −t 5 6 +60∗ t 3 6 ;t 107 = 24∗ t 6 5 ;t 108 = −t 6 1 +60∗ t43−t 107 ;t112 = 24∗ t 7 2 ;t 113 = 60∗ t70−t 112 ;t116 = 8∗M;t117 = 8∗ t 2 6 ;t 118 = 8∗ t 2 9 ;t 121 = P∗(− t 5 5 + t103 ∗ t 1 4 /6+ t108 ∗ t 1 8 /5+ t113 ∗ t 1 3 /4− t 116 + . . .t117−t 118 ) / 2 ;t 123 = 1 8 .D0 / 7 . D0∗ t 3 ∗ t 6 3 ;t 124 = 18∗ t 4 3 ;t 129 = 18∗ t 7 0 ;t 137 = t 3 ∗ t 4 8 ;t 142 = t 3 0 ∗ t 7 4 ;t 144 = t 1 1 ∗ t 4 8 ;t 156 = t 3 0 ∗L ;t157 = 2∗ t 156 ;t171 = P∗ ( t55−t 5 8 ∗ t 1 4 /6− t 6 7 ∗ t 1 8 /5− t 7 7 ∗ t 1 3 /4− t 8 4 ∗ t 6 3 / 3 − . . .

129

t 8 7 +t88−t 8 9 ) / 2 ;t 194 = P∗ ( t 123 +( t124 −36∗ t 6 5 )∗ t 1 4 / 6 + . . .( t129 −36∗ t 7 2 +22∗ t 7 5 )∗ t 1 8 /5+(−36∗ t 8 0 +22∗ t82 −4∗ t 137 )∗ t 1 3 / 4 + . . .(22∗ t142 −4∗ t 144 )∗ t 6 3 /3− t 157 ) / 2 ;t 203 = P∗ ( t55−t 103 ∗ t 1 4 /6− t 108 ∗ t 1 8 /5− t 113 ∗ t 1 3 / 4 + . . .t116−t 117 + t118 ) / 2 ;kT ( 1 , 1 ) = 0 ;kT ( 1 , 2 ) = 0 ;kT ( 1 , 3 ) = 0 ;kT ( 1 , 4 ) = 0 ;kT ( 1 , 5 ) = 0 ;kT ( 1 , 6 ) = 0 ;kT ( 1 , 7 ) = 0 ;kT ( 1 , 8 ) = 0 ;kT ( 2 , 1 ) = 0 ;kT ( 2 , 2 ) = t 5 3 ;kT ( 2 , 3 ) = t 9 2 ;kT ( 2 , 4 ) = 0 ;kT ( 2 , 5 ) = 0 ;kT ( 2 , 6 ) = t101 ;kT ( 2 , 7 ) = t121 ;kT ( 2 , 8 ) = 0 ;kT ( 3 , 1 ) = 0 ;kT ( 3 , 2 ) = t 9 2 ;kT ( 3 , 3 ) = P∗ ( t 123 +( t124 −48∗ t 6 5 )∗ t 1 4 / 6 + . . .( t129 −48∗ t 7 2 +44∗ t 7 5 )∗ t 1 8 /5+(−48∗ t 8 0 +44∗ t82 −16∗ t 137 )∗ t 1 3 / 4 + . . .(44∗ t142 −16∗ t 144 +2∗ t 3 )∗ t 6 3 /3+(−16∗ t49 −2∗ t 7 +4∗ t 9 )∗ t 1 2 /2+ t157 ) / 2 ;kT ( 3 , 4 ) = 0 ;kT ( 3 , 5 ) = 0 ;kT ( 3 , 6 ) = t171 ;kT ( 3 , 7 ) = t194 ;kT ( 3 , 8 ) = 0 ;kT ( 4 , 1 ) = 0 ;kT ( 4 , 2 ) = 0 ;kT ( 4 , 3 ) = 0 ;kT ( 4 , 4 ) = 0 ;kT ( 4 , 5 ) = 0 ;kT ( 4 , 6 ) = 0 ;kT ( 4 , 7 ) = 0 ;kT ( 4 , 8 ) = 0 ;kT ( 5 , 1 ) = 0 ;kT ( 5 , 2 ) = 0 ;kT ( 5 , 3 ) = 0 ;kT ( 5 , 4 ) = 0 ;kT ( 5 , 5 ) = 0 ;kT ( 5 , 6 ) = 0 ;kT ( 5 , 7 ) = 0 ;kT ( 5 , 8 ) = 0 ;kT ( 6 , 1 ) = 0 ;kT ( 6 , 2 ) = t101 ;

130

kT ( 6 , 3 ) = t171 ;kT ( 6 , 4 ) = 0 ;kT ( 6 , 5 ) = 0 ;kT ( 6 , 6 ) = t 5 3 ;kT ( 6 , 7 ) = t203 ;kT ( 6 , 8 ) = 0 ;kT ( 7 , 1 ) = 0 ;kT ( 7 , 2 ) = t121 ;kT ( 7 , 3 ) = t194 ;kT ( 7 , 4 ) = 0 ;kT ( 7 , 5 ) = 0 ;kT ( 7 , 6 ) = t203 ;kT ( 7 , 7 ) = P∗ ( t 123 +( t124−t 107 )∗ t 1 4 / 6 + ( t129−t 112 +8∗ t 7 5 )∗ t 1 8 / 5 + . . .(−24∗ t 8 0 +8∗ t 8 2 )∗ t 1 3 / 4 + 8 . D0 / 3 . D0∗ t 156 ) / 2 ;kT ( 7 , 8 ) = 0 ;kT ( 8 , 1 ) = 0 ;kT ( 8 , 2 ) = 0 ;kT ( 8 , 3 ) = 0 ;kT ( 8 , 4 ) = 0 ;kT ( 8 , 5 ) = 0 ;kT ( 8 , 6 ) = 0 ;kT ( 8 , 7 ) = 0 ;kT ( 8 , 8 ) = 0 ;

f u n c t i o n [ me]=gamaMFGMT2D1( LT , L , I11c1m1 , I12c1m1 , I22c1m1 , I34c1m1 , . . .I44c1m1 , I66c1m1 , I11c2m2 , I12c2m2 , I22c2m2 , I34c2m2 , . . .I44c2m2 , I66c2m2 , xE , h )

t 1 = I11c1m1∗L ;t 2 = 140∗ t 1 ;t 3 = I11c1m1∗LT ;t 4 = 560∗ t 3 ;t 5 = xE∗ I11c1m1 ;t 6 = 560∗ t 5 ;t 7 = I11c2m2∗L ;t 8 = 140∗ t 7 ;t 9 = xE∗ I11c2m2 ;t 1 0 = 560∗ t 9 ;t 1 3 = 1 / LT ;t 1 6 = I12c1m1∗L ;t 1 9 = 120∗ I12c1m1∗LT ;t 2 1 = 120∗xE∗ I12c1m1 ;t 2 2 = I12c2m2∗L ;t 2 5 = 120∗xE∗ I12c2m2 ;t 2 6 = 48∗ t16−t 1 9 + t21 −48∗ t22−t 2 5 ;t 2 8 = t 2 6 ∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t 2 9 = L ^ 2 ;t 3 0 = I12c1m1∗ t 2 9 ;t 3 1 = 4∗ t 3 0 ;t 3 2 = t 1 6 ∗LT ;t 3 3 = 20∗ t 3 2 ;

131

t 3 4 = t 1 6 ∗xE ;t 3 5 = 20∗ t 3 4 ;t 3 6 = I12c2m2∗ t 2 9 ;t 3 7 = 4∗ t 3 6 ;t 3 8 = t 2 2 ∗xE ;t 3 9 = 20∗ t 3 8 ;t 4 2 = (− t31−t 3 3 + t 3 5 +t37−t 3 9 )∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t 4 3 = 25∗ t 3 0 ;t 4 4 = 100∗ t 3 2 ;t 4 5 = 100∗ t 3 4 ;t 4 6 = 25∗ t 3 6 ;t 4 7 = 100∗ t 3 8 ;t 5 1 = I34c1m1∗L ;t 5 2 = I34c1m1∗LT ;t 5 3 = 4∗ t 5 2 ;t 5 4 = xE∗ I34c1m1 ;t 5 5 = 4∗ t 5 4 ;t 5 6 = I34c2m2∗L ;t 5 7 = xE∗ I34c2m2 ;t 5 8 = 4∗ t 5 7 ;t 6 1 = h ^ 2 ;t 6 2 = 1 / t 6 1 ;t 6 3 = t 1 3 ∗ t 6 2 ;t 6 6 = −( t43−t 4 4 + t45−t46−t 4 7 )∗ t 1 3 / 2 4 0 + . . .5 . D0 / 3 6 . D0∗L∗ ( t51−t 5 3 + t55−t56−t 5 8 )∗ t 6 3 ;t 7 3 = L∗ ( t2 −280∗ t 3 +280∗ t5−t8 −280∗ t 9 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 ;t 7 5 = −t 2 6 ∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t 7 8 = (− t 3 1 + t33−t 3 5 + t 3 7 + t 3 9 )∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t 9 2 = −( t43 −50∗ t 3 2 +50∗ t34−t46 −50∗ t 3 8 )∗ t 1 3 / 2 4 0 + . . .5 . D0 / 3 6 . D0∗L∗ ( t51 −2∗ t 5 2 +2∗ t54−t56 −2∗ t 5 7 )∗ t 6 3 ;t 9 4 = 624∗ t 3 ;t 9 5 = 624∗ t 5 ;t 9 7 = 624∗ t 9 ;t 102 = 1 / L ;t103 = I22c1m1∗L ;t109 = I22c2m2∗L ;t113 = −2304∗ I22c1m1∗LT+2304∗xE∗ I22c1m1 − . . .2304∗xE∗ I22c2m2 +1152∗ t103 −1152∗ t 109 ;t116 = t102 ∗ t 113 ∗ t 1 3 / 1 9 2 0 ;t118 = I11c1m1∗ t 2 9 ;t 119 = 28∗ t 118 ;t120 = t 1 ∗LT ;t121 = 88∗ t 120 ;t122 = t 1 ∗xE ;t123 = 88∗ t 122 ;t124 = I11c2m2∗ t 2 9 ;t 125 = 28∗ t 124 ;t126 = t 7 ∗xE ;t127 = 88∗ t 126 ;t132 = I22c1m1∗ t 2 9 ;

132

t133 = t103 ∗LT ;t134 = t103 ∗xE ;t135 = I22c2m2∗ t 2 9 ;t 136 = t109 ∗xE ;t137 = −t 132 +t133−t 134 + t135 + t136 ;t141 = −L∗(− t 119 +t121−t 123 + t125 + t127 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 − . . .t 102 ∗ t 137 ∗ t 1 3 / 1 0 ;t143 = 1200∗ t 133 ;t144 = 1200∗ t 134 ;t146 = 1200∗ t 136 ;t147 = 480∗ t132−t 143 +t144 −480∗ t135−t 146 ;t151 = I44c1m1∗L ;t154 = 120∗ I44c1m1∗LT ;t156 = 120∗xE∗ I44c1m1 ;t157 = I44c2m2∗L ;t160 = 120∗xE∗ I44c2m2 ;t161 = 48∗ t151−t 154 +t156 −48∗ t157−t 160 ;t165 = −t 102 ∗ t 147 ∗ t 1 3 /1920+ t161 ∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t168 = 72∗ t16−t 1 9 + t21 −72∗ t22−t 2 5 ;t 170 = t168 ∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t183 = −L∗ (108∗ t1 −216∗ t 3 +216∗ t5 −108∗ t7 −216∗ t 9 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 + . . .t 102 ∗ t 113 ∗ t 1 3 / 1 9 2 0 ;t185 = 52∗ t 120 ;t186 = 52∗ t 122 ;t188 = 52∗ t 126 ;t193 = t133−t 134 + t136 ;t197 = −L∗ (24∗ t118−t 185 +t186 −24∗ t124−t 188 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 − . . .t 102 ∗ t 193 ∗ t 1 3 / 1 0 ;t200 = 720∗ t132−t 143 +t144 −720∗ t135−t 146 ;t206 = 72∗ t151−t 154 +t156 −72∗ t157−t 160 ;t210 = −t 102 ∗ t 200 ∗ t 1 3 /1920+ t206 ∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t211 = t 2 9 ∗L ;t212 = I11c1m1∗ t 211 ;t213 = 6∗ t 212 ;t214 = t118 ∗LT ;t215 = 16∗ t 214 ;t216 = t118 ∗xE ;t217 = 16∗ t 216 ;t218 = I11c2m2∗ t 211 ;t219 = 6∗ t 218 ;t220 = t124 ∗xE ;t221 = 16∗ t 220 ;t226 = I22c1m1∗ t 211 ;t228 = t132 ∗LT ;t229 = 256∗ t 228 ;t230 = t132 ∗xE ;t231 = 256∗ t 230 ;t232 = I22c2m2∗ t 211 ;t234 = t135 ∗xE ;t235 = 256∗ t 234 ;

133

t241 = 40∗ t 226 ;t242 = 200∗ t 228 ;t243 = 200∗ t 230 ;t244 = 40∗ t 232 ;t245 = 200∗ t 234 ;t250 = I44c1m1∗ t 2 9 ;t 251 = 4∗ t 250 ;t252 = t151 ∗LT ;t253 = 20∗ t 252 ;t254 = t151 ∗xE ;t255 = 20∗ t 254 ;t256 = I44c2m2∗ t 2 9 ;t 257 = 4∗ t 256 ;t258 = t157 ∗xE ;t259 = 20∗ t 258 ;t264 = −t 102 ∗(− t241−t 242 + t243 +t244−t 245 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .(− t251−t 253 + t255 +t257−t 259 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t269 = (−16∗ t 3 0 + t33−t 3 5 +16∗ t 3 6 + t 3 9 )∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t277 = −L∗(− t 119 +t185−t 186 + t125 + t188 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 + . . .t 102 ∗ t 137 ∗ t 1 3 / 1 0 ;t294 = −L∗(− t 213 +12∗ t214 −12∗ t 216 + t219 +12∗ t 220 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 − . . .t 102 ∗(−32∗ t 226 +64∗ t228 −64∗ t 230 +32∗ t 232 +64∗ t 234 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 ;t307 = −t 102 ∗(−160∗ t 226 +t242−t 243 +160∗ t 232 + t245 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .(−16∗ t 250 + t253−t 255 +16∗ t 256 + t259 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t308 = 250∗ t 226 ;t309 = 1000∗ t 228 ;t310 = 1000∗ t 230 ;t311 = 250∗ t 232 ;t312 = 1000∗ t 234 ;t317 = 50∗ t 250 ;t318 = 200∗ t 252 ;t319 = 200∗ t 254 ;t320 = 50∗ t 256 ;t321 = 200∗ t 258 ;t326 = I66c1m1∗L ;t327 = 2∗ t 326 ;t328 = I66c1m1∗LT ;t329 = 8∗ t 328 ;t330 = xE∗ I66c1m1 ;t331 = 8∗ t 330 ;t332 = I66c2m2∗L ;t333 = 2∗ t 332 ;t334 = xE∗ I66c2m2 ;t335 = 8∗ t 334 ;t338 = t 6 1 ^ 2 ;t340 = t 1 3 / t338 ;t350 = t102 ∗ t 147 ∗ t 1 3 /1920− t 161 ∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t359 = −t 102 ∗(− t 241 +t242−t 243 + t244 + t245 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .(− t 251 +t253−t 255 + t257 + t259 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t381 = −t 102 ∗ ( t308 −500∗ t 228 +500∗ t230−t311 −500∗ t 234 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .

134

( t317 −100∗ t 252 +100∗ t254−t320 −100∗ t 258 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 − . . .2 5 .D0 / 2 1 6 . D0∗L∗ ( t327 −4∗ t 328 +4∗ t330−t333 −4∗ t 334 )∗ t 340 ;t389 = −t 168 ∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t394 = (24∗ t30−t 3 3 + t35 −24∗ t36−t 3 9 )∗ t 1 3 / 2 4 0 ;t406 = −(75∗ t30−t 4 4 + t45 −75∗ t36−t 4 7 )∗ t 1 3 / 2 4 0 + . . .5 . D0 / 3 6 . D0∗L∗ (3∗ t51−t 5 3 + t55 −3∗ t56−t 5 8 )∗ t 6 3 ;t 423 = −L∗ (60∗ t118−t 121 +t123 −60∗ t124−t 127 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 + . . .t 102 ∗ t 193 ∗ t 1 3 / 1 0 ;t430 = t102 ∗ t 200 ∗ t 1 3 /1920− t 206 ∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;t456 = −t 102 ∗ (240∗ t226−t 242 +t243 −240∗ t232−t 245 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .(24∗ t250−t 253 + t255 −24∗ t256−t 259 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 ;me ( 1 , 1 ) = −t 1 3 ∗L∗ ( t2−t 4 + t6−t8−t 1 0 ) / 1 6 8 0 ;me ( 1 , 2 ) = −t 2 8 ;me ( 1 , 3 ) = −t 4 2 ;me ( 1 , 4 ) = t 6 6 ;me ( 1 , 5 ) = −t 7 3 ;me ( 1 , 6 ) = −t 7 5 ;me ( 1 , 7 ) = −t 7 8 ;me ( 1 , 8 ) = t 9 2 ;me ( 2 , 1 ) = −t 2 8 ;me ( 2 , 2 ) = −L∗ (144∗ t1−t 9 4 + t95 −144∗ t7−t 9 7 )∗ t 1 3 /1680− t 116 ;me ( 2 , 3 ) = t141 ;me ( 2 , 4 ) = t165 ;me ( 2 , 5 ) = −t 170 ;me ( 2 , 6 ) = t183 ;me ( 2 , 7 ) = t197 ;me ( 2 , 8 ) = t210 ;me ( 3 , 1 ) = −t 4 2 ;me ( 3 , 2 ) = t141 ;me ( 3 , 3 ) = −L∗ ( t213−t 215 +t217−t219−t 221 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 − . . .t 102 ∗ (64∗ t226−t 229 + t231 −64∗ t232−t 235 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 ;me ( 3 , 4 ) = t264 ;me ( 3 , 5 ) = −t 269 ;me ( 3 , 6 ) = t277 ;me ( 3 , 7 ) = t294 ;me ( 3 , 8 ) = t307 ;me ( 4 , 1 ) = t 6 6 ;me ( 4 , 2 ) = t165 ;me ( 4 , 3 ) = t264 ;me ( 4 , 4 ) = −t 102 ∗ ( t308−t 309 + t310−t311−t 312 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .( t317−t 318 +t319−t320−t 321 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 − . . .2 5 .D0 / 2 1 6 . D0∗L∗ ( t327−t 329 +t331−t333−t 335 )∗ t 340 ;me ( 4 , 5 ) = t 9 2 ;me ( 4 , 6 ) = t350 ;me ( 4 , 7 ) = t359 ;me ( 4 , 8 ) = t381 ;me ( 5 , 1 ) = −t 7 3 ;me ( 5 , 2 ) = −t 170 ;me ( 5 , 3 ) = −t 269 ;me ( 5 , 4 ) = t 9 2 ;

135

me ( 5 , 5 ) = −L∗ (420∗ t1−t 4 + t6 −420∗ t7−t 1 0 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 ;me ( 5 , 6 ) = −t 389 ;me ( 5 , 7 ) = −t 394 ;me ( 5 , 8 ) = t406 ;me ( 6 , 1 ) = −t 7 5 ;me ( 6 , 2 ) = t183 ;me ( 6 , 3 ) = t277 ;me ( 6 , 4 ) = t350 ;me ( 6 , 5 ) = −t 389 ;me ( 6 , 6 ) = −L∗ (480∗ t1−t 9 4 + t95 −480∗ t7−t 9 7 )∗ t 1 3 /1680− t 116 ;me ( 6 , 7 ) = t423 ;me ( 6 , 8 ) = t430 ;me ( 7 , 1 ) = −t 7 8 ;me ( 7 , 2 ) = t197 ;me ( 7 , 3 ) = t294 ;me ( 7 , 4 ) = t359 ;me ( 7 , 5 ) = −t 394 ;me ( 7 , 6 ) = t423 ;me ( 7 , 7 ) = −L∗ (10∗ t212−t 215 + t217 −10∗ t218−t 221 )∗ t 1 3 / 1 6 8 0 − . . .t 102 ∗ (192∗ t226−t 229 +t231 −192∗ t232−t 235 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 ;me ( 7 , 8 ) = t456 ;me ( 8 , 1 ) = t 9 2 ;me ( 8 , 2 ) = t210 ;me ( 8 , 3 ) = t307 ;me ( 8 , 4 ) = t381 ;me ( 8 , 5 ) = t406 ;me ( 8 , 6 ) = t430 ;me ( 8 , 7 ) = t456 ;me ( 8 , 8 ) = −t 102 ∗ (750∗ t226−t 309 +t310 −750∗ t232−t 312 )∗ t 1 3 / 1 9 2 0 + . . .(150∗ t250−t 318 +t319 −150∗ t256−t 321 )∗ t 1 3 ∗ t 6 2 / 1 4 4 − . . .2 5 .D0 / 2 1 6 . D0∗L∗ (6∗ t326−t 329 +t331 −6∗ t332−t 335 )∗ t 340 ;

TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI...

Documents

Transcript of TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI...